倒易点阵与X射线

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X射线衍射定律和衍射几何

倒易点阵的3个单位矢量a*，b*，c*的方向分别为(100), (010), (001)面的法线方向，它们的模为相应的面间距的倒数。由这三个倒易矢量得到与晶体点阵相对应的倒易点阵。
二、正点阵与倒易点阵的单位矢量有以下关系： a•a* = b•b* = c•c* =1 a•b* = a•c* = b•a* = b•c* = c •a* = c•b* = 0 三、倒易点阵的倒易点阵是正点阵。
对于P格子的(100)一级衍射，1和 2的位相差为2。
在面心格子中，对于(100)的一级衍射，(200)同时产生作用，3和1 的位相差为，引起干涉相消。对于面心立方格子，(100)面的一级衍射消光，(110)面消光, 而(111) 不消光。
• 结构因子原子散射因子 f = 一个原子的相干散射振幅/一个电子的相干散射振幅
H = (s – s0) 令： a/h • H = b/k • H = c/l • H
= n
则： a • H = nh b • H = nk c • H = nl 衍射指数：H = nh K = nk L = nl
• 面间距公式三角锥OABC的体积为： V = 1/6 • (a/h) • (b/k) (c/l) 或 V = 1/6 • dhkl • |(a/h – b/k) (b/k – c/l)|
• Bragg衍射实验： 2d100 (0.126) = n1 2d110 (0.178) = n2
2d111(0.109) = n3
得：n1 = n2 = 2 n3 = 1
体心立方格子的(100)面的一级衍射消光，(111)面消光， (110)不消光。可以判断NaCl为面心立方格子。 (111)的一级衍射弱，二级衍射强，说明Na+和Cl-在 [111]方向上交替排列。

名词解释

名词解释1）短波限:连续X射线谱的X射线波长从一最小值向长波方向伸展，该波长最小值称为短波限。

P7。

2）质量吸收系数指X射线通过单位面积上单位质量物质后强度的相对衰减量，这样就摆脱了密度的影响，成为反映物质本身对X射线吸收性质的物质量。

P12。

3）吸收限吸收限是指对一定的吸收体，X射线的波长越短，穿透能力越强，表现为质量吸收系数的下降，但随着波长的降低，质量吸收系数并非呈连续的变化，而是在某些波长位置上突然升高，出现了吸收限。

每种物质都有它本身确定的一系列吸收限。

P12。

4）X射线标识谱当加于X射线管两端的电压增高到与阳极靶材相应的某一特定值kU时，在连续谱的某些特定的波长位置上，会出现一系列强度很高、波长范围很窄的线状光谱，它们的波长对一定材料的阳极靶有严格恒定的数值，此波长可作为阳极靶材的标志或特征，故称为X射线标识谱。

P9。

5）连续X射线谱线强度随波长连续变化的X射线谱线称连续X射线谱线。

P7。

6）相干散射当入射线与原子内受核束缚较紧的电子相遇，光量子不足以使原子电离，但电子可在X射线交变电场作用下发生受迫振动，这样的电子就成为一个电磁波的发射源，向周围辐射与入射X射线波长相同的辐射，因为各电子所散射的射线波长相同，有可能相互干涉，故称相干散射。

P14。

7）闪烁计数器闪烁计数器利用X射线激发磷光体发射可见荧光，并通过光电管进行测量。

P54。

8）标准投影图对具有一定点阵结构的单晶体，选择某一个低指数的重要晶面作为投影面，将各晶面向此面所做的极射赤面投影图称为标准投影图。

P99。

9）结构因数在X射线衍射工作中可测量到的衍射强度HKL与结构振幅F称为结构因数。

P34。

10）晶带面（共带面）晶带轴我们说这些相交于平行直线的一组晶面属于同一晶带，称晶带面或共带面，其交线即为晶带轴。

P99。

11）选择反射镜面可以任意角度反射可见光，但X射线只有在满足布拉格方程的角上才能发生反射，因此，这种反射亦称选择反射。

倒易点阵

倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三维晶体中的衍射。在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢

1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例

倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。

引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。

二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。

2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。

X射线衍射原理

qqcos d
2
I m q c 2 o d I c s q c 2 o d G s 2 F H 2m K 2 e c 4 4 R L 2 ( 1 c 2 2 2 o ) I 0 s
影响衍射强度的其它因素
• 多重性因子--PHKL 晶体中晶面间距相等的晶面(组)称为等同晶面(组)．晶体中各面的等同晶面(组)的数目称为各自的多重性因子。
•例如的一组晶面间距从大到小的顺序：2.02Å，1.43Å，1.17Å，1.01 Å，
0.90 Å，0.83 Å，0.76 Å……当用波长为λkα=1.94Å的铁靶照射时，因
λkα/2=0.97Å，只有四个d大于它，故产生衍射的晶面组有四个。如用铜
靶进行照射，因λkα/2=0.77Å，故前六个晶面组都能产生衍射。
3、面心点阵
单胞中有四种位置的原子，它们的坐标分别是（0，0，0）、（0,1/2,1/2）、（1/2,0,1/2)、（1/2,1/2,0）
FHK2L[f1co2s(0)f2co2s(K 2L 2)f3co2s(H 2K 2)f4co2s (H 2L 2)2][fssi2n(0)f2si2n(K 2L 2)f3si2n(H 2K 2)f4si2n (HL)2]f2[1cos(KL)cos(HK)cos(HL)2]
1
d HKL
S
S0
N
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对应的倒易矢量r*HKL//N且 r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可
写为
SS0
rHaKbLc
衍射矢量方程
厄瓦尔德图解
• 以球的1 为倒半易径点作对球应，的得晶到面厄组瓦均尔可德参球与。衍所射有。落在厄瓦尔德
hkl
S/

X射线

一、X 射线性质1、波粒二象性：X 射线的波长约为1281010---m ，是一种波长很短的电磁波，所以具有波动性。

又因E=h ν=h/λ，X 光本身具有能量E ，且具有动量 p=h/λ，所以又具有粒子性。

故x 光本身表现为波粒二象性。

2、直线传播：X 射线具有相当强的穿透力，几乎不产生折射，其折射率为1。

它基本无发散产生，不改变传播方向，沿直线传播。

3、具有杀伤力：可以杀死生物的组织和细胞。

4、具有光电效应：（1）它可以使气体电离，产生电离效应。

（2）它可以使照相底片感光，产生感光效应。

（3）它可以使铂氰化钾溶液发出荧光，产生荧光效应。

（4）当光子能量足够大时，将使被照射原子中的电子被击出成为光电子，原子被激发，而光子本身则被吸收，产生光电吸收或真吸收。

（5）当光子能量进一步升高，将使被照射物原子的内层电子相碰撞，使其激发并形成空位，导致电子重排，产生二次x 射线，即荧光x 射线。

（6）若被照射物原于内层电子空位，被外层电子填补后，其多余的能量不以x 射线的形式放出，而是传递给其余外层电子，使之脱离原子本身。

此种现象称为俄歇效应。

5、散射现象：x 射线与物体碰植将使其前进方向发生改变而产生散射现象。

依据散射线与入射线间是否产生干涉，又可分为相干散射与不相干散射。

6、吸收现象：x 射线穿过被照物体时，因为散射、光电效应和热损耗曲影响、所出现强度衰减的现象称为X 射线的吸收。

二、1、布拉格定律推导：当一束平行X 射线射入晶体后，晶体内部的不同晶面将使散射线具有不同光程。

设一组晶面中，两任意面网间距为d ，则两面网上相邻原子A 和B 的光程差为δ=CB+BD=ABSin θ+ABsin θ=2dsin θ。

因为只有光程差为波长的整数倍时，相邻面网的衍射线之间才能相互干涉而加强成为衍射线，则产生衍射线条件为2dsin θ=n λ。

2、倒易点阵定义：倒易点阵又叫倒易格子，是一种虚构的数学工具，是想象的几何构图，是与晶体点阵互为倒易点的虚点阵，可用于解释衍射图的成因。

倒易点阵

§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。

通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。

1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。

也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。

倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。

它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。

一、倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11）式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、倒易点阵的性质a ）根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ）在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。

