专项复习四方程型综合题及答案

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2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练5(附答案详解)

1．C
参考答案
【解析】
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形 AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得
EF=AP，则 EF 的最小值即为 AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角
三角形 ABC 斜边上的高．
【详解】
连接 AP，
∵在△ ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°，又∵PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F， ∴四边形 AEPF 是矩形， ∴EF=AP， ∵AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即 2.4， ∴EF 的最小值为 2.4，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键． 2．C 【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题,作点 P 关于 BD 的对称点 P',连接与 BD 的交点即为所求的点 K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知 ⊥CD 时
的最小值,求解即可.
【详解】
解：:如图,∵
，
，,
∴点 P'到 CD 的距离为 2× = ,
∴ 故选 C.
的最小值为 .
【点睛】本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键. 3．C 【解析】【分析】先作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP＋NP 有最小值．然后证明四边形 ABNM′为平行四边形，即可求出 MP＋NP＝M′N＝AB＝2．【详解】解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP＋NP 有最小值，最小值为 M′N 的长． ∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， ∴M′是 AD 的中点，又∵N 是 BC 边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′＝BN， ∴四边形 ABNM′是平行四边形， ∴M′N＝AB＝2， ∴MP＋NP＝M′N＝2，即 MP＋NP 的最小值为 2，故选：C.

