绝对值题型归纳总结
绝对值的八种题型
以下是关于绝对值的八种题型：
1. 已知一个数，求其绝对值。
例如：求-5的绝对值。
解：绝对值是一个数到原点的距离，所以|-5|=5。
2. 已知一个数的绝对值，求这个数。
例如：若|x|=3，求x的值。
解：绝对值等于3的数有两个，即x=3或x=-3。
3. 绝对值范围内的整数问题。
例如：求绝对值小于3的非负整数。
解：非负整数就是正整数或0，所以绝对值小于3的非负整数有0、1、2。
4. 含有绝对值的方程求解。
例如：求解方程|x-2|=3。
解：将绝对值拆开，得到两个方程x-2=3和x-2=-3，解得x=5或x=-1。
5. 含有绝对值的不等式求解。
例如：求解不等式|x-1|>2。
解：将绝对值拆开，得到两个不等式x-1>2和x-1<-2，解得x>3或x<-1。
6. 绝对值的最小值问题。
例如：求几个绝对值和的最小值。
解：根据绝对值的性质，求最小值只需记住口诀：奇点求中间，偶点求中段。
7. 绝对值的最大值问题。
例如：求几个绝对值和的最大值。
解：先确定零点，画出数轴，标出零点，分三种情况讨论比较大小即可。
8. 绝对值的应用题。
例如：在数轴上，已知点A的坐标为3，点B的坐标为-5，求线段AB的长度。
解：线段AB的长度就是点A和点B之间的距离，即|3-(-5)|=8。
通过掌握这八种题型，可以帮助我们更好地理解和解决与绝对值相关的问题。
七年级数学绝对值分类讨论重点题型
七年级数学的绝对值，是一种让很多同学感到头疼的数学概念。
在七年级数学课程中，涉及到绝对值的分类讨论也是一个重要的内容，影响着同学们对数学的理解和学习。
今天，我们就来深入探讨七年级数学中关于绝对值分类讨论的重点题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
1. 绝对值概念的理解我们需要对绝对值的概念进行深入理解。
在七年级数学中，绝对值代表着一个数距离零点的距离，它是一个非负数。
具体地，对于任意实数a，其绝对值记作|a|，如果a大于等于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。
2. 绝对值分类讨论的基本原理在七年级数学中，针对绝对值的讨论通常涉及到正数、负数以及零的情况。
我们需要明确地理解在各种情况下绝对值的计算方法和特点，从而能够准确地解决问题。
3. 绝对值分类讨论的重点题型在七年级数学中，绝对值分类讨论的重点题型包括但不限于以下几种： - 绝对值不等式的求解- 绝对值方程的解法- 含绝对值的复合运算- 实际问题中的应用4. 绝对值不等式的求解对于绝对值不等式的求解，我们需要分情况讨论。
当|a|小于b时，a 和-b之间的数都满足不等式；当|a|大于b时，求解得到两个区间，分别讨论各区间内的情况。
这种分类讨论的方法在解决绝对值不等式时非常重要。
5. 绝对值方程的解法解决绝对值方程时，我们同样需要进行分类讨论。
针对|a|=b和|a|=-b 两种情况，分别求解得到不同的结果。
同学们需要注意分类讨论方法的灵活运用，才能准确地解决绝对值方程的问题。
6. 含绝对值的复合运算在七年级数学中，我们还会遇到含绝对值的复合运算题型，可能涉及加减乘除等多种运算符号。
这时，同学们需要将复合运算的每一步分类讨论，确保在每一种情况下都能准确地应用绝对值的概念和性质。
7. 实际问题中的应用绝对值的分类讨论在解决实际问题时也非常重要。
同学们需要理解绝对值在表示距离、温度差、误差等方面的应用，从而能够准确地将数学知识应用到实际生活中去。
绝对值的题型归类
绝对值的题型归类
以下是一些常见的绝对值题型：
1. 求绝对值：
例题：求绝对值|-3|。
解：由绝对值的定义可知，|-3|表示-3的绝对值，即-3到0的距离，因此|-3|=3。
2. 绝对值不等式：
例题：解不等式|2x-1|≤5。
解：将绝对值符号拆分为两个不等式，即-5≤2x-1≤5。
解得-2≤x≤3。
3. 绝对值方程：
例题：解方程|3x+2|=5。
解：将绝对值符号拆分为两个方程，即3x+2=5和3x+2=-5。
解得x=1或x=-7/3。
4. 绝对值函数的图像：
例题：画出函数y=|x|的图像。
解：函数y=|x|的图像是一个以原点为顶点的“V”字形图像，它在第一象限和第二象限的图像是一条向上的直线，斜率为1，在第三象限和第四象限的图像是一条向下的直线，斜率为-1。
5. 绝对值的性质：
例题：证明绝对值具有三角不等式性质。
解：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
证明如下：
因为|a+b|≥0，所以|a+b|=|a|+|b|，当且仅当a和b同号时取等号。
因此，|a+b|≤|a|+|b|，即绝对值具有三角不等式性质。
6. 绝对值的应用：
例题：求解不等式|x-1|+|x-2|≤1。
解：将不等式中的绝对值符号拆分为三个部分，即x-1≤1，x-2≥-1，和x-1≥-x+2。
解得x∈[1,2]。
例题：求函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值。
解：由于f(x)表示数轴上点x与1和-1的距离之和，因此f(x)的最小值为2，当且仅当x=0或x=2时取等号。
绝对值的八种题型
绝对值的八种题型绝对值是数学中常见的概念之一，用来表示一个数到0的距离。
在解决绝对值相关题目时，需要掌握不同类型的题型和相应的解题方法。
本文将介绍绝对值的八种常见题型及解题思路。
1. 绝对值的定义题型这种题型要求直接根据绝对值的定义来求解，即将绝对值内的数分别取正负值，求得结果。
例如，求解|3x+1|=7，可以得到两个方程3x+1=7和3x+1=-7，解方程得到x=2和x=-2。
2. 绝对值的不等式题型这种题型要求解不等式中包含绝对值的问题。
通常的解题思路是，先去掉绝对值，得到一个二次不等式，然后根据不等式的性质求解。
例如，求解|2x-3|>5，可以得到两个不等式2x-3>5和2x-3<-5，解方程得到x>4和x<-1。
3. 绝对值的加减法题型这种题型要求计算带有绝对值的加减式。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。
例如，计算|2+3|+|4-5|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到5+1=6。
4. 绝对值的乘法题型这种题型要求计算带有绝对值的乘法式。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。
例如，计算|2x-1|*|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)*(3x+2)和(2x-1)*(-3x-2)。
5. 绝对值的除法题型这种题型要求计算带有绝对值的除法式。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后进行计算。
例如，计算|2x-1|/|3x+2|，可以将绝对值内的数分别取正负值，得到(2x-1)/(3x+2)和(2x-1)/(-3x-2)。
6. 绝对值的方程题型这种题型要求求解带有绝对值的方程。
解题的关键是根据绝对值的性质，将绝对值内的数分别取正负值，然后解方程。
例如，求解|2x-1|=5，可以得到两个方程2x-1=5和2x-1=-5，解方程得到x=3和x=-2。
绝对值的八大题型
绝对值的八大题型
绝对值是数学中的一个重要概念，涉及到多种题型。
以下是“绝对值的八大题型”及其相应的解题技巧和示例：
一、绝对值的基本概念题
这类题型主要考查对绝对值基本概念的理解。
解题关键是掌握绝对值的定义，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例1：判断下列说法是否正确：
（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
解：（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
二、求一个数的绝对值
这类题型要求根据绝对值的定义求出一个数的绝对值。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例2：求下列各数的绝对值：
（1）12 （2）- 15 （3）0.2 （4）- 6.7
解：（1）|12| = 12 （2）|-15| = 15 （3）|0.2| = 0.2 （4）|-6.7| = 6.7
三、比较两个数的绝对值
这类题型要求比较两个数的绝对值的大小。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例3：比较下列各组数的绝对值的大小：
（1）|2| 和|3| （2）|-4| 和|-3| （3）|0| 和|-5|
解：（1）因为|2| < |3|，所以|2| < |3|。
（2）因为|-4| = |-3|，所以|-4| = |-3|。
（3）因为|0| < |-5|，所以|0| < |-5|。
高中数学常见题型解法归纳 绝对值常考题型的解法
高中数学常见题型解法归纳 绝对值常考题型的解法【知识要点】一、去绝对值常用的有两种方法.方法一：公式法 0||000xx x x xx方法二：平方法 如：||x a = 所以22x a .（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a 或三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.【方法讲评】 题型一 解含一个绝对值的不等式 解题步骤直接利用公式||x a>||x a x a x a a x a 或解答，当然也可以使用零点讨论法和数形结合，但是直接使用公式法最简单.【例1】已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2．（1）求整数m 的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：m x x ≥-+-31．(2)即解不等式431≥-+-x x【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测1】已知函数2()|1|f x x =-.（Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.题型二解含两个绝对值的不等式 解题步骤 一般使用零点讨论法和数形结合法求解. 【例2】已知函数()12f x x x =+-。
（Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩ 解得5x ≤-或7x ≥.故该不等式的解集是{5x x ≤-，或}7x ≥.（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域.由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞，∴2log 1a ≤，解得02a <≤.【点评】对于形如||||ax b cx d e +++>的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时，要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并”.【反馈检测2】已知函数()|21||23|.f x x x =++-（1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.题型三求绝对值函数的最值 解题步骤直接使用重要绝对值不等式||||||||||||a b a b a b -≤-≤+求解，也可以利用数形结合求解.【例3】已知函数()|1||3|f x x x =-++.(1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()a 0f x -≤解集不是空集,求实数a 的取值范围.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4,∴实数a 的取值范围为4a ≥.方法二: |1||3||x 1(x 3)|x x -++≥--+∴|1||3|4x x -++≥,【点评】（1）关于x 的不等式()0f x a -≤解集不是空集，即关于x 的不等式()0f x a -≤有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.()f x a 恒成立等价于max (x)f a ，()f x a 有解等价于min (x)f a ，()f x a 恒成立等价于min (x)f a ，()f x a 有解等价于 max (x)f a .【反馈检测3】已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+.（1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲：绝对值常考题型的解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[4,]+∞.【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）()22f x x ≤+，即2|1|22x x -≤+，所以22122,1(22),x x x x ⎧-≤+⎪⎨-≥-+⎪⎩ 由2122x x -≤+，解得13x -≤≤；而21(22)x x -≥-+的解集为R . 所以原不等式的解集为{|13}x x -≤≤.【反馈检测2答案】（1）}21|{≤≤-x x ；（2）3a <-或5a >.【反馈检测2详细解析】（1）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<- 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x（2）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x 4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a >.【反馈检测3答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-.。
专题06 绝对值压轴题型汇总(解析版)
专题06 绝对值压轴题型汇总一、单选题1．若a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的数，c 是相反数等于它本身的数，d 是到原点的距离等于2的负数，e 是最大的负整数，则a+b+c+d+e 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2【答案】D 【分析】根据题意求出a 、b 、c 、d 、e 的值，再代入代数式求值即可. 【详解】a 是最小的正整数，a =1；b 是绝对值最小的数，b=0；c 是相反数等于它本身的数，c=0；d 是到原点的距离等于2的负数，d=-2；e 是最大的负整数，e=-1； a +b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2 故选D 【点睛】本题考查了有理数中一些特殊的数，熟练掌握这是特殊的数是解题的关键.2．当x 满足（ ）时，1.50.5 2.50.5 3.50.5 4.50.5 5.50.5 6.50.5x x x x x x -+-+-+-+-+-的值取得最小． A ．11119x ≤≤ B ．1197x ≤≤C ．1175x ≤≤D ．111311x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的意义分类讨论即可解决问题 【详解】设y=|1.5x -0.5|+|2.5x -0.5|+|3.5x -0.5|+|4.5x -0.5|+|5.5x -0.5|+|6.5x -0.5| =0.5（|3x -1|+|5x -1|+|7x -1|+|9x -1|+|11x -1|+|13x -1|）， 当x≤113时，y=0.5（1-3x+1-5x+1-7x+1-9x+1-11x+1-13x ）=3-24x ，此时y 的最小值为5913，当113＜x≤111时，y=2-11x ，此时y 的最小值为1， 当111≤x≤19时，y=1+12x ，此时y 的最小值=1，当19≤x ＜17时，y=9x ，此时y 的最小值1， 当17≤x ＜15时，y=16x -1，y 的最小值为97， 当15≤x ＜13时，y=21x -2，此时y 的最小值为115，当x≤13时，y=24x -3，此时y 的最小值5，故选A ． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟记绝对值的定义是解题的关键．3．下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a ，b 互为相反数，ab ≠0,则1ab=-；③ 若a a -=，则3()a -的值为负数；④ 若ab ≠0，则a ba b +的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】B 【分析】根据平方、相反数的定义、绝对值的性质依次判定各项后即可解答. 【详解】① 平方等于64的数是±8； ② 若a ，b 互为相反数，ab ≠0,则1ab=-； ③ 若a a -=，可得a≥0，则()3a -的值为负数或0；④ 若ab ≠0，当a>0，b>0时，a b a b +=1+1=2；当a>0，b<0时，a b a b +=1-1=0；当a<0，b>0时，a b a b +=-1+1=0；当a<0，b<0时，a b a b +=-1-1=-2；所以a ba b+的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是1. 综上，正确的结论为②，故选B. 【点睛】本题考查了平方的计算、相反数的定义及绝对值的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.4．数轴上A 、B 、C 三点所代表的数分别是a 、1、c ，且11c a a c ---=-．若下列选项中，有一个表示A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系，则此选项为何？（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【分析】从选项数轴上找出a 、B 、c 的关系，代入|c ﹣1|﹣|a ﹣1|=|a ﹣c|．看是否成立． 【详解】∵数轴上A 、B 、C 三点所代表的数分别是a 、1、c ，设B 表示的数为b ， ∵b=1，∵|c ﹣1|﹣|a ﹣1|=|a ﹣c|． ∵|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=|a ﹣c|．A 、b ＜a ＜c ，则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=c ﹣b ﹣a+b=c ﹣a=|a ﹣c|．正确，B 、c ＜b ＜a 则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=b ﹣c ﹣a+b=2b ﹣c ﹣a≠|a ﹣c|．故错误，C 、a ＜c ＜b ，则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=b ﹣c ﹣b+a=a ﹣c≠|a ﹣c|．故错误．D 、b ＜c ＜a ，则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=c ﹣b ﹣a+b=c ﹣a≠|a ﹣c|．故错误． 故选A ． 【点睛】熟记数轴定义以及运用有理数的运算规则是解决本题关键.更应该理解掌握验证等式是否成立的方法，若等式成立则必须左边运算结果等于右边运算结果.5．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】分析：若P 为定值，则化简后x 的系数为0，由此可判定出x 的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简． 详解：∵P 为定值，∵P 的表达式化简后x 的系数为0； 由于2+3+4+5+6+7=8+9+10；∵x 的取值范围是：1-7x≥0且1-8x≤0，即18≤x≤17；所以P=（1-2x ）+（1-3x ）+…+（1-7x ）-（1-8x ）-（1-9x ）-（1-10x ）=6-3=3． 故选B ．点睛：能够根据P 为常数的条件判断出x 的取值范围，是解答此题的关键．