初三数学根与系数关系练习题精选

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根与系数的关系(韦达定理)(专项培优训练)—2023-2024学年九年级数学上册(苏科版)(解析版)

根与系数的关系（韦达定理）（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.43一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023•射阳县校级二模）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，下列结论正确的是（）A．x1＝x2B．﹣2x1＝﹣2x2C．x1+x2＝﹣2 D．x1•x2＝1解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数解，即x1≠x2，所以A选项不符合题意；∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴﹣2x1﹣1＝0，﹣2x2﹣1＝0，∴﹣2x1﹣1＝﹣2x2﹣1，即﹣2x1＝﹣2x2，所以B选项符合题意；∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，所以C选项和D选项不符合题意．故选：B．2．（2分）（2023•苏州模拟）关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2＝0的根的情况是（）A．有一正一负两个不相等的实数根B．有两个正的不相等实数根C．至多有一个正的实数根D．至少有一个正的实数根解：方程整理得：x2﹣3x+2﹣m2＝0，∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∵方程的两个根和为3＞0，∴至少有一个正的实数根，故选：D．3．（2分）（2020秋•盐城期末）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（）A．0 B．2020 C．4040 D．4042解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．故选：D．4．（2分）（2020秋•金坛区月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0 或﹣D．﹣2或0解：∵方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣1，∵x12+x22＝3，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m﹣1）＝3，解得m＝0或m＝﹣，∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣1）＝4m2+5＞0，∴m为任意实数，方程均有实数根，∴m＝0或m＝﹣均符合题意．故选：C．5．（2分）（2020秋•江都区月考）若a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则a2﹣3b的值是（）A．3 B．﹣15 C．﹣3 D．15解：∵a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，∴a2+3a﹣6＝0，即a2＝﹣3a+6，a+b＝﹣3，则a2﹣3b＝﹣3a+6﹣3b＝﹣3（a+b）+6＝﹣3×（﹣3）+6＝9+6＝15，故选：D．6．（2分）（2021•建邺区一模）关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根解：∵a＝3，b＝﹣7，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝49﹣4×3×4＝1＞0，∴关于x的方程3x2﹣7x+4＝0有两个实数根．设关于x的方程3x2﹣7x+4＝0的两根分别是α、β．又∵αβ＝＞0，∴α、β同号．∵α+β＝＞0，∴α＞0，β＞0．∴该方程有两个正根．故选：A．7．（2分）（2021秋•常熟市校级月考）关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（）A．1 B．﹣2 C．2 D．3解：设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a，∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，∴由根与系数的关系得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即方程的另一个根为1，故选：A．8．（2分）（2020秋•锡山区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（）个．①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．A．1 B．2 C．3 D．4 解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确；③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴，x2＝﹣q，∴，因此是倍根方程，故③正确；④方程ax2+bx+c＝0的根为：，，若x1＝2x2，则，即，∴，∴，∴，∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2时，则，则，∴，∴，∴，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正确，∴正确的有：②③④共3个．故选：C．9．（2分）（2018秋•相城区期中）已知m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，则（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）的值是（）A．1 B．2 C．4037 D．4038解：∵m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，∴m+n＝2018，mn＝2019，m2﹣2018m+2019＝0，n2﹣2018n+2019＝0，∴m2﹣2019m+2018＝﹣m﹣1，n2﹣2019n＝﹣n﹣1，∴（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）＝（﹣m﹣1）（﹣n﹣1）＝mn+m+n+1＝2019+2018+1＝4038，故选：D．10．（2分）（2021•武进区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x＝1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x＝1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023•工业园区校级模拟）已知：一元二次方程x2﹣5x+c＝0有一个根为2，则另一根为．解：设方程的另一根为α，则α+2＝5，解得α＝3．故答案为：3．12．（2分）（2023•徐州二模）关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为．解：设这个一元二次方程的另一根为x2，∵关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，∴∴x2＝﹣4故答案为：x＝﹣4．13．（2分）（2023•玄武区二模）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和﹣1，则p+q＝．解：∵关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和﹣1，∴﹣3+（﹣1）＝﹣p，﹣3×（﹣1）＝q，∴p＝4，q＝3，∴p+q＝7，故答案为：7．14．（2分）（2023•海陵区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝．解：∵关于x的一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴，故答案为：﹣5．15．（2分）（2022秋•海陵区校级期末）已知一元二次方程2x2+4x﹣3＝0的两根为a和b，则a2+b2的值为．解：由题意可得，a+b＝﹣＝﹣2，ab＝﹣∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2×（﹣）＝7，故答案为：7．（2011秋•江宁区校级期中）已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为．（2分）16．解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，所以+＝＝＝＝10．故答案为10．17．（2分）（2021秋•东台市期中）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝，q＝．解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3，∴q＝1×（﹣3）＝﹣3，∵小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，∴﹣p＝4﹣2＝2，∴p＝﹣2，故答案为：﹣2、﹣3．18．（2分）（2020x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确；③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正确；④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，若x1＝2x2，则，＝×2，即，﹣×2＝0，∴＝0，∴＝0，∴3＝﹣b∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2时，则，×2＝，即，则，×2﹣＝0，∴＝0，∴﹣b+3＝0，∴b＝3，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正确，故答案为：②③④（2分）（2019春•崇川区校级期末）设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为；19．解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，∴a2+a＝2019，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，故答案为：2018．20．（2分）（2019秋•江阴市期中）若关于x的方程x2+kx﹣12＝0的两根均是整数，则k的值可以是．（只要求写出两个）．解：∵﹣12＝2×（﹣6）＝6×（﹣2）＝﹣3×4＝﹣4×3等等，∴k＝2+（﹣6）＝﹣4，或6+（﹣2）＝4，或k＝±1，故填空答案：4或﹣4．答案不唯一．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2016秋•吴江区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝6，∵x1+2x2＝14，∴x2＝8，x1＝﹣2．将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，解得：k＝±4．答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．22．（6分）（2015秋•灌云县校级月考）已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵a＝，b＝﹣（m﹣2），c＝m2方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2＝﹣4m+4＝0，∴m＝1．原方程化为：x2+x+1＝0 x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，∴x1＝x2＝﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2＝﹣＝4m﹣8，x1x2＝＝4m2x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（4m﹣8）2﹣2×4m2＝8m2﹣64m+64＝224，即：8m2﹣64m﹣160＝0，解得：m1＝10，m2＝﹣2（不合题意，舍去），又∵m1＝10时，Δ＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．23．（8分）（2022秋•张家港市校级月考）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝．x1x2＝．（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，故答案为：，﹣；（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，∴m+n＝，mn＝﹣，∴＝＝＝＝；（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝，st＝﹣，∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），（s﹣t）2＝，∴s﹣t＝，∴＝＝＝＝．24．（8分）（2022秋•通州区校级月考）关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（k+2）2﹣4k•＞0且k≠0，∴k2+4k+4﹣k2＞0，且k≠0，∴k＞﹣1且k≠0，即k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．（2）不存在．理由如下：∵关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0的两根分别为x1、x2，∴x1+x2＝−，x1•x2＝，假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，则x1，x2不为0，且+＝0，∴+＝＝﹣＝0，∴k+2＝0，∴k＝﹣2，而k＝﹣2与方程有两个不相等实数根的条件k＞﹣1且k≠0矛盾，故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在．25．（8分）（2021秋•泰兴市校级月考）关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．（1）求k的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．解：（1）∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4．解得x＝2k﹣4∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4的解为非正数．∴2k﹣4≤0，∴解得k≤2，∵由方程②可知k≠1，∴k≤2且k≠1．（2）∵一元二次方程一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣1，∵方程②的解为负整数，﹣＝﹣1，∴m+1＝﹣1或﹣2，∴m＝﹣2或﹣3．（3）|m|≤2成立，理由是：由（1）知：k≤2且k≠1，∵k是正整数，∴k＝2，（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣＝﹣2m，x1x2＝＝1+n，∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，∴2m2＝n+5，Δ＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣（n+1）≥0②，把①代入②得：4m2﹣4（2m2﹣4）≥0，m2≤4，则|m|≤2，∴|m|≤2成立．26．（8分）（2022秋•洪泽区期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）类比应用：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．（4）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、ab＝，且c＜5，求c的最大值．解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣＝3，x1x2＝＝﹣1，故答案为：3，﹣1；（2）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝3，mn＝﹣1，∴＝﹣11；（3）∵实数s，t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝3，st＝﹣1．∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝32﹣4×（﹣1）＝13，∴t﹣s＝±∴；（4）∵a+b＝c﹣5，ab＝，∴将a、b看作是方程x2﹣（c﹣5）x+＝0的两实数根．∵Δ＝（c﹣5）2﹣4×≥0，而c＜5，∴（5﹣c）3≥64，∴5﹣c≥4，即c≤1，∴c的最大值为1．27．（8分）（2021秋•海陵区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长，∴此方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k﹣8＝0，k＝2，（2）不存在，理由如下：∵该方程的两解是菱形的两对角线长，∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，设菱形的两对角线长a，b．∵菱形的两对角线互相垂直平分，∴由勾股定理得，+＝4，+＝4，b2+a2＝16，∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，（a+b）2﹣2ab＝16，[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，解得k＝，∵Δ＝4k﹣8，∴4k﹣8≥0．∴k≥2，∵k＝＜2，∴不存在满足条件的常数k．28．（8分）（2022秋•惠山区校级月考）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：无论m取何值方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得，m＝2，则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；①当该等腰三角形的腰为1、底边为3时，∵1+1＜3∴构不成三角形；②当该等腰三角形的腰为3、底边为1时，等腰三角形的周长＝3+3+1＝7。

