北师大版数学(理)提升作业：4.2平面向量的坐标运算(含答案)

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高中数学第二章平面向量的坐标运算例题讲解素材北师大版必修4

平面向量的坐标运算学习了向量的坐标表示后，我们可以把向量运算代数化.将数与形紧密结合起来，从而使许多问题转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化.下面举例说明平面向量的坐标运算在解几类题中的应用.一、两向量相等问题例1 已知向量=u ()，x y 和向量v (2)=-，y y x 的对应关系可用v =f ()u 表示，求证：对任意向量，a b 及常数，m n ，恒有(f m a +n )b =mf ()a ＋nf ()b 成立．证明：设a 12()=，a a ，b 12()b b =，，则m +a n b 1122()=++，ma nb ma nb ，(f m ∴+a n b 222211)(22)ma nb ma nb ma nb =++--，， mf ()a nf +()b 221221(2)(2)m a a a n b b b =-+-，， 222211(22)=++--，ma nb ma nb ma nb(f m ∴+a n b )=mf ()a nf +()b 成立．点评：两个向量相等，对于用坐标表示的向量，就是这两个向量的坐标相同.为应用题设条件，必须用坐标表示向量，通过坐标进行运算，从而解决问题.二、点的坐标问题例2 如图1，已知正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为(10)(53)，，，，求C 点的坐标．解：过D B ，作x 轴的垂线，垂足分别为M N ，，由ABCD 是正方形可知90αβ+=．易知DMA ANB △≌△，34MA DM ==，，即点D 的坐标为(24)-，．设()C x y ，，则(24)(43)DC x y AB =+-=，，，．由DC AB =，得2443x y +=⎧⎨-=⎩，，解得27.x y =⎧⎨=⎩，故点(27)C ，．点评：解决本题的关键在于把握好向量相等或向量加、减运算的坐标表示与图形表示之间的关系，运用“数形结合”的思想转化解题.三、三点共线问题例3 过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于A B ，两点，过A B ，分别作x 轴的垂线交函数2log y x =的图象于C D ，两点．求证：O C D ，，三点在一条直线上．证明：设181282(log )(log )A x x B x x ，，，，则181282(log )(log )OA x x OB x x ==，，，，根据已知OA 与OB 共线，182281log log 0x x x x ∴-=．又根据题设条件可知121222(log )(log )C x x D x x ，，，，12122(l o g )(l o g )O C x x O D x x ∴==，，，． 122221log log x x x x -3333122122log log x x x x =-1822813(log log )0x x x x =-=，OC ∴与OD 共线，即O C D ，，三点在一条直线上．点评：本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式.通过构设点的坐标，改用向量的坐标运算来论证，十分简捷、新颖、巧妙.四、几何问题例4 已知ABC △的面积为214cm ，D E ，分别为边AB BC ，上的点，且::2:1AD DB BE EC ==，且AE 交CD 于P ，求APC △的面积．解：如图2，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设(00)(30)(33)A B a C b c ，，，，，，则2(20)3AD AB a ==，，22(333)(222)33BE BC b a c b a c ==-=-，，，(22)AE AB BE a b c =+=+，， (323)DC DB BC b a c =+=-，．点A P E ，，和D P C ，，分别共线，∴存在λ和μ，使((2)2)AP AE a b c λλλ==+，，((32)3)DP DC b a c μμμ==-，．又(2(32)3)AP AD DP a b a c μμ=+=+-，，(2)2(32)23a b a b a c c λμλμ+=+-⎧∴⎨=⎩，①， ② 由②得23μλ=，代入①，化简得76a a λ=．0a ≠，67λ∴=，264377μ∴=⨯=．于是，PAB △的面积为24148(cm )7⨯=，PBC △的面积为261412(cm )7⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故APC △的面积为214824(cm )--=．点评：本题是通过建立直角坐标系，构设点的坐标后转化为向量的坐标运算，确定出P 点的位置来求解的，体现了数学建模思想的运用.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

