二次根式的有关概念及计算题单

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二次根式知识点及典型例题(含答案)

4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。

练习1、x为何值时，下列各式有意义。

【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。

第16章《二次根式》核心考点【学生版】

第16章《二次根式》核心专题一点通一、知识篇(一) 二次根式的概念与性质1.下列二次根式中，能与3合并的是（） A . 23 B . 12 C . 18 D . 322.下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A . 21 B . 8 C . 30 D . 123.使2+x 有意义，x 的取值范围是___________.4.已知y ＝244x x -+-－2，则x －y 的值是__________. 5.已知5＋1的整数部分为a ，小数部分为b ，则2a ＋3b 的值为________.6. 实数a 、b 在数轴上的对应位置如图，则2)1(-b －2)1(-a ＝（）A . b －aB . 2a －bC . a －bD . 2＋a －b7.已知2＜a ＜3，化简：122+-a a ＋2)4(-a .(二) 二次根式的乘除8.计算：35×1259×3＝________. 9.计算：23÷181＝_________. 10.已知直角三角形两直角边分别是214cm 和421cm ，则它的面积是_________.11.计算：27×50÷621＝_________. 12.已知a ＜b ，化简b a 3-的结果是___________.(三) 二次根式的加减13. 计算：212－631＋348.14. 计算：(12＋20)－(3－5).15.化简：(1) x x 1832＋812x x －x x 22； (2) (391x x －3231y y )＋(x x 412－325y y ).16. 先化简，再求值：(x x 932＋32y x y )－(x x 12－5x xy ). 其中x ＝3，y ＝31.(四) 二次根式的混合运算17. 计算：(1)3(2－3)＋27＋│6－3│； (2) (6x4x －2x x 1)÷3x .(五) 实际应用18. 长方形的一组邻边长分别为 4π2a 和6πa a 2，它与一个半径为8a 的圆的周长相同. (1)求a 的值； (2)求出此时长方形的周长.(六) 二次根式与规律19. 观察下列各式：2221111++＝1＋211⨯＝1＋(1－21)， 2231211++＝1＋321⨯＝1＋(21－31)， 2241311++＝1＋431⨯＝1＋(31－41)， ……，请利用你发现的规律，计算：2221111++＋2231211++＋2241311++＋…＋2220241202311++＝_____________.二、技能篇(一) 整体思想20. 已知a －b ＝23－1，a ＋b ＝23＋1，求a 2－b 2的值.21.已知a ＝3－22，b ＝3＋22，求a 2b ＋ab 2的值.22. 已知x ＝215-，y ＝215+，求x 2－xy ＋y 2的值，23.已知x ＝3－1，求x 2＋2x －5的值.24.已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求b a a b +＋2ab 的值.(二) 活用公式25. 化简：(a b ＋b a )2－(a b －b a )2.26. 已知x ＝2－3，求x 2＋(2＋3)x ＋43的值.27. 计算：(1) (3＋2)2023(3－2)2024；(2) (7＋43)5(2－3)10； (3) (3＋2－1)(3－2＋1).(三) 运用配方28. 已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足a 2－12a ＋36＋8-b ＝0，求这个三角形的最大边c 的取值范围.(四) 运用分式的性质29. (1)已知m ＝3＋1，n ＝3－1. ①求m n ＋n m 的值； ②求m n ＋nm 的值.(2)先化简，再求值：22222y x y xy x -+-÷(x 1－y 1)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.三、综合篇30. 运用整体思想求值(1)已知a ＝3＋22，b ＝3－22，则a 2＋b 2＋ab ＝__________；(2)已知x ＝3－2，y ＝3＋2，求x 2－xy ＋y 2的值.31. (分母有理化)观察下列各个二次根式的变形过程：121+＝)12)(12(12-+-＝22)1()2(12--＝12-；231+＝)23)(23(23-+-＝22)2()3(23--＝23-； 341+＝)34)(34(34-+-＝22)3()4(34--＝34-；请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出11-+n n 的结果是____________； (2)根据你发现的规律，请计算：()20231202320221431321211+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++.32. 利用因式分解求值：已知a ＞0，b ＞0，且a (a ＋4b )＝3b (a ＋2b ).(1)求b a 的值； (2)求ab a ab a 326-+的值。

