数学必修四成才之路3-2-2
3-2-2直线的两点式方程
命题方向
直线的两点式方程
[例1] ABC中，
已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△
(1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程．
第三章
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3．2.2
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[分析]
首先判定是否满足直线方程两点式的条件，若满
足，则应用公式求解；若不满足，则根据具体条件写出方 程．
x y x y 故所求的直线方程为9＋3＝1或 ＋16＝1， －4 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.
第三章
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规律总结：(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则 可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即 可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原 点以及能否与两坐标轴垂直． x y (3)要注意截距式直线方程的逆向运用，如由方程 3 ＋ －2 ＝1可知该直线在x轴和y轴上的截距分别为3和－2.
第三章
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[破疑点](1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点 分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方 x y 程的形式为 a ＋ b ＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很方 便地画出直线．
第三章
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(2)设BC的中点为M(x0，y0)， 5＋0 5 －4＋－2 则x0＝ 2 ＝2，y0＝ ＝－3. 2 5 ∴M( ，－3)， 2 又BC边上的中线经过点A(－3,2)． y－2 x－－3 ∴由两点式得 ＝ ， －3－2 5 －－3 2 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
3-2-2 向量法在空间平行关系中的应用
CC1 的中点，求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
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[分析]
→ 欲证四边形 B1EDF 是平行四边形，只须证B1E＝
→ → → FD(或B1F＝ED)，利用长方体中棱的平行关系和中点 E、F 可 用加减运算法则证明．
[证明]
以 D 为原点，DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴
建立直角坐标系如图． 1 设正方体棱长为 1，则 B(1,1,0)，M(1,1， )，C(0,1,0)， 2 A1(1,0,1)， ∵N 是 A1C 中点，
1 1 1 → → 1 1 1 → ∴N2，2，2，DB＝(1,1,0)，NM＝2，2，0＝2DB，
λv1＋μv2 对 β 内任一向量 a，有 a＝____________.· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1
重点难点展示
第三章
3.2
第2课时
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重点：用直线的方向向量与平面的法向量来表示空间中的 平行关系；共面向量定理与线面平行的联系． 难点：如何实现线面位置关系与向量运算的联系．
∴四边形 B1EDF 是平行四边形．
第三章
3.2
第2课时
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正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， M、 分别是棱 BB1 和对 点 N 角线 CA1 的中点，求证：MN∥BD.
第三章
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最新【成才之路】高中数学-第二、三章--平面向量-三角恒等变换综合测试题-新人教B版必修4资料
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； ③x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x2＋cos 2x2＝1，故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A ．22 B ．－22C ．±22D ．－12[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α·tan α＝－2，即sin α＝－22. 3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y ＝2cos 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y ＝2cos 2x －1＝cos2x ，故函数y ＝2cos2x 是最小正周期为π的偶函数． 4．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27， ∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28. ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.5．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x . ∴最小正周期T ＝π.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10[答案] B[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x －4＝0，∴x ＝2. 又∵b ∥c ，∴－4＝2y ，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.8．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2，∵a·b ＝|a|·|b |cos60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.9．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝54.10．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2，∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2，∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0， ∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0， ∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0， ∴cos A ·cos B ·cos C ＝0， ∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0. ∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2＋2x 2 ∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－233·32＝－ 3.14．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝45°，|2a －b |＝10，∴4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，∴4－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10，∴|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝3 2.15．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.[答案] 2 014[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014.16．在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________．[答案]120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513>0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°.[解析] 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70° ＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2. 解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20° ＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π3，求：(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .[解析] (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 2π3＝2×(－12)＝－1.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝2×1×cos 2π3－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求2α＋π4α－sin αcos2α的值．[解析] (1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.(2)∵α为锐角，tan α＝13，∴sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×110＝45.∴2α＋π4α－sin αcos2α＝n2α＋cos2αα－sin αcos2α＝35＋4531010－101045＝2105. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2，∴－π4<α2－β<π2.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53.故sin α＋β2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝459×53－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝22277527＝22535.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k 、t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (x )的最小值． [解析] (1)∵x⊥y ，∴x·y ＝0， 即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋t (t －3)b 2－k (t －3)a·b ＋ta·b ＝0.由|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝0，可得－4k ＋t (t －3)＝0.∵k 、t 不同时为0，则t ≠0，∴k ＝t t －4，即f (t )＝t t －4(t ≠0)．(2)f (t )＝t 2－3t 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94.故当t ＝32时，f (t )min ＝－916.22．(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. ∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4.∴θ＝π2或θ＝3π4.。
3-2-2含参数一元二次不等式的解法
解法二： 注意到 m2＋m＝m(m＋1)， m＋(m＋1)＝2m＋1， 及 可先因式分解，化为(x－m)(x－m－1)＜0， ∵m＜m＋1，∴m＜x＜m＋1. ∴不等式的解集为{x|m<x<m＋1}．
第三章
3.2
第2课时
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(4)由条件知，a＝－2，∴不等式 ax2＋5x＋7>0， 即－2x2＋5x＋7>0，∴2x2－5x－7<0， 7 ∴－1<x< . 2
第三章
3.2
第2课时
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重点难点展示
第三章
3.2
第2课时
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1 ∴ >0，∴x>1. x－1 (2)解法一：不等式化为|x|2＋|x|－2>0， ∴|x|≥0，∴|x|>1，∴x<－1 或 x>1.