(完整版)北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析

第5课时平面向量的坐标表示及其运算、课程学习目标1. 掌握向量的正交分解及坐标表示，理解直角坐标系中磁的特殊意义•2. 理解向量坐标的定义，并能正确用坐标表示坐标平面上的向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示3. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算4. 理解用坐标表示平面向量共线的条件左知识记忆与理解二I靠学区■不看不讲W Jfi ‘IRgieF■’TV]知识徉系梳理iisva足球运动员在踢足球的过程中，将球踢出时的一瞬间的速度为U.能否建立适当的坐标系，表示踢出时的水平速度和竖直速度？能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢？问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 ___________ 的向量的线性表示，叫作向量的正交分解，向量的正交分解是平面向量基本定理的特例，即当基底e i、e2 _______________ 时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，如图，以坐标原点0为起点作；^=a，由平面向量基本定理可知，一对实数x，y，使得碘僅 _________ ，因此a=xi+yj.我们把实数对__________ 叫作向量a的坐标，记作___________ .问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1) 向量和的坐标运算：若a=(x i, y i)，b=(X2, y2)，则a+b= ____________ .即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2) 向量差的坐标运算：若a=(x i, y i)，b=(X2, y2)，则a-b= ______________ .即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3) 实数与向量的积的坐标运算：设入€ R, a=(x, y),贝U入a= __________ .即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积⑷漏的坐标表示：若A(x i, y i), B(X2, y",则凤菸.一-丽= ________________________ .即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标:量知行j lin,若a=(3,4),则a可以用).B a= 3i- 4j C.a=- 3i+ 4j D.a= 4i+ 3ja=(1,2), b=(-2, m),且a// b,则2a+3b=( ).B(-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5, -10)入二.思维探究与创新J第二层级\导学凰讦辺栉A ft A A童点港点探究()««-平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中，向量a, b的位置如图所示，已知|a|= 4, |b|= 3,且 / AOx=45° , / OAB=05° ,分别求向量a, b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),巳2,8)及.=爾，卜，-：!=*.疣，求点C、D和广门的坐标."三平行向量的坐标运算已知四边形ABCD勺顶点依次为A(0, -x), B(x2,3), C(x,3), D(3x,x+4),若AB// CD求x 的值.才A K A他力JMMt思维拓展应用直用一在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1) 用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2) 用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位；(3) 用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.已知A、B C的坐标分别为A(2, -4)、耳0,6)、C(-8,10),求向量一+2存-：黍的坐标.应用三已知a=(1,2), b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向用与9&展国孝区・不嵐不许世祀「It僅救虚幌、基础智能检测1. 设向量，.=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().A (5,12) B. (12,5) C(2,1) D . (1,2)2. 已知点A(1,3), B(4, -1),则与向量乔？同方向的单位向量为().A(f,峙)B. (£,-吉C (-謠)D.(看)3. 已知边长为单位长度的正方形ABCP若A与坐标原点重合，边AB AD分别落在x轴、y轴正方向上，则向量2._+3_._+評的坐标为 ________ .4. 已知平行四边形ABC啲三个顶点ABC的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.料样・鼻祀5槻* $丄杞全新视角拓嚴(2013年•陕西卷)已知向量a=(1, m), b=(m2), 若a// b,则实数m等于().A-‘历B血 C.-桎或洛 D. 0考题变式(我来改编):第5课时平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1:相互垂直垂直答案学滋社卞,'1歩•表朱1细> illl.t ： .71-： ff ：讥位n|fiO tJ J .<■卡初内杆：一向» 0 .邙几刊一引W ®S|需国刃为向踐■的喙喬表亦”记作■二¥腐向ft的世孙袁拆1li'JBf'^j 的舉标址算"他』）上赳知加上」4l"ia屮舟41*比・蛊屣嘉車忧・学习体验分事问题 2:有且仅有 xi+yj (x , y ) a=( x , y )问题 3：(1)( X 1+X 2, y i +y 2) (2)( X 1-X 2, y i -y 2)(3)(入 x,入 y)(4)( X 1-X 2, y i -y 2)问题 4: a=Xb (入 X 2,入 y2) 入 X 2 Xy 2 X i y 2-X 2y i =0 零 = 成比例 T-a "W M基础学习交流 1. A a=(3,4) =3i+ 4j.2. C 由 a=(i,2), b=(-2, m ),且 a // b ,得 i x m=2X (-2)?m=4,从而 b=(-2, -4),那么 2a+3b=2X (i,2) +3 X (-2, -4) =(-4, -8).3.2 •.•入 a+b=(入+ 2,2 入+3)与 c=(-4,-7)共线,A (入+2) X (-7)-(2 入+3) X (-4) =0,解得入二2.4.解:⑴ a+b=(-i,2) +(3, -5) =(-i +3,2 -5)=(2, -3), a-b=(-i,2) -(3, -5) =(-i -3,2 +5) =(-4,7),2 a+3b=2(-i,2)+3(3, -5) =(-2+9,4-i5) =(7, -ii).(2)3 a-b+c=3(i, -3)-(-2,4) +(0,5) =(3, -9) -(-2,4) +(0,5) =(3+2+0, -9-4+5) =(5, -8). 重点难点探究探究一:【解析】设 a=(a i , a 2), b=( b i , b 2), ■/ Z AOx=5°, Aa i =|a| cos 45 ° =4X =2J*a 2=|a| sin 45 ° =4X 字=2界，A a=(2 搭,2 叔)=y ,AA 点的坐标为(2嵌,2雨).将b 的起点平移至原点，令b 的终点为B', 由题意可知Z B'Ox=i20°,所以 b i =|b| cos i20 ° =3X (-.)=-], b 2=|b| sin i20 ° =3X 手•• b =(-，).又•/ b=^=.-- %：•••一 =b+. =(2 J?- ,2 .+ ). 故 a=(2 - ,2), b=(--,^^), A 点的坐标为(2 讹£,2皿-),B 点的坐标为(2 --.,2 .+•).【小结】(i)相等向量的坐标是相同的，而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时，常常需要把始点不在原点的向量移到原点 .(2) 起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标，起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标(3) 若已知向量a=(x ,y ), a 的模为|a| , a 的方向与定义可知，x=|a| cos e , y=|a| sin e.要注意公式中的角.探究二：【解析】设点乳=(X i +i, y i - 2),皿;=(3,6),曲;=(-i -x 2,2 -y 2), •.•朋=；抄：,兀=冷丽，/. (X i +i,y i -2) = (3,6) =(i,2), (-i -x 2,2 -y 2)=-；贝U 有-和解得「和. A 点 C D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0), ,=(-2,-4).【小结】求点的坐标时，可先设点的坐标，根据题中给出的关系，列出方程组求解即可. 探究三：【解析】T AB// CD A ：- //亠，X 轴正方向的夹角为e ,由三角函数的 e是向量a 的方向与X 轴正方向的夹C (x i , y i ),D (X 2, y 2), 由题意得-3,-6) =(i,2),f-L-xa = 1,)"J —Il J—学一乙- 2 ■又：，=(x , x+3)^ _ =(2x, x+1),2•••x (x+1)-2x(x+3)=0,解得x=- 2或x=0或x=3.［问题］上述解法正确吗？［结论］不正确，错误一：没有注意四边形ABC□顶点的顺序，需满足，亠，…反向才行• 错误二：没有注意向量的平行与线段平行的不同，一 // 一一时,AB与CD可能平行也可能重合.=-.(10，-4) =-_(a-3b).k=-.,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2 k+2), a-3b=(10, -4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数入, 使ka+b=X (a-3b),由(k-3,2 k+2) = X (10, -4),•••当k=-时，ka+b 与a-3b 平行, 这时ka+b=-. ( a- 3b).V O, 向相反.• k=-.,此时ka+b与a-3b平行,并且反向基础智能检测1. D 设点 B 的坐标为(x, y),..=(x,y)_. =(3,7), 」=..-丽［=(x-3,y-7)=(-2,-5), •_ 解得叮二2. A ：_=(3, -4),所以| 一 |=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.3.于是,正确解答如下：札话=(x1 2 3, x+3), T；=(2X, x+1),•••在四边形ABCD^ ,AB// CD二嘉与莎平行且反向.J JHL- H_dflL ■皿■ a-V J -------解得x=-2.C Q ■ -TT% 、h fh曰,是经检验，x=- 2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况背景的向量平行中就要排除共线的情况不能在同一条直线上且反向平行思维拓展应用应用一：设(1)(2)(3) F(X1, yd,Q X2, y2), R>3, y3).，但在含有几何,如本题中要保证ABC是四边形就要注意向量歹？一的向量分另U为乩=a,=b，乔？=c,并设(*-a = ia^ b办+ 7 —-J.3解得(3,4) 如图，建立直角坐标系，有A(0,0), B(1,0), Q1,1), Q0,1),即一 =(1,0),諮=(0,1),..=(1,1),则有2」+3-- + ..=(2,0) +(0,3) +(1,1) =(3,4).4.解：设顶点D的坐标为(x, y).亠=(-1-(-2),3 -1)=(1,2), =(3-x ,4-y),由乔=…，得(1,2) =(3 -x ,4 -y)..i 一…：. -…1戈二4-V,…5 =亍・•顶点D的坐标为(2,2).全新视角拓展C 因为a=(1, n)i, b=(m2),且a// b,所以1 ^2 =m- n? m=±^,所以选C.思维导图构建xi+yj (x, y) (X1±X2, y1 ±y2) (入X1, Xy 1) (x2-x 1, y2-y 1) X1y2=X2y1(1) 如图，因为/ POP'=45°, | 裕|=2,所以a=^=-F+^=^i+；.^j ,所以a=(羽，屜).(2) 因为/ QOQ'=O°,同|=3,所以b=^=吋+.. 一玉血=-i+一j ,所以b=(二,竽).(3) 因为/ ROR'=30°, | 巫|=4,所以c=^?=..七屜=2阀i- 2j ,所以C=(2 •.画，-2).应用二：A(2, -4)、B(0,6)、C(-8,10),得，=(-2,10),…=(-8,4), ..=(-10,14),•••忌+2站-蘇=(-2,10) +2( - 8,4) - (-10,14)=(-2,10) +(-16,8) -(-5,7)=(-18,18) -(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一)ka+b=k(1,2) +(-3,2) =( k- 3,2 k+2), a-3b=(1,2) -3(-3,2) =(10, -4).■/ (ka+b) //( a- 3b),• (k- 3) X (-4)-10(2 k+2) =0,解得k=-. 此时ka+b=(-討-3, - +2) =( - ,-)。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.2.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．(1)若|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）x＝或x＝（2）(5，＋∞)【解析】(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max ，则c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．5.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．6.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为________．【答案】6【解析】由a⊥b得，4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6．当且仅当“32x＝3y”时，即y＝2x时，上式取“＝”．此时x＝，y＝1．7.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A8.四边形是平行四边形，，，则= （）A．B．C．D．【答案】（A）【解析】因为.故选（A）.【考点】1.向量的加减.2.向量的相等.9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．10.已知向量=(,),=(,)，若，则=.【答案】【解析】由已知．，解得，.【考点】平面向量的坐标运算.11.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线12.设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标为【答案】【解析】设，∵与的方向相反，故又∵，则，解得，，故答案为.【考点】共线向量，平面向量的坐标运算.13.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．-B．C．-或D．0【答案】C【解析】由a∥b,得m2-2=0,解得m=±.故选C.14.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.15.若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．【答案】(－2，－4)【解析】＝＋＝－＝(－2，－4)．16.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．17.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.18.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.19.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为()．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)【答案】D【解析】设B(x，y)，由＝3a，得解得20.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.21.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.22. .若向量，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算.23.若向量，且与的夹角为则 .【答案】（-3，-6）【解析】由与的夹角为知,【考点】向量数量积的性质和向量的坐标运算.24.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算25.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.26.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .【答案】【解析】不妨假设，则，因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算.27.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.28.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.29.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且与共线，所以，故选A.【考点】1.共线向量；2.平面向量的坐标运算30.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示31.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（2）利用向量数量积的坐标表示，可转化为角的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解.试题解析：（1）解：（1）∵∴（2）∵∴，，==7【考点】平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式.32.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模33.已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（）A．4B．6C．4D．16【答案】C【解析】因为｜2－｜，故其最大值为，最小值为，它们的和为，选C.【考点】平面向量坐标运算、平面向量的模、两角差的正弦定理.34.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，，解得，，故，故选A.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算35.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.36.已知，，，为坐标原点.（Ⅰ），求的值；；（Ⅱ）若，且，求与的夹角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求、的坐标，，利用三角函数公式化简求得；（Ⅱ）利用已知条件求，确定的值，在由求解.试题解析：（Ⅰ）,，，∴，.（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，又，，，∴.【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角与模.37.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.38.已知向量，，，若∥，则=___ ．．【答案】5【解析】因为，向量，，，所以，，又∥，所以，，故答案为5.【考点】平面向量的坐标运算39.已知平面向量，，如果向量与平行，那么与的数量积等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，，∴,.∵与平行，∴,解得.∴.∴.故选D.【考点】向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.40.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算41.已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若向量,,试求的取值范围【答案】(Ⅰ) . （Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由题意得，即. 3分由余弦定理得,. 6（Ⅱ）∵， 7∴.∵，∴，∴.∴，故. 12分【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式，正弦型函数图象和性质，余弦定理的应用。

