数学基础11矩阵PPT课件
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第一章 矩阵
1. 加法(addition of matrices)
例3.
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 220 185 200
乙 105 120 110
第一次
第二次
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420 365 390
乙 205 240
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
一. 历史 “矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.
他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.
James Joseph Sylvester (1814.9.3~1897.3.15)
§1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.61§1.7
(1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB.
高中数学：-矩阵与变换-(新人教A选修-)PPT课件
-01,-01-01,1001
2021
12
2.2 几种常见的平面变换
或点
5.一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A (1 α 2 β )1 A α 2 A β
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
2021
13
2.2 几种常见的平面变换
6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
2021
2
本专题的定位和意图 定位
低起点——以初中数学知识为基础； 低维度——以二阶矩阵为研究对象； 形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。
意图
在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了 解，对进一步学习和工作打下基础。
2021
3
本专题重点、难点及主要数学思想 重点
通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概 念、性质和思想。
2021
6
2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向 量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩 阵的概念和表示方法.如:
某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240
万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360
2021
27
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
6.有关转移矩阵.
矩阵的运算课件.
额用矩阵B表示
10000 12000 15000
A
8000
11000
14000
9000 12000 16000
8000 9600 12000
B
0.8 A
6400
8800
11200
7200 9600 12800
例题讲解
例5
给出二元一次方程组
2 1
33,
D
1 2
55
求：(1)AB和BA
(2)AC和AD；
(3)(BA)C和B(AC) (4)A(C+D)和AC+AD；
注意：②一般地，AB≠BA
矩阵的乘法满足结合律和分配律
知识讲解
三、矩阵的乘法 注意： ①矩阵A与B相乘，必须满足A的列数=B的行数 ②一般地，AB≠BA ③AB=0 A=0或B=0 ④AB=AC且A0 B=C
5 5
所有矩阵都可以相加减？需要满足什么条件？
知识讲解
一、矩阵的和（差） 3. 注意： ①只有同型矩阵的加、减才有意义 ②两同型矩阵的加、减是它们对应位置元素相加减
知识讲解
225 255 225
D
A
B
C
大学数学矩阵ppt课件
通过求解矩阵A的特征多项式f(λ)=|λEA|=0的根来得到矩阵A的特征值λ，再代 入(λE-A)X=0求解得到对应的特征向量X 。
特征值、特征向量与矩阵对角化关系探讨
矩阵对角化定义
如果一个矩阵A可以表示为一个对角矩阵Λ 和一个可逆矩阵P的乘积，即A=PΛP^(-1) ，则称A可对角化。
特征值与对角化关系
PCA与特征值、特征向量关系
PCA中的主成分就是数据协方差矩阵的特征向量，对应 的特征值反映了该主成分所包含的方差信息量。因此， PCA技术可以通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量 来实现对高维数据的降维处理。
04
矩阵在数据分析中应用
数据降维处理：主成分分析（PCA）
主成分分析原理
01
通过正交变换将原始数据变换为一组各维度间互不相关的变量
n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。此时，A的对角化形式 中的对角元素就是A的特征值，对应的特征 向量构成可逆矩阵P的列向量。
实际应用案例：图像压缩中PCA技术
PCA技术简介
主成分分析（PCA）是一种常用的降维方法，通过正交 变换将原始数据变换为一组各维度间互不相关的数据， 常用于高维数据的降维、可视化、去噪等。
表示方法
矩阵通常用大写字母A、B、C...表示，如矩阵A记作A=(aij)m×n，其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元 素。
特征值、特征向量与矩阵对角化关系探讨
矩阵对角化定义
如果一个矩阵A可以表示为一个对角矩阵Λ 和一个可逆矩阵P的乘积，即A=PΛP^(-1) ，则称A可对角化。
特征值与对角化关系
PCA与特征值、特征向量关系
PCA中的主成分就是数据协方差矩阵的特征向量，对应 的特征值反映了该主成分所包含的方差信息量。因此， PCA技术可以通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量 来实现对高维数据的降维处理。
04
矩阵在数据分析中应用
数据降维处理：主成分分析（PCA）
主成分分析原理
01
通过正交变换将原始数据变换为一组各维度间互不相关的变量
n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。此时，A的对角化形式 中的对角元素就是A的特征值，对应的特征 向量构成可逆矩阵P的列向量。
实际应用案例：图像压缩中PCA技术
PCA技术简介
主成分分析（PCA）是一种常用的降维方法，通过正交 变换将原始数据变换为一组各维度间互不相关的数据， 常用于高维数据的降维、可视化、去噪等。
表示方法
矩阵通常用大写字母A、B、C...表示，如矩阵A记作A=(aij)m×n，其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元 素。
矩阵PPT课件
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 ,,an ,
称为行矩阵(或行向量).
