一次函数交点问题及面积计算问题

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一次函数有关的面积问题

《一次函数相关的面积问题》教学设计一、教学目标1.知识与技能：通过本节学习，巩固一次函数的图象与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求点的坐标或直线的解析式。

2、数学思考：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究,使学生理解一次函数图象特征与解析式的联系规律,体会分类思想、数形结合思想,化归思想和方程思想.3、问题解决：根据题中图形与坐标轴的交点求三角形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。

4、情感态度：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二、教学重点、难点重点：根据函数解析式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点的坐标或一次函数的解析式。

难点：①不规则图形面积的计算；②根据面积求点的坐标三、教学方法与手段的选择由于本节课重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

四、教学流程一、复习引入:1、一次函数24y x =-+与x 轴的交点A 的坐标是与y 轴的交点B 的坐标是 ________。

2、已知一次函数的图像与x 轴、y 轴的交于（－2，0）、（0，4）点，则这个函数的解析式为_____________。

3、直线24y x =-+与直线21y x =+的交点坐标是______。

二、中考题型示例题型一、利用解析式求面积例1：如图1，已知直线l ：24y x =-+，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

小结：类型1是求直线与两坐标轴所围成三角形面积（规则图形--变式1：如图2，已知直线l ：24y x =-+，点(1,2)C 在直线l 上，(1) 求OC 所在直线的解析式；(2) 求直线l 和直线OC 与x 轴所围成的图形面积。

小结：类型2是求两直线与坐标轴所成三角形面积（规则图形--公式法变式2：如图3，已知直线l ：24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 将变式1中的直线OC 向上平移1个单位长度得到直线PA ，点Q 是直线与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积。

一次函数与面积经典题解析

一次函数与面积经典题解析一次函数与面积经典题是数学中常见的问题之一，涉及到了一次函数的性质以及面积的计算方法。

在解析这类题目时，我们需要理解一次函数的特点，并运用相关的几何知识进行推导和计算。

一次函数是指形式为y = ax + b的函数，其中a和b是常数，且a 不等于0。

一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。

我们可以通过斜率和截距来确定一次函数的性质和图像。

在解析一次函数与面积题目时，常见的题型包括计算线段与坐标轴所围成的面积、计算两条直线所围成的面积以及计算曲线与直线所围成的面积等。

首先，我们来看计算线段与坐标轴所围成的面积。

假设已知线段的两个端点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。

由于线段与坐标轴平行，所以可以将其看作一个矩形。

根据矩形的面积公式，我们可以得到线段与坐标轴所围成的面积为|x2-x1| * |y1| 或 |x2-x1| * |y2|。

接下来，我们考虑计算两条直线所围成的面积。

假设两条直线的方程分别为y = ax + b1 和y = cx + b2。

我们可以首先求出两条直线的交点，设其坐标为(x0, y0)。

然后，我们可以将这个问题转化成计算两个梯形的面积之和。

其中一个梯形的上底为|x0-x1|，下底为|x0-x2|，高为|y0-y1|，另一个梯形的上底为|x0-x1|，下底为|x0-x2|，高为|y0-y2|。

最后，将两个梯形的面积相加，即可得到两条直线所围成的面积。

最后，我们来看计算曲线与直线所围成的面积。

假设曲线的方程为y = f(x)，直线的方程为y = mx + b。

我们可以首先求出曲线与直线的交点，设其坐标为(x0, y0)。

然后，我们可以将这个问题转化成计算一个梯形和一个三角形的面积之和。

梯形的上底为|x0-x1|，下底为|x0-x2|，高为|y0-f(x0)|，三角形的底为|x1-x2|，高为|f(x0)-mx0-b|。

最后，将梯形和三角形的面积相加，即可得到曲线与直线所围成的面积。

第12章一次函数期末复习一次函数的交点问题PPT课件(沪科版)

则方程组
x－y－3=0 2x－y＋2=0
的解是_x_=__－__5 y=－8
.
7.直线y=x＋2和直线y=x－3的位置关系是平行，由此可知方程组 x－y=－2解的情况为_无__解___.
x－y=3
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线
l1:y=
1 4
x＋
1 2
与直线l2:
y=kx＋3的图象相交
6.把方程x＋1=4y＋
x 3
化为y=kx＋b的情势，
正确的是( C ).
A．
1 3
1 4
B．
1 6
C．
1 6
1 4
D．
1 3
7.已知函数y=－x ＋m与y= mx－4的图象的交点
在x轴的负半轴上那么m的值为( D ).
A．±2
B．±4 C．2 D．－2
∵图象的交点在x轴上
∴ y=0 ∴ －x ＋m=0 ∴ x= m
( 2)两个一次函数的图象的交点
3.求一次函数的图象与坐标轴的交点的方法
(1)求一次函数的图象的与x轴交点坐标设y=0，变为求方程kx＋b=0的解
(2)求一次函数的图象的与y轴交点坐标
设x=0，变为求代数式kx＋b的值
(3)一次函数y=kx＋b的图象的与x轴交点
坐标为(
－
b k
，0
)
；
与y轴的交点坐标
C．( －1，－1) D．( －1，5)
12.如果直线y =kx＋b平行于直线 y=5x－m， y= kx＋b
则方程组 y= 5x－ m 的解的情况是( B ).
A．有无数解
B．无解
C．一组解
D．两组解
填空题 1.已知关于x的方程ax－5=7的解为x=1，则一次

一次函数和抛物线的相交问题

一次函数和抛物线的相交问题
一次函数和抛物线的相交问题通常涉及解析几何中的方程求解和图像分析。

当一次函数与抛物线相交时，它们的交点坐标是满足两个方程的解。

具体来说：
方程设置：设一次函数的方程为 (y = mx + b)，抛物线的方程为 (y = ax^2 + cx + d)。

方程联立：将这两个方程相等，得到 (mx + b = ax^2 + cx + d)。

方程化简：将上述方程化简为一元二次方程 (ax^2 + (c - m)x + (d - b) = 0)。

判别式判断：计算该一元二次方程的判别式 (D = (c - m)^2 - 4a(d - b))。

如果 (D > 0)，则有两个实数解，即一次函数与抛物线有两个交点；如果 (D = 0)，则有一个实数解，即一次函数与抛物线相切于一点；如果 (D < 0)，则没有实数解，即一次函数与抛物线不相交。

