2018北师大版高中数学必修五第2章2三角形中的几何计算达标练习含解析
高中数(北师大必修5)：第2章 2 三角形中的几何计算
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，|BC →|＝3，|CA →|＝5，|AB →|＝7，则CB →·CA→的值为( )【导学号：47172091】A ．－32 B.32 C ．－152 D ．152【解析】 由余弦定理cos C ＝|CA →|2＋|BC →|2－|AB →|22|CA →|·|BC →|＝52＋32－722×5×3＝－12，∴CB →·CA →＝|CB →|·|CA →|cos C ＝3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－152.【★答案★】 C2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2【解析】 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2，∴另两边长分别为16和10， ∴S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.选A. 【★答案★】 A3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )图2-2-4A.1627 B.23C.33 D.34【解析】设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝13AB＝23.由余弦定理得CE＝CF＝AE2＋AC2－2AC·AE cos 45°＝5 3，所以cos∠ECF＝CE2＋CF2－EF22CE·CF＝45，tan∠ECF＝sin∠ECFcos∠ECF＝1－⎝⎛⎭⎪⎫45245＝34.【★答案★】 D4．如图2-2-5，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为()图2-2-5A.33 B.36C.63 D.66【解析】设AB＝c，则AD＝c，BD＝2c3，BC＝4c3，在△ABD中，由余弦定理得cos A＝c2＋c2－43c22c2＝13.则sin A＝223，在△ABC中，由正弦定理得csin C＝BCsin A＝4c3223，解得sin C＝66.【★答案★】 D5．若△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则a等于() A．5 B．6C．7 D．8【解析】S＝12bc sin A＝12bc·32＝103，∴bc＝40，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc·12，∴a 2＝(20－a )2－120， ∴a ＝7.【★答案★】 C 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为________. 【导学号：47172092】【解析】 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A ·sinC ，由正弦定理得b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝4a 2＋a 2－2a 24a 2＝34.【★答案★】 347．在△ABC 中，AB ＝3，点D 是BC 的中点，且AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积为________．【解析】 ∵D 为BC 的中点，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×|AB ||AD |·sin ∠BAD ＝2×12×3×1×sin 30°＝32.【★答案★】 328．如图2-2-6所示，已知圆内接四边形ABCD 中AB ＝3，AD ＝5，BD ＝7，∠BDC ＝45°，则BC ＝________.图2-2-6【解析】cos A＝32＋52－722×3×5＝－12，∴A＝120°，∴C＝60°.从而BCsin 45°＝7sin 60°，∴BC＝7sin 45°sin 60°＝723＝763.【★答案★】76 3三、解答题9．如图2-2-7，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．图2-2-7【解】在△BAD中，设BD＝x.则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2×10x cos 60°，解得x＝16，即BD＝16，又BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos2C2＋c cos2A2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ， 即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b .由正弦定理得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理得a ＋c ＝2b ，所以a ，b ，c 成等差数列． (2)由B ＝60°，b ＝4，及余弦定理得 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， ∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16， 解得ac ＝16，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.[能力提升]1．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D ．3＋394【解析】 设AB ＝c ，在△ABC 中，由余弦定理知 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ，即7＝c 2＋4－2×2×c ×cos 60°，c 2－2c －3＝0， 即(c －3)(c ＋1)＝0，又c >0，∴c ＝3. 设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式 S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12BC ·h ，知 12×3×2×sin 60°＝12×2×h ，∴h ＝332. 【★答案★】 B2．如图2-2-8所示，四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )图2-2-8A. 3 B ．5 3 C ．6＋ 3D ．7 3【解析】 连接BD ，在△BCD 中， BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝2 3. ∵∠CBD ＝12(180°－∠BCD )＝30°， ∴∠ABD ＝90°， ∴S四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·BD ＋12BC ·CD sin ∠BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.【★答案★】 B3．在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．【解析】 在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BCsin A得AB ＝AC sin B ·sin C ＝332·sin C ＝2sin C .同理BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C＝4sin C ＋23cos C ＝27sin(C ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝32，因此AB ＋2BC 的最大值为27. 【★答案★】 274．如图2-2-9所示，是半径为r 的圆的一部分，弦AB 的长为2r ，C 为上一点，CD ⊥AB 于D ，问当点C 在什么位置时，△ACD 的面积最大，并求出这个最大面积．【导学号：47172093】图2-2-9【解】 ∵OA ＝OB ＝r ，AB ＝2r .∴△AOB 是等腰直角三角形，且∠AOB ＝90°. ∴∠ACB ＝360°－90°2＝135°. 设∠CAD ＝θ(0°＜θ＜45°)，则∠ABC ＝45°－θ. 在△ABC 中，∵AC sin (45°－θ)＝ABsin 135°，∴AC ＝AB sin (45°－θ)sin 135°＝2r sin(45°－θ)，∴在△ACD 中，CD ＝AC sin θ， AD ＝AC cos θ， S △ACD ＝12AC 2sin θcos θ ＝2r 2sin 2(45°－θ)sin θcos θ ＝2r 21－cos (90°－2θ)2·12sin 2θ ＝12r 2(1－sin 2θ)sin 2θ ＝12r 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ－122＋14 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ－122r 2＋18r 2，∴当sin 2θ＝12，即2θ＝π6，θ＝π12时，S △ACD 取得最大值且最大值为18r 2.。
高中数学北师大版必修5 第二章2 三角形中的几何计算 作业 Word版含解析
