函数定义域值域求法十一种
函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=x tan 中2ππ+≠k x ；y=x cot 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法（2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法（5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法（8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域：① 14)(2--=xx f ②2143)(2-+--=x x x x f②=)(x f x11111++④xx x x f -+=)1()(⑤373132+++-=x x y\例3 若函数aax axy 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
[2,25-）练习：已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是（ ）Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B =Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像）例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。
函数的15种求值方法
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数定义域值域求法(全十一种)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
第二讲 函数的定义域和值域的求解方法
第二讲 函数的定义域和值域的求解方法一、定义域的求解方法：(1)若()x f 为整式，则定义域为R ；(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合；(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合；(4)指数函数的定义域（也就是指数部分）为R ；（5）对数函数的定义域（真数部分）为R +；（6）幂函数的定义域要视指数的情况而定，如：2()f x x =与12()f x x =；(7)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合；（*）实际问题中，确定定义域要考虑实际问题例：1、求下列函数的定义域： （1）2322---=x x x y ； （2）x x y -⋅-=11； （3）x y --=113；（4）2253x x y -+-=； （5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x f 23412、已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
3、若函数()3123++-=mx mx x x f 的定义域是R ，求m 的取值范围。
练习：1.求下列函数的定义域：（1）()142--=x x f ； （2）()21432-+--=x x x x f（3）()x x f 11111++=； （4）()()x x x x f -+=01已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=342x f xf y 的定义域。
二、值域的求解方法：1、直接法：直接根据函数表达式来求值域。
例：4y x =， (2,3)x ∈2、单调性法：利用函数的单调性来求值域。
例：2y x =3、图象法：利用函数图象来求值域。
例：2y x =，2(2,5)y x x =∈-4、配方法：把函数化简成二次函数的形式，利用二次函数的性质来求。
例：221x x y x x -=-+5、判别式法：把式子化成一元二次方程的形式，利用判别式法来求。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
函数定义域值域求法
x 2 - 2x - 15 3 mx 2 - 6mx + m + 8 ⎩一、常规型函数定义域和值域的求法总结即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1 求函数y =的定义域。
| x + 3 | -8解：要使函数有意义，则必须满足⎧x 2 - 2x - 15 ≥ 0 ① ⎨⎩| x + 3 | -8 ≠ 0② 由①解得 x ≤ -3 或x ≥ 5 。
③ 由②解得 x ≠ 5 或x ≠ -11④ ③和④求交集得x ≤ -3 且x ≠ -11 或 x>5。
故所求函数的定义域为{x | x ≤ -3且x ≠ -11} {x | x > 5} 。
例 2 这题超纲了彦彦，我删去了不做 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1） 已知f (x) 的定义域，求f[g(x)] 的定义域。
（2） 其解法是：已知f (x) 的定义域是［a ，b ］求f[g(x)] 的定义域是解a ≤ g(x) ≤ b ，即为所求的定义域。
例 3 已知f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f (x 2 - 1) 的定义域。
解： 令 - 2 ≤ x 2 - 1 ≤ 2 ， 得 - 1 ≤ x 2 ≤ 3 ， 即 0 ≤ x 2 ≤ 3 ， 因此 0 ≤| x |≤ ， 从而- ≤ x ≤ ，故函数的定义域是{x | - ≤ x ≤ 3}。
（2） 已知f[g(x)] 的定义域，求 f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)] 的定义域是［a ，b ］，求 f(x)定义域的方法是：由a ≤ x ≤ b ，求g(x)的值域，即所求 f(x)的定义域。
例 4 已知f (2x + 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x)的定义域。
函数定义域及值域的求法
对应练习2
1 y 2 x 5, x 1,3 2 y 3 x 1, x [2,5)
1 3 y , x (0,4) x 1 4 y , x ,1 1, x
小结：其他函数在给定区间求值域，都可以通过数形结 合的方式解决。
叫做这个函数的值域（用区间或集合表示）
区间表示：
开区间：（a,b） 闭区间:[ a,b ] 半开半闭区间：(a,b] 实数集R用区间表示:
,
一、求函数定义域：
例1.根据解析式求定义域
① 解：要使函数有意义， 则必须满足
x 2 0 x 4 0 解得：x 2且x 4
总结：
(1)求函数定义域： 对于具体函数求定义域，要保证式子有意义
（2）求函数值域：
求基本函数在R上或某一区间上的值域，通常数形结合
对应练习1：
1 f ( x) x 5 x 6, x R 2 2 f x 2 x 4 x 5, x 2,5 2 3 f x 2 x 3x 1, x 1,2 2 4 f x x 3x 4, x (0,3]
x 2 x 4且x 4
x2 1y x 4
x x 2且x 4 定义域为
小结：对于二次根号下的式子必须保证大于等于零 对于分式要保证分母不等于零
对应练习：
1y
x 1
1 x2
x2 2y x 3 8
3 f ) x 1 x 2
二、求函数值域：
例2.
