两个变量的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式的注记

合集下载

volterra方程

volterra方程Volterra方程，又称Volterra积分方程，是由意大利数学家Vito Volterra在1920年提出的一类重要的积分解析方程，它有着广泛的应用，在生物学、物理、化学等多个领域中都有重要的应用。

Volterra 方程描述了一个复杂的现象，它涉及到多个系统之间的相互作用，而这些交互行为对于现象的发展非常重要。

Volterra方程是一类积分方程，有两个独立变量。

其中，一个独立变量是时间，另一个独立变量是状态变量，也就是说这个方程描述了时间和状态变量之间的关系。

这种积分解析方程的特征在于，它的右边有一项积分之和，表示了时间和状态变量之间的关系。

Volterra方程在数学界里被广泛研究，被应用到多个领域中。

在生物学领域，Volterra方程可以用来描述物种间的相互作用，特别是捕食者与猎物之间的关系，鱼类之间的关系，还可以用来模拟病毒传播等。

在物理学领域，Volterra方程能够帮助我们更好地理解热力学及热力学系统的变化，对量子力学解析也有重要的作用。

在化学学领域，Volterra方程能够帮助我们更深入地了解化学反应，同时也可以用来研究催化反应。

Volterra方程可以称为一种复杂的分析工具，它可以帮助我们更深入地了解复杂系统中复杂的行为。

Volterra方程可以用来描述多个相互作用的系统中的行为，可以用来研究不同系统中复杂过程的变化，让我们对复杂的系统有更深入的了解，了解这些复杂的行为如何发生变化的。

Volterra方程由一个积分部分和一个演算部分组成，它不仅可以用来分析系统行为，还可以用来预测系统变化。

它能够帮助我们分析一系列数据，从而预测系统状态的变化。

Volterra方程还可以用来搜索最优解，也就是说，它能够帮助我们找到最有利的模型参数或元素，以期达到更好的系统模拟效果。

Volterra方程由众多名校的学者们不断地研究，他们研究的工作取得了重大的进展，从而使Volterra方程越来越为人们所熟知，其研究也受到越来越多的重视。

Legendre小波求非线性Volterra-Fredholm积分方程的数值解

’ ）＝Ｃ（，（Ｔ）（）６
其中：和（是－）Ｃ￡）（式和．）的矩阵向量，４（下５然后把Ｅ。）入．１式：ｑ６代（（）
的性质，然后用Ｇｕｓｎ．ａｓａ￣分方法转化为求解代数方程。ｉ，
（关键ｉ］ｅｅｄｅ￣；ｏｔｒ— ｒｄｏ￣Ｌｇｎｒ小；ＶｌｒＦｅｈ１ｅａｍ积分方程；小波分析；数值解
［中图分类号）１２０７
［文献标识码］Ａ
［编号］０～１９２１）２００ —２文章１８５４（０１０—０１００
此时（）构成Ｌ（上的小波基。特别地，ｏ＝２和ｂｔ２Ｒ）当ａｏ：１时，（）ｔ构成正交基。
定２ｅｄＪ …）｛ｍ１Ｐ而－＜义Ｌｎｚ（＝√＋丁（一，１ｇｒ波ｅ、ｅｋ２）丁ｈ
称为Ｌｇｎｒ／波基函数，中：ｅｅｄｅＪｘ其
…
（）：（，；：１２３ … ，，：２一１ｍ：ｏ１ … ，一１：２３ … ，￡，ｍ，ｎ），，，２ｎ；，，；，，
。
是正交化因子，当扩张参数ｎ２和平移参数ｂ＝ｈ时，ｔ是ｔ义在区间［１１著名的ｍ阶Ｌｇｎｒ多项式，＝“ ２Ｐ（）定一，］ｅｅｄｅ满足
性ＶｈｒＦｄｌ积程：＝（）Ａｆｌ，（ｄ＋２（，ｙ）ｏｒ—ｒｈｍ分方）），＋ｌＫ（ｔｔＡＪ￡（ｄｅａｅｏ，（）））ｆｔ
其中：Ａ是常数）核Ｋ（ｔＡ，：、。，）和核Ｋ（ｔ皆属于（，，）Ｒ）在区间０

非线性Volterra积分方程

一类第二种非线性Volterra 积分程积分数值解法1前言微分程和积分程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分程对于问题的解决比微分程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较便，结果也比较完美,所以研究积分程便得越来越有用,日益受到重视. 积分程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分程。

所以最早研究积分程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分程，并用两种法求出了它的解,第一的积分程便是以Abel 命名的程.该程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该程称为广义Abel 程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分程的反变换，这就说明在早些时候积分程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分程.积分程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和Volterra 奠定的，积分程主要是研究两类相关的程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个程被命名为Fredholm程和Volterra程。

后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。

含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力积分不等式

含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力积分不等式宋小平;孟凡伟【摘要】研究了含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式,得到解的渐近估计及有界性,进而这些不等式可用于研究含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力方程解的定性性质.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(045)001【总页数】10页(P33-42)【关键词】Volterra-Fredholm型积分不等式;非线性;渐近估计;有界性【作者】宋小平;孟凡伟【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O175.121 引言近年来，关于Volterra积分方程和时间尺度上的动态积分不等式的研究已经有很多,许多作者把研究领域拓展到应用积分不等式来研究时间尺度上动力方程解的性质,并且可以作为方便的工具.据我们所知,许多学者致力于各类积分不等式的研究,已建立了时间尺度上线性Volterra-Fredhlom型积分不等式，各种连续和离散的Volterra-Fredholm型不等式，连续和离散的线性Volterra型积分不等式，一些连续和离散的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式，一些新的广义Volterra-Fredholm型离散分数不等式等.然而,时间尺度上非线性Volterra-Fredholm型积分不等式却很少被人关注,特别是含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式.本文主要研究含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式,得到这些不等式解的渐近估计及有界性,进而研究含有两个变量的非线性Volterra-Fredholm型动力方程解的定性性质.2 主要结果及其证明令T表示一个时间尺度,Crd表示一组在T上的右连续函数,R表示所有回归的集合,R+={P∈R,1+μ(t)P(t)>0,t∈T}.R表示实数集,R+=[0,+∞),Z表示整数集.为了方便表示,假设I=[t,s]∩T,其中t,s∈T,s>t .引理2.1[16] 假设u,b∈Crd(I),a∈R+,如果uΔ(t,s)≤a(t,s)u(t,s)+b(t,s), t,s∈I,则引理2.2[17] 若a≥0,p≥q>0,则对任意的k>0,有定理2.3 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数，u0是非负常数，若u(t,s)满足(2.1)其中p,q,r,m为常数,且满足p≥q>0,p≥r>0,p≥m>0.进一步,若(2.2)则对于任意k>0,有(2.3)其中(2.4)(2.5)(2.6)证明定义一个函数z(t,s)如下(2.7)我们有up(t,s)≤a(t,s)+z(t,s),(2.8)即(2.9)由引理2.2和式(2.9)可得,对于任意的k>0,有(2.10)(2.11)(2.12)将式(2.10),(2.11),(2.12)代入式(2.7)中得(2.13)即(2.14)固定由于Apqr(t,s)关于t,s∈I是单调不减的,所以对于任意的其中有(2.15)令(2.16)则式(2.15)可化为(2.17)由于z(t,s)是单调不减的,则(2.18)令(2.19)从而(2.20)记(2.21)由引理2.1可得(2.22)根据式(2.18),(2.19)和式(2.22)得(2.23)将式(2.23)代入式(2.16)右端,由式(2.2)可得(2.24)再根据式(2.23),(2.24)有(2.25)由于是任意的,从而(2.26)故由式(2.26)和(2.8)即得结论(2.3).在定理2.3中,当p=2,q=r=m=1时,可以得到以下推论.推论2.4 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.27)且(2.28)则有(2.29)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.30)(2.31)(2.32)在定理2.3中,当p=1时,可以得到以下推论.推论2.5 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.33)其中q,r,m为常数,且满足q>0,r>0,m>0.进一步,若(2.34)则(2.35)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.36)(2.37)(2.38)在定理2.3中,当p=q=r=m=1时,可以得到以下推论.推论2.6 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.39)且(2.40)则(2.41)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.42)(2.43)(2.44)定理2.7 假设u(t,s),a(t,s),fi(t,s),gi(t,s),hi(t,s)∈Crd(I)均为非负函数,i=1,2,…,n.j=1,2,…,l.(n,l为正整数).若u(t,s)满足(2.45)其中p,q,r,m为常数,且满足p≥qi>0,p≥ri>0,p≥mj>0,k>0为常数,(2.46)则(2.47)其中(2.48)(2.49)(2.50)定理2.8 假设u,f,g,h,a∈Crd(I),u(t,s),f(t,s),g(t,s),h(t,s),a(t,s)均为非负函数,u0是非负常数,若u(t,s)满足(2.51)其中p,q,r为常数,且满足p≥1,p≥q>0,p≥r>0.进一步,假设0≤H(t,s,u)-H(t,s,v)≤L(t,s)(u-v),u≥v≥0,且(2.52)则(2.53)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(2.54)(2.55)(2.56)证明定义函数如下(2.57)于是(2.58)根据引理2.2,对于任意的k>0有, (2.59)(2.60)(2.61)把式(2.59),(2.60),(2.61)代入式(2.57)且由式(2.52)可知,即这里C*和A*(t,s)分别在式(2.54)和(2.55)中给出了定义.在式(2.61)中应用与定理2.3相似的推理过程,即可得到式(2.53).3 应用我们研究以下Volterra-Fredholm型动力积分方程解的有界性、唯一性、解的连续依赖性.(3.1)其中t,s∈I,u,a:I→R,F:I×R×R→R,G,H:I×R→R且p>0为常数.首先证明方程(3.1)解的有界性.定理3.1 假设方程(3.1)中的函数F,G和H满足如下条件|F(t,s,u,v)|≤f(t,s)(|u|q+|v|),(3.2)|G(t,s,u)|≤g(t,s)(|u|r),(3.3)|H(t,s,u)|≤h(t,s)(|u|m),(3.4)其中t,s∈I,u,v∈R,f(t,s),g(t,s),h(t,s)和q,r,m如定理2.3所述,若(3.5)则(3.6)对于t,s∈I和任意k>0成立,其中(3.7)(3.8)(3.9)证明将式(3.2),(3.3),(3.4)代入式(3.1)中得(3.10)根据定理2.3可得式(3.6)成立.下面再证明式(3.1)解的唯一性.定理3.2 假设式(3.1)中F,G,H满足以下条件:|F(t,s,u1,v1)-F(t,s,u2,v2)|≤f(t,s)(|u1p-u2p|+|v1-v2|),(3.11)|G(t,s,u)-G(t,s,v)|≤g(t,s)(|up-vp|),(3.12)|H(t,s,u)-H(t,s,v)|≤h(t,s)(|up-vp|),(3.13)f(t,s),g(t,s),h(t,s)如定理2.3所述,若(3.14)其中(3.15)则当时,式(3.1)在I上有唯一解.证明设u(t,s),w(t,s)为式(3.1)在I上有两个解,由式(3.1)和式(3.6),(3.7),(3.8),有(3.16)(3.17)故由式(3.16),(3.17),(3.11),(3.12),(3.13)可知(3.18)对式(3.18)应用推论2.4,a(t,s)=0,故|up(t,s)-wp(t,s)|≤0,对于任意的t,s∈I均成立.因此在I上有up(t,s)=wp(t,s).最后讨论式(3.1)的解对函数F,G,H的连续依赖性,考虑式(3.1)的变形.(3.19)其中且p>0为常数.定理3.3 对于式(3.1)和(3.14)若满足(ⅰ) |F(t,s,u1,v1)-F(t,s,u2,v2)|≤f(t,s)(|u1p-u2p|+|v1-v2|),|G(t,s,u)-G(t,s,v)|≤g(t,s)(|up-vp|),|H(t,s,u)-H(t,s,v)|≤h(t,s)(|up-vp|),(ⅱ)其中(ⅲ) 对于式(3.19)的所有解有且其中t,s∈I,u1,u2,v1,v2∈R,且ε>0为任意常数.那么其中则方程(3.1)的解u(t,s)连续依赖于F,G,H.特别地,若u符号不变,则它连续依赖于F,G,H.证明设分别为式(3.1)和(3.19)的解,那么由式(3.1)和(3.19)可知,且即对于上式应用推论2.4(其中a(t,s)=ε,即得到式(3.15).显然,若函数A(t,s)和eB(t,s,t0,s0)在I上有界,那么对于M>0和t,s∈I有成立,因此up(t,s)连续依赖于F,G,H.参考文献：【相关文献】[1] Hilger S. Analysis on measure chains,a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results in Mathematics,1990, 18(1-2): 18-56.[2] Akin-Bohner E, Bohner M, Akin F. Pachpatte inequalities on time scales[J]. J Inequal Pure Appl Math,2005(6):1-23.[3] Li W N. Some new dynamic inequalities on time scales[J]. J Math Anal Appl，2006(319):802-814.[4] Li W N, Sheng W. Some nonlinear dynamic inequalities on time scales[J]. Proceedings Mathematucal Sciences,2007,117(4): 545-554.[5] Li W N, Some Pachpatte type inequalities on time scales[J]. Computers and Mathematics with Applicatiobs,2009,57(2):275-282.[6] Wong F H,Yeh C C, Hong C H. Gronwall inequalities on time scales[J]. Math Inequal Appl,2006(9):75-86.[7] Pachpatte D B. Explicit Estimates on integral inequalities with time scale[J]. Journal of Inequalities in Pures and Applied Mathematics,2013,7(4):1-8.[8] Ma Q H. Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequalities[J]. Nonlinear Analysis,2008,69(2):393-407.[9] Ma Q H. Some new nonlinear Volterra-Fredholm type discrete inequalities and their applications[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,216(2):451-466.[10] Ma Q H. Estimates on some power nonlinear Volterra-Fredholm type discrete inequalities and their applications[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,233(9):2170-2180.[11] Meng F W, Feng Q H, Zheng B. Explicit bounds to some new Gronwall-Bellman-typedelay integral inequalities in two independent variables on time scales[J].Journal of Applied Mathematics,2011(2011):1-25.[12] Feng Q H, Zheng B. Gronwall-Bellman-type delay dynamic inequalities on time scales and their applications[J]. Applied Mathematics and Computation,2012,218(15):7880-7892.[13] Xu R, Meng F W, Song C H. On some integral inequalities on time scales and their Applications[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2010(1):13.[14] Meng F W, Shao J. Some new Volterra-Fredholm type dynamic integral inequalities on time scales[J]. Applied Mathematics and Computation,2013(223):444-451.[15] Sun Y G, Hassan T. Some nonlinear dynamic integral inequalities on time scales[J]. Applied Mathematics and Computation,2013(220):221-225.[16] Bohner M, Peterson A. Dynamic equations on time scales[M]. Birkhauser,Boston,2001.[17] Jiang F C, Meng F W. Explicit bounds on some new nonlinear integral inequalities with delay[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007,205(1) :479-486.。

