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二次函数的概念——巩固练习(基础)

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苏教版九年级下册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

苏教版九年级下册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0． 由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限． 同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ． 【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则： ①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA •OB=OC 2． 以上说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 【思路点拨】①二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），因而将M 、N 两点坐标代入即可消去a 、c 解得b 值．②根据图象的特点及与直线MN 比较，可知当﹣1＜x ＜1时，二次函数图象在直线MN 的下方． ③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA •OB 的值，当x=0时，可得到OC 的值．通过c 建立等量关系求证． 【答案】C ；【解析】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴直线MN的解析式为y﹣2=，即y=﹣2x，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键． 举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

中考第一轮复习二次函数的概念——巩固练习(基础)

中考第一轮复习二次函数的概念——巩固练习(基础)

二次函数的概念——巩固练习（基础）【巩固练习】 一.选择题1．如图，表示y 是x 的函数图象是（ ）2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（ ）A ．-19B ．-20C ．-21D ．-223. 在函数y =x 的取值范围是（ ） A ．13x <B ．13x ≠-C ．13x ≠D ．13x >4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式是（ ）A ．(9)(09)S x x x =-<<B ．(9)(09)S x x x =+<≤C ．(18)(09)S x x x =-<≤D ．(18)(09)S x x x =+<<5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（ ）6.（2019秋·石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）个. （1）1y x x =+；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2；（4) 21y x x=+ A.4 B.3 C.2 D.1二.填空题7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）．8．（2019秋•古田县校级月考）当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为x 厘米，则它的面积)(2cm y 与x )(cm 之间的函数解析式y=____________.10.当x________________时，函数y =.11.将(23)(1)3y x x =+--化成二次函数的一般式是：________________.12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________________. 三.解答题13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元. （1）写出年产值y (万元)与年数x 的函数关系； （2）画出函数图象；（3）求计划7年后的年产值.14.（2019·滨海县期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y （件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系式y=162-3x ，求商场销售这种商品的日销售利润W （元）与每件商品的销售价x 元之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. （2）设该宾馆每天的利润为w 元，请写出w 关于x 的函数关系式.【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应. 2. 【答案】C.【解析】将x=4代入函数2231y x x =-+-即可求得. 3. 【答案】D ；【解析】要使函数有意义，需3x －1＞0. 4. 【答案】A ；【解析】矩形的另一边长为18292xx -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<. 5. 【答案】D ； 6. 【答案】C ； 【解析】（2）、（3）属于二次函数；其他两个不满足二次函数的概念，所以答案选C. 二.填空题7. 【答案】t Q 5.030-=；600≤≤t ；40．【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5/min kg ，所以函数关系式t Q 5.030-= 8. 【答案】﹣1；【解析】依题意可知|m|+1=2， 解得m=1或m=﹣1， 又∵m﹣1≠0， ∴m≠1，∴当m=﹣1时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数． 故答案为：﹣1． 9. 【答案】2400y x x =-+【解析】宽为xcm ，则长为（400-x ）cm ，所以面积2(400)400y x x x x =-=-+. 10.【答案】-2≤x ≤3；【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即2030x x +≥⎧⎨-≥⎩.11.【答案】226y x x =+-.12.【答案】2100002000010000y x x =++【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x ）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x ）2元. 二.解答题 13.【解析】解：（1）252y x =+ （2）通过列表，描点，画出下图：（3）当x ＝7时，y ＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万元.14.【解析】解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y 件的销售利润为 W=y×（x-30），又∵y=162-3x ， ∴W= (x-30)(162-3x)=-3x 2+252x-4860∵30016230x x -⎧⎨-⎩≥≥，解得30≤x ≤54.∴y=-3x 2+252x-4860（30≤x ≤54）. 15.【解析】 解：（1）y=50—10x（0＜x ≤160，且为10的正整数倍） （2）()180205010x w x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭=2134800010x x -++（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A.40ºB.50ºC.60ºD.70º2．安居物业管理公司对某小区一天的垃圾进行了分类统计，如图是分类情况的扇形统表，若一天产生的垃圾的为300kg ，估计该小区一个月（按30天计）产生的可回收垃圾重量约是（ ）A.900kgB.105kgC.3150kgD.5850kg3．如图，两个小正方形的边长都是1，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D.4．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的内心，∠FOG ＝120”，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ：②S △ODE ＝S △BDE ：③四边形ODBE 的面；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b >-C ．2a >-D ．b a >6．下列运算中，错误的是（ ） A ．x y y xx y y x--=-++ B ．1a ba b--=-+C a =D 1=-7．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a += B ．()2326a a =C ．()23533a aa -=-gD ．623422a a a ÷=8．若x ﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（ ） A ．1B ．4C ．8D ．﹣1691导致乘积减小最大？( )A B C D10．若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）①方程23+20x x -=是倍根方程；②若(2)()0x mx n --=是倍根方程，则4n m =或n m =③若点()p q ，在双曲线2y x=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③11．如图，以正五边形ABCDE 的顶点A 为圆心，AE 为半径作圆弧交BA 的延长线于点A '，再以点B 为圆心，BA '为半径作圆弧交CB 的延长线于B '，依次进行……得到螺旋线，再顺次连结EA '，AB '，BC '，CD '，DE '，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，且满足521S S -=，则43S S -的值为（ ）A ．17B ．15C ．14D ．1312．如图，在⊙O 中，∠BOD ＝120°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．60°B ．80°C ．120°D ．150°二、填空题13．如图，抛物线的顶点为P （－2，2）与y 轴交于点A （0，3），若平移该抛物线使其顶P 沿直线移动到点P (2,2)'-，点A 的对应点为A '，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 .14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝15，E 是CD 上的点，将△ADE 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 边上点F 处，点P 是线段CB 延长线上的动点，连接PA ，若△PAF 是等腰三角形，则PB 的长为____．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosB 的值为_____. 16．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 17．已知反比例函数k 1y x-=的图象在第二、四象限内，那么k 的取值范围是________．18．如图，扇形纸扇完全打开后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，则BC 的长为_____厘米．（结果保留π）三、解答题19 |+（3）0+（﹣1）201920．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 表示该产品每千克生产成本y 1（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系；线段CD 表示每千克的销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．（3）当0≤x≤90时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；当90≤x≤130时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；总之，当产量为 kg时，获得的利润最大，最大利润是．21．小张在网上销售一种成本为20元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用(不再含T恤衫成本)总计40(百元)，若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当30≤x≤50时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝30时，y＝5，有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：(1)请在表格中直接写出当30≤x≤50时，y与x的函数关系式；(2)求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；(3)销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？22．如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ= ,求QD的长(结果保留 )；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.23．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（2，-3）和点B（n，2）；（1）求直线与双曲线的表达式；（2）点P是双曲线y=mx（m≠0）上的点，其横、纵坐标都是整数，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出点P的坐标．25．如图直线y1=-x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点（1）求k的值；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，求此时点P的坐标．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．12。

精品_高中数学专题—二次函数巩固

精品_高中数学专题—二次函数巩固

2 当x [－1,1]时，由x 2－x＋1 2x＋m，
得x 2－3x m－1.当x＝1时， ( x 2－3x) min＝－2， 所以m－1 －2，则m －1.故实数m的取值 范围是(－，－1)．
考点二、二次函数的零点分布
【例2】 已知函数 f(x)＝x2 ＋ 2mx＋2m ＋1的 零点都在区间(0,1)上，求实数m的 取值范围．
高中数学专题
二次函数专题巩固
知识梳理
• 1、二次函数的解析式（待定系数法）
• ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。 • ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－x2)， a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横 坐标。
2 【解析】 1 设函数 f x ＝ ax ＋bx＋1(a 0)，
则a( x＋1) 2＋b( x＋1)＋1＝ax 2＋bx＋1＋2x， 2a b b 2 a 1 整理得 ，解得 . a b 1 1 b 1 所以f x ＝x 2－x＋1.
f (2) 0 于是设f x ＝a( x－2) ＋c.由 ， f (0) 48 16a c 0 a 4 即 ，得 ， 4a c 48 c 64 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
2
【练习1】 已知二次函数 f(x) 满足 f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2) 在区间 [ － 1,1] 上，函数 f(x) 的图象 恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m 的取值范围．
③当t 2时，函数f x 在区间[t，t＋1]上 递减，此时g t ＝f t ＝－t 2＋4t－1， t 2 2t 2(t 1) 综上，g t ＝3(1 t 2) t 2 4t 1(t 2)

人教版数学九年级上学期课时练习- 《二次函数》全章复习与巩固(基础篇)(人教版)

人教版数学九年级上学期课时练习- 《二次函数》全章复习与巩固(基础篇)(人教版)

