赤平投影在边坡工程中的应用

• 设重力G在通过的铅直面上分解为两个分力：一个为平行于的分力，即下滑力T＝α；另一个 为垂直于的分力N。设分力N在滑动面与上的法向分力分别为N1与N2，则有：
• N＝α （N为重力G在垂直于交线方向的分力） • N1＝ • N2＝
Nsinα2 N（sinα1sinα2）
Nsinα1 N（sinα1sinα2）
（二）两面夹角及角平分线的测量 两相交平面的公垂面和两平面的投影大圆弧相交，其间的夹角为所求的夹角，角的一半为平分线。
例1:有两个平面 ⑴245 °∠30° ⑵145°∠48°
地质学上把地球内部不利或有利的（当然（98%是不利的）物质分异面称为结构面，一般 意义上是指断层面、节理裂隙面、沉积岩的层面等薄弱结构面，后者如石英脉等。
＝
N 1t g φ 1＋ c1SAB ＋ D N2t g φ 2＋ c2SCBD Gsiα n
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以上是岩质边坡稳定性分析的定性评价方法。下面讲解岩质边坡稳定分析的定量计算方法。
【例题1】岩质边坡双斜滑面稳定性计算
常见的问题是岩质边坡中存在两个反向倾斜——倾向差值δ满足90°＜δ＜180°的滑动面与， 滑动体为楔形体（四面体），楔形体最可能的滑动方向就是沿着双斜滑面与交线的方向滑动。 如下图所示：
等）和线，必然与球面相交成球面大圆和点。 球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的
连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
1.平面的投影 平面()产状90 ° ∠40°,投影到赤平面上为。代表走向，代表倾向，代 表倾角。 2.线的投影 直线()产状：90 ° ∠40°,投影到赤平面上为H点。为直线的倾伏向，为 倾伏角。
当然地壳与地幔的分界面——莫霍面以及地幔与地核的分界面古灯堡面也可以视为两个最 大级别的结构面。而边坡岩体的稳定性在很大程度上取决于软弱结构面（或其组合交线）的产 状及其发育密度。
赤平极射投影不魁为一种科学的思维方法和解题方法。若从数学的角度来讲，赤平投影方法实质上是 把复杂的空间（三维）问题借助代数、几何（尤其是立体几何及平面解析几何）、坐标旋转以及一一对 应原理转化为相对简单的平面（二维）问题来求解；
如若不然，就只有或者通过制作空间模型来解决每一个与之有关的角距问题，或是利用空间解析几何 来处理这些问题，显然这两种解决问题的方法都是足够烦琐的和不够聪明的，甚至问题的复杂程度有时 可以说是复杂到令人望而生畏或者说可望而不可及的 。
然而传统的赤平投影解题方法不但要依赖纸质的吴氏网（为俄国学者吴尔夫所发明），还得有 透明纸、铅笔、直尺等作图工具，慢都不说，由于吴氏网中不论经线还是纬线最多是以每2°的间 距画的—过密则看不清楚，因此带来的误差如果是定性分析倒还可以接受，如果是定量计算就显 得过于粗糙了。
• 滑动体空间问题的稳定性分析，其力学原理与平面问题相比并无本质差别，但计算要复杂得 多。我们仅讨论一种较常见的空间岩体滑动问题——岩质边坡双斜滑面问题。
• 边坡岩体被两个不同倾向结构面与切割成如图所示的楔形体（四面体），软弱结构面与的交 线在坡面上出露，该楔形体可能沿着交线的倾斜方向滑动，因此这两个结构面称为双斜滑面。
稳定性取决于其它因素。
下图为两结构面的最不利组合
原因是两条结构面之组合交线的倾向与边坡的倾向相同或相近，而倾角小于坡角，这样由于 存在临空面，就为边坡岩体向下——即向坡外滑动创造了条件；尤其是当交线倾角大于边坡 上坡面倾角而小于下坡面倾角时更容易产生边坡失稳的现象。反之如果岩体倾向与边坡坡向 相反（即倾向山体内侧）时，则由于缺乏滑动临空面，因而是最稳定的产状组合。
• 在进行力学分析前，首先应根据滑动面与的分布与产状，确定力学计算中所必需的几何参数， 如滑动面与的面积和，两滑动面交线的倾角α，滑动体的体积等。这些参数通常是用赤平极 射投影和实体比例投影方法加以分析和确定的。滑动体体积求出后，根据岩体的容重γ求出 滑动体的重量G，然后再进一步作力学分析：G＝ γ ×
赤平投影在边坡工程中的应用
极射赤平投影
极射赤平投影 ( )简称赤平投影， 主要用来表示线、面的方位，及其相互 之间的角距关系和运动轨迹，把物体三维空间的几何要素（面、线）投影到平 面上来进行研究。
特定：方法简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。在构造地质、 工程地质、结晶学和航海上被广泛地应用。
• 右图为求解两结构面交线 产状（倾向∠倾角）的过程。 J1：45°∠30°；J2： 90°∠45°。
• 求解结果——结构面交线 产状：
• 34.6°∠29.6°
右 图 为 去 掉 吴 氏 网 背 景 的 效 果 图
结构面或其交线（简记为）与边坡岩体（）稳定性的关系一般可概括为：
A、与走向相近，倾向相反，则边坡岩体最稳定； B、与走向相近，倾向相近，倾角＜坡角，则边坡岩体最不稳定； C、与走向相近，倾向相近，倾角＞坡角，则边坡岩体较稳定； D、与走向近于垂直，则结构面产状对边坡岩体稳定性不起控制作用，边坡
投影要素 1、投影球 2、赤平面:过投影球球心的水平面 3、基圆:赤平面与球面相交的大圆 （赤平大圆）。 凡过球心的平面 与球面相交的大圆，统称为大圆， 不过球心的平面与球面相交所成的圆 统称小圆。 4、极射点: 球上两极发射点，分上 半球投影和下球投影
一、面和线的赤平投影
（一）投影原理 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面
而且因为每次求解都需要用铅笔定（或者说“钉”）在吴氏网的中心——圆心处，这样一来， 一张好端端的吴氏网用不了几次就报废了。下面图示的就是用传统作图方法绘制出一条走向40°、 倾向、倾角40°（产状：130°∠40°）经线的过程。
二、赤平极射投影的应用
赤平投影广泛应用于水利水电工程地质以及岩质边坡稳定性的定性分析和定量计算，主要用 于求解空间点、线、面之间的角距关系，也就是说，它可以： ①求解空间任意两结构面的夹角；②求解空间两结构面交线的产状（倾向∠倾角）；③求解空 间任意两直线的夹角；④求解空间任意产状一直线与任意产状一平面的夹角；⑤求解其它。
因此，只要获得滑动面ABD与CBD的抗剪强度指标：φ1、c1及φ2、c2，然后代入下式即可 求得滑动体重量： G＝γ×V＝(1/3)× γ×S△ABC×HD 式中HD＝DV，为四面体顶点D至底面ABC的垂直距离，V点为垂足，可以由式HD＝ AD×COS∠ADV求出，而∠ADV为边线AD与法线DV的交角，可以由——程序｜菜单｜问题 求解｜两条直线之夹角——求出。 则斜坡岩体稳定性安全系数可由下式计算： K＝抗滑力（R）/下滑力（T）