云南中考数学总复习专项练习：专项四二次函数综合题

云南中考数学总复习专项练习：专项四二次函数综合题类型一代数问题(2021·杭州)设二次函数y ＝ax2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a ≠0)(1)判定该二次函数图象与x 轴交点的个数，并说明理由；(2)若该二次函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a ＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0.【自主解答】1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 差不多上常数)的图象通过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2≤x ≤2时，求y 的取值范畴．(2)已知点P(m ，n)在该函数的图象上，且m ＋n ＝1，求点P 的坐标．2．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y1＝2x2－4mx ＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx ＋5，其中y1的图象通过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x ≤3时，y2的最大值．3．规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“靠近距离”．(1)求抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”；(2)在探究问题：求抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，则该问题的“靠近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由．(3)若抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为23，求c 的值．4．(2021·舟山)已知，点M 为二次函数y ＝－(x －b)2＋4b ＋1图象的顶点，直线y ＝mx ＋5分别交x 轴，y 轴于点A 、B.(1)判定顶点M 是否在直线y ＝4x ＋1上，并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也通过点A 、B ，且mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1.依照图象，写出x 的取值范畴；(3)如图2，点A 坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C(14，y1)，D(34，y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．图1 图2类型二面积问题(2021·泰安节选)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A(－4，0)、B(2，0)，交y 轴于点C(0，6)，在y 轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值．【自主解答】1．(2021·腾冲模拟)已知直线y ＝2x ＋m 与抛物线y ＝ax2＋ax ＋b 有一个公共点M(1，0)，且a<b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q 的坐标(用含a 的代数式表示)；(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点；(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N ； (ⅰ)若－1≤a ≤12，求线段MN 长度的取值范畴；(ⅱ)求△QMN 面积的最小值．2．(2021·金华)如图，抛物线y ＝ax2＋bx(a ≠0)过点E(10，0)，矩形A BCD 的边AB 在线段OE 上(点A 在点B 的左边)，点C ，D 在抛物线上．设A(t ，0)，当t ＝2时，AD ＝4.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．(2021·东营)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，要求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．(2021·永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x 轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG ＋FG最小，假如存在，求出点G的坐标；假如不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段A B的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积．图1 图2类型三专门三角形的存在性问题(2021·昆明)如图1，对称轴为直线x＝12的抛物线通过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在如此的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2【自主解答】1．(2021·枣庄节选)如图1，已知二次函数y ＝ax2＋32x ＋c(a ≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB 、AC. (1)请直截了当写出二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的表达式；(2)判定△ABC 的形状，并说明理由；(3)如图2，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出现在点N 的坐标．图1 图22．(2021·昆明盘龙区模拟)如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 的左边，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，且A(－6，0)，D(－2，－8)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，不与点A 、C 重合，求过点P 作x 轴的垂线交于AC 于点E ，求线段PE 的最大值及P 点坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2021·资阳)已知：如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(－2，0)，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．类型四专门四边形的存在性问题(2021·曲靖)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝13x －43与x轴交于点A ，通过点A 的抛物线y ＝ax2－3x ＋c 的对称轴是x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，P B ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE ＝13PF ，求证PE ⊥PF ；(3)若(2)中的点P 坐标为(6，2)，点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使得四边形PEQF 是矩形？假如存在，要求出点Q 的坐标，假如不存在，请说明理由．【分析】 (1)先确定点A 的坐标，再把抛物线的对称轴直线代入公式求a 值，结合点A 的坐标，确定c 值，从而得出抛物线的解析式；(2)运用两边斜边与一组直角边的比值相等，以及两个三角形差不多上直角三角形，证明两个直角三角形相似，从而得出两个锐角相等，依照PC 与PB 的垂直关系，论述PF 与PE 的垂直关系；(3)画出图形，进行分类讨论，注意(2)中两个三角形相似，构造比例式，建立方程模型进行点的坐标的运算，那个地点有两个答案，不可忽视第二种情形．【自主解答】1．(2021·河南)如图，抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5通过点B ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A 的直线交直线BC 于点M.①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线A M 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直截了当写出点M 的坐标．2．(2021·岳阳)已知抛物线F ：y ＝x2＋bx ＋c 的图象通过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为(－33，0)．(1)求抛物线F 的解析式；(2)如图1，直线l ：y ＝33x ＋m(m ＞0)与抛物线相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A 在第二象限)，求y2－y1的值(用含m 的式子表示)；(3)在(2)中，若m ＝43，设点A ′是点A 关于原点O 的对称点，如图2.①判定△AA ′B 的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P ，使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图23．(2021·南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于点A ，B.(1)求抛物线的解析式；(2)Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；(3)若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E ，是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？假如存在，求正方形MNED 的边长；假如不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2－2ax －3a(a ＞0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，通过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)直截了当写出点A 的坐标，并用含a 的式子表示直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示)；(2)点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；(3)设点P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．类型五相似三角形的存在性问题(2021·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋32x ＋c(a≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点H ，当线段CM ＝CH 时，求点M 的坐标；【分析】 (1)第一利用对称轴公式求出a 的值，然后把点A 的坐标与a 的值代入抛物线的解析式，求出c 的值，即可确定出抛物线的解析式．(2)第一依照抛物线的解析式确定出点C 的坐标，再依照待定系数法，确定出直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2；然后设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)，求出MH 的值，再依照CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，可得MH ＝2EH ，据此求出m 的值是多少，再把m 的值代入抛物线的解析式，求出y 的值，即可确定点M 的坐标．【自主解答】(3)在(2)的条件下，将线段MG 绕点G 顺时针旋转一个角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，设线段MG 与抛物线交于点N ，在线段GA 上是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似？假如存在，要求出点P 的坐标；假如不存在，请说明理由．例5题图备用图【分析】 (3)第一判定出△ABC 为直角三角形，然后分两种情形：①当N1P1AC ＝P1G CB 时；②当N2P2BC ＝P2G CA 时，依照相似三角形的性质，判定出是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似即可．【自主解答】1．(2021·达州)如图，抛物线通过原点O(0，0)，点A(1，1)，点B(72，0)．(1)求抛物线解析式；(2)连接OA ，过点A 作AC ⊥OA 交抛物线于C ，连接OC ，求△AOC 的面积；(3)点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN ⊥OM 交x 轴于点N.问：是否存在点M ，使以点O 、M 、N 为顶点的三角形与(2)中的△AO C 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第1题图备用图2．(2021·德州)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m，n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以A P，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直截了当写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．图1 图2 图33．(2021·武汉)抛物线L：y＝－x2＋bx＋c通过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B，(1)直截了当写出抛物线L的解析式；(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1，求k的值；(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D. F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，同时符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．图1 图2类型六线段问题(2021·湘潭)如图，点P为抛物线y＝14x2上一点．(1)若抛物线y＝14x2是由抛物线y＝14(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移过程；(2)若直线l通过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M.①问题探究：如图1，在对称轴上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．②问题解决：如图2，若点Q 坐标为(1，5)，求QP ＋PF 的最小值．图1 图2【分析】 (1)找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．(2)①设出点P 坐标，利用PM ＝PF 运算BF ，求得F 坐标；②利用PM ＝PF ，将QP ＋PF 转化为QP ＋QM ，利用垂线段最短解决问题．【自主解答】1．(2021·红河州二模)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在如此的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出那个最大值；若不存在，请说明理由．2．(2021·宜宾)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且通过点(4，1)，如图，直线y ＝14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m ，n)为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)解： ∵Δ＝b2＋4a(a ＋b)＝b2＋4ab ＋4a2＝(b ＋2a)2， ∴当b ＋2a ＝0时，Δ＝0，图象与x 轴有一个交点；当b ＋2a ≠0时，Δ>0，图象与x 轴有两个交点；(2)解： ∵当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴图象不可能过点C(1，1)．∴函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)两点．代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －（a ＋b ）＝4，－（a ＋b ）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2， ∴该二次函数的表达式为y ＝3x2－2x －1.(3)证明： ∵点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，∴m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b>0，又a ＋b<0，∴(3a ＋b)－(a ＋b)>0，整理得2a>0，∴a>0.针对训练 1．解： (1)将(1，0)，(0，2)代入y ＝x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴那个函数的解析式为：y ＝x2－3x ＋2＝(x －32)2－14；把x ＝－2代入y ＝x2－3x ＋2得，y ＝12，∴y 的取值范畴是－14≤y ≤12.(2)∵点P(m ，n)在该函数的图象上，∴n ＝m2－3m ＋2，∵m ＋n ＝1，∴m2－2m ＋1＝0，解得m ＝1，n ＝0，∴点P 的坐标为(1，0)．2．解： (1)定义翻译：“同簇二次函数”即两个二次函数y1与y2的顶点坐标一样，且二次项系数的正负性相同．本题是开放题，答案不唯独，符合题意即可．如：y1＝2x2，y2＝x2，顶点坐标都为(0，0)，且二次项系数均为正数，故符合．(2)∵函数y1的图象通过点A(1，1)，则2－4m ＋2m2＋1＝1，解得m ＝1.∴y1＝2x2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴可设y1＋y2＝k(x －1)2＋1(k>0)，则y2＝k(x －1)2＋1－y1＝(k －2)(x －1)2.由题意可知函数y2的图象通过点(0，5)，则(k －2)×(－1)2＝5.∴k －2＝5.∴y2＝5(x －1)2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20.【一题多解】∵y1＋y2与y1是“同簇二次函数”，则y1＋y2＝(a ＋2)x2＋(b －4)x ＋8(a ＋2>0)． ∴－b －42（a ＋2）＝1，化简得：b ＝－2a ，又32（a ＋2）－（b －4）24（a ＋2）＝1，将b ＝－2a 代入其中，解得a ＝5，b ＝－10.∴y2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20.3．解： (1)∵y ＝(x －1)2＋2，∴抛物线上的点到x 轴的最短距离为2，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”为2；(2)不同意他的看法，理由如下：如解图，P 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x －1于Q ，设P(t ，t2－2t ＋3)，则Q(t ，t －1)，∴PQ ＝t2－2t ＋3－(t －1)＝t2－3t ＋4＝(t －32)2＋74，当t ＝32时，PQ 有最小值，最小值为74，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”为74，而过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，∴不同意他的看法；(3)M 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3上任意一点，如解图，作MN ∥y 轴交抛物线y ＝14x2＋c 于N ，设M(t ，t2－2t ＋3)，则N(t ，14t2＋c)， ∴MN ＝t2－2t ＋3－(14t2＋c)＝34t2－2t ＋3－c ＝34(t －43)2＋53－c ，当t ＝43时，MN 有最小值，最小值为53－c ，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为53－c ，∴53－c ＝23，∴c ＝1.4．解： (1)由顶点式可知，点M 坐标是(b ，4b ＋1)，∴把x ＝b 代入y ＝4x ＋1，得y ＝4b ＋1，∴点M 在直线y ＝4x ＋1上．(2)如解图1，∵直线y ＝mx ＋5与y 轴交于点B ，∴点B 坐标为(0，5)．又∵B(0，5)在抛物线上，∴5＝－(0－b)2＋4b ＋1，解得b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－(x －2)2＋9，∴当y ＝0时，得x1＝5，x2＝－1.∴A(5，0)观看图象可得，当mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1时，x 的取值范畴为x ＜0或x ＞5.图1 图2(3)如解图2，∵直线y ＝4x ＋1与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝215. ∴点E(45，215)，F(0，1)． ∵点M 在△AOB 内，∴1＜4b ＋1＜215，∴0＜b ＜45.当点C 、D 关于抛物线对称轴(直线x ＝b)对称时，b －14＝34－b ，∴b ＝12. 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上，综上：①当0＜b ＜12时，y1＞y2；②当b ＝12时，y1＝y2；③当12＜b ＜45时，y1＜y2.类型二【例2】 (1)由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－32，c ＝6，∴二次函数的表达式为y ＝－34x2－32x ＋6. (2)由A(－4，0)，E(0，－2)，可求得AE 所在直线解析式为y ＝－12x －2.如解图，过点D 作DF 与y 轴平行，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H.设D 点坐标为(x0，－34x02－32x0＋6)，则F 点坐标为(x0，－12x0－2)，则DF ＝－34x02－32x0＋6－(－12x0－2)＝－34x02－x0＋8.又S △ADE ＝S △ADF ＋S △EDF ，∴S △ADE ＝12·DF ·AG ＋12DF ·EH ＝12×4×DF＝2×(－34x02－x0＋8) ＝－32(x0＋23)2＋503，∴当x0＝－23时，△ADE 的面积取得最大值503.针对训练1．解： (Ⅰ)∵抛物线过点M(1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴y ＝ax2＋ax ＋b ＝ax2＋ax －2a ＝a(x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a 4)．(Ⅱ)∵直线y ＝2x ＋m 通过M(1，0)，∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2.把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，(*) ∴Δ＝(a －2)2－4a(－2a ＋2)＝9a2－12a ＋4，由(Ⅰ)知b ＝－2a ，又a<b ，因此a<0，b>0.因此Δ>0，因此方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点．(Ⅲ)把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，即x2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0， ∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2，解得x1＝1，x2＝2a －2，∴点N(2a －2，4a －6)．(ⅰ)依照勾股定理得， MN2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a2－60a ＋45＝20×(1a －32)2， ∵－1≤a ≤－12，由反比例函数性质知－2≤1a ≤－1，∴1a －32<0， ∴MN ＝25×(32－1a )＝35－25a ，∴55≤MN ≤7 5.(ⅱ)如解图，作直线x ＝－12交直线y ＝2x －2于点E.把x ＝－12代入y ＝2x －2得，y ＝－3，即E(－12，－3)．又∵M(1，0)，N(2a －2，4a －6)，且由(Ⅱ)知a<0，∴△QMN 的面积S ＝S △QEN ＋S △QEM ＝12|(2a －2)－1|·|－9a 4－(－3)|＝274－3a －27a 8.即27a2＋(8S －54)a ＋24＝0，(*)∵关于a 的方程(*)有实数根，∴Δ＝(8S －54)2－4×27×24≥0，即(8S －54)2≥(362)2，又∵a<0，∴S ＝274－3a －27a 8>274，∴8S －54>0，∴8S －54≥362，即S ≥274＋922，当S ＝274＋922时，由方程(*)可得a ＝－223满足题意，故当a ＝－223，b ＝423时，△QMN 面积的最小值为274＋922.2．解： (1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax(x －10)，∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．∴4＝a ×2×(2－10)，解得a ＝－14，∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x2＋52x ；(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB ＝10－2t ，当x ＝t 时，AD ＝－14t2＋52t.∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t2＋52t)] ＝－12t2＋t ＋20 ＝－12(t －1)2＋412，∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412；(3)当t ＝2时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(2，0)、(8，0)、(8，4)、 (2，4)，如解图，连接AC 、BD 交于点P ，抛物线与矩形ABCD 交于G 、H 两点，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)，当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，现在GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，现在GH 也不能将矩形面积平分．∴当G 、H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分，当点G 、H 分别落在线段AB 、DC 上时，直线GH 过点P ，必平分矩形ABCD 的面积．