[学业水平训练]．边长为、、的三角形的最大角与最小角的和是( )．°．°．°．°解析：选.设中间角为θ，则θ＝＝，θ＝°，°－°＝°即为所求．．在△中，三式·≤，·≤，·≤中可以成立的( )．至少个．至多个．一个也没有．三式可以同时成立解析：选.∵·≤，∴≤，∴≥，同样≥，≥，故至多有一个成立．．在△中，角、、所对的边分别是、、.若＝，则＋等于( )．－．－．解析：选.∵＝，∴＝，即－＝，∴－(－)＝，∴＋＝.．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形．与增加的长度有关解析：选.在△中，＝＋，设三边增加相同长度后，新三角形为△′′′，根据余弦定理得′＝＝>，而角′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选.．在△中，＝°，＝，且△＝，则边的长为( )．．解析：选.∵△＝···得，×°＝，∴＝，∴＝)＝°)＝.故选.．在△中，＝，＝，当△的面积等于时，＝．解析：△的面积＝＝，解得＝，所以＝)＝，所以＝＝－，所以＝.答案：．在△中，若＝，＝，＝，则＝；＝．解析：由＝，得＝．又＋＝，得＝.又∵＝，＝，根据正弦定理，应用)＝)，∴＝)＝＝.答案：．已知在锐角三角形中，＝，＝，△的面积为，则·＝．解析：∵＝，∴＝×××.∴＝，又∵∠为锐角，∴＝.∴·＝××＝.答案：．在△中，角，，所对的边分别为，，，且满足＝，·＝.()求△的面积；()若＝，求的值．解：() ＝－＝×()－＝.又∈(，π)，＝＝，而·＝··＝＝，所以＝，所以△的面积为：＝××＝.()由()知＝，而＝，所以＝，所以＝)＝＝.．在△中，内角，，对边的边长分别是，，.已知＝，∠＝.()若△的面积等于，求，的值；()若＝，求△的面积．解：()∵＝＝·＝，∴＝.①∵＝＋－＝(＋)－－＝(＋)－＝.∴＋＝.②由①②可得＝，＝()∵＝，∴＝.又∵＝＋－＝(＋)－＝，∴＝，＝.∴＝＝.[高考水平训练]．在△中，角，，所对的边分别是，，，若(＋－) ＝，则)的值为( ) ．解析：选.由余弦定理＋－＝⇔＝⇒＝，由正弦定理)＝)⇒)＝＝，故选. ．设△的内角，，所对的边分别为，，若(＋－)(＋＋)＝，则角＝.解析：由(＋－)(＋＋)＝，可知＋－＝－.又＝＝－，所以∠＝°.答案：°．设△的内角，，所对的边长分别为，，且＝，＝.()当＝°时，求的值；()当△的面积为时，求＋的值．解：()因为＝，所以＝.由正弦定理)＝)，可得°)＝，所以＝.()因为△的面积＝·，＝，所以＝，＝.由余弦定理得＝＋－，得＝＋－＝＋－，即＋＝.。
2018年高中数学北师大版必修5第2章解三角形2.1.1习题含解析
药關年下载250万谡料（打旬精品示范溟视顾等）服称论文写作及发表 先发表后忖款色数理代网康阿曙馥嘛幡华師力作V JWM .sh U HH UH r nd1.1 正弦定理_________ :课时过关能力提升1. 在A ABC 中角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=8,B=60° ,C=75° ,则b 等于( )A.4 —B.4 —C.4 —D-2. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 若c= _a,B=30° ,则C 等于( )A.120 °B.105°C.90oD.75°解析：T c= a, - sin C= sin A= sin(180° -30° -C)= sin(30° +C)=— 12cos ,即 sin C=- _cos C,： tan C=-_.T C € (0, n ,： C=120° .故选 A.3. 在锐角三角形ABC 中角A,B 所对的边长分别为a,b.若2asin B= 一b,则A 等于( )A-B-C-D-解析:T 2asin B= b,:2s in Asi n B= sin B.T sin B和,：sin A=—. T A €-,:A=-.故选 A. 4.在△ABC 中满足acos B=bcos A,则A ABC 的形状为 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：由正弦定理，得sin Acos B=sin Bcos A,:sin Acos B-cos Asin B= 0, 即 sin(A-B)=0.:A=B.故△ABC 为等腰三角形. 5.在△ABC 中，已知(b+c) : (c+a) : (a+b)=4 : 5 : 6,则sin A : sin B : sin C 等于() A.6 : 5 : 4 B.7 : 5 : 3C.3 : 5 : 7D.4 : 5 : 6解析:T (b+c) : (c+a) : (a+b)=4 : 5 : 6,岔元包年下载250万谡料(打包精品示范课视腹等)服称论文写作及发表先发表后付熬20元包年下载250万命（打旬精品示范溟视顾等）阳称協文写作及发表 先发表后付熬|色数理代网MH£i§iE6华汇師力作v/ww.sh U HH UH r iict 令一 一 一=k(k>0),则 解得 -二 sin A : sin B: sin C=a : b : c=7 : 5 : 3. 答案：| B 6.若满足条件C=60° ,AB= 一,BC=a 的△ABC 有两个，则a 的取值范围是( )A.(1,_—)B.(— _)C.( 一,2)D.(1,2)解析：由三角形有两解，知asin 60° < _<a 解得一<a< 2,故选C. 答案1C ,C=45° ,则MBC 的面积S ZABC 等于 .b=)X- 一+1. 答案_+18. ____________ 在A ABC 中,BC=x,AC=2,B=45° ,若这个三角形有两解，则x 的取值范围 是 ______________ .解析:如图所示,AB 边上的高CD=—x,要使三角形有两解，必须满足CD<2<x,即一x<2<x, 解得 2<x< 2 一.答案 ::(2,2 _)9. _________ 在A ABC 中已知tan A=-,cos B=——,若A ABC 最长边长为—，则最短边长 是 __________ .解析:T tan A=-,cos B= ----- ,二 sin B= —,ta n B=-,ta n C=-ta n(A+B)=-1.•-C=—,最长的边为c,最短的边为b,利用正弦定理二 ——,得b=- 答^(UJ 数理化网力作WWW,弓iHtj 日”恂亡I10. 在锐角三角形ABC 中,边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,A=2B,求-的取值范围• 解:在锐角7.在 A ABC 中若a=2,A=30°解析T B=180° -A-C= 105.Sz ABc =-absin C=(三角形ABC中,角A,B,C均小于90° ,O即°解得30° <B<45° .O O由正弦定理，知-———= 2cos B€ (一_),故-的取值范围是(一一).11. 在△ABC 中,a= _,b=1,B=30° ,求边c及S AABC.解卜由正弦定理————，得sin A=—- -,••• A=60° 或A=120° .当A=60° 时,C=90° ,c=2b=2,Sz ABc=~acsin B=—;当A=120° 时,C=30° ,c=b=1,Sz ABc=-acsin B=—.故C=2,S/ABC=—或C=1,S Z ABC=—.★ 12在A ABC中,A,B为锐角角A,B,C所对的边分别为a,b,G且cos 2A=-,sin B=—.(1)求A+B的值；⑵若a-b= _-1,求a,b,c的值.解:|(1) T A,B 为锐角,sin B=—,二cos B= - --- .T cos 2A= 1-2sin2A=-，二sin A=—,cos A= - ——.cos(A+B)=cos Acos B-s in Asi n B=——--- ————.T 0<A+B< n • A+B=⑵由⑴知c=—,•sin C=—.由正弦定理—-- —,得a= b= c,即a= b,c= b.-a-b= -1,b-b= -1, • b=1.•a= ,c= .岔元包年下载250万谡料(打包精品示范课视腹等)服称论文写作及发表先发表后付熬。
(北师大版)2018-19年度高中数学必修5-同步习题-第二章解三角形 §2 三角形中的几何计算
§2三角形中的几何计算课时过关·能力提升1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a sin B·cos C+c sin B cos A=b,且a>b,则B等于()A. B. C. D.a sin B cos C+c sin B cos A=b等价于sin A cosC+sin C cos A=,即sin(A+C)=.∵a>b,∴A+C=,∴B=.故选A.2.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成.该八边形的面积为()A.2sin α-2cos α+2B.sin α-cos α+3C.3sin α-cos α+1D.2sin α-cos α+1x,则x=--,所以S=4S三角形+S正方形=4××1×1×sin α+x2=2sin α+2-2cos α=2sin α-2cos α+2.3.若△ABC的周长等于20,面积是 10,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8S=bc sin A,得10bc sin 60°,即bc=40.又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-2bc cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,故a2=(20-a)2-120,解得a=7.4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则△ABC 是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形,得,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,所以△ABC为等边三角形.5.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()A.,B.,C.,D.,,得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理,得cos A=-.∵0<A<π,∴0<A≤,故选C.6.等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为,则此三角形外接圆半径R为()A.B.C.2D.47.在△ABC中,若AB=3,BC=,AC=4,则AB边上的高为.,得cos A=-,∴A=60°.∴AB边上的高为AC·sin 60°=4×=2.8.在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=.,∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴×3×2sin 60°=×3AD sin 30°+×2AD×sin 30°,∴AD=.9.