在实际问题中，还可能涉及到求交点坐标、面积计算等。

例如，如果已知一次函数和抛物线的交点坐标，可以进一步求出这些点构成的多边形的面积。

此外，抛物线与y轴的交点可以通过将 (x=0) 代入抛物线方程来求得。

解决一次函数和抛物线相交的问题，关键在于掌握一元二次方程的解法和对函数图像的基本理解。

通过代数方法求解方程组，可以得到交点的坐标，进而可以进行更深入的几何分析。

专题03 一次函数中的交点问题(解析版)

专题03 一次函数中的交点问题知识对接考点一、一次函数y=kx+b(k ≠0)中k,b 的符号对函数性质的影响 1.k 的符号决定函数的增减性: 当k>0时,y 随x 的增大而增大; 当k<0时,y 随x 的增大而减小.2.b 的符号决定函数的图象与y 轴交点的位置: 当b>0时,交点在y 轴的正半轴上; 当b=0时,交点在原点;当b<0时,交点在y 轴的负半轴上.专项训练一、单选题1．若2x =是关于x 的方程()00,0mx n m n +=≠>的解，则一次函数()1y m x n =---的图象与x 轴的交点坐标是（） A ．()2,0 B ．()3,0C ．()0,2D ．()0,3【答案】B 【分析】直线y =mx +n 与x 轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y =mx +n 的图象与x 轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y =-mx -n 的图象与x 轴的交点为（2，0），由于一次函数y =-mx -n 的图象向右平移一个单位得到y =-m （x -1）-n ，即可求得一次函数y =-m （x -1）-n 的图象与x 轴的交点坐标．【详解】解：∵方程的解为x =2， ∵当x =2时mx +n =0；∵一次函数y =mx +n 的图象与x 轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y =-mx -n 的图象与x 轴的交点为（2，0），∵一次函数y =-mx -n 的图象向右平移一个单位得到y =-m （x -1）-n ， ∵一次函数y =-m （x -1）-n 的图象与x 轴的交点坐标是（3，0），故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax +b =0 （a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y =ax +b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值．2．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点(2,0)-，则下列说法正确的是（）A ．0k <B ．0b <C ．方程0kx b +=的解是2x =-D ．y 随x 的增大而减小【答案】C 【分析】利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵图象过第一、二、三象限，∵k ＞0，b ＞0，y 随x 的增大而而增大，故ABD 错误；又∵图象与x 轴交于（−2，0）， ∵kx ＋b ＝0的解为x ＝−2，故C 正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质．3．如图，经过点()3,0B -的直线y kx b =+与直线42y x =+相交于点()1,2--A ，则420kx b x +<+<的解集为（）A ．3x <-B ．31x -<<-C ．12x >-D ．112x -<<-【答案】D 【分析】由图象得到直线y =kx +b 与直线y =4x +2的交点A 的坐标（-1，-2），求出直线y =4x +2与x 轴的交点坐标，观察直线y =kx +b 落在直线y =4x +2的下方且直线y =4x +2落在x 轴下方的部分对应的x 的取值即为所求．【详解】解：∵经过点B （-2，0）的直线y =kx +b 与直线y =4x +2相交于点A （-1，-2）， ∵直线y =kx +b 与直线y =4x +2的交点A 的坐标为（-1，-2）， ∵当x ＞-1时，kx +b ＜4x +2，当x ＜-12时，4x +2＜0，∵不等式kx +b ＜4x +2＜0的解集为-1＜x ＜-12．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =ax +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 4．如图，若一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交(,3),(,2)A m B n -两点，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，且5ABCS=，则不等式210k k x b x-+<的解集为（）A ．2x <-或01x <<B ．1x >或20x -<<C ．2x >或30x -<<D ．3x <-或02x <<【答案】D 【分析】根据题意可得21k k x b x+<，再由图象可得不等式的解集为x n <或0x m <<，根据(,3),(,2)A m B n -，可得CB 长为2，ABC 底边CB 上的高为m n -，然后由5ABCS =，可得5m n -=，根据反比例函数的特征可得32m n =-，可求出2,3m n ==-，即可求解．【详解】解：由题知，210k k x b x -+<，即为21k k x b x+<，由图象可知，不等式的解集为x n <或0x m <<， ∵(,3),(,2)A m B n -，∵CB 长为2，ABC 底边CB 上的高为m n -， ∵三角形的面积为12()52m n ⨯⨯-=，∵5m n -=，∵点(,3),(,2)A m B n -的图象在反比例函数2k y y=的图象上， ∵32m n =-，即23m n ， ∵5m n -=， ∵2,3m n ==-，∵不等式的解集为3x <-或02x <<．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数与不等式解集的关系，求出2,3m n ==-，利用数形结合的思想是解题的关键．5．一次函数2y x m =-+与2y x =+图象的交点位于第二象限，则m 的值可能是（） A ．-4 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】根据题意将两个函数联立方程组，再根据交点在第二象限列不等式组，即可求出m 的取值范围．【详解】解：∵一次函数y ＝-2x +m 和y ＝x+2图象相交，∵22y x m y x =-+⎧⎨=+⎩，解得2343m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∵交点位于第二象限，∵203403m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩①②，解不等式∵得2m <，解不等式∵得4m >-， ∵不等式的解集为42m -<<， ∵m 的值可能为1，故选B ．【点睛】本题考查了解不等式及两直线相交：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．6．如图所示，已知函数y ax b =+和y kx =的图象相交于点P ，则关于x ，y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是（）A ．42x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=-⎩C ．24x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩【答案】D 【分析】由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解. 【详解】解：∵函数y ＝ax +b 和y ＝kx 的图象交于点P 的坐标为（-4，-2），∵关于x ，y 的二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是42x y =-⎧⎨=-⎩．故选D ．【点睛】本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，明确交点坐标的含义与掌握数形结合的方法解题是关键.7．若直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，则它与直线21y x =-交点的横坐标a 的取值范围为（）A ．32a <B ．302a <<C ．1342aD ．14a >【答案】C 【分析】由直线2y kx k =++与x 轴的交点可得21k<-．分两种情况讨论，即可得20k -<<．联立两条直线解析式即可得交点横坐标32ka k，由k 的范围即可确定出a 的范围．【详解】解：直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，0k ∴≠．令20y kx k ，解得：20k xk，即210k，得21k<-． ∵当0k >时，解得2k <-，与题设矛盾； ∵当0k <时，解得2k >-，所以20k -<<．当直线2y kx k =++与直线21y x =-相交时，221kx kx ，解得：32kxk，即32ka k，又35(2)51222k k ak kk，20k ， 02k ， 224k，∴111422k ， ∴555422k ， ∴1531422k．