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。

初三数学上册根与系数关系练习题

初三数学上册一元二次方程根与系数的关系练习题1、知方程01242=+-m x x 的根之比是3:2，求m 的值2、知关于x 的一元二次方程012=-+kx x（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）设方程的两个212121,x x x x x x =+且满足，求k 的值<3、关于x 的一元二次的方程212,01)1(2x x k x k kx有两个不相等的实数根=-++-(1)、求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k,使11121=+x x 成立若存在求出k 的值，若不存在说明理由4、关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx有两个相等的实数根。

（1）、求k 的取值范围（2）、是否存在k ，使两根之和等于0若存在求k 的值，若不存在说明理由5、已知关于x 的一元二次方程)0(02)12(2>=-+--m m x m mx（1）、证明：此方程方程有两个不相等的实数根. （2）、的值求）且（是这个方程的两个实数根m m x x x x ,5)3(3,,2121=--~6、关于x 的一元二次的方程的两个根互为相反数，04)183(322=+---a x a a x 求a 的值，方程的两个解7、关于x 的一元二次的方程032222=+++k kx x的两个实数根为21,x x 问是否存在实数k ，使其521=+x x 成立若存在求k 的值，若不存在说明理由8、关于x 的方程04)2(222=++++m x m x 有两个实数根，且这两个根的平方和比两个实数根的积大40，求m 的值}9、关于x 的一元二次的方程0252=+-x ax 有两个同号实数根，试判断这两个同号实根是两个负根，还是两个正根，说明理由10、若21,x x 关于x 的一元二次的方程0)1(4422=+-+m x m x的两个非零实根，问这两个根是否能同号若能同号，请写出相应的m 的取值范围，并指出两根的正负；若不能同号，说明理由<11、关于x 的方程01)12()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根（1）、求k 的值（2）、是否存在k,使方程的两个实根满足22121+=+x x x x ，若存在说明理由，若不存在，请说明理由。

初三数学根与系数的关系练习题

初三数学根与系数的关系练习题请根据下列问题，计算方程的根与系数之间的关系，并作出解答。

问题一：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，求证：1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$解答一：1. 设二次方程的根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据求根公式可得：\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $x_1$ 和 $x_2$ 相加：\[x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]\[x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。

2. 将 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘：\[x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}\]所以，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。

因此，已证明了问题一中的两个关系式。

问题二：已知一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根为 $x_1, x_2, x_3$，求证：1. $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$3. $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}$解答二：1. 设三次方程的根为 $x_1, x_2, x_3$，根据求根公式可得：\[x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$。

人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习

《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．22．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．03．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣24．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．2【分析】根据根与系数的关系得到﹣1+3＝﹣m，然后解关于m的方程即可，【解答】解：根据题意得﹣1+3＝﹣m，所以m＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．2．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．0【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1•x2＝＝0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．3．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣2【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．【解答】解：设x1，x2是方程x2﹣3x﹣k＝0的两根，由题意知x1+x2＝﹣2+x2＝3，解得x2＝5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．4．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根【分析】利用判别式的意义进行判断．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×3＜0．∴方程没有实数解．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的意义．5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0【分析】根据已知两根确定出所求方程即可．【解答】解：以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8＝0，故选：B．【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝﹣2．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，将其代入a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，∴a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab＝2018﹣2﹣2018＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝4．【分析】根据一元二次方程的解的定义得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，再代入（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2），计算即可得出结论．【解答】解：∵α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，∴α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，∴（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝（2﹣1）（2+2）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2是解题的关键．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，把x12+x22+3x1x2变形为（x1+x2）2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（﹣5）＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，然后分别求出b、c的值，再计算bc的值．【解答】解：根据题意得1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，所以b＝1，c＝﹣2，所以bc＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，利用整体代入的方法得到∴22+m ﹣5+10＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，解得m≤6；（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，∵（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，∴22+m﹣5+10＝0，∴m＝﹣9．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）先利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3；（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△≥0，由此可求k的取值范围；（2）由一元二次方程的解的定义得出，x12＝﹣3x1﹣k+3，将它代入x12+2x1+x2+k＝3，得出x1＝x2；那么△＝32﹣4（k﹣3）＝0，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根，∴△＝32﹣4（k﹣3）≥0，解得k≤，∴当k≤时，关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根；（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，∴x12+3x1+k﹣3＝0，即x12＝﹣3x1﹣k+3．∵x12+2x1+x2+k＝3，∴x1＝x2；∴△＝32﹣4（k﹣3）＝0，解得k＝．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的解的定义．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．【分析】代入x＝0可求出a值，由一元二次方程的定义可确定a值，将其代入原方程利用根与系数的关系结合方程的一根，可求出方程的另一根，此题得解．【解答】解：当x＝0时，a2+a＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝0．又∵原方程为一元二次方程，∴a＝﹣1，∴原方程为﹣x2﹣5x＝0，∴方程的另一根为﹣﹣0＝﹣5．故a的值为﹣1，方程的另一根为x＝﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x＝0求出a值是解题的关键．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．【分析】（1）当二次项系数为零时，通过解一元一次方程可得出该方程有解；当二次项系数非零时，由根的判别式△＝（m﹣2）2≥0可得出当m＝0时方程有解．综上，此题得证；（2）根据根与系数的关系可得出α+β＝，αβ＝，结合+＝2即可得出关于m 的方程，解之即可得出m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程为﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴当m＝0时，方程有解；当m≠0时，△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴当m≠0时，方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有解．综上：无论m为何值，方程总有实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴α+β＝，αβ＝．∵+＝＝2，即＝2，解得：m＝2．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）分二次项系数非零及二次项系数为零两种情况找出方程有解；（2）利用根与系数的关系结合+＝2找出关于m的方程．。

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

初三数学练习：《根与系数的关系》

初三数学练习：《根与系数的关系》
【一】填空题：
1、以为两根的一元二次方程是。

2、关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2，x2-y2=2，那么m=_______.
3.关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么
k=______.
4.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______.
5、 a2=1-a，b2=1-b，且ab，那么(a-1)(b-1)= ______.
6、假设、为实数且|+-3|+(2-)2=0，那么以、为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)
【二】解答以下各题：(每题6分，共36分)
1、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值
(1)(x1+1)(x2+1);(2)x12x2+x1x22; (4)(x1-x2)2;
2、关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根.
3、x1 ，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，
求m值.
4、关于x的方程x2+2(m-2)x+m4+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程.
5、斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根，求m的值.
6、关于x的方程 3 x2 10 x + k = 0有实数根，求满足以下条件的k的值：
(1)有两个实数根 (2)有两个正数根 (3)有一个正数根和一个负数根.。

人教版九年级上册数学一元二次方程-根与系数的关系练习题

一元二次方程-根与系数的关系1.方程x2−3x+1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=______；2.方程2x2-5x-4=0的两根为x1、x2，那么x1⋅x2=______；3.方程13-(2−x)2=3x+20-2x2的两根为x1、x2，那么x1⋅x2=______；4.已知方程x2−x−3=0的两根为x1、x2，那么x12x2+x1x22=______；5.设m, n是一元二次方程x2-6x+2=0的两根，则m2+n2=______；6.设m, n是一元二次方程2x2-6x+1=0的两根，则2m2+2n2=______；7.已知关于x的方程x2+5x+1=0的两根为m、n，则m2+4m-n的值为______；8.已知关于x的方程x2-7x+4=0的两根为m、n，则m2-8m-n-13的值为______；9.已知关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有一根是1．则另一根为______；10.如果−1是方程2x2+3nx-8=0的一根，则另一根为______；11.已知关于x的一元二次方程nx2+10nx+3=0（n≠0）有一根是-7．则另一根为______；12.已知x1，x2是关于x的方程x2﹣bx﹣7=0的两根，且满足x1+x2﹣x1x2=4，那么b的值为______；13.已知x1，x2是关于x的方程x2+（4﹣b）x﹣6=0的两根，且满足x1+x2﹣x 1x2=2，那么b的值为______14.若关于x的方程x2+(a−1)x+a2=0的两根互为倒数，则a=______；15.若关于x的方程x2−(2−m−m2)x−3m=0的两根互为相反数，则m的值是______.16.已知一个二次项系数为1的一元二次方程的两根分别为﹣4和﹣1，则这个一元二次方程是______.（写作一般形式）17.已知关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个实数根x1，x2，且满足x 12+x22=16+x1x2，则实数k的值是______；18.已知关于x的方程x2﹣k x + k﹣5=0的两根异号，则k的取值范围是______；19.已知关于x的方程x2−x+2k−3=0的两根异号，则k的取值范围是______；20.已知b、c为关于x的方程x2+bx+c=0的两个根，且c≠0，则b= ______,c= ______；。

