最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》自我检测1
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷
高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。
试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。
人教B版高中数学必修五高中()同步练测：2.2.2等差数列前n项和(含答案解析).docx
高中数学学习材料唐玲出品2.2.2 等差数列的前n 项和(人教B 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题 3 分，共33分）1. 已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( ) A.18 B.20 C.22 D.24 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )A ．13B ．35C ．49D ． 63 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ）A ．1 B.53C.- 2D. 34.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（ ） A.－2 B.－12 C.12D.2 5.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7C.6D.56.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( )A.16B.24C.36D.487.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( ) A.38 B.20C.10D.98.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( ) A.160 B.180 C.200 D.2209.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S10.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.2311.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.28二、填空题(每小题4分，共20分) 12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=．14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95S S = ．15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，53655,S S -=则4a =．16.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共47分）17.（11分）已知在等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }的前n 项和n S .18.（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0.（1）求公差d 的取值范围.（2）1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.19.（12分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．20.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.2.2.2 等差数列的前n项和(人教B版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案二、填空题12． 13． 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.2.2.2 等差数列的前n 项和(人教B 版必修5)答案一、选择题1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.C 解析：172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯=所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C.3.C 解析：∵31336()2S a a ==+且3112,4, 2.a a d a d =+=∴=-。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》(附答案)
2.2.2 等差数列的前n 项和1．在等差数列{a n }中，公差d ＝2，S 20＝60，则S 21等于( ) A ．62 B ．64 C ．84 D ．100 2．在等差数列{a n }中，若前5项和S 5＝20，则a 3等于( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－23．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.4．等差数列200,19923，…，－100的后200项的和等于__________．答案：1．C ∵S 20＝20a 1＋20×192×2＝60，∴a 1＝－16.∴a 21＝a 1＋20d ＝24. ∴S 21＝S 20＋a 21＝84.2．A S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20， ∴a 3＝4.3．－72 设首项为a 1，公差为d . a 12＝－8⇔a 1＋11d ＝－8，①S 9＝－9⇔9(a 1＋a 9)2＝－9⇔a 1＋a 9＝－2⇔a 1＋4d ＝－1.②由①②，解得a 1＝3，d ＝－1.故S 16＝(a 1＋a 16)×162＝8(2a 1＋15d )＝－72.4．－40 1003 数列倒过来组成公差为13，首项为－100的等差数列，从而计算S 200即可．课堂巩固1．(2009湖南高考，文3)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．(2009海南、宁夏高考，文8理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．93．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.4．(2009辽宁高考，理14)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝__________.5．为了参加运动会的5 000 m 长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前一天多跑400 m ．李强10天将要跑多少距离？6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝－5，S 10＝15，求数列{S nn}的前n 项和T n .答案：1．C S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝7(3＋11)2＝49.2．C 由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0且a m －1＋a m ＋1＝2a m ，知a 2m ＝2a m ，∴a m ＝0或a m ＝2.又S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝(2m －1)·a m ＝38，知a m ≠0，∴a m ＝2.∴S 2m －1＝(2m －1)×2＝38.∴m ＝10.3．153 ∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1，a 5＝3，…，a 15＝23.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝9＋12×(1＋23)2＝153.4.13设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5得6(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，∴3a 1＋9d ＝1.∴a 4＝a 1＋3d ＝13.5．解：由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a 1＝5 000，则公差d ＝400，李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．因S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×5 000＋10×92×400＝68 000，故李强10天将跑68 000 m.6．解：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1， 由已知得5a 1＋10d ＝－5,10a 1＋45d ＝15， 解得a 1＝－3，d ＝1.∴S n ＝(－3)n ＋n (n －1)2＝12n 2－72n .∴S n n ＝12n －72. ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝[12(n ＋1)－72]－(12n －72)＝12， ∴{S n n }是等差数列且首项为S 11＝－3，公差为12.∴T n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2·12＝14n 2－134n .1．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 003＋a 2 004>0，a 2 003·a 2 004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 008 1．答案：B ∵a 1>0，a 2 003＋a 2 004>0，a 2 003·a 2 004<0， ∴a 2 003＞0，a 2 004＜0，a 1＞0，从而d ＜0. 又∵a 1＋a 4 006＝a 2 003＋a 2 004＞0，故S 4 006＞0. 又a 1＋a 4 007＝a 2 004＋a 2 004＝2a 2 004＜0， ∴S 4 007＜0. 2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．答案：C 方法一：⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30，解得d ＝3.方法二：由性质得S 偶－S 奇＝n2d ，即5d ＝15，∴d ＝3.3．(2009山东潍坊高考模拟训练(五)，理5)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝10，S 9＝54，则直线a 1x ＋a 4y ＋a 2＝0的斜率为( )A ．－2 B.25 C ．－15 D ．－253．答案：D ∵a 3＋a 5＝2a 4＝10，∴a 4＝5.∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54，∴a 5＝6.∴d ＝a 5－a 4＝1，a 4＝a 1＋3d ＝a 1＋3＝5.∴a 1＝2.∴k ＝－a 1a 4＝－25.4．(2009天津高考，理5)阅读下面的程序框图，则输出的S 等于( )A.26 B ．35 C ．40 D ．574．答案：C 实质是求数列a n ＝3n －1的前五项和，其公差为3，a 1＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×2＋10×3＝40.5．(2009全国高考卷Ⅱ，理14)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3.则S 9S 5＝__________.5．答案：9 由a 5＝5a 3，得a 5a 3＝5，S 9S 5＝9(a 1＋a 9)5(a 1＋a 5)＝9·2a 55·2a 3＝95·a 5a 3＝95×5＝9.6．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝__________. 6．答案：10 倒序相加得3(a 1＋a n )＝93， ∴a 1＋a n ＝31.∵S n ＝(a 1＋a n )n 2＝155，故n ＝10.7．等差数列{a n }中，a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最小值．以下命题：①公差d ＞0；②{a n }为递减数列；③S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零；④n ＝19时，S n 最小；⑤n ＝10时，S n 最小．正确命题的序号为________．7．答案：①③⑤ 由a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最小值，可知a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，从而易知①③⑤正确．8．