在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC=.,如图所示.在△ABD中,设BD=x.根据余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2·AD·BD cos∠BDA,所以142=102+x2-10x,整理得x2-10x-96=0,解得x=16或x=-6(舍去),即BD=16.在△BCD中,根据正弦定理,得,=8.则BC=°°10.在△ABC中,已知A=60°,AB∶AC=8∶5,面积为10,则其周长为.AB=8k,AC=5k,k>0,∴S△ABC=AB·AC sin A=10k2=10,∴k=1,AB=8,AC=5.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A=82+52-2×8×5×=49,∴BC=7.∴△ABC的周长为AB+BC+AC=20.★11.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积S.,连接BD,则S=S△ABD+S△CBD=AB·AD sin A+BC·CD sin C.∵A+C=180°,∴sin A=sin C.∴S=sin A(AB·AD+BC·CD)=16sin A.在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos A=20-16cos A.在△CDB中,由余弦定理,得BD2=CD2+BC2-2CD·BC cos C=52-48cos C.∴20-16cos A=52-48cos C.又cos C=-cos A,∴cos A=-,∴A=120°.∴S=16sin A=8.★12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a cos C+c=b.(1)求A的大小;(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.由a cos C+c=b,得sin A cos C+sin C=sin B.∵sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,∴sin C=cos A sin C.∵sin C≠0,∴cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)由正弦定理,得b=sin B,c=sin C,l=a+b+c=1+(sin B+sin C)=1+[sin B+sin(A+B)]=1+2=1+2sin.∵A=,∴B∈,.∴B+,.∴sin,.故△ABC的周长l的取值范围为(2,3].。
高中数学第二章解三角形2三角形中的几何计算课时素养评价含解析北师大版必修5
第二章 2 三角形中的几何计算课堂检测·素养达标1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=120°,c=2b,则cos C= ( )A. B. C. D.【解析】选C.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得a2=b2+4b2+2b2=7b2,故a=b,故cos C==.2.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的直径为( )A. B. C. D.9【解析】选B.设另一条边的边长为x,则x2=22+32-2×2×3×,所以x2=9,所以x=3.设cos θ=,则sin θ=,所以2R===.3.(教材二次开发:练习改编)(2020·丹阳高一检测)在△ABC中,若AB=3,BC=,AC=4,则AC 边上的高为( )A. B. C. D.3【解析】选B.由题意可知,cos A==,所以sin A=.又因为S△ABC=AB·AC·sin A=·AC·h,所以h=,即AC边上的高为.4.如图,在四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( )A. B.5 C.6 D.7【解析】选B.连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的和,由余弦定理得BD=2, S△BCD=BC·CDsin 120°=,∠ABD=120°-30°=90°,所以S△ABD=AB·BD=4,所以S四边形ABCD=+4=5.课时素养评价十四三角形中的几何计算(20分钟35分)1.在平行四边形ABCD中,已知AB=1,AD=2,·=1,则||= ()A. B. C.2 D.2【解析】选B.由·=||·||cos A=1,得cos A=,A=60°,故B=120°.由余弦定理知AC2=12+22-4cos 120°=7,故||=.2.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于( )A. B. C. D.【解析】选B.设BC=a,则BM=CM=.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AMcos∠AMB,即72=+42-2××4·cos∠AMB.①在△ACM中,AC2=AM 2+CM 2-2AM·CM·cos∠AMC,即62=42++2×4×·cos∠AMB.②①+②得72+62=42+42+,所以a=.3.(2020·南阳高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形,点D在线段BC的延长线上,若BC=AD=2,则CD= ( )A.1B.C.-D.-【解析】选D.由图可得∠ACD=135°,AC=2,所以cos 135°==-,CD2+2CD-4=0,解得CD=-或CD=--(舍去).4.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为.【解析】不妨设a=6,b=c=12,由余弦定理得cos A===,所以sin A==.设内切圆半径为r,由(a+b+c)r=bcsin A,得r=.所以S内切圆=πr2=.答案:5.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边长之比为3∶2,则这个三角形的面积是.【解析】设另两边长分别为3x,2x,则cos 60°=,解得x=,故两边长分别为3和2,所以S=×3×2×sin 60°=.答案:6.如图所示,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sin B=,求BC边上的高AD的长.【解析】在△ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x,x>0,由正弦定理得=,所以sin C==×=.又因为0°<C<180°,所以C=60°或120°.若C=120°,由8x>7x,知B也为钝角,不合题意,故C≠120°.所以C=60°.由余弦定理得(7x)2=(8x) 2+152-2×8x×15cos 60°,所以x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.所以AB=21或AB=35.在Rt△ADB中,AD=ABsin B=AB,所以AD=12或20.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.A是△ABC中最小的内角,则sin A+cos A的取值范围是( )A.(-,)B.[-, ]C.(1,)D.(1, ]【解析】选D.sin A+cos A=sin.因为A为△ABC中最小的内角,所以A∈,所以A+∈,所以sin∈,所以sin A+cos A∈(1,].2.(2020·宁波高一检测)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a=1且B=2A,则b的取值范围是( )A.(,)B.(1,)C.(,2)D.(0,2)【解析】选A.由a=1且B=2A及正弦定理=,可得=,所以b=2cos A.又因为△ABC为锐角三角形,所以解得<A<,故cos A∈,故b∈(,).3.在△ABC中,B=60°,C=45°,BC=8,D是BC上的一点,且=,则AD的长为( )A.4(-1)B.4(+1)C.4(3-)D.4(3+)【解析】选C.因为=,BC=8,所以BD=4(-1).又因为=,所以=,所以AB=×BC=×8=8(-1).在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B=[8(-1)]2+[4(-1)]2-2×8(-1)×4(-1)×cos 60°=48(-1)2,所以AD=4(3-).4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2,C=,且a+b=3,则△ABC的面积为( )A. B. C. D.【解析】选D.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,所以22=a2+b2-2abcos ,即4=(a+b)2-3ab,又a+b=3,所以ab=,所以S△ABC=absin =.5.(2020·成都高一检测)已知△ABC中,sin(B+A)+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.无法确定【解析】选C.因为sin(B+A)+sin(B-A)=sin 2A,由两角和差的正弦公式可得2sin Bcos A=sin 2A,所以sin Bcos A=sin Acos A,若cos A=0,即A=时此时△ABC是直角三角形;若cos A≠0,即sin B=sin A,所以A=B,所以△ABC是等腰三角形;综上,△ABC是等腰三角形或直角三角形.【光速解题】由sin(B+A)+sin(B-A)=sin 2A可以快速看出B=A时显然成立,故可能为等腰三角形,直角三角形的判断由cos A可快速判断.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·新余高一检测)如图所示,在△ABC中,已知∠A∶∠B=1∶2,角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分,则cos A= .