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点B （﹣6，0），且与正比例函数y ＝13x 的图象交于点A （m ，﹣3），若kx ﹣13x ＞﹣b ，则（）A ．x ＞0B ．x ＞﹣3C ．x ＞﹣6D ．x ＞﹣9【答案】D 【分析】先利用正比例函数解析式,确定A 点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b （k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围. 【详解】解：把A （m ，﹣3）代入y ＝13x 得13m ＝﹣3，解得m ＝﹣9，所以当x ＞﹣9时，kx +b ＞13x ，即kx ﹣13x ＞﹣b 的解集为x ＞﹣9．故选D ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.9．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（）A ．x ＞-2B ．x ＜-2C ．2x ＞D ．2x ＜【答案】D 【详解】由函数y kx b =+和y kx b =-+的图象关于y 轴对称可由y kx b =+的图象得到函数y kx b =-+的图象如图所示，由图可知：函数y kx b =-+的图象位于x 轴之上的部分在点（2，0）的左侧， ∵不等式0kx b -+>的解集为：2x <. 故选D.【点睛】（1）函数y kx b =+和y kx b =-+的图象关于y 轴对称；（2）函数y kx b =+和y kx b =--的图象关于x 轴对称；（3）不等式0kx b +>的解集是函数y kx b =+的图象位于x 轴之上的部分图象所对应的自变量的取值范围；不等式0kx b +<的解集是函数y kx b =+的图象位于x 轴之下的部分图象所对应的自变量的取值范围.10．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＞﹣2D ．x ＜﹣2【答案】C 【分析】当y ＞0时，即函数图象在x 轴上方时对应的x 的取值范围，结合图象可求得答案．【详解】解：由图象可知当x ＝﹣2时，y ＝0，且y 随x 的增大而增大， ∵当y ＞0时，x ＞﹣2，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用一次函数与x 轴的交点坐标求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 二、填空题11．如果一次函数 y = ax + 4 与 y = bx - 2 的图象的交点在 x 轴上，那么经过点（1，1）的直线y =bax +c 的表达式为__．【答案】1322 y x=-+【分析】根据一次函数y =ax + 4 与y =bx - 2 的图象的交点在x 轴上可求出12ba=-，然后把(1，1)代入求出c即可．【详解】解：当y=0时，ax + 4=0 ，bx - 2=0，∵x=4a-，x=2b．∵y =ax + 4 与y =bx - 2 的图象的交点在x 轴上，∵4a-=2b，∵12ba=-，∵y =12-x +c，把(1，1)代入，得1=12-+c，∵c=32，∵1322y x=-+．故答案为：1322y x=-+．【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标，以及待定系数法求函数解析式，根据一次函数y =ax+ 4 与y =bx - 2 的图象的交点在x 轴上可求出12ba=-是解答本题的关键．12．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：∵k＜0；∵a＞0；∵关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；∵当x＜3时，y1＜y2中．则正确的序号有____．【答案】∵∵．【分析】根据一次函数的性质对∵∵进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对∵进行判断；利用函数图象，当x ＜3时，一次函数y 1＝kx +b 在直线y 2＝x +a 的上方，则可对∵进行判断．【详解】解：∵一次函数y 1＝kx +b 经过第一、二、三象限， ∵k ＜0，b ＞0，所以∵正确；∵直线y 2＝x +a 的图象与y 轴的交点在x 轴，下方， ∵a ＜0，所以∵错误；∵一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象的交点的横坐标为3， ∵x ＝3时，kx +b ＝x ﹣a ，整理得kx ﹣x ＝a ﹣b ，所以∵正确；当x ＜3时，y 1＝kx +b 图像在y 2＝x +a 图像的上方， ∵y 1＞y 2，所以∵错误．故答案为∵∵．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．13．如图，直线y x m =-+与()40y nx n n =+≠交点的横坐标为2-．则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的解集为______．【答案】42x -<<- 【分析】求出直线4y nx n =+与x 轴的交点，利用图象法即可解决问题；【详解】解：直线y x m =-+与4(0)y nx n n =+≠的交点的横坐标为2-，∴关于x 的不等式4x m nx n -+>+的解集为2x <-，40ynxn时，4x =-，∴不等式40x m nx n -+>+>的解集为42x -<<-．故答案为：42x -<<-．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题． 14．一次函数y kx b =-的图象如图所示，则关于x 的不等式(1)0k x b -->的解集为______．【答案】3x < 【分析】根据题意，先把y kx b =-向右平移1个单位，得到(1)y k x b =--，则结合图象可确定(1)0k x b -->时，图象所在位置，进而可得答案．【详解】解：根据题意，∵一次函数y kx b =-的图象与x 轴的交点为（2，0），把y kx b =-向右平移1个单位，得(1)y k x b =--， ∵(1)y k x b =--与x 轴的交点为（3，0）， ∵关于x 的不等式(1)0k x b -->的解集为3x <；故答案为：3x <．【点睛】本题考查了一次函数的平移，一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想进行分析．15．如图，点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，作AC ∵x 轴与C ，交一次函数4y x =-+的图象于B ．设点A 的横坐标为m ，当m =____________时，AB =1．【答案】43或23【分析】分别用m 表示出点A 和点B 的纵坐标，用点A 的纵坐标减去点B 的纵坐标或用点B 的纵坐标减去点A 的纵坐标得到以m 为未知数的方程，求解即可．【详解】解：∵点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，且点A 的横坐标为m ， ∵(,21)A m m + ∵AC ∵x 轴与C ， ∵(,0)C m ∵(,4)B m m -+ ∵1AB =∵|21(4)|1m m +--+= 解得，43m =或23故答案为43或23【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A 点横坐标和点的坐标特征求得A 、B 点纵坐标是解题的关键．三、解答题16．平面直角坐标系xOy 内，一次函数22y x =-经过点(1,)A m -和(,2)B n ．（1）求m ，n 的值；（2）求该直线与x 轴的交点坐标．【答案】（1）42m n =-⎧⎨=⎩；（2）(1,0)【分析】（1）分别将A 、B 两点代入一次函数22y x =-得到关于m ，n 的式子，即可作答；（2）借助依次函数与一元一次方程的关系进行求解，即将y =0代入函数即可作答．【详解】解：（1）将(1)A m -，和(2)B n ，代入一次函数22y x =-中，得122222m n =-⨯-⎧⎨=-⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩故答案为：42m n =-⎧⎨=⎩；（2）令0y =，得022x =- 解得1x =该直线与x 轴的交点坐标为(10)，；故答案为：(10)，．【点睛】本题主要考考查了根据一次函数方程计算坐标中的未知量，以及一次函数与一元一次方程的关系，属于基础题．17．已知(),2A n -，()1,4B 是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）反比例函数的解析式是__________，一次函数的解析式是__________；（2）AOB 的面积是__________；（3）关于x 的不等式0mkx b x+-<的解集是__________．【答案】（1）4y x=，22y x =+；（2）3；（3）2x <-或01x <<．【分析】（1）根据题意先求出反比例函数解析式，可得到2n =- ，根据A 、B 两点，即可求出一次函数的解析式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，可得()0,2C ，从而得到AOB AOC BOC S S S =+△△△，即可求解；（3）根据图象可得，当2x <-或01x <<时，mkx b x+<，即可求解．