∵AB ∥CD ，∴线段OD 平移后得到的线段GH ，∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P ，在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ ＝12OB ＝4， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 3．解：(1)如解图，连接AC ，令y ＝a(x －1)(x －3)＝0，可得：x1＝1，x2＝3，∴OA ＝1，OB ＝3，∵△OCA ∽△OBC ，∴OC OB ＝OA OC ，∴OC2＝OA ·OB ＝1×3＝3，∴OC ＝ 3.(取正)(2)如解图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，则CD ∥OM ， ∴OD OB ＝MC BM ，∵点C 是BM 的中点，∴OD ＝12OB ＝32，∴CD ＝OC2－OD2＝（3）2－（32）2＝32，∴C 点坐标为(32，－32)，设yBM ＝kx ＋b ，将B ，C 两点的坐标代入得： ⎩⎨⎧3k＋b ＝0，32k ＋b ＝－32，解得：⎩⎨⎧k ＝3b ＝－3，∴直线BM 的解析式为：y ＝33x －3，将点C(32，－32)代入y ＝a(x －1)(x －3)得：a(32－1)(32－3)＝－32，解得：a ＝233，∴抛物线的解析式为：y ＝233×(x －1)(x －3)＝233x2－833x ＋2 3.(3)存在点P ，使得四边形ABPC 面积最大．如解图，∵S 四边形ABPC ＝S △ABC ＋S △BPC ，S △ABC 是常量，S △BPC 的面积随点P 的位置变化而变化，∴向下平移直线BM ，当平移后的直线B ′M ′和抛物线y ＝233x2－833x ＋23有唯独公共点时，四边形ABPC 面积最大，设直线B ′M ′的解析式为：y ＝33x －3－m ，代入y ＝233x2－833x ＋23得： 33x －3－m ＝233x2－833x ＋23， 233x2－33x ＋33＋m ＝0，① 由题意可得：Δ＝(－33)2－4×233×(33＋m)＝0，解得：m ＝338，方程①变为：233x2－33x ＋2738＝0，解得：x1＝x2＝94，将x ＝94代入y ＝233x2－833x ＋23得： y ＝233×(94)2－833×94＋23＝－538，∴存在点P 使得四边形ABPC 面积最大，现在点P 的坐标为(94，－538)．4．解： (1)设抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2＋4，把点E(0，3)代入得a(0－1)2＋4＝3，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4＝－x2＋2x ＋3；(2)存在．如解图1，点E 关于对称轴直线x ＝1的对称点为E ′(2，3)，设过E ′，F 的直线表达式为y ＝mx ＋n ，把E ′、F 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－3， ∴直线E ′F 的表达式为y ＝3x －3，把x ＝1代入，得y ＝0，∴点G 的坐标为(1，0)；(3)要使MN 最大，即要使△ABN 面积最大，连接AN ，过N 作NH ⊥x 轴，交直线AB 于点H ，交x 轴于点K ，如解图2.在y ＝－x2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即B(3，0)，过A(1，4)，B(3，0)两点的直线表达式为y ＝－2x ＋6，设N(t ，－t2＋2t ＋3)，则H(t ，－2t ＋6)，∴NH ＝－t2＋4t －3，∵MN ⊥AB ，∴当MN 最大时，S △ABN 最大，又∵S △ABN ＝S △ANH ＋S △BHN ＝12NH ·|xB －xA|＝12NH ·2＝NH ，当NH 最大时，△ABN 面积最大，NH ＝－t2＋4t －3＝－(t －2)2＋1，当t ＝2时，NH 最大，∴N(2，3)．过点A 作AQ ⊥x 轴，垂足为Q ，明显AQ 在抛物线的对称轴上， ∴AQ ＝4，OQ ＝1，BQ ＝BO －OQ ＝3－1＝2.在Rt △AQB 中，由勾股定理得AB ＝2 5.设直线PN 交x 轴于点D ，∵PN ⊥AB ，∴∠BMD ＝90°，∴∠ABD ＋∠BDN ＝90°.∵NH ⊥x 轴，∴∠DKN ＝90°，∴∠DNK ＋∠BDN ＝90°，∴∠ABD ＝∠DNK.在△ABQ 和△DNK 中，∠AQB ＝∠DKN ＝90°，∠ABD ＝∠DNK ，∴△ABQ ∽△DNK ，∴AQ DK ＝BQ NK ，∴4DK ＝23，∴DK ＝6，∴DO ＝DK －OK ＝6－2＝4，∴D(－4，0)．设直线PN 的表达式为y ＝kx ＋c ，把点D(－4，0)，N(2，3) 代入得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋c ＝0，2k ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝12，c ＝2， ∴直线PN 的表达式为y ＝12x ＋2，与y 轴交点P 的坐标为(0，2)，∴S △PON ＝12×2×2＝2.图1 图2类型三【例3】解：(1)由对称性得：A(－1，0)，设抛物线的解析式为：y ＝a(x ＋1)(x －2)，把C(0，4)代入解析式得：4＝－2a ，a ＝－2，∴y ＝－2×(x ＋1)(x －2)，∴抛物线的解析式为：y ＝－2x2＋2x ＋4；(2)如解图1，设点P(m ，－2m2＋2m ＋4)，过P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，∴S 四边形COBP ＝S 梯形ODPC ＋S △PDB＝12m(－2m2＋2m ＋4＋4)＋12×(－2m2＋2m ＋4)(2－m)，S ＝－2m2＋4m ＋4＝－2×(m －1)2＋6，∵－2＜0，∴S 有最大值，则S 最大＝6；图1 图2(3)存在如此的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形，理由是：分以下两种情形：①当∠BQM ＝90°时，如解图2：∵∠CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ.设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b(k ≠0)，把B(2，0)，C(0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝4， ∴直线BC 的解析式为：y ＝－2x ＋4，设M(m ，－2m ＋4)，则MQ ＝－2m ＋4，OQ ＝m ，BQ ＝2－m ，在Rt △OBC 中，BC ＝OB2＋OC2＝22＋42＝25，∵MQ ∥OC ，∴△BMQ ∽△BCO ， ∴BM BC ＝BQ BO ，即BM 25＝2－m 2， ∴BM ＝5×(2－m)＝25－5m ，∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m)＝5m ， ∵CM ＝MQ ，∴－2m ＋4＝5m ，m ＝45＋2＝45－8， ∴Q(45－8，0)．②当∠QMB ＝90°时，如解图3，由①得，QM ＝CM ＝5m ，BM ＝25－5m ，∵△QMB ∽△COB ，∴QM CO ＝BM OB ＝QB CB ，∴5m 4＝25－5m 2＝QB 25， ∴m ＝43，∴QB ＝103，∴OQ ＝103－2＝43，∴Q(－43，0)，综上所述，Q 点坐标为(45－8，0)或(－43，0)．针对训练1．解： (1)∵二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－14，c ＝4， ∴抛物线表达式为y ＝－14x2＋32x ＋4；(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：令y ＝0，则－14x2＋32x ＋4＝0，解得x1＝8，x2＝－2，∴点B 的坐标为(－2，0)，在Rt △ABO 中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，在Rt △AOC 中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80，又∵BC ＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，∴在△ABC 中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC ＝42＋82＝45， ①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(－8，0)；②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)；③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(3，0)，综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－8，0)、(8－45，0)、(3，0)、(8＋45，0)．2．解： (1)设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋2)2－8，把A(－6，0)代入得a(－6＋2)2－8＝0，解得a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋2)2－8，即y ＝12x2＋2x －6； (2)如解图，当x ＝0时，y ＝12x2＋2x －6＝－6，则C点坐标为(0，－6)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(－6，0)，C(0，－6)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝0，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－6， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x －6，设P(x ，12x2＋2x －6)(－6＜x ＜0)，则E(x ，－x －6)， ∴PE ＝－x －6－(12x2＋2x －6)＝－12x2－3x ＝－12(x ＋3)2＋92，当x ＝－3时，PE 的长度有最大值，最大值为92，现在P 点坐标为(－3，－152)；(3)存在．抛物线的对称轴为直线x ＝－2，设M(－2，t)，∵A(－6，0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72，AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t ＋6)2，当AC2＋AM2＝CM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t ＋6)2，解得t ＝4，现在M 点坐标为(－2，4)；当AC2＋CM2＝AM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2)2＋(t ＋6)2＝(－2＋6)2＋t2，解得t ＝－8，现在M 点坐标为(－2，－8)；当CM2＋AM2＝AC2，△ACM 为直角三角形，即(－2＋6)2＋t2＋(－2)2＋(t ＋6)2＝72，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17，现在M 点坐标为(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．综上所述，M 点的坐标为(－2，4)或(－2，－8)或(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．3．解： (1)抛物线过点B(6，0)，C(－2，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －6)(x ＋2)，将点A(0，6)代入，得：－12a ＝6，解得：a ＝－12，因此抛物线解析式为y ＝－12(x －6)(x ＋2)＝－12x2＋2x ＋6；(2)如解图1，过点P 作PM ⊥OB 于点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，将A(0，6)，B(6，0)代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，6k ＋b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝6，则直线AB 解析式为y ＝－x ＋6，设P(t ，－12t2＋2t ＋6)，其中0<t<6，则N(t ，－t ＋6)，∴PN ＝PM －MN ＝－12t2＋2t ＋6－(－t ＋6)＝－12t2＋2t ＋6＋t －6＝－12t2＋3t ，∴S △PAB ＝S △PAN ＋S △PBN＝12PN ·(AG ＋BM) ＝12PN ·OB＝12×⎝⎛⎭⎪⎫－12t2＋3t ×6 ＝－32t2＋9t ＝－32(t －3)2＋272；∴当t ＝3时，△PAB 的面积有最大值，即点P 运动到(3，152)；(3)如解图2，∵PH ⊥OB 于H ，∴∠DHB ＝∠AOB ＝90°，∴DH ∥AO ，∵OA ＝OB ＝6，∴∠BDH ＝∠BAO ＝45°，∵PE ∥x 轴，PD ⊥x 轴，∴∠DPE ＝90°，若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP ＝45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即P 点E 与点A 重合，则当y ＝6时，－12x2＋2x ＋6＝6，解得x ＝0(舍)或x ＝4.即点P(4，6)．类型四【例4】解：(1)直线l ：y ＝13x －43与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标是(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.∴－－32a ＝32，解得a ＝1，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x ＋c ，代入点A 坐标，得出42－3×4＋c ＝0，解得c ＝－4，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x －4.(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，直线l 解析式是：y ＝13x －43，∴直线m 的解析式是y ＝13x ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，设点P 坐标是(p ，13p)(p ＞0)， ∴PC ＝OB ＝p ，PB ＝13p ，点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且P E ＝13PF ， ∴∠PBE ＝∠PCF ＝90°，PE PF ＝PB PC ＝13，∴Rt △PEB ∽Rt △PFC.∴∠FPC ＝∠EPB ，而PC ⊥PB ，∠CPB ＝90°，∴∠FPE ＝∠FPC ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠EPB ＝90°，∴PE ⊥PF.(3)当(2)中的点P 坐标为(6，2)，则B(6，0)，设点E 的坐标是(a ，0)，①当PE ⊥PF 时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，∴PB ＝2，BE ＝6－a ，PC ＝6.当点E 在点B 的左侧时，点F 一定在点C 的上方，即是a ＜6时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝6－a CF ，得出CF ＝18－3a.∴F(0，20－3a)，设Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．当四边形PEQF 是矩形时，xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ，得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4与8，∵a ＜6，∴只取a ＝4，则a －6＝－2，18－3a ＝6.∴点Q 坐标是(－2，6)．②当点E 在点B 的右侧时，如解图．设E(a ，0)，已知P(6，2)，点F 在点C 的下方，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝a －6CF ，得出CF ＝3a －18.∴F(0，2－3a ＋18)，∴F(0，20－3a)，设点Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ，得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4(舍)与8，∴当a ＝8，点Q 坐标是(2，－6)，∵当x ＝2时，y ＝x2－3x －4＝－6，符合题意．综合所述，符合题意的点Q 坐标分别是(－2，6)与(2，－6)．针对训练1．解： (1)∵直线y ＝x －5交x 轴于点B ，交y 轴于点C ， ∴B(5，0)，C(0，－5)．∵抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 过点B ，C ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a ＋30＋c ，－5＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－5， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x2＋6x －5.(2)∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线y ＝－x2＋6x －5交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝22， ∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝22，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD ＝2PQ ＝4.设P(m ，－m2＋6m －5)，则D(m ，m －5)．分两种情形讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝－m2＋6m －5－(m －5)＝－m2＋5m ＝4，∴m1＝1(舍去)，m2＝4(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝m －5－(－m2＋6m －5)＝m2－5m ＝4， ∴m1＝5＋412，m2＝5－412. 综上，点P 的横坐标为4或5＋412或5－412. ②M(136，－176)或(236，－76)． 2．解： (1)抛物线y ＝x2＋bx ＋c 通过原点和点(－33，0)，可得抛物线解析式为：y ＝(x ＋33)x ，即y ＝x2＋33x ； (2)直线y ＝33x ＋m 与抛物线y ＝x2＋33x 相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，且点A 在第二象限，联立可得： ⎩⎨⎧y ＝33x ＋m ，y ＝x2＋33x ， ∴x2＝m ，∴x1＝－m ，x2＝m ， ∴x2－x1＝2m ，∵y1＝33x1＋m ，y2＝33x2＋m ， ∴y2－y1＝33x2＋m －33x1－m ＝33(x2－x1)＝23m 3；(3)①若m ＝43，则直线为y ＝33x ＋43，与x 交点M(－433，0)，与y 轴交点N(0，43)， ∴tan ∠MNO ＝OM ON ＝433×34＝3，∴∠MNO ＝60°，又可得直线y ＝33x ＋43与抛物线y ＝x2＋33x 的交点A 和B 的横坐标为：xA ＝－m ＝－233，xB ＝233，∴A(－233，23)，B(233，2)，∴A 为MN 中点，在Rt △MON 中，OA ＝AN ，∴∠NAO ＝∠AON ＝∠ANO ＝60°，∵点A 关于原点的对称点为A ′(233，－23)，∴xA ′＝xB ，∴BA ′∥y 轴，∴∠ABA ′＝∠MNO ＝60°，∴△ABA ′为等边三角形．②存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，证明如下：∵BA ′∥y 轴，∴当四边形P1AA ′B 是菱形时，如解图，AP1＝A ′B ＝2－(－23)＝83，∵点yA ＝23，∴yP1＝103，∴P1(－233，103)，同理，当四边形P2ABA ′是菱形时，P2(－233，－2)，当四边形ABP3A ′是菱形时，点P 和点A 关于直线BA ′对称，∴P3(23，23)．综上，存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，P 点坐标为： P1(－233，103)，P2(－233，－2)，P3(23，23)．3．解： (1)设抛物线解析式为：y ＝a(x －1)2＋4(a ≠0)．∵抛物线过C(0，3)，∴a ＋4＝3，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x2＋2x ＋3；(2)B(3，0)，C(0，3)．∴直线BC 为y ＝－x ＋3.∵S △PBC ＝S △QBC ，∴PQ ∥BC.①如解图1，过P 作PQ ∥BC 交抛物线于Q ，∵P(1，4)，∴直线PQ 为y ＝－x ＋5. 联立直线PQ 和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，y1＝4；或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2，y2＝3，∴Q1(2，3)． ②如解图1，设抛物线的对称轴交BC 于点G ，交x 轴于点H ，G(1，2)，∴PG ＝GH ＝2.过点H 作Q2Q3∥BC 交抛物线于Q2，Q3.直线Q2Q3为y ＝－x ＋1. ∴联立直线Q2Q3和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎨⎧x1＝3＋172，y1＝－1－172， ⎩⎨⎧x2＝3－172，y2＝－1＋172. ∴Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)，综上所述，满足条件的点为Q1(2，3)，Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)． (3)存在满足条件的点M ，N.如解图2，过M 作MF ∥y 轴，过N 作NF ∥x 轴交MF 于点F ，过N 作NH ∥y 轴交BC 于H.则△MNF 与△NEH 差不多上等腰直角三角形．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 为y ＝－x ＋b. ∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x2＋2x ＋3， ∴x2－3x ＋(b －3)＝0.∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF 等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.又∵NH2＝(b －3)2，∴NE2＝12(b －3)2.∵四边形MNED 为正方形，∴NE2＝MN2，∴42－8b ＝12(b2－6b ＋9)．∴b2＋10b －75＝0，∴b1＝－15，b2＝5.∵正方形边长为MN ＝42－8b ，∴MN ＝92或 2.4．解： (1)令y ＝0，则ax2－2ax －3a ＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A 在点B 的左侧，∴A(－1，0)，如解图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴DF ∥OC ，∴OF OA ＝CD AC ，∵CD ＝4AC ，∴OF OA ＝CD AC ＝4，∵OA ＝1，∴OF ＝4，∴D 点的横坐标为4，代入y ＝ax2－2ax －3a 得，y ＝5a ，∴D(4，5a)，把A 、D 坐标代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝04k ＋b ＝5a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a b ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a.(2)如解图2，过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H ，设E(x ，ax2－2ax －3a)，则H(x ，ax ＋a)．∴HE ＝(ax ＋a)－(ax2－2ax －3a)＝－ax2＋3ax ＋4a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋a y ＝ax2－2ax －3a 得x ＝－1或x ＝4，即点D 的横坐标为4，∴S △ADE ＝S △AEH ＋S △DEH ＝12×(4＋1)×(－ax2＋3ax ＋4a)＝－52a(x －32)2＋1258a ， ∴△ADE 的面积的最大值为1258a.∴1258a ＝254，解得：a ＝25，∴抛物线的函数表达式为y ＝25x2－45x －65.(3)已知A(－1，0)，D(4，5a)．∵y ＝ax2－2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为x ＝1，设P(1，m)，①若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴左侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)，∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a2＝17，∵a ＞0，∴a ＝77，∴P1(1，2677)．②若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴右侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(4，5a)，现在点Q 与点D 重合，不符合题意，舍去；③若AD 是矩形的一条对角线，则AD 与PQ 互相平分且相等． ∴xD ＋xA ＝xP ＋xQ ，yD ＋yA ＝yP ＋yQ ，∴xQ ＝2，∴Q(2，－3a)．∴yP ＝8a ，∴P(1，8a)．∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a2＝14，∵a ＞0，∴a ＝12，∴P2(1，4)，综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为(1，2677)或(1，4)．类型五【例5】解：(1)∵x ＝－b 2a ＝32，b ＝32，∴a ＝－12，把A(4，0)，a ＝－12代入y ＝ax2＋32x ＋c ，可得(－12)×42＋32×4＋c ＝0，解得c ＝2，∴抛物线解析式为y ＝－12x2＋32x ＋2.(2)如解图1，连接CM ，过C 点作CE ⊥MH 于点E ， ∵y ＝－12x2＋32x ＋2，∴当x ＝0时，y ＝2，∴C 点的坐标是(0，2)，设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，把A(4，0)、C(0、2)代入y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2，解得：⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝2， ∴直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2， ∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴，∴设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)， ∴MH ＝－12m2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－12m2＋2m ，∵CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，。

