九年级数学下册 27.2.2 相似三角形应用举例精品导学案1 新人教版

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九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质导学案1(新版)新人教版

4、.若 ,则 =_____________.
5、两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( )
A. 75,115 B. 60,100 C. 85,125 D. 45,85
6、将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )
教学目标：掌握相似三角形的性质，并能应用它解决问题
教学过程
一、知识点1性质1
1性质：相似三角形的对应角，对应边
2、练习（1）、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝3 cm，
A′B′＝4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
（2）、已知△ABC∽△A′B′C′，A和A′，B和B′分别是对应点，若AB=5 cm，A′B′=8 cm，AC=4 cm，B′C′=6 cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______，A′C′＝______，BC＝_____。
10、如图,蛋糕店制作两种圆形蛋糕,一种半径是15cm,一种半径是30cm,如果半径15cm的蛋糕够2个人吃,那么半径是30cm的蛋糕够多少人吃?(假设两种蛋糕高度相同)
11、如图,Rt△ABC中,∠ ACB=90°,P为AB上一点, Q为BC上一点,且PQ⊥A B,若△ BPQ的面积等于四边形APQC面积的 ,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ ABC的面积.
相似三角形性质
讲学案内容应包括：1.完整的教案内容；2.预习环节①预习内容，②预习指导；3.课前准备①出示学习目标，②出时间、方法策略，②成果展示，展示的内容、过程指导和组织策略，③纠正、补充的组织指导，④自学检测；5.后教环节①重点突破的内容及策略，②根据检测获取的难点及突破方法，③原则是教学生不会的知识和不会的学生；6.当堂训练①训练内容、题组，②训练方法，③当堂检测题，④课外训练题等内容；

九年级数学《相似三角形应用举例1 》教案

“三部五环”教学模式设计《27.2.2相似三角形的应用举例1》教学设计教材义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第二十七章《相似》第二小节相似三角形的判定第五课时相似三角形的应用举例。

设计理念从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。

学生在感知实际问题后，将实际问题转化为数学问题，进一步尝试解决、交流展示，从而培养学生分析、归纳、总结的能力和学生应用相似三角形的判定和性质解决实际问题的能力。

使学生感受数学源于生活又服务于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。

整个教学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。

学情分析教学对象是九年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了相似三角形的概念、判定方法及性质；在思维已具备了初步的应用数学的意识；经历了在操作活动中探索性质的过程，获得了初步的数学活动经验和体验，也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力，在此基础上通过本节课的学习将进一步综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识。

培养学生在实际问题中建立数学模型的能力，从而提高学生理论联系实际的能力。

在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律，注重对学生建立数学模型的能力和推理论证的严谨性的培养。

知识分析本节教材选自于人教版九年级下册第二十七章《相似》第二节《相似三角形》，隶属《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“空间与图形”领域。

图形的相似及相似三角形的判定和性质的应用是初中几何中重要的知识，是证明角相等，线段相等和线段成比例常用的解决问题方法。

它是建立在图形的全等和全等三角形、四边形的判定方法和性质及圆的有关知识的基础上学的，是继圆之后的又一章综合性比较强且应用比较广泛的重要章节。

新人教版九年级数学下 27.2.2 相似三角形应用举例学案1

相似三角形应用举例学习目标：1、知识和技能：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题。

2、过程和方法：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。

3、情感、态度、价值观：培养学生用科学的态度去探索未知世界的理念，激发学生学习数学的热情。

学习重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度学习难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）导学方法：自主探索法课时：2课时导学过程一、课前预习预习教材P45-P48的有关内容，完成《导学案》中的教材导读和自主测评。

二、课堂导学1.导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？2.出示任务，自主学习（1）如何测量金字塔的高度？（2）在例题中是怎样解决问题的？你能画出解决问题时构造的基本图形吗？（3）如何测量河的宽度？3．合作探究探究：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度。