二次根式及经典习题与答案

二次根式及经典习题与答案二次根式的知识点汇总二次根式的概念是指形如√a的式子，其中被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。

需要注意的是，因为负数没有平方根，所以当a<0时，二次根式无意义。

为了使二次根式有意义，只需要满足被开方数大于或等于零，即a≥0.此外，二次根式的非负性也是一个重要的知识点，即√a表示a的算术平方根，且当a≥0时，√a是一个非负数。

二次根式的性质包括：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

需要注意的是，当被开方数是负数时，需要先将其化为绝对值形式，再根据绝对值的意义进行化简。

综上所述，二次根式的知识点包括概念、取值范围、非负性、性质等。

在解题时，需要注意化简时的符号变化和取值范围的限制。

4.当x满足什么条件时，(1-x)²是一个二次根式。

5.在实数范围内分解因式：x⁴-9=(x²+3)(x²-3)，x²-22x+2=(x-11-√119)(x-11+√119)。

6.若4x²=2x，则x的取值范围是x=0或1/2.7.已知(x-2)²=2-x，则x的取值范围是x=1-√2或1+√2.8.化简：x²-2x+1÷(x-1)，结果是x-1.9.当1≤x≤5时。

10.把a-√a的根号外的因式移到根号内，等于√a(a-1)。

11.使等式(x-1)²+x-5=。

成立的根号外的因式是x-1.12.若a-b+1和a+2b+4互为相反数，则(a-b)²=4.13.在式子x²,2,y+1(y=-2),-2x(x²+1),x+y中，二次根式有3个。

14.下列各式一定是二次根式的是a²+1.15.若2/a-7/a³=2/a²-a，则(2-a)²-(a-3)等于1-2a。

16.若A=√(a²+4)/2，则A=(a+2)/2.17.若a≤1，则(1-a)³化简后为1-a³。

二次根式基础知识详解+基本典型例题解析

【总结升华】 a2 a 成立的条件是 a >0;若 a <0,则 a2 a .
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．

《二次根式》的知识要点和习题

《二次根式》的知识要点和习题知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根。

注意：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-、2x -、12--x 等都不是二次根式；a 的根指数是2, 即2a ，可省略不写；b a 也是二次根式。

当b 为带分数时，要把b 改写成假分数。

538是二次根式，不能写成2532。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如 ,,就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

①的有理化因式为，②的有理化因式为，③的有理化因式为，④的有理化因式为，⑤的有理化因式为5．二次根式的性质：（1）. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=（4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。

（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。

6．二次根式的乘除（1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

二次根式知识点梳理及经典练习(超详细)

二次根式知识点梳理及经典练习知识点1：二次根式的概念1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． [练一练]：1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二：二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是．[练一练]：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三：二次根式定义的运用[练一练]：A．－1 B．1 C．2 D．3题型四：二次根式的整数部分与小数知识点2：二次根式的性质常用到．注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．题型一：二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．[练一练]：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。

2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。

(完整版)二次根式的概念及性质练习题

二次根式的概念及性质练习题班级姓名一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）（1x 的取值范围是x<0 （）（2中字母x 的取值范围是x ≤34（）（3）当x=-1（）（4）当a=-4（）（5）2= —12 （）;（6—12（）（7）2= —12 （）;（8）（2=2×12=1 （）二、填空题：1．b ≥3）s ≥0）这种形如a （0≥a ）的代数式，叫做_______．2．当x______时，有意义．3x 的取值范围是_______ ．4．（7）2；（8+（2=________．（10． 5．当x=-2_______． 6．当a 取______7．当x 取______8．当m=-2________．((()(()(()(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____.======9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。

三、选择题：1．下列各式中，哪一个是二次根式（）ABCD2．使代数式2x +有意义的x 的取值范围是（） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（） ABC ．（2D=1-13=23四、求下列二次根式中字母的取值范围：五、计算：（1-（12）2; （2）（3）4时x 的值．x-4│—│7-x │． ()()()123(4。

16.1 二次根式第1课时：二次根式的概念(含答案)