专题22.36 《二次函数》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．223y x x=-- B ．22(1)y x x =--+ C ．21129y x x =+ D ．2y ax bx c =++2．抛物线()2218y x =--+的顶点坐标是（ ） A ．()1,8B ．()1,8-C ．()1,8--D ．()1,8-3．二次函数23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象()13x ≤≤如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y 的取值范围是（ ）A ．1y ≥B ．13y ≤≤C ．334y ≤≤ D ．03≤≤y4．已知函数()()y x m x n =--（其中m n <）的图象如图所示，则函数y nx m =+的图象可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线21y ax bx c =++与直线2y mx n =+相交于点()3,0和()0,3，若2ax bx c mx n ++>+，则x 的取值范围是（ ）A ．03x <<B ．13x <<C ．0x <戓3x >D ．1x <戓3x >6．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数解析式是21251233y x x =-++，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）A ．6mB ．12mC ．8mD ．10m7．在平面直角坐标系中，已知，点A (1，m )和点B (3，n )（其中mn <0）在抛物线y =ax 2+bx (a >0)上．若点(−1，y 1)，(2，y 2)，(4，y 3)也在该抛物线上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．231y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．123y y y >>8．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）A ．对称轴是直线12x = B ．当12x -<<时，0y < C ．a c b +=D ．a b c +>-9．如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CE ⊥BD ，CE =12BD ．若△ABD 的周长为20cm ，则△BCD的面积S （cm 2）与AB 的长x （cm ）之间的函数关系式可以是（ ）A ．21101004S x x =-+ B ．2240200S x x =-+ C ．220100S x x =-+D ．220100S x x =++10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为12x =-，经过点（﹣2，0），下列结论：①a ＝b ；②abc ＜0；③02a c +=；④点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上，当1212x x >≥-时，y 1＜y 2；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝﹣1．其中正确结论的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．已知函数27(3)m y m x -=-是二次函数，则m ＝________． 12．抛物线()()y 2x 1x 3=+-的对称轴是______．13．二次函数y ＝12x 2—2x 一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______．14．如图，抛物线()20y ax bx c a =++>的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线，若点(4,0)P在该抛物线上，则42a b c -+的值为____．15．已知二次函数2(2)y a x b =++有最大值12，则a ，b 的大小关系为________．16．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将OCG ∆沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数12y x=经过点B ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)C 、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）18．如图抛物线21322y x x =--+与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，则ABC 的面积为______．19．如图抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝﹣1，与x 轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的另一根为______．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=mx+n 交于点A （﹣1.5，1），B （3，4），则关于x 、y 的方程组200ax bx c mx y n ⎧++=⎨-+=⎩的解为_____．21．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y （米）与水平距离x （米）之间满足关系22810y x x 999=-++，则羽毛球飞出的水平距离为 米．22．下列说法中正确的序号是_____________ ⊥在函数y =﹣x 2中，当x =0时y 有最大值0； ⊥在函数y =2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大⊥抛物线y =2x 2，y =﹣x 2，y =﹣212x 中，抛物线y =2x 2的开口最小，抛物线y =﹣x 2的开口最大⊥不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点 三、解答题23．如图，已知经过原点的抛物线22y x mx =+与x 轴交于另一点A (2，0)． （1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标； （2）求直线AM 的解析式．24．已知二次函数的图象的顶点在原点O ，且经过点A （1，14）．（1）求此函数的解析式；（2）将该抛物线沿着y 轴向上平移后顶点落在点P 处，直线x=2分别交原抛物和新抛物线于点M 和N ，且S △PMN =， 求：MN 的长以及平移后抛物线的解析式．25．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A -，、(30)B ，两点，与y 轴相交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴上的一个动点，当PAC △的周长最小时，直接写出点P 的坐标和周长最小值;（3）点Q 为抛物线上一点，若8QABS=，求出此时点Q 的坐标.26．已知抛物线的解析式为21y x 4x 62=-+-()1求抛物线的顶点坐标；()2求出抛物线与x 轴的交点坐标； ()3当x 取何值时y 0>？27．某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤，（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？参考答案1．C【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．解：A 、223y x x =--中含有分式，故不是二次函数； B 、22(1)y x x =--+=2x -1，不符合定义，故不是二次函数； C 、21129y x x =+符合定义，故是二次函数；D 、2y ax bx c =++中a 不确定不等于0，故不是二次函数； 故选：C ．【点拨】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键． 2．A 【分析】根据抛物线的顶点式()()20y a x m k a =++≠所对应的顶点坐标是(),m k -，可作出选择．解：对照抛物线的顶点式()()20y a x m k a =++≠可得1m =-，8k ，把1m =-，8k 代入顶点坐标公式(),m k -中，得此抛物线的顶点坐标为()1,8， 故选：A ．【点拨】本题考查的是二次函数的基础知识：会根据顶点式写出顶点坐标．需要强调的是：公式要记清楚．顶点式()()20y a x m k a =++≠中的m 与顶点坐标(),m k -中的－m 是互为相反数的关系．3．C 【分析】先根据二次函数是顶点式，开口向上，可求出二次函数的最小值，然后结合函数图像求出最大值即可得到答案．解：⊥二次函数的解析式为23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()13x ≤≤，1＞0，⊥当32x =时，二次函数有最小值34， ⊥由函数图像可知，二次函数的最大值为3，⊥当13x ≤≤时，334y ≤≤， 故选C ．【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．4．D 【分析】根据题意可得二次函数与x 轴的交点为（m ，0），（n ，0），从而得到1,01m n <-<<，进而得到函数y nx m =+经过第一三四象限，且与y 轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解．解：令y =0，则()()0x m x n --=，解得：12,x m x n ==，⊥二次函数与x 轴的交点为（m ，0），（n ，0）， ⊥m n <，⊥1,01m n <-<<，⊥函数y nx m =+经过第一、三、四象限，且与y 轴的交点位于点（0，-1）的下方． 故选：D【点拨】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．5．C 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．解：抛物线21y ax bx c =++与直线2y mx n =+相交于点()3,0和()0,3，2ax bx c mx n ++>+则2ax bx c mx n ++>+的解集为：0x <戓3x >． 故选C ．【点拨】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．6．D 【分析】根据铅球落地时，高度y ＝0，把实际问题可理解为当y ＝0时，求x 的值即可．解：令21251233y x x =-++＝0， 整理得：x 2−8x −20＝0， （x −10）（x ＋2）＝0， 解得x 1＝10，x 2＝−2（舍去）， 故该运动员此次掷铅球的成绩是10m ， 故选：D ．【点拨】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．7．C 【分析】分类讨论b 的正负情况，根据mn ＜0可得对称轴在x =32与直线x =12之间，再根据各点到对称轴的距离判断y 值大小．解：⊥y =ax 2+bx （a ＞0），⊥抛物线开口向上且经过原点，当b =0时，抛物线顶点为原点，x ＞0时y 随x 增大而增大，n ＞m ＞0不满足题意， 当b ＞0时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，n ＞m ＞0不满足题意， ⊥b ＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，x =1时m ＜0，x =3时n ＞0， 即抛物线和x 轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间， ⊥抛物线对称轴在直线x =32与直线x =12之间，即12＜-2b a ＜32， ⊥点（2，y 2）与对称轴距离最近，点（4，y 3）与对称轴距离最远， ⊥y 2＜y 1＜y 3． 故选：C ．【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 8．D 【分析】由与x 轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A ；结合函数图象判断选项B ；令x =-1,判断选项C ；令x =1,判断选项D ,即可解答．解：A 、对称轴为：直线12122x -+== ，故选项A 正确，不符合题意； B 、由函数图象知，当-1<x <2时，函数图象在x 轴的下方， ⊥当-1<x <2时，y <0，故选项B 正确，不符合题意； C 、由图可知：当x =-1时，y =a -b +c =0， ⊥a +c =b ，故选项C 正确，不符合题意； D 、由图可知：当x =1时，y =a +b +c <0 ⊥a +b <-c ，故选项D 错误，不符合题意； 故选：D ．【点拨】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．9．C 【分析】先求解,BD CE 的长度，再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可. 解： AB=AD ，⊥ABD 的周长为20cm ，设,AB x =202,BD x1,2CE BD 120210,2CE x x,CEBD2112021020100,22BDCSBD CE x x x x故选：C【点拨】本题考查的是二次函数的几何应用，列二次函数关系式，掌握“利用图形面积公式列二次函数关系式”是解题的关键.10．C 【分析】 根据对称轴122b xa即可判断⊥，根据开口方向以及与y 轴的交点位置，即可判断⊥，根据经过点（﹣2，0）即可判断③，根据函数图象即可判断④，根据对称性即可判断⑤．解：⊥抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为122b xa，则a b =， 故①正确；抛物线开口向上，与y 轴交点在y 轴的负半轴，则0a >，0c <， a b =，0b ∴>，0abc ∴<，故⊥正确；经过点（﹣2，0），420a b c ∴-+=，a b =，∴20a c +=，∴02a c+=， 故⊥正确；点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上，对称轴为12x =-， 当1212x x >≥-时，y 随x 的增大而增大，∴y 1>y 2；故④不正确，ax 12+bx 1+c ＝ax 22+bx 2+c 且x 1≠x 2， 对称轴为12x =-，即12122x x +=-， ∴x 1+x 2＝﹣1．故⑤正确，其中正确结论的个数有4个． 故选C ．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．11．3- 【分析】根据二次函数的定义得出30m -≠且272m -=，求出即可． 解：函数27(3)m y m x -=-是二次函数，30m ∴-≠且272m -=，解得：3m =-． 故答案为：3-．【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为2(0)y ax bx c a =++≠．12．x 1= 【分析】函数与x 轴交点是()3,0，()1,0-，即可求解． 解：令y 0=，则：x 1=-或x 3=，即：函数与x 轴交点是()3,0，()1,0-， 故：对称轴是()1x 33112=-+= 答案是x 1=．【点拨】主要考查了对称点的特点和求抛物线的顶点坐标的方法． 13．y ＝12(x -4)2＋1 【分析】先把抛物线化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求出平移后的函数表达式．解：⊥y ＝12x 2－2x -2＝12(x -2)2-4，把其图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度， 得抛物线y ＝12(x -2-2)2-4＋5， 即为y ＝12(x -4)2＋1．故答案为：y ＝12(x -4)2＋1．【点拨】此题考查了二次函数图象与几何变换，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14．0 【分析】根据对称性确定抛物线与x 轴的另一个交点为(2,0)Q -，代入解析式求解即可； 解：如解图，设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，⊥抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是(4,0)P ， ⊥与x 轴的另一个交点(2,0)Q -，把(2-，0)代入解析式得：042a b c =-+， 420a b c ∴-+=．故答案为：0【点拨】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键． 15．a b < 【分析】根据二次函数有最大值判断出a ＜0，并得到b 的值，然后比较大小即可． 解：⊥函数有最大值， ⊥a ＜0， ⊥函数的最值为12， ⊥b=12， 则a ＜b ．【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，属于基础题．当函数有最小值时则a ＞0；当函数有最大值时则a ＜0．16．﹣1≤x ≤2 【分析】根据图象可以直接回答，使得y 1≥y 2的自变量x 的取值范围就是直线y 1=kx+m 落在二次函数y 2=ax 2+bx+c 的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．解：根据图象可得出：当y 1≥y 2时，x 的取值范围是：﹣1≤x ≤2． 故答案为：﹣1≤x ≤2．【点拨】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．17．2111324y x x =-+ 【分析】先由题意得到5AC =，再设设OG PG x ==，由勾股定理得到22(4)4x x -=+，解得x 的值，最后将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.解：点(0,3)C ，反比例函数12y x=经过点B ，则点(4,3)B ， 则3OC =，4OA =， ⊥5AC =，设OG PG x ==，则4GA x =-，532PA AC CP AC OC =-=-=-=， 由勾股定理得：22(4)4x x -=+， 解得：32x =，故点3(,0)2G ，将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：3930421640c a b c a b c =⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得：1a 211b 4c 3⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故答案为2111324y x x =-+． 【点拨】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 18．3 【分析】根据抛物线y =-12x 2-x +32，可以求得该抛物线与x 轴和y 轴的交点，从而可以得到点A 、B 、C的坐标，然后即可得到AB 和OC 的长，从而可以求得⊥ABC 的面积．解：⊥抛物线y =-12x 2-x +32，⊥当y =0时，x 1=-3，x 2=1，当x =0时，y =32，⊥点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，32），⊥AB =1-（-3）=1+3=4，OC =32，⊥⊥ABC的面积为：12AB•OC=134322⨯⨯=．故答案为：3．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解答本题的关键是求出点A、B、C的坐标，利用数形结合的思想解答．19．x＝3【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个解．解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点坐标为（-5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，即抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（-5，0）关于直线x=-1对称，⊥另一个交点的坐标为（3，0），⊥方程ax2+bx+c=0的另一个解是x=3；故答案是：x=3．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．20．1.51xy=-⎧⎨=⎩或34xy=⎧⎨=⎩．【分析】根据图像求解即可，方程组20ax bx cmx y n⎧++=⎨-+=⎩的解即为两个函数图像的交点坐标.解：⊥抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于点A（﹣1.5，1），B（3，4），⊥关于x、y的方程组20ax bx cmx y n⎧++=⎨-+=⎩的解为1.51xy=-⎧⎨=⎩或34xy=⎧⎨=⎩，故答案为1.51xy=-⎧⎨=⎩或34xy=⎧⎨=⎩．【点拨】本题考查了二次函数与一次函数解析式组成的方程组的解与两个函数图像交点的关系，两个解析式组成的方程组的解即为两函数图像交点的横纵坐标.21．5【分析】试题分析：根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x 轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 解：当y=0时，22810x x 0999-++=，解得：x 1=﹣1（舍），x 2=5． ⊥羽毛球飞出的水平距离为5米． 22．⊥⊥⊥ 【分析】根据二次函数y ＝ax 2的图象与性质逐一判断即得答案解：由函数的解析式y ＝－x 2，可知a =﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y =0，故⊥正确；由函数的解析式y ＝2x 2，可知其对称轴为y 轴，对称轴的左边（x ＜0），y 随x 增大而减小，对称轴的右边（x ＞0），y 随x 增大而增大，故⊥正确；根据二次函数的性质，系数a 决定抛物线的开口方向和开口大小，且a 越大开口越小，可知抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口第二小，而y 212x =-开口最大，故⊥不正确；不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点，故⊥正确． 综上，正确的结论是：⊥⊥⊥． 故答案为：⊥⊥⊥．【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数y =ax 2的与性质是解题的关键．23．（1）4m =-，M (1，-2)；（2）24y x =- 【分析】（1）将A (2，0)代入抛物线的解析式，可求得m 的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM 的解析式．解：（1）⊥抛物线22y x mx =+过点A (2，0)，22220m ∴⨯+=，解得4m =-， 224y x x ∴=-， 22(1)2x =--,⊥顶点M 的坐标是(1，-2)；（2）设直线AM 的解析式为()0y kx b k =+≠，⊥图象过A (2，0)，M (1，-2)，202k b k b +=⎧∴⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩， ⊥直线AM 的解析式为24y x =-．【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24．（1）y=14x 2；（2），y=14x 2【分析】（1）根据题意可直接设y ＝ax 2把点（1，﹣3）代入得a ＝﹣3，所以y ＝﹣3x 2；（2）设平移后y 14=x 2+d （d ＞0），则MN ＝d ，根据题意得出S 12=⨯2×d ＝，即可求得d的值，从而求得平移后的解析式．解：（1）∵抛物线顶点是原点，可设y ＝ax 2，把点A （1，14）代入，得：a ＝14，所以这个二次函数的关系式为y 14=x 2；（2）设平移后y 14=x 2+d （d ＞0），⊥MN ＝d ，S 12=⨯2×d ＝⊥d ＝⊥y 14=x 2+3．【点拨】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法和平移的规律是解题的关键．25．（1）223y x x =--；（2）(1,2)P -（3）1(1Q - ， 2(1Q + ，3(1,4)Q - 【分析】(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++即可求出b,c 即可求解; (2)根据A,B 关于对称轴对称,连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,再求出坐标及PAC △的周长; (3)根据⊥QAB 的底边为4,故三角形的高为4,令y =4，求出对应的x 即可求解.解：(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++得01093b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得23b c =-⎧⎨=-⎩⊥抛物线的解析式为：223y x x =--; (2)如图，连接BC 交对称轴于P 点,即为所求, ⊥223y x x =-- ⊥C(0,-3),对称轴x=1 设直线BC 为y=kx+b,把(30)B ，, C(0,-3)代入y=kx+b 求得k=1,b=-3, ⊥直线BC 为y=x -3 令x=1，得y=-2， ⊥P （1，-2），⊥PAC △的周长(3)⊥⊥QAB 的底边为AB=4, 182QABS AB H =⨯= ⊥三角形的高为4,令y =4，即2234x x --=±解得x 1=1-2=1+3=1故点Q 的坐标为1(1Q - ， 2(1Q + ，3(1,4)Q -.【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.26．(1)抛物线顶点坐标为()4,2；()2 抛物线与x 轴的交点坐标为()()2,06,0，；()3当2x 6<<时，y 0>．【分析】（1）求抛物线的顶点坐标既可以利用公式，也可以利用配方法求解；（2）求抛物线与x 轴的交点坐标就是求函数值等于0时对应的x 的值即可解决问题；（3）y ＞0就是抛物线在x 轴上方的部分，所以利用抛物线的开口方向和与x 轴的交点坐标即可求解．解：（1）21y x 4x 62=-+- 21(x 4)22=--+， ⊥抛物线顶点坐标为()4,2；()2当y 0=时，即21y x 4x 602=-+-=， ⊥x 2=或x 6=， ⊥抛物线与x 轴的交点坐标为()()2,06,0；()3⊥抛物线的开口方向向下，且抛物线与x 轴的交点坐标为()()2,06,0，⊥当2x 6<<时，y 0>．【点拨】二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式（组）．27．（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）由图象易得()50,100和()80,40，然后设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，进而代入求解即可；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意易得222808000w x x =-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得：501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩， ⊥y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，⊥-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ⊥5080x ≤≤， ⊥当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．。

