关于实数完备性相关定理等价性的研究

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《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明

《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。

实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。

实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。

下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。

第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。

它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。

证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。

接下来我们来证明M是S的上确界。

首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。

其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。

这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。

因此，我们证明了确界定理。

第二个定理是区间套定理。

它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。

证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。

其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。

因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。

第三个定理是柯西收敛准则。

它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。

证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。

其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。

因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。

第四个定理是实数域的离散性。

它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。

证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。

关于实数完备性相关定理等价性研

关于实数完备性相关定理等价性的研究摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。

可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。

与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。

本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。

在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。

关键词：实数集完备性基本定理等价性证明Research about the equivalence theorems of completeness ofreal numbersAbstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about supremum and form a ideal proof “loop”.Key words: set of real numbers ， completeness ， fundamental theorem ，equivalence ， proof.引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。

并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。

关于实数完备性的研究

关于实数完备性的研究一、实数完备性理论的介绍什么是实数完备性？实数完备性就是是数学分析的基础，它是指六大定理的等价。

下面我们介绍一下六大定理。

1.1 确界原理1.1.1确界原理的定义x∈，都有定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．定义2设S是R中的一个数集．若数η满足：（i）对一切Sx∈，有ηx，即η是S的上界；≤（ii）对任何ηα<存在S>x即η又是S的最小上界x o∈，使得αoη则称数η为数集S的上确界，记作S=sup定义3 设S是R中的一个数集．若数ξ满足：（i）对一切Sx∈，有ξ≥x，即ξ是S的下界（ii）对任何ξβ>，存在Sx即ξ又是S的最大下界，则称x o∈，使得,β<o数ξ为数集S的下确界，记作Sξ=i n f上确界与下确界统称为确界．1.1.2确界原理及其证明确界原理设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．12 证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ; )2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥．再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n)2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ）对一切S x ∈有η≤x ；（ii ）对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ，使=>k k x η+k n n n n 21.k101，从而得kk n n n n x 101.21+> ，3但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ，即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．1.2单调有界原理1.2.1 极限以及数列定义定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +: 或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n a a n . 定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}n a 为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.1.2.2 单调有界定理及其证明单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .4 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.1.3 区间套定理1.3.1区间套定义定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ；（ii ）()0lim =-∞→n n n a b ，则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.1. 3. 2区间套定理及其证明区间套定理若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.注区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的.推论若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂. 证由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim .5由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在正整数N , 当N n ≥时，有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ，这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.1.4.1聚点定理1.4.1聚点定义定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε，()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;，那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈∃；..........取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈∃；..........这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 nx n n 10≤<-<εξ 由此 ξ=∞→n n x lim6 定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.1. 4. 2聚点定理及其证明聚点定理实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记[][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃，且 2)(212233Ma b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n Ma b n n n ，即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ. 由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列. ]2[证设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ. 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.71.5 开覆盖定理1.5.1开覆盖定义定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.1.5.2有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证（论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂，且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ，即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .8 这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.1.6柯西收敛准则及其证明1.6.1柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ，取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα.令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a ,取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα.显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a .........令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα.........Na ε-N a ε+N a x9这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ；（ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈. 由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a lim . 故数列{}n a 收敛.二、引出问题----六大定理如何等价有限覆盖定理→聚点定理→柯西收敛准则→确界原理→单调有界定理→区间套定理→有限覆盖定理2.1用有限覆盖定理证明聚点定理证设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂. 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点.2.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些10 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max {121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件） 2ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .2. 3 用柯西收敛准则证明确界原理证设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ；同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n 及(7)式，对充分大的n 同时有21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 .2 .4 用确界原理证明单调有界定理证不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2 .5用单调有界定理证明区间套定理证由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.2. 6用区间套定理证明有限覆盖定理证假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂，且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ，即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.三、实数完备性的理论基础实数完备性理论是在实数的基本性质的基础上衍生出来的，如不足近似、过剩近似，四则运算的封闭性，绝对值与不等式等等。

实数完备性的等价命题及证明

一、问题提出确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3 (区间套定理）设为一区间套：．则存在唯一一点定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头，其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类：(8)～(10) 习题作业类下面来完成(1)～(7)的证明．二、等价命题证明(1)（用确界定理证明单调有界定理）(2)（用单调有界定理证明区间套定理）(3)（用区间套定理证明确界原理）*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）*(6)（用聚点定理证明柯西准则）*(7)（用柯西准则证明单调有界定理）(1)（用确界定理证明单调有界定理）〔证毕〕(返回)(2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套．若另有使，则因．［证毕］[推论]设为一区间套，．则当时，恒有．用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．(返回)(3) （用区间套定理证明确界原理）证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；，再令如此无限进行下去，得一区间套．可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．［证毕］(返回)*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”．对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理，．导出矛盾：使记由［推论］，当足够大时，这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．［证毕］［说明］当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．(返回)*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）设为实轴上的有界无限点集，并设．由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有．这样，就是的一个无限开覆盖．用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［证毕］［推论（致密性定理）］有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点．(返回)*(6)（用聚点定理证明柯西准则）柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得，这里只证其充分性．已知条件：当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时，有令，则有．．由致密性定理，存在收敛子列，设．．最后证，由条件，当时，有．于是当（同时有）时，就有．［证毕］(返回)*(7)(用柯西准则证明单调有界原理) 设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．对于单调数列，柯西条件可改述为：“当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有．倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使．依次取把它们相加,得到．故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ]在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．[例]证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ，时，使．证：(i)(ii) 显然成立．(ii)(iii) 由(ii），取，；再取；……一般取；……由的取法，保证，，．(iii)(i)时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点．[证毕]。

