高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
高中数学向量知识点总结(经典题型解题方法)
高中数学向量知识点总结（经典题型解题方法）
理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的数量积的定义及性质。理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念，握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。下面通过以下知识点同学们全面讲解。
知识点归纳
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
空间向量的加法、减法与数乘向量运算：
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()
OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a
b b a +=+⑵加法结合律：)
()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b
a b a
λλλ+=+)(3平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这
些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所
在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a
,,……来表示，或用有向线段的
起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a
；坐标表示法
),(y x yj xi a
向量的大小即向量的模（长度）
，记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行零向
量a ＝0 ｜a
｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在
有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量0a 为单位向量 ｜0a
｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b
由于向量可
以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记
为b a
大小相等，方向相同
),(),(2211y x y x 21
2
1y y x x
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
高中数学向量知识点总结(经典题型解题方法)
高中数学向量知识点总结（经典题型解题方法）
理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的数量积的定义及性质。理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念，握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。下面通过以下知识点同学们全面讲解。
知识点归纳
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
空间向量的加法、减法与数乘向量运算：
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()
OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a
b b a +=+⑵加法结合律：)
()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b
a b a
λλλ+=+)(3平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这
些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所
在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要
高中数学必修(4)第二章平面向量(知识点汇总)
必修4第二章 平面向量
1、向量的有关概念：
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）。
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的。
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量。
与a 同向且长度为1的向量，叫做a 的单位向量，记作0a ，|
|0a a a =。 (4)平行向量：方向相同或相反的两非零向量叫做平行向量。任一组平行向量经过平移都可
以移到同一条直线上，平行向量又叫做共线向量。规定：0 与任一向量平行。
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2、向量的表示法：
（1）字母表示法：如a ，AB 等；
（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量；
（3）代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点O 在坐标原点，终点坐标为（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记为OA =（x ，y ）；
3、向量的线性运算法则：
（1）平行四边形法则
（2）三角形法则
4、向量的线性运算性质： a b b a +=+(交换律)
)()(c b a c b a ++=++（结合律）
a a a =+=+00
00 =a 00=⋅a 00 =λ
||||||a a λλ=
a a
)()(λμμλ=
a a a μλμλ+=+)(
b a b a λλλ+=+)(
⇔+=)(2
1OB OA OM M 是线段AB 的中点
非零向量a 的单位向量为|
|a a ± 5、共线向量定理：如果b a λ=，则b a //；反之，如果b a //，且0 ≠b ，则一定存在唯一
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为
1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设,AB
a BC
b uu u r
u uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC
uu u r （1）a a a 00
；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC
CD
PQ
QR
AR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r
L
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法：①相反向量：与
a 长度相等、方向相反的向量，叫做
a 的相反
向量
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a
可以表
示为从b 的终点指向
a 的终点的向量（a 、
b 有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λ
a ，它的长度与方向
规定如下：
（Ⅰ）
a a ；（Ⅱ）当
0时，λa 的方向与a 的方向相同；当
时，λ
a 的方向与a 的方向相反；当
0时，
0a
，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量
b 与非零向量a 共线
有且只有一个实数
，使得
b =a
6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一
平面内的任一向量
a ，有且只有一对实数
完整word版高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳2
平面向量
【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】
rruuuaAB。或1.向量：既有大小又有方向的量。记作：
uuurr|AB||a|。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或
rre|e|?1。3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则rr00方向是任意的，且与任意向量平行】【的向量。记作：。4.零向量：长度为05.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
uuuruuurAB??BA。：长度相等，方向相反的向量。 7.相反向量8.三角形法则：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?BC?ACAB?BC?CD?DE?A EAB?AC?CB（指向被减数）；；9.平行四边形法则：
rrrrrra?ba?bba,。以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，
rrrrrrrr???b//b?aa??0?0a与a与bb反向。时，同向；当时，10.共线定理：。当11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
rrrrrrr r22222|a?b|?(a?b)),yxa?(yx?|a|?||aa?，则向量的模：若，，12.rr rrrr a?b??rr cos b|?|a|?|a?b?cos数量积与夹角公式：； 13.
