第九章 振动学

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为v =
1 1 = T 2π
k m
x=
解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为 θ ，并规定细棒在平衡位置向右时 θ 为 正 ， 在向左时为负，则力矩为
w.
kh da
课 后
1 M = − mg l sin θ 2
9-4 一根质量为 m，长为 l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴 O 点，如图 9.3 所示。开始棒在 平衡位置 OO，处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕 O 点在竖 直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆 动为简谐振动，并求其振动周期。
co m
d2x F = −(k1 + k 2 ) x = ma = m 2 dt
d 2θ + ω 2 sin θ = 0 2 dt
所以点偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为
T=
2π ml = 2π ω 2qE
9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上， 成为一倒置的弹簧振子。 汽车为开 动时，上下为自由振动的频率应保持在 v = 1.3Hz 附近，与人的步行频率接近，才能使乘 客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？ 解 汽车正常载重时的质量为 m，振子总劲度系数为 k，则振动的周期为 T = 2π
答 案
mg T 2 g = 2 g = 2 2 = 0.15(m) k 4π 4π v
负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对 O 点转动惯量为 J =
ww
1 1 d 2θ M = − mgl sin θ = J β = ml 2 2 2 3 dt
化简得
d 2θ 3g + sin θ = 0 dt 2 2l
（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度
vmax = Aω
所以动能为
2 1 2 1 1 Ek = mvmax = mA2ω 2 = × 0.1× (1.0 × 10−2 ) × 20 = 2 × 10−3 ( J ) 2 2 2
（3）总能量为
E总 = Ek = 2 × 10−3 ( J )
9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为 A0 的简谐振动， 如图 9.6 所示， 物体的质量为M，
(6)物体在 x = −1.0 × 10−2 m 处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。
x = 2 × 10−2 cos 4π (m)
（2）由初始条件得初想为是 ϕ2 = π ，所以振动方程为
ww
（5）因为 cos ϕ5 = 所以振动方程为
x0 −1× 10−2 2π 4π 4π （6） cos ϕ 6 = ，取 ϕ6 = （因为速度大于零）， = = −0.5 ，所以 ϕ6 = , −2 A 2 × 10 3 3 3
弹簧的劲度系数为 k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为 m 的小泥团以速度
v′ 从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：
（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有
x0 = 0 ⎧ ⎪ 按图 9.6 所示坐标初始条件为 ⎨ Mv + mv′ v0 = − ⎪ M +m ⎩
（3）根据题意，初始条件为
振幅 A =
ww
振动方程为 9-8 解
4.0m • s −2 ， 求 ： （ 1）振动周期； （2）通过平衡位置时的动能； （3）总能量。
（1）简谐振动的物体的最大加速度为
w.
2 x0 +
2 v v0 = 5cm ， tan ϕ3 = − 0 = 0.75 ，得 ϕ3 = 0.64 2 ω x0ω
2π π = π , x0 = A cos ϕ0 可求得 ϕ0 = − （初速度为 T 3
π⎞ ⎛ x = 0.12 cos ⎜ π t − ⎟ 3⎠ ⎝
（2）
π⎞ ⎛ xt =0.5 = 0.12 cos ⎜ 0.5π − ⎟ = 0.1(m ) 3⎠ ⎝
任意时刻的加速度为
所以
ww
所以
（3）根据题意画旋转矢量图如图 9.4 所示。 由图可知，质点在 x=-0.06m 处，且向 x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为
化简得
d 2 x k1 + k 2 + x=0 dt 2 m
令ω =
2
9-2 如图 9.2 所示在电场强度为 E 的匀强电场中，放置一电偶极矩 P=ql 的电偶极子，+q 和 -q 相距 l，且 l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷 会以垂直与电场并通过 l 的中心点 o 的直线为轴来回摆动。 试证明这种摆动是近似的简谐振 动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为 m，重力忽略不计。 解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图 9.2 所示位置时，点偶极子所受力 矩为
Mv + mv′ M +m
1 2 1 1 (Mv + mv′)2 2 kA = ( M + m ) v0 = 2 2 2 M +m 1 1 2 Mv 2 = kA0 2 2
w.
网
π ；假设，系统的振动振幅为 A，根据能量 2
co m
6
mv′ + MA0 A=
振动方程为
k M ( M + m) k
mv′ + MA0 x=
d 2θ 2qE + sin θ = 0 dt 2 ml
2qE ，则上式变为 ml
答 案
T=
2π m = 2π ω k1 + k2
l l M = − qE sin θ − qE sin θ = − qEl sin θ 2 2
w.
1
网
k1 + k 2 d 2 x 2 则 2 + ω x = 0 所以物体做简谐振动，其周期 m dt
答 案
（1）由初始条件得初想为是 ϕ1 = 0 ,所以振动方程为
x = 2 × 10−2 cos(4π t + π )(m)
w.
3
网
解 由题意知 A = 2.0 × 10 m, T = 0.5s, ω =
−2
2π = 4π s −1 T
co m
x = 2 × 10−2 cos(4π t +
4π )(m) 3
ω=
根据题意，初始条件为
k m1 g x1 0.01× g 0.08 = = = 7 ( s −1 ) m m 0.025
振幅 A =
2 v0 x + 2 = 4cm ，初相位 ϕ1 = 0 ω 2 0
振动方程为
⎧ x0 = 0cm ⎨ −1 ⎩v0 = −21cm • s
振幅 A =
2 0
振动方程为
w.