第三章
3.2
第2课时
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x2＋x－2>0 解法二：化为 x≥0 x2－x－2>0 或 x<0
(Ⅰ)
重点：含参数一次二次不等式的讨论． 难点：(1)分式、无理、含绝对值的不等式向整式不等式的 转化． (2)不等式的实际应用和分类讨论思想．
第三章
3.2
第2课时
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学习要点点拨
第三章
3.2
第2课时
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1．一元分式不等式一般要转化为整式不等式求解． fx ＞0⇔f(x)· g(x)＞0； gx
[解析]
解法一：∵方程 x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0 的解为
【成才之路】高中数学 2-3-2精品练习 新人教A版必修4
2.3 第2课时一、选择题1．(08·四川)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7)D ．(1,3)[答案] A[解析] a －2b ＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)，故选A.2．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(6,9) B ．(5,4) C ．(7,14) D ．(9,24) [答案] B[解析] OA →＝(－1，－5).AB →＝3a ＝(6,9)， 故OB →＝OA →＋AB →＝(5,4)， 故点B 坐标为(5,4)．3．原点O 在正六边形ABCDEF 的中心，OA →＝(－1，－3)，OB →＝(1，－3)，则OC →等于( ) A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(0，－23)D ．(0，3) [答案] A[解析] ∵正六边形中，OABC 为平行四边形， ∴OB →＝OA →＋OC →， ∴OC →＝OB →－OA →＝(2,0)．4．(09·湖北理)已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}[答案] A[解析] 根据题意知，a ＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，b ＝(1,1)＋n (－1，1)＝(1－n,1＋n )，令a ＝b 得，⎩⎪⎨⎪⎧1＝1－nm ＝1＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0m ＝1，∴a ＝(1,1)＝b .∴P ∩Q ＝{(1,1)}．5．(08·辽宁文)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)[答案] A[解析] BC →＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x 3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A.6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23 B.13 C ．－13D ．－23[答案] A[解析] ∵AD →＝2DB →， ∴CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →.又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23.7．(08·辽宁理)已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →[答案] A[解析] ∵2AC →＋CB →＝0， ∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， ∴OC →＋OB →－2OA →＝0，∴OC →＝2OA →－OB →.8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 B ．3x ＋2y －11＝0 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 [答案] D[分析] 求轨迹方程的问题求哪个点的轨迹设哪个点的坐标，故设C (x ，y )，据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α、β、x 、y 的关系式，消去α、β即得．[解析] 解法1：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1，3)．由OC →＝αOA →＋βOB →得(x ，y )＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β， (1)y ＝α＋3β， (2)α＋β＝1. (3)由(3)得β＝1－α代入(1)(2)消去β得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4α－1y ＝3－2α.再消去α得x ＋2y ＝5， 即x ＋2y －5＝0.∴选D.解法2：由平面向量共线定理，当OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1时，A 、B 、C 三点共线． 因此，点C 的轨迹为直线AB ，由两点式直线方程得y －13－1＝x －3－1－3，即x ＋2y －5＝0.∴选D.9．已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( ) A ．2a －b B ．－a ＋2b C ．a －2b D ．a ＋2b[答案] C[解析] 设c ＝x a ＋y b ，∴(3，－5)＝(x －y ，－x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－x ＋2y ＝－5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，∴c ＝a －2b ，故选C.10．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)[答案] D[解析] 设c ＝(x ，y )，∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，∴4a ＝(4，－12),3b －2a ＝(－8,18)． 又由表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，即(4，－12)＋(－8,18)＋(x ，y )＝(0,0)， ∴x ＝4，y ＝－6，∴c ＝(4，－6)． 二、填空题11．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)，则BC →的坐标为________． [答案] (－6,2)[解析] BC →＝AC →－AB →＝(－6,2)．12．在坐标平面内，已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中所有正确命题的序号为________． [答案] ①③④[解析] ①∵OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)， ∴OC →＝－(2，－1)＝－BA →，又OC ，BA 不共线，∴OC ∥BA ，∴①正确； ②∵AB →＋BC →＝AC →≠CA →，∴②错误； ③∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确； ④∵AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，∴④正确．13．已知点A (7,1)，B (1,4)，若直线y ＝ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.[答案] 1[解析] 设C (x 0，ax 0)，则AC →＝(x 0－7，ax 0－1)，CB →＝(1－x 0,4－ax 0)，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝2(1－x 0)ax 0－1＝2(4－ax 0)，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3a ＝1.14．已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β的值为________．[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)， ∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∵AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧α1＋λ＝13λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.三、解答题15．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.