数学卷-1910十校联盟

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1浙江省十校联盟2020届高三下学期寒假返校考试数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题）1.设集合，，则A. RB.C.D.2.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为A. B. C. D.3.已知两非零复数，，若，则一定成立的是A. B. C. D.4.已知a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示单位：，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积单位：是A. B. C. D.6.函数的图象大致为A. B.C. D.7.设，相互独立的两个随机变量，的分布列如表：1P1P p则当p在内增大时A. 减小，增大B. 减小，减小C. 增大，增大D. 增大，减小8.如图，矩形ABCD中，，，E为CD的中点，沿着AE向上翻折，使点D到若在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部不含边界，设二面角的大小为，直线，与平面ABC所成角分别为，，则A. B. C. D.9.已知，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则．其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 410.已知数列的各项都是正数且满足，是数列的前n项和，则下列选项中错误的一项是A. 若单调递增，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则．二、填空题（本大题共7小题）11.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则______，______．12.已知直线l：被圆C：截得的弦长为，则______，圆C上到直线l的的距离为1的点有______个．13.若二项式的展开式中存在常数项，则n的最小值为______；从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为______用数字作答14.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______，点D为边BC上一点，且，则的面积为______．15.已知F是椭圆C：的左焦点，A，B是椭圆C上的两个相异动点，若AB中点的横坐标为1，则F到直线AB距离的最小值为______．16.已知向量满足，且，则的取值范围为______．17.已知函数，若函数有三个互不相同的零点0，，，其中，若对任意的，都有成立，则实数a的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数的图象如图所示；Ⅰ求函数的解析式；Ⅱ求函数的单调递增区间．19.如图，四棱锥中，是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，，，，，F，G分别是PC，AD的中点．求证：平面PAB；求线段FG的长度；若，求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．20.设是数列的前n项和，且是和2的等差中项．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和；设，求证：．21.如图，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且．证明：直线BE经过AC的中点M；求面积的最小值及此时直线AC的方程．22.已知函数，是的导函数．证明：当时，在上有唯一零点；若存在，，且时，，证明：．答案和解析1.【答案】C【解析】解：或，，，则，故选C．化简集合或，从而求再求．本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由双曲线的定义可得，，即，，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为：，故选：C．由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距，再由a，b，c之间的关系求出b，进而求出双曲线的方程．本题考查双曲线的定义式求标准方程，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设，，b，c，，，不一定成立，故A不正确；则，不一定成立，故B不正确；，不一定成立，故C不正确；，且，正确，故D成立．故选：D．设，，b，c，，然后逐个计算判断A、B、C，结合判断D正确．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.【答案】B【解析】解：，因为，所以，故后者能推出前者，反之，比如，，推不出后者，故为必要不充分条件，故选：B．根据绝对值不等式的性质和特殊值法，判断即可．考查四个条件的判断，绝对值不等式的性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥，然后由柱体体积减去三棱锥体积求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥，三角形ABC的面积．几何体的体积．故选B．6.【答案】D【解析】解：函数，，为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，当x从右趋向于0时，趋向于，当x趋向于时，趋向于0，故排除BC，故选：D．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：，，，，，，，当p在内增大时，增大，减小，故选：D．求出，，从而，，，从而，由此得到当p在内增大时，增大，减小．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：由可知，，作AB中点P，则，故H在线段DP上，作交BC于M，连接HM，HB，HC，如图，易知，，，，又，．故选：C．作出图象，根据空间角定义可得，，，结合，即可得出结论．本题考查空间角的综合运用，考查逻辑推理能力以及空间想象能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：若，则，所以，所以，即错误；若，则，即，因为，所以，所以，所以，即，所以正确；若，则，因为，所以，所以，即正确；取，，满足，但，所以错误；所以真命题有，故选：B．若，则，然后两边平方，再通过作差法即可得解；若，则，然后利用立方差公式可知，再结合以及不等式的性质即可判断；若，则，再利用，得出，从而求得的范围，进而判断；取特殊值，，即可判断．本题考查指对运算法则、立方差公式、不等式的性质等，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：数列的各项都是正数且满足，若单调递增，可得，即为，可得，且，由，可得，故A正确；若，可得，解得负值已舍去，由，，，而在的范围是，而，则，故方程的解在内，故B正确；由，可得，即，即，可得，故C正确；若，可得，解得，，由，，可得，故D错误．故选：D．由数列递增可得，结合数列的递推式，解不等式可判断A；分别求得，，比较可判断B；由数列的递推式可得，由累差法可判断C；求得，，可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是数列的递推式的运用，考查数列中的项的范围和单调性，以及数列的求和，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：根据已知条件四个直角三角形全等，所以设直角三角形的短的直角边长为x，则较长的直角边长为，所以，整理得，解得：或负值舍去，所以．．故答案为：．直接利用三角形的全等，整理出关于一元二次方程，进一步利用关系式的应用求出三角函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，一元二次方程的解法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】 3【解析】解：由题得圆心，则圆心到直线l的距离，解得；因为，，则圆C上到直线l的距离为1的点应有3个，故答案为；3．利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再根据弦长公式求出d，解方程求得k值，本题考查点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题13.【答案】3 700【解析】解：的展开式中通项公式为，令，解得，其中，1，2，，n；当时，；所以n的最小值为3．根据题意，分2步进行分析：，从6名志愿者中选出4人，有种选法，，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有种情况，则有种不同的安排方案，故答案为：3，700．根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值；根据题意，分2步进行分析：，从6名志愿者中选出4人，，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案本题第一问考查了利用二项展开式的通项公式求展开式的特定项问题，是基础题．第二问考查分步计数原理的应用，涉及排列、组合公式的应用，也属于基础题．14.【答案】10【解析】解：因为，，，由正弦定理可得，，所以，则；，，由余弦定理可得，，解可得舍或，所以，．故答案为：，10．由已知结合正弦定理可求cos C，然后结合二倍角关系可求sin B，结合三角形的面积公式及等高三角形的面积比可转化为底的比可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．15.【答案】【解析】解：由题意的方程可得：，若直线AB的斜率不存在时，则由题意可得AB的方程为：，这时F到直线AB的距离为2，当直线AB的斜率存在且不会为0时，由题意的对称性设，设方程为，，，联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：，，即，，，因为AB中点的横坐标为1，所以，即所以F到直线AB的距离，令，，，当，，单调递增，当，，单调递减，所以时最大，且，所以，故答案为：．分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，由于同一点对称性设斜率大于0，与椭圆联立求出两根之和，再由AB的中点的横坐标求出参数之间的关系，由点到直线的距离公式求出F到直线AB距离．令参数部分为函数，求导，由函数的单调性求出函数的最大值，进而求出F到直线AB的最小值．不同考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，点到直线的距离公式的应用，中点坐标的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由得，又得，由得，，且，即，，；所以，所以，所以的取值范围是故答案为：由和，求得和的值，以及的取值范围，再求的取值范围，即可得出的取值范围．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：因为，由题意可知，，是的根，则，，，，，当时，，则存在的极大值点，且，由题意，，将，代入得，解可得．又因为，结合二次函数的性质可知，，得即a的最小值．故答案为：由题意由题意可知，，是的根，且，，从而可知，，然后结合导数可求，而原题可转化为，代入解不等式可求．本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．属于基础题．18.【答案】解：由图知，．，，由，即，又，所以故，由，，得，，的单调递增区间是，．【解析】由图知，，由，可求得，由可求得；先化简，然后利用三角函数的单调性即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数的化简，三角函数的单调性，综合考查三角函数的性质．19.【答案】解：证明：取BC中点I，则，，，，平面平面PAB，平面PAB；由可知，，由余弦定理有，；，，又，，平面POC，平面平面ABC，延长CO到H，使得，则平面ABC，，，，，设G到平面PBC的距离设为h，则，，直线FG与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】通过证明面面PAB，再利用面面平行的性质得证；由余弦定理求解即可；作出图象，设G到平面PBC的距离设为h，利用等体积法求出h，进而可得直线FG 与平面PBC所成角的正弦值为．本题考查线面平行的判定以及面面平行的判定及性质，考查线面角的求解，同时也考查了线面垂直的判定以及等体积法的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于常规题目．20.【答案】解：是和2的等差中项，，当时，，，当时，，得：，，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，．，．由可得：．由于单调递增，可得：，即．【解析】由是和2的等差中项，可得，当时，，相减可得：，时，可得，利用等比数列的通项公式即可得出．利用等比数列的求和公式可得：，进而得出．由可得：利用裂项求和可得M，再利用数列的单调性即可证明结论．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、分类讨裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意可得抛物线的焦F坐标，准线方程为：，显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，，由题意可得，所以，因为，所以，所以直线AC的方程为：，所以，代入抛物线的方程：，可得AC的中点的纵坐标为，而直线BE为，所以可证直线BE经过AC的中点M；设，，则，由得，所以，因为，因为，所以，所以直线AC的方程为：，由整理可得：，所以，，所以，B到直线AC的距离为，所以，当且仅当时，面积取到最小值16，即，时，直线AC为，即，时，直线AC为即．综上所述面积的最小值为16，且此时直线AC的方程：或．【解析】又抛物线的方程可得F的坐标及准线方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，可得EF的斜率，再由椭圆可得直线AC的斜率，进而可得直线AC的方程，与抛物线联立可得两根之和，可得AC中点M的纵坐标与B的相同，所以可证直线BE经过AC的中点M；设B的坐标，由可得AB的纵坐标之积为可得A的坐标用B的坐标表示，进而可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得直线AC的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AC的值，再求B到直线AC的距离，代入面积公式可得，由均值不等式可得面积的最小值，并且求出此时的直线方程．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合和均值不等式的简单应用，属于中难题．22.【答案】证明：当时，，，当时，为增函数，且，，在上有唯一零点，当时，，在上没有零点，综上知，在上有唯一零点；不妨设，由得，，设，则，故在为增函数，，从而，，，下面证明：，令，则，即证明，只要证明，设，则，在单调递减，当时，，从而得证，即，，即．【解析】先求出，分析出当时，为增函数，且，，得到在上有唯一零点，又因为当时，，所以在上没有零点，从而得出在上有唯一零点；不妨设，由得，即．设，利用导数得到在为增函数，从而，再证明：从而得出，即．本题主要考查了利用导数研究函数的零点，利用导数研究函数的单调性，是中档题．。

