2018年中考数学总复习 3.5 三元一次方程组及其解法

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2018届初三数学中考复习：三元一次方程组教学案

三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x ”的目标。

解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y解得2,2.y z =⎧⎨=⎩ 把2代入③，得8.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。

解法2：消z.①×5得 55560 ④④-② 得 4338 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x y x解得8,2.x y =⎧⎨=⎩把82代入①得2.∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。

具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。

解：由①+②+③得44448，即12 .④①-④得 3，②-④得 4，③-④得 5，∴3,4,5.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.典型例题举例：解方程组20,19,21.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③解：由①+②+③得2()=60 ，即30 .④④-①得 10，④-②得 11，④-③得 9， ∴9,11,10.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组⎩⎨⎧=+-=②①21327:2:1::z y x z y x分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由1:2得2x ；由1:7得7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。

三元一次方程组的解法课件人教版数学七年级下册

典例精析1 三元一次方程组的解法
例1 解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④ 的方程, 与方程① 3x 4z 7, 组成一个二元一
x=9, 所以原方程组的解是 y=8,
z=6.
合作探究
典例精析2 三元一次方程组求字母的值例2 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
巩固新知
下列方程组不是三元一次方程组的是( D)
x1
A.
x
y
2
x z 10
x y 10
C.
x
z
2
y z 15
x3y 2z 1
B. 2x y 4z 0
3x 2y z 3
x yz 1
D. x 3y 4z 7
xyz 12
提示：组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要
已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金
如下表:
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作
物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正
好够用?
解:设安排x公顷种水稻,y公顷种棉花,z公顷种蔬菜.

三元一次方程组及其解法

三元一次方程组及其解法
三元一次方程组顾名思义就是由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组
从上面的例子中，我们对三元线性方程组的定义有了详细的了解，知道什么是三元线性方程组。

接下来具体研究如何求解三元线性方程组。

同学们可以回忆一下，我们在学习二元一次方程组的时候，用了代换消元法或者加减消元法来解二元一次方程组。

那么现在三元线性方程组的解和二元线性方程组的解一样吗？
答案时肯定的，消元时解决多元一次方程组的根本思想，通过消元我们将多元一次方程组转化为二元一次方程组或者一元一次方程求解出其中一个或者两个未知数，然后再根据求出的解代入原方程组求出其他的未知数。

第二单元第五讲整式方程(组)的概念及解法 2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

方程
一般形式
5
对点练习
1.(1)下列是一元一次方程的是 ( D )
A.3-2x
B.6+2=8
C.x2-49=0
D.5x-7=3(x+1)
(2)下列是二元一次方程组的是( D )
A.
C.

2

3
2 2 + = 1
B.
3 − = 4

3
+ =7
D.
3 − = 0
− =1
− =2
当p=-1时,Δ=p2-4=-3<0;
∴p=3.
30
【方法技巧】
判别式的“双向应用”
1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.
2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.
提醒:要根据a≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.
31
【变式训练】
1.(2024·上海中考)以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( D )
【解析】(1)x2-(m+2)x+m-1=0,
这里a=1,b=-(m+2),c=m-1,
Δ=b2-4ac
=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)
=m2+4m+4-4m+4
=m2+8.
∵m2≥0,∴Δ>0.∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
33
(2)若方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1,x2,
18
− = ①
【自主解答】(1)
,
− = + ②
由①,得y=3x-5,③
把③代入②,得5(3x-5)-1=3x+5,

中考数学知识点总结（完整版）

中考数学知识点总结（完整版）中考数学总复习资料代数部分第⼀章：实数基础知识点：⼀、实数的分类：1、有理数：任何⼀个有理数总可以写成的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、⽆理数：初中遇到的⽆理数有三种：开不尽的⽅根，如、；特定结构的不限环⽆限⼩数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、°等。

