北京市97中考数学试题

合集下载

历年北京市中考数学试题(含答案)

2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个。

1. 如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（A ） 45° （B ） 55° （C ） 125° （D ） 135° 答案：B考点：用量角器度量角。

解析：由生活知识可知这个角小于90度，排除C 、D ，又OB 边在50与60之间，所以，度数应为55°。

2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。

将28 000用科学计数法表示应为（A ）（B ） 28（C ）（D ）答案：C考点：本题考查科学记数法。

解析：科学记数的表示形式为10n a ⨯形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，28000＝。

故选C 。

3. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ） a （B ）（C ）（D ）答案：D考点：数轴，由数轴比较数的大小。

解析：由数轴可知，－3＜a ＜－2，故A 、B 错误；1＜b ＜2，－2＜－b ＜－1，即－b 在－2与－1之间，所以，。

4. 内角和为540的多边形是答案：ｃ考点：多边形的内角和。

解析：多边形的内角和为(2)180n-⨯︒，当n＝5时，内角和为540°，所以，选C。

5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A）圆锥（B）三棱锥（C）圆柱（D）三棱柱答案：D考点：三视图，由三视图还原几何体。

解析：该三视图的俯视为三角形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个几何体是三棱柱。

6. 如果,那么代数2()b aaa a b--的值是（A） 2 （B）-2 （C）（D）答案：A考点：分式的运算，平方差公式。

解析：2()b aaa a b--＝22a b aa a b--＝()()a b a b aa a b-+-＝a b+＝2。

中考数学复习专题训练精选试题及答案

中考数学复习专题训练精选试题及答案一、选择题1. 以下哪一个数是最小的无理数？A. √2B. πC. 3.14D. √9答案：A2. 若一个等差数列的首项是2，公差是3，则第8项是多少？A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A3. 一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（3，-4），则该二次函数的一般式为：A. y = x² + 6x - 13B. y = x² - 6x + 13C. y = -x² + 6x - 13D. y = -x² - 6x + 13答案：B4. 在三角形ABC中，a = 5，b = 7，C = 60°，则边c 的长度等于：A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C二、填空题1. 已知a = 3，b = 4，则a² + b² = _______。