116.1二次根式第1课时二次根式的概念一、选择题1.下列各式中,一定是二次根式的是()A.-3 B.33 C. D.-32.要使二次根式 +1有意义,a 的值可以是()A.-1 B.-2 C.-3 D.-43.下列二次根式中,无论x 取何值,都有意义的是()A. B. 2-1 D. 2+14.已知二次根式 +3,当x=1时,此二次根式的值为()A.2B.±2C.4D.±45.若1-2 是二次根式,则x 的值不可能是()A.-2 B.-1 C.0 D.16.下列选项中,使根式有意义的a 的取值范围为a<1的是()A. -1 B.1- C.(1- )2二、填空题7.当x=54时,二次根式 +1的值为.1+ x 的取值范围是.9.若关于x 的式子4- +- +2有意义,且满足条件的所有整数x 的和为10,则a 的取值范围为.0有意义的条件是.三、解答题11.判断下列各式哪些是二次根式,哪些不是,为什么?3,-16,34,-5, 2+1.(1)求x 的取值范围;(2)求当x=-2x 的值.13.已知 -17+17- =b+8.(1)求a、b 的值;(2)求a 2-b 2的平方根和a+2b 的立方根.16.1二次根式第1课时：二次根式的概念一、选择题1.答案A A.-3符合二次根式的定义,故本选项符合题意;B.33是三次根式,故本选项不符合题意;C.当x<0时, 无意义,故本选项不符合题意;D.由于-3<0,所以-3无意义,故本选项不符合题意.故选A.2.答案A由题意得,a+1≥0,解得a≥-1,结合各选项知,只有-1符合题意,故选A.3.答案D A. ,当x≥0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;B. 2-1,当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;2x≠0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;D. 2+1,无论x取何值,二次根式都有意义,故此选项符合题意.故选D.4.答案A当x=1时,原式=1+3=4=2,故选A.5.答案D∵1-2 是二次根式,∴1-2x≥0,解得x≤0.5,∴x的值不可能是1.故选D.6.答案D A项,当a≥1时,根式有意义;B项,当a≤1时,根式有意义;C项,无论a取何值,根式都有意义;D项,要使根式有意义,则11- ≥0且1-a≠0,解得a<1.故选D.二、填空题7.答案32解析当x=54时, +1==32.故答案为32.8.答案x>-1解析由题意得11+ ≥0且1+x≠0,∴1+x>0,解得x>-1,故答案为x>-1.9.答案1<a≤3解析∵关于x的式子4- + - +2有意义,∴4-x≥0,x-a+2≥0,解得a-2≤x≤4,∵满足条件的所有整数x的和为10,4+3+2+1=10,4+3+2+1+0=10,∴-1<a-2≤1,∴1<a≤3.10.答案x≥-2,x≠1且x≠-12解析由题意可得x+2≥0,x-1≠0且2x+1≠0,解得x≥-2,x≠1且x≠-12.2三、解答题11.解析3,-16,(a≥0), 2+1符合二次根式的定义,故是二次根式; 34是三次根式,故不是二次根式;-5中被开方数小于0,故不是二次根式.12.解析(1)根据题意,得3-12x≥0,解得x≤6.=3+1=2.(2)当x=-2∴3-12x=0,解得x=6.13.解析(1)由题意得a-17≥0,且17-a≥0,则a-17=0,解得a=17,把a=17代入 -17+17- =b+8,得b+8=0,解得b=-8.故a、b的值分别为17、-8.(2)由(1)得a=17,b=-8,∴± 2- 2=±172-(-8)2=±15,3 +2 =317+2×(-8)=31=1.故a2-b2的平方根为±15,a+2b的立方根为1.3。

二次根式的有关概念和性质(题型归纳)(解析版)