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋32n ＋7，求这两个数列第九项之比a 9b 9的值．8．答案：错解：由题意，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，则S 9＝48k ，S 8＝43k ，T 9＝25k ，T 8＝23k .∴a 9b 9＝S 9－S 8T 9－T 8＝48k －43k 25k －23k ＝52. 正解一：此题可设为S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，∴a 9b 9＝S 9－S 8T 9－T 8＝8841.正解二：∵a 9是a 1与a 17的等差中项，b 9是b 1与b 17的等差中项，∴a 9b 9＝a 1＋a 172b 1＋b 172＝a 1＋a 172·17b 1＋b 172·17＝S 17T 17＝5×17＋32×17＋7＝8841. 点评：由题意知S n 5n ＋3＝T n2n ＋7随着项数n 的变化而变化，不能设为常数k .这里忽视了项数n 的可变性而致错．从等差数列前n 项和公式角度来看，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，即S n ＝An 2＋Bn ，它不一定是n的一次函数，当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数形式．错解中，设S n ＝(5n ＋3)k ，这里将S n 看成关于n 的一次函数，显然是错误的．因为已知两个等差数列前n 项和的比是关于n 的一次因式，说明它们在相比过程中约去了一个共同因式kn ，所以，只要还原即符合题意．正解二利用了等差中项性质及前n 项和公式，也是很好的解法，要掌握此规律，避免此类题的错解．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大？并说明理由． 9．答案：解：(1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，a 1＋2d ＝12.解之，得－247<d <－3.(2)解法一：由d <0可知，{a n }为一个递减数列．因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1<0，此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，于是a 7<0，从而a 6>0.因此S 6最大．解法二：由{a n }是递减数列，解关于n 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 3＋(n －3)d >0，a n ＋1＝a 3＋(n －2)d <0，得⎩⎪⎨⎪⎧n <3－12d ，n >2－12d .由－247<d <－3，可得⎩⎨⎧n <3－12d <3＋123＝7，n >2－12d >2＋12247＝5.5.∴5.5<n <7，故n ＝6，即S 6最大．解法三：利用前n 项和公式，得S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (12－2d )＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(12－52d )n＝d 2[n －12(5－24d )]2－d 2[12(5－24d )]2. ∵d <0，∴[n －12(5－24d )]2最小时，S n 最大．由于－247<d <－3，则6<12(5－24d)<6.5，∴n ＝6时，[n －12(5－24d)]2最小．因此，S 6最大．10．(2009江苏高考，17)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．10．答案：解：(1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0，由a 22＋a 23＝a 24＋a 25知2a 1＋5d ＝0，① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1am ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知，a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.。
人教新课标版数学高二-数学必修5训练 2.3.2等差数列的前n项和
数学·必修5(人教A版)2．3.2等差数列的前n项和(习题课)►基础达标1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A．30B．31C．32D．33解析：中间项为a n＋1.S奇＝(a1＋a2n＋1)2·(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.S偶＝a2＋a2n2·n＝n·a n＋1＝480.∴a n＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.故选C. 答案：C2．等差数列{a n}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为()A．52.5 B．72.5 C．60 D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y ＝S 100＝145，y －x ＝50d ＝25.解得x ＝60，y ＝85.故选C.答案：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为( ) A.310 B.13 C.18 D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，∵S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，∴S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.∴S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.∴S 6S 12＝310. 答案：A4．等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1≠d ，若前20项的和S 20＝10M ，则M 的值为( )A ．a 3＋a 5B ．a 2＋2a 10C ．a 20＋dD ．a 12＋a 9解析：∵S 20＝a 1＋a 202×20＝10(a 1＋a 20)，∴M ＝a 1＋a 20＝a 12＋a 9.故选D.答案：D5．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝________.解析：(a 1＋a 2＋a 3)＋(a n ＋a n －1＋a n －2)＝3(a 1＋a n )＝15＋78，∴a 1＋a n ＝31.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝155，∴31n 2＝155⇒n ＝10. 答案：10►巩固提高6．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝2n 2＋3n －1B ．a n ＝n 2＋5n －5C ．a n ＝2n 3－3n 2＋3n －1D ．a n ＝2n 3－n 2＋n －2解析：当n ＝1时，a 1＝1，排除A 、D.当n ＝3时，a 3＝5＋6＋7＋8＋9＝35.而B 中，a 3＝32＋5×3－5＝19.故选C.答案：C7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.解析：⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列，又S 1010＝10，S 100100＝110， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为－11100 ∴S 110110＝S 100100＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－11100＝－1， ∴S 110＝－110.答案：－1108．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n 表示第n 组中所有各数的和，那么S 21等于( )A ．1 113B ．4 641C ．5 082D ．53 361分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．解析：因为第n 组有n 个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S 21＝21×211＋21×202×1＝4641，故选B. 答案：B9．在等差数列{a n }中， 已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d .解析：⎩⎨⎧ 8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168⇒a 1＝－8，d ＝4.10．(1)已知{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，求{a n }的通项公式．(2)已知{a n }中，a n ＋1＝n n ＋2a n ，且a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解析：(1)a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，a n －2－a n －3＝2(n －3)，…a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.将上述式子相加，可得 a n －a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＝n 2－n ，所以a n ＝n 2－n ＋1，当n ＝1时也成立．(2)∵a n ＋1＝n n ＋2a n ， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋2，∴a n a n －1＝n －1n ＋1，… ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·n －4n －2·…·35·24·13·2 ＝4n (n ＋1)(n ∈N *)．1．等差数列的前n 项和的性质：(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(3)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)且S 偶－S 奇＝nd .S 偶S 奇＝a n ＋1a n . 若等差数列的项数为2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n . (4)若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法：(1)由二次函数的最值特征得解．S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝d 2212d a n d ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦－2⎛⎫- ⎪⎝⎭12d d a 2 ＝d 22⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11a n 2d －d 2(12－a 1d )2 . 由二次函数的最大值、最小值知识及n ∈N *知，当n 取最接近 12－a 1d的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)．值得注意的是最接近 12－a 1d 的正整数有时是1个，有时是2个． (2)根据项的正负来定．若a 1＞0，d ＜0，则数列的所有正数项之和最大； 若a 1＜0，d ＞0，则数列的所有负数项之和最小．。
人教新课标版数学高一- 数学必修五练习第二章 2.3等差数列的前n项和(二)
§2.3 等差数列的前n 项和(二)一、基础过关1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) A.310B.13C.18D.195．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值． 8．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 二、能力提升9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值11．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大自然数n 是________．12．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 三、探究与拓展13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．答案1．A 2.B 3.A 4.A 5.2n －2 6．4或5 7．解 (1)∵S n ＝2n 2－30n ， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∴a n ＝4n －32，n ∈N ＋. (2)∵a n ＝4n －32， ∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0， 当n ≥9时，a n >0.∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 8．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值． 9．B 10.C 11.4 00612．解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1. ∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n . (2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2 ＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 (n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5).13．解 (1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0. ∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》自我小测 (1)
