WW高三《圆锥曲线背景下的最值与定值问题》

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高考数学专题复习圆锥曲线定点定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值问题1、已知平面内的动点P 到定直线l ：22x =的距离与点P 到定点()2,0F 之比为2．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若点N 为轨迹C 上任意一点（不在x 轴上），过原点O 作直线AB 交（1）中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为1k 、2k ，问21k k •是否为定值？（3）若点M 为圆O ：422=+y x 上任意一点（不在x 轴上），过M 作圆O 的切线，交直线l 于点Q ，问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系？2、已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，一条准线为:4l x =，若椭圆C 与x 轴交于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 交直线l 于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .（1）求椭圆C 的方程；（2）求12,k k 的值；（3）求证：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点的坐标.3、已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.4、已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-e :，点，．（Ⅰ）求过点A 与1C e 相切的直线l 的方程；（Ⅱ）设21C C e e 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．6、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，其半焦距为c ，圆M 的方程为.916)35(222c y c x =+-（Ⅰ）若P 是圆M 上的任意一点，求证：21PF PF 为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q ，且1611cos 21=∠QF F ，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若O OQ (331=为坐标原点），求圆M 的方程。

(完整版)圆锥曲线的最大值、定问题

圆锥曲线最值、定值、范围一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac 的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP→＋OQ→与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．。

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。

一. 最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

例1：如图所示，设点1F ，2F 是22132xy+=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。

分析：12112F F B F AB F FAS S S =+ ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11212121||||||(1)2F AB F F y y y y c S =⋅-=- =设直线A B 的方程为1x ky =+代入椭圆方程得22(23)440k y ky ++-=12122244,2323k y y y y k k --⇒+==++即122||123y y k - ==+令1t =≥，∴12FA Bt tS +=12t t+（1t ≥）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用1()2f t t t=+（1t ≥）的单调性易得在1t =时取最小值1F AB S 在1t =即0k =时取最大值为3，此时直线A B 的方程为1x =例2．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA + )O B ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||N P的最小值与最大值.解（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x xx y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为1;4① ②当16x =-时，||NP 取得最大值，最大值为.621对于()*，有∆=m 2+4b =10-m 2>0，所以m <<。

WW高《圆锥曲线背景下的最值与定值问题》

y [例4] 设双曲线 x 1上两点 A、 B , AB 2 中点M (1,2).
2
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(1) 求直线 AB的方程 ; ( 2) 如果线段 AB的垂直平分线与双曲线交于 C、D两点, 那么A、B、 C、D是否共圆, 为什么？
y [例4] 设双曲线 x 1上两点 A、 B , AB 2 中点M (1,2).
[解析] (1) 设P (a ,0), Q (0, B ), 则
HP PM (a ,3) (a , b ) a 3b 0, 3 2 a 3b, 设M ( x , y ), PM HQ. 2 3 b a 1 2 2 x 2a , y 3b, y x . 3 3 4 1 1 2 2
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
a y ( x c) ( 2) b b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 a 2 2 2 b x 2 ( x c) a b . b
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2
(1) 求直线 AB的方程 ; ( 2) 如果线段 AB的垂直平分线与双曲线交于 C、D两点, 那么A、B、 C、D是否共圆, 为什么？
[解析] (1) 法一：显然 AB斜率存在 , 设AB：y 2 k ( x 1),
y kx 2 k 由 2 y 得： x 1 2 2 2 2 ( 2 k ) x 2k ( 2 k ) x k 4k 6 0 当 0时, 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) x1 x 2 k ( 2 k ) 则e 2 2 2k k 1满足 0 直线AB：y x 1.

高三数学(理)《圆锥曲线背景下的最值与定值问题》(课件)概要

湖南长郡卫星远程学校制作 09 2008年上学期
2
2. 圆锥曲线定点与定值问题
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பைடு நூலகம்
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x , M是椭圆 *例3* (1) O是坐标原点 a
2
2
y 1(0 o a )上异于椭圆顶点的点 , b M与椭圆短轴端点的连线交x轴于P , Q两点, 则 | OP | | OQ | ( A. a
2 2 2
取值范围是__________ .
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*例2* ( 2007年四川卷)设F1 , F2分别是
x 2 椭圆 y 1的左, 右焦点. 4 (1) 若P是该椭圆上的一动点 , 求 PF1 PF2的最大值和最小值 ; ( 2) 设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点 A, B , 且 AOB为锐角(其中O为坐标原点), 求直线 l的斜率k的取值范围 .
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1. 最值问题
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1 2 *例1* (1) 已知点P是抛物线y x 上 2 的动点, 点P在直线y 1上的射影是M , 定 7 点A的坐为(4, ), 则 | PA | | PM | 的最小值 2 是( 9 A. 2
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) B. 5 11 C. 2
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D. 6
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x y ( 2) 椭圆M : 2 2 1(a b 0)的 a b 左, 右焦点分别为 F1 , F2 , P为椭圆M上任一点, 且 PF1 PF2的最大值的取值范围是 [c ,