fredholm积分方程

4 第二类 Volterra 积分方程，具有如下形式：
y( x) k ( x, s) y(s)ds f ( x), a s x b (4) a
k ( x, s) 为积分方程的核，其中，定义在 a s x b 上，
f ( x)
x
为自由项，定义在 a s x b 上，为参数。
最后对变量x进行离散，将区间 a, b 等分为n份步长为同时忽略积分公式误差项：
1 g ( xi ) h[ k ( xi , y0 ) f ( y0 ) k ( xi , y1 ) f ( y1 ) k ( xi , yi ) f ( yi ) 2 1 k ( xi , yn ) f ( yn )] 2
, k ( x, s), f ( x) 均为已知，而 y( x) 为未知函数。
从(3)式可以看出，第二类 Volterra 积分方程和第二类 Fredholm 积分方程的区别在于积分限，第二类 Volterra 积分方程的积分上限是变量，而第二类 Fredholm 积分方程上限是常量。
5 非线性的 Frdholm 型与 Voltrra 型积分方程，具有形式如下：
y1 yn yn1
y2
k ( x, y ) f ( y )dy k ( x, y ) f ( y )dy
yi1
h h [k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 )] [k ( x, yi 1 ) f ( yi 1 ) 2 2 h k ( x, yi ) f ( yi )] [k ( x, yn1 ) f ( yn1 ) k ( x, yn ) f ( yn )] 2 h2 (b a) k ( x, ) f ( ) 12 1 h[ k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 ) k ( x, yi ) f ( yi ) 2 1 h2 (b a) k ( x, yn ) f ( yn )] k ( x, ) f ( ) 2 12 g ( x) [ a, b]

一类幂形式的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式

Science &Technology Vision 科技视界0引言Volterr 型积分不等式在微分方程,积分方程的定性研究中有着非常重要的作用。

2004年Pachpatte [1]研究了一类线性Volterra -Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +h (t )h (α)∫a (t,s )[f (s )u (s )+sh (α)∫c (s,σ)u (σ)dσ]ds+h (β)h (α)∫b (t,s )u(s )ds (1)解的估计。

2008年Ma [2]研究了一类非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+sα(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )w (u (s ))+s α(t 0)∫σ2(τ)w (u (τ))dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](2)解的估计。

本文研究了一类幂形式的非线性Volterra-Fredholm 型积分不等式:u (t )≤k +α(t )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+s α(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds+α(T )α(t 0)∫σ1(s )[f (s )u 12(s )+sα(t 0)∫σ2(τ)u 12(τ)dτ]ds ,t ∈[t 0,T ](3)解的估计。

1主要结果本文中R +=[0,+∞],I ∈[t 0,T ];C i (M ,S )为定义在(M ,S )上的i 次连续可微的函数集,其中i =1,2,…;令C 0(M ,S )=C (M ,S )。

定理令u (t ),f (t ),σ1(t ),σ2(t )∈C (I,R +),α∈C 1(I ,I ),α(t )是定义在[t 0,T ]上的连续单调不减函数且α(t )≤t 。

偏微分方程中常用的不等式及其证明

偏微分方程中常用的不等式及其证明偏微分方程是数学中的一个重要分支，在解决许多物理和工程实际问题中起着至关重要的作用。

然而，由于偏微分方程的复杂性，往往不容易得出精确的解决方案。

因此，为了实现偏微分方程的可能性，常常需要以不等式的方式对其进行限制。

本文旨在讨论偏微分方程中常用的不等式及其证明。

【偏微分方程中常用的不等式】1、拉格朗日不等式:是一类变分不等式，用于限制偏微分方程的解。

它同时也是一类特殊的变分技术。

它的形式为：∑(λi*f(x))+λ*g(x)≥0,其中，λi是未知常数，f(x)和g(x)分别是需要求解的偏微分方程的积分形式。

2、弗罗维茨不等式:是一类数学不等式，用于限制微分方程的解。

它的形式为：a(x) * f(x) + b(x) * g(x) 0，其中，a(x)和b(x)是待估计的连续函数，f(x)和g(x)分别代表要求解的偏微分方程的积分形式。

【证明】1、拉格朗日不等式：对于拉格朗日不等式，我们可以用变分法证明它的正确性。

我们假设给定的微分方程的解u(x)为极值，由于v(x)=u(x)+λ*g(x)，其中λ是一个未知常数，因此可以得到J(u,)=∫(u(x)^2+λ*g(x))dx=0.令Δx=x2-x1，可得ΔJ=∑λi*(f(xi+1)-f(xi))+λ*(g(x2)-g(x1))≥0.因此，我们可以得出拉格朗日不等式的正确性。

2、弗罗维茨不等式：对于弗罗维茨不等式，我们可以使用泛函分析的方法来证明它的正确性。

由于u(x)是给定微分方程的解，根据泛函分析原理，可得 S(u,)=∫(a(x)*f(x)+b(x)*g(x))dx≥0.令Δx=x2-x1，则ΔS=∑[a(xi)*(f(x2)-f(x1))+b(xi)*(g(x2)-g(x1))]≥0.因此，我们可以得出弗罗维茨不等式的正确性。