【解题指南】由角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分可得==,由正弦定理可得=,再根据∠A∶∠B=1∶2即可求出答案.【解析】因为角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分,所以=, 即==,由正弦定理得=,又∠A∶∠B=1∶2,所以==2cos A=,所以cos A=.答案:【补偿训练】若E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则tan∠ECF= .【解析】方法一:不妨设AB=6,则AC=BC=3,由余弦定理得CE=CF=,再由余弦定理得cos ∠ECF=,所以sin ∠ECF=,解得tan∠ECF=.方法二:坐标法设AB=6,AC=BC=3,F(1,0),E(-1,0),C(0,3),利用向量的夹角公式得cos ∠ECF=,解得tan∠ECF=.答案:7.(2020·马鞍山高一检测)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,CD=2,AD=4,则四边形ABCD的面积的最大值为.【解析】连接AC在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,在△ACD中,CD=2,AD=4,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=16+4-2×4×2cos D=20-16cos D,则四边形ABCD的面积为S=S△ABC+S△ACD=AC2+AD·CD·sin D=(20-16cos D)+ 4sin D=5+8=5+8sin(D-60°),当D-60°=90°,即D= 150°时sin(D-60°)取得最大值1,故四边形ABCD的面积取得最大值为5+8.答案:5+88.在△ABC中,已知AB=,cos∠ABC=,AC边上的中线BD=,则sin A=.【解析】如图所示,取BC的中点E,连接DE,则DE∥AB,且DE=AB=.因为cos∠ABC=,所以cos∠BED=-.设BE=x,在△BDE中,利用余弦定理,可得BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED,即5=x2++2××x.解得x=1或x=-(舍去),故BC=2.在△ABC中,利用余弦定理,可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=,即AC=.又sin∠ABC==,所以=,所以sin A=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圆内接四边形ABCD的面积.【解析】如图,连接BD,则四边形面积S=S△ABD+S△CBD=AB·AD·sin A+BC·CD·sin C.因为A+C=180°,所以sin A=sin C.所以S=(AB·AD+BC·CD)·sin A=16sin A.在△ABD中,由余弦定理得BD2=22+42-2×2×4cos A=20-16cos A,在△CDB中,BD2=42+62-2×4×6cos C=52-48cos C,所以20-16cos A=52-48cos C.又cos C=-cos A,0°<A<180°,所以cos A=-,A=120°,所以四边形ABCD的面积S=16sin A=8.10.(2020·临川高一检测)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos B=.(1)求△ACD的面积;(2)若BC=2,求AB的长.【解析】(1)因为∠D=2∠B,cos B=,所以cos D=cos 2B=2cos2B-1=-.因为D∈(0,π),所以sin D==.因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积S=AD·CD·sin D=×1×3×=.(2)在△ACD中AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D=12,所以AC=2.因为BC=2,=,所以====,所以AB=4.1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )A. B.2 C.3 D.【解析】选A.根据正弦定理及a2sin C=4sin A,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,则S===,故选A.2.(1)在△ABC中,若已知三边为连续整数,最大角为钝角,求最大角的余弦值;(2)求以(1)中的最大角为内角,相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积. 【解析】(1)设三边长分别为a-1,a,a+1,由于最大角是钝角,所以(a-1) 2+a2-(a+1) 2<0,解得0<a<4.又因为a为整数,所以a=1或2或3.当a=1时,a-1=0,不合题意,舍去;当a=2时,三边长为1,2,3,不能构成三角形;当a=3时,三边长为2,3,4,设最大角为θ,则cos θ==-.(2)sin θ= =.设相邻两边长分别为x,y,则x+y=4.所以面积S=xysin θ=xy=x(4-x)=[-(x-2)2+4].又因为x∈(0,4),所以当x=2时,S取得最大值.。
高中数学北师大版必修5 第二章2 三角形中的几何计算 作业2 Word版含解析
,[学生用书单独成册])[.基础达标]．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )．钝角三角形．锐角三角形．与增加的长度有关．直角三角形解析：选.在△中，＝＋，设三边增加相同长度后，新三角形为△′′′，根据余弦定理得′＝＝>，而角′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选.．在△中，＝°，＝，其面积为，则等于( )．解析：选.因为△＝·＝·°，又△＝，所以＝得＝，又由余弦定理得＝＝＝，故＝＝.．在△中，角、、所对的边分别为、、，表示△的面积，若＋＝，＝(＋－)，则角等于( )．°．°．°．°解析：选.由正弦定理得＋＝，即(＋)＝，因为(＋)＝，所以＝，＝°.根据三角形面积公式和余弦定理得＝，＋－＝，代入已知得＝·，所以＝，＝°，因此＝°.．在△中，角，，所对的边分别是，，，若(＋－)＝，则的值为( )．解析：选.由余弦定理＋－＝⇔＝⇒＝，由正弦定理＝⇒＝＝，故选.．在三角形中，角、、的对边分别是、、，且>>，<＋，则角的取值范围是( )．(，π)．(，)．(，)．(，)解析：选.因为<＋，所以＝>，所以为锐角，又因为>>，所以为最大角，所以角的取值范围是(，)．．在△中，已知＝，＝，＝°，则△的面积为．解析：由余弦定理＝＋－，得＋－＝，解得＝.所以△＝＝××°＝.答案：．在△中，为边上一点，＝，∠＝°，＝，若△的面积为－，则∠＝．解析：由作垂线⊥于.因为△＝··°＝×××＝－.所以＝(－)，又因为⊥，∠＝°，所以＝°＝，所以＝(－)－＝－.又＝，所以＝－，所以＝＋＝.又＝°＝，所以在△中＝，所以∠＝°.又在△中∠＝＝＝－，所以∠＝°.又∠＝∠＋∠＝°，故所求角为°.答案：°．在▱中，＝，＝，∠＝°，则▱的对角线长为，面积为．解析：在▱中，连接，则＝＝，∠＝°－∠＝°－°＝°.根据余弦定理得，＝＝＝.＝△＝··∠▱＝×°＝.答案：．已知，，分别是△的三个内角，，所对的边．若＝，且＝，试判断△的形状．解：由余弦定理得：＝·，化简得：＋＝，所以＝°.所以△为直角三角形，则＝，所以＝·＝，所以△是等腰直角三角形．.已知四边形中，＝，＝＝，＝，且＝°，试求四边形的面积．解：连接，在△中，由＝，＝，＝°，可得＝＋－·＝＋－××°＝，在△中，由＝，＝，＝，可得＝＝＝－.又°<<°，故＝°.所以四边形的面积＝△＋△＝·＋·＝××°＋××°＝.[.能力提升]．设△的三个内角，，所对的三边分别为，，，若△的面积为＝－(－)，则＝( )．．．．。
高中数学北师大版高二必修5_第二章2_三角形中的几何计算_作业2_word版含解析
,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．与增加的长度有关解析：选A.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2，设三边增加相同长度m 后，新三角形为△A ′B ′C ′，根据余弦定理得cos A ′＝（b ＋m ）2＋（c ＋m ）2－（a ＋m ）22（b ＋m ）（c ＋m ）＝2m （b ＋c －a ）＋m 22（b ＋m ）（c ＋m ）>0，而角A ′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.2．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A ．3 3 B.2393C.2633D.292解析：选B.因为S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12c ·sin 60°，又S △ABC ＝3，所以34c ＝3得c ＝4，又由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋42－2×4×1×cos 60°＝13，故a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝2393.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，C ＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa的值为( )A ．1 B.12C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ⇔2ac sin B ＝3ac ⇒sin B ＝32，由正弦定理a sin A ＝bsin B⇒b sin A a ＝sin B ＝32，故选D. 5．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：选C.