高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数的应用技巧素材北师大版必修4课件

3.2 两角和与差的三角函数的应用技巧

两角和与差的三角函数公式是高中数学三角函数部分的重要公式之一,能够让学生在学习和应用公式的过程中,加深对三角函数部分整体知识的把握.掌握两角和与差公式的应用技巧有利于学生分析问题和解决问题能力的培养.由于公式的设计巧妙,知识点覆盖较广,转化关系较为复杂,学生在应用起来往往有所难度.笔者从实际教学经验出发,谈一谈两角和与差公式的应用技巧.

一、正用公式

当一个角能够表示成两个特殊角的和或差时，常常正用两角和与差的三角函数公式来解题。

例1、求值0

07515tan tan +.

分析：由于非特殊角015与075可以转化为045和030这两个特殊角的和与差的形式，从而可以正用三角函数的和与差公式来求解。

解：)tan()tan(tan tan 000000304530457515++-=+ 00

0030

1301301301tan tan tan tan -+++-= 3

31331331331-+++-= 1

31

3131

3-+++-= 2

132132

2)()(++-= 3232++-=

＝4。

二、逆用公式

在逆用公式时有好多的技巧与方法，大体上来说，可以分为三类：

（一） 构造逆用

如果能通过诱导公式的转化，构造和与差公式的结构特征，就可以逆用公式解题。

例2、求值ππππ9

2992187sin sin cos sin

-。 解法一：原式＝πππππ9

29292187sin )cos(cos sin -- ＝ππππ9218792187sin cos cos sin -

＝)sin(

ππ92187- ＝6πsin

＝2

1。 解法二：原式＝ππππ

π9

299292sin sin cos )sin(-- ＝ππππ9

29929sin sin cos cos - ＝)cos(ππ929+ ＝3πcos

＝2

1。 （二） 特殊逆用

形如x b x a cos sin +（其中0≠ab ）的三角函数均可利用特殊值与特殊角的对应关系逆用和与差的三角函数公式化简成一个角的三角函数形式。在一般情况下x b x a cos sin +＝)sin(ϕ++x b a 22其中a

b =ϕtan 。 例3、求函数x x y cos sin 3+=的单调递增区间。 解：由于x x cos sin 3+

＝)cos (sin 2

3212x x + ＝)sin cos cos

(sin 332ππx x + ＝)sin(32π

+x 。

且x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-

2222ππππk k ,内为增函数，可知： 令3π+

=x z 从而22322πππππ+≤+≤-k x k ， 即6

2652ππππ+≤≤-k x k ， 所以x x y cos sin 3+=的单调递增区间为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-

62652ππππk k ,。 （三） 变形逆用 在这里主要说一下两角和与差的正切公式的变形逆用。常用到的公式变形有：

)tan tan )(tan(

tan tan βαβαβα-+=+1 )tan tan )(tan(

tan tan βαβαβα+-=-1 )

tan(tan tan tan tan βαβαβα++-=1 1---=)

tan(tan tan tan tan βαβαβα等等。 例4、已知4π

βα=+，求)tan )(tan (βα++11的值。

分析：所求式子中含有βαtan tan 、

，由此可以联想到取βα+的正切。 解：由于4π

βα=+，所以1tan ）＝（βα+，即11=-+β

αβαtan tan tan tan ， ∴ βαβαtan tan tan tan -=+1

从而)tan )(tan (βα++11＝βαβαtan tan )tan (tan +++1

＝βαβαtan tan )tan tan (+-+11

＝2。

例5、化简)tan(tan )tan(tan )tan()tan(0

000606060603-+++-++A A A A A A 解：原式＝ )]tan(tan [)]tan(tan [)]tan()tan([000060160160601-+++++-++A A a A A A ＝)]()tan[()tan()tan(000060606060--+--+A A A A )](tan[)tan(tan 006060+-+-+A A A A )](tan[)tan(tan 006060----+A A A A 0

000000606060601206060tan )tan(tan )tan()tan(tan tan )tan()tan(--+-+-+--+=A A A A A A )]tan(tan )tan(tan )tan()[tan(00006060606031

-+-+-+--+-=A A A A A A ＝0。