答案：252. 已知一个等差数列的前5项和为35，首项为7，求公差d = _______。

答案：23. 在梯形ABCD中，AB // CD，AB = 6，CD = 8，AD = BC = 5，求梯形的高h = _______。

答案：34. 若函数f(x) = x² - 2x + 1的最小值为m，求m =_______。

答案：0三、解答题1. 已知一元二次方程x² - 4x - 12 = 0，求解该方程。

解：首先，将方程因式分解为(x - 6)(x + 2) = 0。

然后，解得x = 6或x = -2。

答案：x = 6或x = -22. 已知一个长方体的长为a，宽为b，高为c，且a、b、c成等差数列。

若长方体的体积为V，求V的表达式。

解：由题意可知，a + c = 2b，所以c = 2b - a。

长方体的体积V = abc = ab(2b - a)。

答案：V = ab(2b - a)3. 已知三角形ABC，AB = AC，∠BAC = 40°，BC = 6，求三角形ABC的周长。

【附：答案及详细解释】1997年北京市海淀区中考数学试卷

1997年北京市海淀区中考数学试卷一、选择题：（3*12=36分）1. 3的倒数是（）A.−3B.13C.−13D.32. 用科学记数法表示0.001997，应记作（）A.1.997×103B.1.997×10−2C.1.997×10−3D.1.997×10−43. (−a3)2÷a3的计算结果是（）A.a3B.−a3C.a2D.−a24. 正比例函数y=2x的图象一定经过（）A.第三、四象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第一、三象限5. 已知x=2是关于x的方程3x−2m=4的解，则m的值是（）A.5B.−5C.1D.−16. 在△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AB=13，则sinA的值是（）A.513B.1213C.512D.1257. 两个相似多边形对应边之比等于1:2，那么这两个相似多边形面积之比等于（）A.1:4B.1:2C.1:√2D.2:18. 如果两圆外切，那么两圆的公切线共有（）A.4条B.3条C.2条D.1条9. 下列多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A.平行四边形B.正方形C.等边三角形D.直角梯形10. 如图，反比例函数y=kx的图象经过点A，则k的值是（）A.2B.−2C.12D.−1211. 对于代数式−|a−b|，下列叙述正确的是（）A.a与b差的相反数B.a与b差的绝对值的倒数C.a与b差的绝对值D.a与b差的绝对值的相反数12. 如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（）A.24πcm2B.36πcm2C.12πcm2D.48πcm2二、填空：（本题共12分，每小题2分）不等式组{x≥−7x<3的解集是________．函数y=√x−2中，自变量x的取值范围是________．如图，AB // CD，CF交AB于点E．若∠C等于42度，则∠AEF=________度．________cm．计算：1a−b −ba(a−b)=________．在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：48 52 47 46 50 50 51 50 45 49则这次体育测试中仰卧起坐个数的众数为________（个）．三、（2*4=8分）分解因式：x2−y2+ax+ay．计算：√3−1+√12−(√3+1)0．四、（本题共8分，每小题4分）已知：如图，点E、F分别在菱形ABCD的BC、CD边上，且BE=DF．求证：AE=AF．如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是角平分线，且∠BAC=60∘，AD= 10，求AB的值．五、（本题共10分，每小题5分）解方程：3x−√3x+1−1=0．列方程或方程组解应用题：班多5人，乙班比甲班平均每人多捐1元，乙班平均每人捐款多少元？已知：如图，在⊙O中，OC为半径，AB、CD为弦，且OC⊥AB，垂足为N，AB、CD交于点E．求证：AC⋅BC=CE⋅CD．如图，周长为24的凸五边形ABCDE被对角线BE分为等腰三角形ABE及矩形BCDE，且AB=AE=ED．设AB的长为x，CD的长为y，求y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并在所给的坐标系中画出这个函数的图象．关于x的方程x2−mx−34m−1=0①与2x2−(m+6)x−m2+4=0②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m的值．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，过点D的切线交BC的延长线于点E．若BE⊥DE，AD+DC=40，⊙O的半径为503，求BC的长及tan∠CDB的值．在直角坐标系中，抛物线y=x2−2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3√10．（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O√5，求这时点D的坐标．到直线DB的距离为85参考答案与试题解析1997年北京市海淀区中考数学试卷一、选择题：（3*12=36分）1.【答案】B【考点】倒数【解析】根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．【解答】∵3×13=1，∴3的倒数是13．2.【答案】C【考点】科学记数法–表示较小的数【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.001997=1.997×10−3；故选：C．3.【答案】A【考点】同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方【解析】利用幂的乘方与同底数幂的除法的性质求解即可求得答案．【解答】故选A．4.【答案】D【考点】正比例函数的性质【解析】直接根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵正比例函数y=2x中，k=2>0，∴此函数的图象经过一、三象限．故选D．5.【答案】C【考点】一元一次方程的解【解析】把x=2代入方程得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可．【解答】解：∵x=2是关于x的方程3x−2m=4的解，∴3×2−2m=4，解得m=1．故选C．6.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AB=13，∴sinA=BCAB=513．故选A．7.【答案】A相似多边形的性质【解析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方进行解答．【解答】解：∵两个相似多边形对应边之比等于1:2，∴这两个相似多边形面积之比等于(1:2)2=1:4．故选A．8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系【解析】根据两圆外切的定义求解．【解答】解：两圆相外切，则它们公切线的条数是3条．故选B．9.【答案】C【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】根据轴对称及中心对称的定义，结合各选项图形进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；故选C．10.【答案】B【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】直接把A点坐标代入函数解析式即可算出k的值．【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A，A(2, −1)，∴k=2×(−1)=−2，故选：B．11.【答案】D【考点】代数式的概念【解析】根据代数式的意义逐项判断即可．【解答】解：A、a与b差的相反数表示为−(a−b)，故本选项错误；B、a与b差的绝对值的倒数表示为1|a−b|，故本选项错误；C、a与b差的绝对值表示为|a−b|，故本选项错误；D、a与b差的绝对值的相反数表示为−|a−b|，故本选项正确．故选D．12.【答案】A【考点】圆柱的展开图及侧面积【解析】圆柱侧面积=底面周长×高．【解答】解：根据侧面积公式可得π×6×4=24πcm2．故选A．二、填空：（本题共12分，每小题2分）【答案】−7≤x<3【考点】不等式的解集【解析】利用不等式组取解集的方法即可得到解集．【解答】解：不等式组的解集为−7≤x<3．故答案为：−7≤x<3x≥2【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得x−2≥0，解得：x≥2.故答案为：x≥2.【答案】138【考点】平行线的性质【解析】先根据平行线的性质求出∠BEF的度数，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵AB // CD，∠C=42∘，∴∠BEF=∠C=42∘，∴∠AEF=180∘−∠BEF=180∘−42∘=138∘．故答案为：138．【答案】6【考点】梯形中位线定理【解析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”，即可求得这个梯形的上底长．【解答】解：根据梯形的中位线定理，得梯形的上底=中位线的2倍-下底=16−10=6(cm)，故答案为：6．【答案】1a【考点】分式的加减运算【解析】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化【解答】解：原式=aa(a−b)−ba(a−b)=a−ba(a−b)=1a．故答案为1a．【答案】50【考点】众数【解析】根据众数的概念直接求解即可．【解答】解：数据50出现了3次，次数最多，所以众数是50．故答案为：50．三、（2*4=8分）【答案】解：x−y2+ax+ay=(x2−y2)+(ax+ay)=(x+y)(x−y)+a(x+y)=(x+y)(x−y+a)．【考点】因式分解-分组分解法【解析】原式前两项结合，利用平方差公式分解，后两项结合提取公因式，再提取公因式即可得到结果．【解答】解：x−y2+ax+ay=(x2−y2)+(ax+ay)=(x+y)(x−y)+a(x+y)=(x+y)(x−y+a)．【答案】解：原式=√3+1+2√3−1=3√3．【考点】二次根式的混合运算零指数幂、负整数指数幂【解析】根据零指数幂的意义和分母有理化得到原式=√3+1+2√3−1，然后合并同类二次根式．【解答】解：原式=√3+1+2√3−1=3√3．四、（本题共8分，每小题4分）【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中{AB=AD ∠B=∠D BE=DF∴△ABE≅△ADF(SAS)，∴AE=AF．【考点】菱形的性质全等三角形的性质【解析】根据菱形性质得出AB=AD，∠B=∠D，根据SAS推出△ABE≅△ADF，推出AE=AF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中{AB=AD ∠B=∠D BE=DF∴△ABE≅△ADF(SAS)，∴AE=AF．【答案】解：∵在△ABC中，∠C=90∘，∠BAC=60∘，∴∠B=30∘，∴AB=2AC，∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAD=30∘，∵AD=10，∴AC=5√3，∴AB=10√3．【考点】解直角三角形含30度角的直角三角形【解析】首先由题意推出∠B=30∘，推出AB=2AC，再由角平分线的性质推出∠DAC=∠BAD=30∘，根据AD=10，即可求出AC的长度，然后根据AB=2AC，即可求出AB的长度．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90∘，∠BAC=60∘，∴∠B=30∘，∴AB=2AC，∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAD=30∘，∵AD=10，∴AC=5√3，∴AB=10√3．五、（本题共10分，每小题5分）【答案】解：移项得：3x−1=√3x+1，两边平方，得(3x−1)2=3x+1．整理后，得x2−x=0．解这个方程，得x1=0，x2=1．经检验，x1=0是原方程的增根，x2=1是原方程的根．∴原方程的根是x=1．【考点】无理方程【解析】移项变形成3x−1=√3x+1，两边平方即可转化为整式方程，即可求解．【解答】解：移项得：3x−1=√3x+1，两边平方，得(3x−1)2=3x+1．整理后，得x2−x=0．解这个方程，得x1=0，x2=1．经检验，x1=0是原方程的增根，x2=1是原方程的根．∴原方程的根是x=1．【答案】乙班平均每人捐款9元．解法二：设甲班平均每人捐款x元，乙班平均每人捐款y元．根据题意，得{x+1=y360x−360y=5，解这个方程组，得{x1=8y1=9，{x2=−9y2=−8，经检验：{x1=8y1=9，{x2=−9y2=−8都是原方程组的解，但是负数不合题意，故得{x1=8 y1=9，答：乙班平均每人捐款9元．【考点】分式方程的应用【解析】设乙班平均每人捐款x元，那么甲班平均每人捐款(x−1)元，根据题意可得等量关系：甲班人数-乙班人数=5，根据等量关系列出分式方程即可．【解答】解：解法一：设乙班平均每人捐款x元，那么甲班平均每人捐款(x−1)元．360 x−1−360x=5，方程的两边都乘以x(x−1)，约去分母，整理得：x2−x−72=0解这个方程，得x1=9，x2=−8．经检验，x1=9，x2=−8．都是原方程的根．但负数不合题意，所以只取x=9．【答案】∵半径OC⊥弦AB，∴AC^=BC^，∴AC=BC，∠1=∠D，∵∠BCE=∠DCB，∴△BCE∽△DCB，∴BCDC=CECB，∴BC2=CD⋅CE∴AC⋅BC=CE⋅CD．【考点】圆周角定理垂径定理相似三角形的性质与判定【解析】连接BD，根据垂径定理可得出AC=BC，继而得出∠1=∠D，判定△BCE∽△DCB，继而利用相似三角形的性质可得出答案．【解答】证明：连接BD，∵半径OC⊥弦AB，∴AC^=BC^，∴AC=BC，∠1=∠D，∴△BCE∽△DCB，∴BCDC =CECB，∴BC2=CD⋅CE∴AC⋅BC=CE⋅CD．【答案】解：∵四边形BCDE是矩形，∴BC=ED，BE=CD．∵AB=AE=ED=x，CD=y，∴BC=x，BE=y．∵凸五边形ABCDE的周长为24，∴y=24−4x．∵AB−AE<BE<AB+AE，∴0<24−4x<2x．∴自变量x的取值范围是4<x<6．函数的图象如图．【考点】一次函数的综合题【解析】由四边形BCDE是矩形可知BC=ED，BE=CD，再根据AB=AE=ED= x，CD=y，可得出BC=x，BE=y．因为凸五边形ABCDE的周长为24，所以可得出y与x的函数关系式，根据三角形的三边关系可得出x的取值范围，由x的取值范围画出函数图象即可．【解答】解：∵四边形BCDE是矩形，∴BC=ED，BE=CD．∵AB=AE=ED=x，CD=y，∴BC=x，BE=y．∵凸五边形ABCDE的周长为24，∴y=24−4x．∵AB−AE<BE<AB+AE，∴0<24−4x<2x．∴自变量x的取值范围是4<x<6．【答案】解：设方程①的两个实数根为α，β，那么α+β=m，αβ=−34m−1，∴α2+β2=(α+β)2−2αβ=m2−2(−34m−1)=m2+32m+2，把方程②变形为[2x+(m−2)][x−(m+2)]=0，解得：x1=−m−22，x2=m+2，若x1为整数根，根据题意，得m2+32m+2=−m−22，解这个方程，得m=−1，此时x1=−−1−22=32不是整数根，不合题意，舍去，若x2为整数根，根据题意，得m2+32m+2=m+2，解得：m=0或m=−12，当m=0时，方程②的x2=0+2=2是整数，且△1=02−4×(−1)>0，方程①有两个实数根，符合题意．当m=−12时，方程②的x2=−12+2=32不是整数，不合题意，舍去，∴m=0．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】设方程①的两个实数根为α，β，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，进而表示出两根的平方和，第二个方程表示出两解，分别等于表示出的平方和列出关于m的方程，经检验即可得到满足题意m的值．【解答】解：设方程①的两个实数根为α，β，那么α+β=m，αβ=−34m−1，∴α2+β2=(α+β)2−2αβ=m2−2(−3m−1)=m2+3m+2，把方程②变形为[2x +(m −2)][x −(m +2)]=0，解得：x 1=−m−22，x 2=m +2，若x 1为整数根，根据题意，得m 2+32m +2=−m−22，解这个方程，得m =−1，此时x 1=−−1−22=32不是整数根，不合题意，舍去，若x 2为整数根，根据题意，得m 2+32m +2=m +2，解得：m =0或m =−12，当m =0时，方程②的x 2=0+2=2是整数，且△1=02−4×(−1)>0，方程①有两个实数根，符合题意．当m =−12时，方程②的x 2=−12+2=32不是整数，不合题意，舍去， ∴ m =0．【答案】解：连接AC ，∵ AB 为直径，BE ⊥DE ，∴ ∠ADB =∠ACB =∠E =90∘， ∴ DE // AC ，∴ ∠EDC =∠DCA ， ∵ ED 切圆O 于点D ， ∴ ∠EDC =∠DAC ， ∴ ∠DCA =∠DAC ， ∴ AD =DC ，∵ AD +DC =40， ∴ AD =DC =20，∵ 圆O 的半径为503，AB 为直径， ∴ AB =1003，∵ 四边形ABCD 内接于半圆O ，∴ ∠DCE =∠DAB ，又∵ ∠E =∠ADB =90∘， ∴ △CDE ∽△ABD ， ∴ CEAD =CDAB =201003=35，∴ CE =35AD =35×20=12，∴ DE =√CD 2−CE 2=√202−122=16， ∵ DE 是切线，ECB 是割线， ∴ ED 2=EC ⋅EB ， ∴ EB =ED 2EC=16212=643，∴ BC =BE −CE =283，∴ AC =√AB 2−BC 2=√(1003)2−(283)2=32，∴ tan∠CAB =BC AC=28332=724，∵ ∠CDB =∠CAB ，∴ tan∠CDB =tan∠CAB =724，则BC =283，tan∠CDB =724．【考点】切线的性质勾股定理相似三角形的性质与判定【解析】连接AC ，由AB 为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到一对直角相等，再由BE 垂直于DE 得到∠E 为直角，进而得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE 与AC 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，等量代换及等角对等边得到AD =DC ，由AD +DC =40求出AD =DC =20，由圆四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形DEC 与三角形ABD 相似，由AD ，DC ，AB 的长求出CE 的长，根据勾股定理求出DE 的长，再利用切割线定理求出EB 的长，由EB −EC 即可求出BC 的长，根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDB =∠CAB ，在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义求出tan∠CAB 的值，即为tan∠CDB 的值．【解答】∵ AB 为直径，BE ⊥DE ，∴ ∠ADB =∠ACB =∠E =90∘， ∴ DE // AC ，∴ ∠EDC =∠DCA ， ∵ ED 切圆O 于点D ， ∴ ∠EDC =∠DAC ， ∴ ∠DCA =∠DAC ， ∴ AD =DC ，∵ AD +DC =40， ∴ AD =DC =20，∵ 圆O 的半径为503，AB 为直径， ∴ AB =1003，∵ 四边形ABCD 内接于半圆O ， ∴ ∠DCE =∠DAB ，又∵ ∠E =∠ADB =90∘， ∴ △CDE ∽△ABD ， ∴ CEAD =CDAB =201003=35，∴ CE =35AD =35×20=12，∴ DE =√CD 2−CE 2=√202−122=16， ∵ DE 是切线，ECB 是割线， ∴ ED 2=EC ⋅EB ， ∴ EB =ED 2EC=16212=643，∴ BC =BE −CE =283，∴ AC =√AB 2−BC 2=√(1003)2−(283)2=32，∴ tan∠CAB =BC AC=28332=724，∵ ∠CDB =∠CAB ，∴ tan∠CDB =tan∠CAB =724，则BC =283，tan∠CDB =724．【答案】解：（1）根据题意画示意图（如图1），过点C 作CE ⊥x 轴于点E ． ∵ 抛物线上一点C 的横坐标为1，且AC =3√10，∴ C(1, n −2m +2)，其中n −2m +2>0， OE =1，CE =n −2m +2．∵ 抛物线的顶点A 在x 轴负半轴上，∴ A(m, 0)，其中m <0，OA =−m ，AE =OE +OA =1−m ． ∴ {△=4m 2−4(n +1)=0(1−m)2+(n −2m +2)2=(3√10)2，由①，得n =m 2−1．③把③代入②，整理得(m 2−2m +1)2+(m 2−2m +1)−90=0 (m 2−2m +11)(m 2−2m −8)=0．∴ m 2−2m +11=0，或m 2−2m −8=0． ∵ △=(−2)2−4×11=−40<0，∴ 方程m 2−2m +11=0．没有实数根．解方程m 2−2m −8=0，得m 1=4，m 2=−2． ∵ m <0， ∴ m =−2．把m =−2代入③，得n =3．∴ 抛物线的函数解析式为y =x 2+4x +4；（2）解法一：∵ 直线DB 经过第一、二、四象限．∴ 设直线DB 交x 轴正半轴于点F ，过点O 作OM ⊥OB 于点M （如图2）， ∵ 点O 到直线DB 的距离为8√55，∴ OM =8√55∵ 抛物线y =x 2+4x +4与y 轴交于点B ， ∴ B(0, 4) ∴ OB =4．∴ BM =√OB 2−OM 2=√42−(8√55)2=4√55，∵ OB ⊥OF ，OM ⊥BF ．∴ △OBF ∽△MBO ． ∴ OB MB =OFMO ， ∴ 4√55=8√55，∴ OF =2BO =8． ∴ F(8, 0)．∴ 直线BF 的解析式为y =−12x +4， ∵ 点D 既在抛物线上，又在直线BF 上， ∴ {y =x 2+4x +4y =−12x +4，解得{x 1=−92y 1=254，{x 2=0y 2=4， ∵ DB 是直线，∴ D 与点B 不重合． ∴ D(−92, 254)，解法二：过点D 作DN ⊥y 轴于点N ，设点D 的横坐标为α．同解法一，得OB =4，BM =4√55， ∵ 点D 在抛物线y =x 2+4x +4上，∴ D(α, α2+4α+4)，且α<0，α2+4α+4>0．∴ DN =−α，ON =α2+4α+4，BN =ON −OB =α2+4α． ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4=90∘ ∴ △DNB ∽△OMB ，∴ DN OM =NBMB ，∴ 8√55=24√55，整理得2α2+9α=0．解得α1=0，α2=−92，∵ DB 是直线，∴ 点D 与点B 不重合． ∴ α=−92，此时α2+4α+4=254，∴ 点D 的坐标为(−92, 254)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）先根据题意画出图形，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ．由抛物线上一点C 的横坐标为1，且AC =3√10，可用mn 表示出C 点坐标及OE ，CE 的长，由抛物线的顶点A 在x 轴负半轴上可得出A 点坐标，再由方程有两个相等的实数根及勾股定理即可求出m 、n 的值，故可得出抛物线的解析式；（2）直线DB 经过第一、二、四象限．设直线DB 交x 轴正半轴于点F ，过点O 作OM ⊥OB 于点M ，由点O 到直线DB 的距离为8√55可得出OM 的长，再根据抛物线y =x 2+4x +4与y 轴交于点B ，可得出B 点坐标，根据勾股定理求出BM 的长，根据相似三角形的判定定理得出△OBF ∽△MBO ，根据相似三角形的对应边成比例可得出OF =2BO ，故可得出F 点的坐标，求出直线BF 的解析式，再根据点D 既在抛物线上，又在直线BF 上可联立方程组，求出D 点坐标．【解答】解：（1）根据题意画示意图（如图1），过点C 作CE ⊥x 轴于点E ． ∵ 抛物线上一点C 的横坐标为1，且AC =3√10，∴ C(1, n −2m +2)，其中n −2m +2>0， OE =1，CE =n −2m +2．∵ 抛物线的顶点A 在x 轴负半轴上，∴ A(m, 0)，其中m <0，OA =−m ，AE =OE +OA =1−m ． ∴ {△=4m 2−4(n +1)=0(1−m)2+(n −2m +2)2=(3√10)2，由①，得n =m 2−1．③把③代入②，整理得(m 2−2m +1)2+(m 2−2m +1)−90=0 (m 2−2m +11)(m 2−2m −8)=0．∴ m 2−2m +11=0，或m 2−2m −8=0． ∵ △=(−2)2−4×11=−40<0，∴ 方程m 2−2m +11=0．没有实数根．解方程m 2−2m −8=0，得m 1=4，m 2=−2． ∵ m <0， ∴ m =−2．把m =−2代入③，得n =3．∴ 抛物线的函数解析式为y =x 2+4x +4；（2）解法一：∵ 直线DB 经过第一、二、四象限．∴ 设直线DB 交x 轴正半轴于点F ，过点O 作OM ⊥OB 于点M （如图2）， ∵ 点O 到直线DB 的距离为8√55，∴ OM =8√55∵ 抛物线y =x 2+4x +4与y 轴交于点B ， ∴ B(0, 4) ∴ OB =4．∴ BM =√OB 2−OM 2=√42−(8√55)2=4√55，∵ OB ⊥OF ，OM ⊥BF ．∴ △OBF ∽△MBO ． ∴ OBMB =OFMO ，∴ 4√55=8√55，∴ OF =2BO =8． ∴ F(8, 0)．∴ 直线BF 的解析式为y =−12x +4， ∵ 点D 既在抛物线上，又在直线BF 上， ∴ {y =x 2+4x +4y =−12x +4，解得{x 1=−92y 1=254，{x 2=0y 2=4， ∵ DB 是直线，∴ D 与点B 不重合． ∴ D(−92, 254)，解法二：过点D 作DN ⊥y 轴于点N ，设点D 的横坐标为α．同解法一，得OB =4，BM =4√55， ∵ 点D 在抛物线y =x 2+4x +4上，∴ D(α, α2+4α+4)，且α<0，α2+4α+4>0．∴ DN =−α，ON =α2+4α+4，BN =ON −OB =α2+4α． ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4=90∘ ∴ △DNB ∽△OMB ， ∴ DN OM =NBMB ， ∴ 8√55=24√55，整理得2α2+9α=0．解得α1=0，α2=−92， ∵ DB 是直线，∴ 点D 与点B 不重合．∴ α=−92，此时α2+4α+4=254，∴ 点D 的坐标为(−92, 254)．。