自我小测2.3.1等差数列的前n 项和(一)夯基达标1.(2009福建高考,理3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3＝6,a 3＝4,则公差d 等于( )A.1B.35 C.2 D.32.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝9,S 6＝36,则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.63B.45C.36D.273.在等差数列{a n }中,d ＝2,a n ＝11,S n ＝35,则a 1为( )A.5或7B.3或5C.7或－1D.3或－14.等差数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78,则此数列前20项和等于____________.5.已知一个等差数列共有2 005项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是_______.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1,问:此数列是否为等差数列?请说明理由.能力提升7.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项8.定义“等和数列”：在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1＝2,公和为5,那么a 18的值为___________,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为___________.9.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7,S 15＝75,T n 为数列}{nS n 的前n 项和,求T n .10.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？11.设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n .(1)若a 11＝0，S 14＝98,求数列{a n }的通项公式；（2）若a 1≥6,a 11＞0,S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式.拓展探究12.已知f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)若f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }为等差数列;(2)若f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和.参考答案1解析:∵623)(313=⨯+=a a S , 而a 3＝4,∴a 1＝0.∴2213=-=a a d . 答案:C2解析:由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6,而由等差数列的性质可知S 3,S 6－S 3,S 9－S 6成等差数列, 所以有S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3),即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.答案:B3解析:∵2)(1n n a a n S +=, ∴2)(351n a a n +=.① ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ,∴11＝a 1＋(n －1)×2.②由①②解得a 1＝3或－1.答案：D4解析:∵a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78,将两式相加得3(a 1＋a 20)＝54. ∴a 1＋a 20＝18,180)(102)(2020120120=+=+=a a a a S . 答案：1805解析:∵2)(21200520041a a S +-=偶, 2)(21200520051a a S ++=奇, ∴1003100220062004==奇偶S S . 答案：10031002 6解:当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－［3(n －1)2－2(n －1)＋1］＝6n －5,∴⎩⎨⎧≥-==.2,56,1,2n n n a n 又当n ≥2时,有a n ＋1－a n ＝［6(n ＋1)－5］－6n ＋5＝6,而a 2－a 1＝(6×2－5)－2＝5≠6,∴此数列不是等差数列.7解析：依题意⎩⎨⎧=++=++--,146,3412321n n n a a a a a a 两式相加,得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝180.∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴3(a 1＋a n )＝180.∴a 1＋a n ＝60.由3902)(1=+=n n a a n S ，可得30n ＝390， ∴n ＝13.答案：A8答案:3 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈==)(12,2125)(2,25**N N k k n n k k n n S n 9 解:设等差数列{a n }的公差为d ,则d n n na S n )1(211-+=, ∵S 7＝7,S 15＝75,∴⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ∴a 1＝－2,d ＝1.∴)1(212)1(211-+-=-+=n d n a n S n . ∵2111=-++n S n S n n , ∴数列}{n S n 是等差数列,其首项为－2,公差为21. ∴n n T n 49412-=. 10解：设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50. 则n n n n n S n 22525502)1(2502+=⋅-+=. 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0.而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. 11 解：(1)由S 14＝98得2a 1＋13d ＝14,又a 11＝a 1＋10d ＝0,解得d ＝－2,a 1＝20.∴{a n }的通项公式是a n ＝22－2n ,n ＝1,2,3,….(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≥>+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤,6,010,11132,6,0,7711111114a d a d a a a S 得即⎪⎩⎪⎨⎧≤-<--≤+③,122②,0202①,11132111a d a d a由①＋②,得－7d ＜11,即711->d . 由①＋③,得13d ≤－1,即131-≤d . ∴131711-≤≤-d . 又∵d ∈Z ,故d ＝－1.将④代入①②得10＜a 1≤12.又∵a 1∈Z ,∴a 1＝11或12.∴{a n }所有可能的通项公式为a n ＝12－n 和a n ＝13－n ,n ＝1,2,3,….12解:(1)证明:因为f (x )＝［x －(n ＋1)］2＋3n －8,所以a n ＝3n －8.因为a n ＋1－a n ＝3,所以{a n }为等差数列.(2)解:由(1)可知b n ＝|3n －8|,当1≤n ≤2时,b n ＝8－3n ,b 1＝5,23132)385(2n n n n S n -=-+=.当n ≥3时,b n ＝3n －8, S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)2281332)831)(2(72+-=-+-+=n n n n , 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤-=.3,228133,21,231322n n n n n n S n2.3.2等差数列的前n 项和(二)夯基达标1.已知等差数列{a n}的公差为1,且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99,则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99等于( )A.99B.66C.33D.02.设数列{a n}是等差数列，且a2＝－5,a10＝5,S n是数列{a n}的前n项和，则( )A.S5＜S6B.S5＝S6C.S7＜S6D.S7＝S63.已知等差数列前n项和S n＝n2－17n,则使S n最小的n值是( )A.8B.9C.10D.8或94.若{a n}是等差数列,首项a1＞0,a2 003＋a2 004＞0,a2 003·a2 004＜0,则使前n项的和S n＞0成立的最大自然数n是( )A.4 005B.4 006C.4 007D.4 0085.在数列{a n}中,a1＝－60,a n＋1＝a n＋3(n∈N*),若对这个数列各项加绝对值,得到一个新数列,则这个新数列的前30项的和为____________.6.已知数列a n的前n项和公式为S n＝n2－23n－2(n∈N*).(1)写出该数列的第3项;(2)判断74是否在该数列中;(3)确定S n何时取最小值,最小值是多少?能力提升7.给出数阵: 0 1 (9)1 2 (10)9………其中每行、每列均为等差数列,则此数阵中所有数的和为( )A.495B.900C.1 000D.1 1008.(2009宁夏、海南高考,理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0,S 2m －1＝38,则m ＝__________.9.已知等差数列{a n }中,S 3＝21,S 6＝24,求数列{|a n |}的前n 项和T n .10.已知f (x ＋1)＝x 2－4,在递增的等差数列{a n }中,a 1＝f (x －1),232-=a ,a 3＝f (x ).(1)求x 的值;(2)求通项a n ;(3)求a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26的值.11.求数列1,－22,32,－42,…,(－1)n －1n 2,…的前n 项和.拓展探究12.已知在正整数数列{a n }中,前n 项和S n 满足:2)2(81+=n n a S ,(1)求证:{a n }是等差数列;(2)若3021-=n n a b ,求数列{b n }的前n 项和的最小值.参考答案1解析：由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99,得9929899991=⨯+a .∴a 1＝－48.∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列,∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 9966)4648(33323233333=-=⨯⨯+=a .答案：B2解析：由a 2＝－5,a 10＝5,可求得21545-=n a n ,∴a 6＝0,则S 5＝S 6.答案：B3 解析:∵本题条件已经给出了S n 表达式是n 的二次函数,∴直接求n 是多少时S n 有最小值就行了.∵顶点的横坐标2172=-a b , ∴n ＝8或9时,S n 最小.答案：D4解析:由a 1＞0,a 2 003＋a 2 004＞0,a 2 003·a 2 004＜0可得a 2 003＞0,a 2 004＜0, 故S 4 005＝4 005a 2 003＞0,S 4 007＝4 007a 2 004＜0,S 4 006＝2 003(a 2 003＋a 2 004)＞0, 从而S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006.