3、判断⼀个实数的数性不能仅凭表⾯上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

⼆、实数中的⼏个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a的相反数是 -a；（2）a和b互为相反数a+b=02、倒数：（1）实数a（a≠0）的倒数是；（2）a和b 互为倒数；（3）注意0没有倒数3、绝对值：（1）⼀个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是⼀个⾮负数，从数轴上看，⼀个实数的绝对值，就是数轴上表⽰这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号⾥⾯的实数进⾏数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n次⽅根（1）平⽅根，算术平⽅根：设a≥0，称叫a的平⽅根，叫a的算术平⽅根。

（2）正数的平⽅根有两个，它们互为相反数；0的平⽅根是0；负数没有平⽅根。

（3）⽴⽅根：叫实数a的⽴⽅根。

（4）⼀个正数有⼀个正的⽴⽅根；0的⽴⽅根是0；⼀个负数有⼀个负的⽴⽅根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正⽅向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正⽅向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每⼀个点都表⽰⼀个实数，⽽每⼀个实数都可以⽤数轴上的唯⼀的点来表⽰。

实数和数轴上的点是⼀⼀对应的关系。

四、实数⼤⼩的⽐较1、在数轴上表⽰两个数，右边的数总⽐左边的数⼤。

2、正数⼤于0；负数⼩于0；正数⼤于⼀切负数；两个负数绝对值⼤的反⽽⼩。

五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值⼤的加数的符号，并⽤较⼤的绝对值减去较⼩的绝对值。

2018广州中考数学试卷分析报告

2018年广州市中考数学试卷分析报告综述2018年中考数学总体难度适中，相较于去年有所下降，试卷结构相对2017年没有变化，1-10题为选择题，分值30分，11-16题为填空题，分值为18分，17-25题为解答题，分值为102分．一、试卷结构分析今年的中考数学试卷一共3道大题，25道小题，满分150分．考试时间120分钟．其中题型、知识模块和分值分布情况，具体见下表：单题知识点考察分布从上表各题的考点来分析，今年对比往年来看，代数模块的题量与分值会多于几何模块，这也是导致整份试卷的难度有所下降的原因．从另一方面来分析，代数模块的题量增加，会使得整份试卷的计算量增加，对学生的考查更加重视解题的方法和方程思想，对一些常规的题型的处理方式更需要学生对题目分析透彻，比如涉及到的分类讨论，处理参数．基本作图和构造辅助线也是学生必须掌握的能力．另外，求动点的路径长度是近两年比较热门的题型，学生除了掌握三大几何变换的解题能力之外，也需要加强这类题型的解题能力．1、选择题．题量：10题，分值30分．【考查特点】今年的选择题难度较小，主要考查学生的基本概念、定理和基本的运算法则．考查的知识点主要是：无理数的概念、轴对称、三视图、整式和分式的基本运算、三线八角、概率、圆周角定理、垂径定理、二元一次方程的应用、一次函数与反比例函数图象共存、规律探究．后面两题相对来说有一定的难度，需要学生平时在这两种题型上面多加训练．2、填空题．题量：6题，分值18分．【考查特点】今年的填空题难度适中，没有偏难的题目出现，主要考查学生对二次函数图象的性质、菱形的性质、二次根式的化简、相似三角形的性质，这要求学生对整个初中所学的各知识点的性质．本大题中拉分题是最后一题，考查学生对四边形与相似三角形综合的解题能力．3、解答题．题量：9题，分值102分．【考查特点】第17题考查解一元一次不等式组，难度不大，要求学生熟悉解一元一次不等式组的每一个步骤．第18题考查全等三角形的证明，难度不大，要求学生熟悉全等三角形的5种判定．第19题考查分式的化简求值，难度中等，要求学生掌握分式的四则运算以及化简求值．第20题考查统计，难度不大，要求学生熟悉中位数、众数、平均数分别表示什么，并懂得求解．第21题考查不等式的实际应用题，难度中等，要求学生能从题干中读取有效信息，列出代数式，结合不等式的知识解答问题．第22题考查求解分段函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，通过观察函数图象解答不等式．难度中等，要求学生对题目分析足够全面，本题中，学生容易求错解析式或者分析不够全面，未能把2个k值都求出，从而影响到下一问的求解．第23题考查尺规作图作角平分线，角平分线的性质与全等三角形，线段和最值问题．难度中等，要求学生掌握基本的尺规作图，全等的判定．求解线段和的最值问题是本题的一大难点，要求学生熟悉掌握线段和差最值问题的解题能力．第24题考查二次函数与圆的综合，难度较大，近今年中考的函数综合题都没有图象，要求学生能够把几何问题利用方程思想，通过列方程解答几何问题，这是最近几年常考的题型，要求学生掌握数形结合能力，化归能力．二次函数的解析式也是带有参数，意味着所有的线段和点的坐标都是带有参数，这也增加的题目的计算量，这对学生的计算能力有了更高的要求．第25题考查四边形的内角和，旋转构造直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，求动点的运动路径问题，弧长的计算．难度较大，本题算是比较中规中矩的题目，前2问比较常规，程度较好学生应该都有接触过，甚至做过原题。

