韩崇昭《应用泛函分析--自动控制的数学基础》第3章2

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《自动控制原理》考点精讲(第8讲非线性控制系统分析)

（2）稳定性分析很复杂线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用和初始条件无关。非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状态、输入信号有直接关系。非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话）可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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网学天地（）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
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α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。注1：线性系统的等倾线为直线；注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。

泛函分析答案

( X , ) 是第二纲集. 故有
14
第一步线索小结
进一步,由 T 的齐次性,
U (" ,r ) TB(" ,n)
U
("
,
r n
)
TB(" ,1)
取
=
r 3n
,即得U
(" ,3
)
TB(" ,1).
15
第二步证 TB(" ,1) U (" , ) .
即 y0 U (" , ), 要证 x0 B (" ,1) , 使得
§3 纲与开映象定理
3.1 纲与纲推理
与定义1.2.2 的稠密概念相联系，
引入疏集的概念.
定义2.3.1 设 ( X , ) 是一个度量
空间，集 E X ，称 E 是
疏的，如果 E 的内点在 X 内是
空的.或 E 不包含任一开球.
命题2.3.3 设 ( X , ) 是一度量空
间.为了 E X 是疏集必
( ) En0 B xn0 , rn0 =
矛盾.
3.2 开映象定理
设 X ,Y 都是 B 空间，算子 T 称
为是单射，是指 T 是1-1的，算子 T
称为是满射，是指 T ( X ) = Y .
如果 T 是一个单射，那么可以定义
T 1 ，它是线性的，但其
定义域却未必是全空间 Y .仅当它
还是一个满射时， T 1 才是 Y
下证 y0 Tw, y0 是 Tw 的内点. 事实上,
y0 Tw, x0 w, 使得 Tx0 = y0 .
因为 w 是开集, 所以 r > 0,
使得
B( x0,r ) W TB( x0,r ) Tw.

自动控制原理实验教程

Ui(S )
TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = K + 1 t
T
(t ≥ 0)
(4) 模拟电路图：如图 1.1-6 所示。
其中 K = R1 / R0 ； T = R0C
4
自动控制原理
第 1 章线性系统的时域分析
比例积分环节
R1
C
Ui
R0
_
10K
信号输入端
反相器
10K _
R0 = R1 = 200K; C = 1uF 或 2uF
Ui(S)
1
Uo(S)
TS
(2) 传递函数： Uo(S) = 1
Ui(S) TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = 1 t (t ≥ 0)
T
(4) 模拟电路图：如图 1.1-4 所示。
图 1.1-3
其中 T = R0C
Ui
R0
信号输入端
积分环节 C
_
反相器
10K
10K
_
Uo
输出测量端
R0 = 200K; C = 1uF 或 2uF
图 1.1-4 3
自动控制原理
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = 200K；C = 1uF。
理想阶跃响应曲线
Uo 无穷
Uo(t)
1 Ui(t)
0 0.2s
t
② 取 R0 = 200K；C = 2uF。
第 1 章线性系统的时域分析
实测阶跃响应曲线
Uo
10V
Uo(t)
1 Ui(t)
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = R1 = 200K；C = 1uF。
图 1.1-6

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。

本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。

⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间n R （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。

这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。

⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。

浅析泛函分析的基本概念

浅析泛函分析的基本概念泛函分析是现代数学中的一个重要分支, 它研究的是无限维空间上的函数集合, 以及函数与函数之间的关系, 使我们能够描述、研究和解决很多实际问题. 泛函分析独有的优点在于它能够描述和处理各种各样的无限维问题, 能够更加完美地对函数序列或函数空间上的各类性质进行分析, 而且很多经典数学中不能解决的问题, 泛函分析却能够给出解决的方案.泛函分析的基本概念主要包括:向量空间、集合、范数、内积、正交、测度、函数空间等等.以下是这些概念的具体阐述： 1. 向量空间向量空间是指一个满足一定公理的集合，其中这些公理一般包括向量运算的封闭性、加法结合律和交换律、零向量的存在、负向量的存在等等. 这些公理使得向量空间在进行加法和数乘运算时能够满足特定的条件.2. 范数范数是将向量空间中的向量映射到实数集合上的函数, 它通常定义为一个函数||·|| : V → R ,使得对于向量空间V中的任意两个向量，它们的范数都会有一定的关系，这关系通常包括非负性、齐次性和三角不等式等三个条件. 知道向量的范数, 可以想象向量在向量空间中的长度.3. 内积内积是向量空间中的两个向量进行一种数乘运算得到的数. 通常表示为(x, y) .内积可以描述两个向量在几何意义上是夹角余弦值. 从而可以定义正交和两个向量之间的距离.4. 正交在向量空间中, 如果两个向量的内积为0, 则这两个向量互相称之为正交向量. 在物理、机械等领域, 这个概念是经常用到的, 比如向量空间中的两个力相对偏轴正交等等，都是通过正交概念来进行描述的.5. 测度测度是将集合映射为其在一定空间上的数字性质.测度通常用于描述空间上的某些性质，如长度、面积、体积等，它们都是通过某种测度来进行度量的.这个概念经常用于描述概率论、拓扑学、微积分等领域中的问题.6. 函数空间函数空间是指一类函数的集合,函数空间中的元素是函数. 这些函数在某些特定的条件下,可以构成一个向量空间.通过对函数空间的研究, 可以得到很多关于函数性质的结论.总之,泛函分析中涉及的基本概念非常多，范围也很广.我们无法在短时间内全部理解, 因此需要不断地进行学习、思考、理解与探索, 才能真正掌握这门学科.。