2023浙江十校联盟高三第三次联考数学参考答案

浙江省十校联盟2023届高三第三次联考数学参考答案1．【答案】A【解析】{}{}310x B x x x =<=<，因此，{}2,1A B =−−.2．【答案】B【解析】1212z z z z =⋅==3．【答案】B【解析】图象过点(1,0),(2,0),0x ≥时，()0f x ≥ 4．【答案】C 【解析】()2222||219210a ba b a b a b a b −=−=+−⋅=+−⋅=，则0a b ⋅=．又222|3|9618a b a b a b −=+−⋅=，因此332a b −=．5．【答案】D【解析】11231,2,,n n n T T a a a a ===则1(2)n n n T a n T −=≥，代入111n n T a +=，化简得：11n n T T −−=，则101,11n T n T =+=，故选D.6．【答案】D 【解析】当4π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,4444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， ()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，πππ442ω∴+≤，解得：1ω≤，即01ω<≤，πππ3π4244ω∴<+≤，ππ5ππ444ω<+≤，πππππ2π2244ωω⎛⎫⎛⎫<+++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则由()ππ2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得：ππππ=π244ωω⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：13ω=.当13ω=时，()1πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足题目要求7．【答案】C【解析】A 菜有2人选用有23C 种，比如甲、乙选用了A 菜，①甲、乙之中有1人选用了B 菜，有12C 种，比如甲用了B 菜，则乙从,,C D E 中任意选用1 种，有13C 种，丙从,,C D E 中任意选用2种，有23C 种，故共有23C 12C 13C 23C 54= ②丙选用了B 菜，丙再从,,C D E 中任意选用1种，有13C 种，甲、乙再从,,C D E 中各任意选用1种，有13C 13C 种，故共有23C 13C 13C 13C 81=由①②可知所有情形是5481135+=8．【答案】 A【解析】由(2)()2,(4)()4f x f x f x f x −+=−+=，知函数关于(1,1),(2,2)点对称。

上海十大名校高三联合试卷(数学)

上海十大名校高三联合试卷数学一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设=-+-==≤-=B A x x y y B x x A 则},22|{},4|3|{（）A ．{0}B ．{2}C ．φD ．{x |2≤x ≤7} 2．（理）下面说法正确的是（） A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值 B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平 C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平 D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值（文）要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况。

应采用的抽样方法是（） A ．①用随机抽样法 ②用系统抽样法 B ．①用分层抽样法 ②用随机抽样法 C ．①用系统抽样法 ②用分层抽样法 D ．①、②都用分层抽样法 3．设)2tan(,21)tan(),2(53sin βαβππαπα-=-<<=则的值等于（）A ．－724B ．－247C ．724D ．2474．无穷等比数列{a n }中，nn n n T a a a a T q a ∞→++++===lim ,,21,1222624221则记等于（）A ．31B ．72 C ．158 D ．154 5．已知xy ＜0且x +y =2，而(x +y )7按x 的降幂排列的展开式中，第三项不大于第四项，那么 x 的取值范围是（）A ．)45,0()0,( -∞ B ．),45[+∞C ．)0,(-∞D ．]45,(-∞6．给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是（）A ．x 2+y 2－10x +9=0B ．x 2+y 2－10x －9=0C ．x 2+y 2+10x +9=0D ．x 2+y 2+10x －9=08．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题：①m l ⊥⇒βα//;②m l //⇒⊥βα; ③βα⊥⇒m l //；④.//βα⇒⊥m l 其中正确的两个命题是（）A ．①与②B ．①与③C ．②与④D ．③与④9．抛物线y 2=2px 与直线ax +y －4=0交于两点A 、B ，其中点A 的坐标是（1，2）.设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（）A ．7B ．53C ．6D ．510．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，P 、Q 分别为侧棱AA 1、BB 1上的点，且A 1P=BQ ，则四棱锥C 1—APQB 与三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积之比是（）A ．21B ．31 C ．41 D ．61 11．（理）某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参加抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为（）A ．421B ．301C ．354D ．425（文）曲线f(x )=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y =4x －1，则P 0点的坐标为（） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4）12．已知f (x )=3x －b （2≤x ≤4，b 为常数）的图象经过点（2，1），则F(x )=[f －1(x )]2－f －1(x 2)的值域为（）A ．[2，5]B ．),1[+∞C ．[2，10]D ．[2，13]二、填空题（每小题4分，共16分）13．在条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤211010x y y x 下，W=4－2x +y 的最大值是 .14．（理）已知复数i i Z 2222,2321+=+=ω，复数Z 2ω+Z 2ω3的辐角主值为 .（文）已知b b a b a ⊥-==)2(),,3(),1,2(若λ，则λ的值是 . 15．正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，沿EF 将正方形折成60°的二面角，则异面直线BF 与DE 所成角的余弦值是 . 16．给出下列四个命题：（1）函数y =a x （a ＞0且a ≠1）与函数)10(log ≠>=a a a y x a 且的定义域相同：（2）函数y =x 3与y =3x 的值域相同；（3）函数xx x x y y 2)21(121212⋅+=-+=与都是奇函数；（4）函数y =(x －1)2与y =2x－1在区间),0[+∞上都是增函数.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：（共74分） 17．（12分）（理）如图，求由两条曲线y =－x 2，4y =－x 2及直线y =－1所围成图形的面积. （文）甲、乙、丙三位同学独立完成6道数学自测题，他们答及格的概率依次为54、53、107.求（1）三人中有且只有2人答及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率.4y =－x 2y =－x 218．（12分）将函数xx x f 1)(+=的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位，可得到函数g (x )的图象.（1）写出g(x )的解析式；（2）解关于x 的不等式)1(log )(log 29><a x g a a .19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足21),2(0211=≥=⋅+-a n S S a n n n . （1）求证：{nS 1}是等差数列；（2）求a n 的表达式；（3）若b n =2(1－n)·a n (n ≥2)时，求证：b 22+b 32+…+b n 2＜1.20．（12分）已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD=a2，M、N分别是AD、PB的中点.（1）求证：平面MNC⊥平面PBC；（2）求点A到平面MNC的距离.A21．（12分）某公司欲将一批不易存放的水果从A地运往B地，有汽车、火车、直升飞机等运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：若这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/时，问采用哪一种运输工具较好（即运输过程中费用与损耗之和最小）？22．（14分）（理）已知椭圆)1(1222>=+a y ax ，直线l 过点A （－a ，0）和点B （a ，ta ）（t ＞0）交椭圆于M.直线MO 交椭圆于N.（1）用a ，t 表示△AMN 的面积S ；（2）若t ∈[1，2]，a 为定值，求S 的最大值.（文）已知椭圆C 的焦点是F 1（－3，0）、F 2（3，0），点F 1到相应的准线的距离为33，过F 2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，使得|F 2B|=3|F 2A|. （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程.x高考模拟测试23 数学参考答案及评分意见一、选择题（5分×12=60分）1.A2.（理）C （文）B3.D4.D5.C6.C7.A8.B9.A 10.B 11.（理）D （文）C 12.C 二、填空题（4分×4=16分） 13．5 14.（理）67π（文）λ=－1或λ=3 15.10716.（1）（3）三、解答题（共74分）17．解：（理）由对称性，所求图形面积为位于y 轴在侧图形面积的2倍…2分由{12-=-=y xy 得C （1，－1）同理得D （2，－1）……5分∴所求图形的面积⎰⎰---+---=121222})]1(4[)](4[{2dx x dx x x S ……8分⎰⎰⎰+-=10212122)443(2dx dx x dx x 34)|124(221213103=+-=x x x……12分（文）设甲、乙、丙答题及格分别为事件A 、B 、C ，则事件A 、B 、C 相互独立………………2分（1）三人中有且只有2人答及格的概率为)()()()()()()()()()()()(1C P B P A P C P B P A P C P B P A P BC A P C BA P C AB P P ++=++= 25011310753)541(107)531(54)1071(5354=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=………………………………7分（2）三人中至少有一人不及格的概率为P 2=1－P(ABC)=1－P(A)P(B)P(C)=1258310753541=⨯⨯-12分 18．解：（1）依题意，41224142)4()(-+-=+-+-=+-=x x x x x f x g ……………………4分（2）不等式⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+-⇔294120412x x x x …6分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--->--⇔04)29)(6(04)3(2x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇔62944x x x 或…10分 629<<⇔x ………………11分 ∴1>a 时，不等式解集为}629|{<<x x ………………12分 4y =－x 2y =－x 219．（1）证明：)3,2,1(0),2(2,2111 =≠≥=+-∴⋅=----n S n S S S S S S a n n n n n n n n……1分2111=-∴-n n S S ……2分又21111==a S }1{n S ∴是以2为首项，2为公差的等差数列……4分（2）解：由（1）n n S n 22)1(21=⋅-+= nS n 211=∴……5分当n ≥2时，)1(21)1(21211--=--=-=-n n n n S S a n n n （或n ≥2时，)1(2121--=-=-n n S S a n n n ）当n=1时，2111==a S ………………7分 )2()1(21)1(21≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==∴n n n n a n ………………8分（3）由（2）知，nn n n a n b n n 1])1(21[)1(2)1(2=--⋅-=-=………………………………9分n n nb b b n )1(13212111312122222322-++⨯+⨯<+++=+++∴ …………………10分 )111()3121()211(nn --++-+-= …………11分 111<-=n …………………………12分 20．解：（1）连PM 、MB ∵PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥MD …1分222222222323a AM AB BM a MD PD PM =+==+=∴又∴PM=BM 又PN=NB ∴MN ⊥PB ………………………3分,22,BC a PC a BC a DC PD ==∴===得NC ⊥PB ∴PB ⊥平面MNC ……5分 ⊂PB 平面PBC∴平面MNC ⊥平面PBC ……6分（2）取BC 中点E ，连AE ，则AE//MC ∴AE//平面MNC ， A 点与E 点到平面MNC 的距离相等…7分取NC 中点F ，连EF ，则EF 平行且等于21BN ∵BN ⊥平面MNC ∴EF ⊥平面MNC ，EF 长为E点到平面MNC 的距离……9分 ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊥DC ∴BC ⊥PC.24121,222aPB BN EF a PC BC PB ====+=∴ 即点A 到平面MNC 的距离为2a ……12分21．解：设A 、B 两地的距离为S 千米，分别用F 1、F 2、F 3表示汽车、火车、飞机运输时的总支出…1分则有F 1=8S+1000+300)250(+S =14S+1600（元） F 2=4S+2000+300)4100(+S =7S+3200（元）F 3=16S+1000+300)2200(+S =17.5S+1600（元）……7分 ∵S ＞0，∴F 1＜F 3 由F 1－F 2=7S －1600∴当0＜S ＜71600千米时F 1＜F 2，F 1最小，采用汽车运输较好；………………………………10分当71600>S 千米时F 2＜F 1＜F 3，采用火车运输较好；当S=71600千米时，采用汽车与火车运输的费用一样，但比飞机运输费用少.……………………12分22．解（理）（1）易得l 的方程为)(2a x t y +=…1分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1)(2222y a x a x t y ，得（a 2t 2+4）y 2－4aty =0…2分解得y=0或4422+=t a at y 即点M 的纵坐标4422+=t a at y M ………………4分 S=S △AMN =2S △AOM =|OA|·y M =22244t a t a +…7分（2）由（1）得，)0(444422222>+=+=t t a ta ta t a S 令2224,4a tV t a t V +-='+=…………9分由a t V 20=⇒='当a t 2>时，0,20;0<'<<>'V a t V 时当…10分若1≤a ≤2，则)2,1[2∈a，故当a t 2=时，S max =a 11分若a ＞2，则t a t V a 24.120+=<< 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,22max44a a S +=13分综上可得⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=)2(44)21(22maxa a a a a S …………14分（文）（1）依题意，椭圆中心为O （0，0），3=c ……1分点F 1到相应准线的距离为1333,322=⨯=∴=b cb ， a 2=b 2+c 2=1+3=4…………………………3分∴所求椭圆方程为1422=+y x …………………………4分（2）设椭圆的右准线l '与l 交于点P ，作AM ⊥l '，AN ⊥l '，垂足分别为M 、N. 由椭圆第二定义，得||||||||22AM e AF e AM AF =⇒=同理|BF 2|=e|BN|……6分由Rt △PAM ～Rt △PBN ，得||2||2||21||2AM e A F AB PA ===…9分xl ePA AM PAM ⇒=⨯===∠∴33232121||||cos 的斜率2tan =∠=PAM k .………………12分∴直线l 的方程062)3(2=---=y x x y 即……………………………………14分。