二次函数全章复习与巩固—巩固练习提高-精品

二次函数全章复习与巩固—巩固练习提高-精品

《二次函数》【巩固练习】一、选择题1.已知抛物线。

：丁=/+31-10,将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、C关于直线x=l对称.则下列平移方法中，正确的是（）.A.将抛物线C向右平移2个单位B.将抛物线C向右平移3个单位2C.将抛的线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位2.已知二次函数y=4X2+bx+c的图象如图所示，则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中，其值大于0的个数为（）.A.2B.3C.4D.53.二次函数）=以2+区+。

的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）.C.a+b+c>0D. b1 -4ac > 0第2题4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=/+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180。

，所得抛物线的解析式是（）A.j=-(x+l)2+2B.y=-(x-l)2+4C.y=-(x-l)2+2D.y=-(x+l)2+45.二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A.函数有最小值B.对称轴是直线x二-2 C.当xV,，y随x的增大而减小2D.当-1V X V2时，y>06.如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3,0)；小彬说：过点(4,3)和(0,3)；小明说：a=l,c=3；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有().A.1个B.2个C.3个D.4个已知抛物线产Q Y+B X+C与x轴交于(1,0),试添加一个条件，使它的对称轴为直线x=2.7.己知一次函数y= +的图象过点(-2,1),则关于抛物线y=一版+3的三条叙述:①过定点(2,1)；②对称轴可以是直线x=L③当aVO时，其顶点的纵坐标的最小值为3・其中所有正确叙述的有().A.0个B.1个C.2个D.3个8.已知二次函数)=/—4冗+。

，下列说法错误的是().A.当xVI时，y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点，则aW4C.当a=3时，不等式冗2一4了+々>0的解集是1V X V3D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,-2),则a=-3二、填空题9.由抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为r4 、10.已知一元二次方程笈一3=0的一根为-3.在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点一一，州、i5 j,yi、y?、丫3、的大小关系是11.如图，一段抛物线y=-x(x-1)(OWxWl)记为1山，它与x轴交点为0、Ai,顶点为1\；,顶点为P2；将叱绕点A2旋转180°得m3,交将n绕点A1旋转180°得叱，交x轴于点A2x轴于点A：,,顶点为P3,…，如此进行下去，直至得m>,顶点为Pm则Pi。

用函数观点看一元二次方程—巩固练习(基础)(含答案解析)

用函数观点看一元二次方程—巩固练习(基础)(含答案解析)

用函数观点看一元二次方程—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•阜新）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＜0D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0没有实数根2．（2015•温州模拟）已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4x 2+2x ﹣10﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（）A ．﹣4.1B ．﹣4.2C ．﹣4.3D ．﹣4.43．已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图所示．若12y y <，则自变量x 的取值范围是()A．322x -<<B．322x -<<C．2x >或32x <-D．2x <-或32x >4．如图所示，抛物线21y x =+与双曲线k y x=的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式210k x x++<的解集是()A．1x >B．1x <-C．01x <<D．10x -<<5．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项正确的是()A．a＞0，b＞0，240b ac ->B．a＜0，c＞0，240b ac ->C．a＞0，b＜0，240b ac ->D．a＞0，c＜0，240b ac -<第3题第4题第5题第6题6．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的图象经过点(-1，2)，且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．（2016•徐州）若二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是．8．已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为．9．抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点坐标为．10．如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax 2+bx+c=0的两根是．11．如图所示，已知抛物线2y x bx c =++经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b 的值是________．12．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a≠0)．图象的顶点为D，其图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为-1和3，与y 轴负半轴交于点C．下面四个结论：①20a b +=；②0a b c ++>；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；④使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有三个．那么其中正确的结论是________．(只填你认为正确结论的序号)三、解答题13．已知函数261y mx x =-+(m 是常数)(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．14.已知抛物线212y x x c =++与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线1y cx =+经过的象限，并说明理由．15．已知关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2+4x+k 的图象与坐标轴只有2个交点，求k 的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】①∵开口向下，∴a ＜0，A 错误；②对称轴在y 轴的右侧和a ＜0，可知b ＞0，B 正确；③抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，C 错误；④因为与x 轴有两个交点，所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个实数根，D 错误.2.【答案】C；【解析】根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x 2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x 2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C．3.【答案】B；【解析】设21y x =与2132y x =-+的交点横坐标为1x ，2x (12x x <)，观察图象可知，当12y y <时，自变量x 的取值范围是12x x x <<，所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标，联立2132y x y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得21302x x +-=．解得12x =-，232x =，∴322x -<<．4.【答案】D；【解析】不等式210k x x++<可变形为21k x x<--，由21y x =+与21y x =--关于原点对称，所以k y x=与21y x =--的交点与点A 关于原点对称，其横坐标为-1，可画如图所示，观察图象可知21k x x<--的解集是10x -<<．5.【答案】A；【解析】由抛物线开口向上，知a＞0，又∵抛物线与y 轴的交点(0，c)在y 轴负半轴，∴c＜0．由对称轴在y 轴左侧，∴02ba-<，∴b＞0．又∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，故选A．6.【答案】D；【解析】由图象可知，当2x =-时，y＜0．所以420a b c -+<，即①成立；因为121x -<<-，201x <<，所以102ba-<-<，又因为抛物线开口向下，所以a＜0，所以20a b -<，即②成立；因为图象经过点(-1，2)，所以2424ac b a->，所以284b a ac +>，即④亦成立(注意a＜0，两边乘以4a 时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以2a b c -+=，即2b a c =+-，又∵420a b c -+<，∴24b a c >+．∴2244a c a c +->+，即24242a c <-<-=-，∴1a <-，所以③成立．二、填空题7.【答案】m ＞1．【解析】∵二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，∴方程x 2+2x +m=0没有实数根，∴判别式△=22﹣4×1×m ＜0，解得：m ＞1．8．【答案】34m <-；【解析】∵二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，∴22[(21)]4(44)0m m m ---++>．即22441416160m m m m -+--->，解得34m <-．9．【答案】(-3，12)，(1，0)．【解析】∵抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点的横坐标、纵坐标相同．故可联立233y x x y x ⎧=-⎨=-+⎩，∴2230x x +-=，13x =-，21x =．将x 1＝-3，x 2＝1代入y＝-3x+3中得方程组的解为11312x y =-⎧⎨=⎩，221x y =⎧⎨=⎩．∴抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点坐标为(-3，12)，(1，0)．10．【答案】x 1=﹣3，x 2=1；【解析】∵由图可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，∴设抛物线与x 轴的另一交点为（x ，0），则=﹣1，解得x=1，∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣3，x 2=1．11．【答案】12-等；【解析】由题意230x bx +-=的一个根在1与3之间，假设根为2x =，代入得22230b +-=∴12b =-，答案不唯一.12．【答案】①③；【解析】抛物线的对称轴为1312x -+==，∴12ba -=，20a b +=，①正确；②当1x =时，0y <即0a b c ++<，②错；③当12a =时，顶点D 的坐标为（1，-2），△ABD 为等腰直角三角形，又∵抛物线的开口向上，加之∠DAB，∠DBA 不可能为直角，所以只有12a =时，△ABD 是等腰直角三角形，∴③正确；△ACB 为等腰三角形，有三种可能性：ⅰ)AC＝AB；ⅱ)BC＝AB；ⅲ)AC＝BC．∵OA≠OB，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC 为等腰三角形的点C 的位置只有两个，因此a 的值也只能是两个，∴④错.三、解答题13.【答案与解析】解：(1)当x＝0时，y＝1，所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点(0，1)．(2)①当m＝0时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以△＝(-6)2-4m＝0，m＝9．综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．14.【答案与解析】解：（1）∵抛物线与x 轴没有交点∴△＜0，即120c -<．解得12c >，（2）∵12c >∴直线1y cx =+随x 的增大而增大，∵1b =∴直线1y cx =+经过第一、二、三象限．15.【答案与解析】解：分情况讨论：（ⅰ）k ﹣1=0时，得k=1．此时y=4x+1与坐标轴有两个交点，符合题意；（ⅱ）k ﹣1≠0时，得到一个二次函数．①抛物线与x 轴只有一个交点，△=16﹣4k （k ﹣1）=0，解得k=；②抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，得k=0．∴k=1或0或．。

九年级数学 二次函数(巩固篇)(专项练习)Word版含解析

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专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列函数：①2y x =-，①3y x=，①2y x ，①234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y ＝﹣4x +5B ．y ＝x （2x ﹣3）C ．y ＝ax 2+bx +cD ．21y x =3．设y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数D ．以上均不正确4．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ）、（c ）、（d ）对应的图象排序（ ）（1） （2） （3） （4） （a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A 地的距离与时间的关系）A ．（3）（4）（1）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C ．（4）（3）（1）（2）D ．（3）（4）（2）（1）知识点二、根据二次函数定义求参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（ ） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．已知函数y =ax 2+bx +c ，其中a ，b ，c 可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ） A ．125个B ．100个C ．48个D ．10个7．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数8．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对知识点三、列二次函数解析式9．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（ ） A ．230(030)y x x x =-<< B ．230(030)y x x x =-+< C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<11．二次函数2y ax c =+的图象与22y x =的图象形状相同,开口方向相反,且经过点()1,1,则该二次函数的解析式为( ) A ．221y x =-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．223y x =-+12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-+-C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-二、填空题知识点一、二次函数的判断 13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）15．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是______A. y ＝x(x ＋1)B. xy ＝1C. y ＝2x 2－2(x ＋1)2D. y =16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____． 知识点二、根据二次函数定义求参数17．已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__． 18．若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数，则m 满足_____． 19．函数()21m y m x =++是关于x 的二次函数，则m=___ 20．若函数()2262mm y m x --=+是二次函数，则m =________．知识点三、列二次函数解析式21．矩形周长等于40，设矩形的一边长为x ，那么矩形面积S 与边长x 之间的函数关系式为____.22．在①ABC 中，已知BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y 与x 之间的关系为__________．23．正方形边长为2，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是______． 24．用一根长为10m 的木条，做一个长方形的窗框，若长为xm ，则该窗户的面积y （m 2）与x （m ）之间的函数表达式为_____． 三、解答题25．已知函数y=-(m+2)2-2m x (m 为常数),求当m 为何值时：(1)y 是x 的一次函数?(2)y 是x 的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标．26．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym2 ， 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．27．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?28．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件．()1如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利多少元？()2如果商场每天要赢利1200元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？()3用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？参考答案：1．A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项①符合题意； 2y x 是二次函数，故选项①不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项①不符合题意；①y 是x 的反比例函数的个数有：1个 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解． 2．B【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】A 、y ＝﹣4x+5是一次函数，故选项A 不合题意； B 、y ＝x （2x ﹣3）是二次函数，故选项B 符合题意；C 、当a ＝0时，y ＝ax 2+bx+c 不是二次函数，故选项C 不合题意；D 、21y x =不是二次函数，故选项D 不合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 3．C【分析】设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2，根据y ＝y 1﹣y 2得到y ＝k 1x ﹣k 2x 2，由此得到答案． 【详解】解：设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2， 则y ＝k 1x ﹣k 2x 2，所以y 是关于x 的二次函数， 故选：C ．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 4．A【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论．【详解】解：根据题意分析可得：（a ）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）； （b ）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）； （c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）． 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键． 5．A【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：a ﹣1≠0， 解得：a ≠1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．B【分析】根据二次函数的定义得到0a ≠，依据a 、b 、c 的选法通过计算即可得到答案 【详解】由题意0a ≠， ①a 有四种选法：1、2、3、4，①b 和c 都有五种选法：0、1、2、3、4， ①共有455⨯⨯=100种， 故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义2(0)y ax bx c a =++≠，有理数的乘法运算，根据题意得到a 、b 、c 的选法是解题的关键． 7．C【分析】根据二次函数定义可得m -2≠0，222m -=，再解即可． 【详解】解：由题意得：m -2≠0，222m -=， 解得：m=-2， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．8．B【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，①m=7，故选：B．【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．9．C【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．10．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．故选：C．【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．11．D【分析】根据二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然后把点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.【详解】①二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，①a=−2，①二次函数是y=−2x2+c，①二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，①1=−2+c，①c=3，①抛该二次函数的解析式为y=−2x 2+3； 故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解. 12．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：每件的利润为（x -21）， ①y =（x -21）（350-10x ） =-10x 2+560x -7350． 故选B ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．①①①【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y 是x 的二次函数的有①，①，①． 故答案是：①，①，①．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）． 15． C B A【详解】根据题意可知y=x （x+1）=x 2+x ，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y ＝2x 2－2(x ＋1)2= y ＝2x 2－2(x 2+2x+1)=-4x -2，是一次函数；函数y . 故答案为C 、B 、A. 16． 3 0【分析】根据二次函数的定义解答即可．【详解】二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0． 故答案是：3；0．【点睛】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0． 17．k ≠2【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0， 解得：k ≠2， 故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 18．m ≠﹣1【分析】利用二次函数定义可知m+1≠0，再解不等式即可； 【详解】解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠﹣1， 故答案为：m≠﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题的关键； 19．2【分析】根据二次函数的定义可得220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，求解即可．【详解】解：①函数()21my m x =++是关于x 的二次函数，①220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0． 20．4【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案． 【详解】由题意得：2262m m --=，且20m +≠， 解得：4m =． 故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解决问题的关键是明确最高次项的次数为2，且最高次项系数不为0． 21．220S x x =-+【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：设矩形的一边长为x 米，另一边长为（20-x ）米， ①由矩形的面积公式，得 2(20)20S x x x x =-=-+【点睛】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式． 22．y=x 2+12x【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可． 【详解】①BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1， ①这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：y=12x （2x+1）=x 2+12x ． 故答案为y=x 2+12x ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据三角形面积公式得出是解题关键． 23．y=x 2+4x【分析】增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】新正方形的边长为2x +，原正方形的边长为2． ∴新正方形的面积为2(2)x +，原正方形的面积为4， 22(2)44y x x x ∴=+-=+，故答案为24y x x =+．【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．24．y ＝﹣x 2+5x【分析】直接利用根据实际问题列二次函数解析式关系式，正确表示出长方形的宽是解题关键．【详解】设长为xm ，则宽为（5﹣x ）m ，根据题意可得：y ＝x （5﹣x ）＝﹣x 2+5x ．故答案是：y ＝﹣x 2+5x ．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出长方形的宽是解题关键．25．(1)(2) m =2，纵坐标为-8的点的坐标是，-8)，（，-8）【分析】（1）根据一次函数的定义求m 的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y =-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标．【详解】(1)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的一次函数，得221,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得 ①当y 是x 的一次函数；(2)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的二次函数，得222,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得m=2，m=-2(不符合题意的要舍去)，当m=2时，y 是x 的二次函数，当y=-8时，-8=-4x 2，解得故纵坐标为-8的点的坐标是-8)和（，-8）．【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．26．y=﹣12x2+20x ，自变量x 的取值范围是0＜x≤25．【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y 与x 之间的函数关系式.试题解析：①四边形ABCD 为矩形，BC=x①AB=40-2x ． 根据题意得：24012022x y BC AB x x x -⎛⎫=⨯==-+ ⎪⎝⎭，因为墙长25米，所以025x <≤． 27．(1) y ＝x2－9x ＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x ＜4.【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；（2）通过二次函数的定义可判断；（3）根据x 取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x)·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20．(2)上述函数是二次函数．(3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4．点睛：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决此题的关键.28．（1）如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；()2每件衬衫应降价20元．()3每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w 元，每件衬衫应降价x 元，据题意可得利润表达式，（1）把x ＝5代入求得相应的w 的值即可；（2）再求当w ＝1200时x 的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．【详解】（1）设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得w ＝（40−x ）（20＋2x ）＝−2x 2＋60x ＋800＝−2（x−15）2＋1250当x ＝5时，w ＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元）答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；；()2当w 1200=时，22x 60x 8001200-++=，解之得1x 10=，2x 20=．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．()3商场每天盈利()()40x 202x -+22(x 15)1250=--+．所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键．。