若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。

第二章 X射线运动学衍射理论

性 ❖ 7个晶系、14种布拉菲点阵 ❖ 晶向指数 [μνω] <μνω> ❖ 晶面指数（h k l） {h k l}
第一节倒易点阵第二节 X射线衍射方向第三节 X射线衍射强度
第一节倒易点阵
❖ 晶体中的原子在三维空间周期性排列，这种点阵称为正点阵或真点阵。
X射线衍射和可见光反射的区别： ❖ X射线衍射是入射线在晶体中所经过路程上的所有原子散射
波干涉的结果，晶体表面及内层原子面都参与了反射作用；可见光反射只发生在两种介质的界面上。 ❖ X射线衍射只在满足布拉格方程的角度上产生；而可见光反射可在任意角度产生。 ❖ 可见光在良好的镜面上反射，其效率可接近100％，而X射线衍射的强度比起入射线强度却微乎其微。
衍射方向反映了晶胞的形状和大小。
❖ 研究衍射方向可以确定晶胞的形状与大小，同时可以看到，若晶胞由不同原子组成或排列方式不同，衍射方向(θ)却没有反映，该问题可通过衍射强度的研究来解决。
3、布拉格方程的应用
❖ 结构分析－X射线衍射学利用已知波长的特征X射线，通过测量θ角，可以计算晶面间距d,分析晶体结构。
（2）衍射的限制条件
❖ 由布拉格方程2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因sinθ≤1，故nλ/2d ≤1。
❖ 当d一定时，λ减小，n可增大，说明对同一种晶面，当采用短波长X射线时，可获得较多级数的反射，即衍射花样会复杂。
❖ 对衍射而言，n的最小值为1，此时λ/2≤d，这就是能产生衍射的限制条件。
即一个g*与一组（hkl）晶面对应，g*的方向与大小表达了（hkl）晶面在正点阵中的方位与晶面间距；反之，（hkl）晶面决定了g*的方向与大小。
❖ g*的基本性质也建立了作为终点的倒易（阵）点与（hkl）晶面的一一对应关系：

X射线衍射的几何原理应用物理系

1、无限大晶体对X射线的衍射
2d sin
当X射线沿Ɵ角入射，相邻原子层间的位相差为2π，所有原子层的反射的X射线都同相位，沿Ɵ 方向X射线最强。
当X射线稍微偏离Ɵ角入射，相邻原子层间的位相差为2π±△，第0层与第[π/△]层、第1层与第 [π/△]+1层、…相位差为π，两两干涉相消。也就是说入射角稍微偏离布拉格角，衍射线立刻消失。
第三章 X射线衍射的几何原理（II）
§3.4 倒易点阵 §3.5 衍射方法 §3.易点阵
➢ 倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一
可简化晶体学计算,形象解释衍射现象 1921由德国物理学家Ewald引入X射线领域
从数学上讲，倒易点阵是正点阵派生的图形从物理上讲，正点阵与晶体结构相关，描述的是晶体中物质的分布规律，是物质空间；倒易点阵与晶体的衍射现象有关，它描述的是衍射强度的空间分布。
图中R为相机的半径, Hl 为 l 层线与中央层线的距离, 由图可得
Hl Hl2 R2
cos l
l
c
底片
故有
c l
H
2 l
R2
x射线
Hl
l
l
Hl
R 单晶
l =0
转动
同样, 若使晶体分别绕 a 或 b 轴旋转, 则有
a h
H
2 h
R2
Hh
b k
H
2 k
R2
Hk
分别求得晶胞参数a,b,c后, 便可计算晶胞的体积, 普遍的计算公式为
§3.5 衍射方法
要使一个晶体产生衍射，入射的X射线的波长、布拉格角和衍射面面间距必须满足劳厄方程或布拉格方程的要求。
2d sin
试验方法有三种：

第三章X射线衍射原理

一、布拉格定律布拉格方程的导出布拉格方程的讨论二、衍射矢量方程和厄尔瓦德图解三、衍射方法和衍射仪
一、布拉格定律 1. 布拉格方程的导出：
根据图示，干涉加强的条件：
2dSin n
式中：n为整数，称为反射级数；为入射线或反射线与反射面的夹角，称为掠射角或布拉格角，由于它等于入射线与衍射线夹角的一半，故又称为半衍射角，把2 称为衍射角。
一方面是衍射线在空间的分布规律，（称之为衍射几何），衍射线的分布规律是晶胞的大小、形状和位向决定.另一方面是衍射线束的强度,衍射线的强度则取决于原子的种类和它们在晶胞中的位置。
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系。
3.1 x射线衍射的几何原理
s - s0

g HKL
在设计实验方法时，一定要保证反射面有充分的机会与倒易结点相交，只有这样才能产生衍射现象。目前的实验方法有：转动晶体法劳埃法多晶体衍射法参见教材231页
三、X射线仪的基本组成
1.X射线发生器； 2.衍射测角仪； 3.辐射探测器； 4.测量电路； 5.控制操作和运行软件的电子计算机系统。
如图3-1，设晶胞中有两个阵点O、A，取O为坐标原点， A点的位置矢量r=xa+yb+zc，即空间坐标为（x,y,z）， S0和S分别为入射线和散射线的单位矢量，散射波之间的光程差为:
ON - MA r S - r S0 r(S - S0 )
……（3-1）
其位相差为：
0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,11,,03,3
0,3,1,3,0 3,03,1,0