答案:B5解析:由题意知{a n }是公差为3的等差数列,且前n 项和为S n ,a n ＝3n －63. 当n ≤20时,a n ＜0,∴新数列的前30项的和S 30－2S 20＝765.答案:7656解:(1)a 3＝S 3－S 2＝－18.(2)n ＝1时,a 1＝S 1＝－24,n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n －24,即⎩⎨⎧≥-=-=,2,242,1,24n n n a n 由题设得2n －24＝74(n ≥2),得n ＝49.∴74在该数列中.(3)2423)223(22---=n S n , ∴当n ＝11或n ＝12时,(S n )min ＝－134.7解析:设行的总和构成数列{a n },其中452)90(01=+1=a ,d ＝10,900029104510=1⨯⨯+⨯=S .故选B. 答案：B8解析:∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ,∴2a m －a m 2＝0.∴a m ＝0或a m ＝2.∵38)12(2))(12(12112=-=+-=--m m m a m a a m S , ∴a m ＝2.∴(2m －1)×2＝38,解得m ＝10.答案:109解:将新数列{|a n |}向原有等差数列{a n }靠拢转化,从而利用等差数列的性质、公式.设数列{a n }的公差为d ,则有 ⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=,2,9,242566,21223311613d a d a S d a S 解得 ∴a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11.由a n ＝－2n ＋11＞0得215<n , 故{a n }的前5项为正,其余各项为负.①当1≤n ≤5时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ; ②当n ≥6时,T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50,∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤≤+-=.,6,5010,,51,10*2*2N N n n n n n n n n T n 10 解:(1)令t ＝x ＋1,则x ＝t －1,得f (t )＝(t －1)2－4,即f (x )＝(x －1)2－4. 由a 1,a 2,a 3成等差数列,得f (x －1)＋f (x )＝－3,即2x 2－6x ＝0,得x ＝0或x ＝3. 当x ＝0时,a 1＝f (－1)＝0,公差023<-=d ,舍去. 当x ＝3时,a 1＝f (2)＝－3,公差023>=d ,故所求的x 的值为3. (2)因为x ＝3,所以首项a 1＝－3,公差23=d . 所以2923-=n a n (n ∈N *). (3)因为数列{a n }为等差数列,故a 2,a 5,a 8,…,a 26也成等差数列,且公差为293=d , 所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26229729289)23(9=⨯⨯+-⨯=, 即a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26的值为2297. 11解：(1)当n 为偶数时,S n ＝(1－22)＋(32－42)＋…＋［(n －1)2－n 2］＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋［(n －1)－n ］［(n －1)＋n ］ ＝－［1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ］2)1(+-=n n . (2)当n 为奇数时,则n －1为偶数, ∴2)1(2)1(221+=+--=+=-n n n n n n S S n n . 综合(1)(2)可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=.,2)1(,,2)1(为奇数为偶数n n n n n n S n 12(1)证明:由2)2(81+=n n a S ,① 则2--+=)2(8111n n a S .② 当n ≥2时,2121)2(81)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a , 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.∴a n －a n －1＝4,即{a n }为等差数列.(2)解:∵2)2(81+=n n a S , ∴211)2(81+=a a , 解得a 1＝2. ∴31230)]1(4[2130211-=--+=-=n n a a b n n .令b n ＜0,得231<n . ∴S 15为前n 项和的最小值,S 15＝b 1＋b 2＋…＋b 15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》同步测控
2.2.2 等差数列的前n 项和5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知等差数列{a n }中，a 2=7,a 4=15，则前10项的和S 10等于( )A.100B.210C.380D.400 解析：d=27152424-=--a a =4，a 1=3，所以S 10=210. 答案：B2.计算：1+2+3+…+300=____________.解析：这是一个300项的等差数列的求和，a 1=1,a n =300,n=300，可利用公式：S n =2)3001(3002)(1+=+n a a n =45 150. 答案：45 1503.计算：3+5+8+11+…+299=____________.解析：数列5，8，11, …，299是个等差数列，且首项是5，末项是299，公差是3.根据公式：11--n a a n =d ，将a n =299,a 1=5,d=3代入上式，可得：n=99. 所以，5+8+ (299)2)2995(99+=15 048. 所以3+5+8+11+…+299=15 048+3=15 051.答案：15 0514.一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○……若将此若干个圆依此规律继续下去得到一系列圆，那么在前2 005个圆中有____________个空心圆.解析：这是因为把空心圆取出来的位置构成数列2，5，9，14，…，于是数列满足a n =a n-1+n+1, a n =a 1+2+3+…+n+n+1=2)1(+n n +n=232n n +.故在2 005前计算数值n=61时，小于2 005；当n=62时，大于2 005.故应为61个空心圆.答案：6110分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78，则此数列前20项和等于( )A.160B.180C.200D.220解析：(a 1+a 2+a 3)+(a 18+a 19+a 20)=(-24)+78=54，又a 1+a 20=a 2+a 19=a 3+a 18,则3(a 1+a 20)=54,∴a 1+a 20=18，则S 20=2)(20201a a +=10×18=180. 答案：B2.(2006高考全国卷Ⅱ，理11)设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若63S S 等于31，则126S S 等于( ) A.103 B.31 C.81 D.91 解析：由等差数列的求和公式可得31156331163=++=d a d a S S ,可得a 1=2d 且d≠0,所以1039027661215611126==++=d d d a d a S S ,故选A. 答案：A3.设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23=9S 2,S 4=4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________.解析：设数列{a n }的公差为d(d≠0),首项为a 1，由已知得：⎩⎨⎧+=++=+).2(464),2(9)33(11121d a d a d a d a 解之得：a 1=94，d=98或a 1=d=0（舍）. ∴a n =a 1+(n-1)d=94+(n-1)×98=94 (2n-1). 答案：a n =94 (2n-1) 4.设数列{a n }的前n 项和为S n =2-2·3n ，则通项公式a n =____________.解析：当n=1时,a 1=S 1=2-2·31=-4.当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2-2·3n )-(2-2·3n-1)=-4·3n-1.此时对n=1时有：a 1=-4·31-1=-4，也适合。
高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前N项和自我小测 新人教B版必修5
2.2.2 等差数列的前N 项和自我小测1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．2202．已知某等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．23．等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 211，则数列的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) A ．310 B ．13 C ．18 D ．195．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N ＋)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．16．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，则S 9＝________．7．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为________．8．数列{a n }的通项公式a n ＝1n n ＋1＋(n ＋1)n ，则这个数列的前99项和S 99＝__________．9．设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且S 4＝－62，S 6＝－75，求：(1)通项a n 及前n 项和S n ；(2)求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 14|的值．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0，(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．参考答案1． 解析：(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，∴a 1＋a 20＝18．则S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10×18＝180． 答案：B2．解析：1152015,52530a d a d +=⎧⎨+=⎩ ⇒d ＝3． 答案：C3．解析：由a 21＝a 211，得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0．又∵d ＜0，∴a 1＋a 11＝0，∴a 6＝0．∴S 5＝S 6且最大．答案：C4．解析：由等差数列的前n 项和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310，故选A ． 答案：A5．答案：A6．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得4a 1＋4×(4－1)2d ＝14， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10a 1＋10×(10－1)2d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 1＋7×(7－1)2d ＝30， 联立解得a 1＝2，d ＝1，所以S 9＝9×2＋9×(9－1)2×1＝54． 答案：547．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212，∴a 11b 11＝12(a 1＋a 21)12(b 1＋b 21)＝12(a 1＋a 21)·2112(b 1＋b 21)·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43． 答案：4∶38．答案：9109．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由S 4＝－62，S 6＝－75，得114662,61575.a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得120,3.a d =-⎧⎨=⎩∴a n ＝3n －23，S n ＝32n 2－432n ． (2)由a n ＝3n －23≤0，得n ≤233，∴n ＝7． ∴数列{a n }的前7项为负数，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 14|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 7)＋(a 8＋a 9＋…＋a 14)＝－S 7＋S 14－S 7＝S 14－2S 7＝147．