6．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：||||+||a b c a b c a -----的结果是（ ）A ．a–2cB ．–aC ．aD ．2b–a【答案】C 【解析】由数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：a <b ，c >a ，c >b ，a <0，∵a –b <0，c –a >0，b –c <0，∵||||+||a b c a b c a -----=b –a –（c –a ）+（c –b ）–（–a ）=b –a –c +a +c –b +a =a ．故选C ．7．已知x 的取值能使|x ﹣3|+|x+2|取得最小值，则所有2x中整数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】分析：由题意已知x 的取值能使32x x -++取得最小值，可以分类讨论①3x ≥；②23x -<<；③2x ，≤-求出x 的范围，然后把x 代入2x中，进行求解．详解：∵已知x 的取值能使|x −3|+|x +2|取得最小值，∵当3x ≥时，有|x −3|+|x +2|=x −3+x +2=2x −1，∵当x =3时有最小值：2×3−1=5； ∵当−2<x <3时，有|x −3|+|x +2|=3−x +x +2=5，∵其有最小值5；当2x -≤时，有|x −3|+|x +2|=3−x −x −2=1−2x ，∵当x =−2时有最小值5， ∵23x -≤≤，可以使|x −3|+|x +2|取得最小值， ∵3122x -≤≤， ∵所有2x中整数有−1，0，1，共3个，故选C.点睛：结合两个绝对值符号里面的数，分类讨论，化简绝对值是解决本题的关键.8．若存在3个互不相同的有理数a ，b ，c ，使得|1﹣a |+|1﹣3a |+|1﹣4a |=|1﹣b |+|1﹣3b |+|1﹣4b |=|1﹣c |+|1﹣3c |+|1﹣4c |=t ，则t = A ．112B ．34C ．1D ．2【分析】 【详解】存在3个互不相同的实数a ，b ，c ，使得|1-a|+|1-3a|+|1-4a|=|1-b|+|1-3b|+|1-4b|=|1-c|+|1-3c|+|1-4c|=t ，当a≥1时，原式=a -1+3a -1+4a -1=8a -3；当1/3 ≤a ＜1时，原式=1-a+3a -1+4a -1=6a -1；当1/4 ≤a ＜ 时，原式=1-a -3a+1+4a -1=1；当a ＜1/4 时，原式=1-a+1-3a+1-4a=3-8a ，则t=1， 故选C.二、填空题9．已知m 是正整数，设()()x y x m x m =---，例如：当x =2，m =6时，(2)26(26)8y =---=，若(1)(2)(3)(2019)110y y y y +++⋅⋅⋅⋅+=，则m =____． 【答案】11 【分析】分类讨论：当x m ≥时，()()x y x m x m =---=()()x m x m ---=0； 当x m <时，()()x y x m x m =---=()()m x x m ---=() 2m x -；然后表示出()()()()1232019y y y y +++⋅⋅⋅⋅+，即可计算出m 的值.【详解】解：∵当x m ≥时，()()x y x m x m =---=()()x m x m ---=0； 当x m <时，()()x y x m x m =---=()()m x x m ---=() 2m x -； ∵()()()()1232019y y y y +++⋅⋅⋅⋅+=2(m -1)+2(m -2)+2(m -3)+……+2[m -(m -1)]+2(m -m)+0+……+0=m(m -1) ∵m(m -1)=110,m 为正整数 ∵m=11. 【点睛】本题考查了绝对值的应用，分类讨论是关键.10．已知正整数a ，b ，满足220b b -+-=，0a b a b -+-=且a b ，则ab 的值为__________．【分析】根据绝对值的定义确定b 的范围，判断出a 的范围，再确定a 、b 的值，最后相乘即可. 【详解】解：∵220b b -+-= ∵2=2b 0b --≥，即b≤2 ∵b=1或b=2 又∵0a b a b -+-= ∵b-a 0a b -=≥，即a≤b ∵ab∵b=2，a=1 所以ab=2. 【点睛】考查绝对值的相关性质；通过确定a ，b 的范围确定a 、b 的值是解决本题的难点.11．若方程22|4|221||x x x x a -+-+-+=总有解，则a 的取值范围是___.【答案】a≥5. 【分析】根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，求出224221x x x x -+-+-+ 的最小值,可得答案． 【详解】解：∵224221x x x x -+-+-+可以看做22221x x -+-与4x x -+的和，∵22221x x -+-可以看作数轴上表示数2x 的点与表示2, 2, 1的点之间的距离求和，故当2=2x 时，22221x x -+-取得最小值1，此时=x ；4x x -+可以看作数轴上表示数x 的点与表示4, 0的点之间的距离求和，当04x << 时，4x x -+取得最小值4∵当x 224221x x x x -+-+-+有最小值为1+4=5, ∵当a≥5时，方程22422a 1=x x x x -+-+-+总有解.∵则a 的取值范围是：a≥5 故答案为: a≥5. 【点睛】考查了绝对值的应用，利用了两点之间的距离公式，注意224221x x x x -+-+-+可以看做数轴上表示数x 或2x 的点与表示4, 2, 2, 1, 0的点之间的距离求和，求得最小值，即可得a 的取值范围.12．已知x ，y 均为整数，且|x ﹣y |+|x ﹣3|＝1，则x +y 的值为_____． 【答案】5或7或8或4 【分析】由绝对值的非负性质可知|x ﹣y |和|x ﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即1x y -=，30x -=或31x -=，0x y -=，然后解绝对值方程组即可，．【详解】解：因为x ，y 均为整数，31x y x -+-=， 可得：1x y -=，30x -=或31x -=，0x y -=， ∵当30x -=，1x y -=，可得：3x =，2y =，则5x y +=； 当30x -=，1x y -=-，可得：3x =，4y =，则7x y +=； 当31x -=，0x y -=，可得：4x =，4y =，则8x y +=； 当31x -=-，0x y -=，可得：2x =，2y =，则4x y +=， 故答案为5或7或8或4． 【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键．13．代数式|1008||504||1007|x x x ++++-的最小值是_____． 【答案】2015 【分析】根据两点之间的距离用绝对值的表达式，由图形确定出所求的最小值即可． 【详解】 如图：则代数式的最小值为|1007﹣（﹣1008）|=2015． 故答案为：2015． 【点睛】本题考查了绝对值及数轴，解题的关键是理解两点间的距离表达式．14．如图，在单位长度是1的数轴上，点A 和点C 所表示的两个数互为相反数，则点B 表示的数是______.【答案】﹣2 【分析】根据图示，点A 和点C 之间的距离是6，据此求出点C 表示的数，即可求得点B 表示的数. 【详解】∵点A 和点C 所表示的两个数互为相反数，点A 和点C 之间的距离是6 ∵点C 表示的数是﹣3，∵点B 与点C 之间的距离是1，且点B 在点C 右侧， ∵点B 表示的数是﹣2 故答案为﹣2 【点睛】本题为考查数轴和相反数的综合题，稍有难度，根据题意认真分析，熟练掌握数轴和相反数的相关知识点是解答本题的关键.三、解答题15．已知2(5)-40a b ++=．（1）求出,a b 并将这两个数在数轴上所对应的点A 、B 表示出来；（2）数轴上A 、B 之间的距离记作AB ．定义：AB a b =-．设点P 在数轴上对应的数为x ． ① 当13PA PB +=时,直接写出x 的值 ． ② 设PA PB m +=，借助数轴求出m 的最小取值及对应的x ．【答案】（1）a=-5，b=4，数轴表示见解析；（2）①-7或6；②m 最小值为9，-5≤m≤4 【分析】（1）根据非负数的性质得到a 和b 的值，在数轴上表示即可；（2）①根据题意可将13PA PB +=理解为点P 到A 和到B 的距离之和为13，再通过计算得到点P 表示的数；②根据题意得到当点P 在线段AB 上时，m 值最小，从而求解． 【详解】解：（1）∵2(5)-40a b ++=，∵a+5=0，b -4=0， ∵a=-5，b=4， 数轴表示如下：（2）①∵13PA PB +=， ∵5413x x ++-=，即点P 到A 和到B 的距离之和为13， ∵AB=4-（-5）=9， （13-9）÷2=2，∵点P 表示的数为-7或6； ②∵PA PB m +=，即点P 到A 和到B 的距离之和为m ， 根据数轴可知：当点P 在线段AB 上时， m 最小，且为9，此时-5≤m≤4． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，解题关键是理解题目的意思，结合数轴解决问题．16．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离 ．（2）数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是 ． （3）数轴上表示x 和1的两点之间的距离表示为 ． （4）若x 表示一个有理数，则|x ﹣2|+|x +4|最小值为 ．【答案】（1）2；（2）6；（3）|1|x -；（4）6 【分析】（1）依据在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-，即可得到结果． （2）依据在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-，即可得到结果． （3）依据在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-，即可得到结果．（4）判断出x 的点在表示4-和2的两点之间有最小值，即可得到|2||4|x x -++的最小值值即为|42|--的值． 