55

材料分析方法第二章X射线衍射原理

不一定是晶体中的原子面。
29
（3）衍射极限条件
• 由 sin ，可以 1说明两个问题：
2d • ① 晶体产生衍射的波长条件：λ≤2d
• 由于大部分金属的d为0.2～0.3nm，所以波长λ也是在同一数量级或更小。
• ② 晶体中产生的衍射线条有限：d≥λ/2
• 所以，采用短波长的X射线时，能参与反射的晶面将会增多。
仅在正交晶系中，下列关系成立：
a * // a,b* // b, c * // c
a 1 ，b 1 ，c 1
a
b
c
7
• 另外，正倒空间的单胞体积互为倒数：
V*·V=1
•
倒易点阵的单位晶胞体积
V
*
*
a
*
(b
*
c )
• 正倒空间中角度之间的关系：
cos * cos cos cos sin sin
30
（4）衍射方向与晶体结构具有确定的关系
• 从 2d sin看出，波长选定之后，θ是d的函数。
• 各种晶系衍射角与晶面指数的对应关系：
• 立方系
2
sin 2 θ λ H 2 K 2 L2 4a 2
• 正方系 • 斜方系
sin2
2
4
H
2 K2 a2
L2 c2
sin 2
2
4
H2 a2
K2 b2
• 如图，X-ray以θ角入射到原子面并以β角散射时，相距为a 的任意两原子E、A的散射X射线的波程差为：
• δ=EG-FA=a(cosβ-cosθ)
当δ=nλ时，在β方向干涉加强。
假定原子面上所有原子的散射线同位相，即δ=0，则a(cosβcosθ)=0，θ=β

倒易空间Ewald图解.ppt

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7
Ewald图解
设S0与S分别为入射线与反射线方向单位矢量，S-S0称为衍射矢量，则反射定律可表达为：S0与S分居反射面（HKL）法线（N）两侧且 S0、S与N共面，S0及S与（HKL）面夹角相等（均为 θ）。据此可推知S-S0∥N （此可称为反射定律的数学表达式），如图所示。
2011-12-5 15
第一从已知条件中能读出多少内容： 1. 从|a|=3Å，|b|=2Å，gamma=60°，c//a×b可以看出：这个点阵是一个简单单斜点阵这个点阵是一个简单单斜点阵；a、b俩基矢间的夹角这个点阵是一个简单单斜点阵为60°；c轴垂直于a、b俩基矢所在平面；|c|没给出没给出。；没给出 2. 所求倒易矢为 g*110与g*210 。第二，理清思路：根据倒易矢与相应正点阵晶面之间的关系可知，所求倒易矢的方向分别为正点阵中（110）和（210）晶面的法向，倒易矢模长分别为晶面间距d110和d210的倒数。
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倒易点阵的性质
倒易点阵是衍射波在空间的方位与强度的分布。倒易空间的每一阵点都和正空间的相应的晶面族对应。 1. 定义：设a、b、c为正空间单胞的三基矢， a、b、c a* 、b * 、c *为倒空间单胞的三基矢，则： a* • a = b* • b = c* • c = 1 (1) a* • b = b* • c = c* • a = a* • c = b* • a = c* • b=0 (2) （1）决定了倒易矢的长度；（2）给出了方向。
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讨论衍射矢量方程的几何图解形式
衍射矢量方程的几何图解如图所示，入射线单位矢量S0与反射晶面（HKL）倒易矢量R*HKL及该晶面反射线单位矢量S构成矢量三角形（称衍射矢量三角形）。该三角形为等腰三角形（S0=S）；S0终点是倒易（点阵）原点（O*），而S终点是R*HKL的终点，即晶面对应的倒易点，S与S0之夹角为2θ，称为衍射角，2θ表达了入射线与反射线的方

晶体学基础与X射线衍射分析

晶体学基础与X射线单晶衍射分析一、晶体及其对称性晶体是由原子（离子，分子）在空间周期地排列构成地固体物质，为了更好的描述晶体这种周期排列的性质，可以把晶体中按周期重复的区域里的结构抽象成一个点，这样周期排列的点就构成了一个点阵，晶体的结构就可以表示成：晶体结构＝点阵＋结构基元的形式。