探究：构造相似三角形，可以构造三角形中的平行截线，得到相似三角形。

在实际生活中，1、相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) 。

九年级数学下册第二十七章相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质导学案 (新版

27.2.2 相似三角形的性质一、学习目标：1．理解相似三角形的性质；2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．二、学习重难点：重难点：利用相似三角形的性质解决简单的问题．探究案三、教学过程复习巩固(1)什么叫相似三角形？(2)如何判定两个三角形相似？课堂探究知识点一：相似三角形对应线段的比三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？归纳总结例题解析例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形 EFGH内接于△ABC，且长边FG 在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长．归纳总结小试牛刀，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．(1)求△BEF与△A FD的周长之比；(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.2.若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.2∶2C．1∶4 D.2∶13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．课堂探究知识点二：相似三角形周长和面积的比某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的0米缩短成18米(如图)．问题是：它的周长是多少？归纳总结例题解析例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？归纳总结小试牛刀，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D. (1)若AP∶PB＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △A PN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，求AEAD的值．，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．随堂检测1.若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为cm．2.如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为cm.3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝.4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD ＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．课堂小结1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案合作探究如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′ D′ .解：∵ △ABC∽△A′B′C′，∴ ∠B= ∠B′ .又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ ABD∽ △A′B′D′.∴AAA′A′=AAA′A′=A.类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k. 归纳总结相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比.例题解析例1解：设HG ＝x cm ，则EH ＝2x cm. 易得AP ⊥EH. ∵AD ＝10 cm ， ∴AP ＝(10－x) cm. ∵四边形EFGH 为矩形， ∴EH ∥BC ， ∴△AEH ∽ △ABC ． ∴ APAD=EHBC ,即10－x 10=2x30. 解得x=6．∴HG ＝6 cm ，EH ＝12 cm.∴矩形EFGH 的周长为36 cm. 小试牛刀1.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD.又∵BE＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．2.B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 3.解：过点B 作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BDBE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE CB ，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．知识点二：相似三角形周长和面积的比解：将上面生活中的问题转化为数学问题是：如图，已知DE ∥BC ，AB =30 m ，BD =18 m ，△ABC 的周长为80 m ，求△ADE 的周长. ∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AA AA=AA AA=AAAA, 由比例的性质可得，AA +AA +AA AA +AA +AA=AAAA, 而△ADE 的周长=AD ＋AE ＋DE , △ABC 的周长=AB ＋AC ＋BC ， ∴△AAA的周长80=30－1830, ∴△ADE 的周长=32 m. 例题解析例2解：设△ABC ∽△A 1B 1C 1，且△ABC 中的最短边AC ＝9 cm ，△A 1B 1C 1中的最短边A 1C 1＝6 cm.则AAA 1A 1=96=32,∴△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为32. 设△ABC 的周长为x cm ，则△A 1B 1C 1的周长为(60－x )cm. ∴A 60－A=32,解得x ＝36，60－x ＝24.∴△ABC 的周长为36 cm ，△A 1B 1C 1的周长为24 cm. 小试牛刀1.解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP ＝∠C，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP∶PB＝1∶2，△ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN∥BC ，所以∠APE＝∠B，∠AEP ＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以AP AB ＝AEAD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．2.解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC∽△ABC，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP.同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP)＋AB ＋(3－CQ)＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．随堂检测1. 8∶9,2742. 253.24.解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A′B′边上的中线，且AE ，A ′E ′是对应的高线，∴AE A′E′＝CDC′D′. ∴4.8A′E′＝410. ∴A ′E ′＝12 cm.5.解：∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴EF BC ＝2520. ∴EF ＝54BC ＝54×5＝254(cm)．同理AC DF ＝2025，∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm)．word11 / 11 ∴EF 的长是254cm ，AC 的长是165cm.。

新人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质导学案新版

相似三角形的性质一、新课导入1.什么叫做相似比？2.已知：△ABC ∽△A′B′C′,根据相似的定义,我们有哪些结论？（从对应边上看；从对应角上看。

）二、学习目标1.理解相似三角形对应高的比，对应角平分线的比及对应中线的比都等于相似比.2.理解并初步掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方.三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本探究相似三角形周长的比。

一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、1、如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的____倍。

2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝_______。

研读二、认真阅读课本探究相似三角形对应高的比，对应角平分线的比及对应中线的比都等于相似比.一边阅读一边完成检测二检测练习二、1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A ´D ´分别是对应边BC、B ´C ´上的高，若BC＝8cm,B ´C ´＝6cm,AD＝4cm,则A ´D ´等于（）A 16cmB 12 cmC 3 cmD 6 cm2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（）A 7∶3B 49∶9C 9∶49D 3∶7研读三、认真阅读课本探究相似三角形面积的比。

一边阅读一边完成检测三。

检测练习三、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？研读四、认真阅读课本完成例题。

研读五、问题探究：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN 是符合要求的△ABC 的高AD 与PN 相交于点E 。