高中数学高考考点专项复习及答案4 二次函数与一元二次方程、不等式

考点规范练4 二次函数与一元二次方程、不等式1.(2021河北邢台高三检测)已知不等式x 2-5x+a<0的解集是{x|2<x<b },则实数a 等于( )A.-14B.-3C.3D.6答案D解析∵x 2-5x+a<0的解集是{x|2<x<b },∴2和b 是方程x 2-5x+a=0的解. 由根与系数的关系知{2+b =5,2b =a ,解得{b =3,a =6. 2.不等式x -12x+1≤0的解集为( ) A.{x |-12<x ≤1} B.{x |-12≤x ≤1} C.{x |x <-12,或x ≥1}D.{x |x ≤12,或x ≥1}答案A解析由x -12x+1≤0,转化为{(x -1)(2x +1)≤0,2x +1≠0, 解得{-12≤x ≤1,x ≠-12,故-12<x ≤1. 3.(多选)下列四个不等式中,解集为⌀的是( )A.-x 2+x+1≤0B.2x 2-3x+4<0C.x 2+3x+10≤0D.-x 2+4x-(a +4a)>0(a>0) 答案BCD解析对于选项A,-x 2+x+1≤0对应的函数y=-x 2+x+1的图象开口向下,显然解集不为⌀;对于选项B,2x 2-3x+4<0对应的函数y=2x 2-3x+4的图象开口向上,由于Δ=9-32<0,故其解集为⌀; 对于选项C,x 2+3x+10≤0对应的函数y=x 2+3x+10的图象开口向上,由于Δ=9-40<0,故其解集为⌀; 对于选项D,-x 2+4x-(a +4a )>0(a>0)对应的函数y=-x 2+4x-(a +4a)(a>0)的图象开口向下,由于Δ=16-4(a +4a )≤16-4×2√a ×4a =0,故其解集为⌀.4.若集合A={x|ax 2-ax+1<0}=⌀,则实数a 的取值范围是( )A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a ≤4}D.{a|0≤a ≤4}答案D解析当a=0时,满足条件. 当a ≠0时,由集合A={x|ax 2-ax+1<0}=⌀,可知{a >0,Δ=a 2-4a ≤0,得0<a ≤4. 综上,可知0≤a ≤4.5.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B.若关于x 的不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( )A.-3B.1C.-1D.3答案A解析由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A ∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,所以a+b=-3.6.已知关于x 的不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集是R ,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-35)∪(1,+∞)B.(-35,1)C.[-35,1]D.(-35,1] 答案D解析当a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;当a ≠±1时,由关于x 的不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集为R ,可知{a 2-1<0,(a -1)2+4(a 2-1)<0,解得-35<a<1. 综上,-35<a ≤1. 7.某商场若将进货单价为8元的某商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.若要保证每天所赚的利润在320元以上,则销售价每件应( )A.为12元B.为16元C.大于12元小于16元D.大于10元小于14元答案C解析设销售价定为每件x 元,利润为y 元,则y=(x-8)[100-10(x-10)].依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x 2-28x+192<0,解得12<x<16.所以每件销售价应大于12元小于16元.8.(2021福建宁德高三检测)已知a ∈Z ,关于x 的一元二次不等式x 2-6x+a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a 的值之和是 .答案21解析设f (x )=x 2-6x+a ,其图象为开口向上、对称轴是直线x=3的抛物线,如图所示.若关于x 的一元二次不等式x 2-6x+a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则{f (2)≤0,f (1)>0,即{22-6×2+a ≤0,12-6×1+a >0,解得5<a ≤8.又a ∈Z ,故所有符合条件的a 的值为6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.9.若对一切x ∈(0,2],不等式(a-a 2)(x 2+1)+x ≤0恒成立,则a 的取值范围是 .答案(-∞,1-√32]∪[1+√32,+∞) 解析∵x ∈(0,2], ∴a 2-a ≥x x 2+1=1x+1x . 要使a 2-a ≥1x+1x 在区间(0,2]上恒成立,则a 2-a ≥(1x+1x)max . ∵x>0,∴由基本不等式得x+1x ≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即(1x+1x )max =12, 故a 2-a ≥12,解得a ≤1-√32或a ≥1+√32.10.解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax (a ≤0).解原不等式可化为ax 2+(a-2)x-2≥0.①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x ≤-1. ②当a<0时,原不等式化为(x -2a )(x+1)≤0. 当2a >-1,即a<-2时,解得-1≤x ≤2a ;当2a =-1,即a=-2时,解得x=-1;当2a <-1,即-2<a<0时,解得2a ≤x ≤-1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x ≤-1}; 当-2<a<0时,不等式的解集为{x |2a ≤x ≤-1};当a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1};当a<-2时,不等式的解集为{x |-1≤x ≤2a }.。

小学数学小升初复习(通用版)专项四式与方程精选考题提分(附参考答案)

专项四式与方程精选考题提分班级：姓名：一、仔细填空。

1.张师傅加工一批零件，他每天加工x 个，20天后还剩下y 个没有加工，这批零件共有( )个。

2.果果今年x 岁，姐姐今年y 岁，经过a 年后，两人相差( )岁。

3.一根绳子长a 米，如果用去27米，还剩下( )米；如果用去它的27，还剩下( )米。

4.加工一批零件，合格m 个，不合格n 个，这批零件的合格率是( )。

5.一种食用油，原来每升的售价为a 元，现在由于成本提高，单价提高了25%，现在这种食用油每升的售价是( )元。

如果a =20，原来买10升的钱，现在能买( )升。

6.下面的几何体都是用小正方体堆放而成的。

照这样的规律，第4个几何体是用( )个小正方体堆放而成的；第n 个几何体是用( )个小正方体堆放而成的。

二、慎重选择。

7.一个等腰三角形的顶角是x ∘，它的一个底角是( )。

A.x ∘ B.180∘−x ∘÷2 C.180∘−x ∘D.(180∘−x ∘)÷28.下面不能用方程“13x+x=60”来表示的是( )。

A. B.C. D.9.解方程或比例。

(1)45×14−12x=120(2)(14x−1.25)÷4=0.75(3)1.6x =22.428(4)160%x+x=13510.看图编一道实际问题并列方程解答。

三、列方程解决问题。

11.长江是中国第一长河，流域总面积约为180万平方千米；黄河是中国第二长河，流域总面多346.4千米，且长江约比黄河长933千米，积约为80万平方千米。

已知黄河的长度约比长江的45长江和黄河分别约长多少千米？12.李华看一本书。

目前他已看页数与未看页数的比是2∶3，如果再看20页，正好看完这本书的60%，这本书有多少页?参考答案1.【答案】20x+y2.【答案】y−x【解析】不管经过多少年，姐姐和果果的年龄差不变，因此这里的a年后是多余条件。

3.【答案】a−27；57a4.【答案】m÷(m+n)×100%5.【答案】1.25a；86.【答案】13；4n−37.【答案】D8.【答案】D9.【答案】(1)4 5×14−12x=120解：15−12x=12012x=15−12012x=3 20x=310(2)(14x−1.25)÷4=0.75解：0.25x−1.25=0.75×40.25x−1.25=30.25x=4.25x=17 (3)1.6 x =22.428解：22.4x=28×1.622.4x=44.8x=2(4)160%x+x=135解：1.6x+x=1.6 2.6x=1.6x=81310.【答案】编写问题不唯一，如：学校体育室买来篮球和足球共220个，其中篮球的个数是足球的3倍，买来足球多少个？解：设买来足球x个，则买来篮球3x个。