10．分析：本题(1)只需利用S 12＞0，S 13＜0得到不等式组即可解决；本题(2)由d ＜0，得a 1＞a 2＞…＞a 12＞a 13＞…，可知数列前面的项为正，后面的项为负，加上正数，和变大；加上负数，和变小．因此在1≤n ≤12中，若存在自然数n ，使a n ＞0，a n ＋1＜0，则可判定S n 是最大值．解：(1)根据题意，得1111211120,21312130,2212,a d a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⨯⎪+<⎨⎪+=⎪⎪⎩整理得11112660,13780,212.a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得－247＜d ＜－3． ∴d 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3． (2)解法一：∵d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞…＞a 12＞a 13＞…．而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＜0，∴a 7＜0． 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)＞0， ∴a 6＞0．∴数列{a n }的前6项的和S 6最大．解法二：∵a 1＝12－2d ，∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫12－52d n ． 考察二次函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫12－52d x ． ∵d ＜0，－b 2a ＝52－12d， ∴当x ＝52－12d时，y 有最大值． ∵－247＜d ＜－3，∴6＜52－12d ＜132． ∵n ∈N ＋，∴当n ＝6时，S n 最大，即数列的前6项和最大．。
最新人教A版高中数学必修五2.3《等差数列前n项和》同步测试题(含解析)
2. 3《等差数列前n 项和》11、等差数列Λ,4,1,2-地前n 项和为 （ ） A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D.()7321+n n2、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a3、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a，那么它地前8项之和8S 等于 （ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 484、设{}n a 是公差为2地等差数列，若5097741=++++a a a a Λ，则99963a a a a ++++Λ地值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1825、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ ）A. 5或7B. 3或5C. 7或1-D. 3或1-6、设数列{}na 是递增地等差数列，前三项之和为12，前三项地积为48，则它地首项是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87、一个三角形地三个内角C B A ,,地度数成等差数列，则B 地度数为 （ ）A. ο30B. ο45C. ο60D. ο90 8、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于 （ ）A. 11B. 9C. 9或18D. 189、数列{}na 是等差数列，它地前n 项和可以表示为 （ ）A. C Bn An S n ++=2B. Bn An Sn +=2 C. C Bn An S n ++=2()0≠a D. Bn An S n +=2()0≠a10、=+++++1008642Λ 。
11、等差数列{}na 中，1011=a ，则=21S 。
12、等差数列{}n a 中，4,184==S S，则=+++20191817a a a a。
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列前n项和同步检测(
2.3等差数列前n 项和一、选择题1. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ） A.3 B.4 C.5D. 6答案：C解析：解答：由已知得，当m≥2时，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .故选C.分析：利用当n ≥2时1--=n n n S S a ，求出m a 及1+m a 的值，从而确定等差数列}{n a 的公差，再利用前n 项和公式求出m 的值.2．已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A 、64 B 、100 C 、110D 、120答案：B解析：解答：设公差为d ，由a 1+a 2=4，a 7+a 8=28得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩1101091,2,101+2=1002a d S ⨯===⨯⨯解得，故选B ． 分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求出a 1和d ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可． 3．等差数列{a n }的前n 项为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对答案：C 解析：解答：设公差为d ，由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6.所以S 9＝()1992a a +＝9a 5＝54，故选C分析：根据等差数列的性质m +n =p +q ，a m +a n =a p +a q ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于（ ） A 、13 B 、35 C 、49D 、63答案：C解析：解答：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 2=3，a 6=11，得114511a d a d +=⎧⎨+=⎩110979767,,7+=4944424a d S ⨯===⨯⨯解得，故选C ．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求出a 1和d ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．5．已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣49，则当S n 取最小值时，项数n （ ） A 、1B 、23C 、24D 、25答案：C解析：解答：由a n =2n ﹣49,当n=1时，a 1=-47数列，则{a n }为等差数列()247249482nn S n n n -+-=⨯=-=（n ﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n =24时和有最小值 故选：C分析：由a n =2n ﹣49可得数列{a n }为等差数列，则可得()247249482n n S n n n -+-=⨯=-，()n N *∈结合二次函数的性质可求.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＞0，a 8＜0，则下列结论正确的是( )A ．S 7＜S 8B ．S 15＜S 16C ．S 13＞0D ．S 15＞0答案：C解析：解答：根据数列的增减性，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见选项A 错误；易知a 16＜a 15＜0，S 16＝S 15＋a 16＜S 15，选项B 错误；S 15＝152 (a 1＋a 15)＝15a 8＜0，选项D 错误； S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＞0.分析：因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，根据数列的增减性，即可.7．在等差数列{a n}中，a9＝12a12＋6，则数列{a n}的前11项和S11＝( )A．24 B.48 C．66 D.132 答案：D解析：解答：由a9＝12a12＋6，得2a9－a12＝12.由等差数列的性质得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝()11161111222a a a+⨯=＝＝132，故选D.分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，a m+a n=a p+a q，代入等差数列的前n项和公式求解即可．8、数列{a n}中，a1=﹣60，且a n+1=a n+3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（）A、495B、765C、3105D、120答案：B解析：解答：∵a n+1﹣a n=3，∴a n=3n﹣63，知数列的前20项为负值，∴数列的前30项的绝对值之和为：﹣a1﹣a2﹣…﹣a20+a21+…+a30=﹣s20+（s30﹣s20）=765 故选B.分析：在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式，对于绝对值的应用，若记不住它的前几项的绝对值和的表示，可以自己推导出来，但以后要记住．9、已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是（）A、21B、20C、19D、18答案：B解析：解答：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴s n=39n+()12n n-×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选B．分析：求等差数列前n 项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n 取正整数这一条件．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k 的值为（ ）.A ．12 B.13 C.14 D.15 答案：B解析：解答： 根据数列前n 项和性质，可得S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝212-， 又S k ＋1＝()()111+2k k a a -+＝()31322k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝212-，解得k ＝13.分析：本题考查等差数列的前n 项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用即可．11．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A 、5B 、4C 、3D 、2答案：C解析：解答：因为等差数列共有10项，奇数项之和为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=15①， 偶数项之和为a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=30②，则②-①得5d=15，故d=3，故选C ．分析：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数． 12．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么S 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C解析：解答：由等差数列的性质知，a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12⇒a 4＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28. 分析：根据等差数列的性质m +n =p +q ，a m +a n =a p +a q ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．答案：C解析：解答：()()111212nn n na S d a n nn -+==+-，分析：本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，认真审题即可。
人教新课标A版高中必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测(I)卷