函数f x x 3 x 4,
2
1x R, 求函数值域 2x 1,5, 求函数值域 3x 3,5, 求函数值域
小结：对于二次函数 在R上求值域，需要考虑顶点的纵坐标和开口方向； 对于在某一区间求值域，要考虑对称轴在区间内还 是在区间外，数形结合。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。
| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。
③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。
故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。
例 2 求函数1ysin x的定义域。
216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。
（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。
2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。
2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。
（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。
例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。
求函数值域的十三种方法
求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。
下面将介绍求函数值域的十三种方法。
一、观察法观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。
例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。
二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。
三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。
通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。
例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。
四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。
通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。
例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。
五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。
通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。
例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。
六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。
通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。
例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。
七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。
通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。
例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。
八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。
通过分析级数的收敛性和和的性质，可以确定函数的值域。
例如，对于一个幂级数函数，可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。
九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。
通过求微分方程的解析解或数值解，可以确定函数的值域。
函数定义域、值域、解析式求法
可用判别式法
9月25日作业：
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11,
a4+a6=-6,求当Sn取最小值时，n的值 2.已知 ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列，
求三角形ABC最大角的余弦值。
五、解析式求法
（一）待定系数法 例1：f(x)是一个一次函数，已知f(0)=1, f(-1)=6,求 f（x）。 例2：一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+6， 求 f（x）。 例3：二次函数f(x)，有f(x+1)+f(x-1)= 2 2x -4x，求f (x)。
g ( x) g ( x) 0
0
3、 g(x) g ( x) 0
4、真数大于零，底数大于零且不等于1
例 题:
1 : 求函数f ( x)
解: 依题有:
x 2 5x 6 的定义域 x2
x2 5x 6 0 x2 0
解得:
x 3或x 2
x 2 5x 6 的定义域是 : {x x 3或x 2} x2
f ( x)
练 习:
1 : 求函数f ( x) log x
解: 依题有
(1 x )
(1 x) 的定义域
x 1 x 0且x 1 x 1
1 2
x 1 0 x 0且x 1 1 x 0
1 2
f ( x) log x
(1 x )
的 取 值 范 围
分离常数法(或反函数法)
