数学基础11矩阵PPT课件
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
矩阵乘法的ppt课件
分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3
工科数学--矩阵的概念.ppt
感谢你的观看
b3
18
解:
3 2 1 A 1 1 1
1 0 1
3 21 A 1 1 120
1 01
A11
1 11
1 0
1 1
1
A12
1 12
1 1
1 0
1
A13
1 13
1 1
1 1
0
A21
1 21
b12 b22
b13 b23
A11 A21
A12 A22
B11 B21
B12 B22
A B 2019年8月25
A11 A21
B11 B 感谢你的21观看
A12 A22
B12 B22
27
数量乘法
分块矩阵
A
Akl
st
a1n a2n amn
2019年8月25
感谢你的观看
13
满足运算规律:
1 AT T A
2 A BT AT BT
3 kAT kAT k是数
4 ABT BT AT
A1 A2 Ak T AkT A2T A1T
减法: Amn Bmn Amn (Bmn )
2019年8月25
感谢你的观看
9
数乘: Amn (aij ) mn , 数
规定: A A aij mn
注意:矩阵的数乘与行列式的线性
性质的区别.
2
1 0
3 5
2 2
2 0
记作
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？
高中数学矩阵课件全套PPT大全
矩阵的秩与行列式
矩阵的秩和行列式是矩阵理论中的重要概念，它们与矩阵的性质和解的存在唯一性有密切关系。
矩阵的线性变换
线性变换是矩阵理论中的核心内容，它描述了矩阵对向量的影响。我们将学习线性变换的基本性质和应用。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的核心概念，它们对于理解矩阵的本 质和应用至关重要。
高中数学矩阵课件 全套 PPT大全
欢迎来到高中数学矩阵课件全套PPT大全！在本课程中，我们将深入探讨矩 阵的各个方面，包括基本概念、运算法则、逆和转置、应用等内容。快来一 起学习吧！
矩阵的基本概念
我们将介绍矩阵的定义、矩阵的元素、矩阵的维数等基本概念。掌握这些概念是理解矩阵的关键。
矩阵的类型及特点
矩阵有不同的类型和特点，如们更好地应用矩 阵。
矩阵的运算法则
我们将讨论矩阵的加法、减法和数乘的运算法则，以及矩阵的乘法运算。这 些法则在解决实际问题中起着重要的作用。
矩阵的逆和转置
了解矩阵的逆和转置操作可以帮助我们解决方程组、求解行列式等问题。这些操作在实际应用中非常有用。
1.3——矩阵线性代数课件PPT
A,C可逆，A C 2 0可逆，但A1 C 1 ( A C )1 0 1
故 ( A B)1 A1 B1
例 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
则称A为可逆矩阵, A1为A 的逆阵.
1、可逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B, 使得
AB BA E
则称矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1, 即 A1 B
注 可逆矩阵也称为非退化阵或非奇异阵.
注 方阵才有可逆矩阵.
例
设
1
A
1
1 1 2
1
,
B
1
2
1 2
1
2
解 因为 AB BA E, 则B是A的一个逆矩阵.
定理 (唯一性) 若A是可逆矩阵, 则其逆矩阵是唯一的. 证 设B和C 都是A的逆矩阵, 则有
AB BA E, AC CA E 可得 B EB (CA)B C( AB) CE C
所以A的逆矩阵是唯一的, 即 B C A1
逆矩阵的求法一：待定系数法（第2章讲解）
a1
注 对角矩阵 A
a2
,其中
a1a2
an nn
对角矩阵A可逆, 且其逆矩阵
an 0
1 a1
A1
1 a2
1
an
nn
单位阵E可逆, 且其逆矩阵为其自身: E 1 E
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
矩阵ppt课件
15
第二节 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义2 两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的 矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为 A+B，即
A B ( a ij) m n ( b ij) m n ( a ij b ij) m n
☞ 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这
a12 a22
a13 a23
x1 x2 x3
x1 b11
x2
b21
x3 b31
b12 b22 b32
z1 z2
即Y=AX和X=BZ
精品ppt
31
解：以上两式可以写成：
y1 y2
a11 a21
a12 a22
a13 a23
x1 x2 x3
x1 b11
111213212223111221223132即yax和xbz则yabz1112111213212221222331321111122113311111212221332221112221233112112222223322yabababxabababxyabababxabababx32例2933事实上34含有n个未知量m个方程构成的线性方程组的系数也可以排列成一个矩形阵列则axb111112212235定义7把矩阵a的行换成同序数的列得到一个新矩阵叫作a的转置矩阵记作a例如的转置矩阵为矩阵转置的运算规律abababba36只证明性质4记abccij是由矩阵的乘法规则有因此所以ijjkkiijkijkjkkiijijdcinjbaab的第j列为37ab因为ab所以38对称矩阵设a为n阶方阵如果a那么a称为对称矩阵对称矩阵
2 5
1 4,B1 2
1 4
3 7.
