初中数学分式经典练习题

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初中数学：分式方程应用题专题练习附详解(精)

【小题1】
解：（1）设原计划每天准备展台的个数为x个，
由题意得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天准备展台的个数为40个；
【小题2】
设装订A种图书x（本），则装订B种图书（6000-x）（本），
由题意得：x≤ （6000-x），
解得：x≤2400，
设装订总成本为w元，
经检验，x=40原方程的解，
∴x+8=48．
答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．
（2）
解：设购买y件甲种商品，则购买（80-y）件乙种商品，
根据题意得：48y+40（80-y）≤3600，
解得：y≤50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×购买数量，列出关于y的一元一次不等式．
（1）
解：设该农产品标价为x元/千克，则实际为元/千克．
依题意得：，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．元/千克．
答：实际购买时该农产品20元每千克．
（2）
解：设存放a天后一次性卖出可获得19600元．
依题意得：，
化简得：，即，

(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解

【知识要点】 1. 分Hale Waihona Puke Baidu的概念以及基本性质 ;
2. 与分式运算有关的运算法则
3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 )
4. 幂的运算法则
【主要公式】 1. 同分母加减法则
b
:
c
b ca
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
b d bd b c b d bd
3. 分式的乘法与除法 : ?
,
?
a c ac a d a c ac
4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项
5. 同底数幂的乘法与除法
; am●
an =am+n; a
a =a m
n
÷
m－n
=n mn
6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m= a m bn , (a m)
a
7. 负指数幂 :
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数
.
（ 1） 0.03x 0.2 y 0.08x 0.5 y
0.4a 3 b
（2） 1 a
5 1b
4 10
2．已知： x 1 x
3 ，求 x4

初二分式方程计算题

解分式方程．

解方程：

解：

两边同时乘以（x-3）得

解方程：.【原创】

去分母得：………………………………………………………………4分解得：………………………………………………………………………5分

x=1是增根，原方程无解

x=-7

解分式方程：－=3

x=3

；

x＝－２

解方程．

解：方程两边同乘（x＋1）（ x－1），得――――――――――――――－１

解方程；

解方程：．

解：原方程变形为┄┄2′

方程两边都乘以去分母得：x―1＝2X ┄┄4′

解方程：

解：…1分

两边同时乘以（x-3）得

解分式方程：. 解：方程两边同乘以最简公分母

得

经检验：不是原方程的根，原方程无解

解分式方程．

解：在方程两边同乘，

整理并解得，

检验：当时，，

所以是增根，

故原方程无解．

解方程：

（1）解：方程两边同乘以，得．解这个方程，得．

检验：将代入原方程，得左边右边．

所以，是原方程的根．

．

解析：原式=

．

；

解析：原式=

=．

点评：①学习了解分式方程之后，在进行分式的化简计算时，易错将本该通分的运算变成了去分母；②进行分式的化简计算应进行到最简分式为止，本题还易错将当成最后结果．

解方程．

解：原方程变为：…………1分

去分母，得…………2分

移项合并同类项，得…………3分

系化为1，得…………4分

检验：把代入＝－1≠0，…………5分

∴是原方程的解．…………6分

．

答案：

；

增根，无解

；

．

将原程化为．

两边同时乘以，得．

解这个方程，得．

检验：将代入原方程，得左边．

所以，是原方程的增根，原方程无解．

；

两边同时乘以，得．

解这个方程，得．

检验：将代入原方程，得左边右边．

初中数学分式的约分通分综合练习题(附答案)

初中数学分式的约分通分综合练习题(附

答案)

初中数学分式的约分通分综合练题

一、单选题

1.下列分式中，不论$x$取何值，一定有意义的是（）frac{x-1}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x-1}$

A。$\frac{x+1}{x}$

B。$x$

C。$\frac{x^2-1}{x}$

D。$\frac{x^2+1}{x}$

2.下列代数式中，是分式的为（）

A。$\frac{1}{2}$

B。$\frac{x}{3}$

C。$\frac{x}{2}-y$

D。$\frac{5}{x^3}$

3.下列各式中，是分式的是（）

A。$\frac{2x+1}{x(x-3)}$

B。$2$

C。$\frac{x}{\pi-2}$

D。$\frac{1}{3x^2}$

4.当分式$\frac{x}{2x-1}$无意义时，$x$的值是（）

A。$2$

B。$-\frac{1}{2}$

C。$0$

D。$1$

5.下列各式正确的是（）

A。$\frac{b+xa}{b+x}=\frac{a}{b+1}$

B。$\frac{y^2n}{n-ax}=\frac{y}{x^2}$

C。$\frac{n}{ma}=\frac{1}{a}$（$a\neq 0$）D。$m=m-a$

6.下列三个分式$\frac{1}{2x^2}$，$\frac{4(m-n)}{3x}$，$\frac{2x+4x^2y}{x^2-1}$，的最简公分母是（）

A。$4(m-n)x$

B。$2(m-n)x^2$

C。$\frac{1}{4}x^2(m-n)$

D。$4(m-n)x^2$

《易错题》初中八年级数学上册第十五章《分式》经典练习题(专题培优)