【高中数学】圆锥曲线中的定值与最值问题

圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征．解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．例1：过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（）． A.2a B.12aC.4aD.4a解法1：（特殊值法）令直线l 与x 轴垂直，则有l ：14y a=12p q a ⇒==，所以有114p q a --+=解法2：（参数法）如图1，设11(,)P x y ，22(,)Q x y 且PM ，QN 分别垂直于准线于,M N ．114p PM y a ==+，214q QN y a ==+抛物线2y ax =（a ＞0）的焦点1(0,)4F a，准线14y a =-． ∴ l ：14y kx a =+又由m l ⋂，消去x 得222168(12)10a y a k y -++=∴212122121,216k y y y y a a ++==， ∴221212221111,()4164k k p q pq y y y y a a a a +++==+++=∴114p q a --+=．例2：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．【解析】设直线PA 的斜率为PA K ，直线PB 的斜率为PB K ．由2112y px = 2002y px =相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PAy y p K x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y p K x x y y -==-+ 20()x x ≠由,PA PB 倾斜角互补知：PA PB K K =-∴102022p p y y y y =-++∴ 1202y y y +=-由2222y px = 2112y px =相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=-∴ 21211200222AB y y p p p K x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数．例3：已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0=•MB MA ．求证：弦AB 必过一定点．【解析】设AB 所在直线方程为：x my n =+．与抛物线方程22y px =联立，消去x 得2220y pmy pn --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y 则122y y pm +=① 122y y pn =-②由已知0=•MB MA 得，1MA MB K K =-．即102010201y y y y x x x x --=---g ③∵221010101011()()()22x x y y y y y y p p -=-=-+ 222020202011()()()22x x y y y y y y p p-=-=-+∴③式可化为1020221p py y y y =-++g ，即221201204[()]p y y y y y y =-+++．将①②代入得，002n p my x =++．直线AB 方程化为：00002()2x my p x my m y y x p =+++=+++．∴直线AB 恒过点00(2,)x p y +-．【例4】(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．(1)解法一设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝x －52＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以x －52＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20y 0＋4k 1k 1.④同理可得y 3y 4＝20y 0＋4k 2k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2k 1k 2＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400y 20－y 20＋16k 1k 2k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400. 【例5】已知椭圆C 的离心率3e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

圆锥曲线的定值、最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题

探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。

一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。

例1 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证：（1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB 经过一个定点。

证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。

∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。

（2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y px x y y -=-+ ∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。

例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。

（1）试证明直线AB 的斜率为定值；（2）当直线AB 的纵截距为m （m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。

分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

解析：（1）证明：把P(2，4)代入212y x h =-+，得h=6。

所以抛物线方程为：y －4=k(x －2)，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。

高三数学圆锥曲线背景下的最值与定值问题PPT文档共89页

高三数学圆锥曲线背景下的最值与定值问题
51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

新高考高三数学专题复习课件专题曲线的性质和轨迹问题圆锥曲线背景下的最值与定值问题(超详细讲解)

PQ 2, HP 3 1 x, HQ 3 1 x,故
3
3
2 1 1 , 化简得x2 27
2 3 1 x 3 1 x
3
3
但此时 y2 1 x2 1 3 0, 矛盾!
8
9
故 1 , 1 , 1 不可能成等差数列. HP PQ QH
但此时 y2 1 x2 1 3 0, 矛盾!
y
解得:e2 5 1 2
BP
则 c2 a2
b, 2
F1 O F2 A x
有2c2 a2b ac2 a 2
故所求椭圆的方程为
x2 y2 1 4 62 5
y BP
F1 O F2 A x
故所求椭圆的方程为
x2 y2 1 4 62 5
y BP
F1 O F2 A x
[说明] 本题采用了待定系数法求轨迹方程.
（高考复习课件）
新高考高三数学专题复习课件专题
曲线的性质和轨迹问题圆锥曲线背景下的最值与定值问题
【考点搜索】
【考点搜索】
1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质；
2.求曲线的方程的常见方法： ① 待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数； ② 定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系; ③ 代入法; ④ 参数法.
y
P是椭圆C上一点,O为
BP
坐标原点,已知PF1 PF2 0,| OA || OB || OP |2 .
F1 O F2 A x
(1)设椭圆的离心率为，证明 e2 1 ; 2
(2)证明：OP PA;
(3)设 PA 5 1, 求椭圆的方程.
y BP
F1 O F2 A x

高考数学圆锥曲线中的最值与定值问题例题分析

圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。

【题型分析】1.已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值分析：设P （2cos θ,sin θ），(0)2πθ <<,点P 到直线AB ：x+2y=2的距离|)2|d πθ+-==≤（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）2.已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝（x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，B （x 0），OAO B ⋅＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1，又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为23.给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。