[解析] 因为A (7,8)，B (3,5)C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M 是A 、B 的中点，O 是任一点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．16．如图所示，在▱ABCD 中，已知AE →＝13BC →，AF →＝14AC →.求证：B 、F 、E 三点共线．[证明] 设BA →＝a ，BC →＝b .则BE →＝BA →＋AE →＝a ＋13b .∵AC →＝b －a ，∴AF →＝14AC →＝14(b －a )．∴BF →＝BA →＋AF →＝a ＋14(b －a )＝a ＋14b －14a＝34a ＋14b ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b .∴BF →＝34BE →.∴向量BF →与向量BE →共线，它们有公共点B . ∴B 、F 、E 三点共线．17．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 为圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[解析] 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3y 0＝－2y ＋3，又∵M (x 0，y 0)在圆C 上，把x 0、y 0代入方程(x －3)2＋(y －3)2＝4， 整理得x 2＋y 2＝1，所以所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。
3-2-2 函数模型的应用实例
探究：已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题 考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型， 列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第三章
3.2
3.2.2
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第一步，阅读理解，审清题意； 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述 所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，求什 么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步，根据所给模型，列出函数关系式； 根据问题已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此 基础上将实际问题转化为一个函数问题． 第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学 模型)予以解答，求得结果；
第三章
3.2
3.2.2
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如果所建数学模型是函数问题，就成了函数模型，函数 模型是数学模型的一个重要组成，是一类广泛的应用． 总结：实际问题→表示模型→模型的解→实际问题． 问题 2：我们如何来应用函数模型解决实际问题呢？
第三章
3.2
3.2.2
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第三章
3.2
3.2.2
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命题方向 2 二次函数模型问题与函数的图象
由函数的图象求出函数解析式，这是最基本的题型． [例 2] 甲、 乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规
模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如下图． 甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲 鱼上升到第 6 年 2 万只．
商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个 5 元，该商店推出两种优惠办法： ①买一个茶壶送一个茶杯， ②按购买总价的 92%付款． 某 顾客购买茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买茶杯数 x 个，付款为 y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y 与 x 的函 数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯 40 个，应选择哪 种优惠办法？
3-2-2 (整数值)随机数(random numbers)的产生
第三章 3.2
3.2.2
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[破疑点] 方 法 优 劣
常见产生随机数的方法比较 抽签法 用计算器或计算机产生 操作简单，省时省力 由于是伪随机数， 不能保证等可能性
保证机会均等 耗费大量 人力和物力
第三章 3.2
3.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人1～21之间的取整数值的随机数．
第三章 3.2
3.2.2
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[解析] 键入
具体操作如下：
反复按ENTER键，就可以不断地产生(1,21)之间的随机 数．
第三章 3.2
3.2.2
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[解析]
由于两个孩子有先后出生之分．
第三章 3.2 3.2.2
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2．下列试验中是古典概型的是(
)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全 相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意 一点都是等可能的 D．甲、乙两队进行一场足球赛，甲队比赛结果为甲队 赢、平局、甲队输
课前自主预习
第三章 3.2
3.2.2
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温故知新 1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有 ( ) A．(男女)，(男男)，(女女) B．(男女)，(女男) C．(男男)，(男女)，(女男)，(女女) D．(男男)，(女女)
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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求值：tan70° cos10°( 3tan20° · －1)．
第三章
3.1 3.1.3
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[解析]
sin70° 3sin20° 原式＝ · cos10° ( －1) cos70° cos20°
第三章
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第三章
三角恒等变换
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Байду номын сангаас
课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第三章
3.1 3.1.3
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课前自主预习
第三章
3.1 3.1.3
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新课引入 新兴家具厂有一批半径为R的圆木，现在要把它们截成长 方体形，如何截取才能使废料最少？我们设截面圆心为O，截 面上长方形ABCD的面积为S，∠AOB＝α，则AB＝Rsinα，OB ＝cosα，S＝2R2sinαcosα，要使废料最少，就当应使S最大，本 节我们研究求S最大值的方法．
第三章
3.1 3.1.3
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1 已知cosα＝3，则cos2α等于( 1 A.3 7 C．－ 9 2 B.3 7 D. 9
)
[答案] C
[解析] 2 7 cos2α＝2cos α－1＝9－1＝－9.
2
第三章
3.1 3.1.3
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：3-2-2三角恒等式的应用
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(2)sin2x＝1－c2os2x，cos2x＝1＋c2os2x，sinxcosx＝
1 2sin2x
.