用三个不相平行的单位矢量a，b，c可以点阵在空间排列的坐标，这三个矢量的长度a，b，c及其相互之间的夹角γ，β，α称为点阵参数或晶胞参数。

点阵在空间的排列是高度有序的，这决定了其可以做某些对称操作。

固定一个点不动的对称操作（包括旋转，镜像，中心反映）可以有32种，对应32个点群。

实际晶体中除了点操作外，还可以存在螺旋轴，滑移面，若把这些操作和点操作进行组合，可以产生230种对称操作，对应230个空间群，所有晶体的对称操作只可能是这230个空间群中的一个。

了解晶体所属的空间群对测定晶体结构，判断晶体性质是极为重要的。

二、倒易点阵和衍射方向由于晶体具有周期性的排列结构，X射线照射到晶体上会产生衍射，为了更方便的解释晶体的衍射现象，引入了倒易点阵的概念。

倒易点阵是从是从晶体点阵中抽象出来的一套点阵。

它与晶体点阵的关系可以用下面的公式描述：其中a*,b*,c*是倒易点阵的单位矢量，倒易点阵上的点h，k，l的向量H可以表示为：H＝ha∗+kb∗+lc∗向量H的与晶体点阵中的平面（h，k，l）垂直，其长度与点阵中d hkl成反比，即：H＝1/dℎkl.晶体产生衍射的基本条件满足布拉格方程：也即：sinθhkl ＝1d ℎkl 2λ=H ℎkl 2λ 从这里可以看出，只有倒易点阵H hkl 对应的方向才是晶体衍射极大值出射的方向。

三、晶体基本信息的测定晶体的基本信息也就是晶体的晶胞参数和所属的空间群，其中晶胞参数可以在数据处理时利用布拉格方程来计算，为减小误差可以选用高角度的衍射点来求算。

由于在没有反常散射的情况下，晶体的衍射强度满足Friedel 定律，衍射点在H hkl 和H hkl̅̅̅̅̅的强度是相等的，也就是衍射点的分布都是中心对称的。

倒易点阵简介

（3）Ewald球不动，增加随机分布的晶体数量，相当于围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点均形成一个球（倒易球）。（粉晶法的基础）
hkl S/
1/
A
S0/
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
即 d hkl 2 的晶面不
可能发生衍射
hkl
S/
2 g
g S S0
1/
2
A S0 /
O
15
3 、S长度为1/d，方向垂
直于hkl面网，所以
S=g* 即：衍射矢量就是倒易矢量。
P
S/
g S S0
4 、可以A点为球心，以 1/为半径作一球面，称为
1/
2
A S0 /
O
反射球（Ewald 球）。衍
射矢量的端点必定在反射
球面上
5 、以S0端点O点为原点，作
第八章倒易点阵简介
倒易点阵几何衍射条件爱瓦尔德图解法粉末衍射法
整理课件
1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射效应是布拉格公式无法解释的,例如非布拉格散射就是如此.
倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠定了基础.
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2
倒易点阵几何
围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点形成的球称为倒易球
以O为圆心，2/λ为半径的球称为极限球。
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26
5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
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6
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：

X射线名词解释

1、连续X射线谱：具有连续波长的X射线，也称多色X射线。

2、标识（特征）X射线谱：在连续谱的基础上叠加若干条具有一定波长的谱线。

也称单色X射线。

3、短波限：电子与靶相撞，其能力（EV）全部转变为辐射光子能量，此时光子能量最大，波长最短，因此连续谱有一个下线波长&0，即为短限波4、同步辐射X射线源：当电子被加速到足够能量时，它便像圆周的切线方向辐射X射线波段范围的电磁波，把这种辐射称为同步辐射X射线源。

（特点1）通量大，亮度高；（2）频谱宽，连续可调；（3）光束准直性好；（4）有特定的时间结构；（5）偏振性好，在电子轨道平面上基本是100&的线偏振。

5、X射线强度：垂直X射线传播方向的单位面积上在单位时间内通过的光子数目能量总和，常用单位是J/cm2.s。

6、激发电压：开始产生标识谱线的临界电压。

7、K系激发：当K层电子被激活时，原子的系统能量便由基态升高到K激发态，把这个过程称K系激发。

8、K系辐射：产生K系激发后，K层的空位被高能级电子填充，这时产生的辐射称为K系辐射。

9、相干散射：物质中电子在X射线电场的作用，产生强迫振动，每个受迫振动电子便成为新电磁波源向空间的各个方向辐射同频率的电磁波，这些新的散射波之间可以发生干涉作用，把这种散射现象称为相干散射。