实数系完备性基本定理的等价性分析

－
A | ≤Bn
－
An ，又因为
lim （
n→∞
Bn
－
An ）
= 0，所以 A =
B，记作 P = A = B，则存在唯一一点 P，使得 P∈［An ，Bn ］，
n = 1，2，3…，所以证明成立．
（三）从区间套定理出发，证明有限覆盖定理
证明反证法：假设在 M 中不能选出有限个开区间去
覆盖［A，B］．将［A，B］等分为两个子区间，则其中至少有一
个子区间不能用 M 中有限个开区间来覆盖．记不能覆盖的
区间为［A1 ，B1 ］，则［A1 ，B1］［A，B］，且 B1
－ A1
=
1 2
（B－
A）．再将［A1 ，B1］等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用 M 中有限个开区间来覆盖．记不能覆盖的区间
为［A2 ，B2 ］，则［A2 ，B2］［A1 ，B1 ］，且
区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则．
定理一：确界原理，A 为集合，且 A 为非空数集，若集合
A 有上界或下界，则集合 A 必有上确界或下确界．
定理二：单调有界定理，在实数系中，无论单调递增数
列或单调递减数列，必有极限存在．
定理三：区间套定理，若｛［An ，Bn ］，An ，Bn ∈Ｒ｝是一个区间套，则存在唯一一点 P，使得 P∈［An，Bn］，n = 1，2，3，…．
高教视野
GAOJIAO SHIYE
7
实数系完备性基本定理的等价性分析
◎万骏（三峡大学，湖北宜昌 443002）
【摘要】本文阐述了实数系完备性的 6 个基本定理，依次证明，从而证明其等价性．

实数系完备性基本定理的等价性分析

实数系完备性基本定理的等价性分析实数系完备性基本定理是数学中有重要意义的定理，它证明了实数系是完备的，也就是说，任何一个实数系中的任何一个非零多项式都有唯一的根。

本文将从实数系完备性基本定理的等价性出发，来分析它的意义和印象。

首先，实数系的完备性基本定理的等价性指的是：任何一个给定的非零多项式都有唯一的根，而这一特性决定了实数系的特殊性质以及它在数学上的重要性。

只有当实数系满足它的所有要求时，它才能够满足一系列结果，包括但不限于：实数系是一个完整的结构，可以容纳任意复杂的数学问题，并且只有它可以产生有效的数学解答；实数系也可以实现几何学上的许多特别复杂的性质，有助于提供几何学上十分有用的信息，从而使得它有可能用来解决几何应用问题。

其次，实数系完备性基本定理的等价性也可以推广到其他数学结构中，如实数的子结构实数点系列、实数的延伸结构复数系列以及数学的抽象结构域系列，他们在所有的情况下都保留了实数系完备性基本定理的等价性。

例如，在实数点系列中，任何一个给定的多项式都有唯一的实数点根，这也是实数系完备性基本定理的等价性，这一定理有助于证明实数的有效性，而在进行数学计算时，它也是必不可少的。

同样的，在复数系列中，任何一个给定的复数都有唯一的虚数根，而在域系列中，任何一个有限的基本元素和有限的操作都可以确定出唯一的域，从而证明实数系完备性基本定理的等价性。

另外，实数系完备性基本定理在其他数学研究领域也有其重要性，例如非线性动力系统的研究、矩阵计算与特征值分析、信号与系统理论等。

它们都依赖于实数系完备性基本定理的等价性，它们需要实数系满足其完备性，才能够得出有效且精确的解决方案。

总之，实数系完备性基本定理的等价性对于数学的发展具有重要的意义，它证明了实数系是完备的，且有助于证明实数的有效性，这也是实数系在数学上的重要性。

它的等价性也可以被推广到其他数学结构中，它不仅为实数系提供有效的解决方案，而且也为其他数学研究领域提供有助的信息。

实数完备性定理相互等价的证明

易证。

因此，有。

由于 bn 都为 S 的上界，所以也为 S 的上界。

从而可知，。

即，故为 S 的上确界。

(38 定理定理 2(Cauchy 收敛准则单调有界定理证不妨设 {xn } 为单增有上界数列。

假设 {x n } 无极限，Cauchy 收敛准则可知，但是。

由 N 的任意性，不难得到 {x n } 的一个严格单增的子列 {xn k } ，满足。

由于时，有，故 {x n } 收敛。

所以当。

这与 {x n } 为有界数列矛盾， (39 定理定理 3(Cauchy 收敛准则区间套定理证设 {[ a n , bn ]} 是 Cantor 区间套。

则由可知，时，有。

由于{a n } 单调递增，{bn } 中的每一个元素都为 {a n } 的上界。

故，则有。

故由 Cauchy 收敛准则可知 {a n } 收敛，记其极限为。

由(3.1 易证。

由 {a n } ， {bn } 的单调性可知有n , bn ] 。

(40 定理定理 4(Cauchy 收敛准则-Borel 有限覆盖定理证(反证法假设闭区间 [ a, b] 有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。

定义性质 P ：不能用中有限个开区间覆盖。

仿(9的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 P 的区间套 {[ a n , bn ]} 。