2019-2020学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷

2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷一、选择题1. 设集合A＝{x|x2−3x−4>0}，B＝{x|−2≤x≤3}，则(∁R A)∩B＝（）A.RB.[−2, −1]C.[−1, 3]D.[−2, 4]【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】化简集合A＝{x|x>4或x<−1}，从而求∁R A＝{x|−1≤x≤4}再求(∁R A)∩B＝{x|−1≤x≤3}．【解答】A＝{x|x2−3x−4>0}＝{x|x>4或x<−1}，B＝{x|−2≤x≤3}，∁R A＝{x|−1≤x≤4}，则(∁R A)∩B＝{x|−1≤x≤3}，2. 已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0, −3)，F2(0, 3)，P是双曲线上一点且||PF1|−|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（）A.x24−y25=1 B.x25−y24=1 C.y24−x25=1 D.y25−x24=1【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距，再由a，b，c之间的关系求出b，进而求出双曲线的方程．【解答】由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2−a2＝9−4＝5，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为：y 24−x25=1，3. 已知两非零复数z1，z2，若z1⋅z2∈R，则一定成立的是（）A.z1+z2∈RB.z1⋅z2¯∈RC.z1z2∈R D.z1z2¯∈R【答案】D【考点】复数的运算【解析】设z1＝a+bi，z2＝c+di，(a, b, c, d∈R)，然后逐个计算判断A、B、C，结合z1z2∈R判断D正确．【解答】设z1＝a+bi，z2＝c+di，(a, b, c, d∈R)，z1+z2＝a+bi+c+di＝a+c+(b+d)i，∴z1+z2∈R不一定成立，故A不正确；则z1⋅z2¯=(a+bi)(c−di)＝ac+bd+(bc−ad)i，∴z1⋅z2¯∈R不一定成立，故B不正确；z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bd+(bc−ad)ic2+d2，∴z1z2∈R不一定成立，故C不正确；∵z1z2¯=z1⋅z2z2¯⋅z2=z1⋅z2|z2|2，且z1z2∈R，∴z1z2¯∈R正确，故D成立．4. 已知a，b∈R，则“|a|≤1”是“|a−b|+|b|≤1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据绝对值不等式的性质和特殊值法，判断即可．【解答】|a−b|+|b≥|a−b+b|＝|a|，因为|a−b|+|b|≤1，所以|a||≤1，故后者能推出前者，反之，比如a＝1，b＝3，推不出后者，故为必要不充分条件，5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.4√3B.103√3 C.2√3 D.83√3【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，然后由柱体体积减去三棱锥体积求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，三角形ABC的面积S=12×2×√22−12=√3．∴几何体的体积V=√3×4−13×√3×2=10√33．6. 函数y=2x sin(π2+6x)4x−1的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【考点】诱导公式奇函数函数的图象【解析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵ 函数f(x)=2x sin (π2+6x)4x −1=2x cos 6x 4x −1，∴ f(−x)=2−x cos (−6x)4−x −1=−2x cos 6x 4x −1=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A ，∵ 当x 从右趋向于0时，f(x)趋向于+∞，当x 趋向于+∞时，f(x)趋向于0，故排除BC . 故选D .7. 设12<p <1，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如表：则当p 在(12,1)内增大时（） A.E(ξ+η)减小，D(ξ+η)增大 B.E(ξ+η)减小，D(ξ+η)减小 C.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)增大 D.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】求出E(ξ)=−13，E(η)＝2p −1，从而E(ξ+η)＝2p −43，D(ξ)=89，D(η)＝4p −4p 2，从而D(ξ+η)＝4p −4p 2+89=−4(p −12)2+179，由此得到当p 在(12,1)内增大时，E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小．【解答】12<p <1，E(ξ)=−23+13=−13，E(η)＝p −1+p ＝2p −1， E(ξ+η)＝2p −43，D(ξ)＝(−1+13)2×23+(1+13)2×13=89， D(η)＝(−2p)2(1−p)+(2−2p)2p ＝4p −4p 2， D(ξ+η)＝4p −4p 2+89=−4(p −12)2+179，∴当p在(12,1)内增大时，E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小，8. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，△ADE沿着AE向上翻折，使点D到D′．若D′在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部（不含边界），设二面角D′−BC−E的大小为α，直线D′C，D′B与平面ABC所成角分别为β，γ，则（）A.α<β<γB.β<α<γC.β<γ<αD.γ<β<α【答案】C【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角【解析】作出图象，根据空间角定义可得tanα=D ′HHM ，tanβ=D′HHC，tanγ=D′HHB，结合HM<HB<HC，即可得出结论．【解答】由AB＝2AD＝4可知，DE＝DA，作AB中点P，则DP⊥AE，故H在线段DP上，作D′M⊥BC交BC于M，连接HM，HB，HC，如图，易知，tanα=D ′HHM ，tanβ=D′HHC，tanγ=D′HHB，又HM<HB<HC，∴β<γ<α．9. 已知a>b>0，给出下列命题：①若√a−√b=1，则a−b<1；②若a3−b3＝1，则a−b<1；③若e a−e b＝1，则a−b<1；④若ln a−ln b＝1，则a−b<1．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】①若√a−√b=1，则√a=√b+1，然后两边平方，再通过作差法即可得解；②若a3−b3＝1，则a3−1＝b3，然后利用立方差公式可知(a−1)(a2+a+1)＝b3，再结合a>b>0以及不等式的性质即可判断；③若e a−e b＝1，则e a−b=e ae b =e b+1e b=1e b+1，再利用b>0，得出e b>1，从而求得e a−b的范围，进而判断；④取特殊值，a＝e，b＝1即可判断．【解答】①若√a−√b=1，则√a=√b+1，所以a=b+1+2√b，所以a−b＝1+2√b>1，即①错误；②若a3−b3＝1，则a3−1＝b3，即(a−1)(a2+a+1)＝b3，因为a>b>0，所以a2>b2，所以a2+a+1>b2，所以a−1<b，即a−b<1，所以②正确；③若e a−e b＝1，则e a−b=e ae b =e b+1e b=1e b+1，因为b>0，所以1<e a−b<2<e，所以a−b<1，即③正确；④取a＝e，b＝1，满足ln a−ln b＝1，但a−b>1，所以④错误；所以真命题有②③，10. 已知数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2−3a n＝a n−1(n∈N∗, n≥2)，S n是数列{a n}的前n项和，则下列选项中错误的一项是（）A.若{a n}单调递增，则0<a1<2B.若a1＝1，则234<a3<2C.若a1≠2，则(2a2+1)(2a3+1)⋯(2a n+1)=a1−2a n−2(n≥2)D.若a1＝3，则S n≥3(3n+1)4．【答案】D【考点】命题的真假判断与应用数列递推式【解析】由数列递增可得a n>a n−1，结合数列的递推式，解不等式可判断A；分别求得a2，a3，比较可判断B；由数列的递推式可得2a n+1=a n−1−2a n−2，由累差法可判断C；求得a2，S2，可判断D．【解答】数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2−3a n＝a n−1(n∈N∗, n≥2)，若{a n}单调递增，可得a n>a n−1，即为a n−a n−1＝4a n−2a n2>0，可得0<a n<2，(n≥2且n∈N∗)，由a1<a2，可得0<a1<2，故A正确；若a1＝1，可得2a22−3a2＝a1＝1，解得a2=3+√174（负值已舍去），由2a32−3a3＝a2=3+√174，(∗)，3+√174∈(1.75, 1.8)，而2a 32−3a 3＝2(a 3−34)2−98在(234, 2)的范围是(4√2−3×234, 2)，而√2<234<2，则4√2−3×234∈(4√2−6, √2)，故方程(∗)的解在(234, 2)内，故B 正确；由2a n 2−3a n ＝a n−1，可得2a n 2−3a n −2＝a n−1−2，即(2a n +1)(a n −2)＝a n−1−2，即2a n +1=a n−1−2a n −2，可得(2a 2+1)(2a 3+1)…(2a n +1)=a 1−2a 2−2⋅a 2−2a 3−2⋯a n−1−2a n −2=a 1−2a n −2(a 1≠2)，故C 正确；若a 1＝3，可得2a 22−3a 2＝a 1＝3，解得a 2=3+√334，S 2＝3+3+√334，由3×(3×2+1)4=214，3+3+√334−214=√33−64<0，可得S 2<3×(3×2+1)4，故D 错误．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为α，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin α＝________，sin α2+cos α2=________．【答案】35,2√105【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】直接利用三角形的全等，整理出关于一元二次方程，进一步利用关系式的应用求出三角函数的值．【解答】根据已知条件四个直角三角形全等，所以设直角三角形的短的直角边长为x ，则较长的直角边长为x +1，所以x 2+(x +1)2＝52，整理得x 2+x −12＝0，解得：x ＝3或−4（负值舍去），所以sin α=35．sin α2+cos α2=√(sin α2+cos α2)2=√1+sin α=√1+35=2√105．已知直线l:y =kx 被圆C ：(x −1)2+(y +2)2=4截得的弦长为2√3，则k =________，圆C 上到直线l 的距离为1的点有________个．【答案】−34,3【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l1的距离d，再根据弦长公式求出d，解方程求得k值，【解答】解：由题得圆心C(1, −2)，则圆心到直线l的距离d=√k2+1=√4−(√3)2=1，解得k=−34；因为d=1，r=2，则圆C上到直线l的距离为1的点应有3个.故答案为：−34；3.（1）若二项式(x√x)n(n∈N∗)的展开式中存在常数项，则n的最小值为________；（2）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为________．