第08章 整数规划
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数学建模整数规划
x1 + x2 =6 最优解 A ( 0, 5 ) A
x2
D(2, 4) B(2.25, 3.75) 5x1 +9 x2 = 45
R
o
C ( 6, 0 )
9
x1
求解整数规划不宜采用枚举法。
整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。
一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用
图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小 异，就不再赘述。
销售店 B1 B2 B3
表 2－1 需求量（箱/周） 50 60 30
表 2－2
产量 制药厂 (箱/周) A1 A2 A3 A4 50 70 20 20
运资(元/箱) B1 3 10 1 4 B2 2 5 3 5 B3 3 8 10 3
解：建立数学模型
设：制药厂Ai 每周运到销售店Bj 的药品为xij 箱（i =1,2，3，4； j =1，2，3）；
第三步
主要特征就是定界，由各枝的最优值中选最大 值，称为定界。而该最大值，称为界。最优值称 为界的枝，称为界枝。 完成定界之后，即可得到这样的结论：若界枝 的最优解满足原整数规划的最优条件，则它也是 原整数规划的最优解。
第三步的具体做法为：进行定界，找出界枝。 若界枝的最优解就是原整数规划的最优解，则计 算过程便告结束；否则，回到第二步。
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 1 1 x1 , x 2 0
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 2 1 x1 , x 2 0
例2 某医疗器械厂生产A1和A2两种产品。出
x2
D(2, 4) B(2.25, 3.75) 5x1 +9 x2 = 45
R
o
C ( 6, 0 )
9
x1
求解整数规划不宜采用枚举法。
整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。
一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用
图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小 异，就不再赘述。
销售店 B1 B2 B3
表 2－1 需求量（箱/周） 50 60 30
表 2－2
产量 制药厂 (箱/周) A1 A2 A3 A4 50 70 20 20
运资(元/箱) B1 3 10 1 4 B2 2 5 3 5 B3 3 8 10 3
解：建立数学模型
设：制药厂Ai 每周运到销售店Bj 的药品为xij 箱（i =1,2，3，4； j =1，2，3）；
第三步
主要特征就是定界，由各枝的最优值中选最大 值，称为定界。而该最大值，称为界。最优值称 为界的枝，称为界枝。 完成定界之后，即可得到这样的结论：若界枝 的最优解满足原整数规划的最优条件，则它也是 原整数规划的最优解。
第三步的具体做法为：进行定界，找出界枝。 若界枝的最优解就是原整数规划的最优解，则计 算过程便告结束；否则，回到第二步。
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 1 1 x1 , x 2 0
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 2 1 x1 , x 2 0
例2 某医疗器械厂生产A1和A2两种产品。出
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
物流系统与物流工程第08章物流节点选址与网络布局.
i
(2)不可行区域约束
13 13
8.2.4选址问题中的距离计算
1.直线距离
y
E ij 2 2
d ( xi x j ) ( y i y j )
yj
终点 dij） 直线距离（
2.折线距离
d xi x j y i y j
R ij
yi
dij） 折线距离（
O
xi
xj
x
14 14
3 3
内容概要
第8章 物流节点选址与网络布局
8.1 节点选址问题概述 8.2节点选址问题的基本描述
8.3 常用节点选址模型
4 4
8.2.1节点选址的意义
选址在整个物流系统中占有非常重要的地位，主要属于物流管理 战略层的研究问题。选址决策就是确定所要分配的设施的数量、 位置以及分配方案。这些设施主要指物流系统中的节点，如制造 商、供应商、仓库、配送中心、零售商网点等。
8.2.3选址模型的分类
1.被定位设施的维度及数量 (1)根据设施的维数（三维，二维，一维） (2)设施选址的数量(单一或多个) 2.选址问题目标区域的特征 (1)连续选址 (2)网格选址 (3)离散选址
8 8
8.2.3选址模型的分类
3.选址成本 1)可行性/最优性 (1) Minisum目标函数 寻求整个设施选址的总和为最小，目标是优化全部 或者平均性能
max min C j ( X )
X j
5 6 7
中值=5.5
0
反中心点=2.5 中心点=3.5
11 11
8.2.3选址模型的分类
3.选址成本 2)固定权重与可变权重 3)被定位设施间有无相互联系 4)确定性与随机性 5)静态与动态
(2)不可行区域约束
13 13
8.2.4选址问题中的距离计算
1.直线距离
y
E ij 2 2
d ( xi x j ) ( y i y j )
yj
终点 dij） 直线距离（
2.折线距离
d xi x j y i y j
R ij
yi
dij） 折线距离（
O
xi
xj
x
14 14
3 3
内容概要
第8章 物流节点选址与网络布局
8.1 节点选址问题概述 8.2节点选址问题的基本描述