第8页/共179页
只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量). 不全为0
1
（3）形如 0
0
2
0 0 的方阵称,为对角
0
0
n
矩阵(或对角阵）.
第9页/共179页
记作 A diag1,2,,n .
第12页/共179页
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
第13页/共179页
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
1 3 1 1 2 3 10
第42页/共179页
§2.1 矩阵的概念
一、矩阵概念的引 入
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1.
线性方程组
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项 bi i 1,2,,n
经济数学课件 7-2矩阵及其计算
《经济数学基础》配套课件
例4 设
A
2
1
4
,
B
4
1
2 ,
3 0 2
3 6 8
且 3A 2Z B ，求 Z .
解
Z
1 2
(B
3A)
1 2
4 3
1 6
2
3
2
8 3
1 0
4
2
1 2
2 6
4 6
120
1 3
2 3
15
3. 矩阵与矩阵相乘
例5 某企业生产两种产品，三个分厂的月产量以矩阵A 表示，
产品的单位成本和售价以矩阵 B 表示，求该企业各分厂
的月总成本和销售总额.
产品甲 产品乙
单位成本 售价
200 A 150
250
300 一分厂
200
二分厂
150 三分厂
B
5 4.5
6 甲 5 乙
解 一分厂的总成本为：2005 3004.5 2350 一分厂的销售总额为： 2006 3005 2700
二分厂的总成本为：1505 2004.5 1650 二分厂的销售总额为：1506 2005 1900 三分厂的总成本为：2505 1504.5 1925 三分厂的销售总额为：250 6 1505 2250 .
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
例4 设
A
2
1
4
,
B
4
1
2 ,
3 0 2
3 6 8
且 3A 2Z B ，求 Z .
解
Z
1 2
(B
3A)
1 2
4 3
1 6
2
3
2
8 3
1 0
4
2
1 2
2 6
4 6
120
1 3
2 3
15
3. 矩阵与矩阵相乘
例5 某企业生产两种产品，三个分厂的月产量以矩阵A 表示，
产品的单位成本和售价以矩阵 B 表示，求该企业各分厂
的月总成本和销售总额.
产品甲 产品乙
单位成本 售价
200 A 150
250
300 一分厂
200
二分厂
150 三分厂
B
5 4.5
6 甲 5 乙
解 一分厂的总成本为：2005 3004.5 2350 一分厂的销售总额为： 2006 3005 2700
二分厂的总成本为：1505 2004.5 1650 二分厂的销售总额为：1506 2005 1900 三分厂的总成本为：2505 1504.5 1925 三分厂的销售总额为：250 6 1505 2250 .