（用数字作答）【答案】3700【考点】二项式定理及相关概念排列、组合及简单计数问题【解析】（1）根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值；（2）根据题意，分2步进行分析：①，从6名志愿者中选出4人，②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案【解答】(x√x)n(n∈N∗)的展开式中通项公式为T r+1=∁n r x n−r⋅√x)r=∁n r⋅(−2)r⋅x n−32r，令n−32r＝0，解得n=32r，其中r＝0，1，2，…，n；当r＝2时，n＝3；所以n的最小值为3．根据题意，分2步进行分析：①，从6名志愿者中选出4人，有C64＝15种选法，②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有24−2＝14种情况，则有15×14＝700种不同的安排方案，故答案为：3，700．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4√5，c＝5，B＝2C，则cos C＝________，点D为边BC上一点，且BD＝6，则△ADC的面积为________．【答案】2√55,10【考点】余弦定理【解析】由已知结合正弦定理可求cos C，然后结合二倍角关系可求sin B，结合三角形的面积公式及等高三角形的面积比可转化为底的比可求．【解答】因为b=4√5，c＝5，B＝2C，由正弦定理可得，bsin B =csin C，所以4√5sin2C =5sin C=4√52sin C cos C，则cos C=2√55；sin B＝2sin C cos C＝2×2√55×√55=45，∴S△ABD=12×5×6×45=12，由余弦定理可得，cos C=2√55=28√5a，解可得a＝5（舍）或a＝11，所以S△ABDS△ADC =BDCD=65，∴S△ADC=56×12=10．已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，A，B是椭圆C上的两个相异动点，若AB中点的横坐标为1，则F到直线AB距离的最小值为________．【答案】√152【考点】椭圆的离心率【解析】分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，由于同一点对称性设斜率大于0，与椭圆联立求出两根之和，再由AB的中点的横坐标求出参数之间的关系，由点到直线的距离公式求出F到直线AB距离．令参数部分为函数，求导，由函数的单调性求出函数的最大值，进而求出F到直线AB的最小值．【解答】由题意的方程可得：F(−1, 0)，若直线AB 的斜率不存在时，则由题意可得AB 的方程为：x ＝1，这时F 到直线AB 的距离为2，当直线AB 的斜率存在且不会为0时，由题意的对称性设k >0，设方程为y ＝kx +b ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与椭圆的方程可得：{y =kx +b3x 2+4y 2−12=0 ，整理可得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12＝0，△＝64k 2b 2−4⋅(3+4k 2)(4b 2−12)>0，即b 2<3+3k 2，x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，因为AB 中点的横坐标为1，所以−8kb 3+4k 2=2，即b =−3+4k 24k所以F 到直线AB 的距离d =√1+k2=|−3+4k 24k −k|√1+k 2=24√k 4+k2=14⋅√64k 4+48k 2+9k 4+k 2=14⋅√64(k 4+k 2)−16k 2+9k 4+k 2=14⋅√64−16k 2−9k 4+k 2，令g(k)=16k 2−9k 4+k 2，k >0，g ′(k)=16k(k 4+k 2)−(16k 2−9)(4k 3+2k)(k 4+k 2)2=−2k(2k 2−3)(8k 2+3)(k 4+k 2)2，当0<k <√62，g ′(k)>0，g(k)单调递增，当k >√62，g ′(k)<0，g(k)单调递减，所以∈(0, +∞)时g(√62)最大，且g(√62)=16⋅32−994+32=4，所以d =14√64−4=√152<2，已知向量a →,b →满足|2a →+b →|=1，且a →⋅(a →−b →)=1，则|a →−b →|的取值范围为________．【答案】[√13−12, √13+12] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由|2a →+b →|=1和a →⋅(a →−b →)=1，求得a →2和a →⋅b →的值，以及b →2的取值范围，再求(a →−b →)2的取值范围，即可得出|a →−b →|的取值范围．【解答】由|2a →+b →|=1得4a →2+4a →⋅b →+b →2=1，① 又a →⋅(a →−b →)=1得a →2−a →⋅b →=1，②由①②得a →2=18(5−b →2)，a →⋅b →=18(−3−b →2)，且|a →⋅b →|≤|a →||b →|，即18(3+b →2)≤√18(5−b →2)×|b →|，9b →4−34b →2+9≤0，17−4√139≤b →2≤17+4√139；所以(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=18(5−b →2)−14(−3−b →2)+b →2=98b →2+118，所以14−2√134≤98b →2+118≤14+2√134，所以|a →−b →|的取值范围是[√13−12, √13+12]．已知函数f(x)＝x 3−3x 2+ax(a <0, a ∈R)，若函数f(x)有三个互不相同的零点0，t 1，t 2，其中t 1<t 2，若对任意的x ∈[t 1, t 2]，都有f(x)≤a +14成立，则实数a 的最小值为________．【答案】 −9【考点】利用导数研究函数的极值【解析】由题意由题意可知，t 1，t 2是x 2−3x +a ＝0的根，且t 1+t 2＝3，t 1⋅t 2＝a <0，从而可知a <0，t 1<0<t 2，然后结合导数可求f(x)max ，而原题可转化为f(x)max ≤a +14，代入解不等式可求．【解答】因为f(x)＝x 3−3x 2+ax ＝x(x 2−3x +a)，由题意可知，t 1，t 2是x 2−3x +a ＝0的根，则t 1+t 2＝3，t 1⋅t 2＝a <0，△＝9−4a >0，∴ a <0，t 1<0<t 2，当t 1<0<t 2时，f′(x)＝3x 2−6x +a ，则存在f(x)的极大值点x 1∈(t 1, 0)，且−a =3x 12−6x 1，由题意，f(x)max ＝f(x 1)＝x 13−3x 12+ax 1≤a +14，将−a =3x 12−6x 1，代入得(x 1−3)3≥−8，解可得−1≤x 1<0．又因为−a =3x 12−6x 1，结合二次函数的性质可知，0<−a ≤9，得−9≤a <0即a 的最小值−9．三、解答题（共5小题，满分74分）已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示； (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间．【答案】（1）由图知，A＝2．T＝π，ω=2πT =2ππ=2，由2sin(2×0+φ)＝1，即sinφ=12，又φ∈(0, π2)，所以φ=π6故f(x)＝2sin(2x+π6)．（2）g(x)＝f(x−π12)−f(x+π12)＝2sin[2(x−π12)+π6]−2sin[2(x+π12)+π6]＝2sin2x−2sin(2x+π3)＝2sin2x−2×( 12sin2x+√32cos2x)＝sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间是[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）由图知，A＝2，由T＝π，可求得ω，由2sin(2×0+φ)＝1可求得φ；（2）先化简g(x)，然后利用三角函数的单调性即可得到结论．【解答】（1）由图知，A＝2．T＝π，ω=2πT =2ππ=2，由2sin(2×0+φ)＝1，即sinφ=12，又φ∈(0, π2)，所以φ=π6故f(x)＝2sin(2x+π6)．（2）g(x)＝f(x−π12)−f(x+π12)＝2sin[2(x−π12)+π6]−2sin[2(x+π12)+π6]＝2sin2x−2sin(2x+π3)＝2sin2x−2×( 12sin2x+√32cos2x)＝sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间是[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z．如图，四棱锥P−ABCD中，△PAB是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC=π3，F，G分别是PC，AD的中点．（1）①求证：FG // 平面PAB；②求线段FG的长度；（2）若PC＝3，求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．【答案】①证明：取BC中点I，则GI // AB，FI // PB，∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，∴平面GFI // 平面PAB，∴FG // 平面PAB；②由①可知，FI=1,IG=32,∠FIG=∠PBA=60，由余弦定理有，FG=√1+94−2×1×32×cos60=√72；∵PO=OC=√3,PC=3，∴∠POC＝120∘，又EO⊥AB，OC⊥AB，∴AB⊥平面POC，∴平面POC⊥平面ABC，延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，PH=32，∵PB＝BC＝2，PC＝3，∴S△GBC=3√74，设G到平面PBC的距离设为ℎ，则ℎ×3√74=32×3√34，∴ℎ=3√2114，∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行【解析】（1）①通过证明面GFI // 面PAB，再利用面面平行的性质得证；②由余弦定理求解即可；（2）作出图象，设G到平面PBC的距离设为ℎ，利用等体积法求出ℎ，进而可得直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．【解答】①证明：取BC中点I，则GI // AB，FI // PB，∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，∴平面GFI // 平面PAB，∴FG // 平面PAB；②由①可知，FI=1,IG=32,∠FIG=∠PBA=60，由余弦定理有，FG=√1+94−2×1×32×cos60=√72；∵PO=OC=√3,PC=3，∴∠POC＝120∘，又EO⊥AB，OC⊥AB，∴AB⊥平面POC，∴平面POC⊥平面ABC，延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，PH=32，∵PB＝BC＝2，PC＝3，∴S△GBC=3√74，设G到平面PBC的距离设为ℎ，则ℎ×3√74=32×3√34，∴ℎ=3√2114，∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．设S n是数列{a n}的前n项和，且a n是S n和2的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)(1≤k≤n)，①求数列{b k}(1≤k≤n)的前n项和T n；②设M=2T1+22T2+⋯+2nT n(n∈N∗)，求证：12≤M<34．【答案】∵a n是S n和2的等差中项，∴S n+2＝2a n①，当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1②，①-②得：a n＝2a n−2a n−1，∴a n＝2a n−1，∴a na n−1=2，∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n (n∈N∗)．①b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2k⋅2k(2n−k+1−1)2−1= 2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，∴T n＝2n(22+……+2n+2n+1)−(4+42+……+4n)＝2n×4(2n−1)2−1−4(4n−1)4−1=43(2n+1−1)(2n−1)．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．∴M=34(12−1−122−1+122−1−123−1+⋯⋯+12n−1−12n+1−1)=34(1−12n+1−1)＝f(n)．由于f(n)单调递增，可得：f(1)≤M<34，即12≤M<34．