2019—2020年最新苏教版高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积》同步练习及解析.docx

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2019-2020年苏教版高中数学必修二1-3-1 空间几何体的表面积教案1

2019-2020年苏教版高中数学必修二1-3-1 空间几何体的表面积教案1教学目标：1.了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图；2.了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式；3.会求一些简单几何体的表面积．教学过程:一、建构数学1.多面体的平面展开图的概念多面体是由一些平面多边形围成的几何体.一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.2.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台（1）侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱两底面的距离叫做棱柱的高.直棱柱的侧面积（2）正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台.斜高：侧面等腰三角形底边上的高.注:只有正棱锥和正棱台才有斜高.正棱锥的侧面积：；正棱台的侧面积：思考：正棱柱，正棱锥，正棱台的侧面积公式的关系3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积圆柱的侧面积：；圆锥的侧面积：；圆台的侧面积公式：思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的XXX 与区别？二、数学运用：例1.设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是，底面的边长是，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（结果保留两位有效数字）．S 1.5 O 0.85E例2.一个直角梯形上底、下底和高之比为．将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．作业：班级：姓名：学号1.已知四棱锥底面边长为，侧棱长为，则棱锥的侧面积为____________________．2.棱长都为的正三棱锥的侧面积等于________________________．3.正方体的一条对角线长为，则其全面积为_________________．4.等边圆柱的母线长为4,则其等边圆柱的表面积为．5.等边圆锥的母线长为4,则其等边圆锥的表面积为．6.圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为．7.在正三棱柱中，，且，则正三棱柱全面积为___ _．8.一张长、宽分别为、的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为___________________．9.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到G点的最短距离是10.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，求三棱台的侧面积与全面积．11.已知六棱锥，其中底面是正六边形，点在底面的投影是正六边形的中心点，底面边长为，侧棱长为，求六棱锥的表面积。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.3 空间几何体的表面积和体积》3

习题课：空间几何体的表面积和体积教学目标：知识与技能：1、使学生进一步了解柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，求解有关表面积、体积计算问题。

2、使学生会利用柱体、锥体、台体的表面积、体积公式解决一些简单的实际问题。

过程与方法：利用几何画板多媒体教学，使学生通过直观感受，利用柱体、锥体、台体的体积公式进行求解。

情感、态度和价值观：通过学习，提高学生的空间思维能力，利用多媒体教学，提高学生学习的积极性。

教学重点、难点：柱、锥、台的表面积、体积计算公式及其应用教学过程：1、斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形，侧棱长为3cm，侧棱AA’与底面相邻两边成60°。

（1）求证：侧面CC’B’B是矩形；（2）求这个棱柱的侧面积；（3）求棱柱的体积。

【分析】要证侧面四边形是矩形，只要证明B B '⊥BC ，即A A BC '⊥，取BC 的的中点记为D 。

（2）要求侧面积即四个侧面面积的总和。

（3）h 31底S V =，作AD H A ⊥'。

2、在长方体ABCD -A'B'C'D'中，已知AD=AB=3,A A '=4.求：点D 到平面AD'C 的距离。

【分析】①利用等体积D AC D ACD D V V '--'=②作C D DH '⊥，F 为AC 中点3、如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1 的中点为O ，且AO ⊥平面C C BB 11.(1)证明:C B 1⊥AB ；(2)若AC ⊥1AB ,∠1CBB =60°,BC=1，求三棱柱的高。

明【分析】（1）要证AB C B ⊥1，要证ABO C B 面⊥1 （2）①利用等体积ABC B BCB A V V --=11思考：（2021 广东高考）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6，BC=3.(1)求证：BC ⊥PD ；(2)求点B 到平面PDA 的距离。

2019-2020学年苏教版必修二空间几何体的表面积与体积课时作业

1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(方法1：割补法由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B. (方法2：估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.2．(2018·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)A.13＋23πB.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×(22)3＝13＋26π.故选C. 3．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为(B)A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3由等边△ABC 的面积为93可得34AB2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3. 4．(2018·长沙市一中二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A)A ．8＋82＋4 6B ．8＋82＋2 6C ．2＋22＋ 6 D.12＋22＋64将三视图还原为空间几何体，如图，四面体D-ABC.因为S △ABC ＝12×2×4＝4， S △BCD ＝12×2×4＝4， S △DAC ＝12×43×22＝46， S △ABD ＝12×42×4＝8 2. 所以四面体的表面积为S ＝S △ABC ＋S △BCD ＋S △DAC ＋S △ABD ＝8＋82＋4 6.5．(2018·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 2＋π2.该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2. 6．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为__402π__．如图，因为SA 与底面成45°角，所以△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158，所以S △SAB ＝12SA·SB·sin ∠ASB ＝12(2r)2·158＝515，解得r ＝210，所以SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，所以S 圆锥侧＝πr·l ＝π×210×45＝402π.7．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积．(1)球的体积V 球＝43πr3＝36π，圆柱的体积V 圆柱＝Sh1＝64π，正四棱台的体积是V 正四棱台＝13h2(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝336，所以此几何体的体积是V ＝36π＋64π＋336＝100π＋336＝650(cm3)．(2)因为底座是正四棱台，所以它的斜高是h′＝－＋42＝5，所以它的侧面积是 S 侧＝4×12×(6＋12)×5＝180 (cm2)．8．(2018·惠州9月月考)若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为(A)A ．3B ．2 2C ．2 3D ．3 3此四棱锥为正四棱锥，设此四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则13a2h ＝9，则a2＝27h，再设其外接球的半径为R ，则在△COE 中，R2＝(h －R)2＋(22a)2，所以R ＝h2＋12a22h ＝h 2＋a24h ＝h 2＋274h2. 设f(h)＝h 2＋274h2，则f′(h)＝12－272h3，令f′(h)＝0，解得h ＝3，分析可知f(h)在h ＝3时有最小值，故选A.9．(2018·浙江卷)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 12.在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，所以AC ＝ 22＋22－－12＝2 3. 设CD ＝x ，则AD ＝23－x ，所以PD ＝23－x ，所以VP-BCD ＝13S △BCD·h≤13×12BC·CDsin 30°·PD ＝16×2x×12×(23－x) ＝16x(23－x)≤16(x ＋23－x 2)2 ＝16×(232)2＝12，当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”，此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意．10．(2018·全国卷Ⅰ选择题改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值．如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC. 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高h ＝DG2－OG2＝25－10x ＋x2－x2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x×3x ＝33x2，则三棱锥的体积 V ＝13S △ABC·h ＝3x2·25－10x ＝3·25x4－10x5. 令f(x)＝25x4－10x5，x ∈(0，52)，则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x ∈(2，52)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故当x ＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.所以三棱锥体积的最大值为415 cm3.。