小学四年级方程练习题及答案大全-四年级方程大全及答案

小学四年级方程练习题及答案大全1、写解2、等号对齐3、根据等式的性质两边同时加减乘除相同的数。

4、注意检验一、含有加减关系的方程。

X+8=13+X=3 X-16=4 Y-1.5=3..6+X=5.1 X-1.5=3.8二、含有乘除关系的方程。

5X=3X=X/4=1 X/1.3=3. 1.2X=7. X/3=15三、含有加减乘、除关系的方程。

3X+18=51 0.8X-6=4X+18=5-8=40 X+0.6=2.0.2X-2.3=3.7四、含有两个未知数的方程。

6X+X=5X+2X=4.X-3X=3.X-X=4.X+3X=8.1 .8X-3.3X=13.5五、其他类型。

5X+25*6=30X+14*2=60 X+25*4=18 1.5X-0.5*13=2.518X-4*9=36解方程练习x-6*5=414X-8X=1*5+2X=420X-50=5028+6X=882-22X=10 4-3X=310X*=6099X=100-X X+3=1 X-6=1256-2X=204y+2=x+32=76x+6=1 16+8x=402x-8=8x-3*9=2x-3x=10X+5X=48x+5=72x+3=10 12x-9x=x+18=4856x-50x=30x=18-5x=22y-29=35x+5=189x-9=80 100-20x=2055x-25x=6076y-75=1 3y-23=2x-20=0 0y+20=10053x-90=1x+9x=11 12y-12=2480+5x=1007x-8=65x+35=100 19y+y=40 5-5x=1579y+y=80x+28x=140x-1=0y-90=9080y-90=70y+2y=16088-x=809-4x=120x=405y-30=100 1y-y=100 5y+1=8645x-50=40 X +=0.7X +0.2X =.66X＋5=13.42X-1X=310X－6＝3X+37X=1 X*=13125X－2.4*5＝0.36×5-x = =1x- 0.25x = 10x- 0.8x = 16+0 x-8.5= 1.5X＋0.25X=90 X－3X=9 3X+5X=4814X-8X=126*5+2X=420X-50=508+6X=8832-22X=10 4-3X=310X*=60 9X=100-XX+3=1 X-6=126-2X=20 y+2=63x+6=116+8x=402x-8=84x-3*9=298x-3x=10x-6*5=4x+5+19x+3=1012x-9x=96x+18=486x-50x=30 x=158-5x=2832y-29=35x+5=19x-9=80 100-20x=20 5x-25x=6076y-75=123y-23=2x-20=080y+20=100 3x-90=162x+9x=1112y-12=2480+5x=100x-8=665x+35=100 19y+y=4025-5x=19y+y=802x+28x=140x-1=890y-90=9080y-90=70y+2y=160 -4x=14-3x=3x+5x=4865y-30=10051y-y=1005y+1=865x-50=403x+5x=4814x—8x=14-3x=x+18=20 x-8=84y+2=3x+6=18+6x=385x+8x=260y+5y=963x-1=0x-50=50 -4x=123y+y=8x+5=174x-20=x+5=154y+2=6x+3=10 19y+y=402x-8=89x-9=80 x＋8x=260x÷3=4.6＋5.65x＋15=651.2x=480.5x－4=2 m÷0.7=1.21、一个长方形的周长为9.8厘米，已知长比宽多0.5厘米。

四年级数学下册《解方程》专项复习试卷及答案

四年级数学下册《解方程》专项复习试卷及答案1.一、填一填1.6只兔子24条腿，x只兔子4x条腿；2.晚上的温度是(x+12-b)℃；3.一条裤子(65+a)元；4.每个小组有(a÷8)名同学；5.3分后，速度减少了(3a)千米/分；5分后的速度为(35-5a)千米/分；6.下一次举办是(a+4)年；7.前一年共发送旅客(29.7-a)亿人次；8.一共需要布辣椒(18a+8a)个；9.300-3x；10.周长是(5a+4)；11.x-6=1；2.二、辨一辨1.√；2.√；3.×；4.×；5.√；3.三、选一选1.C；2.A；3.B；4.B；5.D；4.四、我会按要求解决略。

1.每次输入的“？”等于多少？共6分2.解方程，共18分8x - 0.2 = 15.8解：8x = 16x = 2y - 420 = 106解：y = 5263a + 7.5 = 10.5解：3a = 3a = 1x ÷ 3 = 21解：x = 635x - 19 × 2 = 23解：5x = 40x = 83.看图列方程并求解，共9分4.走进方程，解决问题，用方程解答，共30分1.解：设黄河长约x千米；x + 836 = 6300x = 54642.地球上一昼夜是1440分，恰好是“神舟”十一号宇航员在太空中度过一昼夜的16倍；“神舟”十一号宇航员在太空中度过一昼夜是多少分？解：一昼夜 = 1440分太空中一昼夜 = 16 × 1440 = 分3.人造地球卫星脱离地球后环绕太阳运行的速度是每秒11.2千米，比人造地球卫星环绕地球运行的速度每秒多3.3千米；人造地球卫星环绕地球运行的速度是每秒多少千米？解：环绕太阳的速度 = 环绕地球的速度 + 3.311.2 = v + 3.3v = 7.9千米/秒4.一批货物共1800千克，一辆小卡车运了3次后还剩300千克没运走，小卡车平均每次运多少千克？解：每次运的千克数 = (1800 - 300) ÷ 3 = 500千克/次。

四年级数学方程专项练习题

四年级数学方程专项练习题在四年级数学学习中，方程是一个重要的概念。

掌握方程的解题方法和技巧对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力很有帮助。

本文将为四年级学生提供一些方程的专项练习题，帮助他们巩固和提高解方程的能力。

1. 一位农夫有10头牛和7个小猪，它们一共有多少腿？
2. 小明买了4个汽球和3支笔，一共花了13元。

如果每个汽球的价格是2元，每支笔的价格是3元，问小明花了多少钱买了多少个汽球？
3. 一个三位数的个位数和百位数之和是12，十位数是3，这个三位数是多少？
4. 小红从家里到学校的路上骑自行车，第一天花了20分钟，速度是10km/h。

第二天花了15分钟，速度是多少km/h？
5. 小明和小强在一起有16个水果，其中小明有5个苹果，小强有多少个水果？
以上就是一些适合四年级学生做的数学方程练习题。

通过解答这些题目，学生可以巩固对方程的理解和运用技巧。

希望这些练习题能够帮助学生提升数学解题能力，更好地应对日常学习和考试。

祝愿学生们在数学学习中取得更大的进步！。

小升初数学知识点专项训练4式与方程

小升初数学知识点专项训练4式与方程式与方程是数学中的重要概念，也是解决问题的重要方法。

在小升初数学中，式与方程的学习是数学学习的基础，掌握好这些知识点对于学好数学非常重要。

下面是关于式与方程的相关知识点的专项训练，帮助孩子们巩固与拓展自己的数学知识。

一、选择题1.已知x=3，那么2x+1=？A.6B.7C.8D.92.若a=3，b=5，c=2，则a+b×c=？A.11B.17C.13D.213.解方程：2x+3=7A.x=5B.x=4C.x=3D.x=24.方程3x-6=15的解为：A.x=3B.x=7C.x=13D.x=95.方程4y+2=10的解为：A.y=10B.y=2C.y=8D.y=5二、填空题1.若a=5，b=3，则2a+b=？2.一件商品原价是80元，现在打8折出售，售价是多少？3.解方程：4x-3=94.解方程：2y+7=155.解方程：7z-5=16三、解答题1.解方程：5x+4=192.解方程：3y-2=10四、应用题1.一件商品原价是100元，现在打6折出售，售价是多少？2.小明身上有20元钱，他买了一本书，还剩下8元，这本书的价格是多少？五、综合题一批商品的原价是2000元，现在打7折出售，同时又打折券可以再打8折，最终售价是多少？以上是小升初数学中关于式与方程的相关知识点的专项训练题目，通过这些题目的训练可以加深对这些知识点的理解，并提高解决问题的能力。