（它不损失X射线的能量，而只是改变了它的传播方向，但对X射线方向来说确是起到了强度衰减的作用。

）10、非相干散射：当X射线光子与束缚力不大的外层电子或自由电子碰撞时，电子获得一部分动能称为反冲电子，光子也离开原来方向，碰撞后的光子能量减少，波长增加，这样的散射现象称为非相干散射。

11、X射线的吸收：物质对X射线的吸收指的是X射线能量在通过物质时转变为其他形式的能量。

12、光电效应：以光子激发原子所发生的激发和辐射过程称为光电效应，被击出的电子称为光电子。

辐射出的次级标识X射线称为荧光X射线（或称第二标识X射线）。

13、荧光辐射：光子激发原子所发生的激发和辐射过程中发出荧光X射线，称为荧光辐射。

第二节倒点阵和X射线衍射条件

布拉格方程 Bragg equation
Bragg衍射方程： DB=BF=d sin
n = 2d sin 光程差为的整数倍时加强；
| sin | ≤1；当n = 1 时 / 2d = | sin | ≤1即 ≤ 2d ；只有当入射X射线的波长 ≤2 倍晶面间距时，才能产生衍射
布拉格方程的讨论
c n
n
OM dhkl
nrhkl/rhkl
C
b
M
B
O
a
h a kb lc A 1
dhk lOn A a/h(
rh*kl1dhkl
r h kl )r h kl
晶带 Zone
所有平行或相交于同一直线的这些晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为晶带面（共带面）。
三.X射线衍射的条件
劳厄方程 Laue equation :
1912年劳厄（M. Van. Laue）用X射线照射五水硫酸铜并（由C光u的SO干4·涉5H条2O件）出获发得导世出界描上述第衍一射张线X空射间线方衍位射与照晶片，体结构关系的公式（称劳埃方程）
a(cos-cos0)=H b(cos-cos0)=K c(cos-cos0)=L
晶面指数 Miller Index ：
对晶体中的一个晶面，可通过下列5个步骤标定其密勒指数：（1）定坐标：三个坐标轴分别与晶胞棱边平行，且符合右手法则；坐标原点位于晶胞的一个顶角，但不能在该晶面上；（2）求截距：以晶格常数为单位，求该晶面在坐标轴上的截距；（3）取倒数: 对三个截距值取倒数；（4）化整数：将三个截距值化为一组最小整数；（5 ）加括号；给该组整数加上小括号（）。
一、晶体特性二、倒点阵
第二节倒点阵和X射线衍射条件

倒易点阵及X射线衍射几何条件

单位晶胞
布喇菲晶胞:
The 14 possible BRAVAIS LATTICES
立方正方
斜方
六方菱方
单斜
三斜
3. 点阵类型
◆阵点的坐标表示 ●以任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用点阵周期（ a、 b、c）为度量单位。四种点阵类型 •简单(P:primitive) •底心(C:side-centred) •体心(I:body-centred) •面心(F:face-centred)
◆简单点阵的阵点坐标为[000]
◆底心点阵C
除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平行六面体所共有。因此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为 [000] ， [1/2 1/2 0]
◆体心点阵I
除 8 个顶点外，体心上还有一个阵点，因此，每个阵胞含有两个阵点，阵点坐标为[000]，[1/2 1/2 1/2]
晶面指数具有如下规律：

晶面指数，并非仅指一晶格中的某一个晶面，而是
泛指该晶格中所有那些与其相平行的位向相同的晶面。

在一种晶格中，如果某些晶面，虽然它们的位向不
同，但原子排列相同。如（100）、（010）及（001）等，这时若不必要予以区别时，可把这些晶面统一用 {100}表示。
6. 晶带定律
线的方向，它们的原子排列完全相同，属于同一晶向族，用
<111>表示。
5. 晶体学指数—晶面指数

⑴ 如图设晶格中，某一原子为原点，通过该点平行于晶胞的
三棱边作 OX、OY、OZ三坐标轴，以晶格常数 a、 b、 c分别作为相应的三个坐标轴上的度量单位，求出所需确定的晶面在三坐标轴上的截距； ⑵ 将所得三截距之值变为倒数； ⑶ 再将这三个倒数按比例化为最小整数并加上一圆括号，即为晶面指数。一般表示形式：(hkl) 。

倒易点阵[整理版]

倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。

暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。

衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。

二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。

透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。

结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。

这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。

焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。

焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。

透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。

弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。