九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形2相似三角形应用举例第1课时习题课件新人教版

【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，∴ B C 即A B .
DC ED
∴AB=870 m.
290 AB . 10 30
答：湖两岸的距离AB是870 m.
【想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为1.6 m的小明站在离墙1 m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2 m，同时他又量得附近一棵大树的影子长为10 m，求这棵大树的高度.
【互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？
提示:利用相似三角形的性质，得到MN=4 r,在Rt△OMN中应用
3
勾股定理列方程求解.
【总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤 1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形. 2.测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应边的长度. 3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出未知量. 4.检验并得到答案.
知识点 2 应用相似三角形测量宽度【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得 BD=110 m，DC=55 m，EC=52 m，求两岸间的大致距离AB.
x 30
路灯甲的高为9 m. 答案:9
3.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高____m（杆的宽度忽略不计）．
【解析】设长臂上升的高度为x m,根据题意得 0 .5 1 ,
x 16
解得x=8. 答案:8
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1 m）．

九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质导学案 (新版)新人教版

27.2.2 相似三角形的性质理解并掌握相似三角形周长的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方阅读教材P37-38，自学“探究”、“思考”与“例3”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.自学反馈学生独立完成后集体订正如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′相似比为k ，AD ⊥BC 于D ，A ′D ′⊥B ′C ′于D ′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？②△ABC 与△A ′B ′C ′中，ABC A B C C C '''= ,ABC A B C S S '''= . ③相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于 .④相似三角形周长的比等于 .⑤相似三角形面积的比等于 .在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.活动1 小组讨论例1 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S △DMN ∶S 四边形ANME 的值为多少？解:连接DC.∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC.∴△ADE ∽△ABC,△NDM ∽△NBC.∴DE BC =AD AB =12,ADEABC S S =(12)2=14,DMN NBC S S =(DM BC )2=(12DE BC)2=(14)2=116. 设S △EMC =a,则S △DMC =S △EMC =a ，∴S △EDC =2S △EMC =2a.又∵BDCEDC SS =BC DE=2, ∴S △BDC =2S △EDC =4a.∴S 四边形DBCE =S △BDC +S △EDC =4a+2a=6a,S 四边形DBCM =S △BDC +S △DMC =5a.由ADEABC SS =14,由NDM NBCS S =116,得 S △ADE =2a ，S △NDM =13a. ∴S 四边形ANME =S △ADE -S △DMN =2a-13a=53a. ∴S △DMN ∶S 四边形ANME =13a ∶53a=1∶5. 解决本题要注意两个方面的问题:一是先求出小三角形与大三角形面积之间的关系；二是运用代数方法来解较好.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(图形)的示意图.已知桌面的直径为1.2 m ，桌面距离地面为1 m ，若灯泡距离地面3 m ，则地面上阴影部分的面积为 .运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.2.如图，在△ABC 中，BC=48,高AD=16.它的内接矩形的两邻边EF ∶FM=5∶9，长边MF 在BC 边上，求矩形EFMN 的面积.充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.活动1 小组讨论例2 如图，已知:AO 为⊙O 1的直径，⊙O 1与⊙O 的一个交点为E ，直线AO 交⊙O 于B 、C 两点，过⊙O 上一点G 作⊙O 的切线GF ，交直线AO 于点D ，与AE 的延长线垂直相交于点F.①求证:AE 是⊙O 的切线；②若AB=2,AE=6,求△ODG 的周长.解:①证明:连接OE.∵AO 是⊙O 1的直径，∴∠AEO=90°.∴AE ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AE 是⊙O 的切线，且切点为E.②设⊙O 的半径为R ，则AO=R+2,OE=R.∵∠AEO=90°,∴AE 2+OE 2=OA 2.∴62+R 2=(R+2)2,解得R=8.⊙O 1的半径为5，由①可得OE ⊥AE.∵FG 是⊙O 的切线，故OG ⊥FG.又∵FG ⊥AF,∴OG ∥AF.∴∠A=∠GOD.∴Rt △AOE ∽Rt △ODG, ∴AOE ODG C C =AE OG ,即AOE ODG C C =68. ∵Rt △AOE 的周长为AE+AO+OE=6+10+8=24,∴C △ODC =24×86=32. 圆中相似的问题一般比较复杂，需要根据题中提供的信息逐步求解，如△ODG 的周长，分两个过程:一是寻求与△ODG 相似的三角形；再求其周长.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE=12CD. ①求证:△ABF ∽△CEB;②若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积.2.有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12 cm，高AD=8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，问加式成的铁片的面积为多少cm2?对于本题的两种情形，我们要仔细地进行体会，掌握其区别及计算方法.活动3 课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①△ABD∽△A′B′D′△ADC∽△A′D′C′②kk2③相似比相似比④相似比的平方相似比的平方⑤相似比【合作探究1】活动2 跟踪训练1.0.81πm22.180【合作探究2】活动2跟踪训练1.①略②242.115249cm2或18 cm2欢迎您的下载，资料仅供参考！。