三元一次方程组及其解法学案

2.5三元一次方程组及其应用学案班级_____________________ 姓名_______________________学习目标1.了解三元一次方程组的概念，2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想3.会解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤。

学习重点：会解简单的三元一次方程组，经过本课学习进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法.学习难点：针对方程组的特点，选择最好的解法.一．课前预学1.解二元一次方程组的基本方法有哪几种？2.解二元一次方程组的基本思想是什么？[来源:学科网ZXXK3.解方程组预习疑难摘要___________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 二．课中导学1.三元一次方程组一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张.问老师分给甲、乙、丙各几张牌？(1)这个问题中要求的未知数有几个？你能列出关于这些未知数的几个方程？请试一试.(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？请试一试.归纳总结：（1）三元一次方程：和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程，由三个一次方程组成 , 并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组.（2）三元一次方程必备条件：①是_____方程②含____个未知数③所含未知数的项的次数都是____.（3）三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．（4）三元一次方程组必备条件：①是_____方程②共含____个未知数③三个都是_____次方程④联立在一起．2.典例剖析例1 解方程组21 22 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解：例2解方程组3213527 2312 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩解：归纳总结：解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用______________消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出_________________；(3)将_______________________代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个____________；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个_______________；(5)将求得的三个未知数的值用符号_____________合写在一起．3.课堂练习1．三元一次方程组的解是（）A．B．C．D．2．若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．不能求出3．已知三元一次方程组，则x+y+z＝．4．在一次解题比赛中，小张、小李、小王三人共解出了100道题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，则难题比容易题多_____道．5.解三元一次方程组：．三、课后延学1．三元一次方程组的解为（）A．B．C．D．2．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（）A．4 B．5 C．6 D．83．近日天气晴朗，某集团公司准备组织全体员工外出踏青．决定租用甲、乙、丙三种型号的巴士出行，甲型巴士每辆车的乘载量是乙型巴士的3倍，丙型巴士每辆可乘坐36人．现在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干辆，预计该集团公司安排甲型、丙型巴士共计8辆，其余员工安排乙型巴士，每辆巴士均满载，这样乘坐乙型巴士和丙型巴士的员工共296人．临行前，突然有若干人因特殊原因请假，这样一来刚好可以减少租用一辆乙型巴士，且有辆乙型巴士多出两个空位，这样甲、乙两种型号巴士共计装载178人，则该集团公司共有___名员工．4.解方程组5．问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．（1）请你按小明的思路解决问题．（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？参考答案一．课前预学1.代入消元法加减消元法2.消元思想3.二．课中导学1.三元一次方程组归纳总结：2.三元一次方程必备条件：①整式②三③14.①整式②三③一2.例1 解方程组21 22 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解：将③分别代入①，②，消去x，得3212 y zy z-=⎧⎨-=⎩解这个二元一次方程组，得57 yz=⎧⎨=⎩将57yz=⎧⎨=⎩代入③，得x= -2.所以原方程组的解257 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩例2解方程组3213527 2312 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩解：①+③，得 5x+5y= 25. ④①×2 -②，得 5x - y= 19. ⑤④-⑤，得6y=6，所以y=1.把y=1代入⑤，得x=4.再将x=4 ， y=1代入①，得z= -1所以原方程组的解是411 xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩归纳总结：(1)代入法或加减法(2)两个未知数的值(3)求得的两个未知数的值、一元一次方程(4)未知数的值(5){3.课堂练习1．C 2．B 3.35 4．205.解：②﹣①得：﹣2y＝4，解得：y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：x﹣2+z＝4，即x+z＝6④，把y＝﹣2代入③得：4x﹣4+z＝17，即4x+z＝21⑤，由④和⑤组成一个二次一次方程组，解得：，所以原方程组的解是：．三、课后延学1．D 2．C 3．4164.③﹣②得：2b﹣2a＝2④，即b﹣a＝1，①+③得：3a+4b＝18⑤，④⑤组成方程组解得：，把a＝2，b＝3代入方程③得：2+3+c＝6解得：c＝1．则方程组的解是：．5.解：（1）设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据题意得：，解得：，∴x+y+z＝90．答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（2）小丽的说法正确．设购买一件甲种商品需要x元，购买一件乙种商品需要y元，购买一件丙种商品需要z元，根据题意得：，方程①×3﹣方程②×2，得：x+y+z＝90．答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．（3）设购买一套A教具需要a元，购买一套B教具需要b元，购买一套C教具需要c元，购买一套D教具需要d元，根据题意得：，方程组可变形为：，设a+b+c+d＝m，2b+3c+4d＝n，则原方程组可变形为：，解得：，∴5a+3b+2c+d＝5（a+b+c+d）﹣（2b+3c+4d）＝5m﹣n＝3982．答：购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需3982元．。