【详解】解：（1）∵(),2A n -，()1,4B 是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点， ∵4m = ，∵反比例函数解析式为4y x=；把(),2A n -代入4y x =，得：42n-= ，解得：2n =- ， ∵()2,2A --，把()2,2A --，()1,4B 代入y kx b =+，得：224k b k b ⎧-+=-⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=⎩ ， ∵一次函数的解析式为22y x =+；（2）如图，设直线AB 交y 轴于点C ，当0x = 时，2y = ， ∵()0,2C ， ∵112212322△=+=⨯⨯+⨯⨯=AOB AOC BOCS SS；（3）根据图象可知：当2x <-或01x <<时，mkx b x+<， ∵不等式0mkx b x+-<的解集是2x <-或01x <<．【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．18．已知直线y x b =+和1y ax =-交于点P (−2，1)，则关于x 的方程1x b ax +=-的解为___________．【答案】x =-2 【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．【详解】解：∵直线y=x+b和y=ax-1交于点P(−2，1)，∵当x=-2时，x+b=ax-1=1，即关于x的方程x+b=ax-1的解为x=-2．故答案为：x=-2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．19．如图，直线l1经过点A(0，4)和C(12，﹣4)，点B的坐标为(8，4)，点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M．（1）求直线l1的函数解析式；（2）若点M坐标为(1，103)，求APMS；（3）直线l2与x轴的交点坐标为，点P的移动过程中，k的取值范围是．【答案】（1）y＝﹣23x+4；（2）815；（3）(﹣2，0)，25≤k≤2．【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）根据M点的坐标求出直线l2的解析式，确定P点的坐标，即可求出∵APM的面积；（3）根据直线l2的解析式，求出与x轴的交点即可，根据点P在AB上，分别与点A和点B重合时求出临界值即可确定k的取值范围．【详解】解：（1）∵直线l1经过点A（0，4）和C（12，﹣4），设直线l1的解析式为y＝sx+t，代入A点、C点坐标，得4124ts t=⎧⎨+=-⎩，解得234st⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∵直线l1的解析式为y＝﹣23x+4；（2）∵点M坐标为(1，103)，且点M在直线l2：y＝kx+2k（k≠0）上，∵k+2k＝103，∵k＝109，∵直线l2的解析式为y＝109x+209，∵点A(0，4)，点B (8，4)，∵AB//x，当y=4时，109x+209=4，∵x=85，∵P点的坐标为(85，4)，∵S∵APM＝12×(85﹣0)×(4﹣103)＝815；（3）∵直线l2：y＝kx+2k（k≠0），∵当y＝0时，k＝﹣2，∵直线l2与x轴的交点坐标为(﹣2，0)，∵点P在线段AB上，∵当点P与A点重合时，2k＝4，解得k＝2，当点P与B点重合时，8k+2k＝4，解得k＝25，∵k的取值范围是25≤k≤2，故答案为：(﹣2，0)，25≤k≤2．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，以及一次函数的性质，熟练使用待定系数法求解析式及用临界值法求取值范围是解题的关键．20．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．【答案】（1）y＝x+5；（2）点C的坐标为（﹣3，2）；（3）x＞﹣3【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；（3）根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣kx+b经过点A（﹣5，0）、B（﹣1，4），∵504k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解方程组得15kb=⎧⎨=⎩．∵直线AB的解析式为y＝x+5；（2）∵直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，∵524y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得32xy=-⎧⎨=⎩．∵点C的坐标为（﹣3，2）；（3）由图可知，关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集是x＞﹣3．【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式求解、二元一次方程组的求解和一次函数与一元一次不等式的关系，准确计算是解题的关键．21．如图，直线13y x =+与直线243y mx =+交于点M （﹣1，2），与x 轴分别交于点A ，B ，与y 轴分别交于C ，D ．（1）根据图像写出方程组12343y x y mx =+⎧⎪⎨=+⎪⎩的解是__________．（2）根据函数图像写出不等式433x mx +≤+的解集_________．（3）求直线AC ，直线BD 与x 轴围成的∵ABM 的面积．【答案】（1）12x y =-⎧⎨=⎩；（2）1x ≤-；（3）5【分析】（1）二元一次方程组的解根据两条直线交点坐标即可求得；（2）将题干转化为12y y ≤，然后根据图像即可判断；（3）将点M （﹣1，2）代入243y mx =+求得m 的值，然后根据题意求出点A ，B 的坐标．然后根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）根据题意，两直线交点为点M （﹣1，2），所以方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩；（2）由题意得，433x mx +≤+即为12y y ≤，根据图像可以判断出当1x ≤-时，12y y ≤，故答案为1x ≤-；（3）对于13y x =+，当0y =时，03x =+，解得3x =-，故A 点坐标为A （﹣3，0），将点M （﹣1，2）代入243y mx =+，得423=-+m ，解得23m =-，∵22433y x =-+，∵对于22433y x =-+，当0y =时，24033x =-+，解得2x =，故B 点坐标为B （2，0），∵5AB =，∵ABM 的高为2M h y ==， ∵1152522ABMSAB h ==⨯⨯=．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式，关键是掌握交点在本类题型中的重要意义，熟悉掌握一次函数的基本性质是解题的关键．22．如图，已知一次函数12y ax =+与21y x =-的图象交于点(2,1)A ，（1）求a 的值；（2）若点C 是直线21y x =-上的点且AC =C 的坐标；（3）直接写出210y y >>时，x 的取值范围．【答案】（1）12a =-；（2）(4,3)C 或(0,1)-；（3）24x <<【分析】（1）把点(2,1)A 代入12y ax =+，即可求解；（2）如图，设(,1)C x x -，作//CM y 轴，//AM x 轴交于M ，则ACM ∆是等腰直角三角形，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；（3）根据图像得出当210y y >>时，需要同时满足两个条件，21y y >和10y >，此时2,x ＞且,x ＜4问题得解．【详解】解：（1）∵交点(2,1)A 在直线1y 上 ∵221a += 解得12a =-；（2）如图，设(,1)C x x -作//CM y 轴，//AM x 轴交于M ，则ACM ∆是等腰直角三角形，且2CM AM x ==-，则222(2)(2)x x -+-=， ∵2(2)4x -=，∵22x -=±∵4x =或0， ∵(4,3)C 或(0,1)-；（3）由图像得，当210y y >>时，x 的取值范围为：24x <<．【点睛】本题考查了一次函数图象点的意义，数形结合思想，勾股定理，函数与不等式等知识点，综合性较强，理解好函数图象上点的意义，函数与不等式关系是解题关键． 23．如图，直线1:1l y x =+与直线22:3l y x a =-+相交于点(1,)p b ；（1）求出a,b 的值；（2）根据图象直接写出不等式2013x x a <+<-+的解集；（3）求出ABP ∆的面积.【答案】(1) a=83，b=2；（2）-1<x <1；（3）5.【分析】（1）把P 点坐标代入y=x+1可得b 的值，继而代入23y x a =-+可求a 的值；（2）根据两函数图象的交点坐标及y=x+1与x 轴的交点可得答案；（3）首先求出点A 、B 的坐标，由此计算AB 的长，再由点P 的坐标，即可计算出ABP ∆的面积．【详解】解：（1）∵直线l 1：y=x+1过点P （1，b ）， ∵b=1+1=2；把点P （1，2）代入23y x a =-+中得a=8 3（2）∵y=x+1与x轴交于点（-1，0），∵在x=-1的左边x=1的右边的图象满足不等式2013x x a <+<-+，∵不等式2013x x a<+<-+的解集是-1<x<1（3）在2833y x=-+中，当y=0时，x=4∵点B的坐标是(4,0)又A（-1，0），∵AB=4+1=5，∵点P（1，2），∵ABP∆的面积为：12×5×2=5．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式即可．。