因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是(π3，π2)．6．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2＋5c －24＝0， 解得c ＝3.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×5×3sin 120°＝1534.答案：15347．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________．解析：由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60°＝12×2×DC ×32 ＝3－ 3.所以DC ＝2(3－1)，又因为AH ⊥BC ， ∠ADH ＝60°，所以DH ＝AD cos 60°＝1，所以HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3.又BD ＝12CD ，所以BD ＝3－1，所以BH ＝BD ＋DH ＝ 3. 又AH ＝AD sin 60°＝3， 所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ， 所以∠BAH ＝45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝HC AH ＝23－33＝2－3，所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°， 故所求角为60°. 答案：60° 8．在▱ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，∠BAD ＝60°，则▱ABCD 的对角线AC 长为________，面积为________． 解析：在▱ABCD 中，连接AC ，则CD ＝AB ＝6， ∠ADC ＝180°－∠BAD ＝180°－60°＝120°. 根据余弦定理得， AC ＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD cos 120°＝32＋62－2×3×6×（－12）＝37.S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝AB ·AD ·sin ∠BAD ＝6×3sin 60°＝9 3. 答案：37 9 39．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边． 若a ＝c cos B ，且b ＝c sin A ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理得：a ＝c ·a 2＋c 2－b 22ac，化简得：a 2＋b 2＝c 2，所以C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形，则sin A ＝a c ，所以b ＝c ·ac＝a ，所以△ABC 是等腰直角三角形． 10.已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，DA ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD 的面积． 解：连接AC ，在△ACD 中，由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°，可得 AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D ＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28， 在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28，可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝22＋42－282×2×4＝－12.又0°<B <180°，故B ＝120°. 所以四边形ABCD 的面积 S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12AD ·CD sin D ＋12AB ·BC sin B ＝12×4×6sin 60°＋12×2×4sin 120°＝8 3. [B.能力提升]1．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则sin A1－cos A＝( )A ．2B ．3C ．5D ．4解析：选D.因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)，sin A ＝4－4（b 2＋c 2－a 2）2bc ＝4－4cos A ，所以sin A 1－cos A＝4.2．已知△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则A 的对边为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：选C.因为a ＋b ＋c ＝20，所以b ＋c ＝20－a ，即b 2＋c 2＋2bc ＝400－40a ＋a 2. 所以b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc .又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以b 2＋c 2－a 2＝bc .又因为S △ABC ＝12bc sin A ＝103，所以bc ＝40.将b 2＋c 2－a 2＝bc 和bc ＝40代入b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ，得a ＝7.3．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________． 解析：不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且a ＝6，b ＝c ＝12. 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，所以sin A ＝1－（78）2＝158.由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. 所以S 内切圆＝πr 2＝27π5.答案：27π54．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝7，cos B cos A ＝a b ＝43，则a ＝________，b ＝________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，且a b ＝43，设a ＝4x ，b ＝3x ， 则16x 2＋49－9x 256x 9x 2＋49－16x 242x ＝43， 解得x ＝75.所以a ＝285，b ＝215.答案：285 2155．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos C ＝15，(1)求sin(C ＋π4)的值；(2)若CA →·CB →＝1，a ＋b ＝37，求边c 的值及△ABC 的面积． 解：(1)由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝265.则sin(C ＋π4)＝sin C cos π4＋cos C sin π4＝265×22＋15×22＝43＋210.(2)因为CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos C ＝1， 则ab ＝5.又a ＋b ＝37，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝27. 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，则c ＝5.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝ 6.6．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，求△ABC 面积的最大值． 解：由已知条件得4R 2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·2R sin B ，由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ，即a 2＋b 2－c 2＝2ab ，再由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又因为C 是△ABC 的内角， 所以C ＝45°，所以S △ABC ＝12ab sin C＝12·2R sin A ·2R sin B ·22＝2R 2sin A sin B ＝－22R 2[cos(A ＋B )－cos(A －B )]＝22R 2[22＋cos(A －B )]， 当A ＝B 时，S △ABC 有最大值，最大值为1＋22R 2.。
2018版高中数学北师大版必修五学案第二章 2 三角形中的几何计算
学习目标.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明．
知识点一平面图形中的计算问题
思考问题：在△中，＝，＝，＝，点在边上，＝，求的长．拿到该问题之后，到确定解决方案之前，你通常要做哪些工作？
梳理对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．
知识点二平面图形中的最值问题
思考问题：直线－－＝与直线－－＝的交点在圆＋＝上或圆的内部，如何求的最大值？
梳理类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值．
知识点三解三角形常用公式
在△中，有以下常用结论：
()＋>，＋>，＋>；
()>⇔⇔；
()＋＋＝π，＝－；
()(＋)＝，(＋)＝，
＝，＝.