人教新课标 A 版必修 5 数学 2.3 等差数列的前 n 项和同步检测（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 15 题；共 30 分)1. （2 分） 已知等差数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和．若 S16>0，且 S17<0，则当 Sn 最大时 n 的值为（ ）A.8B.9C . 10D . 162. （2 分） (2016 高二上·桃江期中) 等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ， 对一切自然数 n，都有 =，则 等于（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2018 高一下·三明期末) 已知等差数列 的公差为-2，前 项和为 ，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 120°，若对任意的恒成立，则实数（）A.7B.6C.5D.4第 1 页 共 10 页4. （2 分） (2019 高二上·开封期中) 已知等差数列 的前 项和为 ，若，则（）A.B.C.D.5. （2 分） (2019 高三上·深州月考) 已知等差数列 （）的前 项和为 ，若A.B.C.D.，，则6. （2 分） (2018·延安模拟) 已知等差数列比数列，则（ ）．的公差为 ，前 项和为 ，且 、 、 成等A.B.C.D.7. （2 分） 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22 题为：今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第 1 天织 5 尺布，现在一月（按30 天计）共织 390 尺布，则每天比前一天多织尺布.(不作近似计算)第 2 页 共 10 页A.B.C.D.8. （2 分） 等差数列 的前 n 项和为 ,若的值为常数,则下列各数中也是常数的是（ ）.A.B.C.D.9. （2 分） (2015 高二上·宝安期末) 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn ， 且满足，则 a1=（ ）A.4B.2C.0D . ﹣210. （2 分） 已知数列{an}中 a1=16,an+1-an=-2 （）， 则数列{an}的前 n 项和 Sn 最大时，n 的值为A.8B . 7或8C . 8或9D.9第 3 页 共 10 页11. （2 分） 在等差数列 中， A . 104 B . 52 C . 39 D . 24 12. （2 分） 等差数列前 n 项和为 ， 若 A . 130 B . 65 C . 70 D . 75,则等差数列 的前 13 项的和为（ ） ， 则 的值是（ ）13. （2 分） 等差数列 共有 A. B. C. D.项，其中奇数项之和为 10，偶数项之和为 9，则 的值是（ ）14. （2 分） (2019 高一下·余姚月考) 已知两个等差数列 ， 的前 n 项和分别为 和 ，且，则使得 A.3为整数的正整数 n 的个数是（ ）B.4C.5D.6第 4 页 共 10 页15. （2 分） (2019 高二上·集宁月考) 设等差数列 的前 n 项和为 ，且满足，，则中最大项为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)16. （1 分） (2016 高一下·长春期中) 在等差数列{an}中，a5+a10+a15+a20=20，则 S24=________．17. （1 分） (2020 高二上·徐州期末) 已知等差数列 的公差为 也为公差为 d 的等差数列，则 ________．，前 n 项和为 ，且数列18. （1 分） 设数列 满足，，，则数列 的前 n 项和为________.19. （1 分） (2016 高一下·宁波期中) 若等差数列{an}满足 a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当 n=________时， 数列{an}的前 n 项和最大．20. （1 分） (2018 高二上·凌源期末) 观察下面的数阵，则第 40 行最左边的数是________．三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)第 5 页 共 10 页21. （ 10 分 ） (2018· 朝 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 .的前 项和为 ，且（1） 求数列 的通项公式；成等差数列，（2） 若数列 中去掉数列 的项后余下的项按原顺序组成数列 ，求的值.22. （10 分） (2018 高二下·泰州月考) 设，，在集合中,把每个子集的较大元素相加，和记为 ,较小元素之和记为 .（1） 当时,求 , 的值；（2） 求证:为任意的,， 为定值.23. （10 分） 数列 满足．的所有元素个数为 2 的子集（1） 证明：数列是等差数列；（2） 若，求 ．24. （5 分） 已知等差数列 的前 n 项和，求数列 的前 n 项和 ．25. （10 分） (2018·榆林模拟) 数列 满足.（1） 证明：数列是等差数列；（2） 若，求 .第 6 页 共 10 页一、 选择题 (共 15 题；共 30 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)16-1、 17-1、 18-1、 19-1、 20-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)21-1、21-2、第 8 页 共 10 页22-1、22-2、 23-1、23-2、第 9 页 共 10 页24-1、 25-1、 25-2、第 10 页 共 10 页。
新高中人教B版数学必修五课时作业：2.2.2等差数列的前n项和(1)(含答案)
等差数列的前n 项和 (一 )课时目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其性质 .2.掌握等差数列的五个量 a1，d， n，a n， S n之间的关系．1．把 a1＋ a2＋＋a n叫数列{a n}的前n项和，记做______．比如a1＋a2＋＋a16能够记作 ________； a1＋a2＋ a3＋＋ a n－1＝ ________ (n ≥2)．2．若 {a n} 是等差数列，则S n能够用首项a1和末项 a n表示为 S n＝ ________；若首项为a1，公差为d，则 S n能够表示为S n＝ ____________________.3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n} 是公差为 d 的等差数列，则数列S nn也是等差数列，且公差为________．(2)S m，S2m，S3m分别为 {a n} 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 S m，S2m－ S m，S3m－S2m也成等差数列．(3)设两个等差数列 {a n} 、 {b n} 的前 n 项和分别为 S n、 T n，则a n＝S2n－1.b n T 2n－1一、选择题1．设 S n是等差数列 {a n} 的前 n 项和，已知 a2＝ 3， a6＝ 11，则 S7等于 () A． 13 B ．35C． 49 D ．632．等差数列 {a n} 中， S10＝4S5，则a1等于 () d1A. 2 B ． 21C.4 D ．43．已知等差数列 {a n} 中， a32＋ a82＋ 2a3a8＝ 9，且 a n<0，则 S10为()A．－ 9B．－ 11C．－ 13D．－ 154．设等差数列 {a n} 的前 n 项和为S n，若 S3＝ 9， S6＝ 36.则 a7＋ a8＋ a9等于 () A． 63B．45C． 36D． 275．在小于 100 的自然数中，全部被7除余 2的数之和为 ()A． 765B．665C． 763D． 6636．一个等差数列的项数为2n，若 a1＋ a3＋＋ a2n－1＝ 90， a2＋ a4＋＋a2n＝72，且a1－ a2n＝ 33，则该数列的公差是()A． 3B．－ 3C．－ 2D．－ 1二、填空题7．设 S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，若 S3＝ 3， S6＝24，则 a9＝ ________.8．两个等差数列 {a n} ， {b n} 的前 n 项和分别为 S n和 T n，已知S n＝7n＋2，则a5的值是T n n＋ 3b5________．9．在项数为 2n＋1 的等差数列中，全部奇数项的和为165，全部偶数项的和为 150，则n 的值为 ________．10．等差数列 {a n} 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为100，则数列 {a n} 的前 3m 项的和 S3m 的值是 ________．三、解答题11．在等差数列{a n} 中，已知 d＝ 2， a n＝ 11， S n＝ 35，求 a1和 n.12．设 {a n} 为等差数列， S n为数列 {a n} 的前 n 项和，已知 S7＝ 7，S15＝ 75，T n为数列S nn 的前 n 项和，求 T n.能力提高13．现有 200 根同样的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使节余的钢管尽可能少，那么节余钢管的根数为()A． 9B．10C．19D． 2914．已知两个等差数列 {a n} 与 {b n} 的前 n 项和分别为A n和 B n，且A n＝7n＋45，则使得a n B n n＋ 3b n为整数的正整数n 的个数是 ()A． 2 B ． 3C．4 D ． 51．等差数列的两个乞降公式中，一共波及a1，a n， S n， n， d 五个量，往常已知此中三个量，可求此外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项 a n，用公式 S n＝1＋an较好，2若已知首项 a1及公差 d，用公式 S n＝ na1＋－d 较好．22．等差数列的性质比许多，学习时，不用照本宣科，能够在联合推导过程中增强记忆，并在解题中娴熟灵巧地应用．2． 2.2等差数列的前 n 项和 (一)答案知识梳理1． S n S 16S n － 12.1＋ a n1 3.(1)d2na 1＋ n(n －1)d22作业设计1． C [S 7＝ 1＋a7＝2＋ a6＝49.]222．A [ 由题意得：1 110a 1＋ ×10×9d ＝ 4(5a 1＋ ×5×4d)，22∴ 10a 1＋45d ＝ 20a 1＋ 40d ，a 1 1∴ 10a 1＝5d ，∴ d ＝ 2.]223．D[ 由 a 3＋ a 8＋2a 3a 8＝ 9 得(a 3＋ a 8)2＝ 9，∵ a n <0，∴ a 3＋ a 8＝－ 3，∴ S 10＝ 10 a 1 ＋a 10 ＝ 10 a 3＋ a 8 ＝ 10× －3＝－ 15.]22 2n3，S 6－ S 3，S 9－ S 6 为等差数列， 即 2(S 6－ S 33＋ (S 94．B [数列 {a } 为等差数列， 则 S)＝ S － S 6)，∵ S 3＝ 9， S 6－ S 3 ＝27，则 S 9－ S 6＝ 45.∴ a 7＋ a 8＋ a 9＝ S 9－ S 6＝ 45.]15． B [ 因 a 1＝ 2，d ＝ 7,2＋(n －1) ×7<100 ，∴ n<15，∴ n ＝ 14，S 14＝ 14×2＋ 2×14×13×7＝ 665.]a 1＋ a 3＋ ＋ a 2n － 1＝na 1＋nn － 1 × 2d ＝ 90，6．B [由2a 2 ＋a 4 ＋ ＋ a 2n ＝ na 2＋nn － 1 × 2d ＝ 72，2得 nd ＝－ 18.又 a 1－a 2n ＝－ (2n － 1)d ＝ 33，因此 d ＝－ 3.]7． 15分析设等差数列的公差为 d ，则S 3＝ 3a 1＋ 3×22d ＝ 3a 1＋ 3d ＝ 3，即 a 1＋ d ＝ 1，6×5S 6＝ 6a 1＋ 2 d ＝ 6a 1＋ 15d ＝ 24，即 2a 1＋ 5d ＝ 8.a 1＋d ＝ 1， a 1＝－ 1， 由解得2a 1 ＋5d ＝ 8，d ＝ 2.故 a 9＝ a 1＋ 8d ＝－ 1＋ 8×2＝ 15.65 8.12分析a 5＝ 9 a 1＋ a 9 ＝ S 9＝ 659 ＋ Tb9． 10分析S 奇 ＝n ＋ 1a 1＋ a 2n＋1＝ n a 2＋ a 2n＝ 150.2165， S 偶＝2∵ a 1＋ a 2n ＋ 1＝a 2＋ a 2n ，∴n ＋ 1＝165＝11，∴ n ＝ 10.n150 1010． 210分析 方法一在等差数列中，S m ，S 2m － S m ， S 3m － S 2m 成等差数列．∴ 30,70， S 3m － 100 成等差数列．∴ 2×70＝ 30＋ (S 3m －100)，∴ S 3m ＝ 210.方法二在等差数列中，Sm m ， S2m 2m ， S3m 3m 成等差数列，∴2S 2m S m S 3m 2m ＝ m ＋ 3m.即 S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100 － 30)＝ 210.a n ＝ a 1＋－ ，11．解由－ d ，S n ＝ na 1 ＋2a 1＋ － ＝11， 得－ ×2＝ 35，na 1＋2解方程组得n ＝ 5 n ＝ 7，a 1 ＝3或a 1＝－ 1.12．解 设等差数列 {a n } 的公差为 d ，则 S n ＝na 1 1＋ n(n － 1)d ，2∵ S 7＝ 7， S 15＝ 75，∴7a 1＋ 21d ＝ 7 ，15a 1＋ 105d ＝ 75a 1＋3d ＝ 1 a 1＝－ 2 即，解得，a 1＋7d ＝ 5 d ＝ 1S n11∴ n ＝ a 1＋2(n －1)d ＝－ 2＋2(n － 1)，∵S n＋1 － S n ＝ 1，n ＋ 1 n 2S n2，公差为 1 ∴数列 n 是等差数列，其首项为－2，∴ T n ＝ n ×(－ 2)＋ n n －1 1 1 29 n.2 × ＝ n－2 4 413．B [钢管摆列方式是从上到下各层钢管数构成了一个等差数列， 最上边一层钢管数为 1，逐层增添 1 个．∴钢管总数为： 1＋ 2＋ 3＋ ＋ n ＝＋ .2当 n ＝19 时， S 19＝190. 当 n ＝20 时， S 20＝210>200.∴ n ＝19 时，节余钢管根数最少，为10根．]n A 2n －1 14n ＋387n ＋ 19＝ n ＋ 1 ＝14．D [∵b n ＝ B 2n － 1＝2n ＋ 2＝ 7＋ 12，∴ n ＝ 1,2,3,5,11.]n ＋ 1n ＋ 1＋12＋。