|a|?|b|rrrrrrrr?b?xy?xya?b?a?b?0?a//b?a?xx?yy?0平行与垂直：14.；21122121题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.2知识点总结含同步练习及答案
−→ −
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−→ −
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→
−→ −
−→ −
−→ −
−→ −
−→ −
①AB − AC + BC = CB + BC ＝ 0 ，所以 ① 正确；
−→ − −→ −
−→ −
−→ −
−→ −
−→ − →
−→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ − AB − (AC − BD) − CE = AB − AC + BD − CE = CB + BD − CE = CD − CE = ED ，
高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算
一、学习任务 理解向量加法、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理．了解向量的线性运算性 质及其几何意义． 二、知识清单
平面向量的加减法 平面向量的数乘与平行
三、知识讲解
1.平面向量的加减法 描述： 向量的加法运算 向量加法的三角形法则 已知非零向量 a 、 b ，在平面内任取一点 A ，作 AB = a ，BC = b ，则向量 AC 叫做
→
→
−→ −
→
−→ −
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r
（1）a a a
00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点
的向量（a 、b 有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a
的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a
6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e
高中数学向量知识点总结(经典题型解题方法)
高中数学向量知识点总结（经典题型解题方法）
理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的数量积的定义及性质。理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念，握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。下面通过以下知识点同学们全面讲解。
知识点归纳
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
空间向量的加法、减法与数乘向量运算：
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()
OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a
b b a +=+⑵加法结合律：)
()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b
a b a
λλλ+=+)(3平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这
些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所
在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要
高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)
平面向量六大题型
知识点：
1．向量的有关概念
（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：
a AB
(,)OA x y =
2121(,)AB x x y y =--
（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义
备注0，方向任意||
a
a 即为单位向量记为a
b ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不
一定相等
a b =-，AB BA =-
2．向量的运算 运算
几何表示
字母表示
坐标表示
加法
a b AB BC AC +=+=
三角形法则 类比“位移之和”
首尾相连，首位连
11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++
a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线
减法
a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前
11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--
数乘
长度变为||λ倍
0λ>，方向相同
0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=
11(,)a x y =
12(,)a x x λλλ=
数量积
||||cos a b a b θ⋅=
11(,)a x y =，22(,)b x y =
1212a b x x y y ⋅=+
3．其他概念
（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型（经典）
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型（经典）
一,向量重要结论
（1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=，22||a a a a ?==
（2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos ||||
a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。
（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -=
（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y +=
（6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥?
（7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y +
（8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影
（9）、向量：既有大小又有方向的量。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等
向量：长度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝
0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，
且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜
高中数学第六章平面向量及其应用重点知识归纳(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用重点知识归纳
单选题
1、已知a ⃗，b ⃗⃗是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λa ⃗+μb ⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗−2b ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−3b ⃗⃗，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）
A ．λ=μ−5
B ．λ=μ+5
C ．λ=μ−1
D ．λ=μ+1 答案：B
解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3−λ)a ⃗−(2+μ)b ⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗−b ⃗⃗； 再由AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗//BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λa ⃗+μb ⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗−2b ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−3b
⃗⃗， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3−λ)a ⃗−(2+μ)b ⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗−b ⃗⃗； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗//BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.
2、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则=（ ）
A ．3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B ．3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C ．3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D ．3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：A
解析：先用向量CB →
高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型
量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对
角线，方向是从减向量指向被减向量
（ 2） 三角形法则的特点是 “首尾相接 ”，由第一个向量的起点指
向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和； 差向量是从
减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首
7 特别注意 :
（ 1）向量的加法与减法是互逆运算
（ 2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，
而向量平行则包括共线（重合）的情况 （ 4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置 无关，只与其相对位置有关
高中必修 4 平面向量知识点归纳及常见题型 一 .向量的基本概念与基本运算
1 向量的概念： ①向量 ：既有大小又有方向的量 向量一般用 a,b,c …… 来表示，或用有 向线段的起点与终点的大写字母表示， 如： AB 几何表示法 AB ，a ； 坐标表示法 a xi yj ( x, y) 向量的大小即向量的模（长度） ，记作 | AB | 即向量的大小，记作｜ a ｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量： 长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0 与任意向量 平行 零向量 a ＝ 0 ｜ a ｜＝ 0 由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平 行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否 有“非零向量 ”这个条件．（注意与 0 的区别） ③单位向量： 模为 1 个单位长度的向量 向量 a0 为单位向量 ｜ a0 ｜＝ 1 ④平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行 向量都可以移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量 记作 a ∥b 由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量 )，平行向量总可 以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
高中数学必修平面向量知识点总结
高中数学必修4 平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a
,,……来表示，或用有向线段的
起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a
；坐标表示法),(y x yj xi a
向量的大小即向量的模（长度）
，记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a
｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在
有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量0a 为单位向量 ｜0a
｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
b a
大小相等，方向相同
),(),(2211y x y x 2
12
1y y x x
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
高中数学平面向量中档题型(含答案)
高中数学平面向量中档题型（含答案）
一、解答题（本大题共21小题，共252.0分）
1.设向量a⃗=(sinx,√3cosx)(x∈[0,π])，b⃗ =(−1,1)，c⃗=(1,1)．
(1)若(a⃗+b⃗ )//c⃗，求实数x的值；
(2)若a⃗⋅b⃗ =1
2，求sin(x+π
6
)的值．
【答案】解：(1)因为(a⃗+b⃗ )//c⃗，
所以(sin x−1)−(√3cos x+1)=0，即sin x−√3cos x=2，
即2(1
2sin x−√3
2
cos x)=2，
所以sin (x−π
3
)=1．
又x∈[0,π]，所以x−π
3∈[−π
3
,2π
3
]，
所以x−π
3=π
2
，即x=5π
6
.
