2015不等式练习题
2015届高三(理)一轮同步训练：第7单元《不等式》(含答案)
第七单元 不等式第37讲 不等关系与不等式的性质、基本不等式1.(2013·福建省莆田市3月质检)p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤1 B ．ab ≥1C ．a 2＋b 2≥4D ．a 2＋b 2≤43.若1a <1b<0，有下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3，不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34.已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．55.设x ＞0，y ＞0，xy ＝4，则S ＝x 2y ＋y 2x 的最小值为 .6.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于______．7.设f (x )＝ax 2＋bx 且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是__________．8.(1)求函数y ＝x (a －2x )(x ∈(0，a2)，a 为大于0的常数)的最大值；(2)设x ＞－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值．9.某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a m ，房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？第38讲 不等式的解法1.不等式2>1x －1的解集为( )A ．(－32，1)B ．(－∞，1)∪(32，＋∞)C ．(1，32)D ．(－∞，－32)∪(1，＋∞)2.(2013·山东聊城模拟)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．33.不等式|2x －1|<|x －2|的解集为( ) A ．(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)4.不等式(x －4)(x 2＋4)≥0的解集是________．5.已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪(12，＋∞)，则a ＝ .6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x >1)x 2－6x ＋9 (x ≤1)，则不等式f (x )＞f (1)的解集是 .7.定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________________．8.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)对一切x ∈R 都有f (2＋x )＝f (2－x )，解不等式f [log12(x 2＋x ＋12)]<f [log 12(2x 2－x ＋58)]．9.已知关于x 的不等式x ＋2x 2－(1＋a )x ＋a>0.(1)当a ＝2时，求此不等式的解集； (2)当a >－2时，求此不等式的解集．第39讲 简单的线性规划问题1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( ) A ．m <－5或m >10 B ．m ＝－5或m ＝10 C ．－5<m <10 D ．－5≤m ≤102.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3.(2013·安徽省合肥市质检)已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.17B.16C.15D.144.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是( )A ．0B ．1C. 3 D ．95.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ≥0x 2＋y 2≤4，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．5B ．－1C ．2D ．2 56.(2013·衡水调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2－1≤0x －ky ＋k ≥0x ≥0，y ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k ＝______.7.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a 所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为______．8.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥2xkx －y ＋1≥0表示的平面区域是一个直角三角形，求该三角形的面积．9.某公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A 型卡车和8辆B 型卡车．又已知A 型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B 型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元．如果你是公司的经理，为使公司所花的成本费最小，每天应派出A 型卡车、B 型卡车各多少辆？第40讲 不等式的综合应用1.(2013·南宁市第三次适应性测试)若关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋1＝0有两个不同的正数根，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <－2C ．－2<a <2D ．a <－2或a >22.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．63.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，MN ≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33]D ．[－23，0]4.(2013·天津市第三次模拟)已知函数f (x )＝a |x |，a ＞1，则满足f (2x －1)<f (13)的x 范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5.A 杯中有浓度为a %的盐水x 克，B 杯中有浓度为b %的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 .6.对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值M max ＝－1叫做f (x )＝x 2＋2x 的下确界，对于a 、b ∈R ，且a 、b 不全为0，a 2＋b 2(a ＋b )2的下确界是________．7.已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是______． 8.购买某种汽车，购车的总费用(包括缴税)为5万元，每年应交保险费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：第一年1000元，第二年2000元，……依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？(商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用＝年平均成本费的分摊＋年均维修费的分摊)9.(2013·株洲市质量统一检测)已知函数f (x )＝ln(x －1)－k (x －1)＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．第七单元 不等式第37讲 不等关系与不等式的性质、基本不等式1．A 因为xy ＞0等价于x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．A 由a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，故选A.3．C 由1a <1b <0，知b <a <0，由不等式的性质知①②不正确，故选C.4．