《矩阵概念简易入门》课件
些基本的数学性质，如加法、数乘、乘法等。
详细描述
矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，数乘则是将矩阵 中的每个元素乘以一个常数。此外，矩阵还可以进行乘法运 算，但要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
特殊类型的矩阵
总结词
特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等。
系数矩阵
线性方程组中的系数和常数项可以组 合成一个系数矩阵，通过对方程组进 行初等行变换，可以化简系数矩阵， 从而求得方程组的解。
在向量空间中的应用
向量空间
矩阵可以表示向量空间中的线性 变换，通过矩阵的乘法运算，可 以实现向量的线性组合、缩放、 旋转等操作。
特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在向量 空间中具有重要应用，它们可以 描述矩阵对向量空间的变换性质 ，以及向量在变换下的表现。
《矩阵概念简易入门》ppt课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的应用 • 总结与展望
01
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
总结词
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常用于表示二维数据。
详细描述
矩阵是一个由行和列组成的二维表格，其中每个元素由行索引和列索引唯一确 定。矩阵可以用于表示各种数据结构，如线性方程组的系数矩阵、概率分布等 。
03
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
01
02
03
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A存在一个 逆矩阵A^(-1)，使得A * A^(-1) = I（单位矩阵） ，则称A为可逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的，且逆矩 阵与原矩阵的乘积等于单 位矩阵。
逆矩阵的计算方法
通过高斯消元法或LU分解 等数值方法求解。
详细描述
矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，数乘则是将矩阵 中的每个元素乘以一个常数。此外，矩阵还可以进行乘法运 算，但要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
特殊类型的矩阵
总结词
特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等。
系数矩阵
线性方程组中的系数和常数项可以组 合成一个系数矩阵，通过对方程组进 行初等行变换，可以化简系数矩阵， 从而求得方程组的解。
在向量空间中的应用
向量空间
矩阵可以表示向量空间中的线性 变换，通过矩阵的乘法运算，可 以实现向量的线性组合、缩放、 旋转等操作。
特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在向量 空间中具有重要应用，它们可以 描述矩阵对向量空间的变换性质 ，以及向量在变换下的表现。
《矩阵概念简易入门》ppt课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的应用 • 总结与展望
01
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
总结词
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常用于表示二维数据。
详细描述
矩阵是一个由行和列组成的二维表格，其中每个元素由行索引和列索引唯一确 定。矩阵可以用于表示各种数据结构，如线性方程组的系数矩阵、概率分布等 。
03
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
01
02
03
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A存在一个 逆矩阵A^(-1)，使得A * A^(-1) = I（单位矩阵） ，则称A为可逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的，且逆矩 阵与原矩阵的乘积等于单 位矩阵。
逆矩阵的计算方法
通过高斯消元法或LU分解 等数值方法求解。
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
矩阵知识点完整归纳ppt课件
a31x a32 y a33z d3
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
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A2
1
A12
A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A a a 1 1 aa 22 a a n n
定义列阵
A 11
def
a1
A 21
A m1
A 11
a2
d ef
A 21
A m 1
A 1 n
a
n
def
A 2n
A mn
ajA 1j A 2j A m j T (j=1, ,n)
矩阵/定义与运算/定义
• 矩阵A的转置矩阵，记为AT
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12
A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
例
1 3 2 4 5 A 2 4 3 6 3
4
1
4
2
6
35
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
A11
AT
d ef
Aji
a5
4 1 4 2 6
1 3 2 4 5
a12 a24 a33 a46 a53