《二次函数y=a (x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质》巩固练习同步 2022人教

《二次函数y=a (x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质》巩固练习同步 2022人教

二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3)2.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－13．抛物线y=21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A.y=21(x+3)2－2B.y=21(x －3)2+2C.y=21(x －3)2－2D.y=21(x+3)2+24．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x yC ．1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y5．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大 6．（2020•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.二、填空题7. （2020•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为，对称轴是直线．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______. 9．抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____. 10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________． 三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式． 14. 已知抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 抛物线2()y a x h k =-+；（1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； （3）观察2()y a x h k =-+的图象，当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，函数y 有最________值，最________值是y =________； （4）观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？ 15．（2020•珠海）已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】由顶点式可求顶点，由20x +=得2x =-，此时，3y =-． 2.【答案】D ；【解析】通过配方即可得到结论. 3.【答案】A ； 【解析】抛物线y=21x 2向左平移3个单位得到y=21(x+3)2，再向下平移2个单位后， 所得的抛物线表达式是y=21(x+3)2－2.4.【答案】B ；【解析】通过配方即可得到结论. 5.【答案】C ；【解析】可画草图进行判断. 6.【答案】D ；【解析】解：A 、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n 2＜0，错误；B 、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m ＞0，由直线可知，﹣m ＞0，错误；C 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＜0，错误；D 、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m ＜0，由直线可知，﹣m ＞0，正确， 故选D ．二、填空题 7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1； 【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】x ≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y 随x 的增大而减小，故x ≥－1.9．【答案】向下，y 轴； 10．【答案】249y x x =---；【解析】设2(2)5y a x =+-过点（1，－14）得1a =-，所以22(2)549y x x x =-+-=---.11．【答案】21027y x x =-+；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解. 12．【答案】 1； 【解析】C(2，-6)，可求932y x =-+与x 轴交于2(,0)3，与y 轴交于(0，3)，∴123123S =⨯⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线的顶点为（-1，-2），∴ 设其解析式为2(1)2y a x =+-，又图象经过点（1，10），∴1042a =-，∴3a =， ∴ 解析式为23(1)2y x =+-． 14.【答案与解析】（1）由212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是21(1)22y x =--+． ∴12a =-，1h =，2k =． （2）函数21(1)22y x =--+与212y x =-的图象如图所示．（3）观察2()y a x h k =-+的图象，当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x =时，函数y 有最大值，最大值是2y =． （4）由图象知，对于一切x 的值，总有函数值2y ≤． 15.【答案与解析】（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0， ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0， 解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0， 则（x ﹣4）（x+2）=0， 解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．63m C ．93m D ．183m第1题图 第2题图 第3题图 第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸 6．（2020•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是____ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为________，面积为________．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为________，图(2)中4条弧的弧长的和为________；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为________(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要________m2的毛毡．三、解答题17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4.【答案】A；【解析】OM最长是半径5；最短是OM⊥AB时，此时OM=3，故选A.5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8．【答案】C；【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时，∠BPC＝12∠BOC＝65°；点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a ； 2(222)a ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴222x x a ⨯+=，21)x a =， 即正八边形的边长为(21)a ．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°，∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴2215l h r =+=，∴223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ， ∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形． 19.【答案与解析】A BCDEO 12345A BCD EO 12解：∵公共弦AB＝120.20. 【答案与解析】(1)如选命题①．证明：在图(1)中，∵∠BON＝60°，∴∠1+∠2＝60°．∵∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，∴△BCM≌△CAN，∴ BM＝CM．如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )．A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（ ）3．（2016•永州）抛物线y=x 2+2x +m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m ≤2 D ．m ＜﹣24. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211122y x x =--+ D ．22y x x =-++5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第4题 第5题6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y >7．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）8．（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac ﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ． 2个C ． 3个D ．4个二、填空题9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1，且与x 轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 ．11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为___ _____．13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________．14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．15．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．16．若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(32+，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .三、解答题17．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x 2﹣2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y…3m﹣1﹣13…其中，m= ．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有 个交点，所以对应的方程x 2﹣2|x |=0有 个实数根；②方程x 2﹣2|x |=2有 个实数根；③关于x 的方程x 2﹣2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元． (1)分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?20.（2015•温州模拟）已知：如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点D ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m 个单位，使其顶点落在D 点，求m 的值．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】2y x =向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），开口方向及大小不变，所以1a =，即2(1)2y x =-=．2.【答案】C ；【解析】①当a ＞0时，二次函数y=ax 2的开口向上，一次函数y=ax+a 的图象经过第一、二、三象限，排除A 、B ；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2的开口向下，一次函数y=ax+a 的图象经过第二、三、四象限，排除D ． 故选C ．3.【答案】A.【解析】∵抛物线y=x 2+2x +m ﹣1与x 轴有两个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m +4＞0， 解得m ＜2， 故选A ．4.【答案】D ；【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以0a <，抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ． 5.【答案】D ；【解析】抛物线与x 轴交于两点，则0b <． 由图象可知a ＞0，c ＜0， 则b ＜0，故abc ＞0．当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0． ∵ 12bx a=-=，∴ b ＝-2a ， ∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确． 6.【答案】D ；【解析】画出21y x =-的图象，对称轴为0x =，若12y y =，则12x x =-；若12x x =-，则12y y =；若120x x <<，则21y y >；若120x x <<，则12y y >．7．【答案】A ； 8．【答案】C ；【解析】∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象经过原点，∴c=0，∴abc=0 ，∴①正确；∵x=1时，y ＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确； ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b ＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b ＜0，∴a＞b ，∴③正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有两个交点，∴△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，4ac ﹣b 2＜0，∴④正确； 综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C ．二、填空题 9．【答案】＞；【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如12y y >． 10．【答案】y=﹣x 2+2x+3；【解析】∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1，∴=1，解得b=2，∵与x 轴的一个交点为（3，0）， ∴0=﹣9+6+c ， 解得c=3，故函数解析式为y=﹣x 2+2x+3．11．【答案】1； 【解析】92k =，932y x =-+，与坐标轴交点为(0，3)，2,03⎛⎫⎪⎝⎭． 12．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；【解析】由二次函数22y x x m =-++部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．13．【答案】-1；【解析】因为抛物线过原点，所以210a -=，即1a =±，又抛物线开口向下，所以a ＝-1． 14．【答案】4s ； 【解析】204(s)522t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．15．【答案】(1，-6)；【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴1522x -+==，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．16．【答案】y 1＞y 3＞y 2． 【解析】因为抛物线的对称轴为6323x -==⨯．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小，∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分别 为2，1，2，由对称性可知：y 1＞y 3＞y 2．三、解答题17.【答案与解析】解：（1）把x=﹣2代入y=x 2﹣2|x |得y=0， 即m=0，故答案为：0； （2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x 2﹣2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2﹣2|x |=0有3个实数根；②如图，∵y=x 2﹣2|x |的图象与直线y=2有两个交点，∴x 2﹣2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2﹣2|x |=a 有4个实数根， ∴a 的取值范围是﹣1＜a ＜0， 故答案为：3，3，2，﹣1＜a ＜0．18.【答案与解析】 (1)横向甬道的面积为1201801502x +=(m 2)． (2)依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯，整理得21557500x x -+=，解得x 1＝5，x 2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5米．(3)设建花坛的总费用为y 万元，则21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦． ∴ y ＝0.04x 2-0.5x+240． 当0.56.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m ．∴ 当x ＝6m 时，总费用最少，为0.04×62-0.5×6+240＝238.44(万元)．19.【答案与解析】(1)由题意可知，当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以5000350010025010x -≤+=，即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元．故y 1＝6000x-10x 2；当x ＞250时，购买一个需3500元． 故y 1＝3500x ．所以215000(0100),600010(100250),3500(250),x x y x xx x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩y 2＝5000×80%x ＝4000x ．(2)当0＜x ≤100时，y 1＝5000x ≤500000＜1400000；当100＜x ≤250时，y 1＝6000x-10x 2＝-10(x-300)2+900000＜1400000； 所以，由3500x ＝1400000，得x ＝400． 由4000x ＝1400000，得x ＝350．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．20.【答案与解析】(1)设y ＝kx ，把(2，4)代入，得k ＝2，所以y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤30．(2)当0≤x ＜5时，设y ＝a(x-5)2+25， 把(0，0)代入，得25a+25＝0，a ＝-1， 所以22(5)2510y x x x =--+=-+． 当5≤x ≤15时，y ＝25．即210(05),25(515).x x x y x ⎧-+≤<=⎨≤≤⎩(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x ＜5)分钟，学习收益总量为Z ，则他用于解题的时间为(30-x)分钟．当0≤x ＜5时，222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+． 所以当x ＝4时，76Z =最大．当5≤x ≤15时，Z ＝25+2(30-x)＝-2x+85． 因为Z 随x 的增大而减小， 所以当x ＝5时，75Z =最大．综合所述，当x ＝4时，76Z =最大，此时30-x ＝26．即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大．。

