关于实数完备性相关定理等价性的研究

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (1)

1.1确界存在定理的证明 (1)

1.2 确界存在定理证明单调有界定理 (3)

1.3单调有界定理证明区间套定理 (3)

1.4 区间套定理证明有限覆盖定理 (4)

1.5有限覆盖定理证明聚点定理 (4)

1.6聚点定理证明致密性定理 (5)

1.7致密性定理证明柯西收敛准则 (5)

1.8柯西收敛准则证明确界存在定理 (6)

致谢 (7)

参考文献 (7)

关于实数完备性相关定理等价性的研究

数学与应用数学专业学生xxx

指导教师 xxx

摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。

关键词：实数集完备性基本定理等价性证明

Research about the equivalence theorems of completeness of real

numbers

Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics .Bing Liu

Tutor Shixia Luan

Abstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about completeness of the set of real numbers，which are existence theorem of supremum, monotone defined management,interval sequence theorem,Bolzano-Weierstrass theorem, convergence point theorem,Heine-Borel theorem and Cauchy convergence rule are Equivalent. This paper is to discuss the proof of the equivalence of the seven theorems. Here we first Prove the existence theorem of supremum, then prove the other correlative theorems based of existence theorem of supremum and form a ideal proof “loop”.

Key words: set of real numbers，completeness，fundamental theorem，equivalence，proof.

引言：

我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。

1实数完备性相关定理的论证

1.1确界存在定理的证明

确界存在定理：有上（下）界的非空子集必有上（下）确界。 现证明有上界的非空实数集必有上确界。

证明：任意一个实数x 可以表示成[]()x=x x +，其中[]x 表示x 的整数部分，我们将（x ）表示成无限小数形式：()123x 0.,n a a a a = 其中12,,,n a a a 中的每一个数字都是0,1 ，，9，中的某一个，若（x ）是有限小数，则在后面接上无限个零。这成为实数的无限小数表示。注意无限小数()123p 0000p a a a a a ≠ 0.与无限小数()1230.1999p a a a a - 0.是相等的，为了保持表示的唯一性，我们约定在（x ）的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个实数集合S 就可以由一个确定的无限小数表示：

[](){}0

12301230.|,0.,.n n a

a a a a a x a a a a x x S +==∈

设数集S 有上界，则可令S 中元素的整数部分的最大者为0α，并记

[]{}00S =x |x .x S α∈=并且显然0S 不是空集，并且对于任意x ∈S ，只要0x ∉S ，就

有x<α，再考察数集0S 中的元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令他们中的最大者为1α，并记{}101S x x S x α=∈并且第一位小数为。显然1S 也不是空集，并且对于任意x S ∈，只要1,x S ∉就有010.x αα<+。一般的，考察数集1n S -中的元素的无限小数表示中第n 位小数的数字，令它们中的最大者为n α，并记

{}1n n n S x x S x n α-=∈并且的第位小数为。显然n S 也不为空集，并且对于任意x S ∈,

只要n x S ∉，就有0120.n x αααα<+ 。不断的做下去，我们得到一列非空数集

01n S S S S ⊃⊃⊃⊃⊃ ，和一列数012,,,,,n αααα ，满足

{}0;

0,1,2,,9,k Z k N αα+∈∈∈ 。

令012=+0.,n βαααα 下面我们分两步证明β就是S 的上确界。

（1） 设S ，则或者存在整数00n ≥，使得0n x S ∉，或者对任何整数0n ≥有n x S ∈. 若0n x S ∉，便有00120.n x ααααβ<+≤ ；

若()n x S n N ∈∀∈，由S n 的定义并逐个比较x 与β的整数部分及每一位小数，