北师大文科数学高考总复习教师用书：平面向量基本定理及坐标表示含答案

第2讲平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)在△ABC 中，设AB→＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( )解析 (1)共线向量不可以作为基底． (2)同一向量在不同基底下的表示不相同．(4)若b ＝(0,0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义．(5)向量a 与b 的夹角为∠ABC 的补角．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．(2017·福建三明月考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9) 解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D. 答案 D3．(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A4．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6. 答案－65．(必修4P88例3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎨⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.答案 (1,5)考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( )A.AD→ B.12AD → C.12BC → D.BC → (2)(2017·西安调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP→＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．解析 (1)如图所示，EB→＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →)＝EC→＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →. (2)设BP→＝kBN →，k ∈R .因为AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB→＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案 (1)A (2)311规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD→＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E为线段AO的中点．若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析(1)AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b.(2)由题意可得BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋14BD→，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案(1)14a＋34b(2)34考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝() A．(－23，－12) B．(23,12)C．(7,0) D．(－7,0)(2)(2017·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．1 B．2 C．3 D．4解析(1)3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.(2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.答案(1)A(2)D规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用．(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题．【训练2】 (1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.(2)由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 答案 (1)D (2)－3考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(教材改编)已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________．解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m －2×(－2)＝0，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，则AP→＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3).解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)．答案 (1)(－4，－8) (2)(8，－15)规律方法 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【训练3】 (1)(2017·河南三市联考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析 (1)AB→＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. (2)AB→＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54. 答案 (1)A (2)－54[思想方法]1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式．2．向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. [易错防范]1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．.2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(教材改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B2．(2016·上饶质监)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12)解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)，故选B. 答案 B3．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.4．如右图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2解析以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)，＝(x －y ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.答案 B5．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB→，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.答案 A6．(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D.7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC→等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)解析 AQ →＝PQ →－P A →＝(－3,2)，∵Q 是AC 的中点， ∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．答案 B8．(2017·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE→，则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB → C.16AC →＋12AB → D.16AC →＋32AB → 解析如图，∵EC→＝2AE →， ∴EM→＝EC →＋CM →＝23AC →＋ 12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 C 二、填空题9．(2017·广州综测)已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________. 解析因为(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以⎩⎨⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－3. 答案－310．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 1211．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12. 答案 1212．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2)表示．解析如图，MN→＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC → ＝－14AC →＋23(AC →－AB →) ＝－14e 2＋23(e 2－e 1) ＝－23e 1＋512e 2. 答案－23e 1＋512e 2能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．(2017·合肥调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2 P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A→－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．4解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )． ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3，故选C.答案 C15．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．答案 (－2，－4) 16．(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP→|＝1，PM→＝MC →，则|BM →|2的最大值是________．解析建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 494特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(1)

解析：
【分析】
设，，设，则，由，得到，，再利用，得到，再设，得到，根据，可解得结果.
【详解】
因为，所以可设，，
设，则，
由，得，所以，
由，得，化简得，所以，
所以由，得，
所以，
设，则，所以，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
所以，
故答案为： .
15．已知正方形的边长为4，若，则的值为_________________.
16．已知圆，点为圆上第一象限内的一个动点，将逆时针旋转90°得，又，则的取值范围为________．
17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是________
18．中，，，且，则 ______.
6．C
解析：C
【详解】
由题意可得 ,所以 ,又因为 ,所以 ,选C.
7．B
解析：B
【分析】
根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】
关于的方程有实根
设与的夹角为，则
又
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
此时，符合条件的点有个.
综上所述，满足题中条件的点的个数为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
9．B
解析：B
【分析】
由知，，根据平面向量的线性运算可推出

平面向量在坐标中的运算习题带答案

一．复习稳固1、以下说法正确的选项是〔D 〕A、数量可以比拟大小，向量也可以比拟大小.B、方向不同的向量不能比拟大小，但同向的可以比拟大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比拟大小.2、设O是正方形ABCD的中心，那么向量,,,AO BO OC OD是〔D 〕A、相等的向量B、平行的向量C、有一样起点的向量D、模相等的向量3、给出以下六个命题：①两个向量相等，那么它们的起点一样，终点一样；②假设||||=，a b那么a b=；③假设AB DC=，那么四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有AB DC=；⑤假设m n=，n k=，那么m k=；⑥a b，b c，那么a c.其中不正确的命题的个数为〔B〕A、2个B、3个C、4个D、5个4、以下命中，正确的选项是〔 C 〕A、|a|＝|b|⇒a＝bB、|a|＞|b|⇒a＞bC、a＝b⇒a∥bD、｜a｜＝0⇒a＝06．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，假设AB→＝a ，AC →＝b ，那么MN →＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，那么〔 A 〕A ．a 与b 方向一样B ．a =bC ．a =-bD ．a 与b 方向相反8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB→，OC →，OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA →共线的向量有 A.1个B.2个C.3个D.4个〔 C 〕9、点C 在线段AB 的延长线上，且λλ则,,2CA BC AB BC ==等于( D)A ．3B ．31C ．3-D ．31-10.设a 、b 是不共线的两个非零向量,(1)假设2,3,OA a b OB a b OC =-=+=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线; (2)假设8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值. 正负4 导学稿平面向量的坐标运算教学目标：理解平面向量的坐标概念；掌握平面向量的与、差与积的坐标运算。