北京市历年中考数学试题（含答案）

北京市历年中考数学试题（含答案）北京市历年中考数学试题（含答案）2010年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学试卷⼀、选择题（本题共32分，每⼩题4分）1、-2的倒数是 A. 21- B. 21 C. -2 D. 2 2、2010年6⽉3⽇，⼈类⾸次模拟⽕星载⼈航天飞⾏试验“⽕星―500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480⼩时的“⽕星之旅”.将12480⽤科学计数法表⽰应为A. 31048.12?B. 5101248.0?C. 410248.1?D. 310248.1?3、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若AD :AB=3:4，AE=6，则AC 等于A. 3B. 4C. 6D. 84、若菱形两条对⾓线长分别为6和8，则这个菱形的周长为A. 20B. 16C. 12D. 105、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这⼗个数中随机取出⼀个数，取出的数是3的倍数的概率是 A. 51 B. 103 C. 31 D. 21 6、将⼆次函数322+-=x x y 化成的k h x y +-=2)(形式，结果为A. 4)1(2++=x yB. 4)1(2+-=x yC. 2)1(2++=x yD. 2)1(2+-=x y 7、10名同学分成甲、⼄两队进⾏篮球⽐赛，他们的⾝⾼（单位：cm ）如下表所⽰：设两队队员⾝⾼的平均数依次为甲x 、⼄x ，⾝⾼的⽅差依次为2甲S 、2⼄S ，则下列关系中完全正确的是A. 甲x =⼄x ，2甲S >2⼄SB. 甲x =⼄x ，2甲S <2⼄SC. 甲x >⼄x ，2甲S >2⼄SD. 甲x <⼄x ，2甲S <2⼄S 8、美术课上，⽼师要求同学们将右图所⽰的⽩纸只沿虚线裁开，⽤裁开的纸⽚和⽩纸上的阴影部分围成⼀个⽴体模型，然后放在桌⾯上，下列四个⽰意图中，只有⼀个．．．．符合上述要求，那么这个⽰意图是⼆、填空题（本题共16分，每⼩题4分）9、若⼆次根式12-x 有意义，则x 的取值范围是____________.10、分解因式：m m 43-=________________. 11、如图，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂⾜为点E ，连结OC ，若OC=5，CD =8，则AE =______________.12、右图为⼿的⽰意图，在各个⼿指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指⽅向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的⽅式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（⽤含n 的代数式表⽰）.三、解答题（本题共30分，每⼩题5分）13、计算： 60tan 342010)31(01--+--14、解分式⽅程212423=---x x xA BC DE15、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同⼀条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC . 求证：∠ACE =∠DBF .16、已知关于x 的⼀元⼆次⽅程0142=-+-m x x 有两个相等的实数根，求m 的值及⽅程的根.17、列⽅程或⽅程组解应⽤题2009年北京市⽣产运营⽤⽔和居民家庭⽤⽔的总和为5.8亿⽴⽅⽶，其中居民家庭⽤⽔⽐⽣产运营⽤⽔的3倍还多0.6亿⽴⽅⽶，问⽣产运营⽤⽔和居民家庭⽤⽔各多少亿⽴⽅⽶.18、如图，直线32+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .（1）求A ，B 两点的坐标；（2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP =2O A ，求△ABP 的⾯积.A D四、解答题（本题共20分，每⼩题5分）19、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =2，BC =4.求∠B 的度数及AC 的长.20、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上⼀点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC =2∠ACD =90°.（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果∠ACB =75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长.21、根据北京市统计局公布的2006―2009年空⽓质量的相关数据，绘制统计图如下：0 220230 240 250 290 280 270 260 2006 2007 2008 2009 2006―2009年北京全年市区空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数统计图 . .. . 241 246 274 285（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数与上⼀年相⽐，增加最多的是_______年，增加了_____天；（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年⼗个城市空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数占全年天数百分⽐的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）；表1 2009年⼗个城市空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数占全年天数百分⽐统计图（3）根据表1中的数据将⼗个城市划分为三个组，百分⽐不低于95%的为A 组，不低于85%且低于95%的为B 组，低于85%的为C 组.按此标准，C 组城市数量在这⼗个城市中所占的百分⽐为_________%；请你补全右边的扇形统计图.22、阅读下列材料：⼩贝遇到⼀个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，BA =6cm.现有⼀动点P 按下列⽅式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，每次碰到矩形的⼀边，就会改变运动⽅向，沿着与这条边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，并且它⼀直按照这种⽅式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，…，如图1所⽰，问P点第⼀次与D 点重合前．．．与边相碰⼏次，P 点第⼀次与D 点重合时．．．所经过的路径总长是多少. ⼩贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形CD B A 11.由轴对称的知识，发现E P P P 232=，E P A P 11=.请你参考⼩贝的思路解决下列问题：2009年⼗个城市空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数占全年天数百分⽐分组统计图 A 组 20%（1）P 点第⼀次与D 点重合前．．．与边相碰_______次；P 点从A 点出发到第⼀次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是_______cm ；（2）进⼀步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满⾜AD >AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动⽅式，并满⾜前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上，若P 点第⼀次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则AB ：AD 的值为______. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23、已知反⽐例函数xk y =的图象经过点A （3-，1）. （1）试确定此反⽐例函数的解析式；（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反⽐例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P （m ，63+m ）也在此反⽐例函数的图象上（其中021，设Q 点的纵坐标为n ，求9322+-n n 的值.24、在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上.（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直⾓三⾓形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）.①当等腰直⾓三⾓形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另⼀点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停⽌运动，P 点也同时停⽌运动）.过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直⾓三⾓形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）.若P 点运动到t 秒时，两个等腰直⾓三⾓形分别有⼀条边恰好落在同⼀条直线上，求此刻t 的值.25、问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内⼀点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的⽐值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对⼀般情况进⾏分析并加以证明.（1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进⼀步推出∠DBC 的度数为_________；可得到∠DBC 与∠ABC 度数的⽐值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的⽐值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.2011年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学试卷⼀、选择题（本题共32分，每⼩题4分）下⾯各题均有四个选项，其中只有⼀个是符合题意的1．34-的绝对值是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．我国第六次全国⼈⼝普查数据显⽰，居住在城镇的⼈⼝总数达到665 575 306⼈，将665 565 306⽤科学记数法表⽰（保留三个有效数字）约为 A ．766.610? B ．80.66610? C ．86.6610?D ．76.6610? 3．下列图形中，既是中⼼对称图形⼜是轴对称图形的是 A ．等边三⾓形 B ．平⾏四边形 C ．梯形D ．矩形 4．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对⾓线AC 、BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AOCO 的值为A ．12B ．13C ．14D ．19则这10个区县该⽇⽓温的众数和中位数分别是A ．32，32B ．32，30C ．30，32D ．32，316．⼀个不透明的盒⼦中装有2个⽩球、5个红球和8个黄球，这些球除颜⾊外，没有任何其他区别，现从这个盒⼦中随机摸出⼀个球，摸到红球的概率为A ．815B ．13C ．215D ．1157．抛物线265y x x =-+的顶点坐标为 A ．(34)-， B ．(34)， C ．(34)--， D ．(34)-，8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，2AB =，D 是AB 边上的⼀个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD x =，CE y =，则下列图象中，能表⽰y 与x 的函数关系的图象⼤致是O D C B A CED B AD C B A⼆、填空题（本题共16分，每⼩题4分）9．若分式8x x -的值为0，则x 的值等于_____________．10．分解因式：321025a a a -+=____________．11．若右图是某⼏何体的表⾯展开图，则这个⼏何体是_________．12．在右表中，我们把第i ⾏第j 列的数记为i j a ，（其中i ，j 都是不⼤于5的正整数），对于表中的每个数i j a ，规定如下：当i j ≥时，1i j a =，；当i j <时，0i j a =，．例如：当2i =， 1j =时，211i j a a ==，，．按此规定，13a =，_______；表中的25个数中，共有______个1；计算111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ?+?+++，，，，，，，，，，的值为__________．三、解答题（本题共30分，每⼩题5分）13．计算：()1012cos302π2-??-- 。

1997年北京市初中毕业统考试题

北京市1997年初中英语毕业、升学统一考试试卷答案及评分标准第Ⅰ、Ⅱ卷（共65分）1.A2.C3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.A 10.B 11.B 12.C 13.A 14.C 15.A 16.B 17.A 18.C 19.B 20.C 21.A 22.C 23.D 24.D 25.B 26.B 27.A 28.C 29.A 30.C 31.D 32.A 33.A 34.D 35.D 36.C 37.B 38.A 39.D 40.B 41.D 42.C 43.C 44.B 45.D 46.D 47.B 48.D 49.A 50.C 51.D 52.C 53.B 54.A 55.B 56.D 57.B 58.C 59.C 60.A 61.C 62.A 63.A 64.B 65.D 66.C 67.D 68.D 69.A 70.D 71.A 72.B 73.C 74.A 75.B第Ⅲ卷（共35分）一、本题满分为6分，每小题1分。