8.3 常用节点选址模型
4 4
8.2.1节点选址的意义
选址在整个物流系统中占有非常重要的地位，主要属于物流管理 战略层的研究问题。选址决策就是确定所要分配的设施的数量、 位置以及分配方案。这些设施主要指物流系统中的节点，如制造 商、供应商、仓库、配送中心、零售商网点等。
8.2.3选址模型的分类
1.被定位设施的维度及数量 (1)根据设施的维数（三维，二维，一维） (2)设施选址的数量(单一或多个) 2.选址问题目标区域的特征 (1)连续选址 (2)网格选址 (3)离散选址
8 8
8.2.3选址模型的分类
3.选址成本 1)可行性/最优性 (1) Minisum目标函数 寻求整个设施选址的总和为最小，目标是优化全部 或者平均性能
max min C j ( X )
X j
5 6 7
中值=5.5
0
反中心点=2.5 中心点=3.5
11 11
8.2.3选址模型的分类
3.选址成本 2)固定权重与可变权重 3)被定位设施间有无相互联系 4)确定性与随机性 5)静态与动态
整数线性规划理论
整数线性规划理论§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型整数线性规划。
目前所流行的求解整数规划的方法，往1.2如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为 21m in x x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
LINGO1.lg4 LINGO11.lg4③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为 21m in x x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。
LINGO2.lg4 LINGO21.lg4（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.4 求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2 分枝定界法对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。
通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。
管理运筹学讲义：整数规划
这样就把相应的线性规划的可行域分成两个部分，如图所示。 x2
5 4 3
x1=3 x1=4
• • • •
1
• • •
2
2
1
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35
2x1 + x2 =9
x1
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12
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第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题2相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20/7，Z2=226/7 问题3相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29
3
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第一节
整数规划问题
• 解：设x1为甲产品的台数，x2为乙产品的台数。
maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
• 不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题。
不考虑整数约束的最优解：x1 *=28/9， x2 * =25/9，Z * =293/9
• 舍入化整
x1 =3， x2 =3，Z =33，不满足约束条件5x1 +7 x2 ≤35，非可行解； x1 =3， x2 =2，Z =28，满足约束条件，是可行解，但不是最优解； x1 =4， x2 =1，Z =29，满足约束条件，才是最优解。
4
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17
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第二节
分枝定界法
问题9： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1≤2 x2 ≥4 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 x1=2 x1=3 x1=4
整数规划演示教案
这就是分支定界解法 中的分支含义
分支定界解法(3)
问题1 max z 40 x1 90 x2 ........(1) 9 x1 7 x2 56.............(2) 7 x 20 x 70...........(3) 1 2 s.t. x1 0, x2 0,..............(4) x1 4...........................(6)
问题1有 x1=4, x2=2.1
z1=349.0
0≤z*≤349
问题2有 x1=5, x2=1.571 z2=341.39 由于没有得到整数最优解,继续分解问题(1) 和问题(2)
分支定界解法(5) 先分解问题(1) 问题1有 x1=4, x2=2.1
问题(3) max z 40 x1 90 x2 ......(1) 9 x1 7 x2 56...........(2) 7 x 20 x 70.........(3) 2 1 s.t. x1 0, x2 0,............(4) x 4.......................(6) 1 x2 2.......................(8)