2019-2020学年苏教版必修二 1.3.2 空间几何体的体积(同课异构) 课件

上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
想一想？
上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、
正棱台的侧面积之间有一定的关系。那么，
这里柱体、锥体、台体的体积公式之间有没
有类似的关系？
s/
V柱体=sh
s
S/=S
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，
设正方体的棱长为 a,
则 2R 3a, a 2 3 R
R
3
所以,正方体的体积为:
V a3 (2 3 R)3 8 3 R3
3
9
小结
１．柱体的体积公式; ２．锥体的体积公式; ３．台体的体积公式; ４．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系及其应用;
球的质量为：
7.9
4 3

50 2
3

517054
(g)
街心花园中钢球的质
量为145000g，而
145000<517054，所以钢
球是空心的．
数学运用
例3.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3）, 每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是空心的，请你计算出它的内径（π 取3.14，结果精确到1cm）．
四、球的体积计算公式
祖暅原理：

必修二_1.3_空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案

1.3空间几何体的表面积和体积【知识总结】1. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（S 侧）全面积（S 全）体积（V ）棱棱柱直截面周长x IS 侧+2S 底S底• h=S 直截面• h柱直棱柱 chS 底• h「棱锥棱锥各侧面积之和1S 底• h3 正棱锥 1『 —ch 2S 侧+S 底棱台各侧面面积之和1—h(S 上底+S 下底+3棱台正棱台1一 (c+c ' )h '2S 侧+S 上底+S 下底S 下底’S 下底）表中表示面积，'、分别表示上、下底面周长，表斜咼，'表示斜咼，表示侧棱长。

2 .旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S 侧 2 n rl n rl n (r 1+「2)lS 全 2 n r(l+r) n r(l+r) 2 2n (r 1+r 2)l+ n (r 1+r24 n RVn r 2h(即 n r 2l)1r 2h —n r h312 2—n h(r 1+r 1「2+r 2)3 43—n R3 表中I 、h 分别表示母线、咼，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r i 、「2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。