人教A版高中数学必修五同步检测第2章2.3第2课时等差数列的前n项和(习题课).docx
人教 A 版高中数学必修 5 同步检测第二章数列2.3等差数列的前n 项和第 2 课时等差数列的前n项和(习题课)A基巩固一、1．一个等差数列共有 2n＋1 ，其奇数的和512，偶数的和 480，中 ()A．30 B．31 C．32 D ．33解析：中 a n＋1.S 奇＝（a1＋a2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.S 偶＝a2＋a2n2· n＝n·a n＋1＝480.所以 a n＋1＝ S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案： C12．等差数列 {a n}的公差 d＝2且 S100＝145， a1＋a3＋a5＋⋯＋a99的 ()A．52.5 B．72.5 C．60 D．85解析： a1＋a3＋a5＋⋯＋a99＝x，a2＋a4＋⋯＋a100＝y， x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得 x＝60，y＝85.答案： C．n 是等差数列{a n 的前n 和，若S3＝1，S6()3S}S63S12A.3B.1C.1D.1解析： S3，S6－ S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因 S3＝ 1，S6－S3＝3－1＝2，所以 S9－S6＝3，S12－S9＝4.所以 S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋ 4＝10.所以S6＝3.S1210答案： A4．若数列 {a n}的前 n和是 S n＝n2－4n＋2，|a1|＋|a2|＋⋯＋ |a10|等于 ()A．15 B．35 C．66 D ．100解析：易得 a n＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.|a1|＝1，|a2|＝ 1，|a3|＝1，令a n>0 2n－ 5>0，所以 n≥3.所以 |a1|＋|a2|＋⋯＋|a10|＝－ (a1＋a2)＋ a3＋⋯＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－ (22－4×2＋2)]＝66.答案： C5．把正整数以下列方法分：(1)，(2，3)，(4，5，6)，⋯，其中每都比它的前一多一个数，S n表示第 n 中所有各数的和，那么 S21等于 ()A．1 113 B．4 641 C ．5 082 D．53 361解析：因第 n 有 n 个数，所以前20 一共有 1＋ 2＋3＋⋯＋20＝210 个数，于是第 21 的第一个数211，一共有 21 个21×20数， S 21＝21×211＋2×1＝4 641.答案： B二、填空6．已知数列 {a n } 足 a 1＋2a 2＋3a 3＋⋯＋ na n ＝n 2，数列 {a n }的通 公式 ________．解析： a 1＋2a 2＋3a 3＋⋯＋na n ＝n 2，当 n ≥2 ， a ＋2a ＋3a ＋⋯＋(n － 1) ·a － ＝ (n －1)2，123n 12n －1所以 na n ＝2n －1，所以 a n ＝n.当 n ＝1 ， a 1＝1，符合上式，2n －1所以数列 {a n }的通 公式 a n ＝ n .2n －1答案： a n＝n7． S n 等差数列 {a n }的前 n 和，若 a 4＝1，S 5＝10， 当S n 取得最大 ， n 的 ________．a 4＝a 1＋3d ＝1，解析：由d ＝10，S 5＝5a 1＋5×42a 1＝4，解得d ＝－ 1.所以 a 5＝ a 1＋4d ＝0，所以 S 4＝S 5 同 最大．所以 n ＝4 或 5.答案： 4 或 5．若等差数列 {a n }的前 n 和n∈*)，若a 2∶a 3＝5∶2，8S (n N人教 A 版高中数学必修 5 同步检测S 3 3（a 1＋a 3） 3a 2 3 5 3解析： S 5＝5（a 1＋a 5）＝5a 3＝5×2＝2.答案： 3∶2三、解答题 ．设等差数列 n 的前 n 项和为n ，已知 a 3＝ 12，且 S 12＞0， 9 {a } SS 13＜0.(1)求公差 d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解： (1)因为 a 3＝12，所以 a 1＝12－2d ，因为 S 12＞0，S 13＜0，12a 1＋66d ＞0， 24＋7d ＞ 0，所以即13a 1＋78d ＜0， 3＋d ＜0，24所以－ 7 ＜d ＜－ 3.(2)因为 S 12＞0，S 13＜0，a 1＋a 12＞0， a 6＋a 7＞ 0，所以所以a 1＋a 13＜0.a 7＜0.所以 a 6＞ 0，又由 (1)知 d ＜0.所以数列前 6 项为正，从第 7 项起为负．所以数列前 6 项和最大．2S 2n10．在数列 {a n }中， a 1＝ 1，a n ＝2S n －1(n ≥2)，求数列 {a n }的通项公式．解：因为 a n ＝ S n －S n － 1，2S 2n所以 S n －S n －1＝2S n － 1，即 (S n －S n － 1)(2S n －1)＝2S 2n ，即 S n －1－ S n ＝2S n S n －1， 即 1 － 1＝2，S n S n －11 11＝1，所以 S n 为等差数列，且 S 1＝a 1 11 .所以 S n＝1＋2(n －1)，即 S n＝－ 12n所以 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 11 －22n －1－2n －3＝（2n －1）（ 2n －3）(n ≥2)，－2又 a 1＝1≠（2×1－1）（ 2×1－3），1（n ＝1），所以 a n ＝－2（n ≥ 2）.（2n －1）（ 2n －3）B 级 能力提升1．设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，S m －1＝－ 2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则 m 等于 ()A ．3B ．4C ． 5D ．6解析： a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋ 1＝ S m ＋1－S m ＝3，所以公差 d ＝a m＋1－a m ＝1，由 S ＝ m （a 1＋a m ） ＝0，得 a ＝－ 2，所以 a ＝－ 2＋(m －1) ·1m 2 1 m＝ 2，解得 m ＝5.答案： C2．若数列 {a n }是等差数列，首项 a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2004＜0，则使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知a 2 003＞0，a 2 004＜0，故 S 4 006＝4 006（ a 1＋a 4 006）＝2 003 ·(a 2 003＋a 2 004 ) ＞ ，24 007（a 1＋a 4 007）＝4 007×a 2 004 ＜0， S 4 007＝2故使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数 n 是 4 006.答案： 4 0063．数列 {a n }的各项都为正数，且满足S n ＝（a n ＋1）24(n ∈ N *)，求数列的通项公式 a n .解：法一 (消 S n ) ：由 S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)，得 4a n ＋1＝4(S n ＋1－S n )＝(a n ＋ 1＋1)2－(a n ＋1)2化简得 (a n ＋1＋a n )(a n ＋ 1－a n －2)＝ 0，因为 a n ＞0，所以 a n ＋ 1－a n ＝2，又 4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2 得 a 1＝ 1，故 {a n }是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，所以 a n ＝2n － 1.法二 (消 a n )：由上可知 2 S n ＝ a n ＋1，所以 2 S n ＝ S n －S n － 1＋1(n ≥2)，化简可得 ( S n －1)2＝S n －1，( S n ＋ S n － 1－1)( S n － S n －1－1)＝0，又 S 1＝1，{a n }的各项都为正数，所以 S n － S n － 1＝ 1.所以 S n ＝n ，从而 S n ＝n 2，所以 a n ＝S n － S n －1＝2n －1(n ≥2)，a 1＝1 也适合，故 a n ＝2n －1.。
人教A版高中数学必修五2.3 等差数列的前n项和练习.docx
2.3 等差数列的前n 项和练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b +=（ ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9.在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = . 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++L .12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S L 中哪一个值最大？并说明理由.参考答案：1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.08.69.1650 10.611.∵40.8a =，11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+= ∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=L g . 12.①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩g ,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S L 中6S 最大.。
人教A版高中数学必修五23等差数列的前n项和测试(学生版)
2.3 等差数列前n 项数和（检测学生版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝ ( )A ．168B ．156C ．152D ．2862．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为 ( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 0003．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝170，则a 7＋a 9＋a 11的值为 ( )A ．10B ．20C ．25D ．304．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是 ( )A ．5B ．4C ．3D ．25．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝ ( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．126．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于 ( )A ．12B ．18C ．24D ．42二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝ .8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝ .三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值．10．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S n n}的前n 项和，求数列{S n n}的前n 项和T n .。
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自我检测
基础达标
一、选择题
1.设等差数列{a n },a n =29,S n =155,d=3,则n 和a 1分别是（ ）
A.10和2
B.9和3
C.9和2
D.10和3
解析:由方程组得⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=+=,
3)1(29,2)29(15511n a n a 解得n=10,a 1=2.