一、选择题

1．使分式21

x x -有意义的x 的取值范围是（） A ．x ≠1 B ．x ≠0

C ．x ≠±1

D ．x 为任意实数C

解析：C

【分析】

分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围．

【详解】

由题意，得x 2−1≠0，

解得：x≠±1，

故选：C ．

【点睛】

此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2．下列各分式中，最简分式是（） A ．6()8()

x y x y -+ B ．22y x x y -- C ．2222x y x y xy ++ D ．222

()x y x y -+ C 解析：C

【分析】分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答．

【详解】

A 、6()8()x y x y -+=3()4()

x y x y -+，故该项不是最简分式； B 、22

y x x y

--=-x-y ，故该项不是最简分式； C 、22

x y x y xy ++分子分母没有公因式，故该项是最简分式； D 、222()x y x y -+=x y x y

-+，故该项不是最简分式；故选：C ．

【点睛】

此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键．

3．下列运算正确的是（）

A ．236a a a ⋅=

B ．22a a -=-

C ．572a a a ÷=

D ．0(2)1(0)a a =≠ D

解析：D

【分析】

运用同底数幂乘法、负整数次幂、同底数幂除法以及零次幂的知识逐项排查即可．

分式的化简求值经典练习题(带答案)

精心整理

分式的化简

乘方：()n n n n

n a a a

a a a

a a

b b b

b b ⋅=⋅=⋅个

个

n 个

＝(n 为正整数)

整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)

中考要求

精心整理

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n

a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c

+±=

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b

±±=±=

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

【例1【例2【题型】解答【关键词】

【解析】22

222

1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷

⋅=-=--++-

【答案】4-

【例3】先化简，再求值：

22144

(1)1a a a a a

-+-÷

--，其中1a =-

【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答

【关键词】2010年，安徽省中考

【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛

⎫-÷

=⋅= ⎪----⎝⎭

当1a =-时，原式11

2123a a -=

分式的化简求值经典练习题(带答案)

分式的化简

一、比例的性质：

⑴比例的基本性质：a c ad bc b

=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积.

⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( )

( )a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇒=⎨⎪

⎪=⎪⎩

交换内项交换外项同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c

=⇒=

⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd b d b d

±±=⇒=（k 为任意实数）

⑸等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b

+++=+++（...0b d n +++≠）

二、基本运算分式的乘法：a c a c b d b d

⋅⋅=⋅ 分式的除法：a c a d a d

b d b

c b c

⋅÷=⨯=⋅

(

乘方：()n n

n n n a a a

a a a

a a

b b b

b b

⋅=⋅=⋅个

个

n 个

＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1

n n a a

(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数】

知识点睛中考要求

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c

初中数学分式章节知识点及典型例题解析[1]

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21

、212+x 、π

xy 3、

y x +3、m

a 1

+中分式的个数为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .

⑴275x x -+； ⑵ 123

x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22

2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？

5a -； 2

34x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145

-+.

2、分式有，无意义，总有意义：

（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12

+x ≠0）

例1：当x 时，分式

-x 有意义；例2：分式x

x -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。例4：当x 时，分式1

2+x x

有意义

例5：x ，y 满足关系时，分式

x y

-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）

A ．

122+x x B.12+x x C.133+x x D.2

x x - 例7：使分式2

+x x

有意义的x 的取值范围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x

例8：要是分式)

3)(1(2

-+-x x x 没有意义，则x 的值为（）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3

初中数学分式约分与化简综合练习题(附答案)

初中数学分式约分与化简综合练习题

一、单选题

1.在21115132πx y a x m +++，，，，中分式的个数有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

2.分式

x +有意义,则x 的取值范围是( ) A.1

x >-

B.12x >

C.1

x ≠-

D.12

x ≠

3.下列运算正确的是( ) A.5362x x x ⋅=

B.224(2)4x x -=-

C.326()x x =

D.55x x x ÷=

4.某种细菌的直径是0.00000078米,将数据0.00000078用科学记数法表示为( ) A.77.810-⨯ B.87.810-⨯ C.70.7810-⨯ D.87810-⨯