沪科版数学七年级上册《3.5 三元一次方程组及其解法》教学设计1

沪科版数学七年级上册《3.5 三元一次方程组及其解法》教学设计1一. 教材分析《3.5 三元一次方程组及其解法》是沪科版数学七年级上册的一个重要内容。

此章节主要介绍了三元一次方程组的定义、解法和应用。

学生通过学习此章节，能够掌握三元一次方程组的基本概念和解法，并为后续学习更复杂的方程组打下基础。

二. 学情分析学生在学习此章节前，已经掌握了二元一次方程组的知识，具备了一定的解方程组的能力。

然而，三元一次方程组相较于二元一次方程组更加复杂，需要学生能够灵活运用已知知识进行解决问题。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生对已知知识的掌握情况，以及他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解三元一次方程组的定义和特点，理解其解法的原理。

2.能够运用加减消元法和代入消元法解决简单的三元一次方程组。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：三元一次方程组的定义、解法的原理和应用。

2.教学难点：三元一次方程组的解法及其在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解三元一次方程组的定义、解法的原理和应用，帮助学生理解和掌握相关知识。

2.案例分析法：教师通过举例讲解和引导学生分析实际问题，培养学生的解决问题的能力。

3.小组合作法：学生分组讨论和合作解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教学PPT：教师准备相关的教学PPT，内容包括三元一次方程组的定义、解法的原理和应用等。

2.实际问题：教师准备一些实际问题，用于引导学生应用所学知识解决实际问题。

3.练习题：教师准备一些练习题，用于巩固学生对三元一次方程组的理解和应用能力。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，引发学生对三元一次方程组的兴趣，并提出问题引导学生思考。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现三元一次方程组的定义、解法的原理和应用的相关内容，并进行讲解和解释。

3.操练（15分钟）教师给出一些简单的三元一次方程组，引导学生运用加减消元法和代入消元法进行求解，并引导学生总结解题思路和方法。

中考数学复习：第二章：方程与不等式专题复习

分式方程及其应用
•中考预知 •1、分式方程的解法； •2、分式方程实际的应用。
考点1：分式方程的解法
• 1．分式方程:分母中含有字母的方程叫分式方程. • 2．解分式方程的一般步骤： • （1）去分母，在方程的两边都乘以分母的最小公倍数，约去分母，
化成整式方程；
• （2）解这个整式方程； • （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使
一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
典例精讲
• 1、下列方程是一元二次方程的是（）
• A．ax2 bx c 0
• B．x2 2x x2 1
• C．x 1x 3 0
• D． 1 x 2 x2
• 2、分别用下列方法解方程
• （1）(2x 1) 2 9（直接开平方法）
（2）4x2–8x+1=0（配方法）
2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0，不可能都有两个相等的实数根．
• 七、判定三角形的形状 • 例7 设a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程c（x2＋n）＋b（x2－n）
－2ax＝0(n>0)有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
• 八、讨论方程有理根的问题 • 例8 m为有理数，讨论后为何值时，方程x2＋4(1－m)x＋3m2－2m＋4k＝0
典例精讲
• 1、已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是（）
• A．a＋c＞b＋c
B．c－a＜c－b
• C．
D．a2＞ab＞b2
• 2、若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（）
• A. ac bc
B. a b cc
C. c a c b D. a c b c