初三数学根与系数练习题

初三数学根与系数练习题1. 已知一元二次方程$x^2 - 5x + k = 0$的一个根是$x_1 = 2$，求$k$和另一个根$x_2$。

解析：根据一元二次方程的性质，对于方程$ax^2 + bx + c = 0$，其两个根$x_1$和$x_2$的和为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，乘积为$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。

已知$x_1 = 2$，代入方程可得：$2 + x_2 = 5$$x_2 = 5 - 2$$x_2 = 3$所以，另一个根$x_2$为3。

根据根的性质，根的和为$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，根的乘积为$x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6$。

因此，方程的系数$k$可以通过根的性质求解，即$k = x_1 \cdot x_2 = 6$。

答案为：$k = 6$。

2. 某一元二次方程的一个根是3，且方程的两个根之和为5，求方程的另一个根和方程的系数。

解析：已知根$x_1 = 3$，根的和$x_1 + x_2 = 5$。

根据根的性质可得：$x_1 + x_2 = 3 + x_2 = 5$$x_2 = 5 - 3$$x_2 = 2$所以，另一个根$x_2$为2。

根据根的性质，根的和为$x_1 + x_2 = 3 + 2 = 5$，根的乘积为$x_1\cdot x_2 = 3 \cdot 2 = 6$。

因此，方程的系数可以通过根的性质求解，即$a = 1$，$b = -(x_1 +x_2) = -5$，$c = x_1 \cdot x_2 = 6$。

答案为：方程的另一个根为2，方程的系数为$a = 1$，$b = -5$，$c = 6$。

3. 解一元二次方程$2x^2 + kx + 3 = 0$，已知其两个根之积为4。

解析：已知根的乘积$x_1 \cdot x_2 = 4$，根据根的性质可得：$x_1 \cdot x_2 = 4$而已知方程为$2x^2 + kx + 3 = 0$，根据方程系数和根的关系，可得：$x_1 + x_2 = -\frac{k}{2}$$x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}$将已知的根的乘积代入上述方程，得到：$\frac{3}{2} = 4$显然上式不成立，因为方程的两个根之积为4，而不是$\frac{3}{2}$。

九年级数学一元二次方程的根与系数的关系(基础)(含答案)

一元二次方程的根与系数的关系（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.一元二次方程的两实数根的和与积分别是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，对于一元二次方程，a=3，b=-4，c=-5试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系2.若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根，且，则m等于( )A.-2B.-3C.2D.3答案：B解题思路：由题意，，∵α，β是一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根∴，∴∴m=-3试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系3.若关于一元二次方程有一个解为，则另一个解为( )A.1B.-3C.3D.4答案：C解题思路：∵一元二次方程的两根分别为x1=-1，x2∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系4.已知x1，x2是关于x的方程的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为( )A.4B.-4C.3D.-3答案：A解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两根∴∴∴b=4试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系5.设x1，x2是一元二次方程的两实数根，则的值是( )A.2B.4C.5D.6答案：C解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两实数根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系6.一元二次方程的两个根为x1，x2，则的值是( )A.10B.9C.8D.7答案：D解题思路：由题意，∵一元二次方程的两个根为x1，x2∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系7.关于x的一元二次方程的两实数根分别为x1，x2，且，则m 的值为( )A. B.C. D.0答案：A解题思路：由题意，，∵一元二次方程的两实数根分别为x1，x2∴∵∴，∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系8.关于x的方程的两根互为相反数，则k值是( )A.-1B.±2C.2D.-2答案：D解题思路：∵关于x的方程的两根互为相反数∴∴k=±2当k=2时，原方程为，无解当k=-2时，原方程为，符合题意试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系9.定义运算：a*b=2ab，若a，b是方程（m＞0）的两个根，则(a+1)*a-(b+1)*b 的值为( )A.0B.2C.4mD.-4m答案：A解题思路：∵a，b是方程（m＞0）的两个根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系10.若关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有两个实数根为x1，x2，且|x1-x2|=4，则m的值为( )A. B.-1C.1或-1D.1答案：D解题思路：由题意，，∵一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1，x2∴∵|x1-x2|=4∴x1-x2=4或x2-x1=4∴x1=5，x2=1或x1=1，x2=5即关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为1，5∴∴m=1试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系。

初中数学一元二次方程根与系数的关系专题训练

一元二次方程根与系数的关系专题训练例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之积。

067)1(2=++x x 692)2(2-=-x x的值。

试求的两个实数根，2221221,067是方程x x ，若x1变式练习：x x x +=++21221,2,1211)2())(1(6922x x x x x x x x +--=-的值不解方程，求下列各式的两个根为，已知方程==-=+-a x x x x a x x x 则且的两个实数根为的一元二次方程，已知关于,10,,0532221122，求它的另一个根。

的一个根是：已知方程例3073222=--x x的值。

，求它的另一个根及的一个根是变式练习：已知方程m m x x 30322=--实数根两的一元关于知个的 05m 1)x 2(m - 二次方程x x 是 x , x ：已3例2221=+++的值m ，求 281)- 1)(x -(x )若1(21=（2）已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若恰好21,x x 是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长例4：.已知关于x 的方程有两个不相等的实数根x 1，x 2（1）求k 的取值范围（2）是否存在k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在求出k 的值，如果不存在，请说明理由。

课堂检测：1. 关于x 的一元二次方程()01222=-+-+a x a a x 的两个实数根互为相反数，则a 的值为（） A 2 B 0 C 1 D 2或02. 在解一元二次方程时，甲抄错了常数项，因而得出该方程的两根是8与2;乙抄错了一次项系数，因而得出该方程的两根是-9与-1，那么正确的一元二次方程是（） A 09102=+-x x B 09102=++x x C 016102=+-x x D 0982=--x x3.已知关于x 的方程()0234222=-+--m x m x ，根据下列条件求出m 的值。

初三数学上册根与系数关系练习题

初三数学上册一元二次方程根与系数的关系练习题1、知方程01242=+-m x x 的根之比是3:2，求m 的值2、知关于x 的一元二次方程012=-+kx x（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）设方程的两个212121,x x x x x x =+且满足，求k 的值3、关于x 的一元二次的方程212,01)1(2x x k x k kx 有两个不相等的实数根=-++-(1)、求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k,使11121=+x x 成立？若存在求出k 的值，若不存在说明理由4、关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx有两个相等的实数根（1）、求k 的取值范围（2）、是否存在k ，使两根之和等于0？若存在求k 的值，若不存在说明理由5、已知关于x 的一元二次方程)0(02)12(2>=-+--m m x m mx（1）、证明：此方程方程有两个不相等的实数根.（2）、的值求）且（是这个方程的两个实数根m m x x x x ,5)3(3,,2121=--6、关于x 的一元二次的方程的两个根互为相反数，04)183(322=+---a x a a x 求a 的值，方程的两个解7、关于x 的一元二次的方程032222=+++k kx x的两个实数根为21,x x 问是否存在实数k ，使其521=+x x 成立？若存在求k 的值，若不存在说明理由8、关于x 的方程04)2(222=++++m x m x 有两个实数根，且这两个根的平方和比两个实数根的积大40，求m 的值9、关于x 的一元二次的方程0252=+-x ax有两个同号实数根，试判断这两个同号实根是两个负根，还是两个正根，说明理由10、若21,x x 关于x 的一元二次的方程0)1(4422=+-+m x m x的两个非零实根，问这两个根是否能同号？若能同号，请写出相应的m 的取值范围，并指出两根的正负；若不能同号，说明理由11、关于x 的方程01)12()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根（1）、求k 的值（2）、是否存在k,使方程的两个实根满足22121+=+x x x x ，若存在说明理由，若不存在，请说明理由。

九年级数学一元二次方程根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题(精选100道习题附答案详解)