【详解】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离为|31|2-=； （2）数轴上表示12-和6-的两点之间的距离是|6(12)|6---=；（3）数轴上表示x 和1的两点之间的距离表示为|1|x -； （4）42x -<<时|2||4|x x -++有最小值， ∴最小值|42|6=--=，故答案为：2，6，|1|x -，6． 【点睛】本题考查的是绝对值的几何意义，两点间的距离，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． 17．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即|x|＝|x －0|，也可以说，|x|表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示数轴上数x 1与数x 2对应点之间的距离． 例1：已知|x|＝2，求x 的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为－2或2，所以x 的值为－2或2． 例2：已知|x －1|＝2，求x 的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或－1，所以x 的值为3或－1 仿照材料中的解法，求下列各式中x 的值． （1）|x|＝3； （2）|x －(－2)|＝4．（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋3|＋|x －2|＝5，这样的整数是_______． 【答案】（1）-3或3；（2）2或-6；（3）-3，-2，-1，0，1，2 【分析】（1）|x|可表示数轴上表示x 的点到原点的距离，据此求解可得； （2）|x -（-2）|可表示数轴上与-2对应的点的距离，据此求解可得；（3）由于|x+3|表示x 与-3两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x -2|表示x 与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而|x+3|+|x -2|=5，则x 表示的点在-3与2表示的点之间． 【详解】（1）在数轴上与原点距离为3的点表示的数为-3和3， ∵x 的值为：-3或3；（2）在数轴上与-2对应的点的距离为4的点表示的数为2和-6， ∵x 的值为：2或-6；（3）∵|x+3|表示x 与-3两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x -2|表示x 与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而-3与2两数在数轴上所对的两点之间的距离为2-（-3）=5，|x+3|+|x -2|=5， ∵-3≤x≤2．∵使得|x+3|+|x -2|=5这样的整数是：-3，-2，-1，0，1，2．故答案为：-3，-2，-1，0，1，2．【点睛】本题考查了绝对值和数轴，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点．18．同学们都知道，│4－（－2）│表示4与－2的差的绝对值，实际上也可理解为4与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理│x－3│也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：(l)在数轴上表示x和－1两点之间的距离表示为．如果它们的距离为3，那么x=(2)找出所有符合条件的整数x，使│x－4│+│x+2│=6成立．(3)由以上探索猜想，对于任何有理数为x，│x－3│+│x－6│是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．x+；-4或2；（2）符合条件的整数x有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）有，【答案】（1）1最小值为3【分析】（1）根据题干中的说明可得结果；（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x-4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．【详解】解：（1）由题意可得：x+，数轴上表示x和－1两点之间的距离表示为1如果它们的距离为3，那么x=-4或2，x+；-4或2；故答案为：1（2）令x-4=0或x+2=0时，则x=4或x=-2，当x＜-2时，∵-（x-4）-（x+2）=6，-x+4-x-2=6，x=-2（范围内不成立），当-2＜x＜4时，∵-（x-4）+（x+2）=6，-x+4+x+2=6，6=6，∵x=-1，0，1，2，3，当x＞4时，∵（x-4）+（x+2）=6，2x=8，x=4，x=4（范围内不成立），∵综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）由（2）的探索，设3、6、x 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、X ，则|x -3|+|x -6|=AX+BX ，AB=|6-3|=3，∵AX+BX≥AB ，∵|x -3|+|x -6|≥3，当X 在A 、B 之间时成立．∵对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|有最小值为3．【点睛】本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数形结合的思想，是解决本题的关键．19．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“”，规定a b a b a b =++-.（1）若()2230a b -++=，计算a b 的值.（2）当a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a b .（3）已知0a >，()8a a a =，求a 的值.【答案】（1）6；（2）－2b ；（3）2【分析】（1）先求出a 、b 的值，再根据题目中的规定，可以求得所求式子的值；（2）根据数轴可以判断a 、b 的正负和它们绝对值的大小，从而可以解答本题；（3）先表示出a a ，再表示()a a a ，根据题意和题目中的式子可以求得a 的值． 【详解】解：（1）∵()2230a b -++=，∵a=2,b=-3 ∵a∵b=|a+b|+|a -b|，∵a b =2∵（-3）=|2+（-3）|+|2-（-3）|=1+5=6；（2）由数轴可得，b ＜0＜a ，|b|＞|a|，∵a∵b=|a+b|+|a-b|=-（a+b）+（a-b）=-a-b+a-b=-2b；（3）∵a＞0，（a∵a）∵a=8，∵（|a+a|+|a-a|）∵a=8，∵2a∵a=8，∵|2a+a|+|2a-a|=8，∵3a+a=8，解得，a=2．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是理解新运算“”的法则，明确有理数混合运算的计算方法．20．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与﹣2，3与5，﹣2与﹣6，﹣4与3．并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣1，则A与B两点间的距离可以表示为；若|x﹣6|＝3，则x＝．（3）结合数轴求出|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时符合条件的整数x为．【答案】（1）所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）|x+1|；x=9或3；（3）3；-1，0，1，2【分析】（1）直接借助数轴可以得出；（2）分三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1；若|x-6|=3，则x-6=±3，求出x即可；（3）为x为有理数，所以要分类讨论x-1与x+3的正负，再去掉绝对值符号再计算．【详解】解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；故答案为：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x ＜0时，距离为x+1，当x ＞0，距离为x+1．综上，我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为|x+1|；若|x -6|=3，则x -6=±3，x=9或3；故答案为：|x+1|；x=9或3；（3）因为x 为有理数，就是说x 可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．①当x ＜-1时，x -2＜0，x+1＜0，所以|x -1|+|x+3|=-（x -2）-（x+1）=-2x -1＞3；②当-1≤x ＜2时，x -2＜0，x+1≥0，所以|x -1|+|x+3|=-（x -2）+（x+1）=3；③当x≥2时，x -2≥0，x+1＞0，所以|x -2|+|x+1|=（x -2）+（x+1）=2x -1≥3；综上所述，当x=-1，0，1，2，所以|x -2|+|x+1|的最小值是3．故答案为：3；-1，0，1，2．【点睛】本题考查了数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A -B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离．一、单选题 1．（已知非零实数a ，b ，c ，满足1b a c a b c ++=-，则||abc abc 等于（ ） A ．±1B ．﹣1C ．0D ．1【答案】D【详解】 1b a c a b c++=-,∴a,b,c 两个是负数，一个是正数,0abc ∴>, 1abcabc ∴=.选D.点睛：（1）b a c a b c++需要分类讨论，a,b,c 同正，同负，两正一负，两负一正. （2）化简绝对值公式：|x |,0,0x x x x -<⎧=⎨≥⎩.2．