1.books2.sixth3.me4.taller5.fastest6.your二、本题满分为6分，每小题1分。

7.B 8.F 9.E 10.C 11.A 12.D三、本题满分为5分，每小题0.5分。

13.watch 14.go 15.in 16.When 17.from18.What 19.drinking 20.easy 21.kind 22.were written四、本题满分为10分，每空1分。

do for, like, want, What, How much is, any other五、本题满分为8分，每句话2分。

只抄提示语不给分。

1.Wei Fang was ill in hospital last week.1 12.We went to see/visit /visited her after school.1 13.Our teacher told/asked her not to worry about/be worried about her lessons. 0.5 0.5 0.5 0.54.Three days later(,)she/Wei Fang came/got back to school(,)and we helped her0.5 0.5 0.5with/(to)learn most of the subjects.0.5When/After she/Wei Fang came/got back to school three days later, we0.5 0.5helped her with/(to)learn most of the subjects.0.5 0.5附：听力测试录音稿一、听句子，选择恰当的答语。

1997年全国初中毕业_升学考试数学试题选登

31. 已知: 如图, △A B C 内接于⊙O , P 为⊙O 外
·29·
●试题研究
《数学教师》1997 年第 12 期
一点, 作 ∠C PD = ∠A , 使 PD 交⊙O 于 D 、E 两点, 并与 A B 、A C 分别交于点 M 、
N. ( 1) 求证: DN ·N E =
M N ·N P. (2) 若 PD ∥CB , 求证: P C 是⊙O 的切线. 九、(12 分) 32. 已知: a、b、c 分别是△A B C 的
( )
(A ) 42°.
(B ) 51°.
(C) 87°.
(D ) 93°.
13. 把抛物线 y = x 2+ 4 向下平移 1 个单位, 所
得抛物线的解析式是
( )
(A ) y = x 2+ 3. (B ) y = x 2+ 5. (C ) y = (x + 1) 2+ 4. (D ) y = (x - 1) 2+ 4.
A B = 7 6 , 求 P C 的长. 注这是南京市 1997 年初中毕业、升学统一考
试数学试题. 其中第一题为第卷第一部分 ( 24 分) , 第二题为第卷第二部分 (30 分) , 第三～五题为第卷第一部分 (26 分) , 第六～十题为第卷第二部分 (70 分) , 共 150 分. 张绍东供稿 (南京师范大学数学系 210097)
为 S 2, 则 S 1 与 S 2 的关系是 ( )
(A ) S 1> S 2. (B ) S 1< S 2.
(C ) S 1= S 2.
(D ) S 1≥S 2.

北京市九级2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

北京市九级2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列事件中，属于不确定事件的有（）①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④2．已知35b a =，则a b a b -+为（） A ．53 B ．35 C ．38 D ．143．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C .依此方式，绕点O 连续旋转2020次，得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为()2,0，那么点2020A 的坐标为（）A ．()2,0-B ．()1,1C ．()0,2D ．()1,1-4．如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（）A ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD ，弧AB=弧CD ．求证：AB=CDB ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD ，弧AB=弧BC ．求证：AD=BCC ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD ．求证：弧AD=弧BC ，AD=BCD ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD ．求证：弧AB=弧CD ，AB=CD5．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若3MN =，6AB =，则ACB ∠的度数为（）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒6．一元二次方程x 2+4x ＝﹣3用配方法变形正确的是（）A ．（x ﹣2）2＝1B ．（x +2）2＝1C ．（x ﹣2）2＝﹣1D ．（x +2）2＝﹣17．方程x 2﹣5＝0的实数解为（）A ．5-B ．5C ．5±D ．±58．下列图形中是中心对称图形的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，ABC 与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（） A ．AE AD BE DC = B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 10．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，边长为1的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在格点上，则ABC ∆的面积为_______ ；若将ABC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，则顶点A 所经过的路径长为__________．12．设α、β是方程x 2+2018x ﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝_____．13．若反比例函数y ＝﹣的图象经过点A(m ，3)，则m 的值是_____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，CE 是AB 边上的中线，若AD ＝3，CE ＝5，则CD 等于_____．15．若3a=2b ，则a:b=________．16．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是__________17．钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了______度．18．方程22310x x --=的两根为1x ，2x ，则2212x x += ．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ．求证：AF FD EF BF ⋅=⋅．20．（6分）已知二次函数y =﹣x 2+2x +m ．（1）如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A （-1，0），与y 轴交于点C ，求直线BC 与这个二次函数的解析式；（3）在直线BC 上方的抛物线上有一动点D ，DE ⊥x 轴于E 点，交BC 于F ，当DF 最大时，求点D 的坐标，并写出DF 最大值．21．（6分）如图，二次函数y ＝﹣2x 2+x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （1，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上是否有一点D （x ，y ）使S △ABD ＝S △ABC ，求点D 的坐标．22．（8分）如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G .（1）证明：∽AMF BGM .（2）连结FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长.23．（8分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，AC ＝BC ，OD ＝OE ．求证：CD ＝CE ．24．（8分）如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，4AB =，交y 轴于点C ，对称轴是直线1x =．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线1x =的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （0t >）秒．若AOC ∆与BMN ∆相似，请求出t 的值．25．（10分）如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，AF 与DE 相交于点G ，且AF ＝DE.求证：(1)BF ＝AE ；(2)AF⊥DE.26．（10分）已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）分别写出图中点A 和点C 的坐标；（2）画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A 旋转到点A ′所经过的路线长（结果保留π）.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】因为不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生,也可能不发生的事件,确定事件包括必然事件和不可能事件,所以①太阳从西边升起,是不可能发生的事件,是确定事件, ②任意摸一张体育彩票会中奖,是不确定事件, ③掷一枚硬币,有国徽的一面朝下,是不确定事件, ④小明长大后成为一名宇航员,是不确定事件,故选C.点睛:本题考查确定事件和不确定事件的定义,解决本题的关键是要熟练掌握确定事件和不确定事件的定义.2、D【分析】由题意先根据已知条件得出a＝53b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】解：∵35 ba=，∴a＝53 b，∴a ba b-+＝5353b bb b-+＝14．故选：D．【点睛】本题考查比例的性质和代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3、A【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：∵四边形OABC是正方形，且，∴A1（1，1），如图，由旋转得：OA=OA1=OA2=OA3=…2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OA绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOA1=∠A1OA2=∠A2OA3=…=45°，∴A1（1，1），A2（02），A3（1-，1-），A4（2-，0）…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252 (4)∴点A2020的坐标为（2-0）；故选：A.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．4、D【分析】根据命题的概念把原命题写成:“如果...求证...”的形式.【详解】解：“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，改写成：已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD.求证：弧AB=弧CD，AB=CD故选：D【点睛】本题考查命题，掌握将命题改写为“如果...求证...”的形式,是解题的关键.5、A【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．【详解】∵M，N分别为BC，OC的中点，∴MN是∆OBC的中位线，∴OB=2MN=2×3=6，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，∵AB=6，∴AC=2AB，∵∠ABC=90°，∠=30°．∴ACB故选A．【点睛】本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．6、B【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【详解】解：∵x2+4x＝﹣3，∴x2+4x+4＝1，∴（x+2）2＝1，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7、C【分析】利用直接开平方法求解可得．【详解】解：∵x2﹣5＝0，∴x2＝5，则x＝故选：C．【点睛】本题考查解方程，熟练掌握计算法则是解题关键.8、B【解析】∵正三角形是轴对称能图形；平行四边形是中心对称图形；正五边形是轴对称图形；正六边形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴中心对称图形的有2个．故选B.9、D【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC =，故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '.10、B【分析】先用多边形的内角和公式求这个正多边形的边数为n ，再根据多边形外角和等于360°,可求得每个外角度数．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，∵一个正多边形的内角和为720°，∴180°（n-2）=720°，解得：n=6，∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．应用方程思想求边数是解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、3.5；【分析】（1）利用△ABC 所在的正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；（2）根据勾股定理列式求出AC ，然后利用弧长公式列式计算即可得解．【详解】（1）△ABC 的面积＝3×3−12×2×3−12×1×3−12×1×2，＝9−3−1.5-1＝3.5；（2）由勾股定理得，AC =所以，点A 所经过的路径长为601803π⋅=故答案为：3.5【点睛】本题考查了利用旋转的性质，弧长的计算，熟练掌握网格结构，求出AC 的长是解题的关键．12、4【分析】把α、β分别代入2201820x x +-=，可求得2α2018α+和2β2018β+的值，然后把求得的值代入()()22α2018α1β2018β2+-++计算即可. 【详解】把α、β分别代入2201820x x +-=，得2α2018α20+-=和2β2018β+-2=0，∴2α2018α2+=和2β2018β2+=，∴()()22α2018α1β2018β2+-++=（2-1）×（2+2）=4.故答案为4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13、﹣2 【解析】∵反比例函数的图象过点A （m ，3）， ∴，解得. 1421【分析】根据直角三角形的性质得出AE ＝CE ＝1，进而得出DE ＝2，利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 为AB 边上的中线，CE ＝1，∴AE ＝CE ＝1，∵AD ＝3，∴DE ＝2，∵CD 为AB 边上的高，∴在Rt △CDE 中，CD 22225221CE ED -=-， 21【点睛】此题考查勾股定理的应用以及直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE ＝CE ＝1．15、2:3【解析】试题分析：根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可知a:b=2:3考点：比例的意义和基本性质点评：比例的基本性质是解题的关键16、63 【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．【详解】解：连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ，等边三角形的边长是2， 223OG OA AG ∴=-=，∴等边三角形的面积是12332⨯⨯=， ∴正六边形的面积是：6363⨯=；故答案为：63．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 17、90 【解析】分针走一圈（360°）要1小时，则每分钟走360°÷60=6°，则15分钟旋转15×6°=90°.故答案为90.18、134．【解析】试题分析：∵方程22310x x --=的两根为1x ，2x ，∴1232x x +=，1212x x =-，∴2212x x +=21212()2x x x x +-=231()2()22-⨯-=134．故答案为134．考点：根与系数的关系．三、解答题(共66分)19、见解析【分析】由题意可证△AEF ∽△BDF ，可得AF EF BF FD=，即可得AF FD EF BF ⋅=⋅. 【详解】解：证明：∵AD ，BE 是△ABC 的高，∴∠ADB=∠AEF=90°，且∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ， ∴AF EF BF FD=， ∴AF FD EF BF ⋅=⋅.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．20、（1）m >-1；（2）y =-x +3，y =-x 2+2x +3；（3）D （315,24），DF=94 【分析】（1）利用判别式解答即可；（2）将点A 的坐标代入抛物线y =-x 2+2x +m 即可求出解析式，由抛物线的解析式求出点B （3,0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y =kx +b 中即可求出直线BC 的解析式；（3）由点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x +3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x +3），得到DF=-x 2+2x +3-(-x +3)=-x 2+3x=239()24x --+，利用顶点式解析式的性质解答即可. 【详解】（1）当抛物线与x 轴有两个交点时，∆>0，即4+4m >0，∴m >-1；（2）∵点A(-1，0)在抛物线y =-x 2+2x +m 上，∴-1-2+m =0，∴m =3，∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，且C(0，3)，当x=0时，-x 2+2x +3=0，解得x=-1，或x=3，∴B （3,0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y =kx +b 中，得:303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =-x +3;（3）点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x +3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x +3），∴DF=-x 2+2x +3-(-x +3)=-x 2+3x=239()24x --+， ∴当32x =时，DF 最大，为94，此时D 的坐标为（315,24）. 【点睛】此题考查了利用判别式已知抛物线与坐标轴的交点个数求未知数的取值范围，利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式解析式的性质求出线段的最值.21、（1）1；（2）B （﹣12，0）；（3）D 的坐标是（12，1）或（14+，﹣1）或（14-，﹣1）【分析】（1）把点A 的坐标代入函数解析式，利用方程来求m 的值；（2）令y ＝0，则通过解方程来求点B 的横坐标；（3）利用三角形的面积公式进行解答．【详解】解：（1）把A （1，0）代入y ＝﹣2x 2+x+m ，得﹣2×12+1+m ＝0，解得 m ＝1；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2+x+1．令y ＝0，则﹣2x 2+x+1＝0，故x 134-±-，解得 x 1＝﹣12，x 2＝1．故该抛物线与x 轴的交点是（﹣12，0）和（1，0）． ∵点为A （1，0），∴另一个交点为B 是（﹣12，0）；（3）∵抛物线解析式为y ＝﹣2x 2+x+1，∴C （0，1），∴OC ＝1．∵S △ABD ＝S △ABC ，∴点D 与点C 的纵坐标的绝对值相等，∴当y ＝1时，﹣2x 2+x+1＝1，即x （﹣2x+1）＝0解得 x ＝0或x ＝12．即（0，1）（与点C 重合，舍去）和D （12，1）符合题意．当y ＝﹣1时，﹣2x 2+x+1＝﹣1，即2x 2﹣x ﹣2＝0解得x ＝1174±．即点（1174+，﹣1）和（1174-，﹣1）符合题意．综上所述，满足条件的点D 的坐标是（12，1）或（1174+，﹣1）或（1174-，﹣1）．【点睛】本题考查了抛物线的图象和性质,解答（3）题时，注意满足条件的点D 还可以在x 轴的下方是解题关键．22、（1）见解析；（2）53=FG 【分析】（1）由DME A ∠=∠，可证∠AFM=∠BMG，从而可证∽AMF BGM ；（2）当=45α︒时，可得AC BC ⊥且4AC BC ==，再根据∽AMF BGM 可求BG ，从而可求CF ，CG ，进而可求答案.【详解】（1）证明：∵DME A ∠=∠∴AFM DME E A E BMG ∠=∠+∠=∠+∠=∠,又∵A B ∠=∠∴∽AMF BGM .解：（2）∵=45α︒，DME A B α∠=∠=∠=∴AC BC ⊥且4AC BC ==∵M 为AB 的中点，∴22AM BM ==又∵∽AMF BGM ,∴AF BM AM BG = ∴2222833AM BM BG AF ⋅⨯=== ∴431=-=-=CF AC AF ,84433=-=-=CG BC BG ∴222245133FG CF CG ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握相似三角形的相关知识与勾股定理是解题的关键.23、详见解析【分析】根据AC ＝BC ，得出∠AOC=∠BOC ，再根据SAS 定理得出△COD ≌△COE ，由此可得出结论．【详解】解：证明：连接OCAC BC =AOC BOC ∴∠=∠在△OCD 和△OCE 中，OD OE COD COE OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCD ≌△OCE （SAS ）CD CE ∴=【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．24、（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)；（2）F ()2,1；（3）1t =【分析】(1)先求出点A,B 的坐标，将A 、B 的坐标代入2y x bx c =-++中，即可求解；(2)确定直线BC 的解析式为y=−x+3，根据点E 、F 关于直线x=1对称，即可求解；(3) 若AOC ∆与BMN ∆相似，则MB OA MN OC =或MB OC MN OA=，即可求解；【详解】解：（1）∵点A 、B 关于直线1x =对称，4AB =，∴(1,0)A -，(3,0)B .代入2y x bx c =-++中，得：93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++.∴C 点坐标为(0,3)；（2）设直线BC 的解析式为y mx n =+，则有：330n m n =⎧⎨+=⎩，解得13m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+.∵点E 、F 关于直线1x =对称，又E 到对称轴的距离为1，∴2EF =.∴F 点的横坐标为2，将2x =代入3y x =-+中，得：231y =-+=，∴F(2,1);（3）t 秒时，2OM t =.如图当2x t =时2y x 2x 3=-++2443y t t =-++∴()22,443N t t t -++，∴2443MN t t =-++， 32MB t =-.①若AOC BMN ∆∆∽，则MB OA MN OC =，即23214433t t t -=-++ 32t =（舍去），或1t =. ②若AOC NMB ∆∆∽，则MB OC MN OA=，即2323443t t t -=-++ 32t =（舍去），或13t =-（舍去） ∴1t =.【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25、 (1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB ，∠DAE=∠ABE=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠BAF ，根据余角的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）四边形是正方形，∴AD=AB ，∠DAE=∠ABE=90°，在Rt △DAE 与Rt △ABF 中，，∴Rt △DAE ≌Rt △ABF （HL ），∴BF=AE ；（2）∵Rt △DAE ≌Rt △ABF ，∴∠ADE=∠BAF ，∵∠ADE=∠AED=90°，∴∠BAF=∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∴AF ⊥DE ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 26、（1）()04A ，、()31C ，（2）见解析（3）322【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长．试题解析：（1）A（0,4）C（3,1）（2）如图所示：（3）根据勾股定理可得：2，则9032321801802n rlππ⨯===．考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．。