【知能训练】A:多面体的表面积和体积一•选择题1.如图，在直三棱柱 ABC-ABC i 中，AA=AB=2 BC=1, / ABC=90，若规定主（正）视方向垂直平面 ACCA ,则此三棱柱的左视图的面积为（）A.—— B . 2 - C . 4 D . 22•某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）3.—个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1: 2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（）A . 1 : 4B . 1 : 2C . 1 : （ "- 1 ）D . 1: （一+1 ） 4.正六棱台的两底边长分别为1cm, 2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A . 80B . 24 一+88C. 24 一+40 D . 118A .9 ~ 2cm2B . 9 cmC. - cm 22D. 3 cm5. 要制作一个容积为 4卅，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是（）A . 80 元B . 120 元C . 160 元D. 240 元6. （文）四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥 A . 24 B . 18 C . - - D . 87. 某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ A . 48B . 56C . 64D. 72&各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（）A. 4 _a 2B . 3 "a 2C .2 _a 2D9.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）10. 如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，D, E , F 分别是AB, AC, AA 的中点，设三棱锥 F-ADE的体积为V 1,三棱柱 ABG-ABC 的体积为V 2,则V 1： V ___________________________________ .11. _______ 将边长为2的正方形沿对角线 AC 折起，以A, B, C, D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ____ .12.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若AAB 1B 水平放置时，液面恰好过AC BC, AC , BC 的中点，则当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 _________________ . 13. 四棱锥P-ABCD 的底面ABCE 为正方形，且PD 垂直于底面 ABCD N 为PB 中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ________________ .14.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧视图为S-ABCD 的体积=( )A .B . 6C. -D . 2直角三角形，则它的体积为_________________15.如图所示，在三棱柱ABC-ABQ 中，AB=AC=AA=2, BC=2 ；且/ AAB=/ A i AC=60，则该三棱柱的体积是_________________________ .B：旋转体的表面积和体积1•如果圆锥的底面半径为，高为2,那么它的侧面积是（）A. 4 n B . 2 n C . 2 n D . 4 n2.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A. 5 nB. 4 nC. 3 nD. 2 n3•如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是（）A. 1 : 2 B. 2: 3 C. 1 : 一 D. 2: _4•圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（）A. - nB. nC. 2 nD.以上都不对5.圆台的上、下底面半径和高的比为 1 : 4: 4，母线长为10,则圆台的侧面积为（)A. 81 nB. 100 nC. 14 nD. 169 n6.已知球的直径SC=8 A, B是该球球面上的两点，AB=2 ，/ SCAN SCB=60，则三棱锥S-ABC 的体积为（）A. 2 ~B. 4 ~C. 6 ~D. 8 ~7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S、S,则S:Sa=（）A. 1 : 1B. 2: 1C. 3: 2D. 4: 1&若两个球的表面积之比为1: 4,则这两个球的体积之比为（）A. 1 : 2B. 1 : 4C. 1 : 8D. 1 : 169.体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S , S, S3,那么它们的大小关系为（）A. S1 v S2 v S3B. S1 v S3V S2C. S2V S3 v S1D. S2 v S1 v S3二.填空题（共5小题）10.圆锥和圆柱的底面半径和高都是R,则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为________________n和n的矩形, 11 .已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为则该圆柱的体积是____________________12.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短50cm,最长80cm,则斜截圆柱的侧面面积S= cm 2.13.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于14•已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为15.已知A, B, C是球面上三点，且AB=AC=4cm/ BAC=90，若球心O到平面ABC的距离为2 ，则该球的表面积为cm3.11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD7卜接球表面积为三.解答题(共3小题)16•如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成•已知球的直径是6cm,圆柱筒长2cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm (结果精确到0.1 ) ?(2 )要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？17.(文)如图，球O的半径长为10(1)求球O的表面积；(2)求球O的体积；(3)若球O的小圆直径AB=3Q求A、B两点的球面距离.18.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O.(1)求球O的体积和表面积；(2)与底面距离为1的平面和球的截面圆为M AB是圆M内的一条弦，其长为2 ，求AB 两点间的球面距离.参考答案: A:I、A 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D10、解:因芮D，E，分S］是Ab肌的中自所以血虫DE；S AA BC=1:仆又F是宜納的中点，所以A T aS面的范离H为F到虧面距离h的2倍• 即三複栓盘卩1门-2匚的壽是三棱穩F-ME高的7倍-斷以如；畑空兰空=4T=1：西.故答案为1； 24.II、铅：妇也肪示，评正方也就口叭対術钱M * 3DSt + iO>甲n折更启的位豈为F・连揺即‘ *苛一TAZJLBC，AC l-BD* - BaflD- QrO--ACX 耶®IT g匡b> =楼帕的作祗対V D -kBC"v^EOC' -^Vc-BCC~ ；BCD' k AO*j52kBOD' x J S^ISOD_卞航:王方世的迪丢为2・可J?■■- BOD ft AH - To LABC谜劉昴尢值■*：S/\ 二 0D* =? x j^x忑小血乂目□力'二w in上aoii *’，丄i ?rv「.q-TTY-M' l「=丄工」•王5V.怡巧「此t」导.乂RJ农虻-土故告案为；半12、解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形.设△ ABC的面积为S，贝U S梯形ABFE= S，V水=S? AA1=6S .当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，••• 6S=Sh，.•• h=6 .故当底面ABC水平放置时，液面高为6 .故答案为：613、1:4 14、15、2解:團柱的側面展开囹星长利员务别为和TT的矩用，当毋线为戈氏时，區1桂的庙面半襌是扌此时囿桂体粮是（l）1 2Ttx3it=^;当母线为H时，圆柱酌展面半轻是学此时圆柱的体釈是（芥II"二竺匕£-t 4综上所求圈柱的体稅杲：—16、解：（1 ）T该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm ,•••半球的直径也是6cm,可得半径R=3cm,•两个半球的体积之和为V球=-冗R = - n ? 27 = 6 n cm3 * S 6…（2分）斗412、解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积 S=[ （ 50+80） X 20 n x 2]/2=2600 n cm2. 故答案为：2600 n13、 3 14、8 n 15、64 n学习参考而V 圆柱=n R ? h= n X 9X = n cm3…（2 分）•该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36 n +18 n =54 n" 169.6cm 3…（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S 球表= n R = Xn X 9= 6 n cm?…（6 分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2 n Rh=2 Xn X 3 X 2=12 n cm2…（8分）6 n n n• 1个“浮球”的表面积为S = —0一= —m因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500 S = 00 X —= n m2…（10分）•/每平方米需要涂胶100克，•总共需要胶的质量为：100 X 12 n =1200 n （克）…（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm 3;供需胶1200 n克.…（13分）17、解：（1）球的表面积为4 n r 2=1200 n ; …（4分）（2）球的体积V=-n r3= 4000 _n ; …（8 分）（3）设球心为O,在△ AOB中，球O的小圆直径AB=30，球O的半径长为10解得Z AOB="，所以A、B两点的球面距离为0 n n . …（15分）18、解：（1）•••底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O,•球O的半径为2cm,.•.球O的体积为-n ? 2=,表面积4 n ? 22=16 n ;（2）•/ AB是圆M内的一条弦，其长为2 ,• Z AOB= n , • AB两点间的球面距离为".。

高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件1332空间图形的体积

解析设三棱锥 F－ADE 的高为 h，则VV12＝2h13h12122AADD·AE2A·sEins∠inD∠ADEA E ＝214.
解: 每一个螺帽的体积为 V V棱柱V圆柱
6 3 (12 24) 10 52 10
≈2956 (mm3) 2.956 (cm3), 7.82.95623.0568 (g) 0.0230568 (kg), 5.80.0230568≈252 (个). 答: 这堆螺帽大约有252个.
数学应用
相等！
1 2V球R2R Nhomakorabea1
3
R2R
2 3
R3
V球
4 3
R3
数学探究
球的表面积在求球的体积时,我们用切片的方法将球分割成很多个近似圆柱. 从中你能否得到启示, 怎样将球的表面分割成某平面图形, 以求球的表面积?
如图, 将球表面进行经纬网状分割成 n 小片,
将每小片的四顶点与球心连结,
·
截割出 n 个近似棱锥.
为2R,
所以原来气球的体积为
4 3
R3
,
扩大后气球的体积为
4 3
(2R)3
8( 4 R3 ).
3
答: 气球扩大后的体积增大到原来的 8 倍.
数学应用例5. 一个正方体的顶点都在球面上, 它的棱长是 a cm, 求球的体积.
解: 如图,
由正方体与球的对称性,
正方体的对角线长就是球的直径.
∵正方体的棱长为a cm,
13.3.2空间图形的体积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积. 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积. 3.会求简单组合体的体积及表面积.