整数规划
整数规划（1） §1.整数规划问题的提出 整数规划: 若一个规划的最优解要求部分或全部决策 变量是整数 的问题 (Integer Programming),简称IP 纯整数规划: 整数规划中如果所有的变量都为非负整数, (Pure Integer Programming) 或称为全整数规划(All Integer Programming) 混合整数规划:若整数规划中仅一部分变量限制为整数, 则称为混合整数规划 (Mixed Integer Programming)
整数规划
Maxz=100x1+200x2 8x1+8x2<=24 2x1+6x2<=13 x1,x2>=0 x1,x2为整数
整数规划问题的基本描述及解决方法
分枝定界法求解例：
LP(1)
X1=1.25 x2=1.75 Z=475 X2<=1 X2>=2
LP(2)
X1=2 x2=1 Z=400 X1<=0
零件1
设备A 设备B 50 30
零件2
80 100
零件3
90 50
零件4
40 70
整数规划问题的应用案例分析求解
混合整数规划问题：
4、约束条件有n种可能值：约束方程右端不是一 个固定的常数，而是有k种可能的值的组合。在 约束条件中通常表示为：
a1x1+a2x2+…+anxn=b1y1+b2y2+…+bnyn
• 分别求出各分枝问题的最优解。若其最优解仍为非整数
解，继续分枝；若其最优解为整数解，以此整数解的目 标函数值为下界，判定哪个整数解为最优解。
方法要点：
• 变量的选取：优先选取较大分数值的变量作为分枝变量 • 分枝的选取：优先选取目标函数值最大的分枝继续分枝
整数规划问题的基本描述及解决方法
如前例： 整数线性规划模型：
LP(3)
X1=0.5 x2=2 Z=450 X1>=1
LP(4)
X1=0 x2=13/6 Z=2600/6
X2<=2 X2>=3
LP(5)
无可行解
LP(6)
X1=0 x2=2 Z=400
LP(7)
无可行解
整数规划问题的基本描述及解决方法
选址问题及隐枚举法
对项 Ai投 目 资 i1,2,3,4, 否, 则
则建立的数学模型
maxz 5x1 8x2 7.5x3 9x4
420x01 230x02 480x03 320x04 12000 s.t.225800x1x0184880x02x231050x03x039050x240x014 6090000
xi 0 或1，i 1,2,3,4
mm
min f (x)
aij xij
i1 j1
SEU 第八章 整数规划
第一节 整数规划 第二节 0-1规划 第三节 指派问题 第四节 整数规划的应用
h 1
SEU 第二节 0-1规划
p70例3-11
某道桥公司在同一时间内可参加A1、A2、A3、A4四项工程 的投标。这些项目要求的工期相同。公司根据招标文件和 本公司的技术水平对每项工程进行了仔细的研究和计算， 将各项工程的预期利润，主要工序的工程量及本企业的施 工能力见小表。问该公司对哪几种项目投标可能获得的总 利润最大？试建立这个问题的数学模型。
工程项目 预期利润（万元） 土石方量（m3） 混凝土量（m3） 其他材料（m2）
A1
5
A2
8
A3
7.5
A4
9
施工能力
2
4200 2300 4800 2300 12000
h
280 880 300 900 1600
2500 480 1500 5200 9000
SEU 第二节 0-1规划
• 建模
设
1, xi 0,
4 x
x
2
2
x
x
1
1
3
x
3
4
4
x
2
[管理学]整数规划 (2)
![[管理学]整数规划 (2)](https://img.taocdn.com/s3/m/ac852dec0508763231121251.png)
首先考虑工序2应当在工序3之前完成这个要求。如
果工序3在最后一个工作站4上完成，那显然是没有什
么问题，如果工序3分配在工作站3上完成则工序2就
不能分配在工作站4上完成，必须由工作站1,2,3上完
成，即
x21 x22 x23 x33
类似
x21 x22 x32 .
x21 x31
对其他工序顺序，有：
一般思想：
松弛问题的提出
考察这样的问题
min f ( x) (max f ( x)) 其中S是有限集 xs
xs
设A,B是两个有限集，且
A B
(2)
min f ( x)
xA
(1)
min f ( x)
xB
称问题(2)是问题(1)的松弛问题。显然(2)的最优值小于 等于问题(1)的最优值。那么求解方法呢？ 也许大家会认为，问题(2)的搜索范围大，所以(2)的求 解更难一些，这看法似乎有道理，但实际并非如此
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300
x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100
xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大
xj ≥ 0
yj 为0--1变量，i = 1,2,3
指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些 任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等 情况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务 ，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项
f上＝１４ f下＝１４
分枝定界法步骤：（称求解整数规划问题为Ａ，其相应线 形规划问题为Ｂ） １．求解问题Ｂ， 若Ｂ无解，则Ａ无解 若Ｂ有解，且符合整数要求，则Ｂ的解就是Ａ的解
整数线性规划理论(优选.)
