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例题讲解 例1：设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的逆命 题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b. （真）
练习B 写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命 题，并判断其真假 1如果四边形是平行四边形，那么它的一组对 边平行且相等 2 设x ∈R，如果AB=Xcd,则AB与CD共线。 3 如果一个函数是偶函数，则它的图像关于y 轴成轴对称图形。 4 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于坐 标原点成中心对称图形。
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否
命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
练一练 1.判断下列说法是否正确。 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。 ）个。
逆否命题：若一点与这条线段两个端点的 距离不相等，则此点不在线段的垂直平分 线上。
原命题
若p则q
互 逆
逆命题 若q则p
互
互
否
否 否命题
若┐p则┐q 互 逆
逆否命题
若┐q则┐p
(真 ) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真 ) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真 ) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） （真） 逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （真） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 （假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。 （假） 逆命题：若a2>b2, 则a>b。 （假） 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 （假） 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。 （假）
逆否命题： 两直线不平行，同位角不相等。
原命题：若P，则q. 逆命题：若q, 则p. 否命题： 若┐P ，则┐q。 逆否命题：若┐q ，则┐P 。
例1 把下列命题改写成“若P则 q”的形式，并写出它们的逆命 题、否命题与逆否命题： （1） 负数的平方是正数；
（1）负数的平方是正数。 解：原命题可以写成：若一个数是负 数，则它的平方是正数。 逆命题：若一个数的平方是正数，则 它是负数。 否命题：若一个数不是负数，则它的 平方不是正数。 逆否命题：若一个数的平方不是正数， 则它不是负数。
（真）
（真）
利用原命题与逆否命题的等价性解题
已知BD、CE分别是Δ ABC的∠B、∠C的角平分线， BD≠CE。 求证：AB≠AC
证：只需证其等价命题：若AB＝AC，则BD＝CE。
BD、CE是ABC、ACB的平分线
AB AC ABC ACB 1＝2
ACB＝ABC BC＝CB
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并 写出它们的逆命题、否命题与逆否命题。
（1）末位是0的整数，可以被5整除；
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等；
（1）末位是0的整数，可以被5整除； 解：原命题可以写成：若一个整数的 末位是0，则它可以被5整除； 逆命题：若一个整数可以被5整除，则 它的末位是0。 否命题：若一个整数的末位不是0，则 它不可以被5整除。 逆否命题：若一个整数不可以被5整除， 则它的末位不是0。
（对） 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；
（对） （错）
（错）
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
（假） （假） （假） （假）
逆命题：如果一个四边形四边
例题:分别写出下列各命 题的逆命题、否命题和 逆否命题：并判断真假 （1）正方形的四边相等。
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. （真） （真）
BCD CBE BD＝CE.
练习A 写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题， 并判断其真假。 ---1 任意n∈N,若n是完全平方数，则√n ∈N 2 任意，a,b ∈R，如果a=b,则a2＝ab 3 任意x,q ∈R，如果q>0，则x2+x-q=0有实根 4 任意x，y ∈R，如果xy＝0，则x＝0或y＝0 5 如果四边形实菱形，则它的对角线互相垂直
金佩和
同位角相等，两直线平行。
两直线平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，同位角相等。
同位角相等， 两直线平行。 原命题：
条件 结论
相 同
两直线平行， 同位角相等。 逆命题：
条件
互 逆 命 题
结论
同位角相等，两直线平行。 同位角不相等，两直线不平行。
原命题： 同位角相等，两直线平行。 条件
条 件 的 否 定
结论
否命题： 同位角不相等，两直线不平行。 条件 结论
屠龙战神/
0 仐摋依
（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是
分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P 则Q”的形式）
注意：三种命题中最难写 的是否命题。 结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
相等，那么它是正方形。
逆命题：
若X2－３Ｘ＋２＝０， 则Ｘ＝１或Ｘ＝２ 。 否命题：如果一个四边 形不是正方形，那么它的 四条边不相等。
原命题： 如果一个四边形 是正方形，那么它的 四条边相等。
（2）若X=1或X=2， 则X2－3X+2=0。
否命题：
若Ｘ１且Ｘ２， 则Ｘ２－３Ｘ＋２ ０。 逆否命题：如果一个 四边形四边不相等，那 逆否命题： 么它不是正方形。 若X2－３Ｘ＋２ ０， 则Ｘ１且Ｘ ２ 。
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等； 解：原命题可以写成：若一点为线段的垂 直平分线上的点，则它与这条线段两个端 点的距离相等；
逆命题：若一点与这条线段两个端点的距 离相等，则此点在线段的垂直平分线上。 否命题：若一点不为线段的垂直平分线上 的点，则它与这条线段两个端点的距离不 相等。
结 论 的 否 定
互 否 命 题
同位角相等，两直线平行。
两直线不平行，同位角不相等。
原命题：
同位角相等，两直线平行。
条件
否 定
结论
逆否命题：
两直线不平行，同位角不相等。
条件 结论
互 为 逆 否 命 题
原命题： 同位角相等，两直线平行。 逆命题： 两直线平行，同位角相等。
否命题： 同位角不相等，两直线不平行。