中考数学方程和方程式基础知识

中考数学方程和方程式基础知识基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆ 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a bx x -=+21，a cx x =⋅21（6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

《三元一次方程组的解法_ppt1

示题目中的例数量3关系在．等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表
②怎从样甲解地三到元乙一地次的方过程x程组＝中呢，？2上我时坡们时知，间道＋，y二＝元一3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c的
题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去
化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次
4a＋2b＋c＝3， ②
25a＋5b＋c＝60. ③
②－①，得a＋b＝1；Fra bibliotek④③－①，得4a＋b＝10.
⑤
④与⑤组成二元一次方程组 a＋ b＝1，
解这个方程组，得 a ＝ 3 ，
4 a＋ b＝1 0 .
把
a＝ 3， b＝ 2
b＝ 2 . 代入①，得c＝－5.
(4)解出方程组求出未知数的值；
过的二元一次方程组有什
三元一次消元从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一骤和消元方法，不要盲目消元．
二元一次消元
一元一次
方程组
方程组
方程组
试一试上面的三元一次方程组能否应用加减消元法
求解? 比较一下，哪种方法更简便？
a＝ 3，
因此 b ＝ 2 , 即a，b，c的值分别为3，－2，－5.
c 5,
例4 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h, 从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30 km, 20 km, 40 km，则从甲地到乙地的过程中, 上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？

方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（空集）（大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

第3章 3.5 三元一次方程组及其解法同步练习 (含答案)