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
矩阵乘法的ppt课件
详细描述
矩阵乘法的结合律是指，对于任意三 个矩阵A、B和C，有(A×B)×C = A×(B×C) = (A×C)×(B×C)。这意味 着在矩阵乘法中，括号的位置并不影 响最终的结果。
分配律
总结词
矩阵乘法满足分配律，即矩阵乘法可以分配到括号内的每一项。
详细描述
矩阵乘法的分配律是指，对于任意两个矩阵A和B以及一个标量k，有k×(A×B) = (k×A)×B = A×(k×B)。这意味 着在矩阵乘法中，标量可以与括号内的每一项相乘，并且结果保持不变。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
对数据进行预处理
在进行矩阵乘法之前，可以对数据进行预处理以减少数值 不稳定性。例如，可以对数据进行归一化或标准化，或者 使用滤波器来减少噪声和误差。
使用收敛加速技术
在进行迭代计算时，可以使用收敛加速技术来提高计算的 稳定性和准确性。例如，可以采用共轭梯度法、雅可比法 或高斯-赛德尔迭代法等迭代算法来计算矩阵乘积，以提 高计算的稳定性和准确性。
要点三
使用数学软件包
许多数学软件包都提供了防止数值溢 出的功能。例如，它们可以自动调整 数值格式，或者在检测到数值溢出时 给出警告或提示。因此，在进行矩阵 乘法时，可以选择使用这些软件包来 避免数值溢出的问题。
避免数值不稳定的方法
01 02 03
选择合适的算法
矩阵乘法的结合律是指，对于任意三 个矩阵A、B和C，有(A×B)×C = A×(B×C) = (A×C)×(B×C)。这意味 着在矩阵乘法中，括号的位置并不影 响最终的结果。
分配律
总结词
矩阵乘法满足分配律，即矩阵乘法可以分配到括号内的每一项。
详细描述
矩阵乘法的分配律是指，对于任意两个矩阵A和B以及一个标量k，有k×(A×B) = (k×A)×B = A×(k×B)。这意味 着在矩阵乘法中，标量可以与括号内的每一项相乘，并且结果保持不变。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
对数据进行预处理
在进行矩阵乘法之前，可以对数据进行预处理以减少数值 不稳定性。例如，可以对数据进行归一化或标准化，或者 使用滤波器来减少噪声和误差。
使用收敛加速技术
在进行迭代计算时，可以使用收敛加速技术来提高计算的 稳定性和准确性。例如，可以采用共轭梯度法、雅可比法 或高斯-赛德尔迭代法等迭代算法来计算矩阵乘积，以提 高计算的稳定性和准确性。
要点三
使用数学软件包
许多数学软件包都提供了防止数值溢 出的功能。例如，它们可以自动调整 数值格式，或者在检测到数值溢出时 给出警告或提示。因此，在进行矩阵 乘法时，可以选择使用这些软件包来 避免数值溢出的问题。
避免数值不稳定的方法
01 02 03
选择合适的算法
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算 ppt课件
0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
co s
R
o(tz,)
sin
0
0
sin co s
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
17
上海电机学院 机械学院
CATABTCBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对
｛A｝的描述为 ABT
，｛C｝相对｛B｝的描述为
B C
A
pB0 1
BAT
ABR 0
利用旋转矩阵正交性 B AR1BART
B
pA0 1
利用复合变换公式(2.13) ,求出 A pB0 在{B}中描述。
20
上海电机学院 机械学院
B (A p B 0) A B R A p B 0 B pA 00
BpA 0A B RA pB 0B A R TA pB 0
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
11
上海电机学院 机械学院
12
上海电机学院 机械学院
3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
0 1 0 0
0 0 1 0
x
y
z
1
co s
R
o(tz,)
sin
0
0
sin co s
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
17
上海电机学院 机械学院
CATABTCBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对
｛A｝的描述为 ABT
，｛C｝相对｛B｝的描述为
B C
A
pB0 1
BAT
ABR 0
利用旋转矩阵正交性 B AR1BART
B
pA0 1
利用复合变换公式(2.13) ,求出 A pB0 在{B}中描述。
20
上海电机学院 机械学院