新人教版九年级下册数学《相似三角形应用举例》精品导学案

27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例学习目标：1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点)2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点)一、知识链接据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.你知道他是怎么测量的吗？一、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】如图，木杆 EF 长 2 m ，它的影长 FD 为3 m ，测得 OA 为 201 m ，求金字塔的高度 BO.【要点归纳】测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高：物2高 = 影1长：影2长【针对训练】1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE ，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB 长的等式是（）A ．BC EF DE AB = B ．BC DE EF AB = C ．EF BC DE AB =D ．DFAC DE AB =第1题图第2题图 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_____米．思考还可以有其他测量方法吗？【要点归纳】测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜子的反射原理”去解决.【针对训练】如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知AB = 2 米，且测得BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是（）A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米探究点2：利用相似三角形测量宽度如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线 a 上选择适当的点T，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线 b 的交点R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．此时如果测得 BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离 AB．【要点归纳】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m 和CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了?【分析】如图，设观察者眼睛的位置(视点) 为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD 于点H，K.视线FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到C 点了.二、课堂小结1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( )A. 45米B. 40米C. 90米D. 80米2. 小刚身高 1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m ，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )A. 0.5 mB. 0.55 mC. 0.6 m D . 2.2 m3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB ＝10 cm ，BC ＝20 cm ，PC ⊥AC ，且 PC ＝24 cm ，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 .第3题图第4题图 4. 如图，为了测量水塘边 A 、B 两点之间的距离，在可以看到 A 、B 的点 E 处，取 AE 、BE 延长线上的 C 、D 两点，使得 CD ∥AB. 若测得 CD ＝5 m ，AD ＝15 m ，ED=3 m ，则 A 、B两点间的距离为m.5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点D 到地面的距离DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离DC = 20 米，求旗杆的高度.6. 如图，某一时刻，旗杆AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m，在墙面上的影长CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．参考答案合作探究一、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF.又∵∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.∴FD OA EF BO =，∴32201⨯=⋅=FD EF OA BO =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m.【针对训练】1.C 2. 8【针对训练】 B探究点2：利用相似三角形测量宽度解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P ，∴△PQR ∽△PST.∴STQR PS PQ =，即ST QR QS PQ PQ =+，906045=+PQ PQ ，PQ ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90.因此，河宽大约为 90 m.解：∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°， ∴△ABD ∽△ECD.∴DC BD EC AB =，即308024=AB ，解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致距离为 64 m.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A ，C 恰在一条直线上．∵AB ⊥l ，CD ⊥l ，∴AB ∥CD.∴△AEH ∽△CEK.∴CK AH EK EH =，即4.104.66.1126.185=--=+EH EH ，解得EH=8. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 当堂检测1. A2. A3. 12cm4. 205. 解：由题意可得△DEF ∽△DCA ，则CAEF DC DE =， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，∴CA25.0205.0=，解得：AC = 10，故AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (米). 答：旗杆的高度为 11.5 米.6. 解：如图：过点 D 作 DE ∥BC ，交 AB 于点 E ，∴ DE = CB = 9.6 m ，BE = CD = 2 m ， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m.∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，∴ 学校旗杆的高度为 10 m.学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。

2019-2020学年九年级数学下册 27.2.2《相似三角形的应用举例》教案新人教版.doc

2019-2020学年九年级数学下册 27.2.2《相似三角形的应用举例》教案新人教版课题授课时间年月日教学目标知识与能力让学生学会运用两个三角形相似来解决实际问题。

过程与方法1让能学生综合运用相似的知识，加深对相似三角形的理解和认识。

2学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。

情感态度价值观培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力；发展学生的数学应用意识。

教学重点运用两个三角形相似解决实际问题教学难点在实际问题中建立数学模型教学方法合作深究教具准备课型新授教学活动教学环节补充一、情景导学：1、复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义2、回顾相似三角形的概念及判定方法二、自学梳理提出问题：利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）“相似三角形对应边的比相等”⇒四条对应边中若已知三条则可求第四条。