(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将 三角函数的解析式化为f(x)＝ Asin(ωx＋φ) 的形式来解决．
第三章 3.2 3.2.2
第三章 3.2 3.2.2
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[解析] (1)∵fπ4＝1， ∴sin2π4＋asin4πcosπ4－cos24π＝1，解得a＝2. ∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x ＝ 2sin2x－4π. 当2x－4π＝2kπ－π2(k∈Z)， 即x＝kπ－8π(k∈Z)时，sin2x－π4有最小值－1，则f(x)的最 小值为－ 2.
第三章 3.2 3.2.2
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(2)令2kπ－2π≤2x－4π≤2kπ＋π2(k∈Z)， 整理得kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)； 又x∈0，2π，则0≤x≤38π. ∴f(x)的单调增区间是0，38π.
第三章 3.2 3.2.2
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规律总结：解答此类综合题的关键是利用三角函数的 和、差、倍角、半角公式化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后 借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过 程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简 失误．
C. 3cos1
D．－ 3cos1
[答案] C
第三章 3.2 3.2.2
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3.1.2一、选择题1．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0B.45C ．0或45D ．0或±45[答案] A[解析] 由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝45，cos αcos β＋sin αsin β＝－45，左右两边分别相加可得cos α·cos β＝0.2．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是() A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] B[解析] a ＝2sin(14°＋45°)＝2sin59°， b ＝2sin(16°＋45°)＝2sin61°，c ＝2·32＝2sin60°，由y ＝sin x 在(0°，90°)上单调增知：a <c <b .3.2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的化简结果是( )A ．22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋xB ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12C ．22sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋xD ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12 [答案] A[解析] 2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22⎣⎡⎦⎤12cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋32sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22⎣⎡⎦⎤sin π6cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋cos π6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22sin ⎣⎡⎦⎤π6＋⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x . 4．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.255B.2525C.255或2525D ．－2525[答案] B[解析] ∵α与β均为锐角，且sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β为钝角， 又由sin(α＋β)＝35得，cos(α＋β)＝－45， 由sin α＝255得，cos α＝55， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，故选B.5．若α、β为两个锐角，则( )A ．cos(α＋β)>cos α＋cos βB ．cos(α＋β)<cos α＋cos βC ．cos(α＋β)>sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<sin α＋sin β[答案] B[解析] cos(α＋β)－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β∵α、β是锐角，∴cos β－1<0，cos β>0，cos α>0，sin β>0，sin α>0∴cos(α＋β)－(cos α＋cos β)<0，∴cos(α＋β)<cos α＋cos β.[点评] ∵α、β均为锐角，∴cos β>0,0<α<α＋β<π，∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减． ∴cos α>cos(α＋β)，∴cos α＋cos β>cos(α＋β)．故A 错，B 对；当α、β很接近于0时，sin α＋sin β接近于0，cos(α＋β)接近于1，故D 错，当α＝β＝π4时，C 错． 6．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1[答案] B[解析] 由条件得，sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝m ，∴sin β＝－m .又∵β为第三象限角，∴cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.7．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，则cos(α－β)的值是( ) A.12B.32 C.34 D ．1[答案] B[解析] ∵sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，∴(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝(1－32)2＋(－12)2∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－ 3∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α-β)＝32.8．若cos αcos β＝1，则sin(α＋β)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1[答案] B[解析] ∵cos αcos β＝1，∴cos α＝1，cos β＝1或cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝0，sin β＝0，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R )的最小值等于() A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 5[答案] C[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x＝cos ⎝⎛⎫x ＋π6(x ∈R )．∵x ∈R ，∴x ＋π6∈R ，∴y min ＝－1.10．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0， 即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.二、填空题11．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________. [答案] －3＋4310[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45， ∵450°<β<540°，∴sin β＝35， ∴sin(60°－β)＝32·⎝⎛⎭⎫－45－12×35＝－3＋4310. 12．