一次函数与面积问题

一次函数常与三角形或四边形的面积相结合进行考查，两种类型的题目比较常见：（1）由函数图像求面积；（2）由面积求点坐标。

遇到第一种类型题目时，找准三角形的底和高是解题的关键，特别是遇到钝角三角形。

如果无法直接求解，可以利用割补法、铅锤法等方法进行转化。

遇到第二种类型题目时，要特别注意，很容易出错，不要忘记使用绝对值。

01类型一：由函数图像求图形面积例题1：如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，-1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积.分析：求l2的函数解析式，利用待定系数法，已知点B（4，0）、点C （3，-1.5），代入解析式中求出K、b得值即可得到一次函数解析式。

求△ABD的面积，三角形有一边在x轴上，求三角形的面积可直接利用三角形的面积公式，选择x轴上的线段AB为底，那么点D纵坐标的绝对值即为三角形的高，因此需要求出点B坐标。

点B是两直线的交点，联立方程组即可求得点B坐标。

本题主要是有函数图像求得三角形的面积，属于基础题。

02类型二：由面积求点坐标例题2：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC 的面积是△OAC的面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求△AOC的面积，由题可知该三角形可选OC作为底，点A的横坐标的绝对值即为该三角形的高，点A与点C坐标已知，可通过三角形的面积公式直接求出。

（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的1/4时，根据面积公式即可求得M的横坐标的绝对值，然后代入解析式即可求得M的坐标．由面积求点坐标时，一定要注意绝对值的使用，注意分情况进行讨论。