仿(39的证明可知，，从而，，有 [a n , bn ]，这与 [a n , bn ] 具有性质 P 矛盾。

这就证明了 Heine–Borel 有限复盖定理。

(41 定理定理 5(Cauchy 收敛准则聚点原理证设 S 为直线上有界点集，则使得 S 。

定义性质 P : 至少含有 S 中的无限多个点。

利用二等分法容易构造出具有性质 P 的区间套 {[ a n ,bn ]} 满足(3.1 。

由性质 P 任意挑选 S 中不同的点构成的数列 {x n } 使得n , bn ] 。

，由(3.1和极限定义知，由定义知 {x n } 是 Cauchy 列。

实数完备性定理的等价性证明及其应用

实数完备性定理的等价性证明及其应用实数理论是数学分析的基础理论之一，微分学、积分学理论的建立与发展都以实数理论为基础．在实数系内，作为公理，确界原理成立．确界原理描述了实数集的连续性，单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则，与确界原理之间是等价的．六个定理在数学形式上不同，但是它们都是描述了实数集的连续性．它们之间的等价性称为实数完备性定理的等价性．本文给出实数完备性6个定理的另一种循环证明及部分应用．为学生学习这部分内容提供帮助．1 预备知识实数完备性其本定理定理1(确界原理)[1](7)P 设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理2(柯西收敛准则)[1](38)P 数列{}n a 收敛的充要条件是:对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有||n m a a ε-<．定理3(单调有界定理)[1](35)P 在实数系中，有界的单调数列必有极限．定理4(有限覆盖定理)[1](165)P 设H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b ．定理5(聚点定理)[1](164)P 实轴上的任何有界无限点集S 至少有一个聚点．定理6(区间套定理)[1](161)P 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[,],1,2,n n a b n ξ∈=L 即,1,2,n n a b n ξ≤≤=L ．2 实数完备性定理的等价性证明2.1 用确界定理证明柯西收敛准则证明设{}n a 是柯西数列，即0ε∀>，∃正整数N ，,n m N ∀>，有||n m a a ε-<．取1m N =+，1ε=，因此11||||||1n N n N a a a a ++-≤-<，故而1||||1n N a a +<+．设121max{||,||,,||,||1}N N M a a a a +=+L 可见||n a M <，即{}n a 必有界，由确界定理知inf{}n a 存在，记为a ．1）若min{}n a a ≠，则0ε∀>，N ∃，使N a a a ε<<+．设12k ε=，存在k N n =(1k k n n ->)使12kn ka a a <<+．令k →∞，得k n a a →．所以对于0ε∀>，K ∃，当k K >时有k n a a ε-<．取1max{,}N N K =，当1,k n N >时2k n n n n n a a a a a a ε-≤-+-<，所以lim n n a a →∞=．２）若min{}n a a =，作集合{|{},}n P x a x M x M =-<<中有有限项小于，P 显然为非空有界集合，故sup P 存在，记为sup b P =．由P 的性质，0ε∀>，必然有b P ε+∉，所以{}n a 中有无限项小于b ε+．,N ε∀∃，使n b a b ε-<<．设12k ε=，存在k N n =(1k k n n ->)使12k n k b a b -<<．令k →∞，得k n a b →．所以对于0ε∀>，K ∃，当k K >时有k n a b ε-<．取1max{,}N N K =，{}n a 是柯西数列，当1,k n N >时，便有||||||2k n n n n n a b a a a b ε-≤-+-<，所以lim n n a b →∞=．2.2 用柯西收敛准则证明单调有界定理证明设{}n a 递增且有上界M 的数列．若{}n a 不收敛，必为非柯西收敛数列，即0ε∃>，N ∀，n N ∃>，所以n N a a ε-≥．取11=N ，必11N n >∃使ε≥-11a a n 即ε+≥11a a n ．取12n N =，必22N n >∃使21n n a a ε-≥即21n n a a ε≥+．L L L如此继续下去，一般地取1k k N n -=，必k k n N ∃>使1k k n n a a ε--≥．把上述不等式相加得1k n a a k ε-≥即1k n a k a ε≥+．当1M a k ε->时，可使k n a M >．这与M是{}n a 的上界矛盾，所以{}n a 收敛．2.3 用单调有界定理证明有限覆盖定理证明设H 是闭区间[,]a b 的一个开覆盖．若H 不存在[,]a b 的有限开覆盖，把[,]a b 一分为二，至少有一个闭区间不能被H 有限开覆盖（若否则[,]a b 能被H 有限开覆盖，矛盾）取出记为11[,]a b ，满足11[,][,]a b a b ⊂且111()2b a b a -=-，把11[,]a b 一分为二，至少有一个闭区间不能被H 有限开覆盖取出记为22[,]a b ，满足2211[,][,][,]a b a b a b ⊂⊂且2211211()()22b a b a b a -=-=-，如此继续下去得到闭区间列{[,]}n n a b 满足下面两条：（1）11[,][,]n n n n a b a b --⊂且1()2n n n b a b a -=-（1,2,n =L ）（2）每个闭区间[,]n n a b 都不能被H 有限覆盖．因为{}n a 递增且有上界，由单调有界定理可知，ξ∃ ，使lim n n a ξ→∞=，又因为0n n b a -→(n →∞)于是lim lim()lim n n n n n n n b b a a ξ→∞→∞→∞=-+=，即lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．0ε∀>，,N n N ∃∀>，使得n a ξεξε-<<+，n b ξεξε-<<+，从而[,](,)n n a b ξεξε⊂-+即开区间(,)ξεξε-+覆盖了闭区间[,]n n a b ，这与[,]n n a b 的作法矛盾，于是有限覆盖定理成立．2.4 用有限覆盖定理证明聚点定理证明设{}S x =是有界无限点集，必存在a 、b 使a x b <<．若S 不存在聚点，则在闭区间[,]a b 中任一点x 都不会是S 的聚点，从而x 的x δ邻域(,)x U x δ至多只含S 的有限个点，让x 取遍[,]a b ，使得开覆盖{(,)|[,]}x U x x a b H δ∈=．由有限覆盖定理知H 必存在有限子覆盖~12{,,,}[,]k H U U U a b S =⊃⊃L ．因为每个(1,2,)i U i k =L 只含S 的有限个点，~H 只含S 的有限个点，这与~H S ⊃且S 是无限集矛盾，所以S 至少有一个聚点．2.5 用聚点定理证明区间套定理证明设{[,]}n n a b 是一个闭区间列，121n n a a a b b ≤≤≤≤≤≤L L L ．因为数列{}n a 有界，记有界无限点集{|}n E a n N +=∈，根据聚点定理，E 至少有一个聚点ξ．根据聚点定义，取1ε=，1(,1)n a U ξ∃∈．取12ε=，21(,)2n a U ξ∈，要求12n n <． L L取1k ε=，1(,)k n a U k ξ∈，要求1k k n n -<． L L如此无限继续下去，构造了数列{}n a 的子数列{}k n a ．因为k N +∀∈，有1k n a kξ-<．当k →∞时，有10k→，所以lim k n k a ξ→∞=，即子列{}k n a 收敛于ξ．又因为{}n a 单调递增，必然有1k k n n n a a a +≤≤．当k →∞时，n →∞．由迫敛性可以知道lim n n a ξ→∞=．又由于()n n n n b b a a =-+，n →∞，所以lim n n b ξ→∞=．又因为n k >时，有k n n k a a b b ≤≤≤，及{}n a 与{}n b 的单调性保证[,],1,2,n n a b n ξ∈=L ，即,1,2,n n a b n ξ≤≤=L ．