2024-2025年北师大版数学必修第二册2.4.2平面向量及运算的坐标表示(带答案)

4．2 平面向量及运算的坐标表示必备知识基础练知识点一向量的坐标运算1．已知向量OA → ＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB → 的坐标是( )A ．(－4，12 )B ．(4，－12 )C ．(－1，－32) D ．(8，1)2．已知点A (2，－4)，点B (－1，3)，点C (3，4)，若CM → ＝2CA → ＋3CB →，求点M 的坐标．3．已知点A (1，－2)，B (2，1)，C (3，2)和D (－2，3)，求AC → ，AB → －2CD →的坐标．知识点二根据向量平行的坐标表示求参数4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，c ＝(4，k )，若(a ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－16 D ．165．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？知识点三向量坐标运算的综合应用 6.如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．关键能力综合练一、选择题1．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝( )A ．2B ．52C ．32D ．232．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．2B ．4C ．12D ．143．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，c ＝(11，7)，若c ＝k a ＋l b ，则k ，l 的值为( ) A ．－2，3 B ．－2，－3 C ．2，－3 D ．2，3 4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4，5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1，1)}B ．{(1，2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅5．(易错题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1，5)或(5，5)B ．(1，5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1，5)或(5，－5)或(－3，－5) 二、填空题6．平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC → ＝12BC →，连接DC 并延长，取点E 使CE →＝14DE → ，则点E 的坐标为________．7．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为：m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为：m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d ).设m ＝(p ，q )，若(1，2)m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m ＝________．8.如图，点C 在半径为1，圆心角2π3的扇形OAB 的弧AB 上运动．已知OC → ＝xOA → ＋yOB →，则当∠AOC ＝π6时，x ＋y ＝________；x ＋y 的最大值为________．三、解答题9．(探究题)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA →＝c ，且CM → ＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求点M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．学科素养升级练1.(多选题)已知线段AB 的端点分别为A (x ，5)，B (－2，y )，C (1，1)是直线AB 上的点，且有|AC → |＝2|BC →|，则x ＋y 的值可以是( )A ．8B ．－2C ．6D ．－62．(学科素养——逻辑推理)已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y ，2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标．4．2 平面向量及运算的坐标表示必备知识基础练1．答案：A解析：12 AB → ＝12 (OB → －OA →)＝12 [(－5，－1)－(3，－2)]＝12 (－8，1)＝(－4，12 )，所以12 AB → ＝(－4，12).2．解析：由A (2，－4)，B (－1，3)，C (3，4)，得CA →＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， CB →＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)，所以CM → ＝2CA → ＋3CB →＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).设点M 的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x －3，y －4). 由向量相等坐标相同可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14，y －4＝－19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11，y ＝－15. 所以点M 的坐标为(－11，－15).3．解析：由题意得AC → ＝(2，4)，AB → ＝(1，3)，CD →＝(－5，1). ∴AB → －2CD →＝(11，1). 4．答案：C解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，c ＝(4，k )，所以a ＋b ＝(1，2)＋(－2，2)＝(－1，4)，又(a ＋b )∥c .所以－1×k ＝4×4，解得k ＝－16.故选C.5．解析：方法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b ). 由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13 .当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13 a ＋b ＝－13 (a －3b )，因为λ＝－13＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．方法二由题意知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝(－13 －3，－23 ＋2)＝－13 (a －3b ).所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．6．证明：(1)以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，令|AD → |＝1，则|DC → |＝1，|AB →|＝2. 因为CE ⊥AB ，而AD ＝DC ，所以四边形AECD 为正方形．所以可求得各点坐标分别为E (0，0)，B (1，0)，C (0，1)，D (－1，1)，A (－1，0).(1)因为ED →＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， BC →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以ED → ＝BC → ，所以ED → ∥BC →，即DE ∥BC .(2)因为点M 为EC 的中点，所以M (0，12)，所以MD →＝(－1，1)－(0，12 )＝(－1，12 )，MB →＝(1，0)－(0，12 )＝(1，－12).所以MD → ＝－MB → ，所以MD → ∥MB → .又MD 与MB 有公共点M ，所以D ，M ，B 三点共线．关键能力综合练1．答案：C解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则AB → ＝(4，6).又AB →与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝32.故选C.2．答案：B解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1).所以a ＝AO → ＝(－1，1)，b ＝OB → ＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3).因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ ＝4.故选B. 3．答案：D解析：∵a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，c ＝(11，7)，∴(11，7)＝k (1，2)＋l (3，1).即⎩⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l ，7＝2k ＋l ，解得k ＝2，l ＝3.故选D.4．答案：C解析：设a ∈M ∩N ，则存在λ和μ使得(1，2)＋λ(3，4)＝(－2，－2)＋μ(4，5)，即(3，4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ).∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－3λ＝3，5μ－4λ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0. 所以a ＝(－2，－2).故选C.5．答案：D解析：设A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ；(1)若▱ABCD ，则AB → ＝DC →，∴D (－3，－5)；(2)若▱ACDB ，则AC → ＝BD →，∴D (5，－5)；(3)若▱ACBD ，则AC → ＝DB →，∴D (1，5).综上所述，点D 的坐标为(1，5)或(5，－5)或(－3，－5).故选D.6．答案：(－8，－53)解析：设C (x ，y )，由AC → ＝12BC →，得(x ＋2，y －1)＝12(x －1，y －4).即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝12（x －1），y －1＝12（y －4）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.即C (－5，－2).又E 在DC 的延长线上，且CE → ＝14DE →，设E (a ，b )，则(a ＋5，b ＋2)＝14 (a －4，b ＋3)，解得a ＝－8，b ＝－53 ，所以E (－8，－53).7．答案：(2，0)解析：由(1，2)m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2， ∴(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0).8．答案：3 2 解析：以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，过点O 作OA 的垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A (1，0)，B (－12 ，32 )，OA → ＝(1，0)，OB →＝(－12 ，32)，当∠AOC ＝π6 时，C (32 ，12 )，则OC →＝(32 ，12 )，由于OC → ＝xOA → ＋yOB → ，故(32 ，12 )＝x (1，0)＋y (－12 ，32 )，即⎩⎪⎨⎪⎧32＝x －12y ，12＝32y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝233，y ＝33，故x ＋y ＝3 ；设∠AOC ＝α，(0≤α≤2π3)，则OC →＝(cos α，sin α)，于是由OC → ＝xOA → ＋yOB → ，得(cos α，sin α)＝x (1，0)＋y (－12 ，32)，即⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，故x ＋y ＝cos α＋3 sin α＝2sin (α＋π6)，由于0≤α≤2π3 ，故当α＝π3 时，2sin (α＋π6)取最大值2，即x ＋y 的最大值为2.9．解析：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. ∴实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点． ∵CM → ＝OM → －OC →＝3c ， ∴OM → ＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M (0，20).又∵CN → ＝ON → －OC →＝－2b ， ∴ON → ＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N (9，2). ∴MN →＝(9，－18).学科素养升级练1．答案：BC解析：由|AC → |＝2|BC → |，且C 在直线AB 上，得AC → ＝±2BC →.由题意，得AC → ＝(1－x ，1－5)＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(1＋2，1－y )＝(6，2－2y ).①当AC → ＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，所以x ＋y ＝－2；②当AC → ＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，所以x ＋y ＝6.综上，x ＋y 的值为－2或6，故选BC.2．解析：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2，2a 2－a 1)＋n (b 2，2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1). ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)f (a )＝(1，2×1－1)＝(1，1)， f (b )＝(0，2×0－1)＝(0，－1).(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y ，2y －x )＝(p ，q )， ∴y ＝p ，2y －x ＝q ，∴x ＝2p －q ，即向量c ＝(2p －q ，p ).。