()三角形常用面积公式
①＝(表示边上的高)；
②＝＝＝；
③＝(可由正弦定理推得)；
④＝··(是三角形外接圆半径)；
⑤＝(＋＋)(为三角形内切圆半径)．
类型一利用正弦、余弦定理求线段长度
例如图所示，在四边形中，⊥，＝，＝，∠＝°，∠＝°，求的长．
反思与感悟解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解．
跟踪训练如图所示，在△中，已知＝，∶＝∶，＝，求边上的高的长．
类型二利用正弦、余弦定理求角度问题
例在△中，已知＝，∠＝，边上的中线＝，求的值．。
2018高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题精选北师大版必修5
§2 三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是( )A. B.2 C.1 D.解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( )A. B.C. D.解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即7=AB2+4-2×2×AB×.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=.答案:B3.若△ABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则BC边的长是( )A.5B.6C.7D.8解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bcsin A,得10bc×sin 60°,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A=acos C.当sin A-cos取最大值时,A的大小为( )A. B.C. D.解析:由正弦定理得sin Csin A=sin Acos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin.因为0<A<,所以<A+,所以当A+,即A=时,2sin取最大值2.答案:A5.导学号33194042在△ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A为( )A.30°B.45°C.45°或75°D.60°解析:根据正弦定理,得2R===,所以sin A+sin B+sin 60°=,所以sin A+sin B=,即sin A+sin(A+C)=⇒sin(A+60°)+sinA=sin(A+30°)=⇒sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.答案:C6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是.解析:设另两边分别为3x,2x,则。
2018年高二数学北师大版必修5同步精练：2.2三角形中的几何计算 Word版含答案
基础巩固1在△ABC 中，等于( )asin A A.B.C.D.c sin B b sin C c sin C sin B b2在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝4，则BC 边上的高等于( )3A.B ．2C ．4D ．63333在△ABC 中，BC ＝1，B ＝，当△ABC 的面积等于时，sin C ＝______.π334在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于______．5若△ABC 面积为，c ＝2，A ＝60°，求b 、a 的值．326在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形．7已知三角形的一个角为60°，面积为10 cm 2，周长为20 cm ，求此三角形各边长．38已知△ABC 三边的长分别为a ＝41.4 cm ，b ＝27.3 cm ，c ＝38.7 cm.求此三角形的面积．综合过关9半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积．10在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0 的两个根，且32cos(A ＋B )＝1，求：(1)角C 的度数；(2)AB 的长度；(3)△ABC 的面积．11已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．能力提升12在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．参考答案1答案：C2解析：BC 边上的高等于b sin C ＝6.答案：D3解析：△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝，解得c ＝4，所以123b ＝＝，所以cos C ＝＝－，所以sin C ＝.a 2＋c 2－2ac cos B 13a 2＋b 2－c 22ab131321339答案：213394解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos30°，∴AC 2－2AC ＋3＝0.3∴AC ＝.3S △ABC ＝AB ·AC sin30°12＝×2××＝.1231232答案：325分析：本题为三角形面积的应用，主要是构建方程求得a 、b .解：根据题意：S ＝bc ·sin A ＝b sin60°＝，∴b ＝1.1232由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，∴a ＝.36分析：欲证△ABC 为等腰三角形，可利用余弦定理证明两边相等．证明：由余弦定理，得cos C ＝.a 2＋b 2－c 22ab又cos C ＝，a2b ∴＝.a 2＋b 2－c 22aba 2b整理得b 2＝c 2.∴b ＝c .∴△ABC 是等腰三角形．7分析：此题条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但都与边或角相关，故可设出边长，利用所给的条件列出方程求解．解：设三角形的三条边长为a ，b ，c ，B ＝60°，则依题意，得Error!∴Error!由①式得b 2＝[20－(a ＋c )]2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40(a ＋c )． ④将②代入④得400＋3ac －40(a ＋c )＝0，再将③代入④得a ＋c ＝13.由Error!得Error!或Error!∴b ＝7.∴该三角形的三边长为5 cm,7 cm,8 cm.8解：根据余弦定理的推论，得cos B ＝＝≈0.769 7，c 2＋a 2－b 22ca38.72＋41.42－27.322×38.7×41.4sin B ＝≈≈0.638 4.1－cos2B 1－0.769 72应用S ＝ca sin B ，得12S ≈×38.7×41.4×0.638 4≈511.4(cm 2)．129分析：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：＝＝＝2R ，其中R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式S △asin A b sin B csin C ABC ＝ac sin B 发生联系，对abc 进行整体求解．12解：设△ABC 三边为a ，b ，c ，则S △ABC ＝ac sin B ，12∴＝＝.S △ABC abcac sin B 2abc sin B2b又＝2R ，其中R 为三角形外接圆半径，bsin B ∴＝.S △ABC abc14R ∴abc ＝4RS △ABC ＝4×1×0.25＝1.∴三角形三边长的乘积为1.10分析：(1)利用三角形的内角和求得cos C ；(2)利用余弦定理求AB 的长度；(3)利用S ＝ab sin C 求△ABC 的面积．12解：(1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－.12∵0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由题设得Error!∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－23＝10.所以AB ＝.10(3)S △ABC ＝ab sin C ＝×2×＝.1212323211分析：先将所求面积转化为用某个角的三角函数表示，再利用对角互补及余弦定理求出该角即可．解：如图，连接BD ，则有四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝AB ·AD sin A ＋BC ·CD sin C .1212∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .故S ＝(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A 12＝(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A .12由余弦定理，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝52－48cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C .∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32.∴cos A ＝－.12又0°＜A ＜180°，∴A ＝120°.故S ＝16sin120°＝8.312分析：利用最大角的余弦值小于0解得三边长，再用余弦定理得最大角的余弦值；(2)转化为求二次函数的最大值．解：(1)设三边a ＝k －1，b ＝k ，c ＝k ＋1，k ∈N ＋且k ＞1，故角C 为钝角．∴cos C ＝＝＜0.a 2＋b 2－c 22abk －42(k －1)解得1＜k ＜4.∵k ∈N ＋，∴k ＝2或3，但k ＝2时不能构成三角形，应舍去．当k ＝3时，a ＝2，b ＝3，c ＝4，由余弦定理，得cos C ＝＝－.a 2＋b 2－c 22ab14(2)设角C 的两边分别为x ，y ，则x ＋y ＝4，∴y ＝4－x .S ＝2(xy sin C )＝(－x 2＋4x )12154＝－(x －2)2＋.15415则当x ＝2时，平行四边形的面积取最大值.15。
高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题精选北师大版必修5
§2三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是()A. B.2 C.1 D.解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A. B.C. D.解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,即7=AB2+4-2×2×AB×.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=.答案:B3.若△ABC的周长等于20,面积是 10,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bc sin A,得10bc×sin 60°,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-2bc cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,A的大小为()A. B.C. D.解析:由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin.因为0<A<,所以<A+,所以当A+,即A=时,2sin取最大值2.答案:A5.导学号33194042在△ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A 为()A.30°B.45°C.45°或75°D.60°解析:根据正弦定理,得2R===,所以sin A+sin B+sin 60°=,所以sin A+sin B=,即sin A+sin(A+C)=⇒sin(A+60°)+sin A=sin(A+30°)=⇒sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.答案:C6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是.解析:设另两边分别为3x,2x,则cos 60°=,解得x=,故两边长为3和2,所以S=×3×2×sin 60°=.答案:7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=.解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×3×2sin 60°=×3AD sin 30°+×2AD×sin 30°,所以AD=.答案:8.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC=.解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2ab cos θ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=ab sinθ+BC2=(a2+b2)+ab·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.答案:150°9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos 120°,则a=10,所以三边长为6,10,14, S△ABC=×6×10×sin 120°=15.答案:1510.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a+3c=0,则sin A∶sin B∶sin C=.解析:因为G是△ABC的重心,所以=0,又2a+3c=0,所以2a-3c()=0,即(2a-3c)+(b-3c)=0,则所以a∶b∶c=3∶2∶2,由正弦定理,得sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶2.答案:3∶2∶211.导学号33194043(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×=4.所以b=2.12.导学号33194044(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 解三角形