二次根式的有关概念和性质【思维导图】◎考点题型1 求二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x = ）A ．4B ．2C D ．0【答案】B 【解析】【分析】把0x = 【详解】解：把0x =2= 故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．变式1．（2020·山东定陶·八年级期末）当 x ＝－3 ）A ．3B ．－3C ．±3D【答案】A 【解析】【分析】把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解. 【详解】解：当x ＝－33=. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的计算，正确理解算术平方根的意义是关键. 变式2．（2020·北京·一模）如果31a ，那么代数式21(1)11aa a +÷--的值为（）A ．3BCD 2【答案】B 【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：原式=()()111a a a a a ÷--+=()()1111a a a a a a-+⨯=+-；当31a时，原式11+=故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．变式3．（2020·湖北鄂城· ）A B ．2 C ．22 D ．2±【答案】B 【解析】【分析】根据乘方和开方的运算法则进行计算即可．【详解】2=故答案为：B．【点睛】本题考查了开方和乘方的运算问题，掌握乘方和开方的运算法则是解题的关键．◎考点题型2 求二次根式中的参数例．（2021·山东阳谷·n的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】=6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【详解】解：24n=∴6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答变式1．（2021·全国·n是（）A．6B．3C．4D．2【答案】B【解析】【分析】根据题意，算数平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．【详解】n 的最小正整数是3，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，利用开方运算是解答本题的关键．变式2．（2020·四川三台·n 的最小值是（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】【分析】n 的最小正整数值．【详解】= ∴n 的最小正整数值是3；故选B ．【点睛】变式3．（2020·江西南丰·20b -=，则2019()a b +的值是（）． A ．1 B ．－1C ．2019D ．－2019【答案】B 【解析】【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a 与b 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】20b -=，∴3020a b +=⎧⎨-=⎩， ∴32a b =-⎧⎨=⎩，∴20192019()(32)1a b +=-+=-，故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组，熟练掌握几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零是解本题的关键．◎考点题型3 二次根式有意义的条件例．（2022·河北·在实数范围内有意义，则x的值可能为（）A．0B．﹣2C．﹣1D．1【答案】D【解析】【分析】10,10xx得到不等式组的解集，再逐一分析各选项即可.【详解】解：1010xx①②由①得：1,x≥由②得：1,x≠-所以：1,x≥故A，B，C不符合题意，D符合题意，故选D【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键.变式1．（2022·湖南岳阳·x的取值范围是（）A．1x≥-B．0x≠C．1≥x D．0x>【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答．【详解】解：由题意得10x -≥，解得1≥x ，故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式的非负数，解题的关键是熟练掌握二次根式的双重非负性列式进行解答．变式2．（2022·福建惠安·有意义，则x 的取值范围为（） A ．1x ≥- B ．1x >- C ．1≥x D ．1x ≤【答案】A 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可．【详解】∴10x +≥ 解得1x ≥- 故选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解被开方数为非负数是解题的关键．变式3．（2021·中x 的取值范围是（） A ．x ＞2 B ．x ≥﹣2C ．x ≠2D ．x ≥﹣2且x ≠2【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：20x +≥且20x -≠，解得：2x ≥-且2x ≠；故选D ．【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．◎考点题型4 利用二次根式的性质化简例．（2022·贵州松桃·八年级期末）下列各式中正确的是（）A 2=-B 2=±C ．22= D ．(22=-【答案】C 【解析】【分析】根据二次根式的性质即可依次判断．【详解】A. 2，故错误；B. 2=，故错误；C.22=，正确；D. (22=，故错误；故选C ．【点睛】此题主要考查二次根式的计算，解题的关键是熟知二次根式的性质．变式1．（2022·江苏·2x =-成立，则x 的取值范围是（） A ．2x ≤ B ．2x ≥C ．02x ≤≤D ．任意实数【答案】A 【解析】【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．22x x =-=-∴x -2≤0 ∴2x ≤ 故选A ．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．变式2．（2021·上海奉贤·七年级期末）下列计算错误的是（）A 2=-B 2C 2D ．2(2=【答案】A 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，进而判断即可．【详解】解：A 2，故此选项计算错误，符合题意；B 2=，故此选项计算正确，不合题意；C 2=，故此选项计算正确，不合题意；D ．2(2=，故此选项计算正确，不合题意；故选：A ．【点睛】此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则，熟记乘法法则是解题的关键．变式3．（2022·2的结果是（） A ．61x -- B ．1-C ．61x +D ．1【答案】D 【解析】【分析】x 号，然后合并同类项即可．0x ≥∴31=+x故原式化简为：3131x x +-=．故选：D ．【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质，熟练掌握二次根式的性质，求解该题的关键．◎考点题型5 复合二次根式的化简例．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m ，正确的结果是（）A B ．C ．D 【答案】C 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：由题意可得：30m -≥，∴0m ≤∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．变式1．（2021·河南原阳· ）AB C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．解：由题意可得：x ＜0∴(11x x x⋅=⋅-故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．变式2．（2021·湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内，得（）AB C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．【详解】解：由题意得： 102x >-，解得：x>2，∴(2x -= 故选D ．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．变式3．（2018·全国·2得（） A ．2 B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故选C.【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a＞0时=a;当a<0时,=-a.二次根式2=a,(a≥0).11。