式子|x ﹣1|-3取最小值时，x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】根据绝对值非负数的性质解答即可．【详解】解：∵|x −1|≥0，∵当|x −1|=0，即x =1时式子|x −1|-3取最小值．故选A ．【点睛】本题主要考查绝对值的性质.理解一个数的绝对值是非负数这一性质是解题的关键． 3．满足27218a a ++-= 的整数 a 的个数有 （ ）A ．9 个B ．8 个C ．5 个D ．4 个【答案】D【解析】令2a +7=0,2a -1=0,解得，72a =-,12a =, 1）当72a ≤-时， 27218a a ---+=，72a =-.舍去. 2）7122a -<<时， 27218a a +--=,0=0,所以a 为任何数，所以a 为-3，-2，-1,0.3）12a ≥-时，27218a a ++-=, 12a = ,舍去. 综上，a 为-3，-2，-1,0.选D.点睛：绝对值问题，要“找零点，分区间，分类讨论”，也就是令绝对值内为0，然后分别讨论，去绝对值利用公式x =,0,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩,具体问题，往往把x 看做一个式子. 4．如果a 表示有理数，那么a +1，|a +1|，（a +1），|a |+1中肯定为正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【详解】根据有理数和绝对值的意义，可根据a 的值不确定，知a+1不一定是正数，（a+1）的值不确定，但是|a|≥0，可知|a+1|是正数， |a|+1一定是一个正数.故选A.5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，试化简|a +b |﹣|b |+|b +c |+|c |的结果是（ ）A ．a +bB ．a +b ﹣2cC ．﹣a ﹣b ﹣2cD ．a +b +2c【答案】C【解析】试题分析：根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断a 、b 、c 的符号和大小，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．解：根据数轴可得b ＜c ＜0＜a ，且|a |＜|b |，则a +b ＜0，b +c ＜0．则原式=﹣（a +b ）+b ﹣（b +c ）﹣c=﹣a ﹣b +b ﹣b ﹣c ﹣c=﹣a ﹣b ﹣2c ．故选C ．6．如果有理数a 和它的相反数的差的绝对值等于﹣2a ，则（ ）A ．a≤0B ．a≥0C ．a=0D ．任意有理数【答案】A【解析】根据绝对值的定义和性质，可知|a ﹣（﹣a ）|=﹣2a ，可得a≤0，故选：A ．点睛：本题考查绝对值的定义以及性质，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常见题．二、填空题7．若x 是有理数，则24682018x x x x x -+-+-+-+⋯+-的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判断出|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣|就是求数轴上某点到2、4、6、…、的距离和的最小值；然后根据某点在a 、b 两点之间时，该点到a 、b 的距离和最小，当点x 在2与之间时，到2和距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x =1010之间时，算式|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣的值最小，据此求出|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣|的最小值是多少即可．解：根据分析，可得当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣的值最小，最小值是：（﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣|的最小值是509040．【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．8．x是有理数，则10095221221x x-++的最小值是________．【答案】15 17【分析】本题分3种情况①当x＜-95221时；②当-95221≤x≤100221时；③当x＞100221时进行讨论，从而得到所求的结果．【详解】解：分三种情况讨论：（1）当x＜-95221时，原式=-（x-100221）-（x+95221）=-x+100221-x-95221=-2x+5221＞-2⨯（-95221）+5221=195221=1517；（2）当-95221≤x≤100221时，原式=-（x-100221）+x+95221=-x+100221+x+95221=195221=1517；（3）当x＞100221时，原式=x-100221+x+95221=2x-5221＞2×100221-5221=95221=1517；综合（1），（2），（3），可得最小值是15 17．故答案为1517． 【点睛】本题主要考查了绝对值的运用，关键是讨论时要讨论所有的情况，不能缺少一个． 9．在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数a 、b 的A 、B 两点之间的距离等于||-a b ．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足1|27|x x -++=的x 的值为___________．【答案】3或4-【分析】根据两点间的距离公式，对x 的值进行分类讨论，然后求出x ，即可解答；【详解】 解：根据题意，2|1|x x -++表示数轴上x 与1的距离与x 与2-的距离之和，当2x <-时，|(1)(2)2=1|7x x x x =---+-++，解得：4x =-；当21x -≤≤时，|(1)(2)2=1|7x x x x =--++-++，此方程无解，舍去；当1x >时，|(1)(2)2=1|7x x x x =-++-++，解得：3x =；∵满足1|27|x x -++=的x 的值为：3或4-.故答案为：3或4-.【点睛】本题考查了两点之间的距离，以及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，正确的把绝对值进行化简.注意利用分类讨论的思想解题.10．如图A ，B ，C ，D ，E 分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a 对应的点在B 与C 之间，数b 对应的点在D 与E 之间，若3a b +=则原点可能是_________．【答案】B 或E【分析】先利用数轴特点确定a ，b 的关系从而求出a ，b 的值，确定原点．【详解】解：当为A 为原点时，|a|+|b|＞3，当B 为原点时，|a|+|b|可能等于3，当C为原点时，|a|+|b|＜3，当D为原点时，|a|+|b|＜3，当E为原点时，|a|+|b|可能等于3．故答案为：B或E．【点睛】本题主要考查的是数轴与绝对值，分类讨论是解题的关键．11．①若2a与1－a互为相反数，则a=_________.②已知|a|=3，|b-1|=4，|a-b|=b-a，则a+b=_____________.【答案】-1 8或2或-6【分析】①根据互为相反数的两数和为0，列等式求解；②根据绝对值性质求出a，b值，再根据a b b a-=-确定a≤b，根据此关系确定a，b的值求解即可.【详解】解：①∵2a与1－a互为相反数，∵2a+(1-a)=0∵a=-1.②∵|a|=3，∵a=3或a= -3；∵|b-1|=4，∵b-1=4或b-1= -4，∵b=5或b= -3.∵|a-b|=b-a，∵a-b≤0，∵a≤b.∵a=3，b=5或a= -3，b=5或a= -3，b= -3，∵a+b=3+5=8或a+b=(-3)+5=2或a+b=(-3)+(-3)= -6即a+b的值为8或2或-6故答案为：①-1；②8或2或-6【点睛】本题考查相反数和绝对值的性质以及简单代数式求值问题，掌握绝对值的性质是解答此题的关键.12．已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若a b cma b c=++，n2=且m n m n+=--，则3m2n+4mn2=____.【答案】10.【分析】根据(a+b)(b+c)(c+a)=0，可知a 、b 、c 中有2个数互为相反数，另一个为正数，故1111a b c m a b c=++=+-=，由n 2=且m n m n +=--，可求出n 的值，最终2234m n mn +即可得解。
绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)
专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】 【题型4 根据绝对值的定义判断正误】 【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（ ）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（ ） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（ ）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（ ） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（ ） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【典例6】计算：（abc ≠0）＝ ．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。
绝对值五大题型
的讨论
a a _____ ；若 a 0 ，则 _____ . a a
10、若 a 0 ，则
【答案】1 或﹣1.