[学习目标] 1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培养分析问题、独立解决问题的能力，激发探索精神．知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1．公式(1)三角形面积公式S ＝12ah .(2)三角形面积公式的推广 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．2．证明(1)三角形的高的计算公式在△ABC 中，边BC ，CA ，AB 对应的边长分别为a ，b ，c ，边上的高分别记为h a ，h b ，h c ，则h a ＝b sin C ＝c sin B ，h b ＝c sin A ＝a sin C ，h c ＝a sin B ＝b sin A .借助上述结论，如图，若已知△ABC 中的边AC ，AB ，角A ，那么AB 边上的高CD ＝b sin_A ，△ABC 的面积S ＝12bc sin A .(2)三角形的面积与内切圆已知△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则△ABC 的面积为S ＝12r (a＋b ＋c )．如图，设△ABC 内切圆圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝12cr ＋12br ＋12ar ＝12(a ＋b ＋c )r .思考 (1)已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A ＝________.(2)在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于________． 答案 (1)60°或120° (2)32解析 (1)S ＝12bc sin A ＝32，∴12·2·3·sin A ＝32，∴sin A ＝32， 又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝60°或120°. (2)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝2·sin 30°1＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝90°， ∴b ＝c 2－a 2＝22－12＝ 3. ∴S △ABC ＝12×1×3＝32.知识点二 多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决． 知识点三 几个常用结论在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边 (1)若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2；(2)若cos A ＝cos B ，则A ＝B ；(3)若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； (4)若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形；(5)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形．题型一 三角形的面积公式及其应用例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝35.于是sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310，又因为B ＝π3，b ＝3，所以在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝65.于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.反思与感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根．跟踪训练1 如图所示，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解 连接BD ，则四边形ABCD 的面积为 S ＝S △ABD ＋S △CDB＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△CDB 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C .∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32，∴cos A ＝－12，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°， ∴S ＝16sin 120°＝8 3.题型二 求平面几何图形中线段的长度例2 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2. (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.反思与感悟 在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键． 跟踪训练2 如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解 在△ACD 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C 为三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(1114)2＝5314.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B， ∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝7×5314sin 45°＝562.题型三 三角形面积的最值问题例3 已知△ABC 的外接圆半径为R ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·sin B ，求△ABC 面积的最大值． 解 由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ， 即a 2＋b 2－c 2＝2ab .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝2ab 2ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴S ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·22＝2R 2sin A sin B ＝2R 2sin A sin(34π－A )＝2R 2sin A (22cos A ＋22sin A ) ＝R 2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝R 2(12sin 2A ＋1－cos 2A 2)＝R 2[22sin(2A －π4)＋12] ∵A ∈(0，34π)，∴2A －π4∈(－π4，54π)，∴sin(2A －π4)∈(－22，1]，∴S ∈(0，2＋12R 2]，∴面积S 的最大值为2＋12R 2. 反思与感悟 求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系或(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值．跟踪训练3 若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，求面积S 的最大值．解 S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )， 即S ＝2ab (1－cos C )，∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝4(1－cos C )．又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，∴17cos 2C －32cos C ＋15＝0， 解得cos C ＝1517或cos C ＝1(舍去)．∴sin C ＝817，∴S ＝12ab sin C ＝417a (2－a )＝－417(a －1)2＋417.∵a ＋b ＝2，∴0<a <2，∴当a ＝1，b ＝1时，S max ＝417. 题型四 三角形中的综合问题例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解 (1)由题意可知12ab sin C ＝34×2ab cos C .所以tan C ＝3，因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3(0<A <2π3)， 当A ＝π3，即△ABC 为等边三角形时取等号．所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.反思与感悟 (1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．(2)此类问题常以三角形为载体，以正弦、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，当然有时会以向量的知识作为切入点进行破题．跟踪训练4 已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，∠C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B . ∴a ·a 2R ＝b ·b2R (2R 为△ABC 外接圆直径)，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．(2)解 由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理得4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4或－1(舍)， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12·4·sin π3＝ 3.故△ABC 的面积为 3.1．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B.1010C.55D.31010答案 D解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以sin A ＝31010.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆直径为( ) A ．4 3 B ．60 C ．5 2 D ．6 2答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12c ·sin 45°＝24c ＝2，∴c ＝42，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 45°＝25， ∴b ＝5.∴△ABC 的外接圆直径为bsin B＝5 2. 3．设A 是△ABC 中最小的内角，则sin A ＋cos A 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．[－2， 2 ] C ．(1，2) D ．(1， 2 ]答案 D解析 sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)．∵A 为△ABC 中最小内角，∴A ∈(0，π3)，∴A ＋π4∈(π4，712π)，∴sin(A ＋π4)∈(22，1]，∴sin A ＋cos A ∈(1， 2 ]．4．在△ABC 中，已知B ＝π4，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为________．答案 5 6解析 在△ADC 中，∵AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6， ∴cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∵∠ADC ∈(0，π)，∴∠ADC ＝2π3，∴∠ADB ＝π3.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADBsin B ＝10×3222＝5 6.5．已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝120°，求BD 的长． 解 如图，连接BC ，BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7， 在△ABC ，由正弦定理知：2sin ∠ACB ＝7sin 120°，∴sin ∠ACB ＝217.又∵∠ACD ＝90°， ∴cos ∠BCD ＝217，sin ∠BCD ＝277， 由AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠BAC ＝120°得∠BDC ＝60°. 由正弦定理得，BD ＝BC ·sin ∠BCDsin 60°＝7×27732＝433.1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决． 2．三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般要用公式S ＝12ab sin C＝12bc sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．3．与面积有关的三角形综合问题的解决思路．选取适当的面积公式，结合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决．。
2018版高三数学(北师大版_必修5)配套练习：2.2三角形中的几何计算
cos(A－ C)＝ cosAcosC＋sinAsinC
＝cosAcosC－ sinAsinC＋ 2sinAsinC
2
1
＝cos(A＋ C)＋2sinAsinC
1
3－1
＝2＋ 2× 4
3 ＝2.
故 A－ C＝ 30 或° A－ C＝－ 30 ，°
因此 C＝ 15 或° C＝ 45 °．
π 10． (2014 ·北京理， 15)如图，在△ ABC 中，∠ B＝ 3， AB＝ 8，点 D 在 BC 边上，且
一、选择题
1．已知锐角三角形的边长分别为 A ． (8,10) C． (2 2， 10) [答案 ] B
1,3， a，则 a 的取值范围是 ( ) B ．(2 2， 10) D． ( 10， 8)
[解析 ] 若 a 是最大边，则 Error! ，
∴3≤ a< 10.