二次根式

二次根式一、定义1.二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。

说明：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，又可以是一个带有字母的式子，但必须注意a ≥0是a 为二次根式的前提；（3）形如b （a ≥0）的式子也是二次根式b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是分数时，不能写成带分数的形式。

二、性质1.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

（2）（a ）2=a （a ≥0）；即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

（3）==a a 2 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

2、典型例题例1、如果是二次根式，那么m,n 应满足的条件是（）例2、求下列二次根式中字母的取值范围例3、 - ； =例4、如果a+ =1，那么a 的取值范围是（）。

例5、若化简|1-x|- 的结果是2x-5，则x 的取值范围是（）例6、要使式子有意义，则M 的取值范围是( )a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；例7、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）例8、已知a,b为两个连续的整数，且a>则a+b=( )例9、 + =( )例10、=·成立的条件是（）+|x+y-2|=0,则x-y=（）例11、如果=成立，那么（）A. m≥3B. m﹥3C.0≤m≤3D. m≥0例12、已知数a，b=b－a，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b例13、x为何值时，在实数范围内有意义（）A. x>1B. x<0C. x≥1D. x≤0例14、 =3-a,则3与a的大小关系是( )A. 3>aB. 3<aC. 3≥aD. 3≤a例15、如果x<-4，那么|2- |的值是( )A. 4+xB. -xC. -4-xD. x例16、若有意义，则m能取的最小整数值是（）A. m=0B. m=1C. m=2D. m=3三、化简、运算1、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；此法可推广到多个二次根式相乘的情况即 · ·= （a ≥0，b ≥0，c ≥0）b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

二次根式的知识点、典型例题、练习

第十六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念:1、定义：一般地，形如 Va (a >0的代数式叫做二次根式。

当时， .a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式(在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根)概念：式子-a (a >0叫二次根式。

.a (a >0是一个非负数。

题型一：判断二次根式(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、2、3 3、-、、、x (x>0)、x中，二次根式有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 (3)下列各式一定是二次根式的是( )2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件(1) 3x 4(2) 1 8a (3) . m 2 4V32、 ---- 有意乂，贝U ____________________ ;J x 1 2、当x 是多少时， 2x 3+x 2在实数范围内有意义?x3 若、J x 2 * 2成立，贝q x 满足 ___________________ 。

V 3 x v 3 x 典型练习题：.0、42、- .2、---- 、__y (X >Q y >0.x y '(2)在式子 J x x f 0 , V2,—1 y2 , , 2x x p 0 ,3 3^. x 2 1,x yA.B. 3 2mC. -a 2 1(4)3、_____________ 当时，VT~2 J i 2x有意义。

4、使式子(x 5)2有意义的未知数x有()个.A. 0 B . 1 C . 2 D .无数5、已知y= 厂x + •一厂2+5，求-的值.y6若・、3 x + , x 3有意义，则厂= ____________ .7、若."m 有意义，则m的取值范围是____________________ 。

m 18、已知' x 2 2 2 x，则x的取值范围是_________________________9、使等式x 1 x 1 •. x 1、、x 1成立的条件是______________ 。

二次根式的有关概念及性质

二次根式的有关概念及性质二次根式的概念及性质一、二次根式的概念：1.二次根式：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子。

2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例如，$\sqrt{4}$含有可开得尽方的因数4，不是最简二次根式；而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。

例如，$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同类二次根式。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