只有不断地练习，才能夯实基础，提高自己的数学水平。

希望孩子们能够认真对待这些题目，并通过反复训练去掌握好这些知识点。

祝孩子们在数学学习中取得好成绩！。

专项复习四方程型综合题(含答案)-

综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点．综合题所考查的内容涉及初中代数或几何中若干不同的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运用数学知识解决问题的能力．在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也有一定程度的创新．专题四方程型综合题【简要分析】方程是贯穿初中代数的一条知识主线．方程型综合题也是中考命题的热点，中考中的方程型综合题主要有两类题：一类是与地、一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题，另一类是与几何相结合的问题．【典型考题例析】例1：已知关x 的一元二次方程 230x x m +-=有实数根．（1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为1x 和2x ，且1x x +221211x x +=求m 的值．（2005年安徽省六安市中考题）分析与解答本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等．（1）由题意，△≥0，即94m +≥0．解得94m ≥-．（2）由根与系数的关系，得12123,x x x x m +=-=-．∴222121212()292x x x x x x m +=+-=+．∴9211m +=．∴1m =．例２：已知关于x 的方程2(2)20a x ax a +-+=有两个不相等的实数根1x 和2x ，并且抛物线2(21)25y x a x a =-++-与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．（1）求实数a 的取值范围．（2）当12x x +=时，求a 的值．（2005年北京市中考题）分析与解答本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程桶的判别式、桶与系数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等．（1）一方面,关于x 的方程2(2)20a x ax a +-+=有两个不相等的实数根，∴△=2(2)4(2)020a a a a --+>+≠且．解之，得0a <≠且a -2．另一方面，抛物线2(21)25y x a x a =-++-与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，且开口向上，∴当2x =时0y <，即42(21)250a a -++-<，解得32a <-．综合以上两面，a 的取值范围是302a -<< （2）∵1x 、2x 是关于x 的方程2(2)20a x ax a +-+=的两个不相等的实数根， ∴12122,22a ax x x x a a +==++． ∵302a -<<，∴20a +>，∴1202a x x a =<+． ∵128x x +=，∴22112228x x x x ++=，即∴22112228x x x x -+=，∴21212()48x x x x +-=．∴224()822a aa a -=++，解得124,1a a =--．经检验，124,1a a =--都是方程224()822a aa a -=++的根． ∵342a =-<-舍去，∴1a =-．说明运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△≥0．例3：如图2-4-18，090B ∠=，O 是AB 上的一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．若AD=AB 的长是关于x 的方程280x x k -+=的两个实数根．（1）求⊙O 的半径．（2）求CD 的长．（2005年重庆市中考题）分析与解答本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识．（1）∵AD 是⊙O 的切线，∴2AD AE AB =⋅．图2-4-18CA又AD =12AE AB =g ．∵AE 、AB 的长是方程280x x k -+=的两个实数根， ∴AE AB k =g ，∴12k =，把12k =代入方程280x x k -+=，解得122,6x x ==．∴AE=2，AB=6．∴⊙O 的半径为1()22AB AE -= （2）∵CB ⊥AB ，AB 经过圆心O ，∴CB 切⊙O 于点B ，∴CD=CB ．在Rt △ABC 中，设CD x =，由勾股定理得222AB BC AC +=，∴2226)x x +=，解得x =CD =【提高训练】 1．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一矩形两邻边的长．（1）k 取何值时，方程有两个实数根？（2k 的值．（2005年湖北省荆门市中考题）2．已知关于x 的方程222(1)230x m x m m -++--=的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k ，使关于x 的方程22()520x k m x k m m ----+-=的两个实数根1x 、2x 之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2004年四川省中考题）3．已知方程组221y xy kx ⎧=⎨=+⎩有两个不相等的实数解．（1）求k 有取值范围．（2）若方程组的两个实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是否存在实数k ，使11221x x x x ++=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2004年黑龙江省中考题）4．如图2-4-19，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点，连结DE ．（1）DE 与半圆O 相切吗？若不相切，请说明理由．（2）若AD 、AB 的长是方程210240x x -+=的个根，求直角边BC 的长．（2005年重庆市万州区中考题）图2-4-19B【答案】１．（1）32k≥（2）2k=２．存在，24k=-或３．（1）12k<（2）满足条件的k存在，3k=-４．（1）相切，证明略（2）。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题4(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题4（附答案详解）1．若一元二次方程x 2+2x+m=0没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m≤12B ．m ＞1C ．m≤1D ．m ＜12．下列关于一元二次方程x 2+bx +c ＝0的四个命题①当c ＝0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根；②当c≠0时，若p 是方程x 2+bx +c ＝0的一个根，则1p是方程cx 2+bx +1＝0的一个根； ③若c ＜0，则一定存在两个实数m ＜n ，使得m 2+mb +c ＜0＜n 2+nb +c ；④若p ，q 是方程的两个实数根，则p ﹣q其中是假命题的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④3．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab 的值为（）A ．2018B ．-2018C ．2020D ．-20204．若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则()()12111x x x ++-的值是（）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2 5．已知关于x 的一元二次方程2304x x a --+= 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值为( )A ．-1B ．0C ．2D ．16．已知α，β是一元二次方程2x 4x 30--=的两实数根，则代数式()()α3β3--的值是（）A ．7B ．1C ．5D ．6-7．已知一元二次方程2()0a x m n ++=（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程2(2)0a x m n +-+=（a≠0）的两根分别为（）A ．1,5B ．-1,3C ．-3,1D ．-1,58．若关于x 的方程x 2+（a 2﹣1）x +a ＝0的两根互为相反数，则a 的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．±19．若x 1、x 2是方程2x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1+x 2＝（）A ．1B ．﹣2C ．1或﹣1D ．210．已知一元二次方程22410x x +-=的两个根为1x ，2x ，且12x x <，下列结论正确的是（）A ．122x x +=B ．121x x =-C ．12x x <D ．211122x x += 11．关于x 的方程x 2﹣5x+p 2﹣2p+5＝0的一个根为1，则实数p 的值是_____，另一根为_____12．已知一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1x 2的值为_____． 13．关于x 的方程kx 2+3x -1=0有实数根，则k 的取值范围是__________.14．如果关于x 的二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是______.15．若x 1=﹣3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根，则x 1+x 2=________ ． 16．方程2230x ax -+=有一个根是1，则另一根为______，a 的值是______.17．阅读材料：如果a ，b 分别是一元二次方程210x x +-=的两个实数根，则有210a a +-=，210b b +-=；创新应用：如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222008n mn m -++的值是_______ ．18．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣2a ＝0的一个根是3，则它的另一根是_____． 19．已知α，β是方程x 2+2017x +1＝0的两个根，则（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）的值_____．20．关于x 的一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____． 21．已知关于x 的一元二次方程2x 2x m 10-+-=()1当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？()2若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；()3设1x ，2x 是这个方程的两个实数根，且2212121x x x x -=+，求m 的值．22．己知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于x 的方程20x ax a ++=的根的情况.23．已知关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求k 的取值范围；（2）若123x x +=，求k 的值及方程的根．24．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x . （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值；25．已知x 1，x 2是一元二次方程kx 2﹣2kx +k +1＝0的两个实数根．（1）若x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2，求出此时k 的值；（2）是否存在k 的整数值，使得1221x x x x +的值为整数，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．26．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，使得(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80成立，求其实数a 的可能值27．已知关于x 的方程x 2+ax +a -2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a 的值；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．28．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2 ＋ 1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足221215x x +=，求实数m 的值．29．已知关于的一元二次方程: 2(5)40x k x k +-+-=;(1)求证:无论k 为何值，方程总有实数根;(2)若方程的一个根是2，求另一个根及k 的值.30．已知关于x 的一元二次方程2210.x x m -+-=（1）当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；（3）设12,x x 是这个方程的两个实根，且2212121-=+x x x x ，求m 的值.参考答案1．B【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4-4m ＜0，解之即可得出结论．【详解】∵方程x 2+2x+m=0没有实数根，∴△=22-4m=4-4m ＜0，解得：m ＞1．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式、方程的解的定义、二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系判断即可．【详解】当c ＝0，b≠0时，△＝b 2＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根，①是真命题；∵p 是方程x 2+bx+c ＝0的一个根，∴p 2+bp+c ＝0，∴1+b p +2c p＝0， ∴1p是方程cx 2+bx+1＝0的一个根，②是真命题；当c ＜0时，抛物线y ＝x 2+bx+c 开口向上，与y 轴交于负半轴，则当﹣2b ＜m ＜0＜n 时，m 2+mb+c ＜0＜n 2+nb+c ，③是真命题； p+q ＝﹣b ，pq ＝c ，（p ﹣q ）2＝（p+q ）2﹣4pq ＝b 2﹣4c ，则|p ﹣q|④是假命题，故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．D【解析】【分析】根据根与系数的关系得到a+b=-1，ab=-2019，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：根据题意得a+b=-1，ab=-2019，所以a+b+ab=-1-2019=-2020．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=. 4．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】根据题意得121x x =+，122x x =-，所以()()12111x x x ++-=12121x x x x ++-11(2)4=+--=．故选：A ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.5．D【分析】根据根的判别式即可求出a 的范围．【详解】由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a +34）＞0，解得：a ＞12故满足条件的最小整数a 的值是1，故选D ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.6．D【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到α+β＝4，αβ＝﹣3，再把α﹣3）（β﹣3）展开，变形为αβ﹣3（α+β）+9，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意得：α+β＝4，αβ＝﹣3，所以α﹣3）（β﹣3）＝αβ﹣3（α+β）+9＝﹣3﹣3×4+9＝﹣6．故选D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=． 7．B【解析】【分析】利用换元法令2y x =-，可得到y 的值，即可算出x 的值，即方程()220a x m n +-+=（a≠0）的两根.记2y x =-，则()220a x m n +-+=即()20a y m n ++=的两根为-3，1故2x y =+=-1，3.故选B.【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程.8．B【解析】【分析】利用根与系数的关系得到−（a 2−1）＝0，解方程得到a ＝1或a ＝−1，然后利用方程有无实数解确定a 的值．【详解】解：根据题意得﹣（a 2﹣1）＝0，解得a ＝1或a ＝﹣1，而a ＝1时，原方程化为x 2+1＝0，方程没有实数解，所以a 的值为﹣1．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ． 9．D【解析】【分析】直接利用根与系数的关系得出，x 1+x 2=-b a，代入数值即可. 【详解】∵x 1,x 2是方程2x 2−4x−1=0的两个根，x 1+x 2=2,故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系.【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．【详解】根据题意得x1+x2=-42=-2，x1x2=-12，所以A、B选项错误；∵x1+x2＜0，x1x2＜0，∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误；∵x1为一元二次方程2x2+4x-1=0的根，∴2x12+4x1-1=0，∴x12+2x1=12，所以D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．11．1 4【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．【详解】解：∵x＝1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得1﹣5+p2﹣2p+5＝0，解此方程得到p＝1．设方程的另一根为α，∴1+α＝5，∴α＝4，∴另一根为4，故答案为1，4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是得出关于p的一元二次方程．12．﹣1．【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，∴x1•x2＝11-＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查的一元二次方程根与系数的关系，比较简单，需要熟练掌握韦达定理.13．k≥9 4 -【解析】【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k ＝0；当方程是一元二次方程时，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②△＝b2−4ac≥0．【详解】解：当k＝0时，方程为3x−1＝0，有实数根；当k≠0时，△＝b2−4ac＝9＋4k≥0，解得：k≥94 -，综上可知，当k≥94-时，方程有实数根；故答案为：k≥9 4 -.【点睛】本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．14．9m>【解析】【分析】因二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，所以26x x m -+=0无实数根，据此求解即可. 【详解】∵二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式， ∴26x x m -+=0无实数根， ∴∆=36-4m<0, ∴9m >. 故答案为：9m >. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0. 15．﹣2 【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x 1• x 2 = -3，再解一次方程求出x 2，进而求出x 1+x 2的值．【详解】解：∵x 1=-3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根， ∴x 1•x 2=-3， ∴x 2=1，∴x 1+ x 2=-3+1=-2，故本题答案为-2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根与系数的关系，此题难度不大． 16．3， 2. 【解析】【分析】设方程的另一根为x 2，根据根与系数的关系得到−1•x 2＝3，求出x 2，再根据1＋x 2＝2a ，得出1＋3＝2a ，再解方程即可．【详解】解：设方程的另一根为x 2，根据题意得1•x 2＝3，则x 2＝3； ∵1＋x 2＝2a ， ∴1＋3＝2a ， ∴a ＝2；故答案为3，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−ba，x 1x 2＝c a． 17．2019 【解析】【分析】由题意，m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，则可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，然后可利用根与系数的关系求出代数式的值. 【详解】由题意，可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，则1m n +=，3=-mn ，所以原式=()2322008+-++n mn m =2622008+-++n mn m =()22014+-+m n mn =()2132014⨯--+ =2019 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根是本题的关键.18．6．【解析】【分析】把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得出9+3a﹣2a＝0，求出a＝﹣9，方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，得出b+3＝9，求出即可．【详解】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得：9+3a﹣2a＝0，解得：a＝﹣9，即方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，则b+3＝9，解得：b＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是求出a的值和得出b+3＝9．19．1．【解析】【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2017α＝﹣1、β2+2017β＝﹣1、αβ＝1，将（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）转化为αβ代入数据即可得出结论．【详解】∵α、β是方程x2+2017x+1＝0的两根，∴α2+2017α＝﹣1，β2+2017β＝﹣1，αβ＝1，∴（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）＝αβ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得到两根之积的值.20．﹣5．【分析】根据根与系数的关系求解即可. 【详解】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣5；故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 21．（1）m ＜2；（2）m ＞1；（3）m=4．【解析】【分析】（1）令∆>0列式求解即可；（2）令x 1x 2＞0，结合（1）的结论求解即可；（3）用含m 的式子表示出x 1x 2与x 12+x 22的值，把所给代数式变形为1+x 1x 2=(x 1+x 2)2，代入x 1x 2与x 12+x 22的值即可求出m 的值. 【详解】解：（1）∵△=（-2）2-4（m-1）=-4m+8＞0， ∴m ＜2时，方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是这个方程的两个实根，则x 1＞0，x 2＞0， ∴x 1x 2=m-1＞0， ∴m ＞1，∴方程的两根都是正数，m 的取值范围是：1＜m≤2；（3）∵x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1， ∴1-x 1x 2=x 12+x 22， ∴1+x 1x 2=(x 1+x 2)2， ∴1+m-1=22， ∴m=4．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.22．有两个不相等的实数根. 【解析】【分析】根据关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=-，即可判断该方程根的情况.【详解】解：∵方程2210x x a +-+=没有实数根 ∴240b ac ∆=-< ∴2241(1)0a -⨯⨯-+< 解得：0a <关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=- ∵0a < ∴(4)0a a ->∴关于x 的方程20x ax a ++=有两个不相等的实数根. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键. 23．（1）34k >；（2）11x =，22x = 【解析】【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可知△>0，据此可得关于k 的不等式，解不等式即可求(2)由根与系数的关系结合已知可求得k 的值，进而可求得原方程的根. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根， ∴△>0，即[]()22(21)4110k k -+-⨯⨯+>，整理得，430k ->，解得：34k >，故实数k 的取值范围为34k >； (2)∵方程的两个根分别为12x x 、， ∴12213x x k +=+=，解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=， ∴11x =，22x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 24．（1）12k ≤；（2）k ＝－3 【解析】【分析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0；（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1；②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)；【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0 解得12k ≤（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1 解得k 1＝k 2＝1 ∵12k ≤∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1) 解得k 1＝1，k 2＝－3 ∵12k ≤∴k ＝－3综合①、②可知k ＝－3 【点睛】一元二次方程根与系数关系，根判别式. 25．（1）k ＝﹣3；（2）存在，k ＝0，﹣2. 【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+，代入代数式解方程即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k +，求得1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝11k k -+于是得到结论．【详解】（1）根据题意得k ≠0且△＝（﹣2k ）2﹣4k （k +1）≥0，解得k ≤0； ∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∵x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2， ∴2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2＝8﹣9(1)k k+＝2，∴k ＝﹣3；（2）存在，理由：∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∴1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝2×11k k -+的为整数， ∴k ＝0，﹣2时，1221x x x x +的值为整数．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键． 26．a=-335. 【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=-(3a-1)，x 1•x 2=2a 2-1，根据(3x 1- x 2)(x 1-3 x 2)=-80，可得关于a 的方程，即可求出a 的值，利用判别式检验即可得答案. 【详解】∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a 2-1， ∴x 1+x 2=-b a =-(3a-1)，x 1•x 2=ca=2a 2-1， ∵(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80，∴3x 12-10x 1x 2+3x 22=-80，即3(x 1+x 2)2-16x 1x 2=-80， ∴3[-(3a-1)]2-16(2a 2-1)=-80， ∴5a 2+18a-99=0， ∴a=3或-335，当a=3时，方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的△＜0， ∴不合题意，舍去 ∴a=-335【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法27．（1）a＝12；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）将x=1带入方程中即可求出a的值（2）两个不相等的实根，用判别式求出a的值即可. 【详解】解：(1)将x＝1代入x2＋ax＋a－2＝0中，得1＋a＋a－2＝0.解得a＝1 2(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4.∵(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4＞0.∴不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根．【点睛】此题重点考察学生对一元二次方程的解的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.28．（1）m≥34；（2）m=2.【解析】【分析】（1）令△≥0即可求出m的取值范围；（2）将x12+x22=15转化为（x1+x2）2-2x1x2=15，再代入计算即可解答．【详解】解：（1）由题意有△=（2m+1）2-4（m2+1）≥0，解得m≥34．即实数m的取值范围是m≥34．（2）由x 12+x 22=15得（x 1+x 2）2-2x 1x 2=15， ∵x 1+x 2=-（2m+1），x 1x 2=m 2+1， ∴[-（2m+1）]2-2（m 2+1）=15，即m 2+2m-8=0，解得m=-4或m=2． ∵m≥34， ∴m=2．故实数m 的值为2．【点睛】本题考查根的判别式与根与系数的关系，熟悉完全平方公式是解题的关键． 29．（1）详见解析；（2）2k =，21x = 【解析】【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（k ﹣3）2≥0，从而证出无论k 取任何值，方程总有实数根．（2）先把x ＝2代入原方程，求出k 的值，再解这个方程求出方程的另一个根．【详解】(1)证明:(方法一)222(5)4(4)69(3)0k k k k k ∆=---=-+=-Q …. ∴无论k 为何值时，方程总有实数根.(方法二)将1x =代人方程，等式成立，即1x =是原方程的解，因此，无论k 为何值时，方程总有实数根， (2)把2x =代人方程解得2k =，解方程2320x x -+=得21x = 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．30．（1）2m <；（2）12m <<；（3）m 无解.. 【解析】【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)由根与系数的关系得出x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1，将2212121-=+x x x x 变形后代入，即可求出答案.【详解】解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根∴>0∆，即()()224110--⨯⨯->m解得2m <.（2）由一元二次方程根与系数的关系可得： 122x x +=，121⋅=-x x m ，∵方程的两根都是正数∴120x x ⋅>，即10m ->∴1m >又∵2m <∴m 的取值范围为12m <<（3）∵2212121-=+x x x x∴2212121212122+-=++x x x x x x x x即()212121+=+x x x x ，将122x x +=，121⋅=-x x m 代入可得： 2112+-=m ，解得4m =.而2m <，所以m=4不符合题意，故m 无解.【点睛】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.。