二次函数巩固练习(基础)含答案

二次函数巩固练习(基础)含答案

中考总复习：二次函数—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是()A．(-1，8)B．(1，8)C．(-1，2)D．(1，-4)2．若A(-3,y)、B(-2,y)、C(-1,y)，三点都在函数y=-1231x的图象上，则y、y、y的大小关系是()123A.y＜y＜y123B.y=y=y123C.y＜y＜y132D.y＞y＞y1233．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是()4.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．A．②④B.①④C.②③D.①③5.抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数y=标系内的图象大致为（）a+b+cx在同一坐6.矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）二、填空题7．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是．8．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P=|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q=|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P、Q的大小关系为.9．给出下列命题：命题1．点(1，1)是双曲线y=命题2．点(1，2)是双曲线y=命题3．点(1，3)是双曲线y=1x2x3x第8题与抛物线y=x2的一个交点．与抛物线y=2x2的一个交点．与抛物线y=3x2的一个交点．……请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数):.10．抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是. 11．如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A的坐标是．⎪第 11 题⎧(x - 1)2 - 1(x ≤3) 12．已知函数 y = ⎨ ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为.⎪⎩(x - 5)2 - 1(x ＞3)三、解答题13．已知双曲线 y = kx与抛物线 y=zx 2+bx+c 交于 A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点 A 、点 B 、点 △C 并求出ABC 的面积.y1-1 o-11 x第 13 题图14. 已知：二次函数 y =x 2＋bx －3 的图像经过点 P （－2,5）．（1）求 b 的值，并写出当 1＜x ≤3 时 y 的取值范围；（2）设点 P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上．①当 m =4 时，y 1、y 2、y 3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．15．关于 x 的方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0⎝ 2a 4a （1）当 a 取何值时，二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2；（2）求证：a 取任何实数时，方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 总有实数根.16. 如图，开口向上的抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于 A （ x ，0）和 B （ x ，0）两点， x 和 x 是1 212方程 x 2 + 2 x - 3 = 0 的两个根（ x < x ），而且抛物线交 y 轴于点 C ，∠ACB 不小于 90°. 1 2（1）求点 A 、点 B 的坐标和抛物线的对称轴； （2）求系数 a 的取值范围；（3）在 a 的取值范围内，当 y 取到最小值时，抛物线上有点 P ，使 S的点 P 的坐标.∆APB= 2 3 ，求所有满足条件【答案与解析】 一、选择题1.【答案】A ；【 解 析 】 求 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 有 两 种 方 法 ： ① 抛 物 线 y = ax 2 + bx + (c a ≠0) 的 顶 点 坐 标 为⎛ b 4ac - b 2 ⎫- , ⎪ ，将 y = -3x 2 - 6x + 5 中的 a ，b ，c 直接代入即可求出；②采用配方法， ⎭即将 y = -3x 2 - 6 x + 5 变形为 y = -3(x + 1)2 + 8 ，所以 y = -3x 2 - 6 x + 5 的顶点坐标为(-l ，8)．2.【答案】A ；【解析】主要考查反比例函数的图象和性质. 解答时，应先画出 y = -1 x的图象，如图，然后把A(-3,y )、B(-2,y )、C(-1,y ) 三点在图中表示出来，依据数轴的特性，易知 y ＜y ＜y ，123123故应选 A.3.【答案】C ；【解析】当 a >0 时，抛物线开口向上，一次函数图象过一、三象限，所以排除 A 选项，再看 B 、C 选项，抛物线对称轴在 y 轴右侧，a 、b 异号，所以一次函数应与 y 轴交于负半轴，排除 B 选项； 当 a <0 时，抛物线开口向下，而一次函数图象过二、四象限，排除 D 选项.所以答案选 C.4.【答案】B ；5.【答案】D ；【解析】从二次函数图像可看出a >0， - b2a>0,得 b ＜ 0,c ＜ 0,b 2-4 a c>0.又可看出当 x=1 时，y ＜ 0.所以 a + b + c ＜ 0，由此可知 D 答案正确.6.【答案】A ；【解析】分段函数 y 1=-2x 2+48 (0≤x<4)； y 2=-8x+48 (4≤x<6),故选 A.二、填空题 7．【答案】－1；【解析】图象经过原点（0,0），把点（0,0）代入 y = ax 2 - 3x + a 2 - 1 得 a = ±1 ，因为抛物线开口向下，所以 a = -1 . 8．【答案】P<Q ；【解析】由抛物线的图象可以知道：（1）开口向下， a ＜0；（2）抛物线过原点，c=0 ；（3）对称轴 x=﹣ b2a ＞1，则 b ＞﹣2a ，即 b+2a ＞0；（4）当 x=﹣1 时，y =ax 2＋bx ＋c= a －b+ c ＜0； （5）当 x=1 时，y =ax 2＋bx ＋c= a+b+ c ＞0；（6）因为 a ＜0，b ＞﹣2a ，所以，b ＞0，因此，2a －b ＜0； 则：P －Q=[﹣（a －b+c ）+(2a+b)]－[(a+b+c)－(2a －b)]=﹣a+b －c+2a+b －a －b －c+2a －b =2a ＜0所以，P ＜Q9．【答案】点(1，n )是双曲线 y =n x与抛物线 y = nx 2 的一个交点 ．10．【答案】【解析】如图，四条直线 x=1，x=2，y=1，y=2 围成正方形 ABCD ，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得 a ＞0，而且 a 值越大，抛物线开口越小， 因此当抛物线分别过 A （1，2），C （2，1）时，a 分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a=2，a= ；⎪由此得出 a 的取值范围是．11．【答案】（3，）、（ ， ）、（2 ，2）、（ ， ）．【解析】由题可得 A 的纵坐标是横坐标的则 Q 的坐标为（0，2t ）或（0，倍，故设 A 的坐标为（ t ）；t ，t ）；可求得 P 点对应的坐标，解得 t 的值有 4 个，为 ， ，2， ；故点 A 的坐标是（3，）、（ ， ）、（2，2）、（ ， ）．12．【答案】3；⎧(x - 1)2 -1(x ≤3)【解析】函数 y = ⎨ 的图象如图：⎪⎩(x - 5)2 -1(x ＞3)，根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，∴k=3．三、解答题y13.【答案与解析】·A(2,3)(1)把点 A(2,3)代入 y = k x得 ：k=6.1·B(2,3)6∴反比例函数的解析式为： y =.x6把点 B(m,2)、C(－3,n)分别代入 y =得： m=3,n=-2.x把 A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入 y=ax 2+bx+c 得：-1 o-1·C(-2,-3)1 x第 13 题图a =-⎪9a - 3b + c = -2 ⎪⎪c = 3(⎧4a + 2b + c = 3⎪ ⎨9a + 3b + c = 2解之得 ⎨b = ⎩∴抛物线的解析式为：y=-(2)描点画图1 2x 2 + x + 3 . 3 3△S A BC = 1 1 1 35 1(1+6)×5- ×1×1- ×6×4= - - 12 =5. 2 2 2 2 214.【答案与解析】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （－2）2－2b －3，解得 b=－2.当 1＜x ≤3 时 y 的取值范围为－4＜y ≤0.（2）①m=4 时，y 1、y 2、y 3 的值分别为 5、12、21，由于 5+12＜21，不能成为三角形的三边长．②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 的值分别为 m 2－2m －3、m 2－4、m 2＋2m －3，由于，m 2－2m －3＋m 2－4＞m 2＋2m －3，（m －2）2－8＞0，当 m 不小于 5 时成立，即 y 1＋y 2＞y 3 成立．所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，15.【答案与解析】(1)解：∵二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2∴ -- (1 - 3a ) 2a= -2解得 a=-1经检验 a=-1 是原分式方程的解.所以 a=-1 时，二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2；（2）①当 a=0 时，原方程变为-x-1=0，方程的解为 x= -1；②当 a≠0 时，原方程为一元二次方程， a x 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 ，当 b 2 - 4ac ≥ 0时，方程总有实数根，∴ [- 1 - 3a )]2 - 4a (2a -1) ≥ 0⎧ 若∠ACB ＞90°，则 OC < 3 ， a < 3y = 3 x 2 + x - 3 ，由 AB ＝ - 3 - 1 = 4 ， S ，整理得， a 2 - 2a + 1 = 0(a -1) 2 ≥ 0∵a≠0 时，(a -1) 2 ≥ 0 总成立所以 a 取任何实数时，方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 总有实数根.16.【答案与解析】（1）A （－3，0）B （1，0），对称轴 x = -1；（2） ⎨9a - 3b + c = 0⎩a + b + c = 0⎧b = 2a化简得 ⎨ OC ＝ 3a .⎩c = -3a若∠ACB ＝90°，则 OC 2 = OA ⋅ OB ， OC =3 ， a = 3 3；3；所以 0 < a ≤ .3 3（ 3 ） 由 （ 2 ） 有 y = ax 2+ 2ax - 3a ， 当 a 在 取 值 范 围 内 ， y 取 到 最 小 值 时 ， a =33，2 33 3∆APB = 2 3得： y = ± 3 . P当 y = P3 时， x = 1 + 7 ， x = 1 - 7 ，∴ P （ - 1＋ 7 ， 3 ） P （ - 1 - 7 ， 3 ）； 1 2 1 2当 y = - 3 时， x = 0 ， x = -2 ，∴ P （0， - 3 ）， P （－2， - 3 ）.P 3 434。

第2讲 二次函数的认识 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义

第2讲 二次函数的认识 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义

第二讲二次函数㈠承上启下 知识回顾问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”㈡紧扣考点 专题讲解请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1） 面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;（1）y =πx 2（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式.我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y（4） )1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y答：1.3.4.2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -= 二次函数1 二次函数3 二次函数 -2 一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2 常数项1 常数项 -12 常数项03、若函数mm x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 2 。

例1、已知二次函数 q px x y ++=2当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。

新人教版九年级上册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴 顶点坐标 当时开口向上 当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．（2015•盘锦）如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( ) A．B．C．D．【答案】二次函数的图象与x轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x2+500x+5000=﹣100（x﹣）2+5625，∵x取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x2+500x+5000=5000，解得x1=0，x2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

20待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习(基础)

20待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•厦门校级模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G2.二次函数y =x2 + 2x - 5 有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63.把抛物线y=3x2 先向上平移2 个单位再向右平移3 个单位，所得的抛物线是（）A. y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D. y=3(x+3)2－24.如图所示，已知抛物线 y＝x2 +bx +c 的对称轴为x＝2，点A，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5.将函数y =x2 +x 的图象向右平移 a(a＞0)个单位，得到函数y =x2 - 3x + 2 的图象，则 a 的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46.若二次函数y =ax2 +bx +c 的x 与y 的部分对应值如下表：x-7 -6 -5 -4 -3 -2Y-27 -13 -3 353则当x＝1 时，y 的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7.抛物线y =-x2 +bx +c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．第7 题第10 题8．（2016•河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是．9.已知抛物线y =-x2 + 2x + 2 ．该抛物线的对称轴是，顶点坐标；10.如图所示已知二次函数y =x2+bx +c 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x 的取值范围是．11．已知二次函数y =ax2 +bx +c(a≠0)中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：x …-32-1 -1212132…y …-54-2 -94-2 -5474…则该二次函数的解析式为．12.已知抛物线y =ax2 +bx +c 的顶点坐标为(3，-2)，且与 x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为．三、解答题13.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与 x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14.如图，已知直线 y＝-2x+2 分别与 x 轴、y 轴交于点 A，B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC，∠BAC＝90°，求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式．15．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．【答案与解析】一、选择题 1. 【答案】C ．【解析】∵F （2，2），G （4，2）， ∴F 和 G 点为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线 x=3， ∴H （3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为 y=a （x ﹣3）2+1， 把 E （0，10）代入得 9a +1=10，解得 a=1，∴抛物线的解析式为 y=（x ﹣3）2+1．2. 【答案】C ；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即 y = x 2 + 2x - 5 = x 2 + 2x +1- 6 = (x +1)2- 6 ，∵ a ＝1＞0，∴ x ＝-1 时， y 最小 = -6 ．3. 【答案】A ；4. 【答案】D ；【解析】∵ 点 A ，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，∴ 点 A 与点 B 关于对称轴 x ＝2 对称， 又∵ A(0，3)， ∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3，∴ 点B 的坐标为(4，3)． 5.【答案】B ；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移， y = x 2+ x 的顶点坐标是⎛ - 1 , -1 ⎫ ， y = x 2- 3x + 2⎝⎭的顶点坐标是⎛ 3 , - 1 ⎫，∴ 移动的距离 a = 3 - ⎛ - 1 ⎫ = 2 ． ⎝ ⎭ ⎝ ⎭6.【答案】D ；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将 x ＝1 代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当 x ＝-4 和 x ＝-2 时，函数值均为 3，由此可知对称轴为 x ＝-3，再由对称性可知 x ＝1 的函数值必和 x ＝-7 的函数值相等，而 x ＝-7 时 y ＝-27． ∴ x ＝1 时，y ＝-27．二、填空题7．【答案】 y = -x 2+ 2x + 3 ；【解析】由图象知抛物线与 x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则 y = -(x +1)(x - 3) ． 8.【答案】（1，4）．【解析】∵A （0，3），B （2，3）是抛物线 y=﹣x 2+bx +c 上两点，⎪ ⎩ ⎪ ⎩解得：b=2，c=3，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．9．【答案】(1)x＝1；(1，3)；b ⎛ b 4ac -b2 ⎫【解析】代入对称轴公式x =-2a 和顶点公式 -2a,4a⎪即可.⎝⎭10.【答案】x ≥1 ；2【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入y =x2 +bx +c 中得 b＝-1，∴对称轴为x =1，在对称轴的右侧，即x ≥1时，y 随 x 的增大而增大.2 21.【答案】y =x2 +x - 2 ；【解析】此题以表格的形式给出 x、y 的一些对应值．要认真分析表格中的每一对 x、y 值，从中选出较简单的三对 x 、y 的值即为 (-1 ，-2) ，(0 ，-2) ，(1 ，0) ，再设一般式y =ax2 +bx +c ，用待定系数法求解．设二次函数解析式为y =ax2 +bx +c (a≠0)，⎧a -b +c =-2,由表知⎨c =-2,⎪a +b +c = 0.⎧a = 1,解得⎨b =1,⎪c =-2.∴二次函数解析式为y =x2 +x - 2 ．12．【答案】y =1(x - 3)2 - 2 ；2【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵ 顶点是(1，2)，∴ 设y =a(x -1)2 + 2 (a≠0)．又∵过点(2，3)，∴a(2 -1)2 + 2 = 3 ，∴a＝1．∴ y = (x -1)2 + 2 ，即y =x2 - 2x + 3 ．∴代入得：，设所求抛物线的解析式为y =ax2 +bx +c(a ≠ 0) ，⎧a =5 ,则有⎨9a + 3b +c = 1，解得⎪⎨b =-，⎧⎪a +b +c = 0,⎪ 617⎪c = 2,⎩⎪6⎪c = 2.⎪⎩⎪⎩⎪⎩(2)设二次函数解析式为y =ax2 +bx +c (a≠0)．⎧a +b +c =-1,由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得⎨c = 1,⎪a -b +c =13,⎧a = 5,解得⎨b =-7,⎪c = 1.故所求的函数解析式为y = 5x2 - 7x +1 ．(3)由抛物线与 x 轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴ y＝-(x-1)(x-3)，即y =-x2 + 4x - 3 ．14.【答案与解析】过 C 点作CD⊥x 轴于 D．在y＝-2x+2 中，分别令 y＝0，x＝0，得点 A 的坐标为(1，0)，点 B 的坐标为(0，2)．由 AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴ AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴ C 点的坐标为(3，1)．∴ 所求抛物线的解析式为y =5x2 -17x + 2 ．6 615.【答案与解析】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，。