例如，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。

二、二次根式的性质：1.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq 0$）。

2.非负数的算术平方根是非负数，即$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq 0$）。

3.某数的平方的算术平方根等于该数的绝对值，即$\sqrt{a^2}=|a|$。

4.非负数的积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$（$a\geq 0,b\geq 0$）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0,b>0$）。

三、例题：例1.求$x$的取值范围，使得以下各式有意义：1) $\frac{1}{\sqrt{6-x}}$；(2) $\sqrt{x^2+3}$；(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$；(4) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$；(5) $\sqrt{4-x^2}$；(6) $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。

《二次根式》专题专练(一)(4个专题)

(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如图1)．求△OA6B6的周长．
分析：本题先根据图形进行计算，再探究规律．
解：（1）；
（2）依题意：；
；
；
依此类推，所以△ 的周长为．
点评：数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微，数形结合既有助于找到解答思路，也常使解答简捷，数形结合的关键在于几何图形转化为数的知识去探索规律，本题就体现了这种数与形的统一与和谐！
3．考查同类二次根式的概念
例4．(2007年眉山市)下列二次根式中与是同类二次根式的是( )．
A． B． C． D．
分析：只要将所给式子化成最简二次根式，再看是否与2相同即可．
解：因为；；；，故选D．
点评：判断是否与同类二次根式关键是化成最简二次根式以后，被开方数相同那就是同类二次根式，重点考查对概念的理解和把握情况．
点评：判断是否是二次根式的条件是 ≥0），要特别注意 ≥0这个条件，本题重点考查对二次根式概念的理解．
例2．（2007年成都市： ≥0，又 ≥0，再由非负数的性质就可以求出a，b的值．
解：由已知条件可得：a=2，b= -5，所以a+b=2-5= -3．
专练四：
1．写出和为6的两个无理数（只需写出一对）
2．借助计算器可以求出，，，，……仔细观察上面几道题中的计算结果，试猜想： =。
3．动手操作题：用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，，，…，，。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选个数。
4．阅读下列解题过程，并按要求填空：

二次根式

二次根式基础知识1.二次根式的相关概念：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

二次根式a 的特点：（1）在形式上含有二次根号，表示 a 的算术平方根。

（2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。

（3）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。

2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。

(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。

3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 4.二次根式的乘法 )0,0(≥≥=⋅b a ab b a),0(o b a b a ab ≥≥⋅=5.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：)0,0(>≥=b a ba b a )0,0(>≥=b a ba b a （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。

6.最简二次根式（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不能含有开的进方的因式或因数（指数都为1）7.化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。

（2）应用b a ab ⋅= 和 )0,0(>≥=b a ba b a （3）将平方式（或平方数）应用 )0(2≥=a a a 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。

8.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

9.二次根式加减运算的步骤： (一化，二找，三合并 )（1）将每个二次根式化为最简二次根式。

（2）找出其中的同类二次根式。

（3）合并同类二次根式。

10.二次根式的运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用。

例题解析1.二次根式的概念例题一：下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ，二次根式的个数是（）变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥，12-x 一定是二次根式的有( )个。

二次根式知识点及习题

二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式.注:在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意:因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1。

二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（)表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数,即0（）.注：因为二次根式（）表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似.这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0;若,则a=0，b=0；若，则a=0，b=0。

知识点四:二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如:，。

知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即;若a是负数,则等于a的相反数—a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值,一定有意义;3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数.但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时，=；时，无意义，而。

专题04 二次根式概念及其运算(解析版)

