北京市2015.5.西城.高三理科试题及答案

北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（理科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）（A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题p ：函数1()ex f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos(π)f x x =+为奇函数. 则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈， 则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3} （D ）{1,3,9}2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ===，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP P Q +的最小值为（ ）5. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）66．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）（A ）212（B ）21 （C ）42 （D ）847．若“1x >”是“不等式2x a x >-成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）3a > （B ）3a < （C ）4a > （D ）4a <（A2（B2（C ）34（D ）1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数10i3i=+____. 10．双曲线C ：22184x y -=的离心率为____；渐近线的方程为____.11．已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos α=____；cos 2α=____.12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，且2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E . 若34PB =，则PA =____；AD DE ⋅= _____．13. 现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种. （用数字作答）14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：○1π()3f = ○2 任意π[0,]2x ∈，都有ππ()()422f x f x -++=；○3 任意12π,(,π)2x x ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-. 其中所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ， 已知a =，3b =，sin B A +=（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.16．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=， DE AB ⊥于点E ，将A D E ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2.（Ⅰ）求证：1A E ⊥平面B C D E ；（Ⅱ）求二面角1E A BC --的余弦值； （Ⅲ）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数21()1x f x ax-=+，其中a ∈R .（Ⅰ）当14a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对于任意的实数x ，都有|()|f x m ≤成立.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.（Ⅰ）若椭圆E E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：||OP >20．（本小题满分13分）无穷数列P ：12,,,,n a a a L L ，满足*i a N Î，且1()i i a a i *+∈N ≤. 对于数列P ，记()min{|}k n T P n a k ≥=*()k N Î，其中min{|}n n a k ≥表示集合{|}n n a k ≥中最小的数.（Ⅰ）若数列 1,3,4,7P ：，L ，写出125(),(),,()T P T P T P L ； （Ⅱ）若()21k T P k =-，求数列P 前n 项的和；（Ⅲ）已知2046a =，求12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++L L 的值. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．y =11 ．35- 257- 12．32 9813．28814．○1○2注：第10，11，12题第一问2分，第二问3分；第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得3sin sin AB=3sin B A =， (3)分sin B A +=解得 sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形， 所以π3A =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得 1c = 或 2c =. ……………… 10分当1c =时，因为222cos 2014c b B aca +-==-<， 所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分 当2c =时，因为222cos 20c b B aca +-==>，且b c >，b a >， 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯. ……………… 13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，……… 1分 乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. (2)分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m =， ……………… 3分 乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n =，所以 m n =. ……………… 4分 （Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为0，1，2， ……………… 5分且0255210C C 2(0)C 9P X ===，1155210C C 5(1)C 9P X ===，2055210C C 2(2)C 9P X ===，………… 8分所以X 的分布列为：……………… 9分所以252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=. (10)分（Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为D E BE ⊥,//BE DC ,所以DE DC ⊥, ……………… 1分 又因为1A D DC ⊥，1A DDE D =,所以DC ⊥平面1A DE ， ……………… 2分所以1DC A E ⊥. ……………… 3分又因为1A E DE ⊥,DC DE D =,所以1A E ⊥平面B C D E .……………… 4分（Ⅱ）解：因为1A E ⊥平面B CD E ，D E BE ⊥，所以1,,A E DE BE 两两垂直，以1,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴和z轴，如图建立空间直角坐标系， ………………5分易知DE = 则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，C ，(0,D ，所以1(2,0,2)BA =-,BC =.平面1A BE 的一个法向量为0,1,0n =（）， ……………… 6分A设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =,由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=,得220,20.x z x -+=+=⎧⎪⎨⎪⎩令 1y =,得(3,1,m =-. ……………… 8分所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅.由图，得二面角1E A BC --的为钝二面角， 所以二面角1E A B C --的余弦值为7 (10)分（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 11分解：假设在线段EB 上存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC .设(,0,0)P t（02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-,12)A D =-，…………… 12分设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得111120,20.z tx z-=-=⎧⎪⎨⎪⎩令 12x =，得所以)p t =. ……………… 13分因为平面1A DP⊥平面1A BC，所以0m p ⋅=，即0=，解得3t =-. 因为02t ≤≤，所以在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114xf x x -=-， 其定义域为{|2}x x ∈≠±R . ……………… 1分求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--， ……………… 4分 所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R .求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ……………… 6分令()0f x '=，解得110x =<，211x =+>， ……………… 7分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：……………… 10分所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减. 又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax-=>+；当1x >时，21()01x f x ax-=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤. ……………… 12分 记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ， 2()||f x 中最大的数， 综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式|()|f x m≤恒成立. ……………… 13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：设c =，由题意，得224a b +=，且c a = ……………… 2分解得a =1b =，c = ……………… 4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. (5)分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c，c ==. 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ……………… 6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)Q y cx c--， 所以直线1F Q 的斜率为1F Q y k c x =-， ……………… 8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF FQ ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ……………… 10分化简，得22200(24)y x a =--， ○1又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a+=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， (12)分所以2222200||1(2)22OP x y a =+=-+， ……………… 13分 因为22242a b a +=<，所以22a >，所以||OP > ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：1()1T P =，2()2T P =，3()2T P =，4()3T P =，5()4T P =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，1()1T P =，2()3T P =，3()5T P =，4()7T P =，L因为2()3T P =，且()min{|}k n T P n a k ≥=， 所以32a ≥，且22a <. ……………… 4分同理，由3()5T P =，且()min{|}k n T P n a k ≥=， 得53a ≥，且43a <.以此类推，得74a ≥，64a <；L ；21n a n -≥，22n a n -<；L因为1()i i a a i *+∈N ≤，*i a N Î，所以121a a ==，342a a ==，L ，212n n a a n -==，L (6)分当n 为奇数时，12112(12)22n n n a a a -++++=++++L L 2(1)4n +=. ……………… 7分当n 为偶数时，122(12)2n n a a a +++=+++L L 224n n+=.所以数列{}n a 前n 项的和22(1),424n n n S n n n ⎧+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数.，, ……………… 8分 （Ⅲ）解法一：考察符合条件的数列P 中，若存在某个19(1)i i ≤≤满足1i i a a +<，对应可得()k T P ，及12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++L L .因为()min{|}k n T P n a k ≥=，所以1()1i a T P i +=+. ……………… 9分下面将数列P 略作调整，仅将第i a 的值增加1，具体如下：设1i i a a ¢=+，对于任何()j j i ¹令j j a a ¢=，可得数列P ¢及其对应数列()k T P ¢， 根据数列()k T P ¢的定义，可得1()i a T P i +¢=，且()()j j T P T P ¢=(1)i j a ?.显然11()()1ii a a T P T P ++¢=-. ……………… 10分所以12201246()()()s a a a T P T P T P ⅱⅱⅱ =+++++++L L121120(1)i i i a a a a a a -+=++++++++L L 121246()()(1)()i i a a T P T P T T T P ++++++-+++L L12201246()()()a a a T P T P T P s =+++++++=L L . 即调整后的s s ¢=，如果数列{}n a ¢还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{}n a 中的每一项变为相等，且操作中保持s 的不变， ……………… 12分而当122046a a a ====L 时，1246()()()1T P T P T P ====L ， 所以12201246()()()966s a a a T P T P T P =+++++++=L L . (13)解法二：将问题一般化，下面求1212()()()n n a s a a a T P T P T P =+++++++．当1n =时，112()1,()1,,()1a T P T P T P ===，故11112s a a a =+⨯=． ……………… 9分 当2n =时，112()1,()1,,()1a T P T P T P ===，11212()2,()2,,()2a a a T P T P T P ++===，故1212121()23s a a a a a a =++⨯+-⨯=． ……………… 10分猜想(1)n s n a =+． 下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，由以上叙述可知，命题成立． （2）假设当n k =时，命题成立，即(1)k s k a =+． 当1n k =+时， 若1k k a a +=，则12112()()()k k k a s a a a a T P T P T P +=++++++++11(1)(2)k k k k a a k a ++=++=+，命题成立． (11)分若1k k a a +>，则11211212()()()()()()k k k k k k a a a a s a a a a T P T P T P T P T P T P ++++=++++++++++++112112()()()()(1)(1)(1)k k k k k a a a a a a a T P T P T P k k k ++-=+++++++++++++++共个11()(1)(1)(1)(1)k k k k a a k a a k k k ++-=+++++++++共个11(1)(1)()k k k k k a a k a a ++=++++-1(2)k k a +=+，命题成立．由（1）和（2），得*(1)()n s n a n =+∈N ． ……………… 12分所以当2046a =时，(201)46966s =+?． (13)。