二次函数专题复习

二次函数专题复习

点坐标，说明最值情况
1 —(x+1)2-2 x= –1 y= 2
(–1, –2)
有最小值为–2
（2）求出它与坐标轴的交点坐标，画出大致图象 3 (–3, 0) (1, 0) (0, – – ) 2 （3）写出图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后 的解析式
1 —(x+4)2-1 y= 2
符号问题(y=ax2+bx+c )
徐加波
1、巩固二次函数概念 2、掌握二次函数的图象和性质
3、会对二次函数的图象进行平移
4、会求抛物线的顶点和对称轴
5、会观察二次函数的图象
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数， a≠0）的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是：任意实数
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
0，0）（2，0） （2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是（ ___________ （3）已知函数y=-x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小
1 x 时，x的取值范围是___________ 2
（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则 2 。 m= ____ 2 将抛物线y=χ2+2χ-3向左平移4个单位,再向下平移3个单 2-7 y=(x+5) 位,求平移后所得抛物线的解析式. ______
-1
1
3.已知抛物线
y x 2 3x 4
，求
（1）抛物线的开口方向，顶点A的坐标，对称轴， 函数的最值，当x为何值时,y随 x的增大而减小
（2）抛物线与x轴的交点B、C坐标，与y轴的交点 D坐标。
函数y有最_____ 值，是_____，当 x ＞－ _____ 大 2 时， y随 x 的增大而减小，当 x________ 时， y随x 的增大而 ＜－2 y 增大。

初中数学二次函数的图象与性质(基础)

初中数学二次函数的图象与性质(基础)

二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式.2．会用描点法画出二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念.3. 掌握二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.【要点梳理】要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c ； 若c=0，则y=ax2+bx ； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）. 2. 顶点式：2()y a x h k =−+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）. 3. 两根式：12()()y a x x x x =−−（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac −≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。