【结论】从上述内容可以看出，偏微分方程中常用的不等式及其证明，变分法和泛函分析的方法是有效的。

非线性两点边值问题的反插值Volterra型积分方程解法

许多文献都讨论过系统（）１的解的存在唯一性问题［】对于系统（）的数值解的研究，１，１宋兴光做了一定探讨，但其数值结果却不尽详尽或令人满意［．文对问题（）的解的存在性与数值结果都６本】１有详尽讨论，有较好的结果．并考虑与系统（）Ｉ相对应的初值问题如下：ｆＩｔＩ）＝ｆ，，）０≤ ｔｂＵ（（ｕｔ， ≤
中图分类号：２１８Ｏ４．３文献标识码：Ａ
Ｏ引言
我们首先描述二阶非线性常微分方程的两点边
值问题的一般形式：ｆ（）＝ ¨ ，￡，ｔ，）０≤ ｔ≤ ｂ
ｎ个方程，ｒ（）＝ｕ，ｔｔ，）
其中，
｛（）ｕ口＝口
Ｌ（）＝口
（２）
））㈡，＝
撕㈩（＝
这里定义，
其中，待定．
）．
由此，系统（）化为寻求恰当的，得（）１转使２
式的解Ｕｔ）足，（；满（；ｂ口）＝．
文章编号：０１４—５２（０００ —０２ —００４２２１）２１０４
非线性两点边值问题的反插值Ｖｌｒｏｅｒ积分方程解法ｔａ型
付宇ｋ，肖继红涛，吕
（．１四川大学数学学院，四川成都摘６０６；．１０４２四川理工学院理学院，四川自贡６３０）４００
∑ Ｆ，）＝，ｉ，凡（，ｏ． …，；＝ｌ『 …，

关于popov积分不等式解的注记

关于popov积分不等式解的注记Popov积分不等式是一种重要的研究工具，它有助于理解和提高系统控制程序的性能。

它在数学上可以描述成一种非常重要的积分不等式。

它有助于研究者们确定系统的最佳控制参数，从而提高系统的性能。

在本文中，我们将讨论Popov积分不等式的方程和解的性质。

Popov积分不等式的一般形式可以表示为：begin{equation}int_{tau_0}^{tau_1}int_{omega_0}^{omega_1}g(t,tau,omega)dta u domegageq 0end{equation}其中，$τ$和$ω$分别表示控制变量时间和频率，$tau_0leqtauleqtau_1$，$omega_0leqomegaleqomega_1$，$g(t,tau,omega)$表示时间里程碑和控制量之间的关系函数。

函数$g$是可导的。

Popov积分不等式的解是一组可以满足Popov积分不等式等式的变量。

它们由两个变量组成：控制量值$u$和控制量$τ$。

它们满足以下关系：begin{equation}int_{tau_0}^{tau_1}int_{omega_0}^{omega_1}g(t,tau,omega)u(t ,tau,omega)dtau domegageq 0end{equation}Popov积分不等式的解有无穷多种可能，具体取决于具体系统的控制策略和参数。

Popov积分不等式的解可以分为两类，一类是“受控解”，它满足Popov积分不等式，满足系统运行期间的约束，通常可以很好的满足系统的性能要求；另一类是“非受控解”，它不直接满足Popov积分不等式，但也可以提供有用的参考，帮助系统发掘最优解。

Popov积分不等式有助于理解和提高系统性能，特别是在复杂多变的实际应用中，它是研究者在控制设计中经常遇到的问题。

由于系统控制变量多、可变性强，解可能复杂，要求解出系统最优控制量及其参数时，必须考虑Popov积分不等式的解空间。

二维Volterra-Fredholm型积分方程问题Taylor配置解法及误差分析

ｔｈｅｆｏｒｍａｔｏｆＴａｙｌｏｒｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｅｒｒｏｒａｎａｌｙｓｉｓａｒｅｇｉｖｅｎｂｅｔｗｅｅｎ
ａｎａｌｙｓｉｓ－
积分方程在自然科学领域应用十分广泛，Ｖｏｌｔｅｒｒａ和Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型积分方程是其中两种最常见的
类犁，许多实际问题都可以转化为这两类方程来求解．有关积分方程解的存在性理论已经很完善，
的积分方程问题进行Ｔａｙｌｏｒ配置离散，将积分方程问题转化为代数方程进行求解，建立了
Ｔａｙｌｏｒ逼近解的求解格式，给出了配置解与精确解的误差估计结果以及阐述理论分析的３个数
ｔｈｅｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅｅｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄａｒｅｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆ３ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓ．
Ｆｅｂ．２０１３

一类函数积分方程的fredholm和非fredholm定理

一类函数积分方程的fredholm和非
fredholm定理
Fredholm和非Fredholm定理是定义在一类函数积分方程上的重要定理。

它们是由20世纪初著名的瑞典数学家阿尔维斯·弗雷德霍姆所发明的。

Fredholm定理指出，一类函数积分方程可以表示为linear integral equation。

在这种情况下， Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel K是要求的积分方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才能解决来。

常见的核函数类型包括简单对称structured，fualt-trigger symmettrical，特征向量对称和非对称。

而非Fredholm定理则指出，一类函数积分方程可以表示为非线性积分方程。

在这种情况下，非Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel F是函数方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才会有解。

例如，多项式形式积分方程的 method of variation of parameters (MVP)，椭圆形式函数积分方程的Chebychev分析和拉格朗日形式的函数积分方程的 Legendre 分析。

在拉格朗日形式函数积分方程中，还有一种特殊情况：由拉格朗日定理推出的非Fredholm定理，也称为Fourier-Stieltjes定理。

整体来看，Fredholm定理和非Fredholm定理是理解函数积分方程类型的重要工具，它们提供了一种有用的方法，可从积分方程中获得解。

因此，在计算函数积分方程时，Fredholm和非Fredholm定理都很有用。

非线性Volterra积分方程---精品管理资料

一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具,各有优点。

相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美，所以研究积分方程便得越来越有用，日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关。

一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程.所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程。

该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ，该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0，1）之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ。

在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程。

但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程。

积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献,所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。

后来又有德国数学家D 。

Hilbert 进行了重要的研究,并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究,所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分.我国在60年代前，积分方程这部分的理论介绍和相关书本主要靠翻译苏联的相关书籍，那时研究的积分方程基本是一种模式,即用古典的方法来研究相关的积分方程问题，这样使得问题的研究变得繁琐、复杂,在内容方面比较单一、狭隘,甚至有些理论故意把积分方程的研究趋向于复杂化。

具非局部条件的分数混合Volterra-Fredholm型泛函微积分包含解的存在性

是Ｂｃ空Ｄ）赋范，下，ｆＬ示中算范，对个ａｈ间（且予数ｍ且面我『丁表的子数则每用
０＜１，是—个Ｂｎｃ＿间，且的预解算子紧时嵌入ａａｈ＿￣８是紧的，０＜＜１．
收稿日期：２１— ４２０１０ — ５
，ｅ－（）有Ｇ）－Ｇｘ， ∈ （．＞．
．
在下面，ＢＣＸ）￣Ｘ中所Ｃ（；ａ有非空有界闭凸子集．若存在ｅ则Ｇ有—个不动点，Ｘ，使
＃ｘ（）关多映的多细述，参７８设Ｅａｃ空ｃ［６ｘ）ｇｅｘ．于值射更详描可见［］是Ｂａ间（，，，Ｇ，ｎｈｏ］
第２卷第２（０２８期２１）
河西学院学报
Ｖ１２ｏ２２１）ｏ．８Ｎ．（０２
பைடு நூலகம்
具非局部条件的分数混合Ｖｌｒ — ｒｄｏ型ｏｅｒＦｅｈｌｔａｍ
泛函微积分包含解的存在性
张宏武贾秀梅
张掖
晏兴学
７４０）３００
并赋数予卅）
定义２１对函数下极限为０的阶分数阶积分定义为：．
，）丽Ｊｆｓ＝１）（）
作者简介：张宏武（９）１８，男，甘肃靖远人，讲师，主要从事偏微与方程及问题研究．
・
４１・
张宏武贾秀梅
晏兴学：具非局部条件的分数混合Ｖｈｒ — ｒｄｏｏｅｒＦｅｈｌａｍ型泛函微积分包含解的存在性