B (A p B 0) A B R A p B 0 B pA 00
BpA 0A B RA pB 0B A R TA pB 0
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
11
上海电机学院 机械学院
12
上海电机学院 机械学院
3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
矩阵代数ppt课件
线性方程组的解法
01
高斯消元法
通过一系列的行变换将增广矩阵化为行阶梯形，从而求出方程组的解。
02
迭代法
通过迭代的方式逐步逼近方程的解，常用的迭代法有雅可比迭代法和
SOR方法。
03
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵的乘积，从而简化方程组的求解过程
，常用的矩阵分解法有LU分解和QR分解。
线性方程组的解空间
要点二
详细描述
数据降维是一种减少数据集维度的方法，同时保留数据集 中的重要特征信息。矩阵代数提供了多种降维方法，如主 成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）。这些方法通 过构造新的特征向量或对原始特征进行线性变换，将高维 数据集转换为低维数据集，从而简化数据的分析和处理过 程。
THANKS
感谢观看
详细描述
在统计学中，线性回归分析是一种预测两个或多个变 量之间关系的方法。矩阵代数在处理数据、计算模型 参数和评估模型性能方面发挥着关键作用。通过矩阵 运算，可以快速计算模型的预测值和评估模型的性能 指标，如均方误差和决定系数。
在图像处理中的应用
总结词
矩阵代数在图像处理中用于图像变换、滤波和特征提取等任务。
02
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个最大的线性无关的向量 的个数。
工科数学--矩阵的概念.ppt
感谢你的观看
B
1 3 1
4
2
2 1
42
12
(三)矩阵的转置
a11 a12 a1n
A
a21
am1
a22 am2
a2n
amn
a11 a21 am1
AT
a12
a22
am2
A2 1
感谢你的观看
A3 1 3 2
0 2 4
26
分块矩阵的运算
加法 A Akl st B Bkl st
A B Akl Bkl st
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
B
b11 b21
b12 b22
b13 b23
A11 A21
A12 A22
B11 B21
B12 B22
A B 2019年8月25
A11 A21
B11 B 感谢你的21观看
A12 A22
B12 B22
27
数量乘法
分块矩阵
A
B
1 3 1
4
2
2 1
42
12
(三)矩阵的转置
a11 a12 a1n
A
a21
am1
a22 am2
a2n
amn
a11 a21 am1
AT
a12
a22
am2
A2 1
感谢你的观看
A3 1 3 2
0 2 4
26
分块矩阵的运算
加法 A Akl st B Bkl st
A B Akl Bkl st
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
B
b11 b21
b12 b22
b13 b23
A11 A21
A12 A22
B11 B21
B12 B22
A B 2019年8月25
A11 A21
B11 B 感谢你的21观看
A12 A22
B12 B22
27
数量乘法
分块矩阵
A
《高中数学课件：矩阵及其应用》
了解矩阵的逆和行列式的概念，以及计算方法和应用。
矩阵的逆
学习如何计算矩阵的逆，并 理解逆矩阵的意义。
行列式
探索行列式的计算方法和应 用。
应用
了解矩阵逆和行列式在实际 问题中的应用。
矩阵的特殊形式
学习几种常见的矩阵特殊形式，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。
对角矩阵
了解对角矩阵的定义和性质。
上三角矩阵
矩阵的迹
特征值和特征向量
了解矩阵的迹的定义和性质。
探索特征值和特征向量的计 算方法和应用。
应用
研究矩阵迹和特征值在实际 问题中的应用。
矩阵的秩及其应用
研究矩阵的秩及其计算方法，以及在线性方程组和线性变换中的应用。
1 矩阵的秩
了解矩阵的秩的概念和计算方法。
2 线性方程组
探索秩在线性方程组中的作用。
3 线性变换
认识秩在线性变换中的重要性。
4 应用
研究矩阵秩在实际问题中的应用。
矩阵的迹和特征值
学习矩阵的迹和特征值的概念，以及计算方法和应用。
高中数学课件：矩阵及其应用
本课件详细介绍了高中数学中关于矩阵及其应用的知识点，包括定义、运算 法则、线性方程组、逆与行列式、特殊形式、转置和对称、秩与特征值等内 容。
矩阵的定义和性质
了解矩阵的基本概念及其在数学和科学中的应用。学习矩阵元素、行数和列数，以及零矩阵、单 位矩阵等特殊矩阵的性质。
矩阵的逆
学习如何计算矩阵的逆，并 理解逆矩阵的意义。
行列式
探索行列式的计算方法和应 用。