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整数线性规划理论§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 整数规划特点（i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
LINGO1.lg4 LINGO11.lg4③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。
LINGO2.lg4 LINGO21.lg4（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.4 求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
整数规划 PPT课件
设xj为列车上装载pj的数量，则xj必为非负整数，根据该n货a船jx j最大b 可承载b吨货
物可知所有集装箱的重量之和必须b，故有约束条件：
j1 n
f
cjxj
j1
由对每个j种货物收费为cj，可知载货的总收入为：
n
该例的目标即使得目标函数f最m大ax化。f 综合i 1上cj述x j 分析可得如下整数规划问题：
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求解整数规划的理论基础
• 利用分解技术求解整数规划中的几个概念
• 分解
对于整数规划问题P，令F (P)表示P的m 可行域。对问题 P的子问题 P1, …, Pm，若满足下述条件： i 1 F(Pi ) F(P)
F(Pi ) F(Pj )
(1 i m,1 j m, i j)
则称P问题被分解成为子问题P1, …, Pm之和，最常用的方法就是两分法，例如若xj是P的0-1变量， 则问题P可以按照条件xj=0和xj=1分解成两个问题之和。
• 求解思路 • 由上述分析可知，舍入法一般是不可取的，当然如果对应线性规划的最优解恰好满足整数要求，则该 解也是整数规划的最优解，那么何时才能满足此要求呢？我们直接给出一个结论： 假设由整数规划问题除去整数要求之后得到的线性规划标准型中，等式约束个数等于决策变量个 数(m=n)，则此时的等式约束构成一个线性方程组Ax=b，如果det(A) = 1或-1，则解x一定是整数 向量，当然这种情况在解决实际问题的过程中一般还是比较少见的。 • 对于整数规划问题的解法，一般有利用分解技术的算法和不利用分解技术的算法 • 利用分解技术的算法有分枝定界法和针对0-1规划的隐枚举法 • 不利用分解技术的算法为割平面法和群论方法 • 针对特定的问题还有特定的简化方法，例如求解分派问题的匈牙利方法，等等。
整数规划1-概念、分支定界法
3
19
B2 : x1 5.00
图解法分析：
z 340 z 341
4
x2 1.57 z2 341 x2 2 x2 1
B5 : x1 5.44 B6 : x2 1.00 无可行解 z5 308
32Leabharlann 1B50 1 2 3 4 5 6 7
20
分支定界的全过程：
B : x1 4.81 x2 1.82 z 0 356
4
x1 4.81
x1 4 x2 1.82 z0 356 x1 5
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
3
2
1
B1 : x1 4
0 1 2 3 4
B2 z 0 z 349
5 6 7
18
图解法分析：
不是问题A解 而 z4 z B1 : x1 4.00
11
解的特点
整数线性规划及其松弛问题比较，前者 的最优解的目标函数值不会优于后者的。 例：考虑下面的整数规划问题
max z x1 4 x2 2 x1 3 x2 3 x1 2 x2 8 x , x 0 且取整数 1 2
12
从图上分析：
A1
P
A2 A4
B3 : x1 4.00 x2 2.00 z3 340
B4 : x1 1.42 x2 3.00 z 4 327
x2 1
*
x2 2
B5 : x1 5.44 B : 6 z z 340 x2 1.00 z5 308 无可行解
22
步骤：
步骤1、整数规划问题为A，其松弛问题为B 设 Z 为问题A的初始下界（min问题 为上界） 步骤2、求解问题B，有三种情况：
19
B2 : x1 5.00
图解法分析：
z 340 z 341
4
x2 1.57 z2 341 x2 2 x2 1
B5 : x1 5.44 B6 : x2 1.00 无可行解 z5 308
32Leabharlann 1B50 1 2 3 4 5 6 7