Hadamard分数阶积分的Volterra-Fredholm型时滞积分不等式

D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2024.1.026收稿日期:2023-01-12基金项目:国家自然科学基金(11971015).第一作者:韩晓月,女,1999-,硕士研究生;研究方向:常微分方程及动力系统研究;E -m a i l :x i a o y u e 991231@163.c o m.通信作者:徐润,女,1966-,教授,硕士生导师;研究方向:常微分方程及动力系统研究;E -m a i l :x u r u n 2005@163.c o m.H a d a m a r d 分数阶积分的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型时滞积分不等式韩晓月, 徐润(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市) 摘要:建立了一些新的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型的分数阶积分不等式,它们可作为研究分数阶微分方程和分数阶积分方程解的性质的有效工具.该文还给出了应用来说明结果的有效性.关键词:V o l t e r r a -F r e d h o l m 型不等式;分数阶积分不等式;非线性;H a d a m a r d 分数阶积分中图分类号:O 175 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2024)01-0026-090 引言在过去的几十年里,分数阶微积分已经应用于许多研究领域.关于分数阶积分不等式也得到了许多的研究成果,比如文献[1-12],其中关于V o l t e r r a -F r e d h o l m 型积分不等式是一个重要的课题.1992年,文献[1]研究了以下最早的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型积分不等式u (t )ɤc +ʏt αa (s )u (s )d s +ʏβαb (s )u (s )d s .2002年,文献[2]将上述不等式进行了推广,研究了如下不等式u (t )ɤk +ʏtαa (t ,s )u (s )d s +ʏβαb (t ,s )u (s )d s .2004年,文献[3]研究了具有两个自变量的线性V o l t e r r a -F r e d h o l m 积分不等式u (x ,y )ɤc +ʏα(x )α(x 0)ʏα(y )β(y 0)a (x ,y ,s ,t )u (s ,t )d t d s +ʏα(M )α(x 0)ʏα(N )β(y 0)b (x ,y ,s ,t )u (s ,t )d t d s ,(x ,y )ɪ[x 0,M ]ˑ[y 0,N ].2008年,文献[4]研究了非线性时滞V o l t e r r a -F r e d h o l m 积分不等式u (t )ɤk +ʏα(t )α(t 0)σ1(s )f (s )w (u (s ))+ʏsα(t 0)σ2(τ)w (u (τ))d τ[]d s +ʏα(T )α(t 0)σ1(s )f (s )w (u (s ))+ʏsα(t 0)σ2(τ)w (u (τ))d τ[]d s .随后的研究进一步推广了V o l te r r a -F r e d h o l m 积分不等式及其应用[5-10],其中,2018年,文献[8]研究了如下非线性V o l t e r r a -F r e d h o l m 型分数阶积分不等式u (t )ɤc +1Γ(α)ʏt 0(t -s )α-1f(s )u 2-p (s )+ʏs 0(s -ξ)α-1g (ξ)u q (ξ)[]pds +1Γ(α)ʏT 0(T -s )α-1f (s )u 2-p (s )+ʏs 0(s -ξ)α-1g (ξ)u q (ξ)[]pds ,t ɪ[0,T ]. 第50卷第1期2024年1月曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .50 N o .1J a n .20242022年,文献[10]研究了关于R i e m a n n -L i o u v i l l e 分数阶积分的非线性V o l t e r r a -F r e d h o l m 型积分不等式x (t )ɤc (t )+ʏr (t )r (a )(r (t )-u )α-1g 1(u )f (u )h (x (u ))d u + ʏr (b )r (a )(r (b )-u )α-1g 1(u )f (u )h (x (u ))d u +ʏr (t )r (a )(r (t )-u )α-1g 1(u )ʏur (a )(u -v )α-1g 2(v )h (x (v ))d v d u +ʏr (b )r (a )(r (b )-u )α-1g 1(u )ʏur (a )(u -v )α-1g 2(v )h (x (v ))d v d u . 受上述工作的启发,本文建立了关于H a d a m a r d 分数阶积分的含有单变量和双变量的非线性V o l t e r r a -F r e d h o l m 型积分不等式.1 相关定义定义1.1[13]一元函数f (t )的α阶左定㊁右定H a d a m a r d 分数阶积分定义为I αa ,t f (t )=1Γ(α)ʏt a l n t u æèçöø÷α-1f (u )ud u ,a <t ,I αt ,bf (t )=1Γ(α)ʏbtl n u t æèçöø÷α-1f (u )ud u ,t <b ,其中,Γ(x )=ʏɕ0t x -1e -td t 是G a mm a 函数,αɪℂ,Re (α)>0,a ȡ0,f (x )为定义在区间[a ,b ]上实值可微函数,R e (x )>0.定义1.2[14]二元函数F (x ,y )的H a d a m a r d 分数阶积分定义如下,Iα,βa +,c+F (x ,y )=1Γ(α)Γ(β)ʏxaʏy c l n x t æèçöø÷α-1l n y s æèçöø÷β-1F (t ,s )t sd s d t ,x >a ,y >c ,Iα,βa +,d -F (x ,y )=1Γ(α)Γ(β)ʏx a ʏd y l n x t æèçöø÷α-1l n s y æèçöø÷β-1F (t ,s )t sd s d t ,x >a ,y <d ,I α,βb -,c+F (x ,y )=1Γ(α)Γ(β)ʏbx ʏy cl n t x æèçöø÷α-1l n y s æèçöø÷β-1F (t ,s )t sd s d t ,x <b ,y >c ,Iα,βb -,d -F (x ,y )=1Γ(α)Γ(β)ʏbx ʏd yl n t x æèçöø÷α-1l n s y æèçöø÷β-1F (t ,s )t sd s d t ,x <b ,y <d ,其中,Γ(x )=ʏɕt x -1e -td t 是G a mm a 函数,α,βɪℂ,Re (α),R e (β)>0,F (x ,y )为定义在区间[a ,b ]ˑ[c ,d ]上的实值可微函数,R e (x )>0.2 主要结果及其证明2.1 含有H a d a m a r d 分数阶积分的一元函数不等式在下面的讨论中,假设各函数满足以下条件:(ⅰ)x (t ),f (t ),c (t ),p i (t ),s i (t ),h i (t ),r (t )ɪC ([a ,b ],ℝ+)(a >0),并且r (t )ɤt ,i =1,2, ,k ,k ɪℤ+;(ⅱ)p (t )=m a x 1ɤi ɤkpi (t ),s (t )=m a x 1ɤi ɤks i (t ),h (t )=m a x 1ɤi ɤkh i (t ),t ɪ[a ,b ];(ⅲ)c (t ),r (t ),h i (t ),i =1,2, ,k ,k ɪℤ+是增函数,且h i (t )ȡ1;(ⅳ)P (v )=ʏv0d sh (s ),v ȡ0.1<α<2时,考虑以下2个积分不等式.72第1期韩晓月,等:H a d a m a r d 分数阶积分的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型时滞积分不等式x (t )ɤl n t a æèçöø÷c (t )+Γ(α)ðki =1I αa ,t [f (t )㊃h i (x (t ))],t ɪ[a ,b ],(1)其中I αa ,t [f (t )㊃h i (x (t ))]=1Γ(α)ʏt a l n t ξæèçöø÷α-1f (ξ)ξh i (x (ξ))d ξ,a <t ;x (t )ɤl n t a æèçöø÷c (t )+Γ(α)ðki =1I αa ,t [f (t )p i (t )h i (x (t ))]+Γ2(α)ðki =1Iαa ,t [p i (t )I αa ,ξs i (ξ)h i (x (ξ))],t ɪ[a ,b ],(2)其中I αa ,t[f (t )p i (t )h i (x (t ))]=1Γ(α)ʏt a l n t ξæèçöø÷α-1f (ξ)ξp i (ξ)h i (x (ξ))d ξ,a <t ,I αa ,t [p i (t )I αa ,ξs i (ξ)h i (x (ξ))]=1Γ2(α)ʏt a l n t ξæèçöø÷α-1p i (ξ)ξʏξa l n ξϑæèçöø÷α-1s i (ϑ)h i (x (ϑ))ϑd ϑd ξ,a <t . 定理2.1 如果x (t )满足式(1),则x (t )ɤl n t -l n a l n b -l n a æèçöø÷α-1P -1l n b a æèçöø÷α-1l n t a æèçöø÷2-αc (t )+k l n b a æèçöø÷α-1ʏta f (ξ)ξd ξéëêêùûúú,(3)其中P (v )=ʏv0d sh (s ),v ȡ0.证明显然式(1)可写成x (t )ɤl n t a æèçöø÷c (t )+ðki =1ʏt al n t ξæèçöø÷α-1f (ξ)ξh i (x (ξ))d ξ,t ɪ[a ,b ].因此有l n t a æèçöø÷1-αx (t )ɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )+ðki =1l n t a æèçöø÷1-αʏta l n t ξæèçöø÷α-1f (ξ)ξh i (x (ξ))d ξɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )+ðki =1ʏta f (ξ)ξh i (x (ξ))d ξ,t ɪ[a ,b ].(4)由式(4)右边定义一个新函数y (t ),t ɪ[a ,b ],则y (a )=0,y (t )单调递增,式(4)变为l n t a æèçöø÷1-αx (t )ɤy (t ),即x (t )ɤl n t a æèçöø÷α-1y (t ).(5) 根据假设(ⅲ)可得h (t )单调递增,故y '(t )=l n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+ðk i =1f (t )t h i (x (t ))ɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+ðk i =1f (t )t h i l n t a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷ɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+k f (t )t h l n b a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷.由此可得y '(t )h l n b a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷ɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'h l n b a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷+k f (t )t ɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+k f (t )t,t ɪ[a ,b ].上式两边同时乘l n b a æèçöø÷α-1,可得l n b a æèçöø÷α-1y '(t )h l n b a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷ɤl n b a æèçöø÷α-1l n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+l n b a æèçöø÷α-1k f (t )t ,t ɪ[a ,b ].(6)82 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年令t =τ,式(6)两边对τ从a 到t 积分,由y (a )=0得P l n b a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷ɤl n b a æèçöø÷α-1l n t a æèçöø÷2-αc (t )+k l n b a æèçöø÷α-1ʏta f (τ)τd τ.又因为P 是单调递增的,并且y (a )=0,所以有y (t )ɤln b a æèçöø÷1-αP -1l n b a æèçöø÷α-1l n t a æèçöø÷2-αc (t )+k l n b a æèçöø÷α-1ʏta f (τ)τd τéëêêùûúú.(7) 由式(5)和式(7)即可推出式(3)成立.定理2.2 如果x (t )满足式(2),则x (t )ɤl n t -l n a l n b -l n a æèçöø÷α-1P -1l n b a æèçöø÷α-1l n t a æèçöø÷2-αc (t ){+l n b a æèçöø÷α-1k ʏt a p (τ)τf (τ)+ʏτa l n τϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúúd τ},(8)其中P (v )=ʏv0d sh (s ),v ȡ0.证明将式(2)写成如下形式x (t )ɤl n t a æèçöø÷c (t )+ðki =1ʏt al n t ξæèçöø÷α-1f (ξ)ξp i (ξ)h i (x (ξ))d ξ+ðki =1ʏtal n t ξæèçöø÷α-1p i (ξ)ξʏξa l n ξϑæèçöø÷α-1s i (ϑ)h i (x (ϑ))ϑd ϑd ξ,t ɪ[a ,b ].由此得l n t a æèçöø÷1-αx (t )ɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )+ðki =1ʏta f (ξ)ξp i (ξ)h i (x (ξ))d ξ+ ðk i =1ʏt a p i (ξ)ξʏξa l n ξϑæèçöø÷α-1s i (ϑ)h i (x (ϑ))ϑd ϑd ξɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )+ðk i =1ʏta f (ξ)ξp (ξ)h i (x (ξ))d ξ+ ðki =1ʏta p (ξ)ξʏξa l n ξϑæèçöø÷α-1s (ϑ)h i (x (ϑ))ϑd ϑd ξ,t ɪ[a ,b ].(9) 为方便计算,定义式(9)右边为y (t ),则y (t )单调递增,y (a )=0,且l n t a æèçöø÷1-αx (t )ɤy (t ),即x (t )ɤl n t a æèçöø÷α-1y (t ).