高中数学复习方略课时提升作业：4.2平面向量的坐标运

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课时提升作业(二十六)一、选择题1.(2013·宝鸡模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )(A)-a+b(B)a-b(C)-a-b (D)-a+b2.(2013·蚌埠模拟)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+sinθ),若a∥b,则锐角θ等于( )(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°3.(2013·抚州模拟)原点O是正六边形ABCDEF的中心,=(-1,-),=(1,-),则等于( )(A)(2,0) (B)(-2,0)(C)(0,-2) (D)(0,)4.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )(A)(2,0) (B)(0,-2)(C)(-2,0) (D)(0,2)5.如图所示,已知=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是( )(A)c=b-a(B)c=2b-a(C)c=2a-b(D)c=a-b6.(2013·西安模拟)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是( )(A)m≠-2 (B)m≠(C)m≠1 (D)m≠-17.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=k e1+e2.给出以下结论:①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2;②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2;③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线;④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.其中正确结论的个数是( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )(A)(x-1)2+(y-2)2=5(B)3x+2y-11=0(C)2x-y=0(D)x+2y-5=09.(2013·黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设=α+β,则α+β的最大值是( )(A) (B) (C) (D)10.已知a=(sinα-cosα,2014),b=(sinα+cosα,1),且a∥b,则tan2α-的值为( )(A)-2014 (B)- (C)2014 (D)二、填空题11.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为.12.如图,在□ABCD中,=a,=b,=3,M是BC的中点,则= (用a,b表示).13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x= .14.(2013·合肥模拟)给出以下四个命题:①四边形ABCD是菱形的充要条件是=,且||=||;②点G是△ABC的重心,则++=0;③若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是等腰梯形;④若||=8,||=5,则3≤||≤13.其中所有正确命题的序号为.三、解答题15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=m b+n c的实数m,n.(3)若(a+k c)∥(2b-a),求实数k.答案解析1.【解析】选B.设c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),∴∴∴c=a-b.2.【解析】选B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1×=0,∴sinθ=±,又θ为锐角,∴θ=45°.3.【解析】选A.∵在正六边形ABCDEF中,OABC为平行四边形,∴=+, ∴=-=(2,0).4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由解得∴a=0m+2n,∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).5.【解析】选A.由=2得+=2(+),所以2=-+3,即c=b-a.6.【思路点拨】运用反证法,从三点可以共线考虑,然后取所得范围的补集. 【解析】选C.若点A,B,C不能构成三角形,则只能共线.∵=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1.∴若A,B,C三点能构成三角形,则m≠1.7.【解析】选B.(1)若a与b共线,即a=λb,即2e1-e2=λk e1+λe2,而e1与e2不共线,∴解得k=-2.故①正确,②不正确.(2)若e1与e2共线,则e2=λe1,有∵e1,e2,a,b为非零向量,∴λ≠2且λ≠-k,∴a=b,即a=b,这时a与b共线,∴不存在实数k满足题意.故③不正确,④正确.综上,正确的结论为①④.8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y的关系式,消去α,β即可得解.【解析】选D.设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).于是由③得β=1-α代入①②,消去β得再消去α得x+2y=5,即x+2y-5=0.【一题多解】由平面向量共线定理,得当=α+β,α+β=1时,A,B,C三点共线. 因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式求直线方程得=,即x+2y-5=0.9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设P(x,y),求出α+β与x,y的关系,运用线性规划求解.【解析】选B.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y).∴=(x,y),=(0,1),=(3,0).∵=α+β,即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),∴∴∴α+β=+y.由线性规划知识知在点C(1,1)处+y取得最大值.10.【思路点拨】根据向量的共线求出tanα,再利用三角变换公式求值. 【解析】选C.由a∥b得=2014,即=2014,解得tanα=-.tan2α-=-=-=-=-.将tanα=-代入上式得,tan2α-=2014.【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.11.【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.由⇒又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,所以B(0,)或(,0).答案:(0,)或(,0)12.【解析】由题意知=+=+=-=-(+)=--=-+=-a+b.答案:-a+b13.【解析】由a=(1,2),a-b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6). 由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1.答案:-114.【解析】对于①,当=时,则四边形ABCD为平行四边形,又||=||,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则=,且||=||,故①正确;对于②,若G为△ABC的重心,则++=0,故不正确;对于③,由条件知=-,所以∥且||>||,又||=||,故四边形ABCD为等腰梯形,正确;对于④,当,共线同向时,||=3,当,共线反向时,||=8+5=13,当,不共线时3<||<13,故正确.综上正确命题为①③④.答案:①③④15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).(2)∵a=m b+n c,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解得(3)∵(a+k c)∥(2b-a),又a+k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x,使两向量,共线.(2)当两向量与共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?【解析】(1)=(x,1),=(4,x).∵∥,∴x2-4=0,即x=±2.∴当x=±2时,∥.(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),∴∥.此时A,B,C三点共线,从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.但x=2时,A,B,C,D四点不共线.关闭Word文档返回原板块。