最后证明ξ是唯一的．设'ξ也满足',1,2,n n a b n ξ≤≤=L ，则'||,1,2,n n b a n ξξ-≤-=L ．由区间套的条件得'||lim()0n n n b a ξξ→∞-≤-=，故有'ξξ=．2.6 用区间套定理证明确界定理证明设M 为集合S 的上界，即x S ∀∈，有x M ≤．假设S 无最大值，即M S ∉，对于0x S ∀∈，将0[,]x M 二等分，若右半区间含有S 中的点，则右半区间记为11[,]a b ，否则就记左半区间为11[,]a b ．将11[,]a b 再二等分，用同样的方法选作22[,]a b ．如此继续下去，便得到闭区间套{[,]}n n a b ，使得n b 总是S 的上界，n a 总不是S 的上界．na 为单调递增的，nb 为单调递减的，当n →∞时，01()02n n nb a M x -=-→．根据区间套定理，可知存在唯一公共点[,],1,2,n n a b n ξ∈=L ．于是有lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．因为n b 总是S 的上界，即x S ∀∈，有n x b ≤．令n →∞时，得x ξ≤．又由于lim n n a ξ→∞=，即0,,,N n N ε>∃∀>有n a ξεξε-<<+．而n a 总不是S 的上界，于是一定存在1x S ∈使1n a x <，从而1x ξε-<，于是得sup S ξ=．同理可以证若S 为非空下界数集，则S 必存在下确界．3 实数完备性定理的应用区间套定理只是着眼于一点，凡属于整体到局部的问题常用此定理，但应用此定理时常常采用反证法．有限覆盖定理着眼于闭区间的整体，把每点近旁的局部性质推广到整个闭区间，从而证得闭区间上应满足的性质．例1 若函数()f x 定义在区间(,)a b 内，(,)x a b ∀∈，存在邻域(,)x x x x δδ-+使()f x 在(,)x x x x δδ-+内单调增加，则函数()f x 在(,)a b 内也单调增加．证法一（反证法，用区间套定理）假设函数()f x 在(,)a b 内不是单调增加的，即11,(,)x y a b ∃∈，且11x y <，有11()()f x f y >．将11[,]x y 二等分，分别为111[,]2x y x +与111[,]2x yy +．当111()()2x y f x f +>时，令11122[,][,]2x yx x y +=有22()()f x f y >，或者111()()2x y f f y +>时令11122[,][,]2x yy x y +=有22()()f x f y >．再将22[,]x y 二等分，记为222[,]2x y x +与222[,]2x y y +．当222()()2x y f x f +>时，令22233[,][,]2x y x x y +=有33()()f x f y >，或者222()()2x y f f y +>时令22233[,][,]2x y y x y +=有33()()f x f y >．如此继续下去，得闭区间列{[,]}n n x y 且1122[,][,][,]n n x y x y x y ⊃⊃⊃⊃L L ;111lim()lim02n n n n n y x y x -→∞→∞--==，且()(),1,2,n n f x f y n >=L ．根据区间套定理，存在(,)a b α∈，使[,],1,2,n n x y n α∈=L ．已知存在邻域(,)αααδαδ-+，函数()f x 在(,)αααδαδ-+内单调增加．当0n 充分大时．有00[,](,)n n x y αααδαδ⊂-+而00()()n n f x f y >．这与函数()f x 在(,)αααδαδ-+内单调递增矛盾．于是()f x 在(,)a b 内必是单调递增．证法二（用有限覆盖定理） ,(,)c d a b ∀∈，c d <，求证()()f c f d <．[,]x c d ∀∈存在x 的邻域(,)(,)x x x U x x x δδδ=-+，使()f x 在(,)x U x δ内单调增加，所有(,)x U x δ，[,]x c d ∀∈覆盖了闭区间[,]c d ．由有限覆盖定理，在这些邻域内可取有限个邻域1212(,),(,),,(,)n x x n x U x U x U x δδδL 且（12n x x x <<<L ）覆盖[,]c d 且去掉任一个都不能覆盖[,]c d ．()f x 在每个邻域(,)i i x U x δ（1,2,,i n =L ）内单调增加．取11(,)(,)i i i i x i x y U x U x δδ++∈⋂．由(,)i i x U x δ的定义知1122()()()()()()()n f c f x f y f x f y f x f d <<<<<<<L ，由,c d 的任意性知函数()f x 在(,)a b 内也单调增加．例2 设f 是n 维欧氏空间中连通区域D 内定义的函数，对于D 内每一点，都有一个邻域，使得f 在该邻域内等于常数，证明f 在D 内等于常数．[2](116)P证明设1x 与2x 是D 内任意两点，因为D 是n 维欧氏空间中连通区域，因此有在D 连接1x 与2x的折线L ．可以证明组成折线L 的每一条线段的两个端点处的函数值相等，因此可知12()()f x f x =．设这两个端点是1x 与2x ，连接1x 与2x 的线段L 为D 的闭集，L 上的每一点x 都有一个属于D 的邻域(,)x U x δ，在该邻域内f 等于常数，所有的(,)2xU x δ，x L ∈覆盖了闭集L ，由有限覆盖定理，在这些开邻域内可取有限个开邻域1212(,),(,),,(,)222nxxxn U x U x U x δδδL 覆盖L ．f 在每一个邻域(,)2ixi U x δ(1,2,,i n =L )内等于常数．取12min{,,,}222nxx xδδδδ=L ．把L 等分m 份，使每一小段的长度小于δ，分点为1122,,,m x a a a x ==L ，由于1121,(,)2xx a U x δ∈，所以12()()f x f a =，又由2a L ∈则存在一个i ，1i n ≤≤，使2(,)2ixi a U x δ∈且有3(,)2ixi a U x δ∈，于是23()()f a f a =．如此继续下去可得，1232()()()()()m f x f a f a f a f x =====L ，即f 在D 内等于常数．例3 举例说明有限覆盖定理的结论在有理数集Q 中不成立．[3](38)P解闭区间[1,2]中所有有理数的集合记为[1,2]r ．需要构造[1,2]r 的一个开覆盖，使它的任何有限覆盖都不能盖住[1,2]r ．[1,2]r x ∀∈，可取到正有理数x r (,)x x x r x r -+，这样就得到了[1,2]r 的一个开覆盖{}O α．任意的取{}O α的一个有限开覆盖，设为1111(,),,(,)n n x x n x n x x r x r x r x r -+-+L ．由于这些，且其2n 个端点都是有理数．故若设这2n 最靠近的为r ，则在rn 个开区间外．这表明{}O α的任一有限开覆盖都不能盖住[1,2]r ．例4 设函数f 在(,)-∞+∞上满足李普希兹条件:12,(,)x x ∀∈-∞+∞，1212()()f x f x L x x -≤-，其中01L <<，求证:存在唯一的0(,)x ∈-∞+∞，使00()f x x =(这种0x 称为f 的不动点)．[4](101)P证明 1(,)x ∀∈-∞+∞，按照1()n n x f x -=(1,2,n =L )构造的数列{}n x 满足柯西收敛准则的条件．由条件知:111()()n n n n n n x x f x f x L x x +---=-≤- 211221n n n L x x L x x ---≤-≤≤-L (1,2,n =L )又m n ∀>231112121()m m n m n m m m m n n x x x x x x x x x x L L L ------+-≤-+-++-≤-+++L L1211n L x x L-≤--．而1lim 0n n L-→∞=故{}n x 满足满足柯西收敛准则的条件．因而收敛，设0lim n n x x →∞=，再由1()n n x f x -=及f 在点0x 连续得: 00()f x x =．最后证唯一性．反证法，若10x x ≠也是f 的不动点，则101010100()()x x f x f x L x x x x <-=-≤-<- 矛盾．。