答案：A
2.所有被7除余3的两位数之和为（ ）
A.435
B.582
C.659
D.676 解析:符合条件的最小数为a 1=10,最大数为a n =94,d=7,由94=10+(n-1)×7,解得n=13,∴S 13=2
13)9410(⨯+=676. 答案：D
3.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为（ ）
A.8
B.7
C.6
D.5
解析:一个11项的数列,中间项为a 6,由已知,奇数项为6项, ∴奇数项之和为26)(111⨯+a a =2
626⨯a =6a 6.由题意6a 6=30, ∴a 6=5.
答案：D
4.在等差数列{a n }中,d=2,a n =11,S n =35,则a 1为（ ）
A.5或7
B.3或5
C.7或-1
D.3或-1
解析:∵S n =
2
)(1n a a n +, ∴35=2)(1n a a n +. ① ∵a n =a 1+(n-1)d,
∴11=a 1+(n-1)×2. ②
由①②解得a 1=3或-1.
答案：D
5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若35a a =95,则5
9S S 等于（ ） A.1 B.-1 C.2 D.
21 解析:59S S =)(2
5)(295191
a a a a ++=3559a a =1. 答案：A
6.已知等差数列的项数n 为奇数,则其奇数项之和与偶数项之和的比是（ ） A.
n n 1- B.n n 1+ C.n n 212+ D.11-+n n 解析:偶奇S S =)(221
)(221
121-+-++n n a a n a a n =)()1()()1(121-+∙-+∙+n n a a n a a n =11-+n n . 答案：D
7.在等差数列{a n }中,S 4=1,S 8=4,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:由等差数列前n 项和的性质可知:S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12,S 20-S 16,…构成等差数列且首项为1,公差为2.
∴S 20-S 16=1+(5-1)×2=9.
答案：C
8.已知等差数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,其前n 项和为S n ,则该数列{n
S n }的前10项的和为（ ）
A.120
B.70
C.75
D.100 解析:∵a n =2n+1,
∴a 1=3,d=2,S n =
2)123(++n n =n 2+2n. ∵{n
S n }构成新的等差数列,且首项为S 1=3,公差为1, ∴{n
S n }前10项和为10×3+21910⨯⨯=75. 答案：C
二、填空题
9.等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项和等于________________. 解析:∵a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,将两式相加得3(a 1+a 20)=54.
∴a 1+a 20=18,
S 20=2
)(20201a a +=10(a 1+a 20)=180. 答案：180
10.已知一个等差数列共有2 005项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是__________.
解析:∵S 偶=2
)(21200520042a a +-,S 奇=2)(21200520051a a ++, ∴奇偶
S S =20062004=1003
1002. 答案：1003
1002
11.已知一个等差数列的前四项和为21,末四项和为67,前n 项的和为286,求项数. 解:因为a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3,
a 1+a n =
4
6721+=22, S n =2)(1n a a n +=11n=286,所以n=26. 12.在等差数列{a n }中,a 4=9,a 9=-6,求满足S n =54的所有n 的值.
解:∵a 4=9,a 9=-6,
∴⎩⎨⎧-=+=+)2(,68)1(,
9311d a d a
解得d=-3,a 1=18.
∵S n =18n+2
)1(-n n ×(-3)=54,整理得n 2-13n+36=0,解得n=4或n=9. 更上一层
1.已知等差数列{a n }中,S 3=21,S 6=24,求数列{|a n |}的前n 项和T n .
解:将新数列{|a n |}向原有等差数列{a n }靠拢转化,从而利用等差数列的性质、公式.设公差为d,则有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=,242566,2122331613d a S d a S 解得⎩⎨⎧-==,2,91d a ∴a n =9+(n-1)×(-2)=-2n+11.
由a n =-2n+11>0得n<52
1, 故{a n }的前5项为正,其余各项为负.
①当1≤n ≤5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =-n 2+10n,
②当n ≥6时,T n =|a 1|+…+|a 5|+|a 6|+…+|a n |=(a 1+a 2+…+a 5)-(a 6+a 7+…+a n )=S 5-(S n -S 5)=2S 5-S n =n 2-10n+50,
∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+-∈≤+-.
,6,5010,,5,10*2*2N n n n n N n n n n 2.(2001年全国)设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{n
S n }的前n 项和,求T n . 分析:先判断{
n
S n }是等差数列,然后根据等差数列前n 项和公式求T n . 解:设等差数列{a n }的公差为d,则S n =na 1+21n(n-1)d, ∵S 7=7,S 15=75,
∴⎩⎨⎧=+=+.7510515,72171
1d a d a
∴
n S n =a 1+21(n-1)d=-2+2
1(n-1). ∵11++n S n -n S n =2
1, ∴数列{n S n }是等差数列,其首项为-2,公差为2
1. ∴T n =41n 2-49n. 3.已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1(n ≥2).
(1)证明{n
S 1}是等差数列,并求公差; (2)求数列{a n }的通项公式.
解:(1)当n ≥2时,a n =S n -S n-1,又2a n =S n ·S n-1,
∴2(S n -S n-1)=S n ·S n-1.
两边同除以S n ·S n-1得2(11
-n S -n
S 1)=1, 即n S 1-11-n S =-2
1. ∴{n S 1}是等差数列,且首项11S =11a =3
1,公差为-21. (2)由(1)知
n S 1=31+(n-1)×(-21)=635n -, 即S n =n
356-. ∴a n =S n -S n-1=)
83)(53(18--n n (n ≥2). 故⎪⎩
⎪⎨⎧≥--=.2,)83)(53(18,1,3n n n n。