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题附答案详解）1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．152．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．-1或5B ．1C ．5D ．-13．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( )①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（） A ．12 B ．1 CD5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-37．若方程224()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．48．已知m 、n是方程210++=x 的两根，（） A ．9 B ．3± C ．3 D ．59．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（）A ．0B ．2C ．4mD ．-4m10．关于x 的一元二次方程()22a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．2a 3>B ．2a 3>且1a 2≠C ．2a 3<D ．2a 3<且1a 2≠ 11．若x x的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（）A ．9B ．4C ．D ．12．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A ．2x 2+6x ﹣5=0B ．2x 2﹣3x ﹣5=0C ．2x 2﹣6x+5=0D ．2x 2﹣6x ﹣5=0 13．设α、β是方程 220120x x ++=的两个实数根，则 22ααβ++的值为（） A ．－2014 B ．2014 C ．2013 D ．－2013 14．已知α、β满足5αβ+=，且6αβ=，则以α、β为两根的一元二次方程是（）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2-5x+6=0C ．x 2-5x-6=0D ．x 2+5x-6=0 15．如果a ，b 是两个不相等的实数，且满足220151a a -=，220151b b -=，那么ab 等于（）A ．2015B ．－2015C ．1D ．－116．若a 2+1＝5a ，b 2+1＝5b ，且a ≠b ，则a +b 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．517．已知一元二次方程x 2+6x +c ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣818．若关于x 的方程x 2-bx +6=0的一根是x =2，则另一根是（）A ．x =-3B ．x =-2C ．x =2D ．x =319．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+（2m ﹣1）x +m ﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＞34B ．m ＞34且m ≠2C ．﹣12＜m ＜2D ．54＜m ＜2 20．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（）A ．-2B ．2C ．-3D ．321．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．322．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣523．方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（） A ．任何实数． B ．m≠0 C ．m≠2 D ．m≠﹣2 24．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．25．若12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，则2212x x +的值为（）A ．13-B ．1-C ．5D ．1326．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A ．B ．－C ．4D ．－127．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m ≥B ．12m >C ．102m <<D ．102m ≤< 28．若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（） A ．75 B ．75- C ．57 D ．57- 29．一元二次方程x 2-2x-3=0的根为（）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=-1，x 2=3C ．x 1=-1，x 2=-3D ．x 1=1，x 2=-330．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1 31．已知a 2﹣6a ﹣5＝0和b 2﹣6b ﹣5＝0中，a ≠b ，则11a b+的值是__． 32．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ． 33．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则（x 1+1）（x 2+1）的值是_____．34．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．35．关于x 一元二次方程240x mx +-=的一个根为1x =-，则另一个根为x =__________．36．若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________． 37．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .38．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 39．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 40．如图，直线y ＝34-x +6与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象交于点M 、N ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥x 轴于点F ，过点E 、F 分别作EG ∥AB ，FH ∥AB ，分别交y 轴于点G 、H ，ME 交HF 于点K ，若四边形MKFN 和四边形HGEK 的面积和为12，则k 的值为_____．41．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____． 42．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．43．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为______．44．若方程2x 2-x =1的两个实数根为12,x x ，则2212x x +=_______________45．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为_____． 46．若一元二次方程x （x ﹣2）＝6的两个实数根分别为m ，n ，则m 2n+mn 2的值为_____. 47．方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的两个根的乘积为___________．48．若菱形的两条对角线长分别是方程210240x x -+=的两实根，则菱形的面积为_____．49．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则2212x x +的值等于___________________50．已知关于x 的方程x 2+(m +1)x +m 2=0的两根互为倒数，则m =__________．51．一元二次方程x 2－4x －3＝0的两个根之和为________.52．已知一元二次方程x 2﹣6x +9＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_______．53．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．54．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.55．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且2212x x -＝10，则a ＝__________56．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．57．若关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为_____.58．方程 22()60x m x m ++=-有两个相等的实数根，且满足1212x x x x +=，则 m 的值是_________．59．已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________．60．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．61．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=______． 62．已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____．63．若方程x 2﹣4x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 1•x 2﹣x 1﹣x 2=_____．64．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 65．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________. 66．若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是_____． 67．若方程22310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211+x x 的值为_______________ 68．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0两根互为相反数，则m ＝_____． 69．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______. 70．若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．71．已知关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ．（1）求m 的取值范围；（2）当21120x x x +=时，求m 的值． 72．关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 10+-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求实数m 的取值范围；()2是否存在实数m ，使得12x x 0=成立？如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．73．已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且1222x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根． 74．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值． 75．已知关于x 的一元二次方程()22110x m x m +++-=，若方程的一个根为2，求m 的值和方程的另一个根.76．已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.77．用一根长22cm 的铁丝，（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由；（2）能否围成面积是32cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由；（3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少 cm 2？78．已知1x 、2x 是方程22510x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）221212x x x x +；（2）2212x x +． 79．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k +1＝0．（1）若方程没有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程有两实数根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2＝0，求k 的值．80．阅读理解，并回答问题：若 12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有()()212++=--ax bx c a x x x x ．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =，由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=，这就是我们众所周知的韦达定理． (1)已知 m ， n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；(2)若123,,x x x 是关于 x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<． ① 122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．81．已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.82．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0，（1）两根相等；（2）有一根为0．83．关于x 的一元二次方程()21210m x mx m --++= （1）求证：方程总有两个不相等的实数根。

九年级数学：一元二次方程根与系数的关系练习题(有答案)