5.下列各分式中,最简分式是( ) A.2()5()

x y x y -+ B.22m n m n -+

C.2222a b a b ab -+

D.22

2x y x xy y --+ 6.下列算式能用平方差公式计算的是( ) A.()()22a b b a +-

B.111122x x ⎛⎫⎛⎫

+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

C.()()33x y x y --+

D.()()m n m n ---+

7.下列因式分解正确的是( )

A.()2

22 x y x y -=- B.()2

211a a a ++=+ C.()1xy x x y -=-

D.()22x y x y +=+

8.如果把分式3xy

x y

+中的x 与y 都扩大2倍,那么这个分式的值( ) A.不变

B.扩大2倍

C.扩大4倍

D.扩大6倍

9.下列等式从左到右的变形一定正确的是( )

徐州市初中数学分式经典测试题含解析

一、选择题

1．如果2220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝

⎭的值是()n n A ．2-

B ．1-

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】分析：先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式22m m =+，然后利用2220m m +-=进行整体代入计算．详解：原式2222

244(2)(2)222

m m m m m m m m m m m m m +++=⋅=⋅=+=+++， ∵2220m m +-=，

∴222m m ，

+= ∴原式=2.

故选C.

点睛：考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.注意整体代入法的应用.

2．下列计算正确的是（）．

A 2=-

B ．2(3)9--=

C ．0( 3.14)0x -=

D ．2019(1)|4|5---=- 【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．

【详解】

A 2=，故此选项错误；

B 、（-3）-2=19

，故此选项错误； C 、（x-3.14）0=1，故此选项错误；

D 、（-1）2019-|-4|=-5，正确．

故选：D ．

【点睛】

此题考查二次根式的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

3．下列运算中，正确的是（）

A ．2+=

B ．632x x x ÷=

C ．122-=-

D ．325a a a ⋅=

【答案】D

【解析】

【分析】

根据实数的加法对A 进行判断；根据同底数幂的乘法对B 进行判断；根据负整数指数幂的意义对C 进行判断；根据同底数幂的除法对D 进行判断．

分式的化简求值经典练习题(带答案)

精心整理

分式的化简

内容基本要求

略高要求

较高要求

分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义

的条件

能确定使分式的值为零的条件

分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单

的变型

能用分式的性质进行通分和约分分式的运算

理解分式的加、减、乘、除运算法则

会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题

一、比例的性质：⑴比例的基本性质：

a c ad

bc b

，比例的两外项之积等于两内项之积

⑵更比性（交换比例的内项或外项）：

( ) ( )

( )

b c d a c d c b

b a d b

c a 交换内项交换外项

同时交换内外项⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c ⑷合比性：

a c a

d b

d b d ，推广：a

kb c

kd b d b d

（k 为任意实数）

⑸等比性：如果....

a c m

b d n

，那么

......

a c m a b

（...0b

）

二、基本运算分式的乘法：a c

a c

b d b d 分式的除法：a

c a

d a d b

d b

b c 乘方：

()n n n n

n a a a a a a a a b

b b

b b b

个

n 个

＝(n 为正整数)

整数指数幂运算性质：

⑴m n m n

a a a (m 、n 为整数)

⑵()m n mn

a a (m 、n 为整数)

⑶

()n n n

ab a b (n 为整数) ⑷m n m n a a a (0a ，m 、n 为整数)

知识点睛

中考要求

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n

分式的化简求值经典练习题(带答案)

精心整理

分式的化简

乘方：()n n n n

n a a a

a a a

a a

b b b

b b ⋅=⋅=⋅个

个

n 个

＝(n 为正整数)

整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)