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34，则sin(α＋β)＝________. [答案] 171365[解析] ∵α为锐角，tan α＝23， ∴sin α＝213，cos α＝313， 同理可由tan β＝34得，sin β＝35，cos β＝45. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝213×45＋313×35＝171365. 13．化简(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________. [答案] －2[解析] (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝sin(－50°)cos60°·1sin50°＝－sin50°12·1sin50°＝－2. 14．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． [答案] 3[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡⎦⎤32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y max ＝ 3. 三、解答题15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值． [解析] ∵π2<β<α<3π4， ∴π<α＋β<3π2，0<α－β<π4. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665. 16．求证：sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. [解析] sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.由待证式知sin α≠0，故两边同除以sin α得sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. [点评] 在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．17．在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C . [解析] ∵0<cos B ＝513<22，且0<B <π.∴π4<B <π2，且sin B ＝1213.又∵0<sin A <35<22，且0<A <π， ∴0<A <π4或34π<A <π.若34π<A <π，则有π<A ＋B <32π，与已知条件矛盾，∴0<A <π4，且cos A ＝45.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝35×1213－45×513＝1665.[点评] 本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A ＝35得出cos A ＝±45，导致错误结论cos C ＝5665或1665. 18．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．[解析] (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45， 又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝35. (2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π，由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45， 又sin β＝－513，∴cos β＝1213， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.。
成才之路高中数学第二三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4
【成才之路】2021-2021 学年高中数学第二、三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4 本试卷分第一卷选择题与第二卷非选择题两局部，总分值150分，时间120分钟。
第一卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有以下四个命题：①存在x∈R，2＋2＝；②存在x、y∈R，(x－y)＝－；③x∈[0，π]，＝；④假设＝，那么x＋y＝.其中不正确的选项是( )A．①④B．②④C．①③D．②③[答案] A[解析] ∵对任意x∈R，均有2＋2＝1，故①不正确，排除B、D；又x∈[0，π]，＝＝，故③正确，排除C，应选A.2．(2021·山东潍坊重点中学高一期末测试)假设向量a＝(2α，－1)，b＝(，α)，且a∥b，那么α＝( )A．B．－C．±D．－[答案] B[解析] ∵a∥b，∴2α·α＝－，即α＝－.3．(2021·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y＝22x －1是( )A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y＝22x－1＝2x，故函数y＝22x是最小正周期为π的偶函数．4．在△中，假设4＋2＝1,2＋4＝3，那么的大小是( )A．－B．C．或D．[答案] D[解析] 由条件，得(4＋2)2＝1，(2＋4)2＝27，∴20＋16＋16＝28.∴＋＝.即(A＋B)＝.∴＝[π－(A＋B)]＝(A＋B)＝.5．函数y＝(＋)2＋1的最小正周期是( )A．B．πC．D．2π[答案] B[解析] y＝(＋)2＋1＝1＋2＋1＝2＋2x.∴最小正周期T＝π.6．设5π<θ<6π，＝a，那么的值等于( )A．－B．－C．－D．－[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，∴<0，∴＝－＝－.7．(2021·山东济宁梁山一中高一月考)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，那么＋＝( ) A．B．C．2 D．10[答案] B[解析] ∵a⊥c，∴a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.又∵b∥c，∴－4＝2y，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴＋＝＝.8．平面向量a及b的夹角为60°，a＝(2,0)，＝1，那么＋2＝( )A．B．2C．4 D．12[答案] B[解析] ∵a＝(2,0)，∴＝2，＋2＝＝，∵a·b＝·60°＝1，∴＋2＝＝2.9．275°＋215°＋75°15°的值为( )A．B．C．D．1＋[答案] C[解析] 原式＝215°＋215°＋15°15°＝1＋30°＝.10．设△的三个内角为A、B、C，向量m＝(，)，n＝(，)，假设m·n＝1＋(A＋B)，那么C＝( )A．B．C．D．[答案] C[解析] ∵m·n＝＋＝(A＋B)＝1＋(A＋B)，∴(A＋B)－(A＋B)＝1，∴＋＝1，即2＝1，∴＝，∴C＋＝，∴C＝.11．在△中，2A＋2B＋2C＝2，那么△为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由，得＋＋2C＝2，∴1－(2A＋2B)＋2C＝2，∴2A＋2B＋22C＝0，∴(A＋B)·(A－B)＋2C＝0，∴[－(A－B)－(A＋B)]＝0，∴··＝0，∴＝0或＝0或＝0.∴△为直角三角形．12．假设f()＝3－2x，那么f()＝( )A．3－2x B．3－2xC．3＋2x D．3＋2x[答案] C[解析] f()＝3－2x＝3－(1－22x)＝2＋22x，∴f(x)＝2＋2x2∴f()＝2＋22x＝2＋1＋2x＝3＋2x.第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13的值为．[答案] －[解析] 原式＝＝－·＝－.14．向量a、b夹角为45°，且＝1，|2a－＝，那么＝.[答案] 3[解析] ∵＝1，〈a，b〉＝45°，|2a－＝，∴42－4a·b＋2＝10，∴4－4×1×45°＋2＝10，∴2－2－6＝0，∴＝3.15．假设＝2 014，那么＋2α＝.[答案] 2 014[解析] ＋2α＝＋＝＝＝＝＝2 014.16．在△中，＝，那么2A的值为．[答案][解析] 在△中，＝>0，∴＝＝.∴2A＝＝2＝2＝2××＝.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)求值(5°－5°)·.[解析] 解法一：原式＝·＝·＝－2··＝－210°·10°＝－2.解法二：原式＝·＝·＝－·＝－2.解法三：原式＝·＝·＝·＝－2.18．(本小题总分值12分)(2021·山东烟台高一期末测试)向量a、b满足＝2，＝1，且a及b的夹角为，求：(1)a在b方向上的投影；(2)(a－2b)·b.[解析] (1)a在b方向上的投影为〈a，b〉＝2×＝2×(－)＝－1.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝2×1×－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题总分值12分)(2021·山东济宁梁山一中高一月考)α为锐角，且(＋α)＝2.