(10) 由假设(ⅲ)可知h (t )单调递增,故y '(t )(t ɪ[a ,b ])满足y '(t )=l n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+ðk i =1f (t )t p (t )h i (x (t ))+ðk i =1p (t )t ʏt a l n t ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)h i (x (ϑ))ϑd ϑɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+k f (t )t p (t )h (x (t ))+k p (t )t ʏt a l n t ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)h (x (ϑ))ϑd ϑɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+p (t )h l n t a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷k f (t )t +k t ʏt a l n t ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúú,因此y '(t )ɤl n t a æèçöø÷2-αc (t )éëêêùûúú'+k p (t )t h l n b a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷f (t )+ʏt al n t ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúú.(11)类似于定理2.1的证明,由y (a )=0可得P l n b a æèçöø÷α-1y (t )æèçöø÷ɤl n b a æèçöø÷α-1l n t a æèçöø÷2-αc (t )+l n b a æèçöø÷α-1ˑk ʏt a p (τ)τf (τ)+ʏτa l n τϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúúd τ,t ɪ[a ,b ].92第1期韩晓月,等:H a d a m a r d 分数阶积分的V o l te r r a -F r e d h o l m 型时滞积分不等式因为P 是单调增函数,y (a )=0,所以y (t )ɤl n b a æèçöø÷1-αP -1l n b a æèçöø÷α-1l n t a æèçöø÷2-αc (t )+l n b a æèçöø÷α-1ˑ{k ʏt a p (τ)τf (τ)+ʏτa l n τϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúúd τ},t ɪ[a ,b ].(12)由式(10)和式(12)可得式(8).下面研究关于H a d a m a r d 分数阶积分的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型时滞积分不等式.定理2.3 设W (t )=P (2t +c (b )-2c (a ))-P (t )是增函数.如果x (t )满足x (t )ɤc (t )+ʏr (t )r (a )l n r (t )ξæèçöø÷α-1p 1(ξ)ξf (ξ)h 1(x (ξ))+ʏξr (a )l n ξϑæèçöø÷α-1s 1(ϑ)h 2(x (ϑ))ϑd ϑéëêêùûúúd ξ+ʏr (b )r (a )l n r (b )ξæèçöø÷α-1p 2(ξ)ξf (ξ)h 3(x (ξ))+ʏξr (a )l n ξϑæèçöø÷α-1s 2(ϑ)h 4(x (ϑ))ϑd ϑéëêêùûúúd ξ,(13)则x (t )ɤP -1c (t )-c (a )+P W -1c (b )-c (a )+l n r (b )r (a)æèçöø÷α-1ʏr (b )r (a )g (τ)æèçéëêê{ˑf (τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1q (ϑ)d ϑæèçöø÷d τöø÷ùûúú+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ʏr (t )r (a )g (τ)f (τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1q (ϑ)d ϑéëêêùûúúd τ},(14)这里1<α<2.证明根据式(13)可得x (t )ɤc (t )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ʏr (t )r (a )p (ξ)ξf (ξ)h (x (ξ))+ʏξr (a )l n ξϑæèçöø÷α-1s (ϑ)h (x (ϑ))ϑd ϑéëêêùûúúd ξ{+ʏr (b )r (a )p (ξ)ξf (ξ)h (x (ξ))+ʏξr (a )l n ξϑæèçöø÷α-1s (ϑ)h (x (ϑ))ϑd ϑéëêêùûúúd ξ},t ɪ[a ,b ].定义上式右端为一个新函数y (t ),则y (t )单调递增,且x (t )ɤy (t ),y (b )=c (b )+2(y (a )-c (a )).由假设(ⅲ)可知h (t )单调递增,故y '(t )=c '(t )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1r '(t )p (r (t ))r (t )f (r (t ))h (x (r (t )))+ʏr (t )r (a )l n r (t )ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)h (x (ϑ))ϑd ϑéëêêùûúúɤc'(t )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1r '(t )p (r (t ))r (t )h (y (t ))f (r (t ))+ʏr (t )r (a )l n r (t )ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑ{}. 类似于定理2.1的证明可得P (y (t ))ɤP (y (a ))+c (t )-c (a )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ˑʏr (t )r (a )p (τ)τf(τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑ{}d τ,t ɪ[a ,b ].(15)因为P 是单调递增的,所以y (t )ɤP -1P (y (a ))+c (t )-c (a )+ln r (b )r (a )æèçöø÷α-1{ˑʏr (t )r (a )p (τ)τf (τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúúd τ},t ɪ[a ,b ].(16)把t =b 代入式(15)即得P (y (b ))ɤP (y (a ))+c (b )-c (a )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ˑ ʏr (b )r (a )p (τ)τf (τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑ{}d τ.(17) 因为W (y (a ))=P (2y (a )+c (b )-2c (a ))-P (y (a ))=P (y (b ))-P (y (a )),所以由式(17)可得03 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年W (y (a ))ɤc (b )-c (a )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ʏr (b )r (a )p (τ)τf (τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑ{}d τ.又因为P 和W 均为增函数,所以P (y (a ))ɤP W -1c (b )-c (a )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1éëêê{ˑʏr (b )r (a )p (τ)τf(τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑæèçöø÷d τùûúú}.(18) 由式(16)㊁式(18)可得y (t )ɤP -1c (t )-c (a )+P W -1c (b )-c (a )+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ʏr (b )r (a )p (τ)τæèçéëêê{ˑf (τ)+ʏτr (a )ln r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑæèçöø÷d τöø÷ùûúú+l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ʏr (t )r (a )p (τ)τf (τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúúd τ}.(19) 由x (t )ɤy (t )和式(19)可得式(14).注 1.若令上述定理中h (t )=t +1,并且c (t )满足c (b )ɤ2c (a )+1,根据函数P ㊁W 的定义,有P (v )=l n (v +1),W (t )=l n (2t +c (b )-2c (a )+1)-l n (t +1),P ㊁W 均为增函数.2.同样,若令上述定理中h (t )=e t ,且a ,b 满足1ɤa ,b ɤl n2+2c (a )-c (b ),则P (v )=1-e -t ,W (t )=e -t -e -2t -c (b )+2c (a),P ㊁W 均为增函数.3.可以类似地研究形如式(13)的多项和不等式.设W (t )=P (2t +c (b )-2c (a ))-P (t )是增函数.如果x (t )满足x (t )ɤc (t )+ðk i =1ʏr (t )r (a )l n r (t )ξæèçöø÷α-1p i (ξ)ξf (ξ)h i (x (ξ))+ʏξr (a )l n ξϑæèçöø÷α-1s i (ϑ)h i (x (ϑ))ϑd ϑéëêêùûúúd ξ+ðk i =1ʏr (b )r (a )l n r (b )ξæèçöø÷α-1p i (ξ)ξf (ξ)h i (x (ξ))+ʏξr (a )l n ξϑæèçöø÷α-1s i (ϑ)h i (x (ϑ))ϑd ϑéëêêùûúúd ξ,则x (t )ɤp -1c (t )-c (a )+P W -1c (b )-c (a )+k l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1æèçéëêê{ˑ ʏr (b )r (a )p (τ)τf(τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑæèçöø÷d τöø÷ùûúú+k l n r (b )r (a )æèçöø÷α-1ʏr (t )r (a )p (τ)τf (τ)+ʏτr (a )l n r (τ)ϑæèçöø÷α-1s (ϑ)ϑd ϑéëêêùûúúd τ}.2.2 含有H a d a m a r d 分数阶积分的二元函数不等式设i 1=[u 0,u 1],i 2=[v 0,v 1],其中u 0ȡ0,v 0ȡ0.假设(ⅰ)x (u ,v ),f (u ,v ),c (u ,v ),g i (u ,v ),q i (u ,v )ɪC (i 1ˑi 2,ℝ+),i =1,2, ,k ,k ɪℤ+,c (u ,v )关于u ㊁v 均单调递增;(ⅱ)g (u ,v )=m a x 1ɤi ɤkg i (u ,v ),q (u ,v )=m a x 1ɤi ɤkqi (u ,v ),u ɪi 1,v ɪi 2;(ⅲ)h i (t )ɪC (ℝ+,ℝ+)是增函数,h (t )=m a x 1ɤi ɤkh i (t ),且h i (t )ȡ1,i =1,2, ,k ;(ⅳ)P (v )=ʏv 0d sh (s ),v ȡ0.定理2.4 假设当u ɪi 1,v ɪi 2时,x (u ,v )ɤl n u u 0æèçöø÷l n v v 0æèçöø÷c (u ,v )+Γ(α)Γ(β)ðki =1I α,βu +0,v +0[f (u ,v )g i (u ,v )h i (x (u ,v ))]+Γ2(α)Γ2(β)ðki =1Iα,βu +0,v +0[g i (u ,v )I α,βu +0,v +0q i (u ,v )h i (x (u ,v ))].(20)则13第1期韩晓月,等:H a d a m a r d 分数阶积分的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型时滞积分不等式x (u ,v )ɤ1η(l n u -l n u 0)α-1(l n v -l n v 0)β-1ˑp-1η(l n u -l n u 0)2-α(l n v -l n v 0)2-βc (u ,v )+ηk ʏu u 0{ˑʏv v 0g (s ,τ)s τf (s ,τ)+ʏs u 0ʏτv 0l n s w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q (w ,z )w zd w d z æèçöø÷d τéëêêùûúúd s },(21)其中1<α,β<2,常数η定义为η=(l n u 1-l n u 0)α-1(l n v 1-l n v 0)β-1.证明根据式(20)可知,当u ɪ[u 0,u 1],v ɪ[v 0,v 1],x (u ,v )ɤ(l n u -l n u 0)(l n v -l n v 0)c (u ,v )+ðki =1ʏuu0ʏv v 0(l n u -l n s )α-1(l n v -l n τ)β-1g i (s ,τ)s τˑf (s ,τ)h i (x (s ,τ))+ʏsu 0ʏτv 0l n s w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q i (w ,z )h i (x (w ,z ))w z d w d z éëêêùûúúd s d τ.(22) 定义y (u ,v )=(l n u -l n u 0)2-α(l n v -l n v 0)2-βc (u ,v )+ k ʏu u 0ʏvv 0g (s ,τ)s τf (s ,τ)h (x (s ,τ))d s d τ+k ʏu u 0ʏv v 0g (s ,τ)s τʏs u 0ʏτv 0l n s w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q (w ,z )h (x (w ,z ))w zd w d z éëêêùûúúd s d τ,其中u ɪ[u 0,u 1],v ɪ[v 0,v 1],则y (u ,v )关于u ,v 均单调递增,且y (u 0,v )=0.由式(22)可得(l n u -l n u 0)1-α(l n v -l n v 0)1-βx (u ,v )ɤy (u ,v ).(23) 由假设(ⅲ)可知h (t )单调递增,故y (u ,v )关于u 求偏导可得∂y (u ,v )∂u =∂(l n u -l n u 0)2-α(l n v -l n v 0)2-βc (u ,v )[]∂u+k ʏvv 0g (u ,τ)u τf (u ,τ)h (x (u ,τ))d τ+ k ʏv v 0g (u ,τ)u τʏu u 0ʏτv 0l n u w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q (w ,z )h (x (w ,z ))w zd w d z d τɤ∂(l n u -l n u 0)2-α(l n v -l n v 0)2-βc (u ,v )()∂u+k h (l n u 1-l n u 0)α-1(l n v 1-l n v 0)β-1y(u ,v )()ʏvv 0g (u ,τ)u τˑ f (u ,τ)+ʏu u 0ʏτv 0l n u w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q (w ,z )w zd w d z éëêêùûúúd τ.