20
分支定界的全过程：
B : x1 4.81 x2 1.82 z 0 356
4
x1 4.81
x1 4 x2 1.82 z0 356 x1 5
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
3
2
1
B1 : x1 4
0 1 2 3 4
B2 z 0 z 349
5 6 7
18
图解法分析：
不是问题A解 而 z4 z B1 : x1 4.00
11
解的特点
整数线性规划及其松弛问题比较，前者 的最优解的目标函数值不会优于后者的。 例：考虑下面的整数规划问题
max z x1 4 x2 2 x1 3 x2 3 x1 2 x2 8 x , x 0 且取整数 1 2
12
从图上分析：
A1
P
A2 A4
B3 : x1 4.00 x2 2.00 z3 340
B4 : x1 1.42 x2 3.00 z 4 327
x2 1
*
x2 2
B5 : x1 5.44 B : 6 z z 340 x2 1.00 z5 308 无可行解
22
步骤：
步骤1、整数规划问题为A，其松弛问题为B 设 Z 为问题A的初始下界（min问题 为上界） 步骤2、求解问题B，有三种情况：
整数规划解法
31
问
题
2 5 (0) 8 11 (0) 5 4 2 3 (0) 0 0 11 4 5
只能对三个零元素进行标定（代表独立的零 元素只有三个），后续如何操作？
32
非直观法-步骤3（第一种情形）
(3) 重复(1)、(2)两个步骤，可能出现三种 情况： ① 效率矩阵每行都有一个打( )号的零元 素，很显然，按上述步骤得到的打( )号 的零元素都位于不同行不同列，只要令 对应打( )号零元素对应的决策变量xij=1 就找到了问题的最优解；
如何让效率矩阵中产生零元素； 如何让产生的零元素位于不同行和不同列。
17
（2）零元素的产生方法： 匈牙利法的基本定理1
如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元 素中分别减去(或加上)一个常数ui (被称 为该行的位势)，从每一列分别减去(或 加上)一个常数vj (称为该列的位势)，得 到一个新的效率矩阵[bij]，若其中
33
第一种情形
甲
任务一
任务二 任务三 任务四
乙
丙
丁 x11=1，x22=1， x33=1，x44=1。
2 3 (0) 1 1 (0) 3 4 1 2 (0) 5 8 2 (0) 3
任务一→甲；二 →乙；三→丙； 四→丁
34
非直观法-4（第二种情形）
② 打( )号的零元素个数小于m，但未被划去的 零元素之间存在闭回路（全以0为拐点），这 时可顺着闭回路的走向，对每个间隔的零元素打 一( )号，然后对所有打( )号的零元素，或所在 行，或所在列画一条直线（一般会出现多种方 案）。如：
人
从人的 角度看 从任务 角度看
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§3 整数规划的应用
一、投资场所的选择 例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区 建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j=1,2,3,…,10)可供选 择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定: 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。
例7．有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示，问应如何指派工作，才能使总 的消耗时间为最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
26
§3 整数规划的应用
A1 投资额 利润 100 36
A2 120 40
A3 150 50
A4 80 22
A5 70 20
A6 90 30
A7 80 25
A8 140 48
A9 160 58
A10 180 61
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用)或 0 (Ai 点没被选用)。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z=36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t.