【考点】数列的求和等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】（1）由a n是S n和2的等差中项，可得S n+2＝2a n，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1，相减可得：a n＝2a n−1，n＝1时，可得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）①利用等比数列的求和公式可得：b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，进而得出T n．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．利用裂项求和可得M，再利用数列的单调性即可证明结论．【解答】∵a n是S n和2的等差中项，∴S n+2＝2a n①，当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1②，①-②得：a n＝2a n−2a n−1，∴a n＝2a n−1，∴a na n−1=2，∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n (n∈N∗)．①b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2k⋅2k(2n−k+1−1)2−1= 2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，∴T n＝2n(22+……+2n+2n+1)−(4+42+……+4n)＝2n×4(2n−1)2−1−4(4n−1)4−1=43(2n+1−1)(2n−1)．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．∴M=34(12−1−122−1+122−1−123−1+⋯⋯+12n−1−12n+1−1)=34(1−12n+1−1)＝f(n)．由于f(n)单调递增，可得：f(1)≤M<34，即12≤M<34．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC⊥EF．（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求△ABC面积的最小值及此时直线AC的方程．【答案】由题意可得抛物线的焦F坐标(1, 0)，准线方程为：x＝−1，显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线与抛物线的方程：{y2=4xx=my+1，整理可得y2−4my−4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝−4，由题意可得E(−1, y2)，所以k EF=y2−2，所以直线AC 的方程为：y −y 1=2y 2(x −x 1)，所以x =yy 2−y 1y 22+x 1，代入抛物线的方程：y 2−2y 2y +2y 1y 2−4x 1＝0，可得AC 的中点的纵坐标为y 2，而直线BE 为y ＝y 2，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；设C(x 0, y 0)，B(t 24, t)，则E(−1, t)，由（1）得y 1y 2＝−4，所以A(4t2, −4t)，因为k EF =−t 2，因为AC ⊥EF ，所以k AC =2t，所以直线AC 的方程为：y +4t =2t (x −4t 2)，由{y 2=4x2x −ty −4−8t 2=0 整理可得：y 2−2ty −8−16t 2=0，所以y 1+y 0＝2t ，y 1y 0＝−8−16t 2，所以|AC|=√1+t 24|y 1−y 0|=√1+t 24√(y 1+y 0)2−4y 1y 0=√4+t 2√t 2+16t 2+8，B 到直线AC 的距离为d =|t 22−t 2−4−8t2|√4+t 2=|t 2+16t2+8|2√4+t 2，所以S △ABC =12|AC|⋅d =14√(t 2+16t 2+8)3≥14√(2√16+8)3=16，当且仅当t 4＝16时，面积取到最小值16，即t ＝±2， t ＝2时，直线AC 为y +2＝x −1，即x −y −3＝0， t ＝−2时，直线AC 为y −2＝−(x −1)即x +y −3＝0．综上所述△ABC 面积的最小值为16，且此时直线AC 的方程：x −y −3＝0或x +y −3＝0．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】（1）又抛物线的方程可得F 的坐标及准线方程，设A ，B 的坐标，由题意可得E 的坐标，可得EF 的斜率，再由椭圆可得直线AC 的斜率，进而可得直线AC 的方程，与抛物线联立可得两根之和，可得AC 中点M 的纵坐标与B 的相同，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；（2）设B 的坐标，由（1）可得AB 的纵坐标之积为−4可得A 的坐标（用B 的坐标表示），进而可得E 的坐标，求出直线EF 的斜率，由题意可得直线AC 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AC 的值，再求B 到直线AC 的距离，代入面积公式可得，由均值不等式可得面积的最小值，并且求出此时的直线方程．【解答】由题意可得抛物线的焦F 坐标(1, 0)，准线方程为：x ＝−1，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与抛物线的方程：{y 2=4xx =my +1 ，整理可得y 2−4my −4＝0，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝−4，由题意可得E(−1, y 2)，所以k EF =y2−2，所以直线AC 的方程为：y −y 1=2y 2(x −x 1)，所以x =yy 2−y 1y 22+x 1，代入抛物线的方程：y 2−2y 2y +2y 1y 2−4x 1＝0，可得AC 的中点的纵坐标为y 2，而直线BE 为y ＝y 2，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；设C(x 0, y 0)，B(t 24, t)，则E(−1, t)，由（1）得y 1y 2＝−4，所以A(4t2, −4t)，因为k EF =−t 2，因为AC ⊥EF ，所以k AC =2t，所以直线AC 的方程为：y +4t =2t (x −4t 2)，由{y 2=4x2x −ty −4−8t 2=0 整理可得：y 2−2ty −8−16t 2=0，所以y 1+y 0＝2t ，y 1y 0＝−8−16t 2，所以|AC|=√1+t 24|y 1−y 0|=√1+t 24√(y 1+y 0)2−4y 1y 0=√4+t 2√t 2+16t 2+8，B 到直线AC 的距离为d =|t 22−t 2−4−8t2|√4+t 2=|t 2+16t2+8|2√4+t 2，所以S △ABC =12|AC|⋅d =14√(t 2+16t 2+8)3≥14√(2√16+8)3=16，当且仅当t 4＝16时，面积取到最小值16，即t ＝±2， t ＝2时，直线AC 为y +2＝x −1，即x −y −3＝0， t ＝−2时，直线AC 为y −2＝−(x −1)即x +y −3＝0．综上所述△ABC 面积的最小值为16，且此时直线AC 的方程：x −y −3＝0或x +y −3＝0．已知函数f(x)=x −12sin x −m 2ln x +1，f ′(x)是f(x)的导函数．（1）证明：当m ＝2时，f ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；（2）若存在x 1，x 2∈(0, +∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)＝f(x 2)，证明：x 1x 2<m 2．【答案】当m ＝2时，f(x)=x −12sin x −ln x +1，f ′(x)=1−12cos x −1x，当x ∈(0, π)时，f ′(x)为增函数，且f ′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f ′(π)=32−1π>0，∴ f ′(x)在(0, π)上有唯一零点，当x ∈[π, +∞)时，f ′(x)=1−12cos x −1x ≥1−12−1x ≥12−1π>0， ∴ f ′(x)在[π, +∞)上没有零点，综上知，f ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；不妨设0<x 1<x 2，由f(x 1)＝f(x 2)得x 1−12sin x 1−m2ln x 1+1=x 2−12sin x 2−m2ln x2+1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)，设g(x)＝x−sin x，则g′(x)＝1−cos x≥0，故g(x)在(0, +∞)为增函数，∴x2−sin x2>x1−sin x1，从而x2−x1>sin x2−sin x1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1ln x2−ln x1，下面证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1ln t>√t，只要证明ln t−√t<0，(∗)设ℎ(t)=ln t√t ，则ℎ(t)=√t−1)22t√t<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，从而(∗)得证，即x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求出f′(x)，分析出当x∈(0, π)时，f′(x)为增函数，且f′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f′(π)=32−1π>0，得到f′(x)在(0, π)上有唯一零点，又因为当x∈[π, +∞)时，f′(x)=1−12cos x−1x≥1−12−1x≥12−1π>0，所以f′(x)在[π, +∞)上没有零点，从而得出f′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；（2）不妨设0<x1<x2，由f(x1)＝f(x2)得x1−12sin x1−m2ln x1+1=x2−12sin x2−m 2ln x2+1，即m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)．设g(x)＝x−sin x，利用导数得到g(x)在(0, +∞)为增函数，从而m>x2−x1ln x2−ln x1，再证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2．从而得出m>√x1x2，即x1x2<m2．【解答】当m＝2时，f(x)=x−12sin x−ln x+1，f′(x)=1−12cos x−1x，当x∈(0, π)时，f′(x)为增函数，且f′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f′(π)=32−1π>0，∴f′(x)在(0, π)上有唯一零点，当x∈[π, +∞)时，f′(x)=1−12cos x−1x≥1−12−1x≥12−1π>0，∴f′(x)在[π, +∞)上没有零点，综上知，f′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；不妨设0<x1<x2，由f(x1)＝f(x2)得x1−12sin x1−m2ln x1+1=x2−12sin x2−m2ln x2+1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)，设g(x)＝x−sin x，则g′(x)＝1−cos x≥0，故g(x)在(0, +∞)为增函数，∴x2−sin x2>x1−sin x1，从而x2−x1>sin x2−sin x1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1ln x2−ln x1，下面证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1ln t>√t，只要证明ln t−√t<0，(∗)设ℎ(t)=ln t√t ，则ℎ(t)=√t−1)22t√t<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，从而(∗)得证，即x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．。