专题04 二次根式概念及其运算【题型一】二次根式有意义条件【例1－1】（2020·x 的取值范围是（） A ．0x ≥ B ．0x >C ．2x >D ．2x ≥【答案】D.【解析】解：由题意知：x-2≥0，解得：x ≥2，故答案为：D ．【例1－2】（2020·x 的取值范围是（） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x >且3x ≠D ．2x ≥且3x ≠【答案】D.【解析】解：由题意得：x-2≥0且x-3≠0 解得：x ≥2且x ≠3，故答案为：D ．【变式1－1】（2020·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．31x -≤< B ．3x ≥-且1x ≠ C ．1x <且3x ≠- D ．1x ≠且3x ≠-【答案】B.x+3≥0，且1-x ≠0 解得：x ≥-3且x ≠1，故答案为：B ．【题型二】二次根式性质【例2－1】2x =-，则实数x 满足的条件是（）A ．x=2B ．x≥2C ．x ＜2D ．x≤2【答案】D.【解析】解：由二次根式双重非负性知， 2-x ≥0，解得x ≤2．故答案为：D ．【例2－2】（2020·金华市期中）已知非零实数a ，b 满足212a b a -+-=-则a －b 等于（） A ．−1 B ．0C ．1D ．2【答案】D.【解析】解：由题意知，a-2≥0，即a ≥2则212a b a -+-=-，即10b -= ∴b-1=0，a-3=0， ∴b=1，a=3 a-b=2，故答案为：D ．【变式2－1】（2020·江苏淮安市期中）9﹣m ，则实数m 的取值范围是（） A ．m ＞9 B ．m ＜9 C ．m ≥9 D ．m ≤9【答案】D.【解析】解：由题意知，9﹣m ≥0， ∴m ≤9，故答案为：D ．【变式2－2】（2020·河北邢台市期中）若实数x 、y |1|0y -=，则代数式x y +的值为________．【答案】1.【解析】解：根据非负性可知：x=0，y-1=0，即x=0，y=1，x+y=1，故答案为：1．【题型三】最简二次根式【例3－1】（2020·江苏盐城市期末）若0a >，则下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D 【答案】C.【解析】解：A a=BC是最简二次根式，故此选项符合题意；D||a=故答案为：C．【例3－2】（2020·河南洛阳市月考）则整数a的最小值是（）A．0 B．3 C．4 D．12【答案】B.=∴3a是一个完全平方数，∴整数a的最小值是3．故答案为：B．【变式3－1】（2020·中，是最简二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.===22个，故答案为：B．【变式3－2】（2020·四川省阆中月考）下列根式是最简二次根式的是（）AB C D【答案】C.，不是最简二次根式；【解析】解：AB2C是最简二次根式，符合题意；D故答案为：C.【题型四】同类二次根式【例4－1】）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C.x，y为正整数，====∴113 27x y =⎧⎨=⎩，224812xy=⎧⎨=⎩，331473xy=⎧⎨=⎩，共有三组正整数解．故答案为：C．【例4－2】（2020·浙江杭州市模拟）已知最简二次根式与二次根式，则a的值为_________．【答案】±1.【解析】解：由题意可知：3a2+2=7a2-2解得：a=±1，故答案为：±1．【变式4－1】（2020·上海闵行区）已知最简二次根式与x=___．【答案】﹣2.【解析】解：∵最简二次根式与∴x+5=3，解得：x=﹣2，故答案为：﹣2．【变式4－2】与最简二次根式a=________．【答案】12.=又则4-2a=3，解得a=12．故答案为：12．【题型五】二次根式化简【例5－1】（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a-的值相等的是（）AB．C D．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a＞0，则a-2021<0，∴原式=(2021a--==故答案为：D．【例5－2】（2020·四川期末）化简）A B C D【答案】C.【解析】解：由题意知：﹣1x＞0，得x＜0，x故答案为C．【变式5－1】（2020·浙江杭州市模拟）化简二次根式）A B C D【答案】B.【解析】解：由题意知，-（a+2）≥0，即a≤-2∴原式=a=故答案为：B.【变式5－2】（2020·重庆月考）如图，实数a、b在数轴上对应的点分别为A、B，则=_______________．【答案】1-a.【解析】解：由数轴知，a＜b＜1，∴a-b＜0，b-1＜0，∴原式=|a-b|+|b-1|=b-a+1-b=1-a，故答案为：1-a．【变式5－3】当x＝y＝2的值为______．【解析】解：由题意，知：x+y＝4，x﹣y＝，（x+1）（y+1）＝6；【题型六】二次根式运算【例6－1】已知a+b＝﹣8，ab＝6__．【解析】解：∵a+b=-8，ab=6，∴a＜0，b＜0∴原式=86a bab+⎛⎫-==-=⎪⎝⎭【例6－2】计算：（1）-；（2）【答案】（1）2；（2）2.【解析】解：（1）原式2=+2=（2）原式=22==．【变式6－1】（2020·成都市月考）已知x=y=（1）求222x xy y++的值．（2【答案】（1）40；（2）-6.【解析】解：（1）3=+，y=3=，∴x+y=x-y=6，原式=（x+y ）2=40 （2）原式=21(2)(1)x y x x y y -+--+=11x y- =y xxy- =61-=-6. 【变式6－2】（2019·广东阳江）学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a，求2a a-的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：()111a a a a-===-，又∵a，∴1a=你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正．