∆t =
kh da
课
π⎞ ⎛ a = −0.12π 2 cos ⎜ π t − ⎟ 3⎠ ⎝
3 2 5 ∆ϕ = π − π = π 2 3 6 ∆ϕ 5 = ≈ 0.833 ( s ) ω 6
所以
π⎞ ⎛ vt =0.5 = −0.12cos ⎜ 0.5π − ⎟ = − 0.19(m • s −1 ) 3⎠ ⎝
9-7 一弹簧悬挂 0.01kg 砝码时伸长 8cm，现在这根弹簧下悬挂 0.025kg 的物体，使它作自 由振动。请建立坐标系，分析对下述 3 种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立 振动方程。 （1）开始时，使物体从平衡位置向下移动 4cm 后松手； （2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；
点偶极子对中心 O 点的转动惯量为
w.
ww
化简得
由转动定律知
当角度很小时有 sin θ ≈ 0 ，若令 ω 2 =
kh da
课 后
2 2
⎛l⎞ ⎛l⎞ 1 J = m ⎜ ⎟ + m ⎜ ⎟ = ml 2 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
1 d 2θ M = − qEl sin θ = J β = ml 2 • 2 2 dt
9-6 一质点沿 x 轴做简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s，当 t=0 时，质点的位置在 0.06m 处，且向 x 轴正方向运动，求； （1）质点振动的运动方程； （2）t=0.5s 时，质点的位置、速度、加速度； （3）质点 x=-0.06m 处，且向 x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。 解 （1）由题意可知： A = 0.12m, ω = 零） ，所以质点的运动方程为
3g 则上式变为 2l
当 θ 很小时有 sin θ ≈ θ ，若令 ω 2 =
d 2θ + ω 2 sin θ = 0 2 dt
w.
正常载重时弹簧的压缩量为
网
co m
m ，频率 k
1 2 ml ,根据转动定律有 3
2
所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为
T=
2π 2l = 2π ω 3g
9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅 A = 2 × 10−2 m ，周期 T = 0.50 s ，当 t=0 时， （1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向负方向运动; (5)物体在 x = 1.0 × 10−2 m 处向负方向运动
所以振动方程为
w.
π ，所以振动方程为 2 π x = 2 × 10−2 cos(4π t + )(m) 2 3π （4）由初始条件得初想为是 ϕ4 = ，所以振动方程为 2 3π x = 2 × 10−2 cos(4π t + )(m) 2
（3）由初始条件得初想为是 ϕ3 =
kh da
课 后
x0 1× 10−2 π 5π π ，取 ϕ5 = （因为速度小于零） ， = = 0.5 ，所以 ϕ5 = , −2 A 2 × 10 3 3 3 π x = 2 × 10−2 cos(4π t + )(m) 3
ww
守恒，有 其中 故得
w.
（3）根据初始条件，系统振动的初相位为 ϕ =
kh da
后 课
ω= k M +m
− Mv − mv ′ = ( M + m ) v0
v0 = −
答 案
（1）系统振动的圆频率； （2）按图示坐标列出初始条件； （3）写出振动方程； 解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为 M+m，弹簧的劲度系数为 k，所以系统振动的圆频率为
质量 为 0.1kg 的物 体 ， 以 振 幅 A = 1.0 × 10−2 m 做简 谐 振 动 ， 其 最 大 加 速 度 为
课
2 v0 π x + 2 = 3cm ，初相位 ϕ2 = ω 2
kh da
π x = 3cos(7t + )(m) 2
⎧ x0 = 4cm ⎨ −1 ⎩v0 = −21cm • s
习题精解
9-1.在气垫导轨上质量为 m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端， 如图9-1 所示 ， 试证明物体 m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为 k1 和 k2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为
F = −(k1 + k2 ) x
根据牛顿第二定律有
π⎞ ⎛ at =0.5 = −0.12π 2 cos ⎜ 0.5π − ⎟ = − 1.0 ( m • s −2 ) 3⎠ ⎝
后
答 案
π⎞ ⎛ v = −0.12 cos ⎜ π t − ⎟ 3⎠ ⎝
w.
4
任意时刻的速度为
网
co m
（3）把物体从平衡位置向下拉动 4cm 后，又给以向上 21cm • s −1 的初速度，同时开始计时。 解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向，建立如图 9.5 所示坐标系。 系统振动的圆频率为
k k π⎞ M cos ⎛ • t + ⎜ ⎟ ⎜ M +m ⎟ ( m) 2 ( M + m) k ⎝ ⎠
−2
振动方程； （2）利用旋转矢量图，作 x-t 图。 解 （1）由题意可知， ω =
2π = 2π ，所以弹簧振子的振动方程为 T
（2）物体做简谐振动时的总能量为 W =
ww
25%，动能占总能量的百分比为 75%。 9-12 手持一块平板，平板上放以质量为 0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设 该振动是简谐振动，频率为，振幅是 0.04m,问： （1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？ （2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？ (3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？ 解 （1）由题意可知， ω = 2π v = 4π s , A = 0.04m 。因为物体在作简谐振动，物体在最
x = 5cos(7t + 0.64)(m )
amax = Aω 2
后
答 案
（2）根据题意，初始条件为
w.
5
网
x = 4 cos 7t (m )
co m
⎧ x0 = 4cm ⎨ −1 ⎩v0 = 0cm • s
ω=
amax 4.0 2π 2π = = 20 ( s −1 ) ，所以周期为 T = = = 0.314 ( s ) 。 2 A 1.0 × 10 ω 20