4
1
4
2
6
2020/8/10 15
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵
• 矩阵的行阵分块表达
分块阵转置运算关系
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
b
T 1
A
b
T 2
b
T m
b1 b2 bm T
定义列阵的转置
b iT A i1 A i2 A in(i=1, ,m)
Ai1
bi
2020/8/10
Ai2
Ain
Ai1
Ai2
Ain T
(i=1, ,m)
16
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵/行阵分块表达
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A b 1 b 2 b m T
bi A i1 A i2 A inT(i=1, ,m)
例
1 A2
3 4
2 3
4 6
53b b12T Tb1
b2
b3 T
4 1 4 2 6 b3T
定义列阵
1
3
b1
2
4
2
4
b2
3
6
4
1
b3
4
2
1 4
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵/列阵分块表达
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A a 1 a 2 a n
ajA 1j A 2j A m j T(j=1, ,n)
例
定义列阵
1 A2
3 4
2 3
4 6
5 3a1
a2
a3
a4
9
矩阵/方阵
• 单位阵
1 0 0
In
I
d ef
0 0
1 0
0
1
例
A10
0 1
32
C AB
mn ms sn
I AI10
0 1
32
1 0 0
？
0 1 0
0 0 1
10
0 1
32 A
I IA
1 0
0 ？1
1 0
0 1
2 3
10
0 1
32 A
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
• 将 m×n 个标量 Aij 排列成 m 行， n 列的表，定义为 m×n 阶(维)矩阵
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
• 用一黑斜体的大写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线
A
2020/8/10 6
理论力学CAI 数学基础
例
0 3 2 A3 0 6
1 3 2 B 3 1 6
2
6
0
2
6
1
反对称阵
？反对称阵
0 3 2 0 3 2 AT 3 0 6 3 0 6 A
2 6
0
2 6 0
AAT
2020/8/10 12
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵
列阵
• 列阵：只有一列（m个元素）的矩阵为 m × 1阶矩阵称为 m 阶 列阵
• 方阵的迹
• 对角阵
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
A11
def
A
Aij
n
def
A21
A12
A22
A1n A2n
An1 An2 Ann
n
trA AiiA11A22 Ann i1
A11
A
0 0
0 A22
0
0
A0nndedf iagA1(1,
A22,, Ann)
nm
def
A1 2
A1n
A2 1 A2 2
A2n
Am1 Am2
Am
n
1 2 4
3 4 1
A
T
2
3
4
4 6 2
5
3
6
53
7
矩阵/方阵
零矩阵
0 0 0
0
def
0
0
0
0 0 0
0 0
2020/8/10 8
理论力学CAI 数学基础
矩阵/方阵
方阵
• 方阵：m=n
2020/8/10 3
理论力学CAI 数学基础
矩阵
矩阵
• 矩阵的定义与运算 • 矩阵的导数
2020/8/10 4
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算
矩阵的定义与运算
• 矩阵的定义 • 方阵 • 列阵 • 常见的矩阵运算
2020/8/10 5
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/定义
矩阵的定义
A
2
3
4
4 6 2
2020/8/10
5
3
6
5
3
6
17
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
常见的矩阵运算
同阶矩阵相等 矩阵与标量乘 同阶矩阵求和 矩阵乘
AB
CA
CAB CAB
2020/8/10 18
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
• 同阶矩阵相等
元素间的关系 Aij=Bij
理论力学 CAI 数学基础
• 前言
• 矩阵 • 矢量
矩阵
• 方向余弦阵
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c)
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
矩阵
矩阵
• 矩阵的定义与运算 • 矩阵的导数
A IIA A ABBA
10
矩阵/方阵
• 对称阵：Aij=Aji (i, j=1,,n)
例
1 3 2
A 3 4 6
2
6
4
1 3 2
AT 3 4 6
2
6
4
A AT
2020/8/10 11
理论力学CAI 数学基础
矩阵/方阵
• 反对称阵： Aij= -Aji (i, j=1,,n) Aii= 0 (i=1,,n)
• 用一黑斜体的小写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线
a
a 1
a
def
a2
am
a1
a2
am T
• m 阶列阵 a 的转置aT 为 1×m 阶矩阵称为 m 阶行阵
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
def
aTa1 a2 am
13
矩阵/列阵
• 矩阵的列阵分块表达
A11
A