若 3 是最大边，则 Error! ，
二、填空题
5． (2014 ·新课标Ⅰ理， 16)已知 a， b，c 分别为 △ABC 的三个内角 A， B， C 的对边， a＝ 2，且 (2＋ b)(sin A－ sinB)＝ (c－ b)sin C，则△ ABC 面积的最大值为 ________．
[答案 ] 3
[解析 ] 本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得
43 1 1 3 33 ＝ 7 × 2－ 7× 2 ＝ 14 . (2)在△ABD 中，由正弦定理得
33 8×
14
AB· s∠inBAD
43
BD ＝ sin∠ADB ＝ 7 ＝ 3，
在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＝ AB2＋ BC2－ 2AB·BC · cBos
高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §2 三角形中的几何计算 Word版含解析
[A 基础达标]1．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．与增加的长度有关解析：选A.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2，设三边增加相同长度m 后，新三角形为△A ′B ′C ′，根据余弦定理得cos A ′ ＝（b ＋m ）2＋（c ＋m ）2－（a ＋m ）22（b ＋m ）（c ＋m ）＝2m （b ＋c －a ）＋m 22（b ＋m ）（c ＋m ）>0，而角A ′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.2．在△ABC 中，A ＝120°，a ＝21，S △ABC ＝3，则b 等于( )A ．1B ．4C ．1或4D ．5解析：选C.S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4，① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝21，②解①②组成的方程组，可得b ＝1或b ＝4，选C.3．已知△ABC 周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.由题设a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103， 所以bc ＝40.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－120.所以a ＝7.即BC 边长为7.4．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3B ．2C ．2 3D ．4解析：选B.因为S ＝12bc sin A ， 所以3＝12×2c sin 120°，所以c ＝2， 所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， 设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A ＝2332＝4，所以R ＝2. 5．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，π B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2 D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 解析：选C.因为a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 6．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，B ＝120°，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c 2＋5c －24＝0，解得c ＝3.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×5×3sin 120°＝1534. 答案：15347．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________．解析：由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60° ＝12×2×DC ×32＝3－ 3.所以DC ＝2(3－1)，又因为AH ⊥BC ，∠ADH ＝60°，所以DH ＝AD cos 60°＝1，所以HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3.又BD ＝12CD ， 所以BD ＝3－1，所以BH ＝BD ＋DH ＝ 3.又AH ＝AD sin 60°＝3，所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ，所以∠BAH ＝45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝HC AH ＝23－33＝2－3， 所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°，故所求角为60°.答案：60°8．在▱ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，∠BAD ＝60°，则▱ABCD 的对角线AC 长为________，面积为________．解析：在▱ABCD 中，连接AC ，则CD ＝AB ＝6，∠ADC ＝180°－∠BAD ＝180°－60°＝120°.根据余弦定理得，AC ＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD cos 120° ＝ 32＋62－2×3×6×（－12） ＝37.S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝AB ·AD ·sin ∠BAD ＝6×3sin 60°＝9 3.答案：37 9 39．已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，DA ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD的面积．解：连接AC ，在△ACD 中，由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°，可得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28，可得cos B＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝22＋42－282×2×4＝－12. 又0°<B <180°，故B ＝120°.所以四边形ABCD 的面积S ＝S △ACD ＋S △ABC＝12AD ·CD sin D ＋12AB ·BC sin B ＝12×4×6sin 60°＋12×2×4sin 120°＝8 3. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解：(1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ． 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝cos A sin C ， 因为sin C ≠0，所以cos A ＝12， 又因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23 sin B ，c ＝23sin C ， l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为A ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2，3]．[B 能力提升]11．平行四边形ABCD 中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形的面积是( )A ．16B ．17.5C ．18D ．18.5解析：选A.设平行四边形的两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65，解得a ＝5，b ＝4，cos α＝35，或a ＝4，b ＝5，cos α＝35， 所以S 平行四边形ABCD ＝ab sin α＝16.12.如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝32BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值是________．解析：设AB ＝x ，则AD ＝x ，BD ＝233x ，BC ＝433x .在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝x 2＋x 2－43x 22x 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得x sin C ＝BC sin A ＝433x 223，解得sin C ＝66. 答案：66 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos C ＝15， (1)求sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4的值； (2)若CA →·CB →＝1，a ＋b ＝37，求边c 的值及△ABC 的面积．解：(1)由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝265. 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4 ＝sin C cos π4＋cos C sin π4＝265×22＋15×22＝43＋210. (2)因为CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos C ＝1，则ab ＝5.又a ＋b ＝37，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝27.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，则c ＝5.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝ 6. 14.(选做题)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km. (1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．解：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，所以BD ＝3310km. 因为BC ＝CD ，所以∠CDB ＝∠CBD ＝π－23π2＝π6， 又∠CDE ＝2π3，所以∠BDE ＝π2. 所以在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝⎛⎭⎫33102＋⎝⎛⎭⎫9102＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km. (2)设∠ABE ＝α，因为∠BAE ＝π3， 所以∠AEB ＝2π3－α. 在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝AE sin ∠ABE ＝BE sin ∠BAE ＝335sin π3＝65， 所以AB ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，AE ＝65sin α. 所以S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α ＝9325[12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋14]≤9325⎝⎛⎭⎫12＋14＝273100(km 2)．因为0<α<2π3，所以－π6<2α－π6<7π6. 所以当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100 km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。
高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题精选北师大版必修5
§2三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是()A. B.2 C.1 D.解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A. B.C. D.解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,即7=AB2+4-2×2×AB×.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=.答案:B3.若△ABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bc sin A,得10bc×sin 60°,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-2bc cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,A的大小为()A. B.C. D.解析:由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin.因为0<A<,所以<A+,所以当A+,即A=时,2sin取最大值2.答案:A5.导学号33194042在△ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A为()A.30°B.45°C.45°或75°D.60°解析:根据正弦定理,得2R===,所以sin A+sin B+sin 60°=,所以sin A+sin B=,即sin A+sin(A+C)=⇒sin(A+60°)+sin A=sin(A+30°)=⇒sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.答案:C6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是.解析:设另两边分别为3x,2x,则cos 60°=,解得x=,故两边长为3和2,所以S=×3×2×sin 60°=.答案:7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=.解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×3×2sin 60°=×3AD sin 30°+×2AD×sin 30°,所以AD=.答案:8.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC=.解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2ab cos θ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=ab sin θ+BC2=(a2+b2)+ab·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.答案:150°9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos 120°,则a=10,所以三边长为6,10,14,S △ABC=×6×10×sin 120°=15.答案:1510.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a+3c=0,则sin A∶sin B∶sin C=.解析:因为G是△ABC的重心,所以=0,又2a+3c=0,所以2a-3c()=0,即(2a-3c)+(b-3c)=0,则所以a∶b∶c=3∶2∶2,由正弦定理,得sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶2.答案:3∶2∶211.导学号33194043(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×=4.所以b=2.12.导学号33194044(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.。