方程题100道带答案

方程题100道带答案1. 2x + 3 = 7，答案：x = 22. 5x 8 = 12，答案：x = 43. 3x + 4 = 19，答案：x = 54. 7x 15 = 14，答案：x =5.29（约等于5.3）5. 9x + 11 = 32，答案：x = 1.89（约等于1.9）6. 4x 6 = 18，答案：x = 6.57. 8x + 5 = 37，答案：x = 3.758. 6x 9 = 21，答案：x = 5.59. 10x + 13 = 53，答案：x = 410. 3x + 7 = 16，答案：x = 311. 2x 5 = 9，答案：x = 712. 4x + 8 = 24，答案：x = 413. 5x 3 = 22，答案：x = 514. 7x + 6 = 51，答案：x = 5.（约等于5.9）15. 9x 4 = 35，答案：x = 4.11（约等于4.1）16. 6x + 5 = 47，答案：x = 617. 8x 7 = 29，答案：x = 5.2518. 10x + 2 = 42，答案：x = 419. 3x 8 = 7，答案：x = 520. 5x + 9 = 44，答案：x = 5.2继续完善方程题100道带答案文档：21. 若4x 2 = 14，求x的值。

答案：x = 422. 解方程6x + 3 = 39，得x等于多少？答案：x = 623. 当7x 5 = 46时，x的值为多少？答案：x = 7.29（约等于7.3）24. 8x + 4 = 36，求x的值。

答案：x = 3.525. 如果9x 6 = 30，那么x等于多少？答案：x = 4.22（约等于4.2）26. 解方程3x + 5 = 14，得x的值。

答案：x = 327. 当5x 2 = 23时，求x的值。

答案：x = 528. 7x + 8 = 57，求x的值。

答案：x = 5.29（约等于5.3）29. 9x 3 = 42，求x的值。

苏教版六年级下册数学 4 式与方程核心考点突破试卷

核心考点突破卷4. 式与方程一、认真填空。

(每空3 分，共36 分)1．笑笑想买a个发夹送给好朋友，每个9.9 元，付给售货员50 元，应找回( )元，a的最大值是( )。

2．2m－1 表示五个连续奇数中间的那个数，在这五个奇数中，最大的一个数是( )，最小的一个数是( )。

3．运动会上，李老师买来a箱矿泉水，每箱20 瓶，发给运动员20 瓶后，矿泉水还剩( )瓶，也可以说还剩( )箱。

4．淘气今年a岁，爸爸今年b岁，3 年后两人的年龄相差 ( )岁。

5．每千克猪肉a元，每千克牛肉b(b > a) 元，买3 千克牛肉比买2 千克猪肉贵 ( )元。

6．如下图，用火柴棒摆一排正方形。

照这样摆下去，摆n个正方形要( ) 根火柴棒。

当n=40 时，要( )根火柴棒；现在有200 根火柴棒，最多可以摆( )个正方形。

7．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数用含a、b的式子表示是( )。

二、慎重选择。

(将正确答案的字母填在括号里)(每小题3 分，共18 分)1．下面各组式子中，得数一定相等的是( )。

A ．2a 和a 2B ．2(a +1)和2a +2C ．3a 和a ×a ×aD ．a ×0 和a +02．0<m <1，把m 、m 2、1m 从小到大排列，正确的是( )。

A ．m <m 2<1mB ．m <1m <m 2C ．1m <m <m 2D ．m 2<m <1m3．下列选项中，能用“2a +6” 表示的是( )。

A ．整条线段的长度：B ．整条线段的长度：C ．这个长方形的周长：D ．这个三角形的面积：4．若y =6 是方程5y =3y +的解，则被遮住的数是( )。

A ．11B ．12C ．13D ．145．用x 表示一个大于1 的自然数，x 2 一定是( )。

A ．奇数B ．偶数C ．合数D ．质数6．买鞋的学问：如果鞋子是a 码，长度是b 厘米，它们有这样的关系：a =2b －10。

四次方程应用题

四次方程应用题
四次方程是指具有四次幂的方程，通常表示为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。

在数学中，四次方程在各种应用问题中都有重要的作用。

接下来，我们将讨论一些四次方程的应用题，以便更好地理解和应用这一概念。

假设一个矩形的长是其宽的3倍，如果矩形的面积是180平方米，求这个矩形的长和宽各是多少米？
首先，设矩形的宽为x米，则矩形的长为3x米。

根据矩形的面积公式，我们可以得到方程：
x * 3x = 180
化简得到：
3x^2 = 180
将方程化为标准形式：
3x^2 - 180 = 0
接着，我们可以将方程除以3化简：
x^2 - 60 = 0
进一步化简：
x^2 = 60
通过开平方得到：
x = ±√60
由题意可知，宽是正值，所以取正值为：
x = √60 ≈ 7.75
代入得到：
长= 3x ≈ 23.25
因此，这个矩形的长约为23.25米，宽约为7.75米。