(24) 令η=(l n u 1-l n u 0)α-1(l n v 1-l n v 0)β-1,式(24)变形为η∂y (u ,v )h (ηy (u ,v ))∂u ɤη∂(l n u -l n u 0)2-α(l n v -l n v 0)2-βc (u ,v )()∂u +ηk ʏv v 0g (u ,τ)u τf (u ,τ)d τ+ηk ʏvv 0g (u ,τ)u τʏu u 0ʏτv 0l n u w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q (w ,z )w zd w d z d τ.(25) 令u =t ,式(25)两边对t 从u 0到u 积分,由y (u 0,v )=0得P (ηy (u ,v ))ɤη(l n u -l n u 0)2-α(l n v -l n v 0)2-βc (u ,v )+ηk ʏu u 0ʏvv 0g (s ,τ)s τf (s ,τ)d s d τ+ηk ʏu u 0ʏvv 0g (s ,τ)s τʏs u 0ʏτv 0l n s w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q (w ,z )w zd w d z d s d τ.(26) 因为P 是单调增函数,所以由式(23)和式(26)可得式(21)成立.23 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年3 应用上述结论可用来研究相关分数阶积分方程解的性质.例考虑下面分数阶积分方程连续解x (u ,v )的有界性:x (u ,v )=C (u ,v )+ʏuu 0ʏvv 0l n u -l n s ()α-1l n v -l n τ()β-1A (s ,τ)s τˑf (s ,τ)x (s ,τ))+ʏs u 0ʏτv 0l n s w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1q (w ,z )x (w ,z )w zd w d z éëêêùûúúd s d τ,(27)其中u ɪ[u 0,u 1],v ɪ[v 0,v 1],x (u ,v ),C (u ,v ),A (u ,v ),f (u ,v ),q (u ,v )均为连续函数,1<α,β<2.如果C (u ,v )ɤc (u ,v )(l n u -l n u 0)(l n v -l n v 0),c (u ,v )ɪC [u 0,u 1]ˑ[v 0,v 1],ℝ+(),则上述方程的解x (u ,v )满足|x (u ,v )|ɤ1ηl n u -l n u 0()α-1l n v -l n v 0()β-1ˑe x p ηl n u -l n u 0()2-αl n v -l n v 0()2-βc (u ,v )[{+ηʏuu 0ʏv v 0|A (s ,τ)|s τ|f (s ,τ)|ʏs u 0ʏτv 0l n s w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1|q (w ,z )|w zd w d z öø÷d τöø÷d s æèçùûúúæèç}-1,(28)η=(l n u 1-l n u 0)α-1(l n v 1-l n v 0)β-1.证明由式(27)可得|x (u ,v )|ɤc (u ,v )(l n u -l n u 0)(l n v -l n v 0)+ʏu u 0ʏvv 0l n u -l n s ()α-1l n v -l n τ()β-1|A (s ,τ)|s τˑ|f (s ,τ)||x (s ,τ)|+ʏs u 0ʏτv 0l n s w æèçöø÷α-1l n τz æèçöø÷β-1|q (w ,z )||x (w ,z )|w zd w d z éëêêùûúúd s d τ. 令定理2.4中h (t )=t +1,t ɪ[a ,b ](a >0),则有P (v )=l n (v +1),p -1(t )=e x p (t )-1,且h (t )和P (v )均为增函数,η=(l n u 1-l n u 0)α-1(l n v 1-l n v 0)β-1.根据定理2.4的结论即可得到方程(27)的解x (u ,v )的估计式(28).4 结论本文建立了一个新的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型分数阶积分不等式,推广了一些已知的不等式,比如x (t )ɤ(t -a )c (t )+ʏta(t -u )α-1f (u )h (x (u ))d u ,u (t )ɤu 0+ʏt[f (s )u (s )+p (s )]d s +ʏt 0f (s )ʏsg (σ)u (σ)d σ()d s . 此外,它们还为求解分数阶常微分方程解的界提供了一种方便的工具.本文不仅给出了关于单变量的H a d a m a r d 分数阶积分的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型积分不等式,还给出了关于双变量的H a d a m a r d 分数阶积分的积分不等式.利用同样的方法可以研究关于广义比例H a d a m a r d 分数阶积分㊁K a t u g a m po l a 分数阶积分等对应的类似不等式.参考文献:[1]B A I N O V DD ,S I M E O N O VPS .I n t e g r a l i n e q u a l i t i e s a n da p p l i c a t i o n s [M ].K l u w e r :K l u w e rA c a d e m i cP u b l i s h e r s ,1992.[2]P A C H P A T T EBG.An o t e o n c e r t a i n i n t e g r a l i n e q u a l i t y [J ].T a m k a n g Jo u r n a l o fM a t h e m a t i c s ,2002,33(4):353-358.[3]P A C H P A T T EBG.O nac e r t a i nr e t a r d e di n t e g r a l i n e q u a l i t y a n di t sa p p l i c a t i o n s [J ].J I n e q u a lP u r eA p plM a t h ,2004,5(1):2-22.33第1期韩晓月,等:H a d a m a r d 分数阶积分的V o l t e r r a -F r e d h o l m 型时滞积分不等式43曲阜师范大学学报(自然科学版)2024年[4]MA Q H,P E C A R I CJ.E s t i m a t e s o n s o l u t i o n s o f s o m e n e wn o n l i n e a r r e t a r d e dV o l t e r r a-F r e d h o l mt y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s[J].N o n l i n e a rA n a l y s i s:T h e o r y,M e t h o d s a n dA p p l i c a t i o n s,2008,69(2):393-407.[5]L U Y,WA N G W S,Z HO U X,e t a l.G e n e r a l i z e dn o n l i n e a rV o l t e r r a-F r e d h o l mt y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t y w i t ht w ov a r i a b l e s[J].J o u r n a l o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2014,2014:1-14.[6]X U R,MA XT.S o m en e wr e t a r d e dn o n l i n e a rV o l t e r r a-F r e d h o l mt y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t i e sw i t hm a x i m a i n t w ov a r i a b l e sa n d t h e i r a p p l i c a t i o n s[J].J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n dA p p l i c a t i o n s,2017,2017(1):1-25.[7]D I N G XL,A HMA DB.A g e n e r a l i z e dV o l t e r r a-F r e d h o l mi n t e g r a l i n e q u a l i t y a n d i t sa p p l i c a t i o n s t o f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[J].A d v a n c e s i nD if f e r e n c eE q u a t i o n s,2018(1):1-8.[8]Z H E N GB.S o m e n e wG r o n w a l l-B e l l m a n t y p e a n dV o l t e r r a-F r e d h o l mt y p e f r a c t i o n a l i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s a n d t h e i r a p p l i c a-t i o n s i n f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[J].I A E N GI n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2018,48(3):288-296.[9]Z H E N GB.S o m en e wf r a c t i o n a l i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s i n t h e s e n s e o f c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e[J].E n g i n e e r i n g L e t-t e r s,2019,27(2):287-294.[10]D O U B B IB M,T A N GJ.O ns o m eV o l t e r r a-F r e d h o l m a n d H e r m i t e-H a d a m a r d-t y p ef r a c t i o n a l i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s[J].J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n dA p p l i c a t i o n s,2022(1):1-20.[11]B U T TS I,Y O U S A FS,A K D E M I R A O,e t a l.N e w H a d a m a r d-t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t i e sv i a a g e n e r a l f o r mo f f r a c t i o n a li n t e g r a l o p e r a t o r s[J].C h a o s,S o l i t o n s a n dF r a c t a l s,2021,148:111025.[12]A L S A L AM IO M,S A HO OSK,T A R I Q M,e t a l.S o m e n e wf r a c t i o n a l i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s p e r t a i n i n g t o g e n e r a l i z e d f r a c-t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r[J].S y mm e t r y,2022,14(8):1691.[13]K I L B A SA A,MA R I C H E V OI,S AMK OSG.F r a c t i o n a l i n t e g r a l s a n d d e r i v a t i v e s:T h e o r y a n dA p p l i c a t i o n s[M].M i n s k:S c i e n c e a n dT e c h n i c a,1987.[14]K A R A H,A L IM A,B U D A K H.H e r m i t e-H a d a m a r d-t y p e i n e q u a l i t i e s f o r i n t e r v a l-v a l u e dc o o r d i n a t e dc o n v e xf u n c t i o n si n v o l v i n gg e n e r a l i z e d f r a c t i o n a l i n t e g r a l s[J].M a t h e m a t i c a lM e t h o d s i n t h eA p p l i e dS c i e n c e s,2021,44(1):104-123.O nd e l a y i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s o fV o l t e r r a-F r e d h o l mt y p ef o rH a d a m a r d f r a c t i o n a l i n t eg r a l sHA N X i a o y u e,X U R u n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,Q u f uN o r m a lU n i v e r s i t y,273165,Q u f u,S h a n d o n g,P R C)A b s t r a c t:I nt h i s p a p e r,s o m en e w V o l t e r r a-F r e d h o l m t y p ef r a c t i o n a l i n t e g r a l i n e q u a l i t i e sa r ee s t a b-l i s h e d.T h e y c a nb eu s e da se f f e c t i v et o o l st os t u d y t h e p r o p e r t i e so fs o l u t i o n so f f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d f r a c t i o n a l i n t e g r a l e q u a t i o n s.A p p l i c a t i o n s a r e g i v e n t o i l l u s t r a t e t h e v a l i d i t y o f t h e r e s u l t s.K e y w o r d s:V o l t e r r a-F r e d h o l mt y p e i n e q u a l i t y;f r a c t i o n a l i n t e g r a l i n e q u a l i t y;n o n l i n e a r;H a d a m a r d f r a c-t i o n a l i n t e g r a t i o n。

