函数定义域值域求法十一种

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函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者：凤呜大王*

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1 求函数8

|3x |15

x 2x y 2-+--=

的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

⎩⎨

⎧≠-+≥--②①

8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④

③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。

例2 求函数2

161

x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

⎩⎨⎧>-≥②①0

x 160

x sin 2

由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③

由②解得4x 4<<-

④

由③和④求公共部分，得 π≤

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤

函数定义域值域求法(全十一种)

数的值域。
3x4例6.求函数5x6
值域。
46y
x
解：由原函数式可得：5y3
46y
y
则其反函数为：5x3
3
x
，其定义域为：5
3
,
故所求函数的值域为：5
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主
来确定函数的值域。
x
e1
y
例7.求函数e1
x
的值域。
y1x
e
解：由原函数式可得：y1
∵xR
2
∴4(y1)8y0
（1）
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实用标准
解得：12y12
但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0x2
22
由0，仅保证关于x的方程：2x2(y1)xy0
在实数集R有实根，
而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0
13
,
求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为2
2
(1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，所以函数ylog(x2x3)
2在区
间(1，1]上是增函数，在区间[1，3)上是减函数。
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
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高中数学：函数值域11种常用求法，配方法、换元法最基本

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一

只有定义域为整个实数集R时才可直接用

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用

题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目

利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧

在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围

函数值域定义域方法总结

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）y=tanx 中x ≠k π+π/2； ( 5 )0x 中x 0≠

二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法

（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆

求法）

（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=21

1)( 例2 求下列函数的定义域：

①14)(2

--=x x f ②214

3)(2-+--=x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

3132+++-=

x x y

例3 若函数a

ax ax y 1

-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4

(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

(完整版)函数值域求法十一种

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数

1y =

的值域。

解：∵0x ≠

∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x

3y -

=的值域。

解：∵

0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x

y 2

-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2

+-=

∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

22x 1x x 1y +++=

的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程

0x )1y (x )1y (2=-+-

（1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆

解得：23y 2

1≤

≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡∈23,211

故函数的值域为⎥

⎦⎤⎢⎣⎡23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+

=的值域。

解：两边平方整理得：

0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42

≥-+=∆

解得：2

1y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x

222

=++-在实数集R

有实

根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由

求函数值域的12种方法

函数的值域即为函数的输出值的集合。在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于

$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函

函数求值域的15种方法

1. 通过图像观察函数的值域

2. 分析函数的定义域和性质来求值域

3. 使用函数的极限来求值域

4. 使用反函数来求值域

5. 使用微积分方法求值域

6. 利用代数方法求值域

7. 使用函数的导数来求值域

8. 使用平移、伸缩和反转等变换来求值域

9. 使用图像变换方法来求值域

10. 利用函数的周期性来求值域

11. 利用函数的分段定义来求值域

12. 使用函数的周期性来求值域

13. 利用对称性来求值域

14. 使用级数和级数收敛性来求值域

15. 利用函数的特殊性质和特殊值来求值域

求函数值域的十三种方法

求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。下面将介绍求函数值域的十三种方法。

一、观察法

观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。

二、代数法

代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。

三、图像法

图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。

四、导数法

导数法是通过求函数的导数来求函数值域。通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。

五、反函数法

反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。

六、极限法

极限法是通过求函数的极限来求函数值域。通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。

七、积分法

积分法是通过求函数的积分来求函数值域。通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。

函数定义域值域求法(全十一种)

实用标准

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

2x 15

例 1 求函数 y

的定义域。

| x 3| 8

解：要使函数有意义，则必须满足

x 2x 15 0

① | x 3 | 8 0

②

由①解得 x 3或 x 5。

③

由②解得

5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。

例 2 求函数

sin x

的定义域。

16 x

解：要使函数有意义，则必须满足

sin x

0 ① 2

16 x

② 由①解得 2k

2k ，k

③ 由②解得 4 x 4 ④

由③和④求公共部分，得

4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。

（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，

即为所求的定义域。

2 例

3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)

的定义域。

2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 3

，即 0

，因此 0 | x |

3 ，从而

函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。

二、抽象函数型

抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。一般有两种情况：

1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解

$a\leq g(x)\leq b$。

例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的

定义域。令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-

|x|\leq x\leq |x|$。因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为

$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。

高中数学：求函数值域的方法十三种

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高中数学：求函数值域的十三种方法

一、观察法（☆ ）二、配方法（☆）三、分离常数法（☆）四、反函数法（☆）五、判别式法（☆）六、换元法（☆☆☆）七、函数有界性

八、函数单调性法（☆）

九、图像法（数型结合法）（☆）十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用

一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。【例1】

求函数1y =的值域。

，∴11≥，

∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数

x 1

y =

的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0

x 1≠ 显然函数的值域是：

),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。【解析】将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，

，当

时，故函数的值域是：[4，8]

【变式】已知

，求函数

的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配

函数值域的十一种求法求法

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1

y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1

≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x 3y -=的值域。解：∵0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=

∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数22

x 1x x 1y ++

+=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程

0x )1y (x )1y (2=-+-

〔1〕当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23

y 21≤≤

〔2〕当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤

⎢⎣⎡23

,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-〔1〕

∵R x ∈

∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能

确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由0≥∆求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣

函数定义域值域求法全十一种

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8

|3x |15

x 2x y 2-+--=

的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④

③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。例2 求函数2

161x sin y -+

=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，Y

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

函数定义域值域求法(全十一种)

实用标准

高中函数定义域和值域的求法总结

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例 1求函数 y x 22x15

| x 3 |8

的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

x 22x150①

| x 3 |8 0②

由①解得x3或 x 5 。③

由②解得x5或 x11④

③和④求交集得x3且 x11或x>5。

故所求函数的定义域为{ x | x 3且

x11}{ x | x5} 。

例 2求函数 y sin x

的定义域。16x 2

解：要使函数有意义，则必须满足

sin x0①

16x 20②

由①解得2k x2k，k Z③

由②解得 4 x4④

由③和④求公共部分，得

4x或 0x

故函数的定义域为(4， ](0， ]

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函

数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。

（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。

例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 2

1) 的定义域。

解：令 2 x

21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而

3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。

（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。

1.2求函数的定义域与值域的常用方法

8函数的定义域与值域的常用方法

2、待定系数法

1、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

2、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7

3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

（1）11)11(2-=+x

x f （2）x x x x f 221)1(+=+（配凑法）考点三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。

1、分离变量法

例11. 求函数231x y x +=

+的值域。解：

()2112312111x x y x x x +++=

==++++，因为101x ≠+，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。说明：

x ，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再

行求解。

2、配方法例12. 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域。

解：y ＝2x 2＋4x ＝2（x 2＋2x ＋1）－2＝2（x ＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}

。

说明：数的值域也可采用此方法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c 。

3、判别式法

例13. 求函数2223456

x x y x x ++=++的值域。解：2223456x x y x x ++=++可变形为：（4y －1）x 2＋（5y －2）x ＋6y －3＝0

y ∈⎣

⎦。

说明：

定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

函数定义域值域求法十一种

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)

高中数学：函数值域11种常用求法，配方法、换元法最基本

函数值域定义域方法总结

(完整版)函数值域求法十一种

求函数值域的12种方法

函数求值域的15种方法

求函数值域的十三种方法

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)

高中数学：求函数值域的方法十三种

函数值域的十一种求法求法

函数定义域值域求法 全十一种

函数定义域值域求法(全十一种)

1.2求函数的定义域与值域的常用方法

函数定义域值域求法全十一种