1997年全国初中毕业_升学考试数学试题选登

《数学教师》1998 年第 1 期 ∵ 四边形 A B CD 是正方形, ∴ ∠B O E = ∠A O F = 90° , B O = A O. 又∵ A G ⊥EB , ∴ ∠1+ ∠3= 90° = ∠2+ ∠3. ∴ ∠1= ∠2. ∴ R t △B O E ≌R t △A O F. ∴ O E = O F.
与 90° 角的大小. 七、选择题 ( 每小题 3 分, 共 12 分)
1. 若 a = 310 , 则代数式 a 2 - 6a - 2 的值为 ( ) (A ) 0. (B ) 1. (C ) - 1. (D ) 2. 已知关于 x 的方程 10.
的长.
2. 求下列一组数据的平均数
x - 5 的自变量 x 的取值范围
点 P 从点 A 开始沿 A D 边向点 D 以 1 厘米秒的速度运动, 动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 3 厘米秒的速度运动. P 、 Q 分别从点 A 、 C 同时出发, 当其中一点到达端点时, 另一点也随之停止运动. 设运动时间为 t 秒. 求:
(A ) 1. (B ) 2. (C ) 3. (D ) 4. 1 6. 将二次三项式 x 2 - 2x + 1 进行配方, 正确 2 ( ) 的结果应为 1 1 (x + 2) 2 - 1. (B ) (x + 2) 2 + 1. 2 2 1 1 (C ) (x - 2) 2 - 1. (D ) ( x - 2) 2 + 1. 2 2 7. 如图, 已知⊙O 的两条弦 A C、 B D 相交于点 (A ) , ∠B P C = 70° , 则CD 的度数为 P , ∠A D B = 25° ( ) (A ) 170. (B ) 165. (C ) 160. (D ) 150. ( )

1997年中考数学试卷

中考数学试题一、选择题1．如图，在三角形ABC中D，E分别是AB和AC上的点，且DE平行BC，AE比EC=5/2,D E=10，则BC的长为（）。

A．16B．14C．12D．112．如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对3．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=124.如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C．D．5.一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．二、填空题（共24分）(x<0)图象上的点，过点A作y轴的1.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。

2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30∘方向，同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达（）。

（结果保留根号）3．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO=70∘，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO=50∘，那么AC的长度约为（）米。

(x<0)图象上的点，过点A作y轴的4．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。

三、解答题1．如图，把正方形ABCD绕点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H．求证：HG＝HB．2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动（到A点不停），动点Q 从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C 同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）。

北京市历年中考数学试题（含答案）

历年中考数学试题附参考答案（含答案）2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）1、-2的倒数是A.21 B.21 C. -2 D. 22、2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星―500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”.将12480用科学计数法表示应为A. 31048.12 B.5101248.0 C.410248.1 D.310248.13、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若AD :AB=3:4，AE=6，则AC 等于A. 3B. 4C. 6D. 8 4、若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为A. 20B. 16C. 12D. 105、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是A.51 B.103 C.31 D.216、将二次函数322x xy化成的k h x y 2)(形式，结果为A.4)1(2x yB.4)1(2x yC. 2)1(2x y D. 2)1(2x y 7、10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：队员1队员2 队员3 队员 4 队员5 甲队177 176 175 172 175 乙队170175173174183设两队队员身高的平均数依次为甲x 、乙x ，身高的方差依次为2甲S 、2乙S ，则下列关系中完全正确的是ABCD EA. 甲x =乙x ，2甲S >2乙S B.甲x =乙x ，2甲S <2乙S C. 甲x >乙x ，2甲S >2乙S D.甲x <乙x ，2甲S <2乙S8、美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9、若二次根式12x 有意义，则x 的取值范围是____________.10、分解因式：m m 43=________________.11、如图，AB 为⊙O 直径，弦CD⊥AB ，垂足为点E ，连结OC，若OC =5，CD =8，则AE=______________. 12、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →,的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，,，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（用含n 的代数式表示）.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13、计算：60tan 342010)31(0114、解分式方程212423xx x A BCDABCE O D15、已知：如图，点A 、B 、C、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC . 求证：∠ACE =∠DBF .16、已知关于x 的一元二次方程0142m x x有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根.17、列方程或方程组解应用题2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.18、如图，直线32xy 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .（1）求A ，B 两点的坐标；（2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP=2O A ，求△ABP 的面积. A B C DEFx1A B O y1四、解答题（本题共20分，每小题5分）19、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =2，BC =4.求∠B 的度数及AC 的长.20、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC =2∠ACD =90°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果∠ACB =75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长.21、根据北京市统计局公布的2006―2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：A B CD220 230 240 250290280 270 260 天数2006―2009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图.. .. 241 246274285（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是_______年，增加了_____天；（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）；表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图城市北京上海天津昆明杭州广州南京成都沈阳西宁百分比91% 84% 100% 89% 95% 86% 86% 90% 77% （3）根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，百分比不低于95%的为A 组，不低于85%且低于95%的为B 组，低于85%的为C 组.按此标准，C 组城市数量在这十个城市中所占的百分比为_________%；请你补全右边的扇形统计图.22、阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，BA =6cm.现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45°的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45°的方向作直线运动，,，如图1所示，问P点第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时．．．所经过的路径总长是多少.小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形CD B A 11.由轴对称的知识，发现E P P P 232，E P A P 11.请你参考小贝的思路解决下列问题：2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比分组统计图A 组20%（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰_______次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是_______cm ；（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD 、AB 的长，且满足AD>AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上，若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则AB ：AD 的值为______. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23、已知反比例函数xk y的图象经过点A （3，1）.（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P （m ，63m ）也在此反比例函数的图象上（其中0m ），过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点M.若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是21，设Q 点的纵坐标为n ，求9322n n的值.24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122mmx m xm y与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上.（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）. ①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）.过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M，使得FM =QF ，以QM为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）.若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.25、问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC 与∠ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为________________；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明. A BC2011年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．34的绝对值是A ．43B ．43C ．34D ．342．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665565 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为A ．766.610B ．80.66610C ．86.6610D ．76.66103．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A ．等边三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．矩形4．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ，若1AD ，3BC，则AO CO 的值为A ．12B ．13C ．14D ．195．北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：区县大兴通州平谷顺义杯柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温（℃）32 3230323032 29323032则这10个区县该日气温的众数和中位数分别是A ．32，32B ．32，30C ．30，32D ．32，316．一个不透明的盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为A ．815B ．13C ．215D ．1157．抛物线265yxx的顶点坐标为A ．(34)，B ．(34)，C ．(34)，D ．(34)，8．如图，在Rt ABC △中，90ACB，30BAC，2AB，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设ADx ，CEy，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是ODCBACE DBAxyy yxxy111111122OOOxyDCBAO21二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若分式8xx 的值为0，则x 的值等于_____________．10．分解因式：321025aaa____________．11．若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是_________．12．在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为i j a ，（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数i ja ，规定如下：当i j≥时，1i ja ，；当ij 时，i ja ，．例如：当2i，1j 时，211i ja a ，，．按此规定，13a ，_______；表中的25个数中，共有______个1；计算111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ，，，，，，，，，，的值为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：112cos30272π2。

