人教版·选修1-2 §1.1.1 回归分析

案例1： 案例 ：女大学生的身高与体重
从某大学中随机选取8名女大学生 名女大学生， 例1 从某大学中随机选取 名女大学生，其身高和体重数据 如下表所示： 如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
x = ， = y ， xi = ∑
2 i=1 n
， xi yi = ∑
i=1
n
.
于是有b= 于是有
∑ x y − nx ⋅ y
i =1 n i i
n
xi 2 − nx ∑
i =1
2
= 0.849 a = y − b x = − 85.712
所以回归方程是
$ = 0.849x − 85.712 y
思考1：相关关系与函数关系有 怎样的不同？
1.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系； 相关关系是一种非确定性关系. 2. 函数关系是一种理想的关系模型； 相关关系在现实生活中大量存在，是更 一 般的情况. 练习：下面各组两变量间具相关关系的是（ A）
①正方体的体积与棱长，②某农田的水稻产量与施肥量， 正方体的体积与棱长， 某农田的水稻产量与施肥量， ③家庭的支出与收入， ④某户家庭的用电量与电价。 家庭的支出与收入， 某户家庭的用电量与电价。 A②③ B③④ C②③④ D①②③④
2002
2003
函 = 回归模型： y数bx + a + e
y= + bxa
可以提供 选择模型的准则
函数模型与回归模型之间的差别
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e 因变量y 线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值 y=bx+a+e增加了随机误差项 由自变量x和随机误差项e共同确定， 自变量x 由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分 的变化。 y的变化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。 解析变量 预报变量
b = i=1 −2 n 2 ∑ xi − n x
i= 1
∑ xi yi − n x y
n
− −
a = y− b x
−
−
3、线性回归模型 、
y = a + bx + ε
其中a+bx是确定性函数， ε 是随机误差 是确定性函数， 其中 是确定性函数 产生的主要原因： 注：ε 产生的主要原因： (1)所用确定性函数不恰当； 所用确定性函数不恰当； 所用确定性函数不恰当 (2)忽略了某些因素的影响； 忽略了某些因素的影响； 忽略了某些因素的影响 (3)观测误差。 观测误差。 观测误差
相关系数r的绝对值与1 相关系数r的绝对值与1接近到什么程度才表明利用 线性回归模型比较合理呢? 线性回归模型比较合理呢?
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义） 相关系数取值及其意义）
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
①.求相关系数r的步骤： 求相关系数r的步骤： (1)计算平均数 (1)计算平均数 x, y n (2)计算 n 的积, (2)计算 xi 与 yi 的积,求 ∑xi yi n i= 1 2 2 (3)计算 (3)计算 ∑xi , ∑yi i= 1 i= 1 (4)将上述有关结果代入公式 将上述有关结果代入公式， (4)将上述有关结果代入公式，求r
i=1
∑ xi yi − n x y
−2 n 2 i=1
n
− −
(∑ xi − n x )(∑ yi − n y )
如果0.75<|r|<1，可以认为有较强的线 ， 如果 性相关关系。 性相关关系。
−2
建构数学
• 1.计算公式 1.计算公式
(x ∑ r=
i=1 n i
相关系数
n

- x)(yi - y)
ˆ ˆ = bx + a ˆ y
ˆ b=
∑(x − X )( y −Y )
i=1 i i
n
∑(X − X )
i=1 i
n
2
= i=1 n −2 2 ∑ xi − n x
i=1
∑ xi yi − n x y
n
− −
ˆ ˆ a = Y − bX
②.求线性回归方程的步骤： 求线性回归方程的步骤： (1)计算平均数 (1)计算平均数 x, y n (2)计算 n 的积, (2)计算 xi 与 yi 的积,求 ∑xi yi n i= 1 2 2 (3)计算 (3)计算 ∑xi , ∑yi i= 1 i= 1 (4)将上述有关结果代入公式 将上述有关结果代入公式， (4)将上述有关结果代入公式，求b、a， 写出回归直线方程． 写出回归直线方程．
n ∑ (xi -x)(yi -y) 相关系数 r= i=1 n 2× n (y -y)2 ∑ (xi -x) ∑ i i=1 i=1 ｒ＞０正相关；ｒ＜ 负相关．通常， ；ｒ＜０ ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; 0.75]--负相关很强; --负相关很强 r∈[0.75,1]—正相关很强 ∈ 正相关很强; 正相关很强 r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; 负相关一般; ∈ r∈[0.3, 0.75]—正相关一般 正相关一般; ∈ 正相关一般 0.25]--相关性较弱; --相关性较弱 r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱; 对r进行 显著性检验
思考2：如何判断两个变量之间是否 存在线性相关关系？
问题2：什么是回归分析: 问题 ：什么是回归分析
由数据画散点图 求回归方程 预报、 预报、决策
问题3：有时散点图的各点并不集中在一
条直线的附近，仍然可以按照求回归直线方 程的步骤求回归直线，显然这样的回归直线 没有实际意义。在怎样的情况下求得的回归 直线方程才有实际意义？
∵回归直线恒过点
−－ −－ ， 为样本点的中心。 ( x y) ，故称 ( x y)为样本点的中心。 ，
案例1： 案例 ：女大学生的身高与体重
从某大学中随机选取8名女大学生 名女大学生， 例1 从某大学中随机选取 名女大学生，其身高和体重数据 如下表所示： 如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
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§1.1.1 回归分析
问题1： 问题 ：现实生活中两个变量间的关 系有哪些呢？ 系有哪些呢？ 函数关系
1、两个变量的关系 、 相关 关系
线性相关 非线性相关
相关关系：对于两个变量， 相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定 时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系。 之间的关系。
所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报 所以，对于身高为172cm的女大学生， 172cm的女大学生 其体重为
$ = 0.849 × 72 − 85.712 = 60.316(kg ) y
探究P4： 探究 ： 身高为172cm的女大学生的体重一定是 的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 身高为 的女大学生的体重一定是 吗 如果不是，你能解析一下原因吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？ 身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg 172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。 60.316kg左右 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。
计算可得r=0.798，所以可以线性相关求回归方程。 ，所以可以线性相关求回归方程。 计算可得
函数模型与回归模型之间的差别
中国GDP散点图 120000
100000
80000
GP D
60000
40000
20000
0 1992
1993
1994
1995
1996
1997 年
1998
1999
2000
2001
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程， 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程， 并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。 172cm的女大学生的体重 并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 选取身高为自变量x 体重为因变量y 作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系， 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 刻画它们之间的关系。 3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 从散点图还看到， 直线的附近，而不是在一条直线上， 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。 y=bx+a描述它们关系 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
n 2 i=1
i=1
∑ xi yi − n x y
−2 n 2 −2 i=1
n
− −
(∑ xi − n x )(∑ yi − n y )
问题4： 问题 ：对于线性相关的两个变量用 什么方法来刻划之间的关系呢？ 什么方法来刻划之间的关系呢？ 2、最小二乘估计 、 最小二乘估计下的线性回归方程： ①最小二乘估计下的线性回归方程：
r=
n 2 i=1