有关实数完备性的初步研究

有关实数完备性的初步研究
孙眉
摘要:文章研究总结了实数完备性中的三个定理,并证明了它们的部分等价关系,对刻画实数完备性具有一定的借鉴意义.
关键词 :完备性 ;等价证明 ;等价刻画
一、引言
实数具有很好的性质,它是完备的,聚点定理(致密性定
如果闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖为 H ,下证在 H 中存在有限个开区间 ,它们可以覆盖 [a,b].
本文采用用反证法,若 H 中有限个开区间无法覆盖[a, b].那么将[a,b]分为长度相同的两个子区间,那么,显然, 它们中至少有一个无法用 H 中有限个开区间来覆盖.将这个子区间记为 [a１,b１ ],则 [a１,b１ ]⊂ [a,b],且 b１－a１＝
敛的子列.
聚点定理:在实轴上,无限点集 S 如果有界,那么它一定会有聚点.
(四 )柯西收敛准则
事实上,柯西收敛准则为数列{an }收敛的刻画提供了理论依据:对任意给定的ε＞０,如果有正整数 N ,当 n,m ＞N
时有|an －am|＜ε 三、实数完备性基本定理的等价性证明
○ 数学教学与研究
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数学学论文毕业论文实数完备性基本定理等价性的证明