(2)因为a⃗⋅b⃗ =−sin x+√3cos x=1
2
，
所以2(−1
2sin x+√3
2
cos x)=1
2
，即sin(x+2π
3
)=1
4
，
因为sin (x+π
6)=sin [(x+2π
3
)−π
2
]=−cos (x+2π
3
)，
又x∈[0,π]且sin (x+2π
3)=1
4
>0，
所以x+2π
3∈[2π
3
,π),
所以cos (x+2π
3)=−√1−sin2(x+2π
3
)=−√1−(1
4
)2=−√15
4
，
所以sin(x+π
6)=√15
4
．
【解析】本题考查了平面向量的数量积，平面向量共线的条件以及平面向量的坐标运算，考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．
(1)由向量共线的条件可得(sin x−1)−(√3cos x+1)=0，进而根据两角差的正弦函数化简，结合正弦函数的性质求解即可；
(2)利用向量的数量积，可得sin(x+2π
高中数学必修4平面向量知识点总结
⾼中数学必修4平⾯向量知识点总结
平⾯向量是⾼中数学中基本内容，必修四课本的难点，有哪些知识点需要学习?下⾯是店铺给⼤家带来的⾼中数学必修4平⾯向量知识点，希望对你有帮助。
⾼中数学必修4平⾯向量知识点
坐标表⽰法
平⾯向量的坐标表⽰：在直⾓坐标系中，分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量作为基底。由平⾯向量的基本定理知，该平⾯内的任⼀向量可表⽰成，由于与数对(x,y)是⼀⼀对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
来表⽰平⾯内的各个⽅向在数学中，我们通常⽤点表⽰位置，⽤射线表⽰⽅向.在平⾯内，从任⼀点出发的所有射线，可以分别⽤
向量的表⽰向量常⽤⼀条有向线段来表⽰，有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，箭头所指的⽅向表⽰向量的⽅向.向量也可⽤字母a①、b、c等表⽰，或⽤表⽰向量的有向线段的起点和终点字母表⽰.
向量的⼤⼩，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
⽅向相同或相反的⾮零向量叫做平⾏向量.向量a、b、c平⾏，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其⽅向不确定，我们规定0与任⼀向量平⾏.
长度相等且⽅向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的⾮零向量，都可⽤同⼀条有向线段来表⽰，并且与有向线段的起点⽆关.
向量的运算
1、向量的加法：
AB+BC=AC
设a=(x,y) b=(x',y')
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一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ⋅= 规定00a ⋅=， 22||a a a a ⋅== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos ||||
a b a b θ⋅= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线⇔存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行⇔12210x y x y -=
（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ⇔⋅=⇔12120x x y y +=
（6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥⋅
（7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ⋅=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||
a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影
（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等
向量：长度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝
0 ⇔｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1
（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率；
（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出λ
λ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角。
（8）给出MP MB MA =⎪⎫ ⎛λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;
（11）在ABC ∆中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC ∆中，给出+=OA OP ()||||
AB AC AB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心； （15）在ABC ∆中，给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在ABC ∆中，给出()
12
AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线。 （17）如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一
组基底
（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 （20）1.结合律不成立：()()
a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；
2.消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅
3.a b ⋅=0不能得到a =0或b =0
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
（8）若ma mb =，则a b =。
（9）若ma na =，则m n =。
（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
（11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。
（12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。
题型2.向量的加减运算
1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。
2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。
3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。
5.已知点C 在线段AB 上，且3
5AC AB =,则AC = BC ，AB = BC 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=
2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -= 。 题型4.作图法球向量的和
已知向量,a b ，如下图，请做出向量1
32a b +和3
22a b -。 a
b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD 。
2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。
题型6.向量的坐标运算
1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。
2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。
3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。