【答案】见解析.【解析】解：刘峰的解法错误，(0)(0)a a a a ⎧⎨-<⎩这个公式，正确解法是：∵a＜1， ∴a ﹣1＜0，＝|1|(1)a a a -- ＝1(1)aa a --＝﹣1a，【题型七】综合题型【例7－1】（2020·四川成都市月考）若a ，b ，c是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．【答案】21.【解析】解：∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123=== 解得：a=2，b=5，c=11 ∴2b+c=21．【例7－2】（2020·北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.a+3.【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,图2∵a＞0，=a+3.a+3.【例7－3】（2020·河南洛阳市月考）阅读下面的材料，并解决问题．==1；==…（1＝．（2）观察上述规律并猜想：当n示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：+++⨯＝；①1)②1)2020++⨯．【答案】（1）2（2（3）①4；②2020．【解析】解：（1＝2；（21；（3×+1）））﹣2））1）1）＝4；+）×）﹣）×）1）×）＝2020.【例7－4】（2020·长沙市月考）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，记2a b c p ++=，那么这个三角形的面积为S =，如图，在ABC ∆中，8a =，4b =，6c =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设AB 边上的高为1h ，AC 边上的高为2h ，BC 边上的高为3h ，求123h h h ++的值．【答案】(1)；(2)4．【解析】解：(1)在△ABC 中，a=8，b=4，c=6，代入可得p=9，∴=；(2) 设AB 边上的高为h 1，AC 边上的高为h 2，BC 边上的高为h 3，则123111222ch bh ah ===，∴1h =，2h =3h =，故h 1+h 2+h 3．【变式7－1】（2019·浙江台州市期末）在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置．代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x y +，xy ，11x y+，x y +，xy 叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）下列各代数式中，属于二元对称式的是______（填序号）；①1a b -；②()2a b -；③22+y x （2）若x y m +=，2=xy n ，将2y x x y ++用含m ，n 的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式；（3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2：问题1：已知40x y +-=，求22x y +的最小值．分析：因为条件中左边的式子4+-x y 和求解中的式子22xy +都可以看成以x ，y 为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，22xy +可取得最小值．问题2，①已知224x y +=，则x y +的最大值是______；②已知220x y +-=，则24x y +的最小值是______．【答案】（1）②④（2）222++=y x m x y n，不是；（3）① 4 【解析】解：（1）11a b b a≠--，①不是二元对称式， ()()22a b b a -=-，②是二元对称式， 2222y x x y +≠+，③不是二元对称式，=故答案为：②④；（2）∵x+y=m ，xy=n 2． ∴()22222222++++++=+==x y y x y x y x xy x y xy xy xy， ∴222++=y x m x y n．当m ，n 交换位置时，代数式的值改变了，∴不是二元对称式．（3）①当x 2=y 2=2时，即当x=y=时，x+y 有最大值，最大值为．②令t=2y ，则x+2y-2=x+t-2=0，2242222x y x y x t =++=+，∴当x=t 时，22x t +取最小值，即24x y +取到最小值，∴x=2y=1时，24x y +取到最小值4，所以最小值为4．【变式7－2】（2019·重庆九龙坡区月考）阅读下列材料：材料1：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去=|11==-=；材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法。

二次根式的有关概念及计算题单

二次根式知识点及典型例题(含答案)

第16章《 二次根式》核心考点【学生版】

二次根式及经典习题与答案

二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析

《二次根式》的知识要点和习题

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(完整版)二次根式的概念及性质练习题

16.1 二次根式 第1课时：二次根式的概念(含答案)

二次根式的有关概念和性质(题型归纳)(解析版)

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《二次根式》专题专练(一)(4个专题)

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