ax b y cx d
例.求下列函数值域
函数值域为 y y
a c
3x 1 y x2
1 3x y x6
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
高中数学求函数值域的10种常见方法
高中数学求函数值域的10种常见方法
一、显函数法：
须先将函数写成显函数的形式，然后通过分析函数表达式的特征，确定其值域。
二、图像法：
一般通过函数的图像来确定其值域，可以在纸上绘制函数的图像，或者利用数学软件进行绘图分析。
三、函数增减性：
通过函数的增减性来确定其值域，即分析函数在定义域上的单调性。
四、函数的周期性：
若函数具有周期性，则值域受周期性的限制。
五、函数的有界性：
若函数在定义域上有上下界，则其值域也受到该有界性的限制。
六、反函数法：
通过求函数的反函数，获得原函数的值域。
七、导数法：
通过求函数的导数，分析其在定义域内的极值和拐点，得出值域的上下界。
八、极限法：
通过求函数在定义域两端的极限，确定函数值域的范围。
九、变量替换法：
可将复杂的函数转化为简单的函数，通过分析简单函数的值域，确定复杂函数的值域。
十、函数值的性质：
根据函数的性质和定义，通过推理和证明，确定函数值域。
以上是求函数值域的十种常见方法，根据不同的题目和函数形式，我们可以选择适用的方法来解决问题。
在实际应用中，经常需要综合运用多种方法来确定函数的值域。
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高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 2 2x 15 0①11 或 x>5。
3且x 11} {x |x 5}。
1例2求函数y '定义域。
*16 x 2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 ① 16 x 2 0② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4 x 或 0 x故函数的定义域为(4， ］ (0,］评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。
(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。
例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 23 x 3，故函数的定义域是｛x |x(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。
即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项例1求函数y,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。
|x 3|8 0② 由①解得 x 3或x 5。
由②解得x 5或x 11 解：令2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 23，因此0 | x | 3，从而1)的定义域。
3}。
③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x的系数是m ,所以应分 m=0或m 0进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为 R ; 当m 0时，mx 6mx m 8 0是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是m 0(6m)2 4m(m 8)0 m 1综上可知0 m 1。
评注：不少学生容易忽略kx 2 4kx 3 0无实数3① 当& 0时， 16k 2 4 3k 0恒成立，解得0 k4② 当k=0时，方程左边=3工0恒成立。
3综上k 的取值范围是0 k -。
4四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要 加倍注意，并形成意识。
例7将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函 数的定义域。
1解：设矩形一边为 x ，则另一边长为 -(a 2x)于是可得矩形面积。
2J 八 12y x (a 2x) ax x2 2 2 1 x ax 。
2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足x 0 1(a 2x) 02 0 xa。
21 a 故所求函数的解析式为 yx 2 -ax ，定义域为(0,巳)。
2 2例8用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 求此框架围成的面积 y 与x 的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6 已知函数f(x) kx 7 kx 24kx 解：要使函数有意义，则必须 kx 2 -的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
34kx 3工0恒成立，因为f (x)的定义域为R , 即x 0a 2x 02x ,故 y 2x L2xX2(2 -)x 2 Lx2根据实际问题的意义知2x 01(1 )当 a 0时，F ( x )的定义域为｛x| a x 1 a ｝；1(2) 当0 a 时，F (x )的定义域为｛x | a x 1 a ｝；1 1 (3)当a 或a 时，上述两区间的交集为空集，此时F (x )不能构成函数。
22六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域 隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10求函数y log 2( x 2 2x 3)的单调区间。
解：由 x 2 2x 3 0，即x 2 2x 3 0,解得 1 x 3。
即函数y 的定义域为(一 1, 3)。