专题15二次函数及其应用(基础巩固练习)解析版

专题15二次函数及其应用(基础巩固练习)解析版

2021 年中考数学专题 15 二次函数及其应用（基础巩固练习，共 50 个小题）一、选择题（共 25 小题）：1.（2020 秋•闵行区期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y=−2−3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2x2C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c【答案】C【解析】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、当 a＝0 时，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．（2020 秋•郫都区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4 是二次函数，则a 的取值范围是（）A．a≠2B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0【答案】A【解析】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：A．3.（2020•西宁）函数y＝ax2+1 和y＝ax+a（a 为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）【答案】D【解析】解：∵y＝ax2+1，∴二次函数 y＝ax2+1 的图象的顶点为（0，1），故A、B 不符合题意；当y＝ax+a＝0 时，x＝﹣1，∴一次函数 y＝ax+a 的图象过点（﹣1，0），故 C 不符题意．故选：D．4.（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 y＝mx2+2x﹣n 与 y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n 关于x 轴对称，则m，n 的值为（） A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3【答案】D【解析】解：∵抛物线 y＝mx2+2x﹣n 与 y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n 关于 x 轴对称，∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，∴y＝﹣mx2﹣2x+n 与 y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n 相同，∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，解得 m＝6，n＝3，故选：D．5.（2020•葫芦岛）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线 x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，因为对称轴在 y 轴右侧，所以 b＞0，因为抛物线与 y 轴正半轴相交，所以 c＞0，所以 abc＜0，所以①错误；②因为抛物线对称轴是直线 x＝1，即−b=1，所以 b＝﹣2a，2a所以 b+2a＝0，所以②正确；③因为 b＝﹣2a，由 4a+b2＜4ac，得 4a+4a2＜4ac，∵a＜0，∴c＜1+a，根据抛物线与 y 轴的交点，c＞1，所以③错误；④当 x＝﹣1 时，y＜0，即 a﹣b+c＜0，因为 b＝﹣2a，所以 3a+c＜0，所以④正确．所以正确的是②④2个．故选：B．6.（2020•镇江）点P（m，n）在以 y 轴为对称轴的二次函数 y＝x2+ax+4 的图象上．则 m﹣n 的最大值等于（）A．154 B．4 C．−154D．−174【答案】C【解析】解：∵点 P（m，n）在以 y 轴为对称轴的二次函数 y＝x2+ax+4 的图象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m−1）2−15，2 4∴当 m= 1时，m﹣n 取得最大值，此时 m﹣n=−15，2 4故选：C．7.（2020•呼和浩特）已知二次函数 y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等，则关于 x 的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0 的两根之积为（）A．0 B．﹣1 C．−12 D．−14【答案】D【解析】解：∵二次函数 y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线 x＝0，即y 轴，则−−(a+2) = 0，2(a−2)解得：a＝﹣2，1 2 3则关于 x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣（a+2）x+1＝0 为﹣4x 2+1＝0，则两根之积为− 1，故选：D ．48.（2020•宿迁）将二次函数 y ＝（x ﹣1）2+2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（）A ．y ＝（x+2）2﹣2B ．y ＝（x ﹣4）2+2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝（x ﹣1）2+5【答案】D【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y ＝（x ﹣1）2+2 的图象向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为：y ＝（x ﹣1）2+2+3，即 y ＝（x ﹣1）2+5； 故选：D ．9.（2020•广东）把函数 y ＝（x ﹣1）2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A ．y ＝x 2+2B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2+3【答案】C【解析】解：二次函数 y ＝（x ﹣1）2+2 的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为 y ＝（x ﹣2）2+2． 故选：C ．10.（2020•温州）已知（﹣3，y ），（﹣2，y ），（1，y ）是抛物线 y ＝﹣3x 2﹣12x+m 上的点，则（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2 时，函数值最大，又∵﹣3 到﹣2 的距离比 1 到﹣2 的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．11.2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k 是实数，a≠0），当x＝1 时，y＝1；当x＝8 时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0【答案】C1 = a(1 −h)2 + k【解析】解：当 x＝1 时，y＝1；当 x＝8 时，y＝8；代入函数式得：8 = a(8 −h)2 + k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则 a＝1，故A 错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B 错误；若h＝6，则a=−1，故 C 正确；3若h＝7，则a=−1，故 D 错误；5故选：C．12（. 2018•山西）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9 化为y＝a（x﹣h）2+k 的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25【答案】B【解析】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．13.（2020•绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面 1.5 米；当水位下降，大孔水面宽度为14 米时，单个小孔的水面宽度为4 米，若大孔水面宽度为20 米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4 3米B．5 2米C．2 13米D．7 米【答案】B【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得 MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO= 3，2设大孔所在抛物线解析式为 y＝ax2+ 3，2∵BC＝10，∴点 B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+ 3，2∴a=−3，50∴大孔所在抛物线解析式为 y=−3x2+ 3，50 2设点 A（b，0），则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点 E 的横坐标为﹣7，∴点 E 坐标为（﹣7，−36），25∴−36 =m（x﹣b）2，25∴x1=+b，x2=−+b，∴MN＝4，0 0 0 0 ∴|6 5+b ﹣（− +b ）|＝4∴m =− 9 ，25∴顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =− 9 （x ﹣b ）2， 25∵大孔水面宽度为 20 米，∴当 x ＝﹣10 时，y =− 9，2∴− 9 =− 9 （x ﹣b ）2，2 25∴x = 52 +b ，x =− 5 2 +b ，1222∴单个小孔的水面宽度＝|（5 2+b ）﹣（− 5 22 +b ）|＝5 2（米），故选：B ．14.（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度 h （m ）与运动时间 t （s ）之间的关系可以近似地用公式 h ＝﹣5t 2+v t+h 表示，其中 h （m ）是物体抛出时离地面的高度，v （m/s ）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）A ．23.5mB ．22.5mC ．21.5mD ．20.5m【答案】C【 解 析 】 解 ： 由 题 意 可 得 ， h ＝﹣5t 2+20t+1.5＝﹣5（t ﹣2）2+21.5， 因为 a ＝﹣5＜0，故当 t ＝2 时，h 取得最大值，此时 h ＝21.5， 故选：C ．− 1 m6 − 15m215.（2020 秋•齐河县期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是 5000 枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为 x，则该药店三月份销售口罩枚数 y（枚）与x 的函数关系式是（）A．y＝5000（1+x）B．y＝5000（1+x）2C．y＝5000（1+x2）D．y＝5000（1+2x）【答案】B【解析】解：该药店三月份销售口罩枚数 y（枚）与x 的函数关系式：y＝5000（1+x）2．故选：B．16.（2020 秋•龙沙区期末）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度 y 与时间 t 的函数关系满足 y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（）A．38℃B．37℃C．36℃D．34℃【答案】A【解析】解：∵y＝﹣t2+12t+2＝﹣（t2﹣12t+36）+38＝﹣（t﹣6）2+38，∴当 t＝6 时，温度 y 有最大值，最大值为38℃．∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．故选：A．17.（2020 秋•光明区期末）如图，抛物线与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（4，0）两点，点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 匀速运动，到达点 B 停止，PQ⊥x轴，交抛物线于点 Q（m，n），设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t＝3 和t＝9 时，n 的值相等．下列结论：①t＝6 时，n 的值最大；②t＝10 时，n＝0；③当 t＝5 和t＝7 时，n 的值不一定相等；④t＝4 时，m＝0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①③D．②③【答案】A【解析】解：根据题意知，该抛物线的对称轴是直线 x= 4−2 =1．2设点 P 的运动速度是每秒 v 个单位长度，则∵当 t＝3 和 t＝9 时，n 的值相等，∴x= (9v−2)+(3v−2) =1．2∴v= 1．2①当 t＝6 时，AP＝6×1 =3，此时点 Q 是抛物线顶点坐标，即 n 的值最大，故结论正确；2②当 t＝10 时，AP＝10×1 =5，此时点 Q 与点B 不重合，即n≠0，故结论错误；2③当 t＝5 时，AP= 5，此时点 P 的坐标是（−1，0）；当 t＝7 时，AP= 7，此时点 P 的2 2 2坐标是（3，0）．因为点（−1，0）与点（−1，0）关于对称轴直线 x＝1 对称，所以 n2 2 2的值一定相等，故结论错误；④t＝4 时，AP＝4×1 =2，此时点 P 与原点重合，则 m＝0，故结论正确．2综上所述，正确的结论是①④．故选：A．18.（2020 秋•武侯区期末）关于x 的一元二次方程x2+4x+4m＝0 有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m 的图象与x 轴的交点情况为（）A．没有交点B．有一个交点C．有两个交点D．不能确定【答案】B【解析】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x+4m＝0 有两个相等的实数根，∴二次函数 y＝x2+4x+4m 的图象与 x 轴的交点情况为：有一个交点，故选：B．19.（2020 秋•昆明期末）抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴的交点是（1，0），（﹣3，0），则这条抛物线的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3【答案】B【解析】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴的交点是（1，0），（﹣3，0），∴这条抛物线的对称轴是：x= −1+3 =1，即 x＝1．2故选：B．20.（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）1 2A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是（1，3）C ．当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而增大D ．图象与 x 轴有唯一交点【答案】C【解析】解：∵y＝﹣x 2+2x+4＝﹣（x ﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线 x ＝1，当 x ＜1 时， y 随 x 的增大而增大，令 y ＝0，则﹣x 2+2x+4＝0，解方程解得 x ＝1+ 5，x ＝1− 5，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与 x 轴有两个交点． 故选：C ．21.（2020•娄底）二次函数 y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m 和 n ，且 m ＜n ，下列结论正确的是（ ）A ．m ＜a ＜n ＜bB ．a ＜m ＜b ＜nC ．m ＜a ＜b ＜nD ．a ＜m ＜n ＜b【答案】C【解析】解：二次函数 y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与 x 轴交点的横坐标为 a 、b ，将其图象往下平移 2 个单位长度可得出二次函数 y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2 的图象，如图所示． 观察图象，可知：m ＜a ＜b ＜n ． 故选：C ．22.（2020•大连）抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）与 x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线 x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（）A．（7，0）B．（3，0）C．（5，0）D．（2，0）2 2【答案】B【解析】解：设抛物线与 x 轴交点横坐标分别为 x1、x2，且 x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线 x＝1 对称可知：x1+x2＝2，即 x2﹣1＝2，得 x2＝3，∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0），故选：B．23.（2020•昆明）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y 轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的正实数根在 2 和 3 之间C ．a =m+23D ．点 P （t ，y ），P （t+1，y ）在抛物线上，当实数 t ＞ 1时，y ＜y112231 2【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线 x =− b 2a=1，∴b＝﹣2a ＜0，∴ab＜0，所以 A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线 x ＝1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1， 0）之间，∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程 ax 2+bx+c ＝0 的正实数根在 2 和 3 之间，所以 B 选项的结论正确； 把 B （0，﹣2），A （﹣1，m ）代入抛物线得 c ＝﹣2，a ﹣b+c ＝m ， 而 b ＝﹣2a ，∴a+2a﹣2＝m ，∴a = m+2，所以 C 选项的结论正确；3∵点 P 1（t ，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，∴当点 P 1、P 2 都在直线 x ＝1 的右侧时，y 1＜y 2，此时 t≥1；当点 P 1 在直线 x ＝1 的左侧，点 P 2 在直线 x ＝1 的右侧时，y 1＜y 2，此时 0＜t ＜1 且 t+1 ﹣1＞1﹣t ，即1＜t ＜1，2∴当1 ＜t＜1 或t≥1时，y ＜y ，所以 D 选项的结论错误．2 1 2故选：D．24.（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）在 x＝1 和 x＝﹣2 处的函数值相等；③函数 y＝kx+1 的图象与 y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值． A．①③B．①②③C．①④D．②③④【答案】C【解析】解：依照题意，画出图形如下：∵函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中 n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为 x=−b=−1，2a∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为 x＝﹣1，∴x＝1 与 x＝﹣3 的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：y = kx + 1，y = ax 2 + 2ax + a + n可得 ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于 0，∴无法判断函数 y＝kx+1 的图象与 y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3 时，当x＝﹣1 时，y 有最大值为 n，当x＝3 时，y 有最小值为 16a+n，故④正确，故选：C．25.（2020•随州）如图所示，已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个；④当△BCD 是直角三角形时，a=−2．2其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线 x=−b=1，2a∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当 x＝﹣1 时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数 y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点 C（0，﹣3a），当BC＝AB 时，4= 9 + 9a 2，∴a=−7，3当AC＝BA 时，4= 1 + 9a 2，∴a=−15，3∴当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个，故③正确；∵二次函数 y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点 D（1，﹣4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得 BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a=−2，2若∠DCB＝90°，可得 BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD 是直角三角形时，a＝﹣1 或−2，故④错误．2故选：B．二、填空题（共 18 小题）：26.（2020•凉山州一模）若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3 是关于x 的二次函数，则m＝．【答案】3【解析】解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且 m2+m≠0，解得 m＝3，故答案为：3．27.（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8 的顶点坐标为．【答案】（1，8）【解析】解：∵抛物线 y＝3（x﹣1）2+8 是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．28.（2020•兰州）点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h 的图象上，则k＝．【答案】3【解析】解：由二次函数 y＝﹣（x+2）2+h 可知，抛物线的对称轴为直线 x＝﹣2，∴A（﹣4，3）关于对称轴的对称点为（0，3），∵B（0，k）在二次函数 y＝﹣（x+2）2+h 的图象上，∴点 B 就是点 A 的对称点，∴k＝3，故答案为 3．29.（2020•德阳）若实数x，y 满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s 的取值范围是．【答案】s≥9【解析】解：由 x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入 s＝x2+8y2 得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，当x＝3 时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．30.（2020•西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5 有最大值m，则m＝．【答案】10【解析】解：∵二次函数 y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴该函数开口向上，对称轴为 x＝2，∵当﹣1≤x≤3 时，二次函数 y＝x2﹣4x+5 有最大值 m，∴当 x＝﹣1 时，该函数取得最大值，此时 m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，故答案为：10．31.（2020 秋•伊通县期末）二次函数y＝x2+bx+5 配方后为y＝（x﹣2）2+k，则k＝．【答案】1【解析】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），又∵y＝x2+bx+5，∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，∴b＝﹣4，k＝1．故答案是：1．32.（2020•牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx﹣1 向上平移3 个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11 的值是．【答案】-5【解析】解：将抛物线 y＝ax2+bx﹣1 向上平移 3 个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则 8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案为：﹣5．33.（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（4，2）．若抛物线 y=−3（x﹣h）2+k（h、k 为常数）与线段 AB 交于 C、D 两点，2且CD= 1AB，则k 的值为．2【答案】k= 72【解析】解：∵点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线 y=−3（x﹣h）2+k（h、k 为常数）与线段 AB 交于C、D 两点，且 CD= 1AB＝2 22，∴设点 C 的坐标为（c，2），则点 D 的坐标为（c+2，2），h= 2c+2 =c+1，2∴2=−3[c﹣（c+1）]2+k，解得，k= 7．2 234.（2020•益阳）某公司新产品上市 30 天全部售完，图 1 表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2 表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．【答案】1800【解析】解：设日销售量 y 与上市时间 t 之间的函数关系式为 y＝kx，30k＝60，得 k＝2，即日销售量 y 与上市时间 t 之间的函数关系式为 y＝2t，当 0＜t≤20 时，设单件的利润 w 与 t 之间的函数关系式为 w＝at，20a＝30，得 a＝1.5，即当 0＜t≤20时，单件的利润 w 与t 之间的函数关系式为 w＝1.5t，当20＜t≤30时，单件的利润 w 与t 之间的函数关系式为 w＝30，设日销售利润为 W 元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，故当 t＝20 时，W 取得最大值，此时 W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当 t＝30 时，W 取得最大值，此时 W＝1800，综上所述，最大日销售利润为 1800 元，故答案为：1800．35.（2020•湖北）某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出20 顶．已知头盔的进价为每顶50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．【答案】70【解析】解：设每顶头盔的售价为 x 元，获得的利润为 w 元， w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，∴当 x＝70 时，w 取得最大值，此时 w＝8000，故答案为：70．36.（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x（单位：m i n）满足函数表达式 y＝﹣0.2x2+1.5x ﹣2，则最佳加工时间为min．【答案】3.75【解析】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x=− 1.5=3.75 时，y 取得最大值，2×(−0.2)则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．37.（2020 秋•澄海区期末）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【答案】1.5【解析】解：∵s＝18t﹣6t2，＝﹣6（t﹣1.5）2+13.5，∴当 t＝1.5 秒时，s 取得最大值，即汽车停下来．故答案为：1.5 38.（2020•朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1 与x 轴有交点，则k 的取值范围是．【答案】k≤5且k≠14【解析】解：∵抛物线 y＝（k﹣1）x2﹣x+1 与 x 轴有交点，∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤5，4又∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围是k≤5且k≠1；4故答案为：k≤5且k≠1．439.（2020•宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是．【答案】k＞﹣1【解析】解：∵二次函数 y＝﹣x2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1． 40.（2020•青岛）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数）与x 轴交点的个数是．【答案】2【解析】解：∵抛物线 y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数），∴当 y＝0 时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k 有两个不相等的实数根，∴抛物线 y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k 为常数）与x 轴有两个交点，故答案为：2．41.（2019•贵港）我们定义一种新函数：形如 y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且 b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x＝﹣1 或x＝3 时，函数的最小值是0；⑤当x＝1 时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是．【答案】4【解析】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值 y 随x 值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 y＝0，求出相应的 x 的值为 x＝﹣1 或 x＝3，因此④也是正确的；(m + n)2 − 4mn b 2 − 4(c − h) ⑤从图象上看，当 x ＜﹣1 或 x ＞3，函数值要大于当 x ＝1 时的 y ＝|x 2﹣2x ﹣3|＝4， 因此⑤是不正确的； 故答案是：442.（2018•河池）如图，抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，与 x 轴平行的直线 l交抛物线于 A 、B ，交 y 轴于 M ，若 AB ＝6，则 OM 的长为．【答案】9【解析】解：抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，则 b 2﹣4c ＝0， 设 OM ＝h ，A 、B 点的横坐标分别为 m 、n ， 则：A （m ，h ）、B （n ，h ）， 由题意得：x 2+bx+（c ﹣h ）＝0， 则：m+n ＝﹣b ，mn ＝c ﹣h ，AB ＝6＝n ﹣m = = = 4h ，解得：h ＝9，1 2 1 2 故答案为 9；附注：其它解法：将抛物线平移，顶点至原点，此时 y ＝x 2， 则点 B 点横坐标为 3， 故 y ＝9．43.（2020•荆门）如图，抛物线 y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与 x 轴交于点 A 、B ，顶点为 C ， 对称轴为直线 x ＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点 C 的坐标为（1，2），则△ ABC 的面积可以等于 2；③M（x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线上两点（x 1＜x 2），若x +x ＞2，则 y ＜y ； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程 ax 2+bx+c+1＝0 的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为．【答案】①④【解析】解：①抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab ＜0，而 c ＞0，故 abc ＜0，正确，符合题意；②△ABC 的面积= 1AB•y = 1×AB×2＝2，解得：AB ＝2，则点 A （0，0），即 c ＝0 与2C2图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为 x ＝1，若 x +x ＞2，则1（x +x ）＞1，则点 N 离函数对称轴远，故1221 2y 1＞y 2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则 y′＝ax 2+bx+c+1 过点（3，0），1 12 2根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程 ax 2+bx+c+1＝0 的两根为﹣1， 3，故④正确，符合题意； 故答案为：①④．三 、 解 答 题 （ 共 7 小 题 ）： 44.（2020•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，M （x ，y ），N （x ，y ）为抛物线 y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）上任意两点，其中 x 1＜x 2．（1）若抛物线的对称轴为 x ＝1，当 x 1，x 2 为何值时，y 1＝y 2＝c ；（2）设抛物线的对称轴为 x ＝t ，若对于 x 1+x 2＞3，都有 y 1＜y 2，求 t 的取值范围．【答案】(1)x ＝0，x ＝2；(2)t≤ 3.122【解析】解：（1）由题意 y 1＝y 2＝c ，∴x 1＝0，∵对称轴 x ＝1，∴M，N 关于 x ＝1 对称，∴x 2＝2，∴x 1＝0，x 2＝2 时，y 1＝y 2＝c ．（2）①当 x 1≥t 时，恒成立．②当 x 1＜x 2≤t 时，恒不成立．③当 x 1＜t ．x 2＞t 时，∵抛物线的对称轴为 x ＝t ，若对于 x 1+x 2＞3，都有 y 1＜y 2， 当 x +x ＝3，且 y ＝y 时，对称轴 x = 3，12122∴满足条件的值为：t≤ 3．245.（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点 A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线 y＝x+m 经过点 A，抛物线 y＝ax2+bx+1 恰好经过 A，B，C 三点中的两点．（1）判断点 B 是否在直线 y＝x+m 上，并说明理由；（2）求 a，b 的值；（3）平移抛物线 y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线 y＝x+m 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【答案】(1)点 B（2，3）在直线 y＝x+m 上；(2)a＝﹣1，b＝2；(3)当 p＝1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为5.4【解析】解：（1）点 B 是在直线 y＝x+m 上，理由如下：∵直线 y＝x+m 经过点 A（1，2），∴2＝1+m，解得 m＝1，∴直线为 y＝x+1，把 x＝2 代入 y＝x+1 得 y＝3，∴点 B（2，3）在直线 y＝x+m 上；（2）∵直线 y＝x+1 经过点 B（2，3），直线 y＝x+1 与抛物线 y＝ax2+bx+1 都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点且B、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过 A、C 两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1 得a + b + 1 = 2，4a + 2b + 1 = 1解得 a＝﹣1，b＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+1，设平移后的抛物线的解析式为 y ＝﹣x 2+px+q ，其顶点坐标为（p，p 2+q ），24∵顶点仍在直线 y ＝x+1 上，∴p 2+q = p+1，4∴q =− p 242+ p+1，2∵抛物线 y ＝﹣x 2+px+q 与 y 轴的交点的纵坐标为 q ，∴q =− p2+ p +1=− 1（p ﹣1）2+ 5，4244∴当 p ＝1 时，平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最大值为5．446.（2020•昆明）如图，两条抛物线 y ＝﹣x 2+4，y =− 1x 2+bx+c 相交于 A ，B 两点，点 A125在 x 轴负半轴上，且为抛物线 y 2 的最高点．（1）求抛物线 y 2 的解析式和点 B 的坐标；（2）点 C 是抛物线 y 1 上 A ，B 之间的一点，过点 C 作 x 轴的垂线交 y 2 于点 D ，当线段 CD 取最大值时，求 S △BCD ．【答案】(1)抛物线 y 的解析式为：y =− 1x 2− 4x − 4，点 B （3，﹣5）；225 5 511(2)S = 25.△BCD 4【解析】解：（1）当 y ＝0 时，即﹣x 2+4＝0，解得 x ＝2 或 x ＝﹣2， 又点 A 在 x 轴的负半轴， ∴点 A （﹣2，0），∵点 A （﹣2，0），是抛物线 y 2 的最高点．∴−b=−2，即 b =− 4，5 2×(− )5把 A （﹣2，0）代入 y =− 1x 2− 4x+c 得，c =− 4，25 5 5∴抛物线 y 的解析式为：y =− 1x 2− 4x − 4；225 5 5y 1 =− x 2 + 4 x =− 2 x = 3 由 1 4 4得， 1， 2 ， y 2 =− x 2 − x −5 5 5y 1 = 0 y 2 =− 5 ∵A（﹣2，0），∴点 B （3，﹣5），答：抛物线 y 的解析式为：y =− 1x 2− 4x − 4，点 B （3，﹣5）；225 5 5（2）由题意得，CD ＝y ﹣y ＝﹣x 2+4﹣（− 1x 2− 4x − 4），125 5 5即：CD =− 4x 2+ 4x + 24，5 55当 x =− b = 1时，CD =− 4 × 1+ 4× 1+ 24=5，2a 2最大54 5 2 5∴S = 1×5×（3− 1）= 25．△BCD2 2447.（2020•衡阳）在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 y ＝x 2+px+q 的图象过点 （﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1 时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数 y ＝（2﹣m ）x+2﹣m 的图象与二次函数 y ＝x 2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b ，且 a ＜3＜b ，求 m 的取值范围．【答案】(1)y ＝x 2﹣x ﹣2；(2)y 的最大值与最小值的差为：4﹣（− 9）= 25； 44(3)m 的取值范围是 m ＜1.【解析】解：（1）由二次函数 y ＝x 2+px+q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴ 1 − p + q = 0 4 + 2p + q = 0 ，解得 p =− 1， q =− 2∴此二次函数的表达式为 y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x =−1+2 = 1，22∴在﹣2≤x≤1 范围内，当 x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当 x = 1时函数2有最小值：y = 1− 1 −2=− 9，4 2 4∴y 的最大值与最小值的差为：4﹣（− 9）= 25；44（3）y ＝（2﹣m ）x+2﹣m 与二次函数 y ＝x 2﹣x ﹣2 图象交点的横坐标为 a 和 b ，∴x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x+2﹣m ，整理得 x 2+（m ﹣3）x+m ﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得 m＜1，即 m 的取值范围是 m＜1． 48.（2020•西宁）如图 1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，且 B 点坐标为（0，4），以点 A 为顶点的抛物线解析式为 y＝﹣（x+2）2．（1）求一次函数的解析式；（2）如图 2，将抛物线的顶点沿线段 AB 平移，此时抛物线顶点记为 C，与 y 轴交点记为D，当点 C 的横坐标为﹣1 时，求抛物线的解析式及 D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，线段 AB 上是否存在点 P，使以点 B，D，P 为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝2x+4；(2)点 C 坐标为（﹣1，2）；(3)点 P 的坐标为：（−3，1）或（−6，8）.2 5 5【解析】解：（1）∵抛物线解析式为 y＝﹣（x+2）2，∴点 A 的坐标为（﹣2，0），设一次函数解析式为 y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），B（0，4）代入 y＝kx+b，得−2k + b = 0，b = 4解得k = 2，b = 4∴一次函数解析式为 y＝2x+4；（2）∵点 C 在直线 y＝2x+4 上，且点 C 的横坐标为﹣1，∴y＝2×（﹣1）+4＝2，∴点 C 坐标为（﹣1，2），设平移后的抛物线解析式为 y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），∵a＝﹣1，顶点坐标为 C（﹣1，2），∴抛物线的解析式是 y＝﹣（x+1）2+2，∵抛物线与 y 轴的交点为 D，∴令 x＝0，得 y＝1，∴点 D 坐标为（0，1）；（3）存在，①过点 D 作 P1D∥OA 交 AB 于点 P1，22 + 42∴△BDP 1∽△BOA，∴P 1 点的纵坐标为 1，代入一次函数 y ＝2x+4， 得 x =− 3，2∴P 的坐标为（− 3，1）；12②过点 D 作 P 2D⊥AB 于点 P 2，∴∠BP 2D ＝∠AOB＝90°，又∵∠DBP 2＝∠ABO（公共角），∴△BP 2D∽△BOA，∴ OBP 2B= AB ，BD∵直线 y ＝2x+4 与 x 轴的交点 A （﹣2，0），B （0，4）， 又∵D（0，1）， ∴OA＝2，OB ＝4，BD ＝3，∴AB = = 2 5，6 5 52∴ 4P 2B= 2 5，3∴P B = 6 5， 5过 P 2 作 P 2M⊥y 轴于点 M ， 设 P 2（a ，2a+4），则 P 2M ＝|a|＝﹣a ，BM ＝4﹣（2a+4）＝﹣2a ， 在 Rt△BP 2M 中P 2M 2 + BM 2 = P 2B 2，∴( − a)2 + ( − 2a)2 = ()2，解得 a =± 6a = 6（舍去）， 55∴a =− 6，5∴2a + 4 = 8，5∴P 的坐标为（− 6，8），25 5综上所述：点 P 的坐标为：（− 3，1）或（− 6，8）．25549.（2020•广安）如图，抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （﹣1，0），B （3，0）两点， 过点 A 的直线 l 交抛物线于点 C （2，m ）． （1）求抛物线的解析式．（2）点 P 是线段 AC 上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E ，求线段 PE 最大时点 P 的坐标．（3）点 F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D ，使得以点 A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)当 x= 1时，PE 的最大值= 9，此时 P（1，−3）；2 4 2 2(3)满足条件的点D 的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4−7，0）或（4+ 7，0）.【解析】解：（1）将 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝x2+bx+c，得到1 −b + c = 09 + 3b + c = 0；解得b =−2，c =−3∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）将 C 点的横坐标 x＝2 代入 y＝x2﹣2x﹣3，得 y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线 AC 的函数解析式是 y＝﹣x﹣1．设P 点的横坐标为 x（﹣1≤x≤2），则P、E 的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P 点在 E 点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x−1）2+ 9，2 4∵﹣1＜0，∴当 x= 1时，PE 的最大值= 9，此时 P（1，−3）．2 4 2 2（3）存在．理由：如图，设抛物线与 y 的交点为 K，由题意 K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x 轴，CK ＝2，当 AC 是平行四边形 ACF 1D 1 的边时，可得 D 1（﹣3，0）．当 AC 是平行四边形 AF 1CD 2 的对角线时，AD 2＝CK ，可得 D 2（1，0）， 当点 F 在 x 轴的上方时，令 y ＝3，3＝x 2﹣2x ﹣3，解得 x ＝1± 7， ∴F 3（1− 7，3），F 4（1+ 7，3），由平移的性质可知 D 3（4− 7，0），D 4（4+ 7，0）．所以，满足条件的点 D 的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4− 7，0）或（4+ 7，0）。