一次函数与二次函数的面积问题

一次函数与二次函数的面积问题一、引言在高中数学中，我们学习了一次函数和二次函数，它们是数学中非常重要的概念。

本文将探讨一次函数与二次函数的面积问题，通过几个具体的例子，帮助读者理解并解决这类问题。

二、一次函数的面积一次函数又称为线性函数，其代数表达式为$y=ax+b$。

为了计算一次函数在特定区间上的面积，我们可以使用定积分的方法。

2.1一次函数的几何图像一次函数的几何图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与$y$轴的交点。

2.2一次函数的面积计算我们考虑一次函数$y=ax+b$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。

首先，我们需要确定该函数在该区间上的单调性。

如果$a>0$，则函数是递增的，如果$a<0$，则函数是递减的。

接下来，我们使用定积分的定义来计算面积。

一次函数的面积可以表示为$$S=\i nt_{x_1}^{x_2}(a x+b)dx$$根据定积分的性质，我们可以求解出这个积分。

2.3一次函数面积的例子让我们通过一个具体的例子来解决一次函数的面积问题。

例子：计算函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积。

解：首先，确定函数是递增的，因为斜率$a=2$是正数。

然后，我们计算积分：$$S=\i nt_{1}^{3}(2x+1)dx$$将积分求解出来，得到$S=8$。

因此，函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积为8。

三、二次函数的面积二次函数的代数表达式为$y=a x^2+bx+c$。

与一次函数类似，我们也可以使用定积分的方法计算二次函数在特定区间上的面积。

3.1二次函数的几何图像二次函数的几何图像是一条抛物线，其开口方向由二次系数$a$的正负决定，顶点决定了抛物线的最低（或最高）点。

3.2二次函数的面积计算我们考虑二次函数$y=ax^2+b x+c$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。

与一次函数类似，我们先确定函数在该区间上的单调性。

接着，我们使用定积分的定义来计算面积。

专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)

专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法：方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16．即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为（）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ，解得：a =4，又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0），由题意得：1332a ⨯⨯=，解得：a =±2，当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5；同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积．【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4，设A 点横坐标为a ，因为△AOB 的面积为6，所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1）将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。

一次函数与几何问题

一次函数与几何问题一、面积问题1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1223y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线2 (0)y kx b k =+≠经过点C （1，0）且与线段AB 交于点P ，并把△ABO 分成两部分．（1）求△ABO 的面积；（2）若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等，求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式。

2、如图，直线1l 过点A （0，4），点D （4，0），直线2l ：12+=x y 与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B 。

（1）、求直线1l 的解析式和点B 的坐标；（2）、求△ABC 的面积。

3、如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是y 1=x 和y 2=－2x+6，动点P （x ，0）在OB 上运动（0<x<3），过点P 作直线m 与x 轴垂直．（1）求点C 的坐标，并回答当x 取何值时y 1>y 2？（2）设△COB 中位于直线m 左侧部分的面积为s ，求出s 与x 之间函数关系式．（3）当x 为何值时，直线m 平分△COB 的面积？（10分）二、平移问题4、正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）。

①直线y=43x-83经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式， ③若直线1l 经过点F ⎪⎭⎫⎝⎛-0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ∆的面积.5、如图，在平面直角坐标系中，直线1l：x y 34=与直线2l ：b kx y += 相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴于点B ，且OB OA 21=。

（1）试求直线2l 函数表达式。

一次函数面积问题专题(含答案解析)

一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与*轴交于点B〔-6，0〕，交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。

2、直线y=*+3的图像与*轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两局部，求直线a的函数解析式。

3、直线PA是一次函数y=*+n的图像，直线PB是一次函数y=-2*+m〔m>n>0〕的图像，〔1〕用m、n表示A、B、P的坐标〔2〕四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O〔0，0〕、A〔2，1〕、B〔10，1〕，直线CD⊥*轴且△AOB面积二等分，假设D〔m，0〕，求m的值5、点B在直线y=-*+1上，且点B在第四象限，点A〔2，0〕、O〔0，0〕，△ABO的面积为2，求点B的坐标。

6、直线y=-*+1与*轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P〔a，〕在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，两直线y=0.5*+2.5和y=-*+1分别与*轴交于A、B两点，这两直线的交点为P〔1〕求点P的坐标〔2〕求△PAB的面积8、直线y=a*+b〔b>0〕与y轴交于点N，与*轴交于点A且与直线y=k*交于点M 〔2，3〕，如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求〔1〕这两条直线的函数关系式〔2〕它们与*轴围成的三角形面积9、两条直线y=2*-3和y=5-*〔1〕求出它们的交点A的坐标〔2〕求出这两条直线与*轴围成的三角形的面积10、直线y=*+3的图像与*轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两局部，求直线l的解析式。

11、直线y=2*+3与直线y=-2*-1与y轴分别交于点A、B〔1〕求两直线交点C的坐标〔2〕求△ABC的面积〔3〕在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，假设不能请说明理由。

一次函数与几何综合(题型齐全)

一次函数与几何图形综合考点一、面积问题一次函数求面积的常用方法：（1）直接法（公式法）适用于规则图形，三角形中至少有一边与坐标轴重合或平行时，常用直接法求面积；（2）割补法（分割求和、补形作差）适用于不规则四边形，将四边形分割成两个三角形，分别计算两个三角形的面积再求和。