2019—2020年最新苏教版高中数学必修二《空间几何体的表面积和体积》同步练习及答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积和体积一、填空题1. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的体积为________．2. 若在三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于________．3. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．4. 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．5. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2，分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC(E 在线段AD 上)．若由两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为__________．(第5题)(第6题)6. 如图所示，已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B1ABC1的体积为________．7. 已知一个圆锥的侧面展开图(扇形)恰好是一个半圆的四分之三，若此扇形的面积为S1，圆锥的表面积为S2，则S1∶S2＝________．8. 如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN 折起，使点A到A′的位置．若平面A′MN与平面MNCB垂直，则四棱锥A′MNCB的体积为________．9. 若长方体的长、宽、高分别为2a，a，a的长方体的8个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．10. 如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球(球的直径大于8 cm)放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3.二、解答题11. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1) 求证：DE∥平面ABC；(2) 求三棱锥EBCD的体积．12. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π2.(1) 求证：CB 1⊥BA 1； (2) 已知AB ＝2，BC ＝5，求三棱锥C 1ABA 1的体积．13沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1) 如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙，那么该沙漏的一个沙时约为多少秒(精确到1 s)?(2) 细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1 cm)．1. 2π 解析：由底面周长为2π可得底面半径为1，S 底＝πr 2＝π，V ＝S 底·h ＝2π.2.3 解析：依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·PA ＝13×12×3×2×3＝3.3. 32 解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，所以h 1h 2＝r 2r 1.又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，所以r 1r 2＝32. 所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝32.4.7 解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π·52×4＋π·22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2·4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.5. 2π3 解析：旋转所形成的几何体是高为AD ，底面半径为AB 的圆柱挖去分别以A ，D 为球心、半径为AB的两个半球，V ＝π×12×2－2×12×43π×13＝2π3.6. 312 解析：三棱锥B 1ABC 1的体积等于三棱锥AB 1BC 1的体积，三棱锥AB 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.7. 8∶11 解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫83r 2×3π4＝83πr 2，S 2＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，因此S 1∶S 2＝8∶11.8. 3 解析：∵ 平面A ′MN 与平面MNCB 垂直，根据面面垂直的性质定理，可知A ′E 就是四棱锥A ′MNCB 的高，A ′E ＝ 3.又四棱锥的底面面积是2＋42×3＝33，∴ V ＝13×33×3＝3.9. 6πa 2 解析：由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，则长方体的体对角线长为（2a ）2＋a 2＋a 2＝6a.∴ 2R ＝6a ，∴ S 球＝4πR 2＝6πa 2.10. 500π3解析：作出该球轴截面的图形，如图所示，依题意得BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)． 11. (1) 证明：如图，取BC 的中点G ，连结AG ，EG.∵ E 是B 1C 的中点， ∴ EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由题意知，AA 1∥BB 1.而D 是AA 1的中点，∴ EG ∥AD ，且EG ＝AD. ∴ 四边形EGAD 是平行四边形． ∴ ED ∥AG.又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴ DE ∥平面ABC.(2) 解：因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE. 所以V E BCD ＝V D BCE ＝V A BCE ＝V E ABC .由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E BCD ＝V E ABC ＝V D ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12.12. (1) 证明：如图，连结AB 1，∵ ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，∠CAB ＝π2，∴ AC ⊥平面ABB 1A 1. 故AC ⊥BA 1. ∵ AB ＝AA 1，∴ 四边形ABB 1A 1是正方形． ∴ BA 1⊥AB 1.又CA ∩AB 1＝A ，∴ BA 1⊥平面CAB 1. 又CB 1⊂平面CAB 1，故CB 1⊥BA 1. (2) 解：∵ AB ＝AA 1＝2，BC ＝5，∴ AC ＝A 1C 1＝1.由(1)知，A 1C 1⊥平面ABA 1，∴ VC 1ABA 1＝13S △ABA 1·A 1C 1＝13×2×1＝23.13. 解：(1) 开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H ＝23×8＝163(cm)，底面半径为r ＝23×4＝83(cm)， V ＝13πr 2H ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫832×163≈39.70(cm 3)，V ÷0.02≈1 985(s)．所以沙全部漏入下部约需1 985 s.(2) 细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4 cm ，设高为H ′，则V ＝13π×42×H ′＝1 02481π(cm 3)，H ′＝6427＝2.37≈2.4(cm)．所以锥形沙堆的高度约为2.4 cm.。

2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章2 1.3.2 空间几何体的体积(苏教版)