一试牛刀：例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。

如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。

分析：BF∥ED⇒∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=900⇒∆ABO ∽∆DEF ⇒BO OA EF FD =⇒20123BO = 三、合作解疑：二试牛刀：例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R 。

如果测得QS=45 m ，ST=90 m ，QR=60 m ，求河的宽度PQ 。

分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P ⇒∆PQR ∽∆PST⇒8 1.6 6.4512 1.610.4FH FH -==+-，即PQ QR PQ QS ST =+，604590PQ PQ =+， 90(45)60PQ PQ ⨯=+⨯。

人教版九年级数学下册第27章 27.2 相似三角形第2课时相似三角形应用举例导学案

27.2.3相似三角形应用举例第2课时相似三角形应用举例（2）——测量特殊条件下的距离一、导学1.课题导入当你在路上行走时，经常会见到一种现象：远处的高楼越来越矮，而近处的矮楼却越来越高，最后远处的高楼躲在近处的矮楼的背后，你能解释这种现象吗？这节课我们就研究这种现象（板书课题）.2.学习目标(1)利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度问题.(2)体会数学转化的思想，建模的思想.3.学习重、难点重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题.难点：数学建模.4.自学指导：（1）自学内容：教材P40~P41例6.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①如图1，用“能”“刚好能”或“不能”填空：当仰角∠AFH＜∠CFK时，人能看到小树AB后面的大树CD；当仰角∠AFH＝∠CFK时，人刚好能看到小树AB后面的大树CD；当仰角∠AFH ＞∠CFK 时，人不能看到小树AB 后面的大树CD.②如图，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点F 与两棵树的顶端A,C 恰在一条直线上.此时，∠AFH = ∠CFK ，由题意得，AB ⊥l ，CD ⊥l ，∴∠AHF = ∠CKF ，∴△AFH ∽△CFK. ∴FH AH FK CK =，设FH=x m ，则可列方程81651216..x x -=+-，解得x = 8 ，即FH= 8 m . 故观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，就看不到右边较高的树的顶端点C.③如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB ，PQ ，并且AB ∥PQ ．建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ．小亮从胜利街的A 处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮.a.请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C 标出）；（如图所示）b.已知：MN=20 m ，MD=8 m ，PN=24 m ，求a 中的点C 到胜利街口的距离CM.∵BA ∥PQ,∴△CMD ∽△PND. ∴CM MD PN ND =,即824208CM =-, 解得 CM=16(m).④亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离CD=1.25 m ，颖颖与楼之间的距离DN=30 m （C ，D ，N 在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6 m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8 m.根据以上测量数据求出住宅楼的高度.如图，作AE ⊥MN 于E ，交BD 于点F,∵BD∥MN,∴△ABF∽△AME.∴BF AFME AE=.即160812512530....ME-=+,求得ME=20(m)，∴MN=ME+EN=20+0.8=20.8(m).即住宅楼的高度为20.8 m.二、自学学生参照自学参考提纲进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：明了学生能否理解题意.(2)差异指导：根据学情指导学生理解题意.2.生助生：小组交流、研讨.四、强化1.运用相似三角形来解决实际问题的基本思路：根据题目所给的条件和所求问题建立相似三角形模型.解题步骤为：先证三角形相似，再运用相似三角形性质得比例线段，然后列方程或直接计算求值.2.先组织学生小组研讨自学参考提纲第③、④题，再点两名学生板演，并点评.五、评价1.学生自主学习的自我评价：这节课你学到了些什么？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生在课堂上的专注程度，小组协作状态等方面进行评价.（2）纸笔评价（课堂检测题）.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时针对实际问题中不能直接测量的物体高度或长度的问题，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后运用三角形相似的知识进行解答.整个学习过程培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动的探索性和创造性.一、基础巩固（50分）1.(25分)如图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌(DE)，广告牌挡住了小华的视线的那段公路记为BC，一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过BC段公路的时间为6秒，已知广告牌和公路的距离为35米，求小华家到公路的距离.解：如图，过A作AM⊥BC于M,交DE于N,设小华家到公路的距离为x 米.BC=6036.×6=100(米).∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE ANBC AM=,即3035100xx-=,解得x=50.∴小华家到公路的距离为50米.2.(25分)已知零件的外径为25 cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA∶OC=OB∶OD=3，CD=7 cm.求此零件的厚度.解：∵OA OBOC OD=,而∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD.∴AB OACD OC==3.又∵CD=7 cm,∴AB=21 cm.由题意和图易知25-2x=21,∴x=2(cm).∴此零件的厚度为2 cm.二、综合应用（25分）3.(25分)当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现：前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米，CD=9米，BD=15米，在N处的车内小明视点距地面2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米，再向前行驶一段到F处，从距离地面2米高的视点刚好看不见楼AB ，那么车子向前行驶的距离NF 为多少米？解：∵CD ∥AB,∴△CDO ∽△ABO,△CDQ ∽△PBQ. ∴CD OD AB OB =,即91815OD OD =+,解得 OD=15（米）.CD QD PB BQ =,即91215QD QD =+ ,解得 QD=45（米）. ∴OQ=DQ-DO=45-15=30（米）.连接EM ，则EM ∥FQ ，EF ∥CD ，∴29,OE EF OC CD == ∴79,CE OC =即77093,.EM CE EM OQ CO 米==∴= 又EM=FN ，∴703().FN 米= 即车子向前行驶的距离NF 为703.米三、拓展延伸（25分）4.(25分)如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3 m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5 m ，量得CE=2 m ，EC 1=6 m ，C 1E 1=3 m.（1）△FDM ∽△______，△F 1D 1N ∽△_______；（2）求电线杆AB 的高度.解：(1)依题意，∵DC ⊥AE,D 1C 1⊥AE,BA ⊥AE,∴DC ∥D 1C 1∥BA,∴△FDM ∽△FBG ,△F 1D 1N ∽△F 1BG .(2)由（1）知△F 1D 1N ∽△F1BG ，∴111D N F N BG F G=.而△FDM ∽△FBG ,∴DM FM BG FG =.易知D 1N=DM. ∴11F N FM F G FG= ,而F 1N=C 1E 1=3 m,FN=C 1E=6 m,MF=CE=2 m, ∴MF 1=MF+FN+NF 1=11 m, ∴32112GM GM =++,∴GM=16（m ）. 而111D N F N BG F G =,∴15327.BG =. ∴BG=13.5（m ）.∴AB=BG+GA=15 m. ∴电线杆AB 的高度为15 m.。