C 因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ，ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4，故选C.5．4 因为x ＞0，y ＞0，xy ＝4，所以S ＝x 2y ＋y 2x ≥2x 2y ·y 2x＝2xy ＝4.6．9 原不等式恒成立等价于m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b )的最小值，而(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a · 2ab＝9，所以m ≤9，故m 的最大值为9.7．[5,10] (待定系数法) f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .设f (－2)＝4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，所以f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )，又因为1≤a －b ≤2，所以3≤3(a －b )≤6，因为2≤a ＋b ≤4，所以5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10， 即5≤f (－2)≤10.8．解析：(1)y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)因为x >－1，所以x ＋1>0， 设x ＋1＝z ＞0，则x ＝z －1，所以y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5≥2z ·4z＋5＝9，当且仅当z ＝2，即x ＝1时上式取等号，所以当x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值．9．解析：由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5800＝900(x ＋16x)＋5800(0<x ≤a )．则y ＝900(x ＋16x )＋5800≥900×2x ·16x＋5800＝13000(当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号)．若a ≥4，x ＝4时，有最小值13000. 若a <4，任取x 1、x 2∈(0，a ]且x 1<x 2，y 1－y 2＝900(x 1＋16x 1)＋5800－900(x 2＋16x 2)－5800＝900[(x 1－x 2)＋16(1x 1－1x 2)]＝900(x 1－x 2)(x 1x 2－16)x 1x 2.因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，x 1x 2<a 2<16，所以y 1－y 2>0，所以y ＝900(x ＋16x)＋5800在(0，a ]上是减函数，所以当x ＝a 时，y 有最小值900(a ＋16a)＋5800.综上，若a ≥4，当x ＝4时，有最小值13000元；若a <4，当x ＝a 时，有最小值为900(a ＋16a)＋5800元． 第38讲 不等式的解法1．B 不等式2>1x －1⇔2x －3x －1>0⇔(x －1)(2x －3)>0，解得x <1或x >32，故选B.2．A 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.3．C 不等式|2x －1|<|x －2|⇔(2x －1)2<(x －2)2⇔(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1，故选C.4．{x |x ≥4} (x －4)(x 2＋4)≥0⇔x －4≥0， 所以x ≥4.5．2 由不等式判断可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)·(x －1a)>0，由解集特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2. 6．{x |x <1或x >2} f (1)＝4，若x >1，则2x >4⇒x >2； 若x ≤1，则x 2－6x ＋9>4⇒x >5或x <1⇒x <1， 所以不等式f (x )＞f (1)的解集是{x |x <1或x >2}．7．[－2，－23)∪(0，23) 画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图，解出坐标为(23，23)和(－23，－23)，由图知，解集为[－2，－23)∪(0，23)． 8.解析：因为log 12(x 2＋x ＋12)＝log 12[(x ＋12)2＋14]≤2， log 12(2x 2－x ＋58)＝log 12[2(x －14)2＋12]≤1. 又由题意f (x )的图象关于x ＝2对称，且a <0， 所以f (x )在(－∞，2]上递增．由原不等式得log 12(x 2＋x ＋12)<log 12(2x 2－x ＋58)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋12>02x 2－x ＋58>0x 2＋x ＋12>2x 2－x ＋58⇔1－144<x <1＋144.9．解析：(1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －2)>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －a )>0.当－2<a <1时，不等式的解集为{x |－2<x <a 或x >1}； 当a ＝1时，不等式的解集为{x |x >－2且x ≠1}； 当a >1时，不等式的解集为{x |－2<x <1或x >a }． 第39讲 简单的线性规划问题1．C 由已知两点在直线的两侧，则(2＋3＋m )(－8－2＋m )<0， 即(m ＋5)(m －10)<0， 所以－5<m <10，选C. 2．B3．D 画出可行域可知，如图，最大值在点(1,1)取得z max ＝3，最小值在点(m ，m )取得z min ＝3m ，由3＝4×3m ，解得m ＝14，故选D.4．B 可行域如图， 可知B (0,1)，O (0,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋y ＝0，A (－12，12)，显然当目标函数z ′＝x ＋2y 过点O 时取得最小值为0，故z ＝3x ＋2y 的最小值为1，故选B.5．D 画出满足不等式组表示的平面区域，如图所示，当直线z ＝2x ＋y 与圆弧相切时z 取得最大值．所以2＝|2×0＋0－z |5，z max ＝25，故选D.6．±1 作出不等式组表示的平面区域，由图易知要使不等式组表示的是一个轴对称四边形区域，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0平行或垂直，所以k ＝±1.7．1 画出平面区域可知图形为三角形，面积为12·(2＋a )·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)．8．解析：有两种情形：(1)直角由y ＝2x 与kx －y ＋1＝0形成，则k ＝－12，三角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，(25，45)，面积为15； (2)直角由x ＝0与kx －y ＋1＝0形成，则k ＝0，三角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，(12，1)，面积为14.经上所知，所求三角形的面积为15或14.9．解析：设公司每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本费为z 千元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋40y ≥2800≤x ≤60≤y ≤8x ∈N ，y ∈N，目标函数z ＝0.9x ＋y ，作出该不等式组表示的可行域，如下图．考虑z ＝0.9x ＋y ，变形为y ＝－0.9x ＋z ，这是以－0.9为斜率，z 为y 轴上的截距的平行直线族．经过可行域，平行移动直线，当直线经过点(0,7)时，直线在y 轴上的截距最小，即z 取最小值，为7.答：公司每天派出A 型卡车0辆，B 型卡车7辆时，所花的成本费最低，为7千元． 第40讲 不等式的综合应用1．A ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0a >0，解得a ＞2，故选A.2．