1.3.2 空间几何体的体积1.了解柱、锥、台的体积公式的推导过程.2.理解柱、锥、台体之间及它们的体积公式之间的关系，以及球的表面积的推导.3.掌握柱、锥、台体的体积公式和球的表面积、体积公式及应用，会运用体积的割补法、等积转换法等常规方法.1.柱体、锥体、台体的体积几何体体积公式柱体 V ＝Sh （S 为底面面积，h 为柱体的高）锥体 V ＝13Sh （S 为底面面积，h 为锥体的高）台体V ＝13（S ′＋S ′S ＋S ）h （S ′、S 分别为上、下底面面积，h 为台体的高）2.球的表面积与体积球的表面积：S 球＝4πR 2，球的体积：V 球＝43πR 3Ｗ.（其中R 为球的半径）1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）决定球的大小的因素是球的半径.（）（2）球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.（）（3）球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .（）答案：（1）√ （2）√ （3）√2.三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（） A.59倍 B.95倍 C.2倍 D.3倍答案：D3.已知棱台的上、下底面面积分别为4、16，高为3，则该棱台的体积为Ｗ. 答案：28柱体的体积把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为（） A.27πB.272πC.27π或272πD.54π或108π解析：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则 ①当2πr ＝6时，r ＝3π，l ＝3，所以V 圆柱＝πr 2·l ＝π·⎝⎛⎭⎫3π2·3＝27π.②当2πr ＝3时，r ＝32π，l ＝6，所以V 圆柱＝πr 2·l ＝π·⎝⎛⎭⎫32π2·6＝272π. 所以所得圆柱的体积为27π或272π.答案：C求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积则需确定底面半径和高.注意分类讨论思想的应用.1.已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm ，宽为6 cm 的矩形，求此三棱柱的体积.解：设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，所以3a ＝9，h ＝6或3a ＝6，h ＝9，所以a ＝3，h ＝6或a ＝2，h ＝9. 所以V ＝Sh ＝34a 2h ＝34×32×6＝2732（cm 3）或V ＝34×22×9＝93（cm 3），故三棱柱的体积为2732cm 3或93cm 3.锥体的体积如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥.（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥A -A 1BD 的体积及高. 解：（1）V 三棱锥A 1ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3.（2）V 三棱锥A -A 1BD ＝V 三棱锥A 1ABD ＝16a 3.设三棱锥A -A 1BD 的高为h ，则V 三棱锥A -A 1BD ＝13·S △A 1BD ·h＝13×12×32（2a ）2h ＝36a 2h ，故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a .三棱锥的“等体积性”，即计算体积时可以用任意一个面作三棱锥的底面.①求体积时，可选择高和底面积容易计算的来算；②利用“等体积性”可求点到平面的距离.利用等体积变换法求点到平面的距离，是求点到平面距离的又一重要方法，尤其是点到平面的垂线不好作时，往往使用此法.2.如图，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别是棱AA 1和CC 1的中点，求四棱锥A 1EBFD 1的体积.解：因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，所以四棱锥A 1EBFD 1的底面是菱形（E ，B ，F ，D 1四点共面）. 连结EF ，则△EFB ≌△EFD 1.因为三棱锥A 1EFB 与三棱锥A 1EFD 1等底同高，所以它们的体积相等.因为CC 1∥平面ABB 1A 1，所以三棱锥F -EBA 1的高就是CC 1到平面AB 1的距离，即为棱长a .又△EBA 1边A 1E 上的高是BA ＝a ，所以VA 1EFB ＝VF EBA 1＝13·12·a 2·a ·a ＝112a 3.所以VA 1EBFD 1＝2VF EBA 1＝16a 3.台体的体积已知正四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm 、8 cm ，侧棱长为8 cm ，求它的侧面积和体积.解：如图所示，设四棱台的侧棱延长后交于点P ，则△PBC 为等腰三角形，取BC 中点E ，连结PE 交B 1C 1于点E 1，则PE ⊥BC ，E 1E 为侧面等腰梯形的高，作PO ⊥底面ABCD 交上底面于点O 1，连结O 1E 1、OE .在△PB 1C 1和△PBC 中，PB 1PB ＝B 1C 1BC ＝48＝12，所以PB 1＝B 1B ＝8，B 1为PB 的中点，E 1为PE 的中点.在Rt △PBE 中，PE ＝PB 2－BE 2＝162－42＝415.所以E 1E ＝12PE ＝215.在Rt △POE 中， PO ＝PE 2－OE 2＝（415）2－42＝414，所以PO 1＝12PO ＝214.所以S 四棱台侧＝4S 梯形BCC 1B 1＝4×12（4＋8）×215＝4815（cm 2）.所以V 四棱台＝V 四棱锥P -ABCD －V 四棱锥P -A 1B 1C 1D 1 ＝13S 正方形ABCD ·PO －13S 正方形A 1B 1C 1D 1·PO 1 ＝13×82×414－13×42×214＝224143（cm 3）.（1）本题最后也可直接应用台体的体积公式计算.解决台体问题常还台为锥，并借助于过高的截面，将空间问题转化为平面问题求出相关数据，然后进行计算.本题中的棱台实质为正四棱台，是由正四棱锥（底面为正四边形，顶点在底面的投影为底面中心）截得的.（2）在正四棱台中的直角梯形值得注意，如本例中四边形O 1OEE 1，可以转化为直角三角形，利用三角形知识求解.3.已知一个三棱台的两底面分别为边长20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积.解：如图，三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ，O ′分别为两底面的中心，D 、D ′是BC 、B ′C ′的中点，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝12（20＋30）·DD ′·3＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34（202＋302）＝325 3 cm 2. 由S 侧＝S 上＋S 下得，75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333 cm. 在直角梯形O ′ODD ′中，OD ＝5 3 cm ，O ′D ′＝1033 cm ，O ′O ＝D ′D 2－（OD －O ′D ′）2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝4 3 cm ，即棱台的高h ＝4 3 cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3（S 上＋S 下＋S 上S 下）＝433·⎝⎛⎭⎫34·202＋34·302＋34·20·30 ＝1 900（cm 3）.球的表面积与体积（1）已知球的体积是32π3，则此球的表面积是（）A.12πB.16πC.16π3D.64π3（2）把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（） A.2倍 B.2倍 C.22倍 D.32倍解析：（1）设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，解得R ＝2.所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π. （2）设原来球的半径为r ，扩大后球的半径为R ，依题意可知4πR 24πr 2＝2，所以R ＝2r .所以43πR 343πr 3＝R 3r 3＝（2r ）3r 3＝2 2.即球的体积扩大到原来的22倍.故C 正确. 答案：（1）B （2）C根据球的截面面积来求球的表面积和体积问题，关键是利用重要的直角三角形建立关于。

