绝对值题型归纳总结

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绝对值题型归纳总结

一、知识梳理

模块一绝对值的基本概念

模块二零点分段法（目的：去无围限定的绝对值题型）

模块三几何意义

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例题分析

题型一 绝对值代数意义及化简

【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )

A ．若a b =，则一定有a b =

B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()2

2a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( )

A ．a b >

B ．a ＞b

C ．a b <

D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( )

A ．a a >-

B ．a a <-

C ．a a ≤-

D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( )

A ．1||m m -≥

B ．1||m m -≤

C ．1||1m m --≥

D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值围．

【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．

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⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．

⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．

【变1】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2

120a b ++-=，分别求a b ，的值 【解析】 因为55a a ==±，，因为22b b ==±，，又因为a b <，所以22a b =-=±，

即52a b =-=，或52a b =-=-，

⑵由非负性可知12a b =-=，

【例2】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【解析】 因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=

故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=

【例3】 （1）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．

（2）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）

A ． 0ab <

B ． 0ab >

C ． 0a b +>

D ． 0a b +<

（3）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，

化简227a b a b +---． a-b

a+b

【解析】 （1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，

所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=- 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，

从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，

两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．

【变2】 若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ． 【解析】

211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，

故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．

【变3】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-----

--的值．

【解析】 法1：∵0.239x =-，则

原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-----

--++++

+-

135199721996x x x x x x x =-+-+-+-

-+++-+

+-

1(32)(54)(19971996)=+-+-+

+-

111999=+++=

法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则 原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---+

+---

111999=+++=

【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．

【例4】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小

值为20

【例5】 若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值围.

【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，