人教版九年级数下册导学案相似三角形应用举例 (2)

No.15 课题：27.2.2相似三角形应用举例（2）
主编：审核：课型：新授课验收负责人：
学习目标：
能够利用三角形相似的条件解决生活中的实际问题，培养学生理论
联系实际的良好习惯.
学习重点：利用三角形相似解决一些不能直接测量的的物体的宽度和问题.
简记一、预习导学：
90，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，
如图，Rt△ABC中，∠C=0
垂足为D，求AD的长。

二、学习研讨：
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近
岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS
垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点
R. 如果我们测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，
求河的宽度PQ.
课堂练习.
如图，为了测量一个池塘的宽AB ，在池塘一侧确定一点C,已知CB=30m, 简记
CA=25m,设计一种测量方案,求池塘的宽AB
三、课堂小结：
四、巩固提高：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC=120mm ，高AD=80mm, 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB,AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
五、教(学)后反思：。

九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定精品导学案1 新人教版

相似三角形的判定学习目标：1、知识和技能：（1）掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。

（2）会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题2、过程和方法：经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力。

3、情感、态度、价值观：经历探究活动，发展学生学习数学的兴趣。

学习重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理学习难点：三角形相似的预备定理的应用导学方法：自主探索法课时：3课时导学过程一、课前预习预习教材P40-P42的有关内容，完成《导学案》中的教材导读和自主测评。

二、课堂导学1.导入用有关相似的实例导出新课，如《导学案》中的问题导学2.出示任务，自主学习相似多边形的主要特征是什么？问题：三条直线截两条直线，是否有对应线段的比相等？三条平行线截两条直线，对应线段的比相等？问题：把平行线分线段成比例定理应用到三角形中会出现哪些情况？请归纳你所得到的结论。

问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？问题：证明教材P41“思考”中两个三角形相似时的思路是什么？平行线起到了什么作用？得到什么结论？3．合作探究探究：1、平行线分线段成比例定理：探究：2、三角形相似的预备定理：归纳：思路是相似三角形的定义（对应角相等，对应边的比相等）。

平行线可以得到一些角相等，一些对应线段的比相等。

结论是平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三、展示反馈归纳：三条平行线截两条直线，所得对应线段的比相等。

归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

归纳：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

归纳：思路是相似三角形的定义（对应角相等，对应边的比相等）。