2024届浙江省“温州十校联合体”高三数学试题第一次统练(一模)试题

2024届浙江省“温州十校联合体”高三数学试题第一次统练（一模）试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（） A ．26B ．13C ．23D ．12．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 4．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值5．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P ，渐近线方程为2y x =的双曲线的标准方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=6．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）. A ．432B ．576C ．696D ．9607．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的2，则E 的离心率为( ) A 3B ．12C ．22D ．238．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（）A ．－10B ．－9C ．－7D ．19．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-10．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件11．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（）A ．10B ．16C ．20D ．2412．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省十校联盟2019年10月联考高三数学试题及答案

2020届浙江十校10月联考一、选择题：本大题共10小题，共40分1. 若集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则（）A ．1BCD ．23. 定义在上的奇函数满足，则函数的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 4. 若实数满足约束条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5. 由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．6. 设，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（）8.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（） A ．72B ．144C ．150D ．180{}12A x x =-<<{}2,0,1,2B =-A B I ∅{}0,1{}0,1,2{}2,0,1,2-()222102x y b b-=>b=R ()f x ()()220f x x x x =-≥()f x , x y 220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩z x y =+[]7,2-[]1,2-[)1,-+∞[)2,+∞143π2ππ2π俯视图侧视图x R ∈2x ≤212x x ++≥1x y a -=()()log 10,1a y x a a =->≠且DCBA9. 在中，若，则（）A ．1 BCD10. 在正方体中，点，分别是棱，上的动点，且．当三棱锥的体积取得最大值时，记二面角，，的平面角分别为，，，则（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共7小题，共36分 11. 复数（是虚数单位），则，其共轭复数． 12. 的展开式的各个二项式系数的和为，含的项的系数是． 13. 已知圆与圆相交于，两点，则两圆连心线的方程为．两圆公共弦的长为．14. 在中，，，，则．若是的中点，则． 15. 1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“”．1966年，我国数学家陈景润证明了“”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是．16. 已知是椭圆：的一个焦点，是上的任意一点，则称为椭圆的焦半径．设的左顶点与上顶点分别为，若存在以为圆心，为半径上的圆经过点，则椭圆的离心率的最小值为．17. 若数列满足，且对任意，有，则的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分18. （14分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期与单调递增区间．ABC △2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB BC=u u u r u u u r ABCD A B C D ''''-E F CD BC 2BF CE =C C EF '-C EF C '--C EF A ''--A EF A '--αβγαβγ>>αγβ>>βαγ>>βγα>>21iz =+i z =z =(51-22:4C x y +=22:4240D x y x y +-++=A B CD AB ABC △3cos 5C =1BC =5AC =AB =D AB CD =1+11+2F C ()222210x y a b a b+=>>P C FP C C A B 、A FP B C {}n a 1132n n a a +=-*n ∈N 1n n a a +>1a αO x (1P -cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()()22sin cos f x x x x R αα=+--∈19. （15分）如图，平面平面，且，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值．20. （15分）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和，并求的最小值．ABC ⊥DBC AB BC BD ==120ABC DBC ∠=∠=︒AD BC ⊥AB ADC DCBA{}n a n ()*n S n N ∈164a a a +=69S ={}n b 12b =()*122n n n b b n n N --=≥∈，{}n a {}n b {}n n a b n n T n T21. （15分）已知抛物线过点，且到抛物线焦点的距离为2，直线过点，且与抛物线相交于两点．（1）求抛物线的方程；（2）若点恰为线段的中点，求直线的方程；（3）过点作直线、分别交抛物线于两点，请问三点能否共线？若能，求出直线的斜率；若不能，请说明理由．22. （15分）已知函数，其导函数设为．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，试用，表示；（3）在（2）的条件下，若的极值点恰为的零点，试求，这两个函数的所有极值之和的取值范围．()220y px p =>()2P m ，P l ()22Q -，A B 、Q AB l ()10M -，MA MB C D 、C D Q 、、l k ()3211132f x x ax bx =+++(),a b R ∈()g x ()f x ()f x 12,x x a b ()()12f x f x +()g x ()f x ()f x ()g x浙江省十校联盟2019年10月高三联考数学参考答案第 1 页共 4 页浙江省十校联盟2019年10月高三联考数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

2020届浙江省十校联盟高三10月联考试题数学(含答案)

绝密★考试结束前浙江省十校联盟2019年10月高三联考数学试题卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件A ，B 互斥那么，P(A ＋B)＝P(A)＋P(B) 如果事件A ，B 相互独立，那么，P(AB)＝P(A)P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k)＝C n k p k (1－P)n －k (k ＝0，1，2，..，n)台体的体积公式121()3V S S h =，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示为台体的高柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式S ＝4πR 2 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合{12},{2,0,1,2}A x x A =-<<=-，则A ∩B ＝ A.Φ B.{0，1} C. {0，1，2} D. {－2，0，1，2}2.己知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则b ＝A.1 D.23.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)＝x 2－2x(x ≥0)，则函数f(x)的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.34.若实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z ＝x ＋y 的取值范围是A.[－7，2]B. [－1，2]C.[－1，＋∞)D. [2，＋∞) 5.由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3π B.2πC. πD.2π 6.设x ∈R ，则“x ≤2”是“212x +≥x+”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.在同一直角坐标系中，函数y ＝a 1－x ，y ＝log a (x －1)(a>0，且a ≠1)的图象可能是8.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是 A.72 B.144 C.150 D.1809.在△ABC 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则AB BC=u u u ru u u rA.1B.22 C.32 D.6210.在正方体ABCD －A'B'C'D'中，点E ，F 分别是棱CD ，BC 上的动点，且BF ＝2CE 。