中考要求

精心整理

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n

a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c

+±=

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b

±±=±=

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

【例1【例2【题型】解答【关键词】

【解析】22

222

1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷

⋅=-=--++-

【答案】4-

【例3】先化简，再求值：

22144

(1)1a a a a a

-+-÷

--，其中1a =-

【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答

【关键词】2010年，安徽省中考

【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛

⎫-÷

=⋅= ⎪----⎝⎭

当1a =-时，原式11

2123a a -=

初中数学练习题分式方程

初中数学练习题：分式方程

分式方程是初中数学中重要的一部分，通过解分式方程能够提高我们对数学概念及运算规律的理解。本文将介绍几道有代表性的初中数学分式方程练习题，以帮助读者巩固相关知识。

练习题1：

求解方程：(x - 3)/(x + 2) = 1

解答：

首先，将分式方程转化为等式形式：(x - 3)/(x + 2) - 1 = 0

然后，通过通分，我们可以得到分母相同的等式：(x - 3)/(x + 2) - (x + 2)/(x + 2) = 0

接下来，将分子合并整理得到：(x - 3 - (x + 2))/(x + 2) = 0

进行合并化简得：x - 3 - x - 2 = 0

继续整理得：-5 = 0

由此可知，该分式方程无解。

练习题2：

求解方程：(3 - 2x)/(4x - 5) = 2

解答：

首先，将分式方程转化为等式形式：(3 - 2x)/(4x - 5) - 2 = 0

然后，通过通分，我们可以得到分母相同的等式：(3 - 2x)/(4x - 5) - (2(4x - 5))/(4x - 5) = 0

接下来，将分子合并整理得到：(3 - 2x - 2(4x - 5))/(4x - 5) = 0

进行合并化简得：(3 - 2x - 8x + 10)/(4x - 5) = 0

继续整理得：(-10x + 13)/(4x - 5) = 0

要使上式等于0，分子为0。

因此，-10x + 13 = 0

解得：x = 13/10

练习题3：

求解方程：(2x + 5)/(x - 4) - x/(x - 4) = 3

初中数学分式的约分通分综合练习题(附答案)

初中数学分式的约分通分综合练习题

一、单选题

1.下列分式中，不论x 取何值，一定有意义的是( ) A.11x x -+ B.1x x - C.211x x +- D.21

1x x -+

2.下列代数式中，是分式的为（） A.1

2 B. 3x C. 2x

y - D.5

3.下列各式中,是分式的是( ) A.213x x +- B.2x C.π2x

- D.21

4.当分式21x

x -无意义时，x 的值是( ) A.12 B.1

2- C.0 D.1

5.下列各式正确的是( ) A.1

1b x a

b x b ++=++ B.22y y x x = C.(0)n na

a m ma =≠ D.n n a

m m a -=-

6.下列三个分式21

513

,,24()x x m n x --，的最简公分母是( )

A.()4m n x -

B.()22m n x -

C.()21

4x m n - D.()24m n x -

7.计算()()22

4x y x y xy +--的结果为( ) A.1 B.1

2 C.1

4 D.0

8.下列分式:2

6,,,3xy y x x y x x y x y --+-+2221

,2421xy x

x x x y x x +-+++,其中是最简分式的有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

9.分式1

1x --可变形为( ) A.11x - B.11x + C.11x -+ D.1

1x --

10.将分式2x y

x y +中,x y 的值同时扩大为原来的3倍,则分式的值( )

A.扩大3倍

分式的化简求值经典练习题(带答案)

分式的化简

一、比例的性质：

⑴ 比例的基本性质：

a c

ad bc b d

=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇒=⎨⎪

⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项

⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d

b d a c

=⇒=

⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd

b d b d

±±=⇒=

（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a

b d n b

+++=+++（...0b d n +++≠）

二、基本运算

分式的乘法：a c a c

b d b d

⋅⋅=⋅

分式的除法：a c a d a d

b d b

c b c ⋅÷=⨯=⋅

乘方：()n n

n n n a a a

a a a

a a

b b b

b b

⋅=⋅

=⋅个

个

n 个

＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：

⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1

n n a a

-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：

知识点睛

中考要求

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

初中数学分式的概念性质与运算考点方法考题解析

初中数学分式的概念性质与运算考点方

法考题解析

考点•方法•破译

1．分式的概念和性质

若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则形如

A B 的式子叫分式，当B ≠0，分式A B 有意义．分式基本性质：=A A M B B M ，(0)÷=≠÷A A M M B B M

2．分式的运算法则 ⑴同分母相加减：±±a b a b c c c

=； ⑵异分母相加减：±±a c ad bc b d bd

=； ⑶分式的乘法：a c ac b d bd

=； (4)分式的除法：÷÷÷a c a c ad b d b d bc

==； (5)分式的乘方：．()n

n n a a b b =（n 为正整数）．经典•考题•赏析

【例1】(南宁)有意义，x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x ≠0 C ．x ＞—1且x ≠0 D ． x ≥—1且x ≠0

100x x +⎧⎨≠⎩ ∴x ≥－1且x ≠0 故选D 【变式题组】

01．使分式1(1)(2)

x x x ---有意义，则x 应满足( ) A ．x ≠1 B ．x ≠2 C ．x ≠1 且x ≠2 D ．x ≠1或 x ≠2 02．下列分式一定有意义的是( )

A ．22x x +

B ．21x x +

C ．2b a a +

D ．2

1y y - 03．若对于分式21x m +，不论x 取何实数，21x m

+总有意义，则m 的取值范围是_________．

04．（希望杯）若分式212x x m

-+；不论x 取何实数总有意义，则直线y ＝mx －m 一定经过＿＿＿＿＿＿象限．

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