高一数学苏教版必修二同步训练：1.3 空间几何体的表面积和体积

1.3 空间几何体的表面积和体积1、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.12、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A. 62B. 42C. 6D. 43、—个几何体的三视图如图所示,則该几何体的体积为( )A. 2009π+B. 20018π+C. 1409π+D. 14018π+4、如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. 17 27B. 5 9C. 10 27D. 1 35、某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( )A. 3 2πB. 3π+C. 33 2πD. 53 2π6、如图,网格中每个小正方形的边长都为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.187、若正方体的棱长为2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( ) A. 26B.23 C. 3 D.2 8、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A.3500πcm 3B.3866πcm 3C.31372πcm 3D.32048πcm 39、如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. 9π42+B. 36π18+C. 9π122+D. 9π182+ 10、平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1,球心 O 到平面α的距离为2,则此球的体积为( )A. 6πB. 43πC. 46πD. 63π11、某几何体的三视图如图所示,则其表面积为__________.12、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92π, 则正方体的棱长为__________13、一个几何体的三视图如图所示,則该几何体的表面积为__________.14、如图,在三棱柱111A B C ABC -中, ,,D E F 分别是1,,AB AC AA 的中点.设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V =__________.15、已知正四棱台两底面面积分别为280cm 和2245,cm 截得这个正四棱台的原棱锥的高是35,cm 求正四棱台的体积.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：由三视图可知该三棱锥的底面是边长为1的等腰直角三角形,高为2.由锥体的体积公式可知11112323V =⨯⨯⨯=.故选B.2答案及解析：答案：C解析：由三视图可得几何体长宽高均相等,所以可选取正方体切割的方法.如图,D 为其所在棱的中点,正方体棱长为4,则42,4,25AC AB BC BD DC =====,226AD AB BD =+=因此最长的棱的长度为6.3答案及解析：答案：A解析：由題图可知,该几何体的上面是半圆柱,下面是长方体.半圆柱的体积为12922π⨯3⨯=π, 长方体的体积为1054200.⨯⨯=故该几何体的体积为9200.π+4答案及解析：答案：C解析：因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积154V π=,又因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2,所以体积2161834V πππ=+=,所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427πππ-=,故选C .5答案及解析：答案：C 解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥,底面半径为1,高为3,所以表面积211132311232222S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+,故选C.6答案及解析：答案：B解析：由三视图知该几何体为三棱锥,其底面是一边长为6, 这边上的高为3的等腰三角形,棱锥的高为3,故其体积为11633=9.32⨯⨯⨯⨯故选B.7答案及解析：答案：B解析：由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成),所有棱长均为1,其中两个正四棱锥的髙均为2,故正八面体的体积2122=213⨯⨯。

苏教版高中数学(必修2)1.3《空间几何体的表面积和体积》(空间几何体的表面积)word教案

高二年级数学教学案（20XX年9月27日）．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
）这三种几何体侧面积之间的关系
）求这三种几何体侧面积的常见策略
①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数。

②棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到。

a，∠DCB＝60°，旋转一周，求旋转体的表面积。

．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系，在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用。

．棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长。

斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长这四条线段可以构成直角，因此利用好这些直角三角形（或梯形）是解题的关键。