高中数学第二章.4.2平面向量线性运算的坐标表示优化训练北师大版必修64.doc

2.4.1平面向量的坐标表示2.4.2平面向量线性运算的坐标表示5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 等于( ) A.b a 2321+- B.b a 2321- C.b a 2123- D.b a 2123+- 解析：根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法. 答案：B2.已知平行四边形ABCD 的一个顶点坐标为A （-2，1），一组对边AB 、CD 的中点分别为（3，0）、N （-1，-2），求平行四边形的各个顶点坐标.解：设其余三个顶点的坐标为B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），D （x 3，y 3）.因为M 是AB 的中点，所以3=221x +-，0=211y +. 解得x 1=8，y 1=-1.设MN 的中点为O′（x 0，y 0），则x 0=2)1(3-+=1，y 0=2)2(0-+=-1，而O′既是AC 的中点，又是BD 的中点，所以x 0=22x x A +，y 0=22y y A +，即1=211,2222y x +=-+-. 解得x 2=4，y 2=-3.同理解得x 3=-6，y 3=-1.所以B （8，-1），C （4，-3），D （-6，-1）.3.已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及=+t AB .求：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解：（1）=+t =（1+3t ，2+3t ），若P 在x 轴上，只需2+3t=0，所以t=-2[]3；若P 在y 轴上，只需1+3t=0，所以t=31-；若P 在第二象限，只需⎩⎨⎧>+<+,032,031t t 所以3132-<<-t .（2）因为=（1，2），=（3-3t ，3-3t ），若OABP 为平行四边形，则=. 由于⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能构成平行四边形. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知点A （3，1），B （0，0），C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有=λ,其中λ等于( ) A.2 B.21 C.-3 D.31- 解析：∵AE 为∠BAC 的平分线， 212||||===AC CE . ∴BE =-2. ∴=-=-2-=-3.答案：C2.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C 满足=α+β，其中，α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为________________. 解析：将点C 所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C 的轨迹方程. 答案：x+2y-5=03.（1）已知e 1=（1，2），e 2=（-2，3），a =（-1，2），试以e 1、e 2为基底，将a 分解为λ1e 1+λ2e 2的形式.（2）已知点A （-1，2）、B （2，8）及3,3AB AB -==，求C 、D 和的坐标. （3）△ABC 的重心在原点，A （1，4），B （-3，-3），求C 点的坐标.解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧+=-=-,74,71,322,21212121λλλλλλ得所以a =71e 1+74e 2. （2）因为=（1，2），所以C （0，4），DA =（1，2）.所以D （-2，0），=（-2，-4）.（3）设C 点坐标为（x ，y ），则由⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+.1,2,0334,0331y x y x 得所以C 点坐标为（2，-1）.4.用坐标法证明AB ++=0.证明：设A （a 1，a 2），B （b 1，b 2），C （c 1，c 2），则=（b 1-a 1，b 2-a 2），=（c 1-b 1，c 2-b 2），=（a 1-c 1，a 2-c 2）. ∴++=（b 1-a 1，b 2-a 2）+（c 1-b 1，c 2-b 2）+（a 1-c 1，a 2-c 2）=（b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1，b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2）=（0，0）=0. ∴++=0.5.如图2-4-1，已知平面上三点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-4-1解：（1）当平行四边形为ABCD 时，因为=，所以（4，1）=（x+2，y-1）.所以x=2，y=2，即D （2，2）.（2）当平行四边形为ACDB 时，因为=，所以（-1，-2）=（3-x ，4-y ）.所以x=4，y=6，即D （4，6）.（3）当平行四边形为DACB 时，因为DA =，所以（-2-x ，1-y ）=（4，1）.所以x=-6，y=0，即D （-6，0）.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量a =（x+3，x 2-3x-4）与相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值为( ) A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4解析：因为已知A （1，2）和B （3，2），所以向量可以求，然后根据向量相等的定义就可以得出x 的值.答案：A2.已知M （3，-2）、N （-5，-1），且=2MN ，则点P 的坐标为( ) A.（-8，1） B.（1，23） C.（-1，23-） D.（8，-1）解析：根据MP =2MN 可以得到2MP =MN ，再根据向量的坐标运算就可以得出点P 的坐标.答案：C 3.在△ABC 中，已知A （2，3）、B （8，-4），G （2，-1）是中线AD 上的一点，且||=2||，则点C 的坐标为( )A.（-4，2）B.（-4，-2）C.（4，-2）D.（4，2）解析：设C 点坐标为（x ，y ），由于G 是△ABC 的重心，则2=382x ++，∴x=-4. -1=343y +-，∴y=-2. 答案：B4.已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且CM =3CA ，CN =2CB ，试求点M 、N 和MN 的坐标.解：∵A（-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）， ∴=（-2+3，4+4）=（1，8），=（3+3，-1+4）=（6，3）. 于是CM =3=3（1，8）=（3，24），CN =2CB =2（6，3）=（12，6）.设M （x ，y ），则有CM =（x+3，y+4），∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+,20,0.244,33y x y x 解得即M 点的坐标为（0，20），同理可求得N （9，2）. 因此=（9-0，2-20）=（9，-18）.故所求的点M 、N 的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.5.如图2-4-2所示，已知△ABC 中，A （7，8）、B （3，5）、C （4，3），M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，NM 与AD 交于F ，求DF .图2-4-2解：∵A（7，8）、B （3，5）、C （4，3）， ∴AB =（3-7，5-8）=（-4，-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5）.又∵D 是的中点，∴AD =21（AB +）=（27-，-4）. 又∵M、N 分别为AB 、AC 的中点，∴F 为AD 的中点. ∴DF =21-AD =（47，2）. 6.已知点A （2，3）、B （5，4）、C （7，10），若=+λ（λ∈R ），试求λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？点P 在第三象限内？解：设点P 的坐标为（x ，y ），则AP =（x ，y ）-（2，3）=（x-2，y-3），+λ=（5，4）-（2，3）+λ［（7，10）-（2，3）］=（3，1）+λ（5，7）=（3，1）+（5λ，7λ）=（3+5λ，1+7λ）. ∵AP =AB +λ，∴（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ）.∴⎩⎨⎧+=-+=-.713,532λλy x ∴⎩⎨⎧+=+=.74,55λλy x∴P 点的坐标为（5+5λ，4+7λ）. （1）若点P 在一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=21. （2）若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧<+<+,074,055λλ ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<.74,1λλ∴λ＜-1，即只要λ＜-1，点P 就在第三象限内.7.已知向量u =（x ，y ）与向量v =（y ，2y-x ）的对应关系可用v =f （u ）表示.（1）证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f （m a +n b ）=mf （a ）+nf （b ）成立；（2）设a =（1，1），b =（1，0），求向量f （a ）及f （b ）的坐标；（3）求使f （c ）=（3，5）成立的向量c .（1）证明：设向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）.则f （mx 1+nx 2，my 1+ny 2）=（my 1+ny 2，2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2），又mf （a ）=（my 1， 2my 1-mx 1），nf （b ）=（ny 2，2ny 2-nx 2），所以mf （a ）+nf （b ）=（my 1+ny 2，2my 1+2ny 2-mx 1-nx 2）.所以f （m a +n b ）=mf （a ）+nf （b ）.（2）解：f （a ）=（1，1），f （b ）=（0，-1）.（3）解：由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=,3,1,52,3y x x y y 得所以c =（1，3）. 8.设G 为四边形ABCD 对角线中点连线的中点，O 为平面内任意一点，证明=41(+++). 证明：如图，任意四边形ABCD 的对角线AC 的中点为E ，BD 中点为F ，则OE =21（+），OF =21（+）.又G 为EF 的中点，则=21（+OF ），即=21［21（+）+21（+）］=41（+++）. 9.已知A(1,-2),B(2,1)，C(3,2)和D(-2,3),以AB 、AC 为一组基底来表示++.解：AB=（1，3），AC=（2，4），AD=（-3，5），BD=(-4,2),CD=(-5,1),∴AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根据平面向量基本定理,一定存在实数m 、n 使得AD +BD +=m·AB +n·，∴（-12，8）=m （1，3）+n （2，4）也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n),可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得 ∴++=32-22.。

北师大版数学高一-必修四2.4.2平面向量的坐标运算(练).