(1)求α的值；(2)求的值．[解析] (1)(＋α)＝＝2，∴α＝.(2)∵α为锐角，α＝，∴α＝，α＝.∴2α＝2αα＝2××＝，2α＝1－22α＝1－2×＝.∴＝＝＝.20．(本小题总分值12分)＝－，＝，且<α<π，0<β<，求的值．[解析] ∵<α<π，0<β<，∴<α－<π.∵＝－，∴＝.又∵<<，∴－<－β<.∵＝，∴＝.故＝＝－＝×－×＝，＝＝＋＝×＋×＝，∴＝＝＝.21．(本小题总分值12分)设平面内两向量a⊥b，且＝2，＝1，k、t是两个不同时为零的实数．(1)假设x＝a＋(t－3)b及y＝－＋垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(x)的最小值．[解析] (1)∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－＋)＝0，∴－2＋t(t－3)b2－k(t－3)a·b＋·b＝0.由＝2，＝1，a·b＝0，可得－4k＋t(t－3)＝0.∵k、t不同时为0，那么t≠0，∴k＝，即f(t)＝(t≠0)．(2)f(t)＝＝.故当t＝时，f(t)＝－.22．(本小题总分值14分)向量a＝(θ，θ－2θ)，b＝(1,2)．(1)假设a∥b，求θ的值；(2)假设＝,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a∥b，∴2θ＝θ－2θ，∴4θ＝θ，∴θ＝.(2)由＝，得2θ＋(θ－2θ)2＝5，∴1－22θ＋42θ＝5.∴－22θ＋2(1－2θ)＝4，即2θ＋2θ＝－1，∴＝－.又∵0<θ<π，∴<2θ＋<，∴2θ＋＝或.∴θ＝或θ＝.。
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第3章综合检测题
第三章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D ．13[答案] D[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A ．54B ．62C ．32D ．1＋23[答案] A[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.3．已知sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为( )A ．1925B ．1625C ．1425D ．725[答案] D[解析] sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－2×(35)2＝725.4．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A ． 2B ．2C ．4D ．22[答案] B[解析] PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)， 则|PQ →|＝(cos β－cos α)2＋(sin β－sin α)2 ＝2－2cos (α－β)，故|PQ →|的最大值为2. 5．(高考浙江文)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2[答案] A[解析] f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)，周期T ＝π，振幅为1，故选A ．6．(2015·昆明一中模拟)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[答案] D [解析]3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)sin10°cos10°＝2sin (－20°)sin10°cos10°＝－2sin20°12sin20°＝－4.7．(高考重庆卷)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] C[解析] 原式＝sin (17°＋30°)－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17cos30°cos17°＝sin30°＝12，故选C ．8．(高考江西文)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43[答案] B[解析] 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由sin α＋cos αsin α－cos α＝12得tan α＋1tan α－1＝12即2tan α＋2＝tan α－1，∴tan α＝－3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝－6－8＝34，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．9．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( )A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312π]D ．[π3，5π6][答案] B[解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x ＝－(sin2x cos π3＋cos2x sin π3)＝－sin(2x ＋π3)，其增区间是函数y ＝sin(2x ＋π3)的减区间，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，当k ＝0时，x ∈[π12，7π12]．10．(2015·重庆理)若tan α＝2tan π5，则 cos (α－3π10)sin (α－π5)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] cos (α－3π10)cos (α－π5)＝sin (α－3π10＋π2)sin (α－π5)＝sin (α＋π5sin (α－π5)＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cos π5cos π5－sinπ5＝3sin π5sin π5＝3，故选C ．11．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5(tan αtan β)2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] C[解析] 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得⎩⎨⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12sin αcos β－cos αsin β＝13，∴⎩⎨⎧sin αcos β＝512cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5，∴log5(tan αtan β)2＝log 552＝4.12．(2015·江苏连云港模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2(π4－B2)＋cos2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1[答案] D[解析] f (B )＝4sin B cos 2(π4－B2)＋cos2B＝4sin B 1＋cos (π2－B )2＋cos2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1. ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. [答案] 2[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.14．(全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为______． [答案]17250[解析] ∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3，∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35； ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin 2(α＋π6)＝725∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝17250. 15．(2015·天津文)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．[答案]π2[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋kπ，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.16．(2015·南通调研)设α、 β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________．