高三十校联考数学试卷理含答案试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高三十校联考数学试卷〔理〕一、填空题.〔本大题总分值是44分〕本大题一一共有11题，只要求直接填写上结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分． 1．集合{}Rx x y y A ∈+==,12，函数)4lg(2xx y -=的定义域为B ，那么=B A ________2．不等式2112<+x 的解集为___________. 3.函数y=1og 2(x 2+2)(x ≤0)的反函数是_________________. 4．复数,,4321i t z i z +=+=且21z z ⋅是实数，那么实数._________=t5．函数x xx f sin )2(cos 2)(2+=的最小正周期是____________.6．以抛物线xy 382=的焦点F为右焦点,且两条渐近线是3=±y x 的双曲线方程为___________________.7.在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛32,1π到圆θρcos 2=上动点的间隔的最大值为________.8.函数,121)(--=x x f 那么方程12)(=⋅x x f 的实根的个数是_________.9．特奥会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．假设每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，那么开幕式当天不同的排班种数为___________. 10．设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅定义且内一点∆其中p n m 、、分别是yx y x M f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=则若的面积∆∆∆ 的最小值是_______________. 11．)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈，满足)()()(a bf b af b a f +=⋅,)(2)2(),()2(,2)2(**∈=∈==N n f b N n n f a f n n n n n 考察以下结论：〔1〕)1()0(f f =；〔2〕)(x f 为偶函数；〔3〕数列{}n a 为等比数列；〔4〕e b nb nn =+∞→)11(lim 。

浙江省宁波市“十校”2024学年高三下学期第一次联合数学试题试卷

浙江省宁波市“十校”2024学年高三下学期第一次联合数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 2．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞3．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( ) A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根 D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根4．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（） AB．2CD5．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（） A ．33B ．233C ．3D ．236．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（） A ．1721B ．1928C ．79D ．23288．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥9．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C ．655D ．610．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A ．4π3B ．2π3C ．32π3D 64212．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市武昌区学度九级数学十校联考试卷-6页文档资料

2019-2019学年度湖北省武汉市武昌区九年级十校联考数学试卷2019.3.10亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面以及“答卷”上的注意事项：1. 本试卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成.全卷共三大题，满分120分，考试用时120分钟。

2. 答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答卷”相应位置。

3. 答第Ⅰ卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把“答卷”上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案.不得答在“试卷”上。

4. 第Ⅱ卷（非选择题）用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答卷”上。

答在．．“试卷．．”上无效．．．。

预祝你取得优异成绩！第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1.)2(1---的结果是A. 1.B. 3.C. 3-.D.1-. 2. 函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是A..3≥xB.3≤x .C.3-≥x .D.3-≤x .2．不等式组x 53,32x 1⎧⎨⎩＋≥－≥－的解集表示在数轴上正确的是4．下列事件中，是不可能事件的是A.通常温度降到0℃以下时，纯净水结冰.B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数.C.测量武汉市某天的最低气温，结果为50-℃.D.购买一张彩票，一定中奖. 5．今年某区约有12300名初中毕业生参加中考，12300用科学记数法表示为 A. .101232⨯ B. .103.123⨯ C. .1023.14⨯ D. .10123.05⨯ 6．如图:︒=∠+∠130NBA MAB ，则D C ∠+∠的值是 A.︒130. B.︒150. C.︒135. D.︒90.7.A.圆柱体.B.圆锥体.C.8.方程0)1)(2(=--x x 的两根是A.1,221-=-=x x . B. 1=x x 9.已知抛物线c bx ax y ++=2如图所示，则关于x 的方程052=-++c bx ax 的根的情况是A.有两个不相等的正实根.B.有两个异号实数根.C.有两个相等实数根.D.没有实数10题图 A6题图NM D C BA根.10.已知，如图⊙O 直径AB 延长线上一点P ，割线PCD 交⊙O 于C ，D ．弦DF ⊥AB 于H ， CF 交AB 于E ，DE ⊥CF ，∠P = 15°，⊙O 的半径为2，则CF 的大小为 A. 32. B. 62+. C. 31+. D. 32+.11.已知点A(－１，ｍ＋３）点Ｂ(２ｍ，１)，是双曲线x k y =上的两点，点C 在双曲线xky =上移动，以A ，B ，Ｃ，Ｄ(０，１)为顶点得四边形是梯形，则满足条件的点C 有A. 1个.B. 2个.C. 3个.D. 4个.12．已知，如图△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=60°,高线AD ，BE 相交于H ，直线OH 与AB,AC 分别交于Q ，P.下列结论：①∠BAO =∠CAD; ② AH=AO; ③△AQP 是等腰三角形；④若∠NAB ＝∠MAC ＝15°，则36=++AC AB AN AM .其中正确的有A.1个.B.2个.C.3个.D. 4个.填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13.计算：sin45°= , 23)3(a -= , 14.半径为2和5的两圆的圆心距为715. 已知点A(３，１)，⊙Ａ与坐标轴共有三个公共点，则半径为．16．将只有颜色不同的10个红球，10个白球分装到两个袋子中，其中一个袋子中装4个红球，x 个白球，另一个袋子中装6个红球，)10(x -个白球（100≤≤x ，且x 为整数），从两袋中各取一个球，恰好都是红球的概率为41，则x 的值是 . 二、填空题（共9小题，共72分）下列各题需要在答卷指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形. 17.(本小题6分) . 解方程组：⎩⎨⎧=-=+3252y x y x18.(本小题6分) .先化简，再求值：21)211(2+-÷+-x x x ，其中2=x . 19.(本小题6分) . 已知如图：△ABC 中,AB = 9，AC = 6，点D,E 分别在AB,AC 上，且DE ∥BC, 若AD = 3. 求AE 的值. 20.(本小题7分) .已知如图，在平面直角坐标系中，点A(9，0)，B(3，0)，点Ｃ在第一象限， ∠ACB = 90°,∠BAC = 30°,将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°.⑴直接写出旋转后点A 的对应点的坐标；⑵求旋转过程中线段AC 扫过的图形面积.21.(本小题7分) . 已知如图：△AC= BC = 26，⑴四边形DEFG 是12题图 M A D ENPG F C△ABC 内接正方形，求正方形DEFG 的边长；⑵点P 从点B 出发在线段AB 上移动，PQ ⊥AB 于Q ，以PQ 为边在PQ 的右侧作正方形PQMN ，设PQ = x ，正方形PQMN 与△ABC 公共面积为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式.22.(本小题8分) . 已知如图：点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连结CA,CB.⑴求证：∠PCA =∠CBA ；⑵作CD ⊥AB,垂足是D.求证：PA ·PB = PD ·PO23.(元，市场调x （元）（40≤x .⑴直接写出y 与x W(元)24.(,∠ABC =90°,AB= BC ，D 是BC 边上一点，DE ⊥AC 于E ，连⑴如果3=BD BC ，求ACCE 的值； ⑵如果3=BD BC ，求BF EF的值; ⑶如果n BD BC =，直接写出BFEF 的值 25.(本小题12分) . 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ； ⑴Ｑ(k ,2)是该抛物线上一点，且AQ ⊥BQ ，则ak 的值为． ⑵若点A(-1，0)，B （3，0）C （0，3）.①求抛物线的解析式；②点M 在x 轴上方抛物线上，点N 在y 轴负半轴上，且四边形ACMN 是等腰梯形，求点M 的坐标.2019—2019学年度武昌区九年级十校联考数学试题参考答案一、选择题:题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 AA DCCADCCBCD二、填空题： 13．3,9,226a ；14. 外切；15. 3,10；16. 8,4 三、17．解：⎩⎨⎧=-=+)2(32)1(52 y x y x23题图 FED BA24题图P B 22题图⑴+⑵，得：2=x ……………（3分）代人⑴，得：1=y ……………（5分）所以，原方程的解是⎩⎨⎧==12y x ……………（6分）18．解：原式=11)1)(1(221-=-++⨯++x x x x x x ……………（4分）当2=x 时，原式=1……………（6分）19．解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC, ……………（3分）∴ACAEAB AD =……………（5分） ∴2=AE ……………（6分）20.解：⑴)6,0(⑵∵A(9，0)，B(3，0)∴BA = 6 ……………（3分）∵∠ACB = 90°,∠BAC = 30°∴BC = 3……………（5分） ∵△ABC 绕点B 逆时针旋转120° ∴线段AC 扫过的图形面积=ππ9)(322=-BC BA ……………（7分）21.解：⑴作CH ⊥AB 于H ，交GF 于T ，则CH ，CT 分别是△ABC ，△CGF 的高线 ∵△AGF ∽△ABC ∴ABGFCH CT =……………（2分） ∵∠ACB = 90°，AC= BC = 26，∴AB = 12，CH=6 设正方形DEFG 的边长为a ，则1266aa =- 故正方形DEFG 的边长为4. ……………（3分）当6040≤≤x 时，6125)5.57(20)40)(150020(2+--=-+-=x x x w57=x 或58时，W 最大=6120⑵⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=)64(2)123()40(222x x x x x y ……………（7分） 22.证明：⑴连接OC ，∵PC 切⊙O 于点C ，∠PCO=90°∵BA 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCA =∠OCB=∠CBA ；……………（4分） ⑵∵∠PCA =∠CBA ，且∴∠P 是公共角，∵△PBC ∽△PCA ，PCPBPA PC = 即PB PA PC ⨯=2；∵CD 是直角△POC 斜边上的高，∴△PCD ∽△POC ； ∴PCPO PD PC =即 PO PD PC ⨯=2，∴PA ·PB = PD ·PO. ……………（8分）23.解：⑴⎩⎨⎧≤≤+-≤≤+-=)8060(,90010)6040(,150020x x x x y （且x 是整数）……………（5分）⑵当6040≤≤x 时，6125)5.57(20)40)(150020(2+--=-+-=x x x w57=x 或58时，W 最大=6120 ……………（8分）当8060≤≤x 时，6225)65(10)40)(90010(2+--=-+-=x x x w65=x 时，W 最大=6225.所以定价为65元时，利润最大. ……………（10分）24 解：⑴设AB= BC=a 3,则AC=a 23，DE=CE=a 2，∴31=AC CE ……………（3分） ⑵作EG ⊥BC 交AD 于G ，∴32==AC AE CD EG ，∵3=BD BC ，∴34=BD EG ,∴34==BD EG BF EF ……………（7分） ⑶nn BF EF 212-= ……………（10分） 25.(本小题12分) . 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ； ⑴Q (k ,2)是该抛物线上一点，且AQ ⊥BQ ，则ak 的值为． ⑵若点A(-1，0)，B （3，0）C （0，3）. ①求抛物线的解析式；②点M 在x 轴上方抛物线上，点N 在y 轴负半轴上，且四边形ACMN 是等腰梯形，求点M 的坐标. 解：（1）-1……………（3分）（2）①⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30390c c b a c b a ，解得： ⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a∴322++-=x x y ……………（6分）②连接AM 交y 轴于P ，由等腰梯形的对称性得AP=CP ，……………（8分）设OP = m ，则22)3(1m m -=+，解得：34=m ，则点P 坐标为（0，34）设直线AM 的解析式为q px y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==-34q q p ，∴34==q p ， ∴直线AM 的解析式为3434+=x y ，……………（10分）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=3434322x y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==94438y x 或⎩⎨⎧=-=01y x （舍） ∴点M （944,38）……………（12分）。