D 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6， 当且仅当2x ＝y ＝1时取等号， 因此9x ＋3y 的最小值是6，故选D.3．A 由条件知点到直线的距离d ≤22－(3)2＝1，则d ≤|3k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－34≤k ≤0，故选A. 4．A 因为f (x )＝a |x |为偶函数，且易知在a ＞1时，f (x )＝a |x |在[0，＋∞)上单调递增，所以不等式f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)⇔|2x －1|<13，解得13＜x ＜23，故选A. 5．b <ax ＋by x ＋y <a 混合后的浓度为ax ＋by x ＋y %，显然有b %<ax ＋by x ＋y %<a %⇒b <ax ＋by x ＋y<a . 6.12因为f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1， 所以f (x )的下确界M 即为f (x )的最小值．又因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2(a ＋b )2≥a 2＋b 22(a 2＋b 2)＝12. 7．7 因为log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝log 2(m －2)(2n －2)＝3，所以(m －2)(2n －2)＝23＝8，且m －2>0,2n －2>0，因为4＝(m －2)(n －1)≤(m －2＋n －12)2，所以m ＋n ≥7，故填7. 8．解析：设这种汽车使用n 年报废合算，则每年的维修费用平均为1000n .由题意可知，每年的平均消耗费用f (n )＝50000＋6000n ＋(1000＋2000＋…＋1000n )n＝50000n＋500n ＋6500 ≥250000n·500n ＋6500 ＝16500，当且仅当50000n＝500n ，即n ＝10时，等号成立． 故这种汽车使用10年报废合算．9．解析：(1)函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，f ′(x )＝1x －1－k .因为x >1，所以1x －1>0，因此①当k ≤0时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上是增函数；②当k >0时，令f ′(x )＝0，即1x －1－k ＝0，得x ＝1＋1k . 当x ∈(1,1＋1k)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1＋1k，＋∞)，f ′(x )<0. 则f (x )在(1,1＋1k )上是增函数，在(1＋1k，＋∞)上是减函数． (2)当k ≤0时，f (2)＝1－k >0，故f (x )≤0不能恒成立，所以只需考虑k >0.当k >0时，由(1)知[f (x )]max ＝f (1＋1k)＝－ln k . 要使f (x )≤0恒成立，则－ln k ≤0，得k ≥1.故实数k 的取值范围为[1，＋∞)．。
不等式2015年最新题型
1．已知函数．(I)若不等式的解集为，求实数a的值；(II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．2．（1）若是的一个极值点，求的单调区间；（2）证明：若；（3）证明：若．3．（I）解不等式；（II），证明：4．已知.（1）解不等式；（2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.5．设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若函数有最小值，求的取值范围.6．设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，求证：ab+1＞a+b．7．设为三角形的三边，求证：8．（本小题满分10分）已知函数（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围。
9．（本小题满分10分）设函数（1）求f(x)≤6 的解集（2）若f(x)≥m 对任意x∈R恒成立，求m的范围。
10．（本小题满分10分）设函数（Ⅰ）若时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围11．（本小题满分10分）已知函数（I）当a=l时，解不等式f（x）<5；（II）若关于x的不等式f（x）<5有实数解，求实数a的取值范围12．(本题满分10分)已知函数。
（1）若的解集为，求实数的值。
（2）当且时，解关于的不等式。
13．（本小题满分10分）设（I）当a=1时，解不等式（Ⅱ）若恒成立，求实数a的取值范围．14．（本小题满分10分）已知a和b是任意非零实数.（1）求证（2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围.15．已知为正数（1）求证：；（2）求证：。
2015-2016学年高二数学练习第三章《不等式》章末归纳总结新人教A版必修5
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结新人A 教版必修5一、选择题1．(2015·四川理，1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}[分析] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A ，再按并集的意义求解．[答案] A[解析] A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A ．2．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－b ＞－a ＞b C ．a ＞－b ＞b ＞－a D ．a ＞b ＞－a ＞－b[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＞0⇒a ＞－b b ＜0⇒－b ＞0⇒a ＞－b ＞0⇒－a ＜b ＜0.∴选C ．另解：可取特值检验．∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a <b <－b <a ，排除A 、B 、D ，∴选C ．3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1 [答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D ． 解法2：化为：2x 2＋7x －9≤0， 即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92≤x ≤1.4．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][答案] D[解析] ∵2x＋2y≥22x ＋y，∴22x ＋y≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ． 5．(2014·安徽理，5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1[答案] D[解析] 本题考查线性规划问题．如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．6．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12时不成立．排除B ，选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [答案] 36[解析] 由基本不等式可得4x ＋a x≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立．故a2＝3，a ＝36.8．已知：a 、b 、x 、y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________．[答案] ab ≥xy[解析] ab ＝ab ·(1a ＋1b)＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，xy ≤x 2＋y 22＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab ≥xy .三、解答题9．(1)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )； (2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．