《应用泛函分析》习题解答

1泛函分析与应用-国防科技大学第一章第一节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

应用泛函分析讲义第1章

在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，泛函分析用于描述和解析金融市场的动态行为，如期权定价和风险评估。
计量经济学
在计量经济学中，泛函分析用于建立经济数据的统计模型，如时间序列分析和回归分析。
微观经济学
在微观经济学中，泛函分析用于描述和解析市场供需关系和个体行为，如消费者选择和生产者行为。
02
线性空间与线性映射
线性空间的基本概念
线性空间
由满足加法和标量乘法封闭性的元素集合构成。
基与维数
线性空间中线性无关的元素个数称为该空间的维数，而线性无关的元素组称为该空间的基。
线性子空间
线性空间中的子集，满足子集中的元素也满足线性空间的定义。
线性映射的基本概念
01
02
03
线性映射
将一个线性空间的元素映射到另一个线性空间的元素，且满足线性映射的运算性质。
感谢您的观看
THANKS
03 范数的性质包括非负性、正齐次性、三角不等式等。
向量的模与向量范数的关系
向量的模是向量范数的特例，即当范数定义为向量与零向量之间的距离时，模即为该距离。
向量的模和范数具有相同的性质，如非负性、正齐次性和三角不等式等。
向量范数的性质
非负性
向量范数总是非负的，即对于任意向量x，有||x|| ≥ 0。
收敛序列的性质
收敛序列是稳定的，即对于任意给定的$varepsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| <
varepsilon$。
收敛性的判定
可以通过比较序列的各项大小、利用极限的性质或者通过级数收敛的判定定理来判断序列的收敛性。

学习泛函的书籍汇总

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控制科学与工程概要

控制科学与工程0811（一级学科：控制科学与工程）控制科学与工程学科具有博士学位授予权并设博士后流动站，在2002年全国一级学科评估中综合排名第9(其中科学研究单项排名第4)。

下设“控制理论与控制工程（081101）”、“检测技术与自动化装置（081102）”、“系统工程（081103）”、“模式识别与智能系统（081104）”、“导航、制导与控制（081105）”五个二级学科，其中“控制理论与控制工程”是国家级重点学科，“模式识别与智能系统”是北京市和部委级重点学科，“导航、制导与控制”和“检测技术与自动化装置”是部委级重点学科。

控制科学与工程是研究控制的理论、方法、技术及其工程应用的学科。

控制科学以控制论、系统论、信息论为基础，研究各应用领域内的共性问题，即为了实现控制目标，应如何建立系统的模型，分析其内部与环境信息，采取何种控制与决策行为；而与各应用领域的密切结合，又形成了控制工程丰富多样的内容。

本学科点在理论研究与工程实践相结合、学科交叉和军民结合等方面具有明显的特色与优势，对我国国民经济发展和国家安全发挥了重大作用。

主要研究方向有：1．控制理论与控制工程：复杂系统的建模、控制、优化、决策与仿真；鲁棒控制与非线性控制；工程系统的综合控制与优化；运动控制系统设计与分析；先进控制理论与方法。