这是一个简单的四次方程应用题，通过解方程可以求解出矩形的长
和宽。

四次方程在实际生活中有很多应用，通过掌握相关知识和技巧，我们可以解决各种复杂的问题，提高我们的数学能力和解决问题的能力。

希望通过这个例子，您对四次方程的应用有了更深入的理解。

初二数学下册综合算式专项练习题解一元四次方程练习

初二数学下册综合算式专项练习题解一元四次方程练习一、题目解析在初二数学下册综合算式专项练习中，我们遇到了一元四次方程练习题。

一元四次方程是指方程中只有一个未知数，且该未知数的最高次数为4。

解一元四次方程可以使用因式分解、配方法或数值法等多种方法。

二、解题过程下面我们来解一个一元四次方程的练习题，以帮助同学们更好地理解解题方法。

例题：解方程$x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 12x = 0$解法一：因式分解将方程的各项提取出公因子，得到$x(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) = 0$然后观察括号内的多项式$x^3 + 3x^2 - 4x - 12$，我们可以进行因式分解。

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x^3 + 6x^2) - (3x^2 + 12x) - (4x + 12) = x^2(x + 6) - 3x(x + 4) - 4(x + 3) = (x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 2)$将因式分解的结果代入方程，得到$x(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 2) = 0$解方程可以得到$x = 0, -3, -2, 2$所以方程的解为$x = 0, -3, -2, 2$解法二：配方法将方程变形为$x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 12x = x^2(x^2 + 3x) - 4x(x^2 + 3x) = 0$观察括号内的多项式$x^2 + 3x$，我们可以进行配方法，将其表示为一个完全平方。

$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$将配方法的结果代入方程，得到$(x^2 + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 4x(x + \frac{3}{2}) = 0$化简方程得到$(x^2 + \frac{3}{2})^2 - 4x(x + \frac{3}{2}) - \frac{9}{4} = 0$令$t = x^2 + \frac{3}{2}$，则方程可以表示为$t^2 - 4x^2 - \frac{9}{4} = 0$再次观察方程，我们可以将其转化为$t^2 - (\frac{3}{2})^2 - (2x)^2 = 0$利用差平方公式，我们得到$(t - \frac{3}{2} - 2x)(t + \frac{3}{2} +2x) = 0$将$t$的值还原为$x$，得到$(x^2 + \frac{3}{2} - 2x +\frac{3}{2})(x^2 + \frac{3}{2} + 2x - \frac{3}{2}) = 0$化简方程，得到$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 4x + 1) = 0$再次将方程进行因式分解，得到$(x - 1)^2(x^2 + 4x + 1) = 0$解方程可以得到$x = 1, -2 \pm \sqrt{3}$所以方程的解为$x = 1, -2 \pm \sqrt{3}$解法三：数值法对于高次方程，我们也可以使用数值法求解。

小学四级解方程练习题

小学四级解方程练习题解方程是数学学习中的重要部分，也是对学生逻辑思维和数学能力的考验。

本篇文章将提供一些小学四级解方程的练习题，帮助学生巩固和提高解方程的能力。

一、一元一次方程1. 问题：某数与它的1/10之和的和是14，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意可得方程x + (1/10)x = 14，化简为11/10x = 14，两边同乘10/11得到x = 140/11。

2. 问题：一个数的9/16加上21等于40，求这个数。

解析：设这个数为x，根据题意可得方程(9/16)x + 21 = 40，化简为(9/16)x = 19，两边同乘16/9得到x = 304/9。

3. 问题：某两个整数的和是60，相差13，求这两个整数。

解析：设其中一个整数为x，另一个整数为x + 13，根据题意可得方程x + (x + 13) = 60，化简为2x + 13 = 60，两边同时减去13得到2x = 47，再除以2得到x = 23.5。

由于题目要求是整数，所以这个方程无解。

二、二元一次方程1. 问题：一个数加上它的一半等于20，求这个数。

3/2x = 20，两边同乘2/3得到x = 40/3。

2. 问题：两个数的和是18，差为4，求这两个数。

解析：设其中一个数为x，另一个数为x + 4，根据题意可得方程x + (x + 4) = 18，化简为2x + 4 = 18，两边同时减去4得到2x = 14，再除以2得到x = 7。

所以这两个数为7和11。

3. 问题：甲买了若干本书，乙又买了甲买的书的一半，总共买了27本，求甲买了几本书？解析：设甲买的书为x本，乙买的书为1/2x本，根据题意可得方程x + (1/2)x = 27，化简为3/2x = 27，两边同乘2/3得到x = 18。

所以甲买了18本书。

三、一元二次方程1. 问题：某数的平方减去它的三倍再加上2等于0，求这个数。

解析：设这个数为x，根据题意可得方程x^2 - 3x + 2 = 0，该方程可以化简为(x - 1)(x - 2) = 0，解得x = 1或2。

北师大版四年级数学下册认识方程单元专项复习拔高卷(含答案)

5.认识方程一、选择题(满分16分)1．甲今年a岁,乙今年（a﹣18）岁,再过c年后,他们相差（）岁．A．18 B．c C．c+18 D．c﹣182．一个长方形的长是a米,宽是b米,如果长增加5米,它的面积增加（）平方米．A．5a B．5b C．ab D．5ab3．下面说法正确的是（）A．方程5x+5＝25的解是x＝6 B．5x+5＜25 是方程C．方程一定是等式D．等式一定是方程4．观察下图,等式成立的是（）．A．a＝c B．5b＝2a＋2c C．4a＝9c5．下面各式,（）是方程。

A．4a＋8 B．6b－9＞12 C．a÷3＝96．猎豹是陆地上跑得最快的动物,速度能达到每时110km,比大象的2倍还多30km。

大象最快能达到每小时（）km。

A．70 B．80 C．40 D．207．x=6是方程（）的解．A．x+9=26 B．5x－8=22 C．x÷7.5=0.9 D．3x+9x=368．7x－13＝8的解为（）A．x＝1B．x＝2 C．x＝3D．x＝4二、填空题(满分16分)x-=的解是x=（________）。

9．方程4124810．一个减法算式,被减数、减数与差这三个数的和为388,减数比差大16,那么减数是（_______）、11．小林今年12岁,李老师今年32岁。

（___________）年前,李老师的年龄正好是小林年龄的5倍。

12．3年前母亲岁数是女儿的6倍,今年母亲33岁,女儿今年几岁,列出方程为________．13．下面的式子________是方程,________不是方程A．6x＋8 B．x＋9＝20 C．72－3＝5 D．x－9=1014．小英买一本《数学童话》和一本《数学故事》,用去30元。

《数学童话》每本售价14元,《数学故事》每本售价多少元？________的售价+________的售价=30元15．每千克苹果a元,每千克梨b元,买5千克苹果和4千克梨一共要（________）元。

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综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点．综合题所考查的内容涉及初中代数或几何中若干不同的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运用数学知识解决问题的能力．在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也有一定程度的创新．
专题四方程型综合题
【简要分析】
方程是贯穿初中代数的一条知识主线．方程型综合题也是中考命题的热点，中考中的方程型综合题主要有两类题：一类是与地、一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题，另一类是与几何相结合的问题．
【典型考题例析】
例1：已知关x 的一元二次方程 2
30
x x m +-=有实数根．
（1）求m 的取值范围
（2）若两实数根分别为1x 和2x ，且1x x
+2
2
1211x x +=求m
的值．
（2005年安徽省六安市中考题）
分析与解答本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等．
（1）由题意，△≥0，即94m +≥0．解得94
m
≥-
．
（2）由根与系数的关系，得12123,x x x x m +=-=-． ∴2
2
2
121212()292x x x x x x m
+=+-=+．∴9211m +=．∴1m =．
例２：已知关于x 的方程2
(2)20
a x ax a +-+=有两个不相等的实数根1x 和2x ，并且抛
物线2
(21)25y
x a x a =-++-与x
轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1）求实数a 的取值范围．
（2）当
12x x +=时，求a 的值．（2005年北京市中考题）
分析与解答本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程桶的判别式、桶与系数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等．（1）一方面,关于x 的方程2
(2)20
a x ax a +-+=有两个不相等的实数根，
∴△=2(2)4(2)020a a a a --+>+≠且．解之，得0a <≠且a -2．另一方面，抛物线2
(21)25y
x a x a =-++-与x
轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，
且开口向上，∴当2x =时0y <，即42(21)250a a -++-<，解得32
a <-．综合以上
两面，a 的取值范围是302
a -
<<
（2）∵1x 、2x 是关于x 的方程2(2)20
a x ax a +-+=的两个不相等的实数根，
∴12122,2
2
a a x x x x a a +==
++．
∵302
a -
<<，∴20a +>，∴1202
a x x a =
<+．
∵128x x +=，∴22112228x x x x ++=，即∴22
112228x x x x -+=，
∴2
1212()48x x x x +-=．∴2
24(
)82
2a a a a -=++，解得124,1a a =--．经检验，124,1a a =--都是方程2
24()822
a
a
a a -
=++的根．
∵342
a =-<-
舍去，∴1a =-．
说明运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△≥0．
例3：如图2-4-18，0
90B ∠=，O 是AB 上的一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．若
AD=AB 的长是关于x 的方程2
80x x k -+=的两个实
数根．
（1）求⊙O 的半径．（2）求CD 的长．（2005年重庆市中考题）
分析与解答本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识．
（1）∵AD 是⊙O 的切线，∴2AD AE AB =⋅．
图2-4-18
C
B
又AD =12AE AB =g ．
∵AE 、AB 的长是方程280x x k -+=的两个实数根， ∴A E A B k =g ，∴12k =，
把12k =代入方程280x x k -+=，解得122,6x x ==．∴AE=2，AB=6． ∴⊙O 的半径为
1()22
A B A E -=
（2）∵CB ⊥AB ，AB 经过圆心O ，∴CB 切⊙O 于点B ，∴CD=CB ．在Rt △ABC 中，设C D x =，由勾股定理得222AB BC AC +=，
∴2226)x x +=，解得x =C D =
【提高训练】 1．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=的两根是一矩形两邻边的长．
（1）k 取何值时，方程有两个实数根？
（2时，求k 的值．（2005年湖北省荆门市中考题）
2．已知关于x 的方程222(1)230x m x m m -++--=的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k ，使关于x 的方程22()520x k m x k m m ----+-=的两个实数根1x 、2x 之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
（2004年四川省中考题）
3．已知方程组221y x
y kx ⎧=⎨=+⎩
有两个不相等的实数解．（1）求k
有取值范围．（2）若方程组
的两个实数解为11
x x y y =⎧⎨=⎩和22
x x y y =⎧⎨=⎩是否存在实数k ，使11221x x x x ++=？若存在，求出k 的
值；若不存在，请说明理由．（2004年黑龙江省中考题）
4．如图2-4-19，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点，连结DE ．（1）DE 与半圆O 相切吗？若不相切，请说明理由．（2）若AD 、AB 的长是方程2
10240
x x -+=的个根，求直角边BC 的长．
（2005年重庆市万州区中考题）
图2-4-19
C B
【答案】１．（1）32
k
≥ （2）2
k
=
２．存在，24
k
=-或
３．（1）12
k <
（2）满足条件的k 存在，3
k
=-
４．（1）相切，证明略（2）。