或者将四边形放在一个规则图形中（需要时做辅助线），此时四边形的面积可以看作一个规则图形面积减去补充的规则图形面积；（3）铅锤法（底相同，高运算）适用于三边均不与坐标轴平行的三角形（不规则三角形）；（4）平行线面积转化适用于存在平行线的情况下，利用平行线的性质，平行线间的距离处处相等做高；题型一：直接求图形面积1、正比例函数()110y k x k =≠与一次函数()220y k x b k =+≠的图象的交点坐标为()43A ，，一次函数的图象与y 轴的交点坐标为()03B -，．(1)求正比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积．2、如图，一次函数5y x =-+和1y kx =-的图象与x 轴分别交于A 、C 两点，与y 轴分别交于B 、D 两点，两个函数图象的交点为点E ，且E 点的横坐标为2．(1)求k 的值；(2)不解方程组，请直接写出方程组51x y kx y +=⎧⎨-=⎩的解；(3)求两函数图象与x 轴所围成的ACE △的面积．3、如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求ABC 的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，直线132x m l y =+：与直线2l 交于点()23A -，，直线2l 与x 轴交于点()40C ，，与y 轴交于点B ，将直线l 2向下平移8个单位长度得到直线3l ，3l 与y 轴交于点D ，与1l 交于点E ，连接AD ．(1)求直线2l 的解析式；(2)求△ADE V 的面积；5、如图，直线l 1：y ＝x +m 与y 轴交于点B ，与x 轴相交于点F ．直线l 2：y ＝kx ﹣9与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，两条直线相交于点D ，连接AB ，且OA ：OC ：AB ＝1：3：．（1）求直线l 1、l 2的解析式；（2）过点C 作l 3∥l 1交x 轴于点E ，连接BE 、DE ．求△BDE 的面积．5、如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与正比例函数2y x =-的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，5OB =，点A 的纵坐标为4．(1)求一次函数的解析式；(2)点D 和点B 关于x 轴对称，将直线2y x =-沿y 轴向上平移8个单位后分别交x 轴，y 轴于点,M N ，与直线()0y kx b k =+≠交于点E ，连接DE ，DC ，求ECD 的面积．题型二：已知面积求点的坐标1、如图，一次函数y kx b =+与反比例函数a y x=的图象在第一象限交于点()4,3A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA OB =．(1)求一次函数y kx b =+与反比例函数a y x =的表达式；(2)已知点C 在x 轴上，且ABC 的面积是8，求此时点C 的坐标；2、如图，在平面直角坐标系中直线13:2l x m +与直线2l 交于点()2,3A -，直线2l 与x 轴交于点()4,0C ，与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线3l y ⊥轴．(1)求直线2l 的解析式和m 的值；(2)点P 在直线1l 上，当6PBC S = 时，求点P 坐标；。

一次函数交点问题及直线围成的面积问题

一次函数交点问题及直线围成的面积问题Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】一次函数：交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；1、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

2、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；3、已知直线m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ，直线n 过点（2，-2），且与y 轴交点的纵坐标是-3，它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD 的面积；（3）若直线AB 与DC 交于点E ，求△BCE 的面积。

4、如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6；（1）求△COP 的面积；（2）求点A 的坐标及p 的值；（3）若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。

5、已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y 轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D（1）求直线的解析式；（2）若直线与交于点P，求的值。

6. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。

一次函数面积问题

一次函数面积问题
一次函数是指形如y = kx + b 的函数，其中k 和 b 是常数。

如果我们将这个函数画成图像，可以得到一条直线。

一次函数的面积问题通常指的是求解一条直线与坐标轴所围成的面积。

具体来说，如果我们有一个一次函数y = kx + b，我们可以将其表示为一条直线。

这条直线与x 轴和y 轴交于两个点，分别为(0, b) 和(-b/k, 0)。

这两个点就是直线所围成的矩形的两个顶点，我们可以计算出这个矩形的面积。

矩形的面积等于矩形的长乘以宽。

在这个问题中，矩形的长就是直线与x 轴的交点的x 坐标的绝对值，即|-b/k|。

矩形的宽就是直线与y 轴的交点的y 坐标的绝对值，即|b|。

因此，我们可以将这个矩形的面积表示为：
```
A = |-b/k| * |b|
```
需要注意的是，如果直线的斜率k 是正数，那么这个矩形的面积就是正值。

如果直线的斜率k 是负数，那么这个矩形的面积就是负值，但是我们通常会取其绝对值。

这就是一次函数面积问题的解法。

需要注意的是，这个问题只适用于一次函数，对于其他类型的函数，可能需要使用其他的方法来计算面积。

一次函数中的面积问题

一次函数中的面积问题学情分析：本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。

文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。

研究目标与考点分析：研究目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式；2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决。

考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合。

研究重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用；2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

研究方法：讲练结合练巩固。

研究内容与过程：一、本节内容导入本节内容主要介绍了一次函数相关的面积问题，包括规则图形和不规则图形的求解方法，以及含参数问题的求解方法。

文章强调了在求解过程中，需要注意坐标的正负和线段的非负性。

二、典例精讲本节提供了三个典型例题，分别介绍了如何利用面积求解析式，如何求解含参数问题的面积，以及如何求解四边形的面积。

文章强调了在解题过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。

本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。

文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。

文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。

在研究过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。

同时，需要注意坐标的正负和线段的非负性。

通过讲练结合练，可以更好地巩固所学知识。

1、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,m)，且将△AOB分成两部分。

1）若△AOB被分成的两部分面积相等，则k=-2，b=2.2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k=-5，b=7.2、已知一次函数y=-2/3x+3的图像与y轴、x轴分别交于点A、B，直线y=kx+b经过OA的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S△AOB=S△DOC，求直线y=kx+b的解析式。

一次函数与面积结合问题解题技巧

一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧在数学中，一次函数是最基础的函数之一，它的图像是一条直线。

而面积则是一个二维概念，通常用来描述平面图形的大小。

一次函数与面积结合起来，可以帮助我们解决一些实际问题，例如求直线与X轴之间的面积、寻找最优解等。

在本文中，我们将介绍一些一次函数与面积结合问题的解题技巧。

一、基本概念在解决一次函数与面积结合问题时，首先需要了解一些基本概念。

一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

斜率表示函数的变化率，截距表示函数与Y轴的交点。

面积的计算公式为S = 底* 高，对于矩形和平行四边形，底和高即为长度和宽度；对于三角形，则一般取底边和高为两边。

二、求直线与X轴之间的面积当我们需要求一次函数与X轴之间的面积时，可以通过以下步骤进行：1. 找出函数与X轴的交点，即解方程kx + b = 0，得到交点的横坐标x0；2. 确定两个交点间的区间[a,b]，其中a为交点的横坐标的较小值，b为较大值；3. 计算函数在区间[a,b]上的积分，即∫[a,b] (kx + b)dx；4. 根据积分的结果，确定函数与X轴之间的面积。