2．模式识别与智能系统：智能控制与智能系统；专家系统与智能决策；模式识别理论与应用；智能信息处理与计算机视觉；生物信息学。

3．导航、制导与控制：惯性定位导航技术；组合导航及智能导航技术；飞行器制导、控制与仿真技术；惯性器件及系统测试技术；火力控制技术。

4．检测技术与自动化装置：先进传感与检测技术；新型执行机构与自动化装置；智能仪表及控制器；测控系统集成与网络化；测控系统的故障诊断与容错技术。

5．系统工程：系统工程理论及应用；系统分析、设计与集成；系统预测、决策、仿真与性能评估；网络信息技术、火控与指控系统技术；复杂系统信息处理、控制与应用技术。

泛函分析讲义

泛函分析讲义第五章Banach代数1代数准备知识2 Banach代数2．1 Banach代数的定义2．2 Banach代数的极大理想与Gelfand表示3例与应用4 c’代数5 Hilbert空间上的正常算子5．1 Hilbert空间上正常算子的连续算符演算5．2正常算子的谱族与谱分解定理5．3正常算子的谱集6在奇异积分算子中的应用第六章无界算子1 闭算子2 cayley变换与自伴算子的谱分解2．1 cayley变换2．2自伴算子的谱分解3无界正常算子的谱分解3．1 B0rel可测函数的算子表示3．2无界正常算子的谱分解?4 自伴扩张4．1 闭对称算子的亏指数与自伴扩张4．2 自伴扩张的判定准则5自伴算子的扰动5．1稠定算子的扰动5．2自伴算子的扰动5．3 自伴算子的谱集在扰动下的变化?6无界算子序列的收敛性6．1预解算子意义下的收敛性6．2图意义下的收敛性第七章算子半群1无穷小生成元1．1无穷小生成元的定义和性质1．2 Hme—Yosida定理2无穷小生成元的例子3单参数酉群和Stone定理3．1单参数酉群的表示——stone定理3．2 stone定理的应用1．B0chner定理2．Schr6dinger方程的解3．遍历(ergodic)定理3．3 Trotter乘积公式4 Markov过程4．1 Markov转移函数4．2扩散过程转移函数5散射理论5．1波算子5．2广义波算子6发展方程第八章无穷维空间上的测度论1 C[O，T]空间上的wiener测度1．1 C[O，T]空间上wiener 测度和wiener积分1．2 Donsker泛函和Donske卜Lions定理1．3 Feynman—Kac公式2 Hilbert空间上的测度2．1 Hilbert—Schmidt算子和迹算子2．2 Hilbert空间上的测度2．3 Hilbert空间的特征泛函3 Hilbert空间上的Gauss测度3．1 Gauss测度的特征泛函3．2 Hilbert空间上非退化Gauss测度的等价性清词丽句必为邻2015-09-21 04:05 | 豆瓣：烟波浩渺1980杜甫的《戏为六绝句》（其五）不薄今人爱古人，清词丽句必为邻。

韩崇昭《应用泛函分析--自动控制的数学基础》课件第1章

综合自动化研究所
应用泛函分析
泛函分析的研究对象
经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。
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应用泛函分析
本课程的特点与学习方法
系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，这是分析的逆问题。传统的综合方法不仅费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。现代的综合方法倾向于构造能用计算机实现的某些算法。迭代算法或递推算法的收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。系统建模和系统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。所以，学习本课程还要求掌握构造各种算法的技能，并能对其数值稳定性等进行分析。
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应用泛函分析
泛函分析的研究内容
线性泛函分析是本书讨论的重点，同时还涉及非线性泛函分析的基本知识，特别是有关凸集和凸泛函的凸分析理论，这对比较广泛的一类泛函求极值问题有着重要意义。非线性泛函分析还要把有限线性空间上函数微积分的概念，推广到无限维线性空间上算子的微积分。最后,还要研究泛函分析在工程技术,特别是自动控制中的应用,包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、泛函优化与最优控制，以及控制问题的数值计算等。

韩崇昭《应用泛函分析--自动控制的数学基础》第3章1

度量空间的点集
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应用泛函分析
度量空间的点集
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应用泛函分析
度量空间的点集
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应用泛函分析
度量空间的点集
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应用泛函分析
度量空间的点集
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应用泛函分析
度量空间的点集
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应用泛函分析
度量空间的点集
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应用泛函分析
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度量空间的紧集
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度量空间的紧集
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应用泛函分析
度量空间的列紧集
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应用泛函分析
度量空间的列紧集
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应用泛函分析
度量空间的列紧集
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应用泛函分析
函数空间的紧性
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应用泛函分析
度量空间的完备化
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度量空间的完备化
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应用泛函分析
度量空间的完备化
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应用泛函分析
度量空间的纲集特性
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应用泛函分析
度量空间的纲集特性
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应用泛函分析
度量空间的纲集特性
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应用泛函分析
度量空间的完全有界集
度量空间的点列及其收敛
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应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
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应用泛函分析
度量空间的点列及其收敛
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应用泛函分析