北京中考数学试题(2002-2012试题分类及答案)

北京中考数学试题（2002-2012试题分类及答案）目录一、选择题……………………… 二、填空题……………………… 三、解答题：1.计算题…………………………2.化简、求值……………………3.解方程、不等式（组）………4.列方程…………………………5.直线型证明……………………6.直线型计算……………………7.圆的证明与计算………………8.函数基础………………………9.统计…………………………… 10.材料题、新定义题………… 11.代数综合…………………… 12.几何综合…………………… 13.代几综合…………………… △其它……………………………一、选择题【02】选择题 1. -13的倒数是（） A.13B. 3C. -13D. -32. 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（） A. 等腰三角形 B. 正三角形C. 等腰梯形D. 菱形3. 下列等式中，一定成立的是（） A.11111xx x x ++=+()B. ()-=-x x 22 C. a b c a b c --=-+() D. ()xy x y +=+112224. 若a b -<0，则下列各式中一定正确的是（） A. a b >B. ab >0C.a b<0D. ->-a b5. 在∆A B C 中，∠=︒C 90，若∠=∠B A 2，则ctgB 等于（） A. 3 B.33C.32D.126. 根据下图所示的程序计算函数值．若输入的x 值为32，则输出的结果为（）输入x 值y=x+2(-2≤x ≤-1)y=x 2(-1<x ≤1)y=-x+2(1<x ≤2)输入y 值A.72B.94C.12D.92【03】选择题1. -3的相反数是（） A. -13B. -3C. 3D. -||32. 计算()π-30的结果是（） A. 0B. 1C. 3-πD. π-3 3. 若∠=︒α30，则∠α的补角为（） A. 30︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒4. 羊年话“羊”，“羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数y x =-3的自变量x 的取值范围是（） A. x ≥3 B. x >3C . x ≠3D . x ≤3 6. 2003年5月19日，国家邮政局特别发行“万众一心抗击‘非典’”邮票，收入全部捐赠给卫生部门，用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行量为12500000枚，用科学记数法表示正确的是（）A. 125105.⨯枚 B. 125106.⨯枚 C. 125107.⨯枚D.125108.⨯枚7. 如图，在∆ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，若DE ＝4，则BC 等于（）A. 2B. 4C. 8D. 128. 用换元法解方程()()x xx x+-+=2212，设y x x=+2，则原方程可化为（）A. yy 210--=B. y y 210++= C. y y 210+-= D. yy 210-+=9. 如图，直线c 与直线a 、b 相交，且a//b ，则下列结论：(1)∠=∠12；(2)∠=∠13；(3)∠=∠32中正确的个数为（） A. 0B. 1C. 2D. 310. 点P ()-23，关于x 轴对称的点的坐标为（） A.()-23， B.()23， C.()23，- D.()--23，11. 下列各式中正确的是（） A. 242-=- B. ()33325= C.12121-=+ D. x xx 842÷=12. 若两圆相交，则这两圆的公切线（） A. 只有一条 B. 有两条 C. 有三条D. 有四条13. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 在BC 延长线上，若∠=︒A 50，则∠D C E 等于（）A. 40︒B. 50︒C. 70︒D. 130︒14. 不等式组26053x x -<+>-⎧⎨⎩的解集是（）A. 23<<xB. -<<-83xC. -<<83xD. x <-8或x >315. 在下列二次根式中与2是同类二次根式的是（） A. 8 B. 10C. 12D.2716. 在∆ABC 中，∠=︒∠=∠C B A 902，，则cosA 等于（） A. 32B.12C.3D.3317. 方程xx 220-+=根的情况是（）A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D. 没有实数根18. 已知反比例函数y k x=的图象经过点（1，2），则函数y kx =-可确定为（）A. y x =-2B. y x =-12C. y x =12D. y x =219. 如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（）A. <1>和<2>B. <2>和<3>C. <2>和<4>D. <1>和<4>20. 若yy x y 24410++++-=，则xy 的值等于（） A. -6B. -2C. 2D. 621. 如果圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆柱的侧面积是（）A. 102cmB. 102πcmC. 202cmD. 202πcm22. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. a b c ><>000，，B. a b c <<>000，，C. a b c <><000，，D. a b c <>>000，，23. 如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，若PA ＝6，BP ＝4，则⊙O 的半径为（）A.54B.52C. 2D. 524. 某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函数关系，就此他与同学们选择了一种类型的体请你根据上述数据分析判断，水银柱的长度l （mm ）与体温计的读数t （℃）（3542≤≤t ）之间存在的函数关系是（） A. l t =-110662B. l t =11370C. l t =-63072D. l t=3955225. 如图，把∆ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A. ∠=∠+∠A 12B. 212∠=∠+∠AC. 3212∠=∠+∠AD. 3212∠=∠+∠A ()26. 甲、乙两同学约定游泳比赛规则：甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则是先游蛙泳到泳道中点后改为自由泳，两人同时从泳道起点出发，最后两人同时游到泳道终点。

1998—2019北京市中考数学试卷含详细解答(历年真题)

2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103 2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°4．（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．15．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD6．（2分）如果m+n＝1，那么代数式（）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．37．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．38．（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分式的值为0，则x的值是．10．（2分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）11．（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y，则k1+k2的值为．14．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．15．（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12s02（填“＞”，“＝”或”＜”）16．（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）计算：||﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．18．（5分）解不等式组：＜＞19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G，求AO的长．21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为cm．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k 分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2019年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．2．（2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．3．（2分）正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．4．（2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．5．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON∠MON＝20°，故B选项正确；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN∠OCN＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．6．（2分）如果m+n＝1，那么代数式（）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：原式•（m+n）（m﹣n）•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．7．（2分）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；∴组成真命题的个数为3个；故选：D．8．（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20﹣30 之间，故②正确．③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10 的人数在0﹣15 之间，当人数为0 时中位数在20﹣30 之间；当人数为15 时，中位数在20﹣30 之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0﹣15，35，15，18，1，当0≤t＜10时间段人数为0 时，中位数在10﹣20 之间；当0≤t＜10时间段人数为15 时，中位数在10﹣20 之间，故④错误．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分式的值为0，则x的值是1．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0且x≠0，∴x＝1．故答案为1．10．（2分）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9cm2．（结果保留一位小数）【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC AB•CD 2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．11．（2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是①②．（写出所有正确答案的序号）【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠P AB+∠PBA＝45°，故答案为：45．13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y，则k1+k2的值为0．【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y上，∴k1＝ab；又∵点A与点B关于x轴的对称，∴B（a，﹣b）∵点B在双曲线y上，∴k2＝﹣ab；∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．14．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12．【解答】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，∴菱形ABCD的面积AC×BD6×4＝12；故答案为：12．15．（2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12＝s02（填“＞”，“＝”或”＜”）【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12＝S02．故答案为＝．16．（2分）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）计算：||﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．【解答】解：原式1+2414＝3．18．（5分）解不等式组：＜＞【解答】解：＜①＞ ②，解①得：x＜2，解②得x＜，则不等式组的解集为x＜2．19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G，求AO的长．【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠ADO，∴tan G＝tan∠ADO，∴OA OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OA＝1．21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是①②．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵AD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为4，5，6；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为23首．【解答】解：（1）（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④﹣③得，3x2≤28，∴x2，∴x1+x2+x3+x414，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定AD的长度是自变量，PD的长度和PC 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 2.3和4cm．【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量故答案为：AD、PC、PD；（2）描点画出如图图象；（3）PC＝2PD，从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3和4.0．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k 分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），①当k＝2时，A（2，5），B（，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；②直线AB的解析式为y＝kx+1，当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，∴k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）A（0，）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，）；（2）A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax，①a＞0时，当x＝2时，y＜2，当y时，x＝0或x＝2，∴函数与AB无交点；②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax2，x或x当2时，a；∴当a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD OP＝1∴OD∵OH1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∠∠∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC4，DE BC4＝2，∴弧2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE 垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m综上所述，m或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE，AE≤3，即3，解得：t，∵t＞0∴0＜t．2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4B．c﹣b＞0C．ac＞0D．a+c＞0 3．（2分）方程组的解为（）A．B．C．D．4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2 5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°6．（2分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．47．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=，b=，c=．12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．。

1998—2018北京市中考数学试卷含详细解答(历年真题)