11、当 m 3 时，化简
m3 m3
【答案】1 或﹣1.
12、若 a ， b， c 均为非零的有理数，求
a b c 的值 a b c
【答案】3 或﹣3 或﹣1.
题型二：绝对值的化简
b 2 ，且 a b ；分别求 a ， 3、已知： a 5， b 的值
4、已知 1≤ x 5 ，化简 1 x x 5
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x
； ．
的点与表示 的点与表 示
的点之间的距离， 若 x 3 1， 则x
的点之 间的距离，若 x 2 2 ， 则
(5) 4. 20、已知 m 是实数，求 m m 1 m 2 的最小值
【答案】根据“奇中偶间”得当 m=1 时，原式取得最小值为 2.
21、已知 m 是实数，求 m 2 m 4 m 6 m 8 的最小值
题型五：绝对值的几何意义 19、 m n 的几何意义是数轴上表示 m 的点与表示 n 的点之间的距离 ① x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； x ； x0 （> ， ，< ） ； ． ② 2 1 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 2 1 ③ x 3 的几何意义是数轴上表示 ④ x 2 的 几何意义是 数轴上表示 ． ⑤ 当 x 1 时，则 x 2 x 2 20、已知 m 是实数，求 m m 1 m 2 的最小值
(完整版)关于绝对值的几种题型与解题技巧
关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。
即0≥a 。
但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。
怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。
所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。
如：5=a ，则5=a 和5-=a 。
合并写成：5±=a 。
于是我们得到这样一个性质：a很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。
因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。
如2)2(=--。
因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。
例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。
我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）a 0 a0 0=a a - 0 a（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。
绝对值不等式考点与题型归纳
绝对值不等式考点与题型归纳一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解； 当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立； 当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2， 解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|， 两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0， 解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二 绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037， 所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三 绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1， 解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1， 当－1≤x ≤2时，显然满足题意， 当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6. 解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立； 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1； 当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1； 当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2， 解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立， 而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.。
初中数学-绝对值知识要点总结
答案不唯一。
绝对值知识总结
以上的知识总结务必深刻理解和熟记！
只有在这个前提下才可能灵活运用对付
各种题型。
绝对值知识总结
二、绝对值概念的十个易错点
1. 一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数。
正确的说法是：一个数的绝对值等于本身，这个数是非负数。
分析：正数的绝对值等于其本身，但0的绝对值也等于其本身，
（1）0点分段法
1、若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值/界点可以使代数式取最小值；
（2）固定法则法
2、若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值/界点之间的任意一个数
（包含零点值）都可以使代数式取最小值
绝对值知识总结
一、绝对值运用技术
4、大数、小数、相反数
无论大数和小数是正数还是负数，(大数-小数)永远为正，（小数-大数）永远为负
绝对值知识总结
一、绝对值运用技术
4、大数、小数、相反数
-a
相
反
数
问题：
1、-a 和a 哪个数大？
2、-a 读作“负a”，哪么它就是
一个小于等于0的非正数吗？
-1、-2是负数，而-a 却是正负数都有可能。
从这个分析我们看出来，负号“-”不仅仅可以表达一个数是负数；它还可以表达一
个数的相反数，而从这个意义上讲，它只表明是相反方向，而表明不了正负
|2a-b|去号后为：-(2a-b)
b为正c为负，b-c必然大于0
|b-c|去号后为：(b-c)
c到a的距离与a到0的距离差不多，c-3a明显是大数-小数， |c-3a|去号后为：(c-3a)
原式= -(2a-b)+(b-c)-(c-3a)
=-2a+b+b-c-c+3a
绝对值经典题型
题型一：定义考察正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|-3|的相反数是.【解析】：|-3|的绝对值为3，3的相反数是-3.例2.绝对值大于2小于5的所有整数有.【解析】：绝对值大于2小于5的整数有-4、-3、3、4.例3.已知|X|= 4，则X= ; 已知|-X|= 5，则X= ;【解析】：(1)绝对值等于4的数有±4；(2)虽然|-X|有个“-”，但带有绝对值，这个“-”可以直接去掉，可以同(1)一样，绝对值等于5的数有±5.例4.已知|X-5|=2，则X= .【解析】：解法1：可以把绝对值里面的数当作一个整体，（X-5）的绝对值为2，则X-5=±2解得X=7或X=3解法2：利用绝对值的几何意义来解题：|X-5|=2，一个数到5的距离为2，则这个数为3或者7例5.下列语句:○1一个数的绝对值一定是正数；○2-a 一定是一个负数；○3没有绝对值为-3 的数；○4若|a| =a,则a 是一个正数；○5在原点左边离原点越远的数就越小.正确的有( )个A.0B.3C.2D.4【解析】：○1一个数的绝对值的绝对值可能是正数也肯是负数；○2一个字母前面带“-”，不能确认这个字母是正是负还是0，所以带上“-”后也不能确定是正是负还是0；○3一个数的绝对值只可能≥0○4一个数的绝对值等于它本身，这是数可能是正数也有可能是0○5在原点左边离原点越远的数就越小，在原点右边离原点越远数就越大例6.若|a| = -a,则a一定是( )A.正数B.负数C.正数或零D.负数或零【解析】：一个数的绝对值等于它的相反数，它可能是负数也可能是0题型二：非负性一个数的绝对值≥0例1.已知|a+3|+|c-2|=0，则a+c= .【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a+3=0，c-2=0 → a=-3，c=2，∴a+c=-1例2.若|x+3|+(y-1)2 = 0，求xy的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，一个数的平方也是≥0，两个≥0的数相加等于0，只可能是它们分别为0，即: x+3=0，y-1=0，∴x=-3，y=1；∴xy=-3例3.若|2x-4|与|y-3|互为相反数，求3x-y的值.【解析】：一个数的绝对值≥0，两个绝对值互为相反数，只有可能两者都为0，因为0的相反数仍为0∴2x-4=0，y-3=0；∴x=2，y=3；∴3x-y=9例4.已知|a-3|+|b -5|=0，x，y互为相反数，求3(x+y) -a+2b的值.【解析】：∵一个数的绝对值≥0，∴两个≥0的数相加等于0，只可能它们分别为0.∴a-3=0，b-5=0，a=3，b=5；∵x，y互为相反数，∴x+y=0所以3(x+y) -a+2b=7题型三：去绝对值正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1.|3-π|+|π-4|= .【解析】：要想去绝对值，得先搞清楚绝对值里面的正负，这样我们才能正确把绝对值去掉.因为3-π<0，π-4<0，所以|3-π|=π-3，|π- 4|=4 -π所以|3-π|+|π-4|=1例2.如图所示，则|a-b|-|2c+b|+|a+c|= .【解析】：从图中可知c < b < c，|c|>|a|>|b|a-b>0，2c+b<0，a+c<0|a-b|=a-b，|2c+b|=-(2c+b)，|a+c|=-(a+c)所以|a-b|-|2c+b|+|a+c|=a - b --(2c+b)-(a+c)=a-b+2c+b-a-c=c> 0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|.例3.若a<-b，ab【解析】：因为a> 0，所以○1a>0，b>0；○2a<0，b<0b○1当a>0，b>0时，与a<-b矛盾，所以这种情况不存在○2当a<0，b<0时，|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-(a+b)+ab=-2a+ab 例4.若1<a<5，则|1-a|+|5-a|= .【解析】：因为1<a<5，所以1-a<0，5-a>0所以|1-a|+|5-a|= -(1-a)+(5-a)=4例5.若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=4，则m-n= .熟记：|a|=a，则a≥0，|a|=-a，则a≤0切记别把“0”漏掉【解析】：因为|m-n|=n-m，所以m-n≤0○1第一种情况：m-n=0；○2第二种情况：m-n<0；又因为|m|=4，|n|=4所以m=-4，n=4即：m-n=-8例6.若x<-2，则y=|1-|1+x||等于.提示：多个绝对的情况，由内到外依次去绝对值【解析】：∵x<-2，∴1+x<0原式=|1-[-(1+x)]=|1+1+x|=|2+x|=-(2+x)题型四：分类讨论例1.