《BlockPulse函数法求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程》范文

《Block Pulse函数法求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程》篇一一、引言非线性Fredholm-Volterra积分微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、工程、生物和金融等多个领域。

然而，由于这类方程的复杂性，传统方法往往难以解决。

本文提出一种新的求解方法——Block Pulse函数法，以求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程。

二、问题描述考虑一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程，其一般形式为：其中，F为非线性函数，g(t)和h(t)为已知函数。

本文的目标是利用Block Pulse函数法求解该类方程。

三、Block Pulse函数法Block Pulse函数法是一种基于离散化思想的数值求解方法。

该方法将连续的积分区间划分为若干个离散的子区间，每个子区间内采用Block Pulse函数进行逼近。

通过离散化处理，将连续的积分微分方程转化为离散的线性方程组，从而简化求解过程。

四、求解过程1. 将积分区间划分为N个等距的子区间，每个子区间内采用Block Pulse函数进行逼近。

2. 将非线性Fredholm-Volterra积分微分方程转化为离散的线性方程组。

3. 利用适当的数值方法（如高斯消元法、迭代法等）求解离散的线性方程组，得到解的近似值。

4. 对得到的近似解进行后处理，如误差分析、收敛性检验等。

五、实例分析以一个具体的非线性Fredholm-Volterra积分微分方程为例，采用Block Pulse函数法进行求解。

通过对比求解结果与实际解，验证了该方法的有效性和准确性。

同时，对不同离散化程度下的求解结果进行了分析，探讨了离散化程度对求解精度和计算效率的影响。

六、结论本文提出了一种基于Block Pulse函数法的非线性Fredholm-Volterra积分微分方程求解方法。

该方法通过将连续的积分区间离散化，将复杂的非线性问题转化为简单的线性问题，从而简化了求解过程。

谱galerkin方法求解volterra积分微分方程

谱galerkin方法求解volterra积分微分方程引言：Volterra积分微分方程是一类重要的非线性微分方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

谱Galerkin方法是一种有效的数值求解该类方程的方法。

本文将介绍Volterra积分微分方程的基本概念，并详细阐述谱Galerkin方法的原理和求解步骤。

第一部分：Volterra积分微分方程的基本概念Volterra积分微分方程是一种同时包含积分和微分项的方程，通常形式为：y(t) = f(t) + ∫[a,b] K(t,s)y(s)ds其中，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数，K(t,s)是已知的核函数，[a,b]是积分区间。

该方程描述了未知函数y(t)与其自身的积分关系。

第二部分：谱Galerkin方法的原理谱Galerkin方法是一种基于函数空间的数值求解方法，其基本思想是将未知函数y(t)表示为一组基函数的线性组合，通过求解系数来逼近方程的解。

在谱Galerkin方法中，选择合适的基函数对于求解精度至关重要。

第三部分：谱Galerkin方法的求解步骤1. 选择合适的基函数集合，常用的基函数包括Legendre多项式、Chebyshev多项式等。

2. 将未知函数y(t)表示为基函数的线性组合，即y(t) = Σi=1 to Nciφi(t)，其中ci为待求系数，φi(t)为基函数。

3. 将未知函数的表示代入Volterra积分微分方程，得到一组关于系数ci的代数方程。

4. 利用数值方法求解代数方程，得到系数ci的近似解。

5. 将近似解代入未知函数的表示式，得到方程的近似解y(t)。

第四部分：数值实例考虑求解如下Volterra积分微分方程：y(t) = t + ∫[0,t] (t-s)y(s)ds取基函数集合为Legendre多项式，选择N=5，利用谱Galerkin方法求解该方程。

通过数值计算，得到方程的近似解为y(t) = t + 0.5t^2。

第二类Volterra积分方程的一种特殊解法

第二类Volterra积分方程的一种特殊解法王金婵【摘要】In this paper,we study the method of solving the second kind of Volterra integral equations,propose a new numerical method for solving Volterra integral equations based on spectral method,Legendre preparation method is fully applied and a rigorous error analysis is done.The results show that the numerical error is the index fell.When kernel function and the original function is sufficiently smooth%研究了求解Volterra型积分方程的方法,重点介绍了基于谱方法解决Volterra型积分方程的一种新的数值解法,legendre配制法得到充分的应用,并进行了严格的误差分析,表明在核函数和原函数充分光滑时,数值误差是指数下降的.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2012(028)004【总页数】3页(P11-13)【关键词】legendre谱方法;Volterra积分方程;收敛性分析【作者】王金婵【作者单位】德州学院数学系,山东德州253023【正文语种】中文【中图分类】O175.5首先考虑第二类Volterra积分方程其中k（x，s，u（s））是核函数.假定（1）式的解充分光滑，在此情况下，有必要利用高次数值方法例如谱方法来解方程（1）.对于方程（1），现已有很多数值方法例如配制法、内积积分法，见Brunner［1］.然而，很少有人提及利用谱逼近法，在文献［2］中，作者用chebyshev谱方法在多重代数精度下求解第一类，但这些方法理论上不能获得高次精度.这种方法一直未能得到很好的应用.众所周知，Fredholm方程类似边界值问题见文献［5］，因此，许多边界值问题有效的数值方法例如谱方法能直接用来解决Fredholm方程，而方程（1）类似初值问题，因此用谱方法解是非常困难的.主要原因在于方程（1）是一个局部方程而谱方法用到全部基函数.主要困难在于如何执行这种算法使其能最终得到精确谱.此外，方程（1）的数值解法有可能不同于标准初值问题.从这个意义上说，前者需要储存网格点的所有值而后者只需固定数目网格点的信息.对于方程（1）的这种储存，更加可以接受应用谱方法的全局基函数.不失一般性，假定解的区域为［－1，1］，第二类线性积分方程一维形式如下设定N＋1个配置点作为Legendre Gauss点集假定方程（2）在xi处成立，则有得到高次精度的主要困难在于解（3）式中的积分项，特别的，对于xi充分小的值，u（s）有很少的信息可以利用，为此，把积分区间［－1，xi］转换到［－1，1］上，然后选择恰当的求积规则.事实上，首先作一个线性变换则（3）式转换为然后利用N＋1个点的Gauss积分法，以及Legendre权重｛ωi｝，则有其中其中｛θj｝j＝0，…N，与配置点相一致.用ui，0≤i≤N代替u（s（xj，θj）），用lagrange插值多项式表示u即.其中Fj是第j个lagrange基函数，代入（7）式，得从（8）式可以看出，为了计算u（xi）的近似值，需要的完全解信息和的半局部信息.其中－1≤s（xi，θj）≤xi，这不同于配制法或内积积分法，原因在于它们用到和的半局部信息.谱配制算法的执行令得到方程的矩阵形式其中矩阵A中元素如下给出下面讨论Fj（s（xi，θp）的计算效率，由于αp，j是Fj的离散的多项式系数，它的递推关系如下（见文献［5］）其中由（10）式和（11）式可得结合LP（s）的递推公式，能有效的得出Fj（s（xi，θp）），这种情况也可以推广到非线性方程及二维情况（见文献［3］）.下面从数值方面对Volterra方程进行收敛性分析，目的在于表明它的收敛率是指数型的，既谱精度可以从以提出的谱逼近中得到.引理1［5］假设N＋1个点Gauss求积公式，及lagrange权重应用积分内积uφ，其中u∈Hm（I），I＝（－1，1）m≥1，φ∈PN，则存在不依赖于N的常数C，使得其中引理2［5］假定u∈Hm（I），INu表示与它的N＋1个Gauss点相关的插值多项式，即则引理3［5］假定Fj（x）是第N个Gauss点相关的Lagrange插值多项式，则其中是一个有界常量.引理4（Gronwall不等式），如果非负积分函数E（t）满足其中 G（t）是可积函数，则定理1 令u是Volterra方程（2）的精确解，假定其中uj由（8）给出，Fj（x）是同高斯点相关的第j个Lagange基函数，若，则对于这里N充分大，s（xi，θ）由（6）式给出，C是不依赖于N的常数（证明见文献［3］）.由定理1知，收敛速度似乎是不可以选择的，应为Ο（Nm），而不应为（11）式给出的，如果引理3的估计能够进一步改进，这个结果应该是正确的，一个可能的改进是证明，假设这是正确的，则在定理1中应用‖J1‖L1（I）＝O（N－m），在这种情况下，收敛阶O（N－m）能够得到.本文总结了Volterra积分方程的解法，并对他们的优缺点进行分析.同时给出了不同解法的收敛情况.重点介绍了基于谱方法解决二维第一类型Volterra积分方程的数值解法，借助离散Gronwall不等式，给出了一系列漂亮的结果.【相关文献】［1］H.Brunner.Couocation Methods for Volerra Integral and Related Functional Equations Methods［M］.Cambridge University Press，2004.［2］H.Fujiwara.High－accurate Numerical Methed for Integral Equations of the First Kind under Muttipleprecision Arithmetic［M］.Preprint RIMS，kyoto，University，2006. ［3］T.Tang，X.Xu，J.Cheng.On Spectral Methods for Volerra Type Integral Equations and the Convergence Analysis［J］pwl Math，2007.［4］H.C.Tian.Spectral Methods for Volerra Integral Equations［M］.Msc Thesis，Simon Fraser University，1995.［5］C.Caunto，M.Y.Hussaini，A.Quarteroni，etal.Spectral Methodes Fundamentals inSingle Domains［M］.Springer－Verlag，2006.。