实数完备性基本定理等价性的证明摘要本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明. 关键词实数完备性基本定理等价性循环证明§1 引在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍. 定义设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][]11,,++⊂n n n n b a b a , ,2,1=n ; （ii ）()n n n a b -∞→lim =0,则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.确界原理设 S 为非空数集.若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界.单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.区间套定理若[]{}n n b a ,是一个闭区间套，则在实数中存在唯一的一点 ξ，使得[],,2,1,, =∈n b a n n ξ即.,2,1, =≤≤n b a n ξ推论若[],,2,1,, =∈n b a n n ξ 是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε> 0，存在N> 0，使得当n>N 时有[]()εξ;, ⊂n n b a .有限覆盖定理设H 为闭区间[]b a , 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖 []b a ,.聚点定理实数轴上任一有限无界点集 S 至少有一个聚点.柯西收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的ε>0 ，存在正整数N ，使得当n,m>N 时有 n n b a -〈ε.§2 六大基本定理等价性的证明本节就是对六大基本定理等价性的证明.首先列出证明过程的基本框架：确界原理 ⇒ 单调有界定理 ⇒ 区间套定理⇑ ⇓柯西收敛准则 ⇐ 聚点定理 ⇐有限覆盖定理下面就是这个循环证明的过程.1 由确界原理证明单调有界定理证不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界.记 a=sup {}n a . 下面证明 a 就是{}n a 的极限 . 事实上，任给ε 〉0 ，按上确界的定义，存在数列 {}n a 中某一项N a ，使得a-ε〈 N a . 又由{}n a 的递增性，当n ≥N 时有a-ε <N a n a ≤.另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a , 都有n a ≤a<a+ε. 所以当 n ≥N 时有a-ε<n a <a+ε,这就证得∞→n lim n a =a. 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2 由单调有界定理证明区间套定理证由区间套的定义，各闭区间的端点满足如下不等式：,1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤即{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ ，且有,,2,1, =≤n a n ξ （1）同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b l i m l i m （2）且 n b ξ≤,.,2,1 =n （3）联合（1）及（3）即得.n a ≤ξn b ≤,.,2,1 =n （4）最后证明满足（4）的ξ 是唯一的，设数ξ' 也满足, n a ξ'≤,,2,1, =≤n b n 则由（4）式有-≤'-n b ξξ n a ，.,2,1 =n 由区间套的条件（ii ）得(),0lim =-≤'-∞→n n n a b ξξ故有 ='ξ ξ.3 由区间套定理证明有限覆盖定理证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a , .将[]b a , 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[]11,b a ，则[]11,b a []b a ,⊂ ，且()a b a b -=-2111 . 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[]22,b a ，则[]22,b a ⊂ []11,b a ，且()a b a b -=-22221. 重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列[]{}n n b a , ，它满足[][],,2,1,,,11 =⊃++n b a b a n n n n .()(),021∞→→-=-n a b a b n n n 即[]{}n n b a , 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点∈ξ[]n n b a , ,n=1,2,…. 由于H 是[]b a , 的一个开覆盖，故存在开区间()∈βα,H ，使()βαξ,∈. 于是，由区间套定理推论，当n 充分大时有[]n n b a ,()βα,⊂ .这表明[]n n b a , 只须用H 中的一个开区间()βα, 就能覆盖，与挑选[]n n b a , 时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾. 从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a , .4 由有限覆盖定理证明聚点定理证设A 为有界无限点集 .那么存在正数M>0 ，使得 A []M M ,-⊂ .假设[]M M ,- 中任意点都不是A 的聚点，则对任意一点x ∈[]M M ,-, 必存在相应的()x δ>0 使得在()δ,x ⋃ 中至多有 A 的有限个点. 记()[]{}M M x x H ,,-∈⋃=δ，则H 为A 的一个开覆盖 .由有限覆盖定理，在H 中可以找到有限个开区间覆盖[]M M ,-. 记为()[]{} ,2,1,,,=-∈⋃='i M M x x H i i i δ ，从而更能覆盖A .因H '内至多含有A 中有限个点，从而 A 为有限点集，与假设“ A 是有界无限点集”矛盾 . 故区间 []M M ,- 中至少有一个集合 A 的聚点，即集合A 至少有一个聚点.5 由聚点定理证明柯西收敛准则证先证条件的必要性：设a x n → ，则对任意给定的 ε>0, 有一正整数N ，当k.>N 时，有 2ε<-a x k从而当m, n>N 时，有εεε=+<-+-≤-22m n m n x a a x x x其次，证明条件的充分性：设数列{}n a 满足条件：对任给正数ε ，总存在某一个自然数N ，使得当m, n>N 时，都有ε<-n m a a . 取1=ε ，则存在自然数1N ，当n>1N 时，有 111<-+N n a a , 从而111+<+N n a a , 令M=max {}1,,,,12111++N N a a a a , 则对一切 ,,2,1 =n 有M a n ≤ , 即 {}n a 有界.下证{}n a 有收敛子列 .若E={} ,2,1=n a n 是有限集，则 {}n a 必有一常子列；若E 为无限集，则由聚点定理， E 有一个聚点 A. 由聚点定义可证，存在{}k n a ，使A a k n k =∞→lim .总之，{}n a 有收敛子列 .设 A a k n k =∞→lim ，则对任给正数ε ，存在N ，当k, m,n>N 时，有2ε<-m n a a , 2ε<-A a k n .所以当 n>N （任取 k>N ，使 n n k > ）时，有 εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n .故 A a n n =∞→lim .6 用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设S 为原理非空有上界数集 . 由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk = 为S 的上界，而 ()ααλαα1-=-k 不是S 的上界，即存在 ∈'αS ，使得()ααα1->'k .分别取 ,2,1,1==n n α , 则对每一个正整数n ，存在相应的n λ ，使得n λ为S 的上界，而nn 1-λ 不是 S 的上界，故存在S a ∈'，使得nn 1->'λα . (5)又对正整数 m, m λ是S 的上界，故有 a m '≥λ 结合（5）式得nm n 1<-λλ ；同理有mn m 1<-λλ . 从而得⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0.>ε，存在N>0 ，使得当 m ,n >N 时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则,数列{}n λ 收敛 .记..lim λλ=∞→n n (6)现在证明λ就是S 的上确界 .首先,对任何a ∈S 和正整数n 有a n λ≤,由(6)式得a λ≤,即λ是的S 一个上界 .其次, 对任何δ>0 ,由()∞→→n n01及(6)式, 对充分大的n 同时有 2,21δλλδ-><n n . 又因n n 1-λ 不是S 的上界, 故存在S a ∈', 使得na n 1->'λ. 结合上式得 δλδδλ-=-->'22a .这说明λ为S 的上确界 .同理可证：若S 为非空有下界数集,则必存在下确界 .参考文献[1] 华东师范大学数学系编《数学分析》高等教育出版社 2001年6月第3版 35P 168161-P[2] 复旦大学数学系陈传璋等编《数学分析》高等教育出版社1983年7月第2版[3] 杨熙鹏邵子逊刘颖植主编《数学分析习题解析》陕西师范大学出版社[4] 钱吉林等主编《数学分析题解精粹》崇文书局2003年8月第1版The Proof on the Equivalent Relations in the Foundamental Theoremsof Completeness of Real NumbersAbstract In this paper , we prove to the equivalent relations in the foundamental theorems of the completeness of real numbers by cyclic proof .Key words completeness of real numbers foundamental theorem equivalent relation cyclic proof。