、单项选择题: 一元二次方程根与系数的关系习题1.关于x 的方程ax 2 2x 1 0中,如果a 0,那么根的情况是( B ) (A) (C) 有两个相等的实数根没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)不能确定解: (2)2 4a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根.2.设 (A) 解: X i 4 4a 4 4a 0 X 1,X 2是方程2x 215 (B) 12 方程两根为 X 23, x 1x 2 6x (C) 6 X i, X 2 3 0的两根,那么 (D) 3 2 X 1 3.以下方程中,有两个相等的实数根的是((A)2y 2+5=6y (B) x 2+5=2 5 x (C) 3 x 2 (此题为找出 0〞的方程即可)2 X 1 2 X 22 X 2的值是( (X i 32B ) —2 x+2=0 4.以方程X 2+2X —3=0的两个根的和与积为两根的 (A) y 2+5y —6=0 (B) y 2+5y + 6=0 解：设方程两根为X1, X2,那么: x 1 x 2 2, x 1x 23为根的一元二次方程为 5.如果X 1, X 2是两个不相等实数,且满足 (A) 2(B) -2 X 2)2 21 2x 1x 2 (D) 3x 2—2^x+1=0 二次方程是 (C) y 2-5y + 6=0 (D) 2 - y [( 2)( 3)]y ( 即：y (C) 5y解：X ：22x 1 1, x 2 2X 2 x n X 2可看作是方程x2x 二、填空题: 1、如果二次方程 4x k 2 解：方程X 2 4x k 2有两个相等的实数根2X 1 2x 12X2(D)的两根X 1X22)( 3) 02x 2 1,那么X i ? X 2等于0有两个相等的实数根,那么 k= 2.16 4k 22、如果关于x的方程2x2(4 k 1)x 2k20有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是k 9.解：方程2x2 (4 k 1)x 2k2 1 0 8k有两个不相等的实数根[(4k 1)]2 8(2k21)3、x1,x2是方程2x27x 4 0的两根,那么x17 2 x2 = 一 , x〔x? = 2 , (x1 x2)= 2(x1 x2)2 4x1 x2274、假设关于x的方程(m2 2)x2 (m 2)x 1 0的两个根互为倒数,那么m = d3.解：设方程两根为x1, x2,那么: ,32[(m 2)]2 24(m2 2) 0 方程两根互为倒数 2[(m 2)]2 24(m2 2) 014x2 - ------- 1m 2m = 4时,方程mx 4 0有两个相等的实数根;解: 方程x2mx 4 0有两个相等的实数根解:m216m 4且m 0时,方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根; 方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根16 4m 0 且m 04且m 0时,原方程有两个不相等的实数根.6、关于x的方程10x2 (m 3)x m 7 0,假设有一个根为0,那么m=7,这时方程的另一个根是1；假设…,3 … 八、,、………8 ■两根之和为一工,那么m = 9,这时方程的两个本!!为X 1x 2 1.5—— 5解乂1)设方程 10x 2 (m 3)x m 7 0m 7 y---------- ②10由②,得:(5x 8)( x 1) 0m 7, x 1 1时,方程一根为0 x8或x 157、如果x 2 2(m 1)x m 2 5是一个完全平方式,那么方程x 2 2( m 1)x m 2 5 0W 两个相等实根m 2[2(m 1)]2 4(m 2 5) 08、方程2x(mx 4) x 2 6没有实数根,那么最小的整数 m = 2；解：将方程 2x( mx 4) x 2 648 m 88 0化简,得：(2m 1)x 2 8x 6 0原方程没有实数根64 24 (2m 1) 0另一根为 X i,那么:10m 7100 X i m 3 —— a 10 、一一 3原方程两根之和为 -5将m 7代入①,得:原方程可化为：5x 2 3x 8 09、方程2(x 1)(x 3m) x(m 4)两根的和与两根的积相等,那么m =2;(2)设原方程两根为a 、b,那么:0?X i10 5m =2 ；解：令 x 2 2( m 1)x m 2 5 0 4(m 2 2m 1) 4m 2 20 0x 2 2(m 1)x m 2 5是完全平方式8m 16 0x 1 1 11 m -6最小整数m 为2解：将方程 2(x 1)(x 3m) x(m 4)化简,得：2x 2 (7m 2)x 6m 0 设方程两根为x1,x 2,那么：7m 2x 1 x 2 ---, x 1x 2 3m方程两根的和与两根的积相等m 2当 m 2时,[(7m 2)]2 48m 0将m 8代入①,得：n 2将m 8, n2代入③,得: k 8 ( 2)16k 16解：原方程有实数根3 m -4 3 .当m -时,原万程有两个实数根.4解：方程两根为2、；3和2 73,(2 .3)- (2 、3) p , (2 .,3)(2 .3) q解之,得:10、设关于x 的方程x 2 6x k0的两根是m 和n ,且3m 2n20,那么k 值为16;①X 2-③,得:当 k16时, 36 4k 011、假设方程 x 2 (2m 1)x m 2 1 0有实数根,那么 m 的取值范围是 m12、一元二次方程 x 2px q 0两个根分别是273 和 2 13,那么 p= 4 ,q= 1;7m 2 23m解：m 、n 是方程的两根r m n 6①* mn k ②I 3m 2n 20 ③4m 3[(2m 1)]2 4(m 2 1) 01,24m 4m 14m4 0p 4'' q 1 p4, q 113、方程3x219x m 0的一个根是1,那么它的另一个根是16X — , m=16;3解：设方程的另一根为X i,那么:m 16mX1 3当a 16时, 19212a 0由①,得：X116方程另一根为16m 1&方16 , _ 口将X 一代入②,得:314、假设方程x2mx 1 0的两个实数根互为相反数,那么m的值是0;解：设方程两根为X1,X2,那么:x1 x2m 0时,m2 4 0 方程两根互为相反数0时,原方程两根互为相反数.X1x2m 015、m、n是关于x的方程x2(2m 1)X m2 1 0的两个实数根,那么代数式m n =1o解: m、n是方程的两根将①代入②,得:m n 2m 1 m(m 1)2mn m化简,得: 1代入①,得:2mn m (1)216、方程X23x 1 0 的两个根为a ,3,那么a +3=3, "3=1;17、如果关于x的方程x24x m 0与x2x 2m 0有一个根相同,那么m的值为0或3 ;解：方程有一个相同的根将x m代入x24x m 0,得:2 , 2 cx 4x m x x 2m 2m 4m m 0(4 1)x 2m m m(m 3) 0这个相同的根为:18、方程2x23x 0的两根之差为22 ,那么k= 2;解：设方程两根为x1, x2, 那么:2k254x i x2 21 22时,9 8k 0(x i x2)2254关于x的方程2x23x k 0两根19、解:20、解: x1 x2)24x1 x2254、,,1 ,差为2—时,k 22假设方程x2(a22)x 3 0的两根是1和一3,那么a= 2; 方程两根1和(3) (a2 2)D、假设关于x的方程设方程两根为义, x2, x2 2(m 1), x1x2方程两根互为倒数2x1 x2 4m 12(m那么:4m21)x 4m20有两个实数根,且这两个根互为倒数,②、关于x的一元二次方程(a2 1)x2F 1那么m的值为一；2[2(m 1)]2[2(m 1)]216m216m2(a 1)x 1 0两根互为倒数,那么a=J2.a 1 x 1 x 22——,x 1 x 2a 1方程两根互为倒数1 a2 1当 a.2时, (a 1)2 4(a 2 1) 0 当 a..2时,(a 1)24(a 2 1) 0a .. 2a 2 1 1解：设方程的另一根为 x v 那么:a . 2 1当 a 2 1时,2 4a 0方程另一根为x 1, a .2 1将x 1 1代入②,得:36 4k 4k 8k 8寸,36 4k 0 (2)关于x 的方程x 6x k 0的两根23、方程2x 2 mx 40两根的绝对值相等,那么 m=0ox 〔 x 2差为2时,k 8.解：设方程两根为x1, x 2,那么:a 、,221、如果关于x 的一元二次方程x 2 J2x a 0的一个根是1— &,那么另一个根是 x 1,a 的值为J2 1.解：设方程两根为x1, x 2,那么: 当 x 〔 x 2时,x 〔 x 2 0x 1 x 2x 1x 2 x 1 x 21 a2 1( 1 V2 x 1 <2①1(1 &)x 〔 a ②由①,得：x 1 22、如果关于x 的方程x 2 6x k0的两根差为2,那么k=8.解：设方程两根为x1, x 2,那么:x 1 x 2 6, x 1x 2 k x 1 x 2 2(x 〔 x 2)242(x 1 x 2) 4x 1 x 24x1 X2M£X1x2当x i x2 时,m2 32 0 m232 0当m 0时, m232 0 2x2mx 4 0两根绝对值相等时,m 0.x i x2qx r 0( p 0)的两根为0和一1,贝U q ： p=1:1.解: 设方程两根为x2, 那么:方程两根为0和x i X29p(1)25、方程3x2x 1 0 ,要使方程两根的平方和为13—,9那么常数项应改为2.解: 设方程两根为xi, x2, (¥2m3139并设方程的常数项为i 6m 13x i x2 1 3,x/22x i 2 x2 1392时,i 12m 0x2)22X1X2139常数项应改为2.26、方程x24x 2m 0的一个根a比另一个根3小4,那么a = 4 ;=0 ；m=0 .解：据题意,得：「 4 ①< 2m ②1 4③①+③,得：4将4代入①,得：0将4, 0代入②,得：m 0当m 0时, 16 8m 04, 0, m 02 1 13 1 27、关于x的万程x 3mx 2(m 1) 0的两根为x1,x2,且———一,那么m= 一.24、一元二次方程px2解：设方程2x 2 3x两根为x1,x 2,那么:9-0 m -时,方程有两个正根8m 0当m 0时,方程有一根为0.(2)、方程有一个正根,一个负根三、解答以下各题：1、3-也是方程x 2 mx 7 0的一个根,求另一个根及 m 的值. 解：设方程的另一根为刈,那么:(3 j2)x1 7②答：方程另一根为3 <2 ,由②,得：x 13 22m 6.