一类含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式

一类含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式黄春妙;王五生【摘要】建立一类新的含有求最大运算的非线性时滞Volterra-Fredholm型积分不等式,式中非线性函数没有要求单调性.为了给出未知函数的估计,采用单调化技巧,构造单调化序列,使得后一项比前一项具有更强的单调性.利用分析技巧,给出不等式中未知函数的估计.其结果可以用来研究相应类型的微分积分方程.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)003【总页数】6页(P382-387)【关键词】Volterra-Fredholm型积分不等式;求最大运算;迭代积分;分析技巧【作者】黄春妙;王五生【作者单位】河池学院数学与统计学院,广西宜州546300;河池学院数学与统计学院,广西宜州546300【正文语种】中文【中图分类】O175.5Gronwall－Bellman不等式［1－2］是研究微分方程、积分方程解的存在性、有界性、稳定性、唯一性和不变流型等定性性质的重要工具.在过去几十年，数学工作者出于各种研究目的建立了大量既有用又有趣的积分不等式(参见文献［3－16］及其参考文献).B.G.Pachpatte［3］为了研究Volterra－Fredholm型积分方程解的性质，建立了具有时滞的线性Volterra－Fredholm型积分不等式Q.Ma等［5］研究了具有时滞的非线性Volterra－Fredholm型积分不等式A.Golev等［6］讨论了具有最大运算的初值问题为了研究这个问题解的性质，需要建立一种具有最大运算的积分不等式作为研究它的工具.最近，J.Henderson等［7］研究了下面的具有最大运算的积分不等式Y.Yan［8］进一步研究了下面的较为复杂的具有最大运算的积分不等式本文受文献［5，8］的启发，讨论了一个新的具有最大运算的时滞非线性多重积分不等式式中k、h是正常数.(4)式没有要求φi(i=1，2，3)具有单调性，为了给出未知函数的估计，文中首先采用了单调化技巧，构造单调化序列，使得后一项比前一项具有更强的单调性.即利用非单调函数φi(z)构造出单调函数wi(z)，并且w2(z)/w1(z)，w3(z)/ w1(z)，w3(z)/w2(z)也都是单调函数.然后利用变量替换技巧、不等式放大技巧、微分积分技巧、逆函数技巧、常量与变量的辩证关系，给出了不等式中未知函数的估计.最后利用不等式的研究结果给出了具有最大运算的Volterra－Fredholm时滞积分方程解的估计.约定R表示实数集合，R+=［0，+∞)，I=［t0，T］;C(M，S)和C1(M，S)分别表示定义于集合M，取值于集合S的所有连续函数的集合和所有连续可微函数的集合.α'(t)表示函数α(t)的导函数.定理1假设fi(t)，hi(t)∈C(I，R+)，i=1，2，3.假设α∈C1(I，I)是不减函数，且满足对任意t∈I有α(t)≤t;φ、φi都是R+上的函数，φ是严格增函数，且满足φ(t)=∞，对任意t＞0，φi(t)＞0.如果是严格增函数.假设H2(u)=0在［k，∞)上有一个解c.如果u(t)满足不等式(4)，那么u(t)有估计式其中－(i=1，2，3)和分别是Wi和H2的逆函数.证明令u(t):=φ(v(t))，则v(t)=φ－1(u (t)).由(4)式推出根据(10)～(12)式，可以看出wi(i=1，2，3)是连续、非负、单调不减函数，且满足关系式还满足wi+1(s)/wi(s)，i=1，2也是单调不减函数，即文献［14］中定义的比较单调性从(7)～(9)式看出函数Wi(i=1，2，3)是严格增函数，它们的逆函数存在，也是连续的增函数.由(10)～(12)和(13)式推出令z1(t)表示不等式(15)的右端，则它是区间I上正的不减函数.由不等式(15)得到求函数z1(t)的导函数，利用(16)式得不等式(18)两边同除w1(z1(t))得到先把不等式(19)中的t替换成τ，然后不等式(19)两边从t0到t进行积分，得到T1是任意选取的，W1由(7)式定义.令z2(t)表示不等式(20)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(20)式推出求函数z2(t)的导函数，利用(21)式和函数z2、W－11、w2/w1、w3/w1的单调性以及函数α的性质得到不等式(23)两边同除得到由(24)式推出令z3(t)表示不等式(25)的右端，则它是区间［t0，T1］上正的不减函数.由(25)式看出求z3(t)的导数，利用(26)式得对任意t∈［t0，T1］都有不等式(28)两边同除w3(W－11(W－12(z3(t))))/ w2(W－11(W－12(z3(t))))得积分不等式(29)两边得综合(21)、(26)和(30)式得到把(22)和(27)式代入(31)式得到由于T1是任意选择的，故由(32)式可以得到另一方面，由(17)式和z1的定义有由(33)和(34)式推出即根据H2的定义和定理1的假设，由(35)式得到由于定理假设H2是增函数，从上式看出z1(t0)＜c.把z1(t0)＜c代入(32)式，利用关系式(16)得到所求的估计式(6).现在考虑时滞Volterra－Fredholm型积分方程推论1假设β(t)∈C1(I，I)是严格增加的函数，且满足β(t)≤t.假设|x0|，h是正常数，x∈C(I，R).假设F1∈C(I×R2，R)，F2∈C(I×R，R)满足下列条件其中，f1(s)、h1(s)、h2(s)、φ1(s)和φ2(s)满足定理1的要求.假设函数是严格增函数，H3(t)=0有解c＞|x0|.如果x(t)是方程(36)和(37)在I上的解，那么有方程解的模的估计式其中，W1、W2、和与1中的定义相同.证明利用条件(38)和(39)，由方程(36)和(37)推出由于(42)式具有不等式(4)的形式，且满足定理1中的相应条件，利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估计式(41).【相关文献】［1］GRONWALL T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations［J］.Ann Math，1919，20:292－296.［2］BELLMAN R.The stability of solutions of linear differential equations［J］.Duke Math J，1943，10:643－647.［3］PACHPATTE B G.Explicit bound on a retarded integral inequality［J］.Math Inequal Appl，2004，7:7－11.［4］AGARWAL R P，DENG S，ZHANG W.Generalization of a retarded Gronwall－like inequality and its applications［J］.Appl Math Comput，2005，165:599－612.［5］MA Q，PECARIC J.Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra－Fredholm type integral inequalities［J］.Nonlinear Anal，2008，69:393－407.［6］GOLEV A，HRISTOVA S G，RAHNEV A.An algorithm for approximate solving of differential equations with maxima［J］.Comput Math Appl，2010，60(10):2771－2778. ［7］HENDERSON J，HRISTOVA S G.Nonlinear integral inequalities involving maxima of unknown scalar functions［J］.Math Comput Model，2011，53:871－882.［8］YAN Y.Nonlinear Gronwall－Bellman type integral inequalities with maxima［J］.Math Inequal Appl，2013，16(3):911－928.［9］吴宇，邓圣福.一类弱奇性Volterra积分不等式的推广［J］.四川大学学报(自然科学版)，2004，41(3):472－479.［10］吴宇.关于一类弱奇性Volterra积分不等式的注记［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2008，31(5):534－537.［11］周俊.关于一个积分不等式组的讨论［J］.四川大学学报(自然科学版)，2009，46(1):21－25. ［12］王五生，李自尊.一类新的非线性时滞积分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(2): 180－183.［13］侯宗毅，王五生.非线性三变量差分不等式及其应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2015，38(4):514－517.［14］PINTO M.Integral inequalities of Bihari－type and applications［J］.Funkcial Ekvac，1990，33:387－430.［15］王胜军，窦井波.Greiner算子在R2n+1上的Poin caré不等式及Hardy－Sobolev不等式［J］.广西师范大学学报(自然科学版)，2012，30(1):29－34.［16］黄裕建.Pachpatte离散不等式的一个推广［J］.重庆师范大学学报(自然科学版)，2013，30(4):99－103.。

二维Volterra-Fredholm积分方程数值算法研究及收敛性分析

二维Volterra-Fredholm积分方程数值算法研究及收敛性分
析
解加全;刘霄琪;张佳乐
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2022(39)6
【摘要】针对一类二维非线性Volterra-Fredholm积分方程,提出利用二维Block-Pulse函数为基函数进行数值求解。

首先,引入Block-Pulse函数的定义及基函数的向量表示形式;其次,根据二维Block-Pulse函数的不相交性和正交性推导了基向量的积分算子矩阵和乘积算子矩阵;然后,基于该算子矩阵将待求问题转化为一系列向量的乘积形式,利用配点法离散未知变量获得原问题的数值解;最后,通过两个具体的数值算例对所提算法的可行性和收敛性进行了验证。

【总页数】9页(P1012-1020)
【作者】解加全;刘霄琪;张佳乐
【作者单位】太原师范学院数学系;太原师范学院工程科学计算山西省高等学校重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.Legendre小波求非线性Volterra-Fredholm积分方程的数值解
2.用于积分方程解的函数值Padé-型逼近的代数性质和收敛性定理
3.第二类非线性Fredholm型
积分方程数值解的超收敛性4.二维Volterra-Fredholm型积分方程问题Taylor配置解法及误差分析5.各向异性网格下具有积分型边界条件的积分微分方程的超收敛性分析
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。