必修四2.4.2平面向量的坐标运算（练）一、选择题1．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若(a ＋2b )∥(2a －b )，则x 的值是( )A ．2B ．1C.12 D ．－12解析：选C.a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∴(1＋2x )·3－4(2－x )＝0，解得x ＝12. 2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫－2，73B.⎝⎛⎭⎫2，73 C.⎝⎛⎭⎫2，－73 D.⎝⎛⎭⎫－2，－73 解析：选C.∵2a ＋b －3c ＝0，∴3c ＝2a ＋b ，∴c ＝23a ＋13b ＝23(5，－2)＋13(－4，－3) ＝⎝⎛⎭⎫103－43，－43－1＝⎝⎛⎭⎫2，－73. 3．(2011年绍兴高一检测)已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )A ．0B ．1－ 2C ．1＋ 2 D.1＋22解析：选C.AB →＝(1，a 2＋a )，AC →＝(2，a 3＋a )∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →、AC →共线，∴1×(a 3＋a )－2(a 2＋a )＝0，∴a 3－2a 2－a ＝0，解得a ＝0或a ＝1±2，∵a ＞0，∴a ＝1＋ 2.4．若a ，b 是不共线的两个向量，且AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0解析：选D.A 、B 、C 共线⇔AB →＝mAC →⇔λ1a ＋b ＝m a ＋mλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ1mλ2＝1⇔λ1λ2＝1⇔λ1λ2－1＝0. 5．(2011年济南高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60°C ．75°D ．45°解析：选D.∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0， ∴sin αcos α＝12，① ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋1＝2，∵α为锐角，∴sin α＋cos α＝2，②由①②知α＝45°.6．在平行四边形ABCD 中，AD →＝(－6，－7)，AB →＝(2，－3)，若平行四边形ABCD 的对称中心为E ，则CE →为( )A ．(－2,5)B ．(－2，－5)C ．(2，－5)D ．(2,5)解析：选D.AC →＝AD →＋AB →＝(－6，－7)＋(2，－3)＝(－4，－10)，∴CA →＝(4,10)，∴CE →＝12CA →＝(2,5)，故选D. 二、填空题7．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于________．解析：∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0，∴4sin α＝3cos α，∴sin αcos α＝tan α＝34. 答案：348．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，∵λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.答案：29．a ＝(1,1)，b ＝(1，－2)，c ＝(4,1)，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：c ＝x a ＋y b ＝(x ，x )＋(y ，－2y )＝(x ＋y ，x －2y )＝(4,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1， ∴x ＋y ＝3＋1＝4.答案：4三、解答题10．已知点M (1,0)，N (0,1)，P (2,1)，Q (1，y )，且MN →∥PQ →，求y 的值，并求出向量PQ →的坐标．解：∵点M (1,0)，N (0,1)，P (2,1)，Q (1，y )，∴MN →＝(－1,1)，PQ →＝(－1，y －1)．∵MN →∥PQ →，∴(－1)×(y －1)－1×(－1)＝0，解得y ＝2∴PQ →＝(－1,1)．11．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，(1)若u ∥v ，求实数x 的值；(2)若a ，v 不共线，求实数x 的值．解：(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x ＋1,14)，v ＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x ，－2)，又因为u ∥v ，所以－2(2x ＋1)－14(2－x )＝0，即10x ＝30，解得x ＝3.(2)若a ，v 共线，则2(2－x )＝－2，解得x ＝3，所以要使a ，v 不共线，{x |x ∈R 且x ≠3}为所求．12．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∵AE →＝13AC →，∴AE →＝13(2,2)＝(23，23)． ∵BF →＝13BC →，∴BF →＝13(－2,3)＝(－23，1)．因为(x 1＋1，y 1)＝(23，23)，所以x 1＝－13，y 1＝23，即E (－13，23)．因为(x 2－3，y 2＋1)＝(－23，1)，所以x 2＝73，y 2＝0，即F (73，0)． ∴EF →＝(83，－23)．又∵4×(－23)－83×(－1)＝0. 所以EF →∥AB →.。

高中数学复习方略课时提升作业：4.4平面向量的应用(北

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课时提升作业(二十八)一、选择题1.(2013·咸阳模拟)已知△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D 在边BC上,且S△ABC=3S△ABD,则AD的长为( )(A) (B)2(C)3 (D)2.(2013·吉安模拟)已知a,b,c为非零的平面向量,甲:a·b=a·c,乙:b=c,则甲是乙的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.(2013·邯郸模拟)设P是曲线y=上一点,点P关于直线y=x的对称点为Q,点O为坐标原点,则·= ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.在△ABC中,=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是( )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等边三角形5.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n ∈R),则的值为( )(A) (B)-(C)2 (D)-26.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若|+|<|-|(其中O为坐标原点),则k的取值范围是( )(A)(0,) (B)(-,)(C)(,+∞) (D)(-∞,-)∪(,+∞)7.设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则·的值为( )(A)6 (B)8 (C)10 (D)48.(2012·三亚模拟)已知偶函数f(x)满足:f(x)=f(x+2),且当x∈[0,1]时,f(x)=sinx,其图象与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,…,则·等于( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)169.已知向量a=(2cosθ,2sinθ),θ∈(,π),b=(0,-1),则向量a与b的夹角为( )(A)-θ(B)+θ(C)θ- (D)θ10.(能力挑战题)已知圆O(O为坐标原点)的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么·的最小值为( )(A)-4+ (B)-3+(C)-4+2 (D)-3+2二、填空题11.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以表示向量α,β的线段为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角θ的取值范围是.12.(2013·许昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(0,-1),点A在x轴上,点B在y轴非负半轴上,点M满足:=2,·=0,当点A在x轴上移动时,则动点M的轨迹C的方程为.13.(能力挑战题)已知开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴为x=2,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).则不等式f(a·b)<f(5)的解集为.14.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.三、解答题15.(2013·淮南模拟)已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sinα),其中α∈(,).(1)若||=||,求角α的值.(2)若·=-1,求tan(α+)的值.答案解析1.【解析】选C.由题意知,=,设D(x,y),则(x+2,y+1)=(6,6)=(2,2),∴∴点D的坐标为(0,1),∴=(-3,-3),∴||=3.2.【解析】选B.由a·b=a·c得a·(b-c)=0,但不一定得到b=c;反之,当b=c时, b-c=0,可得a·(b-c)=0,即a·b=a·c.故甲是乙的必要不充分条件.3.【解析】选C.设P(x1,),则Q(,x1),·=(x1,)·(,x1)=x1·+·x1=2.4.【解析】选D.因a,b,c均为非零向量,且a·b=b·c,得b·(a-c)=0⇒b⊥(a-c), 又a+b+c=0⇒b=-(a+c),∴[-(a+c)]·(a-c)=0⇒a2=c2,得|a|=|c|,同理|b|=|a|,∴|a|=|b|=|c|,故△ABC为等边三角形.5.【解析】选D.如图,由条件知△AFE∽△CFB,故==.∴AF=AC.∴=-=-=(+)-=-,∴m=,n=-.∴=-2.6.【思路点拨】利用|+|<|-|⇔(+)2<(-)2进行转化.【解析】选D.由|+|<|-|两边平方化简得·<0,∴∠AOB是钝角,所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于,∴<,∴k<-或k>,故选D.【方法技巧】向量与解析几何综合题的解答技巧平面向量与解析几何相结合主要从以下两个方面进行考查:一是考查向量,需要把用向量语言描述的题目条件转化成几何条件,涉及向量的线性运算,共线、垂直的条件应用等;二是利用向量解决几何问题,涉及判断直线的位置关系,求角的大小及线段长度等.7.【解析】选C.·=(+)·(+)=(+)·(-)=·-||2+·(-)=||2=×(62+32)=10.8.【解析】选B.依题意P1,P2,P3,P4四点共线,与同向,且P1与P3,P2与P4的横坐标都相差一个周期,所以||=2,||=2,·=||||=4.【误区警示】解答本题时容易忽视与共线导致无法解题.9.【思路点拨】求出向量a与b的夹角与θ的关系,利用三角函数知识求解. 【解析】选A.设a与b的夹角为α,则cosα===-sinθ=cos(-θ),又θ∈(,π),所以-θ∈(,π),因此α=-θ.10.【思路点拨】引入辅助量,利用向量数量积的定义求得·,再利用基本不等式求最值.【解析】选D.设||=||=x,∠APB=θ,则tan=,cosθ=,则·=x2·===x2+1+-3≥2-3,当且仅当x2+1=,即x2=-1时,取“=”,故·的最小值为-3+2,故选D.11.【解析】由S=|α|·|β|sinθ=|β|sinθ=可得,sinθ=≥,故θ∈[,].答案:[,]12.【解析】设M(x,y),由=2得点B为MA的中点,所以A(-x,0).所以=(2x,y),=(-x,1).由·=0得y=2x2.所以轨迹C的方程为y=2x2.答案:y=2x213.【思路点拨】由条件求得a·b,利用单调性将问题转化为解不等式的问题. 【解析】由题意知f(x)在[2,+∞)上是增函数,∵a·b=|x+2|+|2x-1|+2>2,∴f(a·b)<f(5)⇒a·b<5⇒|x+2|+|2x-1|<3(*),①当x≤-2时,不等式(*)可化为-(x+2)-(2x-1)<3,∴x>-,此时x无解;②当-2<x<时,不等式(*)可化为x+2-(2x-1)<3,∴x>0,此时0<x<;③当x≥时,不等式(*)可化为x+2+2x-1<3,∴x<,此时≤x<.综上可知不等式f(a·b)<f(5)的解集为(0,).答案:(0,)14.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知||=,||=25. ∵=+,∴·=·+,∵⊥,∴·=0,∴25×cos(∠BOD+90°)+()2=0,∴cos(∠BOD+90°)=-,∴sin∠BOD=,∴∠BOD=30°,∴航向为北偏西30°.答案:北偏西30°15.【解析】(1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴||==,||=.由||=||得sinα=cosα,又α∈(,),∴α=π.(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,∴sinα+cosα=,∴sin(α+)=>0.又由<α<,∴<α+<π,∴cos(α+)=-.故tan(α+)=-.【变式备选】已知M(1+cos 2x,1),N(1,sin2x+a)(x∈R,a∈R,a是常数),且y=·(O为坐标原点).(1)求y关于x的函数关系式y=f(x).(2)若x∈[0,]时,f(x)的最大值为2013,求a的值.【解析】(1)y=·=1+cos2x+sin 2x+a,所以f(x)=cos2x+sin2x+1+a,即f(x)=2sin(2x+)+1+a.(2)f(x)=2sin(2x+)+1+a,因为0≤x≤.所以≤2x+≤,当2x+=即x=时f(x)取最大值3+a,所以3+a=2013,所以a=2010.关闭Word文档返回原板块。