泛函分析重要内容

们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。

Chp.1距离线性空间SS1.选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：（1）若a在b之先，则b便不在a之先。

（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。

这种先后关系记作■-良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。

良序集的超限归纳法：（1）!… 为真，这里「是A中最先的元素。

2）厂'’对一切- ，-'，为真，则1；卜;:L亦真那么「对一切a E 4皆真。

选择公理设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切:L N都有「\部分有序称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系& - ，它据有性质：。

Y 心；If a and BY% then a = &; 7/ a band b Y® then呛Y 起例如X中包换关系在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的C：门；.兀心化心強工冷总好宀百例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。

佐恩引理设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。

从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋范线性空间SS2.线性空间，哈迈尔（Hamel ）基线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。

线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。

线性流形的和M+N :所有形如m+n的元素的集合，其中m € M, n € N 线性流形的直和：如果M AN={ 0}则以代替M+N如果.- ?.-■：■■ ■；；.；，则称M与N是代数互补的线性流形。

于是有下述定理：定理2.1设M,N是线性空间X的线性流形，则.< —⑴当且仅当对每个x€ X都有唯一的表达式x=m+n, m € M,n € N.定理 2.2 若上一.：：:=：卜，贝Ll dimX=dimM+dimNHamel基的定义：设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果（1）H是线性无关的。

哈工大应用泛函分析最后论文

应用泛函分析在控制工程中的应用在研一上学期的课程学习过程中,我学习了《应用泛函分析》这门课程，刚接触这门课程的时候，觉的这门课是对数学理论的高度抽象，自己掌握的也是一知半解，并没有深入的去了解该课程对自己今后从事科研工作到底有什么样的帮助，随着学习理论知识的加深，结合王洋老师的《数字信号处理基础》和韩崇昭老师的《泛函分析——系统自动控制的基础》这两本书，我对泛函分析在机械工程和自动控制方面的应用有了一定的了解,以下我就来谈谈我眼中的应用泛函分析这门课程。

首先说一下应用泛函分析这门课程是如何产生并得到发展的。

人们在研究各种自然系统、社会经济系统和工程系统时，发现其内在机理有神奇的相似之处,它们都可以用同一的数学工具进行描述和分析,而针对某一特定类型系统研究的结论，也很容易移植到另一类型的系统。

系统科学或系统工程,正是研究各种系统共同规律的一门边缘学科，而控制理论则偏重于人或外部因素对系统行为的作用。

我由本学期开设的《控制理论及其应用》这门学科中知道,控制理论、系统工程以及其他应用学科的现代研究方法,往往首先需要建立一个用于描述对象特征的数学模型，进而利用这些模型来分析其静态或者动态的行为，诸如稳定性、能控性、能观性、能镇定性等等，或者设计某个控制策略或决策方案，从而产生对系统的有效控制作用,使之按人们预期的目标发展。

而现实的对象,除了极少数可利用物理定律或社会经济规律进行机理建模之外,大多数需要利用实测数据,按照某种方法,借用计算机辨识建模。

对于系统的分析或控制,除了要求掌握专门领域的知识之外，都需要掌握各种数学方法和计算工具,当代计算机技术的辉煌成就，给人们提供了这种研究的可能性，而现代数学理论的发展,已经和正在不断的为控制理论和系统科学提供强有力的分析和计算方法,应用泛函分析正是在这种背景和需求的情况下产生和发展起来的。

那么究竟什么是应用泛函分析呢,我个人认为,泛函分析是高度抽象的数学分支，是研究各类泛函空间及算子的理论。

泛函分析习题

泛函分析习题泛函分析练习题⼀名词解释：1.范数与线性赋范空间2.⽆处稠密⼦集与第⼀纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算⼦6. 内点、内部：7. 线性算⼦、线性范函：8. ⾃然嵌⼊算⼦9. 共轭算⼦10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算⼦：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy 列18.⾃反空间⼆、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算⼦定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。

证明：,,x y z X ?∈显然有（1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。

（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。

2，设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。

证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。

故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。

3.考虑[,]C a b 上的⾮线性积分⽅程()(,,())()ba x t k t s x s ds t λ?-=?其中[,],(,,)C a b k t s ?ω∈是[,][,]a b a b R ??上的连续函数，满⾜1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ⾜够⼩时，此⽅程存在唯⼀解0[,]x C a b ∈。