2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（）A ．B ．C ．D ．2．（2分）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．|a |＞4B ．c ﹣b ＞0C ．ac ＞0D ．a +c ＞03．（2分）方程组{x −y =33x −8y =14的解为（）A ．{x =−1y =2B ．{x =1y =−2C ．{x =−2y =1D ．{x =2y =−14．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（） A ．7.14×103m 2B ．7.14×104m 2C ．2.5×105m 2D ．2.5×106m 25．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（） A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°6．（2分）如果a ﹣b=2√3，那么代数式（a 2+b 22a ﹣b ）•aa−b 的值为（）A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√37．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y=ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2分）若√x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=，b=，c=．12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交PA 的延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ；③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB= ，CB= ， ∴PQ ∥l （）（填推理的依据）．18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣√18+|﹣1| 19．（5分）解不等式组：{3(x +1)＞x −1x+92＞2x20．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0．（1）当b=a +2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．21．（5分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=AD ，对角线AC ，BD 交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=√5，BD=2，求OE的长．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．（6分）如图，Q是AB̂与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB̂于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．25．（6分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 7878.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、此几何体是圆柱体； B 、此几何体是圆锥体； C 、此几何体是正方体； D 、此几何体是四棱锥；故选：A ．2．（2分）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．|a |＞4B ．c ﹣b ＞0C ．ac ＞0D ．a +c ＞0【解答】解：∵﹣4＜a ＜﹣3∴|a |＜4∴A 不正确；又∵a ＜0 c ＞0∴ac ＜0∴C 不正确；又∵a ＜﹣3 c ＜3∴a +c ＜0∴D 不正确；又∵c ＞0 b ＜0∴c ﹣b ＞0∴B 正确；故选：B ．3．（2分）方程组{x −y =33x −8y =14的解为（）A ．{x =−1y =2B ．{x =1y =−2C ．{x =−2y =1D ．{x =2y =−1【解答】解：{x−y=3①3x−8y=14②，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为{x=2y=−1；故选：D．4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．6．（2分）如果a﹣b=2√3，那么代数式（a2+b22a﹣b）•aa−b的值为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【解答】解：原式=（a2+b22a﹣2ab2a）•aa−b=(a−b)22a•aa−b=a−b 2，当a﹣b=2√3时，原式=2√32=√3，故选：A．7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则{c=54.01600a+40b+c=46.2 400a+20b+c=57.9解得{a=−0.0195 b=0.585c=54.0，所以x=﹣b2a=0.5852×(−0.0195)=15（m）．故选：B．8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S △ANH =2×2﹣12×1×2×2﹣12×1×1=12AH•NP ，32=√52PN ， PN=√5，Rt △ANP 中，sin ∠NAP=PNAN =√5√5=35=0.6，Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BCAB =2√2=√22＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大， ∴∠BAC ＞∠DAE ，故答案为：＞．10．（2分）若√x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 x ≥0 ．【解答】解：由题意可知：x ≥0．故答案为：x ≥0．11．（2分）用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a ＜b ，则ac ＜bc”是错误的，这组值可以是a= 1 ，b= 2 ，c= ﹣1 ．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1）， ∴命题“若a ＜b ，则ac ＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．12．（2分）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB̂=CD ̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= 70° ．【解答】解：∵CB̂=CD ̂，∠CAD=30°， ∴∠CAD=∠CAB=30°， ∴∠DBC=∠DAC=30°， ∵∠ACD=50°， ∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB ﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．13．（2分）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB=4，AD=3，则CF 的长为 103．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB=CD ，AD=BC ，AB ∥CD ， ∴∠FAE=∠FCD ，又∵∠AFE=∠CFD ， ∴△AFE ∽△CFD ，∴CF AF =CDAE=2． ∵AC=√AB 2+BC 2=5，∴CF=CFCF+AF •AC=22+1×5=103．故答案为：103．14．（2分）从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路 30≤t ≤35 35＜t ≤40 40＜t ≤45 45＜t ≤50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐 C （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【解答】解：∵A 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为59+151+166500=0.752，B 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为50+50+122500=0.444，C 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为45+265+167500=0.954，∴C 线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C ．15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为380元．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用150×2+90=390元当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+130+150=380元∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390＞380，∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，故答案为：380．16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB= AP ，CB= CQ ，∴PQ ∥l （三角形中位线定理）（填推理的依据）．【解答】（1）解：直线PQ 如图所示；（2）证明：∵AB=AP ，CB=CQ ， ∴PQ ∥l （三角形中位线定理）．故答案为：AP ，CQ ，三角形中位线定理； 18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣√18+|﹣1| 【解答】解：原式=4×√22+1﹣3√2+1 =﹣√2+2．19．（5分）解不等式组：{3(x +1)＞x −1x+92＞2x【解答】解：{3(x +1)＞x −1①x+92＞2x②∵解不等式①得：x ＞﹣2，解不等式②得：x ＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x ＜3．20．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0．（1）当b=a +2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）a ≠0，△=b 2﹣4a=（a +2）2﹣4a=a2+4a +4﹣4a=a 2+4， ∵a 2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=√5，BD=2，求OE的长．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=12BD=1，在Rt △AOB 中，AB=√5，OB=1， ∴OA=√AB 2−OB 2=2， ∴OE=OA=2．22．（5分）如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．（1）求证：OP ⊥CD ；（2）连接AD ，BC ，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP 的长．【解答】解：（1）连接OC ，OD ， ∴OC=OD ，∵PD ，PC 是⊙O 的切线， ∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，{OD =OC OP =OP ，∴Rt △ODP ≌Rt △OCP ， ∴∠DOP=∠COP ， ∵OD=OC ， ∴OP ⊥CD ；（2）如图，连接OD ，OC ， ∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°， ∴∠AOD=80°，∠BOC=40°， ∴∠COD=60°，∵OD=OC ，∴△COD 是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt △ODP 中，OP=OD cos30°=4√33．23．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，函数y=kx（x ＞0）的图象G 经过点A （4，1），直线l ：y=14x +b 与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为w ． ①当b=﹣1时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．【解答】解：（1）把A （4，1）代入y=kx 得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y=14x ﹣1，解方程4x =14x ﹣1得x 1=2﹣2√5（舍去），x 2=2+2√5，则B （2+2√5，√5−12），而C （0，﹣1），如图1所示，区域W 内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l 在OA 的下方时，当直线l ：y=14x +b 过（1，﹣1）时，b=﹣54，且经过（5，0）， ∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是﹣54≤b ＜﹣1．如图3，直线l 在OA 的上方时，∵点（2，2）在函数y=kx（x＞0）的图象G，当直线l：y=14x+b过（1，2）时，b=74，当直线l：y=14x+b过（1，3）时，b=114，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是74＜b≤114．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣54≤b＜﹣1或74＜b≤114．24．（6分）如图，Q是AB̂与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上̂于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点一动点，连接PQ并延长交AB间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.763 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm．【解答】解：（1）∵PA=6时，AB=6，BC=4.37，AC=4.11，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AB是直径．当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x=y，即当PA=PC或PA=AC时，x=3或4.91，当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．25．（6分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 7878.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 7979 79 79.5，∴A课程的中位数为78.5+792=78.75，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B ，故答案为：B 、该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数．（3）估计A 课程成绩跑过75.8分的人数为300×10+18+860=180人．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=4x +4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）与y 轴交点：令x=0代入直线y=4x +4得y=4， ∴B （0，4），∵点B 向右平移5个单位长度，得到点C ， ∴C （5，4）；（2）与x 轴交点：令y=0代入直线y=4x +4得x=﹣1， ∴A （﹣1，0），∵点B 向右平移5个单位长度，得到点C ，将点A （﹣1，0）代入抛物线y=ax 2+bx ﹣3a 中得0=a ﹣b ﹣3a ，即b=﹣2a ， ∴抛物线的对称轴x=﹣b 2a=﹣−2a 2a=1；（3）∵抛物线y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）且对称轴x=1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A 的对称点（3，0）， ①a ＞0时，如图1，将x=0代入抛物线得y=﹣3a ， ∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点， ∴﹣3a ＜4，a ＞﹣43，将x=5代入抛物线得y=12a ， ∴12a ≥4，a ≥13，∴a ≥13；②a ＜0时，如图2，将x=0代入抛物线得y=﹣3a ， ∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点， ∴﹣3a ＞4，a ＜﹣43；③当抛物线的顶点在线段BC 上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4=a ﹣2a ﹣3a ，解得a=﹣1．综上所述，a ≥13或a ＜﹣43或a=﹣1．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵{DF=DCDG=DG，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=√2AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵{DM=BE∠1=∠BEH DE=EH，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=√2AE，∴BH=√2AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵{∠A=∠ENH ∠1=∠NEH DE=EH，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=√2HN=√2AE．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）如图所示，点O 到△ABC 的距离的最小值为2，∴d （点O ，△ABC ）=2；（2）y=kx （k ≠0）经过原点，在﹣1≤x ≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx （﹣1≤x ≤1，k ≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d （G ，△ABC ）=1；当y=kx （﹣1≤x ≤1，k ≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d （G ，△ABC ）=1； ∴﹣1≤k ≤1， ∵k ≠0，∴﹣1≤k ≤1且k ≠0；（3）⊙T 与△ABC 的位置关系分三种情况：①当⊙T 在△ABC 的左侧时，由d （⊙T ，△ABC ）=1知此时t=﹣4； ②当⊙T 在△ABC 内部时，当点T 与原点重合时，d （⊙T ，△ABC ）=1，知此时t=0；当点T 位于T 3位置时，由d （⊙T ，△ABC ）=1知T 3M=2， ∵AB=BC=8、∠ABC=90°， ∴∠C=∠T 3DM=45°，则T3D=T 3Mcos45°=√22=2√2，∴t=4﹣2√2，故此时0≤t ≤4﹣2√2；③当⊙T 在△ABC 右边时，由d （⊙T ，△ABC ）=1知T 4N=2， ∵∠T 4DC=∠C=45°， ∴T 4D=T 4Ncos45°=√22=2√2，∴t=4+2√2；综上，t=﹣4或0≤t ≤4﹣2√2或t=4+2√2．2017年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度2．（3分）若代数式xx−4有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=0B．x=4C．x≠0D．x≠43．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4B．bd＞0C．|a|＞|d|D．b+c＞0 5．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6B．12C．16D．187．（3分）如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣4a）•a2a−2的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．38．（3分）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多9．（3分）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次10．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共18分，每题3分）11．（3分）写出一个比3大且比4小的无理数：．12．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．13．（3分）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S =．四边形ABNM14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD̂=CD̂．若∠CAB=40°，则∠CAD=．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：．16．（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt △ABC ，∠C=90°，求作Rt △ABC 的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；（2）作直线PQ ，交AB 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（5分）计算：4cos30°+（1﹣√2）0﹣√12+|﹣2|． 18．（5分）解不等式组：{2(x +1)＞5x −7x+103＞2x ．19．（5分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：AD=BC ．20．（5分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD =S △ADC ﹣（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF =S △ABC ﹣（ + ）．易知，S △ADC =S △ABC ， = ， = ．可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF ．21．（5分）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +3）x +2k +2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围．22．（5分）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分∠BAD ，BC=1，求AC 的长．。

9年北京市数学中考试卷

y 4x 69.
解得 x 353，
y 1343.
答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1 343 万人次．
四、解答题
19．解法一：
如图 1，过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ． ∵ AD ∥ BC， B 90°， ∴ A 90°．可得四边形 ABGD 为矩形．
AD
E
BGF
C
图1
∴ BG AD 1，AB DG ．
∵ BC 4 ，
∴ GC 3．
∵ DGC 90°， C 45°，
∴ CDG 45°．
∴ DG GC 3．
∴ AB 3 ．
又∵ E 为 AB 中点，
∴ BE
1 AB
3．
2
2
∵ EF ∥ DC ，
∴ EFB 45°．
在 △ BEF 中， B 90°． ∴ EF BE 3 2 ．
请在图 4 中探究平行四边形 MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果） .
五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8
分，第 25 题 7 分）
23.
已知关于 x 的一元二次方程
2
2x
4x
k
1
0 有实数
根， k 为正整数 .
（1）求 k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二
设 AG x ，则 BF x ， CF 4 x，GD x 1．
∴ x 1 4 x．解得 x 3 ．
2
Q C 45°，
∴ 1 45°．
在 △ BEF 中， B 90°，
∴ EF
BF
3 2．
cos 45° 2
20．（1）证明：连结 OM ，则 OM OB ．

年北京中考数学试卷及答案

--2０1７年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校:姓名：准考证号：考１.本试卷共 8 页,共三道大题，29 道小题，满分１20 分。

考试时间 120 分钟。

生 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。

须 4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。

知 5．考试结束,请将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分）第 1-1０题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个.1.如图所示，点Ｐ到直线 l 的距离是Ａ.线段 PA 的长度B. A 线段 PB 的长度C.线段ＰC 的长度D．线段ＰD 的长度２.若代数式 x 有意义,则实数 x 的取值范围是 x4A. x =0B. x ＝4C. x 0D.x43．右图是某几何体的展开图，该几何体是A.三棱柱Ｂ.圆锥C.四棱柱D.圆柱4．实数 a，b,c,d 在数轴上的点的位置如图所示，则正确的结论是A. a 4B. ab 0Ｃ． a d5.下列图形中，是轴对称图形不是中．心．对称图形的是D. a c 06．若正多边形的一个内角是 15０°,则该正方形的边数是Ａ.6Ｂ． 12C. 16D.18----7．如果a22a10，那么代数式 a4 a a2 a2的值是A．－3B． -1C. 18．下面统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.D．3根据统计图提供的信息,下列推断不．合．理．的是Ａ.与 2０1５年相比,2０16 年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B．201６—201６年,我国与东南亚地区的贸易额逐年增长 C. 2０1６—2０１6 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过 4 200 亿美元Ｄ．2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的 3 倍还多９.小苏和小林在右图的跑道上进行 4×5０米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离 y(单位：m）与跑步时间 t(单位:ｓ）的对应关系如下图所示。