．三视图与求空间几何体的表面积问题结合是常见的例题形式，此类问题要先从几何体三视。

2020-2021学年高一数学苏教版必修2同步课时作业1.3 空间几何体的表面积和体积

2020-2021学年高一数学苏教版必修2同步课时作业1.3 空间几何体的表面积和体积1.矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将三角形ABC 折起，得到的四面体A BCD -的体积的最大值为( ) A.43B.125C.245D.52.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12πB.32π3C.8πD.4π3.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为( )A.B.C.D.4.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π45.已知,A B 是球O 球面上的两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36πB.64πC.144πD.256π6.已知三棱锥S ABC -中，π,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC ∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是( )A.4B.6C. D.7.在三棱锥P ABC -中，,PA PB E =是AB 的中点，ABC 与PCE 均是正三角形，3AB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A.8πB.12πC.13πD.14π8.在直三棱柱111ABC A B C -中，若存在点P ，使得点P 到三棱柱111ABC A B C -所有面的距离相等，则该三棱柱的侧面积与表面积之比为( ) A.23B.67 C.89D.12139.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.问高几何?”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟10 000斛，问该粮仓的高是多少?”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则该粮仓的外接球的体积是( ) A.133π4立方丈 B.133π48立方丈立方丈立方丈 10.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A.16π9B.8π9C.16π27D.8π2711.在矩形ABCD 中，4,BC M =为BC 的中点，将ABM △和DCM △分别沿,AM DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .若150APD ∠=︒，则三棱锥M PAD -的外接球的表面积为________.12.若圆锥的母线长为4，底面半径为______.13.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________.14.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大多数人都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____________；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为___________________.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PAB △是等边三角形，AD ⊥平面PAB ，//BC AD ，24AB BC AD ===，M 为棱PB 的中点.AM平面PCD；(1)求证：//的体积.(2)求三棱锥C PAD答案以及解析1.答案：C解析：矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将三角形ABC 折起，当平面ABC ⊥平面ACD 时，得到的四面体A BCD -的体积最大，此时点B 到平面ACD 的距离121,43652ADC AB BC d S AC ⨯===⨯⨯=△，所以四面体A BCD -的体积的最大值为11122463355ADC V S d =⨯⨯=⨯⨯=△.2.答案：A解析：设正方体的棱长为a ，则38a =，所以2a =.所以正方体的体对角线长为24π12π⋅=，故选A. 3.答案：B解析：由等边ABC △的面积为2=，所以6AB =，所以等边ABC △的外接圆的半径为r AB ==，设球的半径为R ，球心到等边ABC △的外接圆圆心的距离为d ，则2d ==.所以三棱锥D ABC -高的最大值为246+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值为163⨯=4.答案：B解析：设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且1R =，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，,r R 及圆柱的高的一半构成直角三角形.r ∴. 所以圆柱的体积为233πππ144V r h ==⨯=. 5.答案： C解析：如图D-8-47所示，设球O 的半径为R ，因为90AOB ︒∠=，所以212AOB S R =△.因为O ABC C AOB V V --=，且AOB △的面积为定值，所以当OC ⊥平面AOB 时，三棱锥O AOB -的体积最大，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --⨯==⨯==，得6R =.所以球O 的表面积为24π144πS R ==. 6.答案：C解析：由π,2,62ABC AB BC ∠===，得AC =由π,2,42SAB AB SB ∠===，得SA =则222SA AC SC +=，得SA AC ⊥，又SA AB ⊥，所以SA ⊥平面ABC .所以三棱锥S ABC -的体积为11126332ABCSSA ⋅=⨯⨯⨯⨯=7.答案：C解析：如图，由题可得3EC PE PC PA PB ====，设PAB 与ABC 的中心分别为,G H ，过,G H 分别作平面PAB 与平面ABC 的垂线交于一点，该点即外接球的球心O ，连接,OE OB ，易知30,OEH EH ︒∠=，所以1OE =，外接球半径R OB ===接球的表面积24π13πS R ==，选C.8.答案：A解析：设三棱柱的表面积为,S ABC 的面积为ABCS ，由题意可知点P 为该三棱柱的内切球球心，设内切球的半径为r ，则三棱柱的高为2r ，该三棱柱的体积123ABCV r SrS =⋅=，所以16ABCSS=.因此该三棱柱的侧面积与表面积之比为221211263ABCABCS S SSS-=-=-⨯=.故选A. 9.答案：D解析：由题意可得粮仓的高2723 4.5h ==⨯(丈)，设外接球的半径为R ，则2222133(2)23 4.533.25,4R R =++===34π3⨯⨯⎝⎭(立方丈)，选D. 10.答案：A解析：如图，2,3OC OA ==，由AEDAOC 可得ED AEOC AO=.设圆柱体的底面半径2(01)r ED x x ==<<，可得3AE x =，则圆柱体的高33h OE x ==-，圆柱体的体积()223π(2)(33)12πV x x x x =-=-，令()23()12πV x x x =-，则()2()12π23V x x x '=-，令()0V x '=，解得23x =或0x =(舍去)，可得()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故当23x =时，()V x 取得最大值，max 16π()9V x =，即圆柱体的最大体积是16π9.11.答案：68π解析：由题意可知，,MP PA MP PD ⊥⊥，所以MP ⊥平面PAD .设ADP △外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠即42sin150r ︒=所以4r =.设三棱锥M PAD -外接球的半径为R ，则222=1+16=127AM R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积为24π68πR =.12.答案：8π解析：因为圆锥的母线长为4，底面半径为2，所以圆锥的体积为(21283V ππ=⨯⨯⨯=.故答案为：8π13.答案：28π3解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2.易知三棱柱的两个底面的中心所连线段的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，则半径r =2728π4π4π33r =⨯=.14.解析：该六面体是由两个完全相同的正四面体拼接而成，又棱长为1的正四面体的体积为.解法一该六面体内有一个球，则当球与该六面体内切时，该球的体积最大.如图，在六面体ABCDE 中，由对称性知，该内切球的球心必为BCD 的中心O ，设球O 的半径为R ，则1122OP OA AP R ⨯⨯=⨯⨯，所以111232R ⎛⨯= ⎝⎭，解得R =最大体积3344ππ33V R ===⎝⎭.解法二该六面体内有一个球，则当球与该六面体内切时，该球的体积最大.设内切球的半径为R ，则该六面体的体积163R ⎛==⨯ ⎝⎭，解得R =3344ππ33V R ===⎝⎭. 15.答案：(1)如图，取PC 的中点Q ，连接MQ DQ ,. MQ 为PBC △的中位线，1//2MQ BC ∴.又//AD BC ，12AD BC =，//MQ AD ∴四边形AMQD 是平行四边形. //AM DQ ∴又DQ ⊂平面PCD ，AM ⊄平面PCD ，//AM ∴平面PCD .(2)如图，取AB 的中点N ，连接PN .AD ⊥平面PAB ，AD ⊂平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD .PAB △为正三角形，PN AB ∴⊥.又平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PN ∴⊥平面ABCD . //AD BC ，AD AB ⊥，四边形ABCD 为直角梯形24AB BC AD ===，PN =C PAD P ACD V V --∴=13ACD S PN =⨯⨯△ 112432⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭.。