应用
了解矩阵逆和行列式在实际 问题中的应用。
矩阵的特殊形式
学习几种常见的矩阵特殊形式，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。
对角矩阵
了解对角矩阵的定义和性质。
上三角矩阵
矩阵的迹
特征值和特征向量
了解矩阵的迹的定义和性质。
探索特征值和特征向量的计 算方法和应用。
应用
研究矩阵迹和特征值在实际 问题中的应用。
矩阵的秩及其应用
研究矩阵的秩及其计算方法，以及在线性方程组和线性变换中的应用。
1 矩阵的秩
了解矩阵的秩的概念和计算方法。
2 线性方程组
探索秩在线性方程组中的作用。
3 线性变换
认识秩在线性变换中的重要性。
4 应用
研究矩阵秩在实际问题中的应用。
矩阵的迹和特征值
学习矩阵的迹和特征值的概念，以及计算方法和应用。
高中数学课件：矩阵及其应用
本课件详细介绍了高中数学中关于矩阵及其应用的知识点，包括定义、运算 法则、线性方程组、逆与行列式、特殊形式、转置和对称、秩与特征值等内 容。
矩阵的定义和性质
了解矩阵的基本概念及其在数学和科学中的应用。学习矩阵元素、行数和列数，以及零矩阵、单 位矩阵等特殊矩阵的性质。
高等数学第11章 线性代数
x1
b2 a11
a22 a12
x2
a21 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
2.定义1
我们把 a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
左端称为二阶行列式，右端为它的展开式
红线称为主对角线，绿线 称为副对角线
25Leabharlann Baidu
例1：计算二阶行列式
的值。
31
25
解：
3
21 35 13 1
a11 a12 a13 a14
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
ai1Ai1 ai2 Ai2 ai3 Ai3 ai4 Ai4
a41 a42 a43 a44
一般地，n阶行列式可以用n个n-1阶行列式来定义。
定义3 设有n2个数，构成以下n 阶行列式，其中
aij (i, j 1,2 , n) 都是数，记为：
为了便于计算，我们把 a11a22 a12a21 记为 a11 a12 a21 a22
b1a22 b2a12 记为 b1 a12 b2 a22
b1a22 b2a12记为
b1 b2
因此方程组的解为
a12 a22
，b2a11
b1a21
记为
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 数，现在你能不能说出他们的年龄各是多
少？”，乙说“不能”；甲再说：“我的大儿
数 子比二儿子大几岁，现在你能不能说出他们的
年龄各是多少？”，乙说：“能”，并且马上
准确地说出了他们的年龄。请问：甲的三个儿
子的年龄分别为多少岁？ 16
解：显然根据题意只有一个已知数字条件，故通过常规的方程组无
法求解，而必须借助题中说话者话语间的逻辑进行推理。故首先是 对36进行分解，并列出所有可能的三个数相乘情况，于是就可以得
数虽然是近世代数的一个分支，但在代数的各
代
个领域中就其应用的广泛性而言是第一的，尤
数 其是在工程技术方面已成为不可缺少的工具。
下面我们就开始线性代数的学习。
5
第一章 矩 阵(Matrix)
§1.1矩阵的基本概念
例 某电视机厂生产三种型号的35厘米(14英寸)彩电TC-1、TC-
线 2、TC-3,它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声 器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、 M3 (塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的
可逆矩阵一PPT课件
b11 a11 ...
bn1
... b1n ... ... ... bnn
cn1 bn1 ... bnn
第14页/共50页
进一步有
a11 a12 0 ... 0
a21 c11 ...
a22 c12 ...
0 b11 ...
... 0 ... b1n ... ...
a11 a21
a12
b11 ...
所以A*
26
4
19
3 5 6
试问：例1中 AA ? A A ?
AA 71I3, A A 71I3, A 71
第33页/共50页
利用行列式按一行(列)展开的定理可以得到:
a11 a12 ... a1n A11 A21 ... An1
AA*
a21
... an1
a22 ... an2
a12
c11 ...
0 ... 0 b11 ... b1n ... ... ...
... ... ... ... ... cn1 cn2 bn1 ... bnn
cn2 bn1 ... bnn
cn1 bn1 ... bnn
b11 a11a22 ...
bn1
源自文库
... b1n
b11
... ... a12a21 ...