第3章 3.5 三元一次方程组及其解法同步练习 (含答案)1．运用加减法解方程11x ＋3z ＝9，3x ＋2y ＋z ＝8，2x －6y ＋4z ＝5，较简单的方法是（）A. 先消去x ，再解22y ＋2z ＝61，66y －38z ＝－37B. 先消去z ，再解2x －6y ＝－15，38x ＋18y ＝21C. 先消去y ，再解11x ＋7z ＝29，11x ＋3z ＝9D. 三个方程相加再除以2，得8x －2y ＋4z ＝11再解2. 解三元一次方程组x-4y+z=-3，① 2x+y-z=18，② x-y-z=7，③得（）A. x=-3，y=2，z=0B. x=1，y=-1，z=0C. x=7，y=2，z=-2D. x=7，y=-2，z=23．已知方程组x+y=3，y+z=-2，x+z=9，则x+y+z 的值是（）A ． 6B ． -6C ． 5D ． -54. 已知等式y=ax2+bx+c ，且当x=1时y=2；当x=-1时y=-2；当x=2时y=3，你能求出a ，b ，c 的值吗？（） A. a=-31，b=2，c=31 B. a=31，b=2，c=-31 C. a=1，b=2，c=3D. a=-1，b=-2，c=-3 5. 判断x=5，y=10，z=-15是否是三元一次方程组x+y+z=0，2x-y+z=-15，x+2y-z=40的解： .6．解方程组x+y-z=4，x+z=1，x-y+2z=-1时，若先消去y ，所得关于x ，z 的方程组为．7. 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱.8. 解下列三元一次方程组：（1）x-2y=-9，y-z=2，2z+x=47；（2）3x-y+z=4，① 2x+3y-z=12，② x+y+z=6；③（3）2x ＝3y ＝5z ，①x －2y ＋3z ＝33 .②9．如果x ＋2y －8z ＝0，2x －3y ＋5z ＝0，其中xyz ≠0，那么x ∶y ∶z ＝（）A. 1∶2∶3B. 2∶3∶4C. 2∶3∶1D. 3∶2∶110．一宾馆有二人间、三人间和四人间三种客房供游客租住．某旅行团共20人，准备同时租用客房共7间，如果每个房间都住满，则租房方案有（）A ． 4种B ． 3种C ． 2种D ． 1种11. 给定方程组x 1+y 1=1，y 1+z 1=2，z 1+x 1=5，如果令x 1=A ，y 1=B ，z1=C ，则方程组A+B=1，B+C=2，A+C=5，由此解得x=2，y=-1，z=3，对不对，为什么？12．已知方程组x+y=3a ，y+z=5a ，x+z=4a 的解使代数式x-2y+3z 的值等于-10，求a 的值．13. 某企业为了激励员工参与技术革新，设计了技术革新奖，这个奖项分设一、二、三等，按获奖等级颁发一定数额的奖金，每年评选一次，下表是近三年技术革新获奖人数及奖金总额情况．那么技术革新一、二、三等奖的奖金数额分别是多少万元？参考答案1—4. CCCA5. 是6. x+z=1，2x+z=37. 1508. （1）x=21，y=15，z=13；（2）x=2，y=3，z=1.（3）设21＝21＝21＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ③. 把③代入②，得2k －6k ＋15k ＝33，解得k ＝3. 把k ＝3代入③，得到原方程组的解为x ＝6，y ＝9，z ＝15.9. C 【点拨】x ＋2y －8z ＝0，①2x －3y ＋5z ＝0，②①×2－②，得7y －21z ＝0，∴y ＝3z. 将y ＝3z 代入①，得x ＝2z ，∴x ∶y ∶z ＝2z ∶3z ∶z ＝2∶3∶1.10. A11. 不对，没有把解倒过来，应该为x=21，y=－1，z=31． 12. 解方程组得，x=a ，y=2a ，z=3a ，代入x-2y+3z=-10得，a-2·2a+3·3a=-10，∴a=-35. 13. 设一、二、三等奖的奖金数额分别为x 万元，y 万元和z 万元．可得10x+20y+30z=41，12x+20y+28z=42，14x+25y+40z=54，解这个方程组，得x=1，y=0.8，z=0.5. 答：技术革新一、二、三等奖的奖金数额分别是1万元，0.8万元和0.5万元．。

三元一次方程组的例题及答案中考

三元一次方程组的例题及答案中考一、问题描述考试中常见的数学题中，三元一次方程组是一个常见的题型。

在考察学生解题能力的过程中，三元一次方程组的题目往往被认为是较为复杂和难以解决的。

本文将通过几个具体例题，讲解三元一次方程组的解题方法及过程，帮助读者更好地理解并掌握这一题型的解题技巧。

二、例题1已知三元一次方程组如下：3x+2y−z=72x−3y+4z=5x−y+z=−3求解该方程组的解。

解答：解题思路如下：1.在这种情况下，可通过消元法来解决该问题。

首先我们可以从第一个方程入手，通过合适的计算来消除一个未知数，以减少方程数目。

2.可以将第一个方程乘以2，再与第二个方程相加，消除z。

然后再与第三个方程作类似的操作，消除z。

通过这种方法，我们可以得到每个未知数的具体值，进而得到方程组的解。

在这个例子中，我们可以得出x=2,y=−1,z=−4。

三、例题2另一组三元一次方程组如下：x+y+z=62x−y+3z=83x−2y+5z=14请解出这组方程的解。

解答：解题思路如下：1.这次我们仍然可以通过消元法解决该问题。

我们首先可以利用第一个方程和第二个方程，消除y，再利用已得到的结果消除其他未知数。

2.通过逐步消元和联立方程，我们最终可以得到x=1,y=2,z=3。

四、总结在解三元一次方程组的过程中，需要运用代入消元法等方法进行解题。

逐步优化未知数值，最终得到方程组的解。

通过训练和掌握解题技巧，可以更好地应对类似考试中的数学问题。

以上就是关于三元一次方程组的例题及解答，希望对读者有帮助。

三元一次方程组的解法

y
:
x

3
:
2,
y : z 5 : 4.
3x y 2z 3
1
2x y 4z 11 若要使运算简
7x y 5z 1.
便，消元的方法应选取( )
(A)先消去x； (B)先消去y； (C)先消去z； (D)
x y 1,
2
x y 0,的解是( ).
y z 1.
x 1,
(A)