实际问题与二次函数—巩固练习(基础)

实际问题与二次函数—巩固练习(基础)

实际问题与二次函数—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 已知某商品的销售利润y(元)与该商品的销售单价x(元)之间满足220140020000y x x =-+-， 则获利最多为( )元.A.4500B.5500C.450D.200002．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为2y ax bx c =++(a ≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )． A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒3. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1 元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）. A ．5元 B ．10元 C ．0元 D ．3600元 4．（2015•路南区二模）设计师以y=2x 2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）.A ．17B ． 11C ． 8D ． 75．某民俗旅游村为接待游客住宿的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )． A ．14元 B ．15元 C ．16元 D ．18元6．如图，某幢建筑物从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，抛物线所在平面与墙面 垂直，且抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流落点离墙的距离OB 是( ) A.2米 B.3米 C.4米 D.5米二、填空题7．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6-x)个，则当x ＝_______元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大． 8．（2015•六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是 .9．有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则此抛物线的解析式为______ ______.10．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是 m . x yO ABM O x yA BO第10题 第11题 第12题 11．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是 m .12．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) .三、解答题13．某商场将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售量就减少20个，当单价定为多少时，能够获得最大利润?14.（2015•东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米． （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ （3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．15．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?最大利润是多少元?【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】，所以当时，获利最多为4500元，故选A.2.【答案】B；【解析】根据抛物线的对称性知，抛物线的对称轴为x＝10.5．即在第10秒中炮弹所在高度最高．3.【答案】A；【解析】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出y与x之间的函数关系式，写成顶点式后直接解答．4.【答案】B；【解析】∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．5.【答案】C；【解析】设每张床位的定价为x元，总租金为y元，则y与x之间的函数关系式为10100102xy x-⎛⎫=-⨯⎪⎝⎭25(15)1125x=--+，因为要使租出的床位少且租金高，所以x＝16．6.【答案】B；【解析】以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，则A(0，10)，M(1，)，故设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+，把A(0，10)代入解析式得a=-，解析式为y=-(x-1)2+. 当y=0时，x=3(负值已舍去).二、填空题7．【答案】3；【解析】y ＝x(6-x)，当632(1)x =-=⨯-时，y 最大．8．【答案】64m 2；【解析】设BC=xm ，则AB=（16﹣x ）m ，矩形ABCD 面积为ym 2，根据题意得：y=（16﹣x ）x=﹣x 2+16x=﹣（x ﹣8）2+64，当x=8m 时，y max =64m 2，则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2． 9．【答案】；【解析】由图知其顶点为(20，16)，所以令，把点(40，0)代入得，所以解析式为.10．【答案】10；【解析】令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x x ，2x =-（舍去），10x =. 11．【答案】3；【解析】顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3.12．【答案】21218y x x =-++；24.5米.【解析】设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)三、解答题 13.【解析】设单价定为x 元时，月利润为y 元，根据题意，得50(40)500202x y x -⎛⎫=--⨯ ⎪⎝⎭210(70)9000x =--+．即单价定为70元时，可获得最大利润9000元．14.【答案与解析】 解：（1）∵AB=x， ∴BC=24﹣4x ，∴S=AB•BC=x（24﹣4x ）=﹣4x 2+24x （0＜x ＜6）；（2）S=﹣4x 2+24x=﹣4（x ﹣3）2+36， ∵0＜x ＜6，∴当x=3时，S 有最大值为36； （3）∵，∴4≤x＜6，∴当x=4时，花圃的最大面积为32．15.【解析】(1)15010y x =-（0≤x ≤16，且x 是10的正整数倍）． (2)21150(18020)3480001010W x x x x ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭． (3)2211348000(170)108901010W x x x =-++=--+． 当170x <时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴ 当160x =时，10880W =最大． 当160x =时，1503410y x =-=． 答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.。

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二次函数的概念——巩固练习（基础）
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，表示y 是x 的函数图象是（ ）
2. 当x=4时，函数2231y x x =-+-的值是（ ）
A ．-19
B ．-20
C ．-21
D ．-22
3. 在函数
y =x 的取值范围是（ ） A ．13x < B ．13x ≠- C ．13x ≠ D ．13x >
4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式
是（ ）
A ．(9)(09)S x x x =-<<
B ．(9)(09)S x x x =+<≤
C ．(18)(09)S x x x =-<≤
D ．(18)(09)S x x x =+<<
5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的函数关系用图象表示是（ ）
6.（2014秋·石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）个.
（1）1y x x =+；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2；（4) 21y x x
=+ A.4 B.3 C.2 D.1
二.填空题
7. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的函数关系式为_____________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10 kg 时，t ＝__________（分钟）．
8．（2015秋•古田县校级月考）当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．
9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为x 厘米，则它的面积)
(2cm y 与x )(cm 之间的函数解析式y=____________.
10.当x________________时，函数y =有意义.
11.将(23)(1)3y x x =+--化成二次函数的一般式是：________________.
12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y （元）的表达式为________________.
三.解答题
13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元.
（1）写出年产值y (万元)与年数x 的函数关系；
（2）画出函数图象；
（3）求计划7年后的年产值.
14.（2014·滨海县期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y （件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系式y=162-3x ，求商场销售这种商品的日销售利润W （元）与每件商品的销售价x 元之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍).
（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.
（2）设该宾馆每天的利润为w 元，请写出w 关于x 的函数关系式.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C ；
【解析】把握函数的定义，对于自变量x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它对应.
2. 【答案】C.
【解析】将x=4代入函数2231y x x =-+-即可求得.
3. 【答案】D ；
【解析】要使函数有意义，需3x －1＞0.
4. 【答案】A ； 【解析】矩形的另一边长为18292
x x -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<. 5. 【答案】D ；
6. 【答案】C ；
【解析】（2）、（3）属于二次函数；其他两个不满足二次函数的概念，所以答案选C.
二.填空题
7. 【答案】t Q 5.030-=；600≤≤t ；40．
【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5/min kg ，所以函数关系式t Q 5.030-=
8. 【答案】﹣1；
【解析】依题意可知|m|+1=2，
解得m=1或m=﹣1，
又∵m ﹣1≠0，
∴m ≠1，
∴当m=﹣1时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．
故答案为：﹣1．
9. 【答案】2
400y x x =-+
【解析】宽为xcm ，则长为（400-x ）cm ，所以面积2(400)400y x x x x =-=-+.
10.【答案】-2≤x ≤3；
【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即2030
x x +≥⎧⎨
-≥⎩. 11.【答案】226y x x =+-.
12.【答案】2100002000010000y x x =++ 【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x ）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x ）2元.
二.解答题
13.【解析】
解：（1）252y x =+ （2）通过列表，描点，画出下图：
（3）当x ＝7时，y ＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万
元.
14.【解析】
解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y 件的销售利润为 W=y×（x-30），又∵y=162-3x ，
∴W= (x-30)(162-3x)=-3x 2+252x-4860
∵30016230
x x -⎧⎨-⎩≥≥，解得30≤x ≤54.
∴y=-3x 2+252x-4860（30≤x ≤54）.
15.【解析】
解：（1）y=50—10x
（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）
（2）()180205010x w x ⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭ =21
34800010x x -++（0＜x ≤160，且为10的正整数倍）。

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