例如对于n阶单位矩阵In，由于
第一章矩阵理论(管理数学基础)课件
（1）
16
在上式两边同乘以s得
k1s x1 kss xs 0，
（2）
因为Axi i xi (i 1，，s)，用A左乘(1)式得
k11x1 k x s1 s1 s1 kss xs 0， （3）
将(3)、(2)二式两边分别相减得
k1(1 s )x1 ks1(s1 s )xs1 0 由于x1，，xS1线性无关，且i s
其中凡是幂次kij
0的一次因式幂（
-
）kij
j
均称为A的初等因子
（i=1, ,n;j=1, ,s; kij n）
ij
28
计算方法
法一:求的不变因子dk ()，再分解为( i )ki ,见14页1.12及1.13
-2
考虑其所有的3级子式(只有一个)：
23
所以 D3() ( 2)3 考虑其所有的2级子式，因为有一个2级子式
1 0 1
2 -1
所以 D2 () 1
考虑其所有的1级子式，因为גE-A中的有元素-1, 所以 D1() 1
24
2.不变因子
定理1.4 גE-A总可以经初等变换化为
d1()
18
相似矩阵：设A、B均为n阶方阵，若存在n阶可 逆矩阵P，使
B P1AP 则称A相似于B，记为A B。这时可称P1AP为 对A施行相似变换，其中P称为相似变换阵。
经济数学课件 11.2矩阵的初等行变换及应用
（2）如第i行元素不全为零，并且其第一个不 为零的元素位于第j 列，则k i时，akj 0 。
如
1 3 1 2 A 0 2 3 2
0 0 4 1
2 B 0
，0
1 2 0
4 9 0
4 3 0
7
，C
0 0
1 0 0
5 4 0
11
2
2
0 0 0 0
0
00
0
等都是阶梯形，但 不是阶梯形。
3
3 0 1
2. 用初等变换求矩阵的秩
定义 如果一个矩阵，从第二行起每个非零行 的第一个非零元素出现在上一行第一个非零 元素的右边，同时，没有一个非零行出现在 零行之下，则称该矩阵为阶梯形矩阵。
例如
2 1 3 0 1 1 0 0 3
和
0 0
3 0
2 0
4 2
1 3
0 0 0 0 0
A
a21
a12
a22
a1n a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
叫做线性方程组（1）的增广矩阵
例9 用消元法解线性方程组
2xx11
2x2 x2
3x3 2 x3
7 8
x1 3x2
7
有时根据需要，可对线性方程组先进行加减消 元，然后进行代入消元。如例8中，可先用
如
1 3 1 2 A 0 2 3 2
0 0 4 1
2 B 0
，0
1 2 0
4 9 0
4 3 0
7
，C
0 0
1 0 0
5 4 0
11
2
2
0 0 0 0
0
00
0
等都是阶梯形，但 不是阶梯形。
3
3 0 1
2. 用初等变换求矩阵的秩
定义 如果一个矩阵，从第二行起每个非零行 的第一个非零元素出现在上一行第一个非零 元素的右边，同时，没有一个非零行出现在 零行之下，则称该矩阵为阶梯形矩阵。
例如
2 1 3 0 1 1 0 0 3
和
0 0
3 0
2 0
4 2
1 3
0 0 0 0 0
A
a21
a12
a22
a1n a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
叫做线性方程组（1）的增广矩阵
例9 用消元法解线性方程组
2xx11
2x2 x2
3x3 2 x3
7 8
x1 3x2
7
有时根据需要，可对线性方程组先进行加减消 元，然后进行代入消元。如例8中，可先用
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9
矩阵/方阵
• 单位阵
1 0 0
In
I
d ef
0 0
1 0
0
1
例
A10
0 1
32
C AB
mn ms sn
I AI10
0 1
32
1 0 0
？
0 1 0
0 0 1
10
0 1
32 A
I IA
1 0
0 ？1
1 0
0 1
2 3
10
0 1
32 A
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
A2
1
源自文库
A12
A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A a a 1 1 aa 22 a a n n
定义列阵
A 11
def
a1
A 21
A m1
A 11
a2
d ef
A 21
A m 1
A 1 n
a
n
def
A 2n
A mn
ajA 1j A 2j A m j T (j=1, ,n)
a5
4 1 4 2 6
1 3 2 4 5
a12 a24 a33 a46 a53
4
1
4
2
6
2020/8/10 15
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵
• 矩阵的行阵分块表达
分块阵转置运算关系
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
b
T 1
A
b
T 2
• 将 m×n 个标量 Aij 排列成 m 行， n 列的表，定义为 m×n 阶(维)矩阵
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
• 用一黑斜体的大写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线
A
2020/8/10 6
理论力学CAI 数学基础