高中数学 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示课后训练北师大版必修4

高中数学 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示课后训练北师大版必修41．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量1322a b等于()．A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)2．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC等于()．A．(1,1) B．(－1，－1)C．(3,7) D．(－3，－7)3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()．A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)4．向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()．A．－2,1 B．1，－2C．2，－1 D．－1,25．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()．A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3b D．a＋3b6．若(x2－2x，x－2)＝0，则x＝__________．7．如图所示，已知OA＝2，OB＝1，AB的中点是C，则OC的坐标是____________．8．(1)已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b；(2)若单位向量a，b满足a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b．(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n；(3)求M，N的坐标及MN的坐标．10．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)求证：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标．参考答案1答案：D2答案：B3答案：D4答案：D5答案：B6答案：27答案：3113,2424⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭8答案：(1)a＝(－3,4)，b＝(5，－12)(2)a＝13,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，b＝13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或a＝13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，b＝132⎛⎝⎭9答案：(1)(6，－42)(2)m＝－1，n＝－1(3)M(0,20)N(9,2)MN＝(9，－18) 10答案：(1)略(2)f(a)＝(1,1)，f(b)＝(0，－1)(3)c＝(2p－q，p)。

高中数学第二章平面向量及其应用.4.平面向量及运算的坐标表示作业含解析北师大版第二册

4.2 平面向量及运算的坐标表示（15分钟30分）1。

已知向量=(2,4),=(0,2),则=()A。

（—2,—2） B.(2，2)C。

（1,1) D.(—1，—1)【解析】选D.=（—)=（-2,—2）=(—1,—1)。

2。

已知点A（1，1),B（4，2)和向量a=(2,λ)，若a∥，则实数λ的值为（）A。

- B。

C。

D.—【解析】选C.根据A，B两点的坐标,可得=(3,1),因为a∥,所以2×1—3λ=0,解得λ=.3。

若A(2，-1）,B(4，2),C(1，5)，则+2=________.【解析】因为A(2,—1），B(4，2),C（1，5），所以=（2，3),=(-3,3）.所以+2=（2，3)+2（-3,3）=（2,3)+(-6，6）=(-4,9).答案:(—4，9)4.已知A（1,2)，B(4，5），若=2,则点P的坐标为________. 【解析】设P（x，y）,则=(x—1，y—2),=（4-x，5—y)，又=2,所以(x-1，y-2)=2(4—x，5—y），即得所以点P的坐标为(3，4)。

答案:（3，4)5.已知M(1，5)，N(5，17），点P在直线MN上，且||=3||,求点P的坐标.【解析】设点P的坐标为(x，y),则=（x—1，y-5),=（5—x,17-y）。

当=3时,根据题意,有(x—1，y-5)=3（5—x,17—y）,解得x=4,y=14.所以点P的坐标为（4,14).当=-3时，有(x—1,y—5)=—3（5-x，17-y）,解得x=7,y=23.所以点P的坐标为(7,23).综上所述，点P的坐标为（4,14）或(7,23）.（20分钟40分）一、单选题(每小题5分，共15分)1.若a=（2c os α,1),b=(sin α,1),且a∥b,则t a n α等于(）A。

2B。

C.-2D。

—【解析】选A。

因为a∥b,所以2c os α×1=sinα.所以t a n α=2。

北师大版高中数学必修四学平面向量线性运算的坐标表示课后训练

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示课后训练北师大版必修4 "1．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量1322a b等于()．A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)2．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC等于()．A．(1,1) B．(－1，－1)C．(3,7) D．(－3，－7)3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()．A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)4．向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()．A．－2, 1 B．1，－2C．2，－1 D．－1,25．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()．A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3b D．a＋3b6．若(x2－2x，x－2)＝0，则x＝__________．7．如图所示，已知OA＝2，OB＝1，AB的中点是C，则OC的坐标是____________．8．(1)已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b；(2)若单位向量a，b满足a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b．(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n；(3)求M，N的坐标及MN的坐标．10．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)求证：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(m a＋n b)＝mf (a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f (b)的坐标；(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标．参考答案1答案：D2答案：B3答案：D4答案：D5答案：B6答案：27答案：11,42-8答案：(1)a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)(2)a ＝12⎛ ⎝，b ＝1,2⎛⎝或a ＝1,2⎛ ⎝，b ＝12⎛ ⎝9答案：(1)(6，－42) (2)m ＝－1，n ＝－1 (3)M (0,20) N (9,2) MN ＝(9，－18) 10答案：(1)略(2)f (a )＝(1,1)，f (b )＝(0，－1)(3)c ＝(2p －q ，p )。