浙江省十校联盟2020届高三上学期10月月考试题数学【含解析】

根据题意，设正方体的棱长为2，当三棱锥的体积取得最大值时，即底面积最大时，推得点E，F在棱上的位置，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立坐标系，利用向量法计算出，，的余弦值，即可得出答案。
【详解】如图所示，设正方体的棱长为，线段的长为x,, 底面积 ,当三棱锥的体积取得最大值时，即底面积最大时,此时。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。
【详解】由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，
则，
故答案选C。
【点睛】本题主要考查根据几何体三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。
6.设，则“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
【详解】由题意知，圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为，可得两圆连心线CD的方程为。
联立两圆方程，
易知两圆公共弦AB所在直线的方程为，圆心到直线的距离，根据勾股定理，可知弦长为。
【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程之间的转化以及两圆相交公共弦长的求解。
14.在中，，，，则 ________，若D是AB的中点，则 ________.
（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和，再利用数列的单调性求得的最小值。
【详解】（Ⅰ）由，得， .
故的公差， .
即数列的通项公式为 .
当时，，
而，
故，即数列的通项公式为 .
（Ⅱ），
，
上述两式相减，得
得 .
设，显然当时，，，且单调递增.
而，，，故的最小值为 .

湖北名校教学联合体2019高三十月联考-数学理(word版)

湖北名校教学联合体2019高三十月联考-数学理（word 版）本试卷共22题，其中第15,16题为选考题，总分值150分。

考试用时120分钟。

【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、集合1{|1}1x M x x +=≥-，集合{|230}N x x =+>，那么()R C M N ⋂ A 、〔－32，1〕B.〔－32，1］C.［－32，1〕D.［－32，1］2、“sin35α=”是“cos 45α=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C 、充要条件D.既不充分也不必要条件 3、函数2()log (1)f x x =-的定义域是A.〔一12，2〕B 、1(,][2,)2-∞-+∞U C.(2,＋∞〕D.[1,＋∞〕 4、，那么可化简为A.2sin θB.－2sin θC.－2cos θD.2cos θ5、函数f 〔x 〕＝log a ｜x ｜＋1(0＜a ＜1)的图象大致为6、函数有性质A 、最大值为1，图象关于点〔6π，0)对称B.最大值为1，图像关于直线x ＝6π对称C.6π，0)对称D.，图像关于直线x ＝6π对称7、函数y ＝f 〔x 〕的定义域为(4a －3,3－2a 2〕，且y ＝f(x －3)是偶函数，那么实数a 的值为A.1B.－1C.3或一1D.－3或18.假设函数f(x)＝2x 2一Inx 在定义域的一个子区间〔k 一1,k 十1)内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是A.〔32，＋∞〕B 、〔－∞，12〕C.〔12，32〕D.［1，32〕9.定义在(－1,l)上的函数f(x)满足：当x ，y ∈(-1,l)时，f 〔x 〕－f 〔y 〕＝()1x y f xy--同时当x ∈(－1,0〕时，f(x)＞0；假设那么P,Q,R的大小关系为A.R ＞Q ＞PB.R ＞P ＞QC.P ＞Q ＞RD.Q ＞P ＞R10.函数，函数g(x)＝一2a ＋2(a ＞0)，假设存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1〕＝g(x 2〕成立，那么实数a 的取值范围是【二】填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每题5分，共25分。

浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期期末全真模拟考试数学试卷及答案

金华十校2022—2023学年第一学期期末模拟考试高三数学试题卷本试卷分为选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{23},1ln A x x B x y x =∈-<==-Z∣∣ ，则A B = A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,2C ．[]2,e -D ．(]0,e 2．已知O 为坐标原点，()234i 1iz +=-在复平面内所对应的点为Z ，则直线OZ 的方程为A ．7y x =-B ．7y x =C ．17y x =-D ．17y x=3．已知单位向量1e 与2e 的夹角为2π3，若122a e e =-r u r ur ，12b e me =- ，且a b ⊥ ，则实数m =A ．54B ．45C ．54-D ．45-4．已知cos 21sin cos 3ααα=+，则3sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．26-B ．13C ．26D ．13-5．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集．下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1[0,]3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1[0,]9，21[,]93，27[,]39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集．若经历n 步构造后，所有去掉的区间长度和为（注：(,)a b 或(,]a b 或[,)a b 或[,]a b 的区间长度均为b a -）A ．11()3n-B ．21()3n-C ．12()31n-⨯D ．12()32n-⨯第5题图6．已知正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为A ．6B ．5B ．C ．62D ．528．设方程e e 0x x ++=和ln e 0x x ++=的根分别为p 和q ，函数()()e xf x p q x =++，则A ．()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则A ．a 0＝2B ．a 5＝16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－5D ．a 1＋a 3＋a 5＝12010．如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，则A ．点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值为13C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒D ．点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等第10题图第7题图11．已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则A ．点P 的坐标为(0,1)B ．OA OB⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB 的取值范围是[2,212．已知{}n a 为非常数数列且0n a ≠，1a μ=，()()*1sin 2,,n n n a a a n λμλ+=++∈∈R N ，则A ．对任意的λ，μ，数列{}n a 为单调递增数列B ．对任意的正数ε，存在λ，μ，()*00n n ∈N ，当0n n >时，1n a ε-<C ．不存在λ，μ，使得数列{}n a 的周期为2D ．不存在λ，μ，使得2122n n n a a a +++->非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数()y f x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =单调递减区间是▲．14．在平面直角坐标系中，圆22:0x y dx ey f W ++++=（其中d ，e ，f 为实数）的一条直径为AB ，其中(20,22)A ,(10,30)B ，则f 的值为▲．15．现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有▲种．（用数字作答）16．斜率为12的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于A ，B 两点，且2P ⎭在直线l 的左上方．若90APB ∠=︒，则△PAB 的面积为▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分10分)已知等差数列{}n a 满足36691,7a a a a +=+=．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n T ．18．(本题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =，O 为BD 的中点，AO CD ⊥．(Ⅰ)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(Ⅱ)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．第18题图为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图：第19题图(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数（结果保留两位小数）；(Ⅱ)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A 指标的值X 服从正态分布()27.4,2.63.N (i )若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A 指标的值不超过10.03的家禽数量（结果保留整数）；(ii )在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的．该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A 指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并说明理由．参考数据：①3170.022750.00001,0.977250.7≈≈；②若()2,X N μσ ，则()()0.6827;220.9545.P X P X μσμσμσμσ-+≈-+≈记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin cos sin a B Ba C C-=-．(Ⅰ)若b c ≠，证明：2a b c =+；(Ⅱ)若2B C =，证明：223c b >>．21．(本题满分12分)已知双曲线22:143x y C -=上一点(4,3)P ，直线(0)y x b b =-+<交C 于A ，B 点．(Ⅰ)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值；(Ⅱ)若PAB △的外接圆经过原点O ，求PAB △的面积．22．(本题满分12分)已知函数()()33R 33f x x ax a a =++∈+恰有一个零点0x ，且00.x <(Ⅰ)求a 的取值范围；(Ⅱ)求0x 的最大值．金华十校2022—2023学年第一学期期末模拟考试高三数学卷评分标准与参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

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