2019—2020年最新苏教版高中数学必修2《空间几何体》同步练测及答案答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二1.1 空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共40分）1．下列命题正确的有个.①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台；④侧面都是矩形的棱柱是长方体.2. 水平放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是 .3．下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是 .4．长方体ABCD-的各顶点都在球的球面上，其中∶=1∶1∶，过,两点的大圆中，，两点间的劣弧长记为，过，两点的大圆中，，两点间的劣弧长记为，则的值为 .5.下列命题中，正确的序号是 .①直角三角形绕一边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.6.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于，，M，N分别为的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦可能相交于点；②弦，可能相交于点；③的最大值为5；④的最小值为1.其中真命题的个数为 .7. 如图所示的几何体，是否是棱锥，并说明原因：，某些部分能否为棱锥，举例说明： .8.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形（体）的4个顶点，这些几何形（体）是 .（写出所有正确结论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体二、解答题（共60分）9.（20分）根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.（1）由八个面围成，其中两个面是相互平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体；（3）一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.10.（20分）多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？11.（20分）判断下列各命题是否正确：（1）三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；（2）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形一、填空题1．02．93．（3）解析：（1）中出现“田”字型，（2）为“7”字型，（4）中有“凹”字型，因此（1）（2）（4）应排除，故填（3）.4．解析: 由题意知，球心为长方体的中心，设==1，=，连结，，，.设球的半径为，= ===1.所以=.在△中，=，＝＝１，所以＝.所以＝，＝，所以.5.③6.3 解析：设球心为，由球的弦长知，＝3，＝2.令在线段上，则24；令在线段上，则34.所以可能在线段上，但不能在线段上，所以①正确，②错误.又由三角形性质，若，，三点不共线，则|ON|＝5，＝1，若在线段上，则＝5，若在的延长线上，则＝1，所以1，故③④都正确.7.不是棱锥，因为其形状结构不符合棱锥的定义；连结，，则为三棱锥，为三棱锥.（答案不唯一）8. ①③④⑤解析：本题借助正方体的结构特征解答，画图可知①③④⑤正确.二、解答题9.解：（1）该几何体满足有两个面平行且全等，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是正六棱柱.（2）等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个全等的直角梯形，每个直角梯形旋转形成半个圆台，故该几何体为圆台.（3）由梯形较短底边的非直角顶点引一条垂直于较长底边的直线，可将梯形分为一个直角三角形和一个矩形，绕较长的底边所在的直线旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.10.解：多面体至少有四个面，这个多面体是三棱锥.11分析：利用几何体的定义及有关概念解答问题.解：（1）错.由棱锥的顶点定义知，棱锥只有一个顶点.（2）错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于旋转轴.（3）正确.。

苏教版高中数学必修二同步练测：第1章1.3空间几何体的表面积和体积.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.3 空间几何体的表面积和体积（苏教版必修2）3512．（12分）已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H .一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x .(1)求圆柱的侧面积． (2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？13.（13分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形.求该几何体的侧面积S.14.（13分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.1.3 空间几何体的表面积和体积（苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.14.1.3 空间几何体的表面积和体积（苏教版必修2）参考答案一、填空题1. 16 16 2 解析：由三视图还原几何体的直观图如图所示. S 表1242 2 4 4 4 16 16 22．43π cm 3解析：因为正方体的棱长等于球的直径2r ，所以6× =24，解得r =1，所以V =π.3．12π 解析：正方体内接于球时，其体对角线长等于球的直径2r ，所以，所以S π π.4．4∶6∶9 解析：如图所示，作出轴截面，圆内切于一个正方形和一个等边三角形.正方形的边长等于圆的直径，圆心又是等边三角形的中心.设球的半径为r ，外切圆柱的底面圆的半径为r ，高为2r ，外切圆锥的底面圆的半径为 r ，高为3r ，所以球，圆柱 π π ，圆锥π π .所以球圆柱圆锥5. 253 解析：如图所示，在侧面SAB 中作SE ⊥AB ，因为△SAB 是正三角形，且SA =5，所以SE = 25254=，所以SS= 12×5×，由于各个侧面是全等的正三角形，所以该棱锥的侧面积是×4=253 .6.312a3解析：如图所示，因为′D=D ′，而D 到平面ABA ′的距离即为点C 到AB 的距离，为3a2，所以V = 13×12a 2×3a2=312a3.7.303 cm 2解析：因为底面是正六边形，所以底面最长对角线的长等于底面边长的2倍，所以底面边长为2 3 cm .设侧棱长为m ，结合它的高，得m 22 3 216 28，所以m =27 ，所以斜高为5 cm ，所以侧面积S = 12×23 ×5×6=303 cm 2.8.3∶2 解析：设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2π 24π 2.设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR24π2，∴ R =r .∴圆柱的体积是π222π3，球的体积是 43 π3，∴圆柱球＝2π 343π33 2.9313cm 3解析：如图所示，在正四棱台 D111D1中，O1，O 是两底面的中心，所以11=2 cm ，AC =5 2 cm ， 1 O 1，AO =522 cm ，所以O1O =cm )，所以V = 13h (S +S ′+ S S′ )，即V = 13 ×1× 12 52+ 12 52 = 13×(1+25+5)=313cm 3.10. 1∶64 解析：由球的表面积公式S ＝4πR 2和体积＝43πR 3，有S 1S 2＝3221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛V V ，所以 =.二、解答题11.解：如图，设截面圆心为O ′，连结O ′ ，设球的半径为R ，则O ′ =32×23×2=332.在Rt △O ′O 中，O 2=O ′ 2+O ′O 2，所以R 2=2332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41R 2,所以R =34，所以S =4πR 2=964π. 12.解：(1)作轴截面如图所示，设内接圆柱底面半径为，则S 圆柱侧＝2π · ，由三角形相似得，所以＝RH( － )，S 圆柱侧＝2π·R H ( － ) ＝2πR H(－ 2＋ )( ．(2)S 圆柱侧＝2πR H(－ 2＋ )＝，所以当＝时，S 圆柱侧最大＝πRH 2.13.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V -ABCD ，该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为ℎ1= 42 82242，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为ℎ2= 42 622=5.因此S2 12 6 4 2 128 5 40 24 2 .14.解：如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知，当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V =圆锥球＝π33 23 43π 3= 5π33.将球取出后，设容器中水的深度为h ，则水面圆的半径为h ，从而容器内水的体积为V ′= π32ℎ= π9ℎ3.由V =V ′，得h = 153.。