对于函数y = 2x + 3，我们需要求函数图像在[1,3]上与X轴之间的面积。

解方程2x + 3 = 0，得到交点的横坐标为-3/2；然后计算∫[1,3] (2x + 3)dx = x^2 + 3x，将上限和下限代入，得到面积为10.5。

三、寻找最优解在一些实际问题中，我们需要找到最优解，即使得面积最大或最小的情况。

在这种情况下，我们可以通过一次函数的性质来解决问题。

假设我们需要用一根长度为L的绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大值。

设长方形的长为x，宽为y，则面积为xy。

根据题意，有2x + 2y = L，即x + y = L/2，可以将y表示为y = L/2 - x。

将y代入面积公式中，得到S = x(L/2 - x) = Lx/2 - x^2。

一次函数面积的常见求法

一次函数面积的常见求法讲我们以一次函数中的面积问题为切入点，来看看其背后蕴含的丰富解法．一．问题分析我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？本讲就主要研究后2类问题及其变式．二．实例感悟(1)两线与一轴即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．例1：已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．分析：显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y 轴围成的三角形．小结：我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．变式1：直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．解析：变式2：在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．解析：同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D 的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．变式3：直线y＝kx＋3(k＜0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，OB：OA＝3：4，点C 为直线上一动点，若△AOC面积为4，求点C坐标．分析：首先，可知点B坐标(0，3)，OB＝3，则OA＝4，再根据k＜0，确定图像经过一二四象限，A(4，0)，从而可求直线AB的解析式，画出图像，我们发现，△AOC 以AO为底，则高要用点C纵坐标的绝对值来表示．解答：(2)三线两相交即三条直线两两相交，求出三条直线围成的三角形面积．其实，这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的面积．由于此时的三角形的底边均为倾斜的，这就需要用到一种全新的方法——铅垂法，或称宽高法来求三角形的面积．例2：已知直线OA经过一三象限，A为第一象限内一定点，动点B不在直线OA上，且BA，BO不与y轴平行，求S△OAB分析：显然，这时候的三角形OAB的底并不在x轴，y轴上，即便求出底边长，高依旧是倾斜的，十分难算，因此，我们可以考虑割补法．如果采用补，补成一个矩形，减去周围三个小三角形的面积那也是可以的，但在今后，尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时，点的坐标不能确定，就无法适用，所以今天重点介绍铅锤法．什么是铅锤法呢，就以例2来说，我们可以过点B作一条铅锤线，即作BD⊥x 轴，与OA交于点C，则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差，此时，铅垂线BC反而转化为底边，再过点A作AE⊥x轴，则OA水平方向上的距离：即OE的长，可以看作OD与DE的和，或差，此时OD 反而看作△OBC的高，DE看作△ABC的高，则△OAB的面积即可看成是解答：为了让大家更直观的理解，将6种情况全部展示如下，后三种与前三种类似，故只给图，“无字证明”，可对照消化．以上几种情况，属于用多题一解进行验证，均选取OA水平方向的OE长为水平宽，过点B作铅锤线，以B点与OA交点C之间的距离作为铅锤高，从而得出了宽高公式，说的再透些，那么，这个公式能否通过一题多解来验证呢，答案当然是可以的，就以第一种情况为例．以上三图，O、A、B三点的位置均不变，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅锤高，则问题均可圆满解决．例2：已知A(－1，3)，B(1，1)，C(2，2)，求S△ABC解析：本题是最基本的练习，现用宽高法的三种不同形式都计算一遍来检验下．分析：本题解法较多，我们重点来研究铅锤法．显然，这样的点Q有2个，在射线AB 上，或者射线AC上．因为点A的坐标可以确定，那么OA的水平宽可以确定，又因为三角形面积确定，则铅锤高也确定，则问题最后转化为一个方程即可解决．解答：小结：从2种情况综合来看，我们不难发现，铅锤高的长度，就是两直线解析式的差的绝对值，这个结论在初三还会有更大作用．当然，本题还可以先求出△OAB的面积，从而求出OBQ1的面积，确定Q1的坐标，同理，求出△AOC的面积，从而求出△OCQ2的面积，确定Q2的坐标．最后，你发现Q1，Q2关于A对称了吗？Q1A＝Q2A，A是它们俩的中点哦．。

反比例函数与一次函数的交点及相关面积问题

例4、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B
两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x
的取值范围是（ c ）．
y
A．x＜－1 B．x＞2
① ②3
2
③④
C．－1＜x＜0，或x＞2 D．x＜－1，或0＜x＜2
1
－3
－2
－1
O
A
1
2
3
x
－1
B －2
－3
练习：如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函
2
2
3
二、利用交点求图形面积
例2、如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在
反比例函数 y k 的图像上。
x
（1）求m，k的值；
y
（2）求△AOB的面积
转化法：
S△AOB =S直角梯形ACDB
C
D
x
反比例函数与一次函数交点与面积有关的基本图形
y
A
y
AC
y
A
y
A
OB
x
BO
x
O
x
OC
x
B
B
y轴作垂线，垂足分别P、Q，若矩形
APOQ的面积为8，则这个反比例函数
的解析式为__y___8___． x
一、利用交点求函数解析式
例1、如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数
y=kx+b的图象和反比例函数y= m 的图象的两个交点，
直线AB与y轴交于点C．
x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
1、若反比例函数 y k 与一次函数y＝3x＋b都经过
点(1，4)，则kb＝__4__x_．