若|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a-b= . 【解析】：∵|a+b|=a+b∴a+b≥0又∵|a|=5，|b|=7∴a=±5，b=7(负舍)∴a-b=-2或a-b=-12例2.若a>0，则|a|a = ，若a<0，则|a|a= .【解析】：○1∵a>0，∴|a|=a，∴|a|a = aa= 1；○2∵a<0，∴|a|=-a，∴|a|a = −aa= -1；例3.已知abc≠0，求|a|a + |b|b+ |c|c=【解析】：○1当a、b、c没有负数时，则原式=3○2当a、b、c有一个负数时，则原式=-1+1+1=1○3当a、b、c有两个负数时，则原式=-1-1+1=-1○4当a、b、c有全是负数时，则原式=-1-1-1=-3例4.若|ab|ab =1，则|a|a+ |b|b=【解析】：∵|ab|ab=1，∴a，b同号∴○1当a，b大于0时，原式=2○2当a，b小于0时，原式=-2题型5：零点分段零点：令绝对值等于0的x值，称为该绝对值的零点.步骤：○1找出每一个绝对值的零点；○2根据零点值给x分段；○3在每一段所属范围内，化简绝对值.例1.化简|x-1|+|x-4|【解析】：零点分别为1和4.○1当x <1时，原式=1-x+4-x=5-2x○2当1≤x≤4时，原式=x-1+4-x=3○3当x >4时，原式=x-1+x-4=2x-55-2x（x <1）|x-1|+|x-4|= 3 （1≤x≤4）2x-5（x >4）题型六：绝对值方程常用公式：若|a|=|b|，则a=b或a=-b步骤：○1根据绝时位内的正员分类，并去绝对值○2解出每一类对应的程○3检验方程的解是符合分类的范围要求例1.解方程：|2x-1|=|x+2|解：2x-1=±（x+2）○1当2x-1=x+2x=3○2当2x-1= -(x+2)2x-1=-x-23x=-1x= -13例2.解方程：|x-1|=2x-5解：x-1=±（2x-5）○1当x-1=2x-5x=4○2当x-1=-(2x-5)x-1= -2x+5X=2题型七：最值问题几何意义：|a-b|表示数轴上，a到b的距离Eg.|x-2|表示数轴上x到2的距离|x+3|表示数轴上x到-3的距离例1.当x在什么范围内|x-1|+|x-3|有最小值，最小值又是多少？【解析】：几何意义x到1的距离与与到3的距离之和○1当x<1时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2○2当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2 = 2○3当x>3时，|x-1|+|x-3|=d1+d2>2总结：|x-a|+|x-b|在a，b之间最小为|a-b|例2.求|x+1|+|x-5|+|x-2|的最小值【解析】：几何意义x到-1，5，2的距离之和当x=2时，最小值为6例3.求|x+2|+|x-1|+|x+4|+|x-7|的最小值.当-2≤x≤1时，最小值为14总结：奇为中间点，偶取中间段题型八：定值问题解题思路：让未知数之间相互抵消，则结果就是一个定值.例1. 若|x -1|+|x -2|+ … +|x -2022|的值为定值，求x 的范围.【解析】：偶数个绝对值相加，要想原式为定值，则一半的式子为x ，后一半式子-x ，这样未知数就都抵消了，所得结果为定值.(x -1)+(x -2)+ … +(x -1011)+(-x+1012)+ … +(-x+2022)这样正好将x 都消掉 解：当20222≤x ≤20222 + 1，即1011≤x ≤1012时，原式为定值例2. 若2a+|4-5a|+|1-3a|的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】：要想原式为定值，就要把a 都给抵消掉原式=2a+4-5a+3a -1解: 4-5a ≥0，1-3a ≤0，即：13≤x ≤45 原式=2a+4-5a+3a -1=3。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全(零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有｜x |〈c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；｜x ｜>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化｜x |<c 或｜x ｜〉c （c 〉0）来解，如｜ax b +｜〉c (c >0)可为ax b +〉c 或ax b +〈－c ；|ax b +｜〈c 可化为－c 〈ax +b 〈c ,再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x ｜≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点.4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法,是指:若数1x ,2x ,……，n x 分别使含有｜x －1x |,｜x －2x ｜，……，｜x －n x ｜的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……,n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
七年级上册数学绝对值必考八大经典题型pdf
七年级上册数学绝对值必考八大经典题型题型一：定义考查例1：|-2|的相反数是分析：负数的绝对值等于它的相反数。
答案：-2例2：绝对值大于等于1，小于4的所有正整数和为分析：符合题意的正整数有1、2、3。
答案：6例3:已知|x|=5，则x=，已知|-x|=3，则x=分析：绝对值等于5的数有±5，同理-x=±3，则x=±3。
答案：±5；±3例4：已知|x-2|=3，则x=；已知|2-x|=1，则x=分析：|x-2|=3表示x与2的距离是3，故x=-1或5。
|2-x|=1表示x与2的距离是1，故x=1或3。
答案：-1或5；1或3题型二：非负性例1：已知|a+3|+|b-1|=0,则a+b的值是分析：多个非负数的和为0，则每一个都是0，故a=-3，b=1。
答案：-2例2:已知|a-1|+|b-2|+2|c-3|=0，则a+b+c的值是分析：多个非负数的和为0，则每一个都是0，故a=1，b=2，C=3。
答案:6例3：已知|x|=x，则x0；已知|x|=-x，则x0分析：绝对值具有非负性，所以等式右边一定≥0。
答案：≥；≤例4：已知|x-2|=x-2，则x2；已知|x-2|=2-x，则x2分析：绝对值具有非负性，所以等式右边一定≥0。
答案：≥；≤题型三：去绝对值例1:|3-π|+|π-4|=分析：去绝对值，必须先判断绝对值内的正负，3-π和π-4均为负数，绝对值应取相反数，故原式=π-3+4-π=1答案:1例2：已知|≤x≤5，则||-x|+|x-5|=分析：因为|≤x≤5，所以1-x≤0，x-5≤0，故原式=x-1+5-x=4。
答案:4例3：如图所示，则|a-b|-|2c+b|+|a+c|=分析：由图可知：C，1a-b>0，2c+b<0，a+c<0，故原式=a-b-(-2c-b)+(-a-c)=C答案:C题型四：分类讨论例1:若|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a-b=分析:a=±5，b=±7，且a+b≥0(非负性)；故a=5、b=7，或a=-5，b=7答案：-2或-12例2：若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
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...... .绝对值题型归纳总结一、知识梳理模块一绝对值的基本概念模块二零点分段法（目的：去无围限定的绝对值题型）模块三几何意义...z例题分析题型一 绝对值代数意义及化简【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( )A ．a b >B ．a ＞bC ．a b <D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( )A ．1||m m -≥B ．1||m m -≤C ．1||1m m --≥D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值围．【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．. ..... ... .z⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．【变1】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值 【解析】 因为55a a ==±，，因为22b b ==±，，又因为a b <，所以22a b =-=±，即52a b =-=，或52a b =-=-，⑵由非负性可知12a b =-=，【例2】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【解析】 因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=【例3】 （1）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<（3）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---． a-ba+b【解析】 （1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=- 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【变2】 若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ． 【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【变3】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++-135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++-111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则 原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例4】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小值为20【例5】 若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，. ..... ... .z原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【例6】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ．【解析】 当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取最大值8当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．【例7】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-． 