圆锥曲线中的定点、定值和最值问题

数学
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
[自主解答]
(1)设椭圆 E 的左右焦点分别为 F1，F2，
∵椭圆 E 右焦点为(1,0)，∴c＝1，又点
3 P1，2在椭圆
E 上， 1＋1
2
∴ 2a ＝ |PF1| ＋ |PF2| ＝ 4，
3 ＋22＋
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圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
x2 y2 2 1．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率 e＝，左、右焦点 a b 2 分别为 F1，F2，点 P(2， 3)，点 F2 在线段 PF1 的中垂线上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l： y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M， N 两点，直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α，β，且 α＋β＝π，试问直线 l 是否过定点？若过，求该定点的坐标．
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圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
2 解得 n＝2k 或 n＝ k. 7 当 n＝2k 时，直线 MN 的方程为 y＝k(x＋2)，过点 A，与题意不符，舍去； 2 当 n＝ k 时，n2－ 4k2－ 3<0，直线 MN 的方程为 y＝ 7
2 kx＋7，显然过点 2 Q－7，0. 2 Q－7，0.
综上，直线 MN 一定经过 x 轴上一定点
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圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
——————————规律· 总结———————————— 求解直线和曲线过定点问题的基本思路

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建“几何法”求某些量的最值.一、主要知识及主要方法：1.观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。

2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.二、精选例题分析【举例1】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥．（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【举例2】已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ⎛ ⎝⎭，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=（0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为M 。

（Ⅰ）证明FM AB ⋅为定值；（Ⅱ）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．问题4．直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点()2,0P -和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.（四）课后作业：1.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.F B C1A 1B 1C B C A3.如图，在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y ， ()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.（六）走向高考：1.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx =+1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.2.（06江西）P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++= 和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为.A 6 .B 7 .C 8 .D 93.（07重庆）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ，右准线l 的方程为：12x =.()1求椭圆的方程；()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值.4.(05全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。

圆锥曲线定值、最值问题

二、例题示范
引入参数
Байду номын сангаас
二、例题示范
引入参数
构造表达式
二、例题示范
二、例题示范
引入参数
构造函数表达式
引入参数k
y
5
P
4
3
2
构造函数表达式
1
N
x
A
12 10 8 6 4 2
B
1
2
4
M
Q
2 3
4
三、归纳总结
1.基本方法
（ 1）解决圆锥曲线中的定值问题，要通过设点或设斜率引入参数表示出要求的量，注意联系圆锥曲线的定义、标准方程和性质，重视运用数形结合，将问题转化为代数式进行研究.此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确.
圆锥曲线的定值、最值问题
一、内容概述
1.考点动态
对圆锥曲线定值和最值问题的考查，已成为近几年高考的热点，主要以解答题形式出现，属于中档题。
2.考点分析
解析几何定值包括几何量的定值处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明，对于客观题，通过特殊值法探求定值能达到事半功倍的效果．研究变量的最值问题时，一般先建立目标函数，再转化为函数或不等式问题求解，或运用“数形结合”、 “几何法”求解．
（2）就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可利用三角函数有界性、二次函数区间上的值域、均值不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围.此时应注意其定义域是否受题设条件限制，是否需要分类讨论.还要注意“对偶运算”的应用，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间；
2.基本思想：数形结合

届高考数学复习强化双基系列圆锥曲线背景下的最值与定值问题共87页文档

当x a或x a a2 2 时, 2
f (x)有极小值.
4 当x a a2 2 时, f '(x) 0. 2
当x a或x a a2 2 时, 2
f (x)有极小值.
(2)由(1)知: x0 a
a2 2,则 2
直线AP0的斜率 k1
x02 a2 x0 a
x0
a
a a2 2 a a2 2 a ,
曲x线 2 y2 4 b2
1
(b0)上变,则化x22y的最大(值) 为
A.
b2 4
4(0
b
பைடு நூலகம்4)
B.
b2 4
4(0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b 2 4 4
D.2b
2.若
动(x点 , y)在
曲x线 2 y2 4 b2
1
(b0)上变,则化x22y的最大(值 A) 为
A.
b
, 解得
bx
a
:
P(a2 ,ab).OA、OB、OF成等比数 , 列 cc
A(a2 ,0).PA(0,ab).
c
c
OP ( a 2 , ab ), cc
FP ( b 2 , ab ), cc
PA OPab,PA FPab.
c2
c2
PA OPPA FP.
PA OPab,PA FPab.
届高考数学复习强化双基系列圆锥曲线背景下的最值与定值问题
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月扬明辉，冬岭秀孤松。 35、丈夫志四海，我愿不知老。

高中数学：圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题共45页文档

高中数学：圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Hale Waihona Puke 45