解：方程两根为x 1, x 2,那么:X i X 2 3 x 1 x 2 4 3m 3 x 1 x 2 3m, x 1x 2 2(m 1) 一2(m 1)41 1 3 一— — 12m 6( m 1)x 1 x 2 4 m 1时, (3m)2 8(m 1) 0328、关于x 的方程2x 2 3x m _ _ 9 .................................. 0,当0 m 一时,万程有两个正数根；当8m 0时,方程有一个正根,个负根；当m 0时,方程有一个根为 0.x 1 x 2 (1)、方程有两个正数根方程有一个正根,一个负根9 8m 0x 1, x 2 m 0又方程有两个正数根 9 8m 09 m8m 0当m 0时,方程有一正一负两个根(3)、方程有一根为0x 1, x 23 2将x1 3 代入①,得：2、m取什么值时,方程2x2 (4m 1)x 2m2 1 0(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根；解：(4 m 1)2 8(2m2 1)16m28m 1 16m288m 9(1)有两个不相等的实数根8m 9 09 m -8, 9-当m -时,原方程有两个8不相等的实数根.(2)有两个相等的实数根3、求证：方程(m2 1)x2 2mx (m2 4)证实：(2m)2 4(m2 1)(m2 4)4m2 4(m4 5m2 4)4m416m2164(m4 4m2 4)2 24(m2 2)24、求证：不管k为何实数,关于x的式子(x解：令(x 1)(x 2) k2 0即:8m 9 09 m8, 9-当m -时,原方程有两个8相等的实数根.(3)没有实数根8m 9 09 m8当m 9时,原方程无实根.80没有实数根.m22 04(m2 2)2 0即：0方程(m2 1)x2 2mx (m2 4) 0没有实数根.21)(x 2) k都可以分解成两个一次因式的积.x2 33x 2 k209 4(2 k2)4k214k2024k 1 0方程(x 1)(x 2) k2 0有两个不相等的实数根不管k为何实数,关于x的式子 2 .... (x 1)(x 2) k都可以分解成两个一次因式的积.解：令2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 8k 9 0a是实数,且方程x22ax 10有两个不相等的实根,试判别方程x2 2ax 1 1(a2x2 a2 1)2解：x2 2ax 1 1(a2x2 a2 2 0有无实根？1) 0 4a24 00 a214a44,20 a2204a4 20a2 24 0即：04a420a224 2 12 2 2万程x 2ax 1 -(ax a 1) 07、关于x的方程mx2nx 2 0两根相等,方程x24mx 3n 0的一个根是另一个根的3倍.求证: 方程x2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.2 2 2 2 」2x 4ax 2 a x a 1 (2 a2)x2 4ax a23 016a2 4(2 a2)(a2 3)16a2 4(2 a2)(a2 3)5、当k取什么实数时,二次三项式2x2 2 ,(4k 1)x 2k 1可因式分解当2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 有两个实根时,原二次项式可因式分解2 2(4k 1)2 8( 2k2 1) 0 2x29 , 一,-时,二次三项式8(4 k 1)x 2k2 1可因式分解.方程x22ax 1 0有两个不等实根有两个不相等的实数根.m 2 n 4将m 2, n 4代入方程x 5 (k n)x (k m) 0得： x 2 (k 4)x (k 2) 0#： (k 4)2 4(k 2)k 2 8k 16 4k 8 k 2 4k 242(k 2)2202(k 2)2 0 (k 2)2 20 0方程 x 2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.25mx 3n 0的两根之比为 2 : 3,方程x 2nx 8m 0的两根相等(mnw0).求证：对的两根比为2:3设此方程两根为2a 和3a,那么:i52a 3a mI23 2a?3a -n2n m 2①mx 2 (n k 1)x k 1 0#： 2x 2 (4 k 1)x k 1 02(3 k)28( k 1) _ _2 一一9 6k k 8k 8 k 2 2k 152证实：方程2x 5mx 3n 0 将m 2, n 4代入方程证实：方程mx nx 2 0 两根相等m 0 2n 8m 0①方程 x 2 4mx 3n 0 一根是另一根的设方程一根为x 1 3x 1 x 1 ?3x 12n m将②代入①,得：4m 8m 0m(m 3 8) 0m 0 或 m 2 m 03倍x 1,另一根为3x 1,那么: 4m 3n2)8、方程2x 2方程x22nx 8m 0两根相等 2(k 1)2 4n232m 0 (k 1)2 08m8m 对于任意实数k,方程m(m3 8) 2mX (n k 1)x k 1 0m mn 0或m24恒有实数根.9、设X i, X2是方程2x24X0的两根,利用根与系数关系求以下各式的值:⑴、(X i 1)(X21) 1 ⑵、一X1X2X2X1(31 —X1 X2,八 2 .(4)、x1 x1x2 2x1解: X1, X2是一元二次方程x2(3) >— X1X1X22X24X 3 0的两根2X1 2 X2 X1X2X 1 X2 2, X1X2(x1 x2)2 2x1x2X1X2⑴、〔X11)(X2 1)2 3(2)2 2 ( 2)3X1 X2x1 x214 3~~3227 (3)21 143(4)、X1 X1X2 2X11 1⑵、X1 x2X1(X1 X2 2)2 2⑴ X i X2 (2) X i X2 解：X1, X2是一元二次方程4X27X 3 0的两根7 3X i X2 — X X i X24 42 2⑴ X i X22(x i x2) 2x i x2(7)2 2 34 425i6(2)X i X2..(X i X2)2(X i X2)2 4X i X2 (3)1r x i 匹(4) X i X2(3) ,X i X2X i X27.3.3i 一2(4 ) X i X2(xix2 )(X i X2)2 4X i X20的两个根,利用根与系数的关系,求以下各式的值: 第i4页共26页2~~3243x1?010、设方程4x27x 3 0的两根为X1, X2,不解方程,求以下各式的值ii、x1,x2是方程2x23x i解:Xi, X 2是一元二次方程 2 ( 9) 9 1612、解: 19 2x 23x 1 0的两根16X i X 2⑴(2 X i4x i x 24x i x 2实数s 、 19s 231 一,X iX 2一2 23)(2X 2 3) 6X 1 6(X 1 6X 2 9X 2)3 (2) Xi X 2X i X 2(Xi3X 1X 2X i X 2[(X iI)2X 22) X 2)2 2X 1X 2](1) 13t 分别满足方程 99s 1 0 99t t 2 0 1s 、1可看作是方程 t 19x 2 99x 1 0的两根 19s 2 99s1 0和且19st 4s t 4s s 一 t(SI)99 19 99t t 2cst 4s 10求代数式——t —— 的值.4?s4 19 99 19, s?1t 1995 1913、设: 3a 2 6a 11 3b 2 6b 11 0 且aw b,求a 4b 4的值.解: _ 2_3a 6a 11 0 3b 2 6b 11 0 2 2X 2(a b )2a 2b 2a、b 可看作是方程2_2_22[(a b) 2ab] 2a b3x 26x 11 0的两根[22 2 ( ?)]2 2 ( 4) 3 311 a b 2, ab31156 242 914 "Q - "-9"14、 a 2 1 a, b 2 1b ,且 awb,求(a — 1)(b —1)的值.2原方程可化为：x 2x 1 01 ( 1) 1 1, o1115、 m 2 m 4 0,-- n n解：m 2m 4 0x 2 x 4 0的两根1 1m, m —1, m ?一 —4nn n1 一代数式m —的值为 1.n3st 2s 3(2)———s-^. tst 1⑴、—p s1C 「3(s -) 2?s?- t t解：a 2 1 aa b 1, ab 1 b 2 1 b (a 1)(b 1) a 、b 可看作是方程 ab a b 1 x 2 1 x 的两根ab (a b) 116、 2s 2 4s 74t 2 0 , s, t 为实数,且stw1.求以下各式的值:27t 2 4t 2 03st 2s 3 ⑵ c 2s3s —— t2x 2 4x 7 0的两根3 ( 2) 2 ( |)0 , m, n 为实数,且m 1 ,求代数式m n的值m 、1可看作是方程 nst 1 ⑴一p;解：2s 2 4s 71 1 7s 2, s? 6 ( 7) 1t t 217、关于x的方程x2—(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;解：设方程两根为x「x2,那么k 3x1 x2k 1, x1x2k 22乂22(x1 x2) 2x1 x2 6 (k 1)2 2(k 2) 62(k 1)2 4(k 2)当k 3寸, 0,不符合题意,应舍去当k 3时, 0,符合题意k的值为3.k2918、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1) 一个根比另一个根大2; (2) 一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17解：设方程两根为％、x2,那么9 / 3、27一(一)一4 4 16x〔x2 3, x〔x2 m , 27当m 27时,160,符合题意9 4m⑴、当x〔x2 2时,1 5x1 2,x2 21,55m —(一)一2 2 4当m 5时, 0,符合题意4 m 一时,方程一根是另一根的笳. 16 (3)、当(X x2)2 17时,2(x1 x2) 4x1 x2 179 4m 17m 25时,方程一根比另一根4 2时, 0大2. 2时,方程两根差的平方是17.⑵、当x1 3x2时,9 3X i-, X 2 —4419、a,b,c 是三角形的三边长,且方程 (a 2+b?+c2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形证实：方程有两个相等实根[2(a b c)]2 12(a 2 b 2 c 2) 02222(a b c)23(a 2 b 2c 2)0 -2-2-2---2a2b2c2ab2ac 2bc22_22_22_(a 2b 22ab) (a 2c 22ac) (b 2c 22bc) 0 22 2(a b)2(a c)2 (b c)2ab0, ac0, b c 0求这个直角三角形的面积. 