y

1,
z 0;
x 1,
(B)

y

0,
z 1.
x 0,
(C)

y

1,
z 1.
x 1,
(D)

y

0,
z 1.
3 解下列方程组：
x : y 3 : 2,
（1）y : z 5 : 4,
湖州新世纪外国语学校钦永平
有甲、乙、丙三种货物，若购
甲2件、乙1件、丙1件共需15元；若购甲1件、乙2件、丙1件共需16 元；若购甲1件、乙1件、丙2件共需17元，问甲、乙、丙每件各几元？
不解方程组，指出下列方程组中先消去哪个未知数，使得求解方程组较为简便?
3x 5y 1, 1.4x 6 y 7z 2,
x y z 66.
2x 4 y 3z 9,
(2) 3x 2 y 5z 11,
5x 6 y 8z 0;
作业解下列方程组：
x y 16,
(1)

y
z

z x

12, 10.

3.5三元一次方程组及其解法(解决实际问题)导学案

☆自主学习☆
一、链接：分别用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组
Байду номын сангаас用代入消元法：用加减消元法：
二、教材导读：自学课本117页例3，并完成以下问题：
1、设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份
（1）每份A种食物含有铁、钙、维生素的量分别为多少单位？那么x份A种食物呢？
（2）每份B种食物含有铁、钙、维生素的量分别为多少单位？那么y份B种食物呢？
5、球类运动室有篮球、排球和足球共26个.已知篮球比排球多1个,排球与足球个数的和比篮球多6个.问这三种球各有多少个?
6、(我国古代数学题）“獐18斤，兔3斤，斑鸠4两不用称，99个100斤。”说的是猎人们打了獐、兔、斑鸠3种猎物共99个，总重量为100斤。（古代1斤=16两）问猎物中獐、兔、斑鸠各有几个？
2、某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？
3、三个数的和是51，第二个数去除第一个数时商2余5，第三个数去除第二个数时商3余2，求这三个数．
4、在y=ax2+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值．当x=-1时，y的值是多少？
2.在“小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．”这一问题中有几个未知量？几个相等关系？根据题意列出方程组，请写在下面空白处。
☆达标检测☆
1、在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0；当x=2时，y=-4；求a、b、c的值。
教学思路
学生纠错
（3）每份C种食物含有铁、钙、维生素的量分别为多少单位？那么z份C种食物呢？

初中数学沪科版七年级上册3.5 三元一次方程组及其解法

(3)-(1)得: 4a+b=10. (5)
a b 1(4)
(4)与(5)组成方程组
解这个方程组得:
a b

34a 2

b

10(5)
a 3
把 b 2 代入(1)得:c=-5 a 3
因此:
b 2
c 5
（1）解二元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，其中加减法比较常用．
（2）解三元一次方程组的基本思想是消元，关键也是消元，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案．
（3）解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验．
练习若：a b 1 (b 2a c)2 2c b 0,求a,b,c的值。
解:因为三个非负数的和等于零.所以每个非负
把(1)代入(3)得;3y+z=44.(4)
由(4)得:z=44-3 (5).
把(5)代入(2),得:y=12.
把y=12 分别代入(1),(5).得:x=21,z=8.
所以这个方程组的解是：
x 21

y

12
z 8
注意：应重在化难为易的思考过程分析.
作业
习题3.5: 第1、2、3、4题
例.某学校中的篮球数比排球数的2倍少3,足球
数与排球数的比是2:3,三种球共41个.求三种球
各是多少个.
解:设篮球有X个,排球有Y个,足球有Z个.
根据题意,得: x 2 y 3(1)
2 y 3z(2) x y z 41(3)
例.在等式 y ax2 bx c 中,当x=-1时,y=0;当x=2
时,y=3; 当x=5时,y=60.求a,b,c的值.