【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【变4】 已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a b a b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++--∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 题型二 关于a a的探讨应用【例8】 已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例9】 已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值 【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=-- 【解析】【变5】 三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【变6】 a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-． 综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【变7】 如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例10】 如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅-. ..... .. . .z若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【例11】 设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b cx a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b ca b c ---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例12】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【变8】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【变9】 已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a-当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例13】 若有理数m 、n 、p 满足1m n p mnp++=，求23mnpmnp的值． 【解析】 由1m n p mnp++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-，222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【变10】 有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则2a b c d a b c d+++=；若含有3个负数，则2a b c d a b c d+++=-．题型三 零点分段讨论法【例14】 化简523x x ++-．【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-； 当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【变11】 化简：121x x --++.【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．. ..... .. . .z【变12】 求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例15】 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析： 当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5． 【变13】 已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性） （1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【变14】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-题型四绝对值非负性【例16】 若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 【解析】 3m =-，72n =，12p =，3232p n m +=-＋. 【变15】 已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ． 【解析】 根据绝对值的非负性可知x a =，x b =，z c =，所以0xyz abc =<． 【变16】 已知非零实数a 、b 、c 满足a b c ++()2420a b c +-+=，那么a bb c+=- 【解析】 由非负性可得到0a b c ++=①，且420a b c -+=②，①+②得到530a c +=，所以35a c =-，代入①可得到：25b c =-．所以32555275c ca b b c c c --+==---． 【例17】 已知a为实数，且满足200a a -=，求2200a -的值【解析】 由题意可知：201a ≥，所以可得200a a -，即200=，所以2201200a -=，所以原式的值为201【变17】a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ． 【解析】 因为|1|1b b ++≥，而完全平方式非负，所以20a b -=，且1b +非负．又因为|3|0a b +-=，所以30a b +-=，观察可知2a =，1b =，所以2ab =．【例18】 若a 、b 、c 为整数，且19951a bc a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【解析】 法一：根据题意：19a b -，95c a -为非负整数， 分类讨论：①若0a b -=，1c a -=，则1b c a c -=-=，此时原式＝2； ②若1a b -=，0c a -=，则1b c b a -=-=，此时原式＝2．法二：从总体考虑，a b -、c a -一个为0，一个为1，也就是a 、b 、c 有两个相同，另一个和他们相差1．故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以2c a a b b c -+-+-=．. ..... ... .z【例19】 求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ，【解析】 因为1ab a b ++=，且00ab a b +≥，≥，a b ，均为整数所以可得01ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑴或者10ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑵，由⑴可得01ab a b =⎧⎨+=⎩或01ab a b =⎧⎨+=-⎩又因为a b ，均为整数，所以3124123400111010a a a a b b b b ====-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩，，， 由⑵得10ab a b =⎧⎨+=⎩或10ab a b =-⎧⎨+=⎩，所以56561111a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， 综上可得：共有6对，分别是：()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，【变18】 若,,x y z 为整数，且20032003||||1x y z x -+-=，则||||||z x x y y z -+-+-的值是多少?【解析】 2003||0,||0x y x y -≥-≥,同理2003||0z x -≥，所以一个为0，一个为1，也就是说,,x y z 有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以||||||z x x y y z -+-+-=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例20】 设a 、b 是有理数，则9a b ++有最小值还是最大值？其值是多少？ 【解析】 根据绝对值的非负性可以知道0a b +≥，则99a b ++≥，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【变19】 代数式24()a b -+最大值为 ，取最大值时，a 与b 的关系是____________ 【解析】 4，互为相反数； 【例21】 已知210ab a +++=，求()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+的值【解析】 由210ab a +++=得12a b =-=，所以()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+111 (233419951996)=----⨯⨯⨯9971996=-【例22】 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求2x yx y+-的值 【解析】 根据相反数的意义，我们可以知道：319990x y x y -+++-=所以必然有30x y -+=且19990x y +-=， 解方程组可得： 19991001x y y +==，所以原式21999100110003x y x y y x y x y ++++====---- 利用绝对值几何意义求两点间距离a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例23】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；->，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；⑶3x -几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间距离，若31x -=，则x = ．⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x =⑸当1x =-时，则22x x -++= ．：【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4【变20】 （1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=，sr qp. ..... .. . .z则q r -= ．（2）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（ ）A ．点A 在点B ，C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间D ．以上三种情况均有可能【解析】 （1）7；（2）B【变21】 （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如 图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都 在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点 的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点 的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。