解：设方程两根为x 、x 2,那么x 〔 x 2 2a 1, x 〔x 2 4(a 1) x 1、x 2是斜边长为5的直角三角形的两直角边2 2x 1 x 225(x 1 x 2)2 2x 1x 2 25 (2a 1)2 8(a 1) 25a 2 3a 4 0x 1、x 2是三角形的两边 x 1 x 2 2a 1 0 且 x 1x 2 4(a 1) 0a ]且a 12a 1只能取a 41 1 S^1x 2 2 4(4 1)(a 4)(a 1) 0解：设方程两根为x 1、x 2,那么4m 2 1 0 或 m 2 2m 3 021、关于x 的一元二次方程3x 2(4 m 2 1)x m(m 2) 0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m 的值.这个三角形是正三角形20、关于x 的方程x 2(2a 1)x 4(a 1) 0的两个根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的长,X1 X24 m23 一,X〔X21m1 m2p m33, m4 1X1 X24m2134m213 m(4m2[(4m21)]2 12m(m 2) X iX iX2X2X1X24m213m(m 2)34m21m(m 2)1)(m 2) 3(4m 1)(4m2 1)(m22m 3) 0, 1-当m1 一时,2当m i0,不符合题意,应舍去0,符合题意当m1当m i 1时,答：m的值为0,符合题意0,不符合题意,应舍去22、是否存在实数k ,使关于X的方程9X2 (4k 7)X 6k2 0的两个实根X1,X2,满足上-,如果存X2 2 在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请说明理由.解：假设存在.据题意 ,得:4k 7X1 X2 9 , X1 X2 2k2 3X1 3X2 2上3或x1 3X2 2 X2 2 少X1 3 3 当一一时,X1 -X2 X2 2 2 当上3时,X1 3X2 X2 2 24k 7 2(4k 7) x1x294k 7 2(4k 7) 2 2------- ? - k3 ------ 9 3(4k 7)2 9k20(4k 7 3k)(4k 7 3k) 0X 1 3(4 k 7) 2(4k 7)453(4k 7)02(4k 7)45 45 [(4k 2 27)]2 4 9?( 6k2)(4k 7)2 225k2当k 1时, 0,符合题意241k256k 49 当k 7时, 0,符合题意5624 241 49 存在k值,当此方程无实根; 方程两根满足X1 X223、关于x的方程2x2(m 1)x 0的两根满足关系式X1 X2 1,求m的值及两个根.解: 设方程两根为X1、x2,那么1或m 11X i X2 m 1——,X1X22m 1""2"2(m 1)]2 8(m 1)X 1 X2 1 1时,4 0, 此时方程两根为: X10, X2 1X 111时,4 0, 此时方程两根为: X12, X2 31?m 3. 4答：m 1时, 方程两根为: X10, X2 1；(m 1)(m 3) 8(m 1) m 11时,方程两根为: X1 2, X2 3. (m 1)(m 3 8) 024、3是关于X的方程4X2 4mxm24m 0的两个实根,并且满足( 1)(1) 2,求m的值.解: 是方程的两根m, m2 4m416m2一, 2、16(m 4m)1) ( 1)2时,0,不符合题意,应舍去2时,0,符合题意4m4m的值为2.m 0,根据以下条件,分别求出m 的值：1⑶有一根为零；(4)有一本为1; (5)两根的平万和为 ——.64(4)、方程有一根为18 (2m 1) m 0 m 7当m 7时, 0m 7时,方程有一根为11(5)、万程两根的平万和为一642 21x 〔 x 26421(x 1 x 2) 2x 1x 2 一64即 3 1)6 m A644 64625、一元二次方程 8x 2 (2m 1)x(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；解：设方程两根为x 1、x 2,那么2m 1 m x i x 2, x 〔 x 2882[(2m 1)]232 m(1)、两根互为倒数m 1 8m 8当m 8时,m 8寸,方程两根互为倒数(2)、两根互为相反数Q 0 81 m -2 1当m1时,21m 1时,万程两根互为相反数2(3)、方程有一根为0 m 0当m 0时, 0m 3m 0m(m 3) 0m 0或m 3当m 0 寸, 0当m 3时, 0,不符合题意,应舍去1 m 0时,万程两根的平万和为——6413 , ___ _ ______ _13时,两方程相同的根为：3a 1或 a 3_― 22[2(a 2)]4(a5)16a 36当a 1时,0,符合题意当a 3寸, 0,不符合题意,应舍去答：a 的值为1.28、方程x 2 bx c 0有两个不相等的正实根,两根之差等于解：设方程两根为x 1、x 2,那么x 〔 x 2 b, x#2 cx 2 3m 0时,方程有一根为026、方程x 2 mx 4 0和x 2 (m 2)x 16 0有一个相同的根,求 m 的值及这个相同的根.解：方程有一个相同的根2, 2 /x mx 4 x (m2)x 16(3m 13)(m 4) 0(m m 2)x 20这个相同的根为:10将x 工-代入x 21 mmx0,4时,两方程相同的根为(10 )2 10m1 m 1 m13 , ___ ______13时,两方程相同的根为：33；23m m 52当m 4时,两方程相同的根为：x27、关于x 的二次方程2(a 2)x a 2 5 0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值.解：设方程两根为x 1、x 2,那么2 Lx 〔 x 2 2(a 2), x 1x 2 a 52(x 1 x 2) x 〔x 224(a 2) a 2 52a 24a 3 0 (a 1)(a 3) 03,两根的平方和等于 29,求b 、c 的值.b22c 29②①-②得：c 10将c 10代入①,得: b 7b 3cb 3------ ?—— c2 2b24c 9 ①2 2x1 x229(x1 x2)2 2x1x229方程有两个不相等正实根x1 x2b 0, x1x2c 0b 7答：b 7, c 1029、一元二次方程(2k 3)x2 4kx 2k 5 0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当取何整数时,方程有两个整数根.解：方程有两个实根即:(4k)2 4(2k 3)(2k 5) 04k 1是腰长为7的等腰三角形的底边长4k 1 144k134当k 1时,原方程可化为：x24x 3 0其解为1和3,满足条件当k 2时,原方程可化为：x28x 1 0其解不是整数,不满足条件,应舍去当k 3寸,原方程可化为：3x212x 1 0其解不是整数,不满足条件,应舍去答：当k 1时,原方程两根为整数.15 , 13—k -16 4整数k可能为1、2、330、x1,x2是关于x的方程x2px q 20的两根,x1 1, x2 1是关于x的方程x qx p 0的两根,求常数p、q的值.解：据题意,得:, x〔x2 px〔x2 q将p 1代入⑥,得：q 3答：p 1 , q 320的两个实数根；y b y 2是关于y 的万程y 5my 7 0的两个实数根,且x 1 y 1 2, x 2 解：据题意,得：2x 〔 x 2m )网 ny 〔 y 25m, y 〔 y 2 7x 1 y 1 2, X2 y 2 2 X y 〔 x 2 y 24m 7( 5m) 4m 25m 4 02 ,求m n 的值.(m 1)(m 4) 0 m 1或 m 4当m 1时,方程y 2m 4当m 4时,方程x 216 4n 0答：m 4, n 41 1 n?h2 21K.m 21n 22 24712x 1 1 x 2 1 q ③ p (2p 1) 2(X i 1)(x 2 1) p ④0,其中m n 分别是个等腰三角形的腰长和底边长Om 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边在等腰三角形中,h . m 2将①代入③,得：p q 2⑤将①、②代入④,得：31、x 1, x 2是关于x 的方程x 1 2 * 4 m 2x n5my 7 0无实根2m x n 0有两个实根42m n 0,2m n 012这个方程有两个不相等实根. n.'m2 - n2 48②\ 4(2)、设方程两根为x「X2,并设三角形的高为h 将①代入②,得：n 12x1 x282x1 x2642(x1 x2) 4x1x2 64 m 2 A(舍负)该三角形的周长为2m n 4.13 12px q 0时,小张看错了p,解得方程的根为1与一3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2.这个方程的根应该是什么将p 2, q 3代入原方程,得:x22x 3 0(x 3)( x 1) 0x1 3, x2 1答：这个方程的根是3和1.34、方程x2ax b 0的两根为x1,x2,且4x1 x? 0 ,又知根的判别式二25,求a, b的值. 解：据题意得x x1 x2 a ①4 4x1 x2 0 ②、x1x2b ③②-①,得：a _x1 —④3将④代入①,得：4a …x2—⑤4a29b 0 ⑥25a24b 25 ⑦⑥-⑦X 4,得：b 4将b 4代入⑥,得: a 3x1 x22m, x1x21 2-n4将n 12代入①,得:33、在解方程x2解：小张看错了pq 1 ( 3) 3小王看错了qP 4 ( 2)任息头数k,万程mx (n k 1)x k 1 0恒有实数根. 1 一,,一、一 s 、1可看作是方程 t1 o32、关于x 的万程x 2mx -n 4(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)假设方程两实根之差的绝对值是 8,等腰三角形的面积是 12,求这个三角形的周长.(1)、证实： 4m 2 n 24m 2 n 2 64(2m n)(2m n)m - n 16①4将④、⑤代入③,得: 答：a 3, b 435 x1,x 2 2次万程 x4 mx n 0 的两个实数根,2 x 1 2 x 2 (x 1 x 2)2 3 士 x 1 2-2 X2解: x1, x 2 是元二次方程 2m 4n5n 2mx n 0的两根, 将①代入②, 得:x i x 2 m, x 1x 2 5n 2 2n 2 x 1 2 x 2(x 1 x 2)2 (5n3)(n 1)2( x 2)22-2x 12?32x 1x 2 (x 1x 2)2 32n2-2x 2乂2〕2 〔泅〕2x 1x 2 2 1时,4n21 1021 10'3. 一 ...........3不符合题意,应舍去52(-m) 2n2 ? --------- 2 ------ 5n。