2024年北京市中考数学试题+答案详解

2024年北京市中考数学试题+答案详解（试题部分）考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A. 29︒B. 32︒C. 45︒D. 58︒3. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 1b >−B. 2b >C. 0a b +>D. 0ab > 4. 若关于x 的一元二次方程240x x c −+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A. 16−B. 4−C. 4D. 165. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（） A. 34 B. 12 C. 13 D. 146. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A. 16810⨯B. 17210⨯C. 17510⨯D. 18210⨯7. 下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A. 三边分别相等的两个三角形全等B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

北京第九十七中学高一数学文期末试卷含解析

北京第九十七中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数 ()的大致图象是（）参考答案：C略2. 在等差数列中，，且，则在<0中，n的最大值为（）A. 17B. 18C. 19D. 20参考答案：C3. 已知△ABC中AB=6，AC=BC=4，P是∠ACB的平分线AB边的交点，M为PC上一点，且满足=+λ（+）（λ＞0），则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】作出图形，由等腰三角形三线合一可知CP⊥AB，P是AB中点，而表示在上的射影．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，CP是∠ACB的角平分线，∴CP⊥AB，AP=BP==3．∵M在PC上，∴在上的射影为BP=3．即=3．故选C．【点评】本题考查了平面向量在几何应用，属于基础题．4. 已知，则的表达式为（）A．B．C．D．参考答案：A5. 一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个A.三棱锥B.底面不规则的四棱锥C.三棱柱D.底面为正方形的四棱锥参考答案：C略6. 以方程的两根为三角形两边之长; 第三边长为2,则实数p的取值范围是( ) A．B．或C. D．参考答案：A7. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．参考答案：B8. （5分）在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：B考点：向量的几何表示；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得．解答：由题意可得，=++=﹣++=﹣，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．4 cm3 B．5 cm3 C．6 cm3 D．7 cm3参考答案：A 10. 集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，5}，则A∩?U B=（）A．{1} B．{1，3} C．{1，3，6} D．{2，4，5}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：?U B={1，3，6}，则A∩?U B={1，3}，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，矩形中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内随机取一个点Q，则点Q取自内部的概率等于．参考答案：试题分析：由题意得，根据几何概型及其概率的计算方法，可以得出所求事件的概率为．考点：几何概型．12. 如图是一正方体的表面展开图.B、N、Q都是所在棱的中点.则在原正方体中：①MN与CD异面；②MN∥平面PQC；③平面MPQ⊥平面CQN；④EQ与平面AQB形成的线面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值为.其中真命题的序号是______.参考答案：①②④【分析】将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的定义和二面角的定义进行判断.【详解】根据条件将正方体进行还原如下图所示：对于命题①，由图形可知，直线与异面，命题①正确；对于命题②，、分别为所在棱的中点，易证四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，命题②正确；对于命题③，在正方体中，平面，由于四边形为平行四边形，，平面.、平面，，.则二面角所成的角为，显然不是直角，则平面与平面不垂直，命题③错误；对于命题④，设正方体的棱长为2，易知平面，则与平面所成的角为，由勾股定理可得，，在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为，命题④正确；对于命题⑤，在正方体中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角为，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命题⑤错误.故答案为：①②④.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面关系的判断以及线面角、二面角的计算，判断时要从空间中有关线线、线面、面面关系的平行或垂直的判定或性质定理出发进行推导，在计算空间角时，则应利用空间角的定义来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.13. 已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于______参考答案：略14. 下列说法中：①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2 (其中x∈[2a－1,a+4])是偶函数，则实数b=2；②f(x)表示－2x+2与－2x2+4x+2中的较小者，则函数f(x)的最大值为1；③若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞])，则a=－6；④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x、y∈R都满足f(x·y)=x·f(y)+y·f(x)，则f(x)是奇函数.其中正确说法的序号是 (注：把你认为是正确的序号都填上)。

北京初三初中数学中考真卷带答案解析

北京初三初中数学中考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×1052.如果a+b=2，那么代数的值是（）A．2B．﹣2C．D．3.在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（）A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份4.如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．B．C．D．5.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：㎡），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：①年用水量不超过180㎡的该市居民家庭按第一档水价交费②年用水量超过240㎡的该市居民家庭按第三档水价交费③该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题1.如果分式有意义，那么x的取值范围是．2.下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：．3.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为．4.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.3m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为 m．5.百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为．6.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．请回答：该作图的依据是．三、计算题计算：．四、解答题1.解不等式组：．2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．4.调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况．小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4．小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：）表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：）表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：）根据以上材料回答问题：小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处．5.阅读下列材料：北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%．文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高．2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．（以上数据来源于北京市统计局）根据以上材料解答下列问题：（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元，你的预估理由．6.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．8.在等边△ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．9.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．北京初三初中数学中考真卷答案及解析一、选择题1.神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×105【答案】C．【解析】28000=1.1×104．故选C．【考点】科学记数法—表示较大的数．2.如果a+b=2，那么代数的值是（）A．2B．﹣2C．D．【答案】A．【解析】∵a+b=2，∴原式===a+b=2．故选A．【考点】分式的化简求值．3.在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（）A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份【答案】B．【解析】各月每斤利润：3月：7.5-4.5＝3元，4月：6-2.5＝3.5元，5月：4.5-2＝2.5元，6月：3-1.5＝1.5元，所以，4月利润最大，故选B．【考点】统计图，考查分析数据的能力．4.如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B符（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1合．【考点】平面直角坐标系．5.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：㎡），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：①年用水量不超过180㎡的该市居民家庭按第一档水价交费②年用水量超过240㎡的该市居民家庭按第三档水价交费③该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B．【解析】年用水量不超过180㎡的居民家庭有：0.25＋0.75＋1.5＋1＋0.5＝4（万），＝80%，所以，①正确；年用水量超过240㎡的居民家庭有：0.15＋0.15＋0.05＝0.35（万），＝7%，故②不正确；30-120的有2.5万人，120－330的有2.5万人，中位数应该是120，故③不正确；由于中位数为120，用水量小于150的有3.5万人，所以该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，④正确．故选B．【考点】统计图，会用统计图中的数据分析问题．二、填空题1.如果分式有意义，那么x的取值范围是．【答案】x≠1．【解析】由题意，得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【考点】分式有意义的条件．2.下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：．【答案】m（a+b+c）=ma+mb+mc（答案不唯一）．【解析】最大矩形的长为（a+b+c），宽为m，所以，它的面积为m（a+b+c）；又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和，三个小矩形的面积分别为：ma，mb，mc，所以，有m（a+b+c）=ma+mb+mc．故答案为：m（a+b+c）=ma+mb+mc．【考点】矩形的面积计算，用图形说明因式分解．3.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为．【答案】0.880．【解析】=（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8=0.880，∴这种幼树移植成活率的概率约为0.880．故答案为：0.880．【考点】利用频率估计概率．4.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.3m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为 m．【答案】3．【解析】如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴，，即，，解得：AB=3．故答案为：3．【考点】中心投影．5.百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为．【答案】505．【解析】1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝5050，共10行，每一行的10个数之和相等，所以，每一行数字之和为：＝505．【考点】考查学生的阅读能力，应用知识解决问题的能力．6.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．请回答：该作图的依据是．【答案】（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在PQ的垂直平分线上）；（2）两点确定一条直线（AB垂直PQ）（其他正确依据也可以）．【解析】由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ．【考点】线段的垂直平分线定理，尺规作图．三、计算题计算：．【答案】．【解析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算即可．试题解析：原式==．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．四、解答题1.解不等式组：．【答案】1＜x＜8．【解析】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集．试题解析：解不等式2x+5＞3（x﹣1），得：x＜8，解不等式，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x＜8．【考点】解一元一次不等式组．2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【答案】证明见解析．【解析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠E=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠E=∠DAE，∴DA=DE．【考点】平行四边形的性质．3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【答案】（1）m＞；（2）m=1，，．【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△==4m+5＞0，解得：m＞．（2）m=1，此时原方程为，即x（x+3）=0，解得：，．【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式．4.调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况．小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4．小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：）表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：）表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：）根据以上材料回答问题：小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处．【答案】小芸．【解析】抽样调查的样本容量不能太少，样本要有随机性．小芸，小天调查的样本容量较少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为（2×3+3×11+4）÷15=2.87，远远偏离了平均人数的 3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为（2×2+3×7+4×4+5×2）÷15=3.4，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反映出该小区家庭5月份用气量情况．试题解析：小芸，小天调查的样本容量较少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为（2×3+3×11+4）÷15=2.87，远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为（2×2+3×7+4×4+5×2）÷15=3.4，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反映出该小区家庭5月份用气量情况．【考点】抽样调查，分析数据，解决问题的能力．5.阅读下列材料：北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%．文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高．2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．（以上数据来源于北京市统计局）根据以上材料解答下列问题：（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元，你的预估理由．【答案】（1）作图见解析；（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据．【解析】（1）找出题中数据，画出折线图即可；（2）只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可，如：近三年平均增长率作为预估依据．试题解析：（1）如下图：（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据（只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可）【考点】考查学生的阅读能力，处理数据的能力．6.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．试题解析：（1）∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE =AE•DM，只要求出DM即可．∵AC∥DE，AE=AO，∴OF=DF，∵AF⊥DO，∴AD=AO，∴AD=AO=OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，∴AO∥CD，又AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=，∴平行四边形ACDE面积=．【考点】切线的性质．7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【答案】（1）（1，-1）；（2）①3；②．【解析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【考点】二次函数的图象及其性质．8.在等边△ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．【答案】（1）40°；（2）①作图见解析；②证明见解析．【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）①根据要求作出图形，如图2；②根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．试题解析：（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ=20°，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60°﹣20°﹣20°=20°，∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°；（2）①如图2；②∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM．【考点】三角形综合题．9.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）①2；②或；（2）1≤m≤5 或者．【解析】（1）①易得S=2；②得到C的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b，将A、C分别代入AC的表达式即可得出结论；（2）若⊙O上存在点N，使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1，即过M点作k=±1的直线，与⊙O相切，求出M的坐标，即可得出结论．试题解析：（1）①S=2×1=2；②C的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b，将A、C分别代入AC的表达式得到：或，解得：或，则直线AC的表达式为或；（2）若⊙O上存在点N，使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1，即过M点作k=±1的直线，与⊙O有交点，即存在N，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O相切，如图与，直线与⊙O切于点N，ON=，∠ONM=90°，∴与y交于（0，-2）．（，3），∴，∴=-5，∴（-5，3）；同理可得（-1，3）；当k=1时，极限位置是直线与（与⊙O相切），可得（1，3），（5，3）．因此m的取值范围为1≤m≤5或者．【考点】一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．。

北京市97中考数学试题

历年北京市中考数学试题(含答案)

中考数学复习专题训练精选试题及答案

【附：答案及详细解释】1997年北京市海淀区中考数学试卷

北京市历年中考数学试题（含答案）

1997年北京市初中毕业统考试题

1997年全国初中毕业_升学考试数学试题选登

北京市九级2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

1997年全国初中毕业_升学考试数学试题选登

1997年中考数学试卷

北京市历年中考数学试题（含答案）

北京中考数学试题(2002-2012试题分类及答案)

1998—2019北京市中考数学试卷含详细解答(历年真题)

1998—2018北京市中考数学试卷含详细解答(历年真题)

9年北京市数学中考试卷

年北京中考数学试卷及答案

最新【北京中考数学试题及答案】优秀名师资料

2024年北京市中考数学试题+答案详解

北京第九十七中学高一数学文期末试卷含解析

北京初三初中数学中考真卷带答案解析