实数完备性定理的等价性证明及其应用

实数完备性定理的等价性证明及其应用一、实数完备性定理的等价性证明：1.柯西收敛准则证明实数完备性：我们假设存在一个无穷序列{an}，满足对于任意的正实数ε，都存在正整数N，使得当m > n > N时，有，am - an，< ε。

由于{an}是有序序列，它必然有上确界和下确界。

我们将上确界记为A，下确界记为B。

首先，我们来证明A和B是相等的。

假设A > B，那么A - B > 0，根据柯西收敛准则，我们可以找到正整数N1，使得当p > q > N1时，有，ap - aq， < A - B。

由于A是上确界，所以存在一个正整数n1，使得an1 > A - (A - B) = B。

同样地，我们可以找到正整数N2，使得当r >s > N2时，有，ar - as， < A - B。

由于A是上确界，所以存在一个正整数n2，使得an2 > A - (A - B) = B。

由于n1和n2是正整数，所以我们可以取N = max{N1, N2}，使得当p > q > N时，有，ap - aq， < A- B。

但是，同时存在正整数n1和n2，使得an1 > B和an2 > B，与前面所述矛盾。

因此，A和B必然相等，记为C。

接下来，我们证明C是这个序列的极限。

假设对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n > N时，有，an - C，< ε。

我们取ε =ε/2，那么根据柯西收敛准则，必然存在一个正整数N，使得当p > q >N时，有，ap - aq，< ε/2、由于C就是上确界和下确界，所以必然存在正整数n > N，使得，an - C，< ε/2、根据三角不等式，我们有，ap - C，≤ ，ap - aq， + ，aq - C，< ε/2 + ε/2 = ε。

因此，C就是这个序列的极限，这就证明了实数完备性。

实数完备性定理相互等价的证明

易证。

因此，有。

由于 bn 都为 S 的上界，所以也为 S 的上界。

从而可知，。

即，故为 S 的上确界。

(38 定理定理 2(Cauchy 收敛准则单调有界定理证不妨设 {xn } 为单增有上界数列。

假设 {x n } 无极限，Cauchy 收敛准则可知，但是。

由 N 的任意性，不难得到 {x n } 的一个严格单增的子列 {xn k } ，满足。

由于时，有，故 {x n } 收敛。

所以当。

这与 {x n } 为有界数列矛盾， (39 定理定理 3(Cauchy 收敛准则区间套定理证设 {[ a n , bn ]} 是 Cantor 区间套。

则由可知，时，有。

由于{a n } 单调递增，{bn } 中的每一个元素都为 {a n } 的上界。

故，则有。

故由 Cauchy 收敛准则可知 {a n } 收敛，记其极限为。

由(3.1 易证。

由 {a n } ， {bn } 的单调性可知有n , bn ] 。

(40 定理定理 4(Cauchy 收敛准则-Borel 有限覆盖定理证(反证法假设闭区间 [ a, b] 有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。