泛函分析的若干参考书

泛函分析的若干参考书自从我开始发布泛函分析公开课视频一来，总有人问我用神马参考书，其实我的讲座一般都是没有固定参考书的，倒是希望有人把笔记整理出来，变成一本新的泛函分析参考书。

下面我就来罗列一下泛函分析及其后续课程的相关参考书，可能不是多么全面，但却更有Strongart教授本人的个性特征啊！最简单的泛函分析入门书籍应该是：[1] 克雷斯齐格, Kreyszing E, 蒋正新, 等. 泛函分析导论及应用[M]. 北京航空学院出版社,1987.这本书实际上是中译本，原始版本就不再考证了，它更适合一般理工科学生学习，没有实变函数基础也能顺利阅读，而且也包括了泛函中的经典内容。

即便是学了高深的内容，回头看一下对应的初级讲法与例子也是很有意思的。

当然啦，一般还是希望学泛函之前先学好实分析，国内有些地方喜欢把实变函数与泛函分析合在一起，相应的教材大都比较陈旧，这里我就不推荐了，可以使用的泛函分析中文书有：[2] 张恭庆, 林源渠, 郭懋正. 泛函分析讲义[M]. 北京大学出版社, 1990.此书有上下两册，写的还是比较简明的，三大定理与Hilbert空间的谱论都写的比较清晰，同时包括了泛函分析对其他数学学科的经典应用，一般学到下册第六章前半部分就可以了，后面基本上属于比较专题的内容。

假若想要详细学习泛函的话，可以选用这本比较有革新意义的教材：[3] 定光桂. 泛函分析新讲[M]. 科学出版社, 2007.这本书应该说是脱胎于他巴拿赫空间引论，其丰富程度要超过一般的泛函分析书籍，可以说是泛函分析方向（而不是一般数学研究生）所用的泛函分析书，只要有点耐心的话一定是大有收获的。

中文书还要提两本辅助读物，先是一本带有布尔巴基风格的参考书：[4] 胡适耕，张显文抽象空间引论[M]. 科学出版社，2005.它包括了一般拓扑学与泛函分析的主干内容，把不同的知识放到最适合它的舞台上，其证明常常是最小化的，只是相应的知识密度比较大，不适合用来初学入门，但学到相关知识时用来查阅还是不错的。

泛函分析搜索目录

南昌大学泛函分析下册搜索目录第六章（3-63）§11.1距离空间的定义及例距离的定义，以及满足的三个条件P3距离空间的定义，以及满足的三个条件P4例1 n维欧式空间R n，元素为n维实向量（），按照距离（1）（1′）是一个距离空间P4-5，由例1得在一个集合中定义距离的方式不是唯一的柯西不等式P5C n，元素为n维复向量（），按照距离（1）是一个距离空间P6例2 空间C[a,b]，元素为所有实（或复）连续函数，按照距离（3）是一个距离空间P6-7例3 L p（F）（1≤p＜无穷，且为可测集），元素为p幂可积函数，按照（4）是一个距离空间P7例4 空间L无穷（F），元素为本性有界的可测函数，按照距离（5）是一个距离空间P7-8例5 空间l p（1≤p＜无穷），元素为实（或复）数列，按照（9）是一个距离空间P8-10例6 空间l无穷，元素为一切有界的实（或复）数列，按照（10）是一个距离空间P111.2距离空间中的收敛及其性质定义1.2：点列{x n}收敛于x0，称x0为{x n}的极限P11定理1.1 设{x n}是距离空间X中的收敛点列，则下列性质成立：①{x n}的极限唯一；②对任意的y0∈X，数列{ρ（x n，y0）}有界。

P11定理1.2设{x n}是距离空间X中的收敛点列，且收敛，则{x n}的任一子列{x nk}也收敛，且收敛于同一极限。

反之，若{x n}的任一子列收敛，则{x n}本身也收敛P12 R n收敛的充分必要条件是P12C[a,b]收敛的充分必要条件是P12-13对于任何一个非空集合，我们都可以定义距离；定义距离的方式不唯一；如果一个非空集合中定义了两个或两个以上的距离，那么由它们本身导出的收敛可以等价也可以不等价。

当不等价时，便得到本质上不同的两个或两个以上的距离空间。

P14§22.1几种特殊的点集定义2.1 开球、闭球、球形领域、领域的概念P15定义2.2 内点、内部、开集（空集规定为开集）的概念。