[答案] －1665[解析] 由tan α2＝12得sin α＝2tanα21＋tan 2α2＝11＋14＝45，cos α＝35，由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈(π2，π)，∴cos(α＋β)＝－1213.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．[解析] 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425，所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×(－425)325＝－2875.18．(本题满分12分)已知－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两个根，求α＋β的值．[解析] 由题意知tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7， ∴tan α<0，tan β<0. 又－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0.∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1，∴α＋β＝－3π4.19．(本题满分12分)已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.(1)求角A ； (2)若1＋sin2Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan C ．[解析] (1)∵m ·n ＝1，∴3sin A －cos A ＝1,2(sin A ·32－cos A ·12)＝1，sin(A －π6)＝12，∵0<A <π，－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6.∴A ＝π3.(2)由题知1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴(cos B ＋sin B )2(cos B ＋sin B )(cos B －sin B )＝－3 ∴cos B ＋sin Bcos B －sin B＝－3∴1＋tan B1－tan B＝－3，∴tan B ＝2.∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝8＋5311.20．(本题满分12分)(2015·安徽文)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x ∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sin x 在[π4，5π4]上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.21．(本题满分12分)(2013·江苏理)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α、 β的值． [解析] (1)由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0， 故a ⊥B ．(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得， sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． [解析] (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ(π4<θ<π2)．(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52×(255sin2θ－55cos2θ)－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12) 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积，S max ＝52－12.[点评] (1)求三角函数最值问题，除了利用三角函数的有界性外，配方法、换元法，函数单调性法都是常用方法，但应用时要注意三角函数的取值范围．(2)函数最值和实际应用题是高考的热点，题型一般是选择、填空题，但中档难度的解答题也不容忽视．。
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第三章 三角恒等变换
二、填空题 α α 3 5π α 4．已知 sin ＋cos ＝－ ，且 <α<3π，则 cot 的值 2 2 2 4 5 为________．
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第三章 三角恒等变换
[解析]
第三章 三角恒等变换
3．2.2 ．
半角的正弦、余弦和正切 半角的正弦、
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第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
ห้องสมุดไป่ตู้
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第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
重点：半角的正弦、余弦、正切公式及推导． 难点：公式的灵活运用． 1．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的 原则 (1)若给出的角是某一象限的角时，可根据下表决定符 号.
第三章 三角恒等变换
[分析] 在Rt△ABE和Rt△ACE中，利用公共的AE和θ、 2θ、4θ，表示出BE、CE、DE，进而用AE和θ、2θ、4θ写出 BC、CD，而BC、CD的长度已知，通过二者之比可以建立 关于θ的方程，利用三角公式化简可得θ的三角函数值，从 而求出角θ.
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第三章 三角恒等变换
[正解]
∵sinθ>0，sin2θ<0，∴cosθ<0，
∴θ 为第二象限角． θ ∴ 为第一或第三象限角， 2 θ ∴tan >0. 2 3 又∵sinθ＝ 及 cosθ<0， 5 4 θ ∴cosθ＝－ .∴tan ＝ 2 5 1－cosθ ＝3. 1＋cosθ
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π π π π ∵x0∈0，4，∴x0＋ ∈4，2. 4
第三章 三角恒等变换
π 3 ∴cosx0＋4＝ . 5 π fx0＋6＝ π π 2sinx0＋6＋4
＝ ＝ ＝
π π 2sin x0＋4＋6 π π π π 2sinx0＋4cos6＋cosx0＋4sin6 4 2 × 5
π θ tan4－2＝
1－t2 2t － 2 2 1＋t2 1＋t
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3.
π θ π π ∴ － ＝kπ＋ ，∴θ＝－2kπ－ (k∈Z)． 4 2 3 6
第三章 三角恒等变换
[点评] 三角恒等变形通常是通过比较角的差异，函 数名称的差异，和差与积的差异来进行．在看不出它们间 的差异和联系时，可采用万能代换公式进行化简．
第三章 三角恒等变换
θ 3．已知 2sinθ＝1＋cosθ，则 cot 的值为 2 ( A．2 1 C.2或 0 1 B. 2 D．2 或 0 )
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[答案] D
第三章 三角恒等变换
[解析]
2sinθ＝2cos 2，
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2θ
θ θ θ ∴2cos22sin2－cos2＝0， θ θ θ θ ∴cos2＝0 或 2sin2－cos2＝0，∴cot2＝0 或 2.
第三章 三角恒等变换
[点评] 运用半角公式来解题，尤其要注意角的取值 范围对符号的影响．
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第三章 三角恒等变换
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[解析]
2θ
原式
θ θ θ θ 2θ 2cos ＋2sin cos 2sin ＋2sin cos 2 2 2 2 2 2 ＝ ＋ θ θ θ θ θ 2 2θ 2sin ＋2sin cos 2cos ＋2sin cos 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ 2cos2cos2＋sin2 2sin2sin2＋cos2 ＝ ＋ θ θ θ θ θ θ 2sin sin2＋cos2 2cos cos2＋sin2 2 2 θ θ 2θ 2θ cos sin cos ＋sin 2 2 2 2 1 2 ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ . θ θ θ θ 1 sinθ sin cos sin cos sinθ 2 2 2 2 2
第三章 三角恒等变换
[解析]
由已知 BC＝30，CD＝10 3.