• 用一黑斜体的小写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线
a
a 1
a
def
a2
am
a1
a2
am T
• m 阶列阵 a 的转置aT 为 1×m 阶矩阵称为 m 阶行阵
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
def
aTa1 a2 am
13
矩阵/列阵
• 矩阵的列阵分块表达
A11
A
例
0 3 2 A3 0 6
1 3 2 B 3 1 6
2
6
0
2
6
1
反对称阵
？反对称阵
0 3 2 0 3 2 AT 3 0 6 3 0 6 A
2 6
0
2 6 0
AAT
2020/8/10 12
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵
列阵
• 列阵：只有一列（m个元素）的矩阵为 m × 1阶矩阵称为 m 阶 列阵
理论力学 CAI 数学基础
• 前言
• 矩阵 • 矢量
矩阵
• 方向余弦阵
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c)
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
矩阵
矩阵
• 矩阵的定义与运算 • 矩阵的导数
• 方阵的迹
• 对角阵
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
A11
def
A
Aij
n
def
A21
A12
A22
A1n A2n
An1 An2 Ann
n
trA AiiA11A22 Ann i1
A11
A
0 0
0 A22
0
0
A0nndedf iagA1(1,
A22,, Ann)
A IIA A ABBA
10
矩阵/方阵
• 对称阵：Aij=Aji (i, j=1,,n)
例
1 3 2
A 3 4 6
2
6
4
1 3 2
AT 3 4 6
2
6
4
A AT
2020/8/10 11
理论力学CAI 数学基础
矩阵/方阵
• 反对称阵： Aij= -Aji (i, j=1,,n) Aii= 0 (i=1,,n)
b
T m
b1 b2 bm T
定义列阵的转置
b iT A i1 A i2 A in(i=1, ,m)
Ai1
bi
2020/8/10
Ai2
Ain
Ai1
Ai2
Ain T
(i=1, ,m)
16
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵/行阵分块表达
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
2020/8/10 14
理论力学CAI 数学基础
矩阵/列阵/列阵分块表达
A11
A
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
A a 1 a 2 a n
ajA 1j A 2j A m j T(j=1, ,n)
例
定义列阵
1 A2
3 4
2 3
4 6
5 3a1
a2
a3
a4
nm
def
A1 2
A1n
A2 1 A2 2
A2n
Am1 Am2
Am
n
1 2 4
3 4 1
A
T
2
3
4
4 6 2
5
3
6
53
7
矩阵/方阵
零矩阵
0 0 0
0
def
0
0
0
0 0 0
0 0
2020/8/10 8
理论力学CAI 数学基础
矩阵/方阵
方阵
• 方阵：m=n
矩阵/定义与运算/定义
• 矩阵A的转置矩阵，记为AT
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12
A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
例
1 3 2 4 5 A 2 4 3 6 3
4
1
4
2
6
35
2020/8/10 理论力学CAI 数学基础
A11
AT
d ef
Aji
2020/8/10 3
理论力学CAI 数学基础
矩阵
矩阵
• 矩阵的定义与运算 • 矩阵的导数
2020/8/10 4
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算
矩阵的定义与运算
• 矩阵的定义 • 方阵 • 列阵 • 常见的矩阵运算
2020/8/10 5
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/定义
矩阵的定义
Am1 Am2 Amn
A b 1 b 2 b m T
bi A i1 A i2 A inT(i=1, ,m)
例
1 A2
3 4
2 3
4 6
53b b12T Tb1
b2
b3 T
4 1 4 2 6 b3T
定义列阵
1
3
b1
2
4
2
4
b2
3
6
4
1
b3
4
2
1 2 4T
3 4 1
A
2
3
4
4 6 2
2020/8/10
5
3
6
5
3
6
17
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
常见的矩阵运算
同阶矩阵相等 矩阵与标量乘 同阶矩阵求和 矩阵乘
AB
CA
CAB CAB
2020/8/10 18
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
• 同阶矩阵相等
元素间的关系 Aij=Bij