初中数学专题：根与系数的关系【十大题型】(举一反三)

专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．＜C．q是正数，p是负数D．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②-；③；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根，设，，．根据根的定义，有、，将两式相加，得，于是根据以上信息，解答下列问题．(1)求、的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出的值．(2)猜想：当时，、、之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程有两实数根，，(1)若，求k的值．(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则．【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两实根为，且满足，求k的值．(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，∵，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．【详解】∵，，∴．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【答案】A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，，由一元二次方程根的定义可得，，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，，，，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c 为常数，）的两根为，，则，．（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【答案】【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程的两根为∴解得：，∵∴代入，得：解得：∵∴【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】【分析】设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，＜，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，＞，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当＞，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当＜，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：的两根分别为，，则，，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三条边的长，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是，两根的积是，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．【详解】=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵，∴方程有异号两实数根．∵，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝﹣﹣4×＞0，整理得：，即，根据乘法法则得：或，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，，，，，，即，当时，解得（舍去）；当时，解得，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴+﹣=====﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：，，看作以上方程的两个不同的根，即是方程的两根，故，即故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程的一个根为m，设方程另一根为n，∴，解得：，设，方程（）（）变形为，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根。

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》测试题含答案

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》测试题复习巩固1．下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是()A．x2＋2x－3＝0 B．x2－2x＋3＝0C．x2－2x－3＝0 D．x2＋2x＋3＝02．设一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是() A．x1＋x2＝2 B．x1＋x2＝－4C．x1x2＝－2 D．x1x2＝43．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b 的值分别是()A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1C．3=2a-，b＝－1 D．3=2a-，b＝14．若一元二次方程x2＋kx－3＝0的一个根是x＝1，则该方程的另一个根是() A．3 B．－1C．－3 D．－25．已知方程x2－5x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为()A．－7 B．－3 C．7 D．36．(2013山东莱芜)已知m，n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式223m n mn++的值为()A．9 B．±3 C．3 D．57．已知方程x2－4x－7＝0的根是x1和x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.8．若方程x2－2x＋a＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是__________，a＝__________.9．若x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x21＋3x1x2＋x22的值为__________．10．已知方程x2＋3x－1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值．(1)α2＋β2；(2)α3β＋αβ3；(3)βααβ+.能力提升11．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是()A．1 B．12 C．13 D．2512．若关于x 的一元二次方程x 2＋(m 2－9)x ＋m －1＝0的两个实数根互为相反数，则m 的值是__________．13．设a ，b 是方程x 2＋x －2 015＝0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为__________．14．在解方程x 2＋px ＋q ＝0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2.这个方程正确的根应该是什么？15．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．16．阅读材料：已知p 2－p －1＝0,1－q －q 2＝0，且pq ≠1，求1pq q +的值．解：由p 2－p －1＝0,1－q －q 2＝0，可知p ≠0，q ≠0.又因为pq ≠1，所以p ≠1q .所以1－q －q 2＝0可变形为2111=0q q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以p 与1q 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根．故p ＋1q ＝1，即1pq q+＝1. 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知2m 2－5m －1＝0，2152=0n n +-，且m ≠n ，求11m n+的值．参考答案复习巩固1．C 选项B 中的方程无实数根．本题易误选为B.2．A3．D 由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝b .因此－2a ＝3，b ＝1，即32a =-，b ＝1.故选D. 4．C 设方程的另一个根为x 1，由x 1·1＝－3，得x 1＝－3.5．D 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝2.故x 1＋x 2－x 1x 2＝5－2＝3. 6．C 根据一元二次方程的根与系数的关系，得m ＋n ＝22-，mn ＝1.故222232213m n mn m n mn ++=(+)+=(-)+=.7．4 －78．－1 －3 设方程的另一个根是x 1，则113=23=x x a +⎧⎨⎩，，解得x 1＝－1，a ＝－3. 9．7 x 12＋3x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝32＋(－2)＝7. 10．解：因为α，β是方程x 2＋3x －1＝0的两个实数根，所以α＋β＝－3，αβ＝－1.(1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)＝(－1)×11＝－11.(3)2211111βααβαβαβ++===--. 能力提升11．C 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m －1，则(x 1－x 2)2＝2212x x +－2x 1x 2＝7－2(2m －1)＝9－4m ；又因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2－4(2m－1)，所以9－4m＝m2－8m＋4，解得m1＝5，m2＝－1.当m＝5时，Δ＜0，故m＝－1.此时(x1－x2)2＝9－4×(－1)＝13.12．－3由根与系数的关系，得－(m2－9)＝0，解得m＝±3.但当m＝3时，原方程无实根，故m＝－3.13．2 014因为a，b是方程x2＋x－2 015＝0的两个不相等的实数根，故由根与系数的关系可得a＋b＝－1①，由根的定义，得a2＋a－2 015＝0，即a2＋a＝2 015②.再由①＋②得a2＋2a＋b＝2 014.14．解：由题意，得1×(－3)＝q,4＋(－2)＝－p.从而可得p＝－2，q＝－3.因此原方程为x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.故这个方程正确的根为3与－1.15．解：(1)依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得12 k≤.(2)依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为12k≤，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.因为12k≤，所以k＝－3.综合①②可得k＝－3.16．解：由2m 2－5m －1＝0知m ≠0. 因为m ≠n ，所以11m n ≠. 所以21520m m +-=. 根据21520m m +-=与21520n n +-=的特征，可知1m 与1n 是方程x 2＋5x －2＝0的两个不相等的实数根．所以根据根与系数的关系，得115m n+=-.。

初三根与系数的关系练习题

初三根与系数的关系练习题（篇首不需要再写一遍标题）初三根与系数的关系练习题根与系数是初中数学中的重要概念之一，理解它们之间的关系对于解题非常重要。

在本文中，我们将提供一些初三根与系数的关系练习题，帮助同学们巩固和加深对这一概念的理解。

练习题一：已知方程p(x)=0的一个根为x=3，且q(x)是p(x)的一个因式。

如果p(1)=2，求q(1)。

解答一：根据题意可知，p(x)=0的一个根为x=3，因此p(x)可以表示为p(x)=(x-3)f(x)，其中f(x)为另外一个因式。

根据已知条件p(1)=2，我们可以得到：(1-3)f(1)=2-2f(1)=2f(1)=-1因此，q(x)=f(x)=(x-3)(-1)=(3-x)，所以q(1)=3-1=2。

练习题二：已知方程mx^2+3x+n=0的一个根为x=-2，且另一个根的系数是3的两倍。

若方程的系数和n的和为21，求m的值。

解答二：根据题意可知，方程mx^2+3x+n=0的一个根为x=-2，且另一个根的系数是3的两倍。

设另一个根为x=a，则方程可以表示为mx^2+3x+n=m(x+2)(x-a)=0。

由此可得，方程的展开形式为mx^2+3x+n=mx^2+(2m-am)x-2ma=0。

根据已知条件可得方程的系数和n的和为21，即2m-am-2ma=21。

又因为另一个根的系数是3的两倍，可以表示为-a=3*2=-6。

解方程组2m-am-2ma=21，-a=-6，可得到m=7。

因此，方程的系数m的值为7。

练习题三：已知方程px^2-2px+2=0的两个根的乘积为3，求p的值。

解答三：根据题意可知，方程px^2-2px+2=0的两个根的乘积为3。

设方程的两个根为x=a和x=b，则方程可以表示为px^2-2px+2=p(x-a)(x-b)=0。

展开方程可得px^2-2px+2=px^2-p(a+b)x+pab=0。

由此可得，p(a+b)=-2p，pab=2。

根据已知条件可得ab=3。

初三数学同步练习：《根与系数的关系》-最新学习文档

初三数学同步练习：《根与系数的关系》
一、填空题：
1、以为两根的一元二次方程是。

2、已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2，
x2-y2=2，则m=_______.
3.已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k=______.
4.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______.
5、已知a2=1-a，b2=1-b，且ab，则(a-1)(b-1)= ______.
6、若、为实数且|+-3|+(2-)2=0，则以、为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)
二、解答下列各题：(每小题6分，共36分)
1、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
(1)(x1+1)(x2+1);(2)x12x2+x1x22; (4)(x1-x2)2;
2、已知关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根.
3、已知x1 ，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，
求m值.
4、已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m4+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程.
5、已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根，求m的值.
6、已知关于x的方程 3 x2 10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k的值：
(1)有两个实数根 (2)有两个正数根 (3)有一个正数根和一个负数根.。

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