在 Rt△ABE 中，BE＝AEcotθ； 在 Rt△ACE 中，CE＝AEcot2θ. ∴BC＝BE－CE＝AE(cotθ－cot2θ)． 同理可得 CD＝CE－DE＝AE(cot2θ－cot4θ)． BC AE(cotθ－cot2θ) 于是CD＝ ， AE(cot2θ－cot4θ) cotθ－cot2θ 30 即 ＝ ＝ 3. cot2θ－cot4θ 10 3
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第三章 三角恒等变换
[点评] 这是一个三角函数在测量方面的应用问 题．在解决过程中运用了初中几何解直角三角形的知识和 方程的思想，但三角式的化简起到了关键作用，特别是切 化弦，使得式子的分子、分母产生可以约分的项，这种转 化方法应当引起重视．
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第三章 三角恒等变换
2α
tanα＝
. α 1－tan2 2
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α 这组公式把 sinα， cosα， tanα 都转化为以 t＝tan 为变元 2 的“一元有理函数”实现了三角问题向代数问题的转化， 为 用代数方法解决三角问题提供了一条途径．
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一、选择题 α 1．已知 180°<α<360°，则 cos 的值等于 2 ( A. 1＋cosα 2 1＋cosα 2 B. 1－cosα 2 1－cosα 2 )
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C．－
D．－
[答案] C
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第三章 三角恒等变换
π 2sinx＋4.
[解析] f(x)＝cosx＋sinx＝
(1)函数 f(x)的最小正周期是 T＝2π. 4 2 (2)由 f(x0)＝ 5 得 即
π 4 2 2sinx0＋4＝ ， 5 π 4 sinx0＋4＝ . 5
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cosθ cos2θ sinθ － cotθ－cot2θ sinθ sin2θ sinθsin2θ 而 ＝ ＝ sin2θ cot2θ－cot4θ cos2θ cos4θ － sin2θ sin4θ sin2θsin4θ sin4θ ＝ ＝2cos2θ＝ 3. sin2θ 3 ∴cos2θ＝ ，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 2 1 1 ∴AE＝ AC＝ BC＝15(m)． 2 2 于是 θ＝15°，建筑物高为 15m.
2α
实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到． (2)半角正切的两个有理分式应用时，一要注意公式成 立的条件；二要注意在需要考虑符号，但又不方便讨论符 号时，应用这两个公式就可避免符号的讨论．
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3．万能公式 2 sinα＝ ，cosα＝ ， α α 1＋tan2 1＋tan2 2 2 α 2tan 2 α 2tan 2 1－tan
S＝AB·BC＝cosα－ 3 sinαsinα 3
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3 2 1 3 ＝sinαcosα－ 3 sin α＝2sin2α－ 6 (1－cos2α) 1 3 3 ＝ sin2α＋ cos2α－ 2 6 6
1 3 3 1 ＝ sin2α＋ cos2α－ 6 2 3 2 π 1 3 ＝ sin2α＋6－ 6 . 3
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α (2)若给出角 α 的范围(即某一区间)时， 可先求 的范围， 2 α 然后再根据 所在范围来确定符号． 2 (3)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正 负两个符号．
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2．(1)半角公式的三个变式 1＋cosα 1－cosα 1－cosα 2α 2α cos 2＝ 2 ，sin 2＝ 2 ，tan 2＝ ，在 1＋cosα
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α tan2＝－
1－cosα 1 ＝－2； 1＋cosα
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α 当 k 为奇数时，2是第四象限角， α sin2＝－ α cos2＝ α tan2＝－ 1－cosα 5 2 ＝－ 5 ， 1＋cosα 2 5 2 ＝ 5 ， 1－cosα 1 ＝－2. 1＋cosα
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
的扇形，C是
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扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α， 求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最 大面积．
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[解析]
在直角三角形 OBC 中，OB＝cosα，BC＝sinα.
DA 在直角三角形 OAD 中， ＝tan60°＝ 3. OA 3 3 ∴OA＝ DA＝ sinα， 3 3 3 ∴AB＝OB－OA＝cosα－ sinα. 3 设矩形 ABCD 的面积为 S，则
α B．cos 2 α D．－sin2
[答案] C
第三章 三角恒等变换
[解析]
原式＝
1＋cosα α ＝cos2， 2
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5π 3π α 5π ∵－3π<α<－ ，∴－ < <－ ， 2 2 2 4 α α ∴cos <0，∴原式＝－cos . cos <0 cos 2 2