Max z = 3x1 + x2 + 3x3
s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1, x2, x3 ≥ 0 , 为整数 用《管理运筹学》软件 求解得： x 1 = 5 x2 = 2 x3 = 2
用《管理运筹学》软件求 解得: z = 16.25 x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1 12
A1
A2
A3
A4 80
A5 70
A6 90
A7 80
A8
A9
A10
投资额 100 120 150
140 160 180
36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 利润 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的， 预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万 元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大? 13
运筹学
第八章 整数规划
1
第八章 整数规划
§1 整数规划的图解法 §2 整数规划的计算机求解 §3 整数规划的应用
*§4 整数规划的分枝定界法
2
第八章 整数规划
整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划， 可分成线性和非线性两类。 整数线性规划(Integer Linear Programming， 简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时， 在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题， 是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。 应用实例：
24
§3 整数规划的应用
三、指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承 担这些任务，但由于每人特长不同，完成各 项任务的效率等情况也不同。现假设必须指 派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务 指派给n个人，使得完成 n 项任务的总的效 率最高，这就是指派问题。
25
§3 整数规划的应用
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
解：引入0—1变量 xij，并令
xij =1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0(当不指 派第i人去完成第j项工作时)．这可以表示为一个0--1 整数规划问题：
例5、解决某市消防站的布点问题，该城市有6个区，每个区 都可以建消防站。市政府希望设置的消防站最少，但必须满 足在城市的任何地区发生火警时，消防车要在15分钟内赶到 现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间如下表所示， 请帮助该市制定一个最省的计划。
1 2 3 4 5 6
1 0 10 16 28 27 20
X2≤2 线性规划4 Z4=14.00 X1=4 X2=2
z=14, =14
z
线性规划5 无可行解
§2 整数规划的计算机求解
例2： 例3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 - 3x2 + 2x3 ≤3 x3 ≤1 x1, x2, x3 ≥ 0 x1，x3 为整数，x3 为0-1 变量
4
3 5
10
18 15
物品 名称 1 书 2 摄像机 3 枕头 4 休闲食品 5 衣服
重量 5 3 1 2 4
体积 2 1 4 3 5
价值 20 30 10 18 15
解：xi为是否带第 i 种物品 Max Z=20x1 + 30x2 +10x3+18x4 +15x5 5x1+3x2 +x3 +2x4 +4x5 8 2x1+x2 +4x3 +3x4 +5x5 10 xi为0, 1
● 项目投资问题 ● 选址问题 ● 工作分配问题 ● 背包问题
3
第八章
整数规划
根据变量的取值情况，整数线性规划又可以分 为纯整数规划（所有变量取整数），混合整数规 划（部分变量取整数），0-1整数规划（变量只 取0或1）等。
求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法 或去尾法对线性规划的非整数解加以处理就能解 决的。整数线性规划一些基本算法的设计是以相 应线性规划的最优解为出发点而发展出来的。
• 分枝定界法步骤： 求解与IP相应的LP问题，可能会出现下面 几种情况： 若所得的最优解的各变量恰好取整数，则这 个解也是原整数规划的最优解，计算结束。 若无可行解，则原整数规划问题也无可行解， 计算结束。
若有最优解，但其各分量不全是整数，则这 个解不是原整数规划的最优解，转下一步。
9
• 分枝定界法步骤（续）： 从不满足整数条件的基变量中任选 一个xl进 行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1中的 一个，把这两个约束条件加进原问题中，形 成两个互不相容的子问题（分枝）。 定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函 数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保 留还是剪枝。
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件， 可使获得利润最大。
5
§1 整数规划的图解法
货物
甲 乙 托运限制 每件体积 (立方米) 195 273 1365 每件重量 (百千克) 4 40 140 每件利润 （百元） 2 3
解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建 立模型。 目标函数： Max z = 2x1 +3x2 约束条件：s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1，x2 ≥0, 为整数。 如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题. 6
一般形式：
max Z
i 1
n
C i xi
n ai xi b i 1 x i 0 , 整数
xi为i 物品携带数量 ai为i 物品单位重量
ci为i 物品重要性估价
b为最大负重
§3 整数规划的应用
二、固定成本问题 例6．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属 容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一 个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费 用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、 6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机 器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都 要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万 元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得 的利润为最大。
5 6 27 20 17 27 15 10 21 25 0 14 14 0
17
18
练习、背包问题
背包可装入8单位重量，10单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包 装的物品价值最高。 物品 名称 重量 体积 价值
1
2
书
摄像机
5
3
2
1
20
30
3
4 5
枕头
休闲食品 衣服
1
2 4
整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前 有成熟的方法解线性整数规划问题，而非线性整 数规划问题1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两 种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限 制如表所示。 货物 甲 乙 托运限制 每件体积 (立方米) 195 273 1365 每件重量 (百千克) 4 40 140 每件利润 （百元） 2 3
2 10 0 24 32 17 10
3 16 24 0 12 27 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
设 xi =1,0; 1－i 区建消防站，0－i 区不建消 防站，i=1,…6 min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x2 ≥1, x3 + x4 ≥1, x3 + x4 + x5 ≥1 1 2 3 4 5 6 1 0 10 16 28 27 20 x4 + x5 + x6 ≥1, 2 10 0 24 32 17 10 x2 + x6 ≥1 3 16 24 0 12 27 21 xi = 0, 1; i=1,…6 4 28 32 12 0 15 25