函数y log 2( x 2 2x 3)是由函数y log 2t , t x 2 2x 3复合而成的。
2 2t x 2 2x 3 (x 1)2 4，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间(,1］上是增函数；在区间［1,)上是减函数，而 y log 2t 在其定义域上单调增；(1,3)(,1］ ( 1,1］,( 1,3) ［1,) ［1,3)，所以函数 y log 2( x 2 2x 3)在区间(1,1］上是增函数，在区间［1,3)上是减函数。
因为CD=AB=2x ，所以CD x ,所以ADL AB CD L 2x x故函数的解析式为(2尹LX ，定义域(0,五、参数型 对于含参数的函数，例9已知f(x)的定义域为］0, 1］,求函数F(x) 解： 的解集：求定义域时，必须对分母分类讨论。
因为f(x)的定义域为］0, f(x 1］,即0 x 1。
故函数 a) f(x a)的定义域。
F(x)的定义域为下列不等式组::，即即两个区间［—a , 1-a ］与］aa , 1+a ］的交集,比较两个区间左、右端点，知函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数数X的值域。
1••• X显然函数的值域是：(，0)(0,)例2.求函数y 3 X的值域。
解：•/ X 0..X 0,3 .. X 3故函数的值域是：【32.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一例3.求函数y X2 2X 5,x [ 1,2]的值域。
解：将函数配方得：y & 1)2 4•/ X [ 1,2]由二次函数的性质可知：当X=1时，『min 4，当X 1时，y maX 8 故函数的值域是：[4 , 8]3.判别式法1 X X2例4.求函数y 1 X2的值域。
解：原函数化为关于X的一元二次方程(y 1)X2 (y 1)X0(1)当y 1时，X R(1)24(y 1)(y 1) 01 3解得：2 ' 21 □(2)当y=1 时，X 0，而》21 3故函数的值域为2,2例5.求函数y x ，x(2x)的值域。
2 2解:两边平方整理得：2x 2(y 1)x y 0(1)1•/ x R4(y 1)2 8y 0解得：12 y 1 .2但此时的函数的定义域由x(2 x) 0，得0x2由o ，仅保证关于x 的方程:2x2 2(y 1)x y2 0在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0,2]上，即不能确保方程(1)有实根，由 01 3 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为2,2。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
•/ 0 x 2x(2 x) 00,y 1 -2代入方程(1)2 运 2\-'2 [02] X1 £ [0,2] 2 迈 24运即当x12 时，原函数的值域为：【0,1 4注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集 时，应综合函数的定义域，将扩大的部分易9除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。
3x 4例6.求函数5x 6值域。
x g解:由原函数式可得：534 6y3则其反函数为：y 5x 3 ,其定义域为：％ 53故所求函数的值域为：，55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主 来确定函数的值域。
e x 1例7.求函数y 厂的值域。
e x 以解：由原函数式可得：y 1x.e 0y xymin解得:口 0y i解得：1 y 1故所求函数的值域为（1,1）COSX例8.求函数'sinx 3的值域。
解：由原函数式可得：『前乂 cosx 旳,可化为:y 21 si nx(x)3y sin x(x )-3y 即y 2 1•/ x Rsinx(x )[1,1] 1 3y1即，y 2 1V2J2解得：V y T故函数的值域为T ，T6. 函数单调性法例9.求函数y 2X5 l og^x 1（2 x io ）的值域。
解：令y i 2x 5,y 2 log 3 - x 1则y 「y 2在［2，10］上都是增函数 所以y y 1 y 2在［2，10］上是增函数 当 x=2 时，ymin 2 当 x=10时，y max 251 ,33故所求函数的值域为：8例10.求函数y x 1 x 1的值域。
2解:原函数可化为：y x 1 x 1令y 1 x 1,y 2 x 1，显然小2在口，］上为无上界的增函数 所以y y 1，y 2在口 ］上也为无上界的增函数----- 1log 3 2 1 -8log 3、9 3322显然y 0，故原函数的值域为(0, 2]7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之 一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数y x x 1的值域。
解：令 x 1 t ，(t 0) 则 x t 2 121 23 ..y t 2 t 1 (t -)2-又t 0 ,由二次函数的性质可知 当 t 0 时，y min 1 当t 0时，y故函数的值域为[1,) 例12.求函数y x 2 j (x 1)2的值域。
解:因1即(x 1)2 故可令X所以当x=i 时，y y i y 2有最小值■■ 2 ,原函数有最大值•• 2x ,(x 1)20 1 1 cos , [0,]y cos ,1 cos 2sin cos-2si n(,0子 sin(、2sin(-)11.2 4故所求函数的值域为[0,12]x 3 x 例13.求函数y x 42x 2 1的值域。
1 2x ,, _ y — ------ — 解：原函数可变形为：2 1X1 x 21 x 22x . Q 2 可令x tg ,贝眉 1 x 2 sin2 ,1 x 2 cos例15.求函数y x 4 -5 x 2的值域。