定义性质 P ：不能用中有限个开区间覆盖。

仿(9的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 P 的区间套 {[ a n , bn ]} 。

仿(39的证明可知，，从而，，有 [a n , bn ]，这与 [a n , bn ] 具有性质 P 矛盾。

这就证明了 Heine–Borel 有限复盖定理。

(41 定理定理 5(Cauchy 收敛准则聚点原理证设 S 为直线上有界点集，则使得 S 。

定义性质 P : 至少含有 S 中的无限多个点。

利用二等分法容易构造出具有性质 P 的区间套 {[ a n ,bn ]} 满足(3.1 。

由性质 P 任意挑选 S 中不同的点构成的数列 {x n } 使得n , bn ] 。

，由(3.1和极限定义知，由定义知 {x n } 是 Cauchy 列。

【毕业论文】实数完备性定理的等价证明及应用

【毕业论文】实数完备性定理的等价证明及应用【标题】实数完备性定理的等价证明及应用【作者】戴华东【关键词】单调有界定理区间套定理罗尔（Rolle）中值定理Botsko定理Dedekind?分割原理【指导老师】苟清明冯彬【专业】小学教育【正文】1?引言在数学史上,?实数系的逻辑基础――实数理论至19?世纪末叶才建立起来,?而实数理论的建立,?使得分析中注入了严密性。

实数理论是数学分析的理论基础,?而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一。

与之相关的六个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的，它们从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如一致连续性定理、罗尔（Rolle）中值定理、Botsko定理、Dedekind?分割原理等。

因此在理论上具有重要价值。

2?预备知识定理2.1：确界原理非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。

定理2.2：单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限。

定理2.3：区间套定理设?为一列闭区间，满足条件：(n=1,2,?);?,则存在唯一一点且?定理2.4：有限覆盖定理设?是一个闭区间，?为?的一个开覆盖，则在?中必存在有限个开区间，它构成?上的一个开覆盖。

定理2.5：聚点定理直线上的有界无限点集?至少有一个聚点。

定理2.6：Cauchy收敛准则数列?收敛的充要条件是：对任给的正数?，总存在某一个自然数N，使得当 N时，都有?。

定理2.7：Botsko定理?若?是?的一个完全覆盖，则?包含?的一个分划，即存在?，使每个闭区间都属于?。

定理2.8：闭区间上连续函数的整体性质设?在?上连续，则?有如下四个整体性质：１）?（有界性）?在?上有界；?２）?（最值性）?在?上存在最大、小值；3?）（介值性）?若?,?为?内任一数，则?，使?；４）?（一致连续性）?在?上一致连续。

数学分析7.1关于实数集完备性的基本定理

第七章实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收敛准则定义1：设区间列{[a n ,b n ]}具有如下性质： 1、[a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…;(即a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1) 2、∞→x lim (b n -a n )=0，则称{[a n ,b n ]}为闭区间套，或简称区间套.定理7.1：(区间套定理)若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,…, 即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,…. 证：由a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1知: {a n }递增有界，∴{a n }有极限ξ，且a n ≤ξ，n=1,2,….又{b n }递减有界，∴{b n }有极限，又∞→nlim (b n -a n )=0，∴∞→n lim b n =∞→n lim a n =ξ，且b n ≤ξ，n=1,2,…，即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,….设数ξ’∈[a n ,b n ], n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤∞→nlim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.推论：若ξ∈[a n ,b n ] (n=1,2,…)是区间套{[a n ,b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε).例：证明：定理2.10：(数列的柯西收敛准则)数列{a n }收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在N>0，使得对m,n>N 有|a m -a n |<ε.证：[必要性]设∞→n lim a n =A ，由数列极限定义，对任给的ε>0，存在N>0，当m,n>N 时，有|a m -A|<2ε，|a n -A|<2ε， ∴|a m -a n |≤|a m -A|+|a n -A|<ε.[充分性]∵对任给的ε>0，存在N>0，使得对n ≥N 有|a n -a N |≤ε，即即在区间[a N -ε,a N +ε]内含有{a n }中几乎所有项(即除有限项外的所有项). 令ε=21，则存在N 1，在区间[a 1N -21,a 1N +21]内含有{a n }中几乎所有项.记[α1, β1]=[a 1N -21,a 1N +21].令ε=221，则存在N 2(>N 1)，在[a 2N -221,a 2N +221]含有{a n }几乎所有项. 记[α2, β2]=[a 2N -221,a 2N +221]∩[α1, β1]，[α2, β2]含有{a n }几乎所有项，且满足[α1, β1]⊃[α2, β2]及β2-α2≤21.依次令ε=321,…,n 21,…, 可得闭区间列{[αn , βn ]}，其中每个区间都含有{a n }几乎所有项，且满足[αn , βn ]⊃[αn+1, βn+1], n=1,2,…, βn -αn ≤1-n 21→0 (n →∞)，即{[αn , βn ]}是区间套，由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[αn , βn ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[αn , βn ]⊂U(ξ; ε)，∴在U(ξ; ε)内含有{a n }几乎所有项，∴∞→nlim a n =ξ.二、聚点定理与有限覆盖定理定义2：设S 为数轴上的点集，ξ为定点. 或ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 如：点集S={(-1)n +n 1}有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1；点集S={n1}只有一个聚点ξ=0；又若S 为开区间(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a,b 都是S 的聚点；根据定义，正整数集N +没有聚点，任何有限数集也没有聚点。