[分析] (1)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，各边长均为正数．再结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加．(2)由ab ＝a ＋b ＋3出发，求ab 的范围，关键是寻找ab 与a ＋b 之间的联系，由此联想到基本不等式a ＋b ≥2ab .[解析] (1)∵a 、b 、c 是△ABC 的三边， 不妨设a ≥b ≥c >0则a >b －c ≥0，b >a －c ≥0，c >a －b ≥0.平方得：a 2>b 2＋c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab . ∴2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2. (2)令ab ＝t (t >0)． ∵a ，b 均为正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3或t ≤－1(舍去)， ∴ab ≥3， 故ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．10．m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根： (1)都大于1；(2)一根大于2，一根小于2. [解析] 设方程的两根分别为x 1、x 2. (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2>2x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －18>2m －78－m －18＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤9或m ≥25m >17m ∈R，∴m ≥25.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －78－m －8＋4<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <9或m >25m >27，∴m >27.一、选择题11．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1}[答案] B[解析] 因为集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，选B ． 12．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1[答案] C[解析] 取a ＝12，b ＝13验证可知选C ．13．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2[答案] A[解析] 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b＝0，∴v >a .14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)[答案] D[解析] 作出可行域如右图所示，由于ω＝y －1x ＋1可理解为经过点P (－1,1)与点(x ，y )的直线的斜率，而k PA ＝0－11－－＝－12，另一直线斜率趋向1，因此ω的取值范围为[－12，1)．二、填空题15．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．[答案] 20[解析] 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立．故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．16．(2014·苏州调研)若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－12)[解析] 依题意，对任意的x ∈[4，＋∞)，有f (x )＝(mx ＋1)(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1m＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．三、解答题17．已知a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] 11－a －(1＋a )＝a21－a .①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a . ②当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a .③当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴11－a＜1＋a . 综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a . 18．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．[解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
2015届高考数学(理)二轮练习：数列、不等式(含答案)
数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． 答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件． 答案 充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 错解 －1找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解 由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8， 得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点 两次利用基本不等式，等号不能同时取到． 正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b2≥16,1＋1a 2b2≥17.∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析 因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10， 所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确； 由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列， 记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ， 进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________． 答案 2 2解析 点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析 由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析 画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ， 令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时， 截距z 有最大值， 故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。
2015高中数学题库绝对值不等式
(－∞，1］
来源：07年安徽省月考四
题型：填空题，难度：较难
若函数 在 上满足 ，则 的取值范围是____.
答案：
，
来源：
题型：填空题，难度：中档
已知函数 的定义域为R，设不等式 的解集为M，不等式 的解集为N，则集合M与N的关系是M__________N（填 ， ， 中的一种）．
答案：
来源：
来源：
题型：解答题，难度：容易
解不等式
答案：
原不等式等价于 ，……2分
移项，通分得 ……6分
由已知 ，所以解①得 ，
解②得 或 ……10分
故原不等式的解集为 ……12分
来源：
题型：解答题，难度：中档
已知p：∣1－2x∣≤5，q：x2－4x+4－9m2≤0(m＞0)，若 p是 q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
∴3＞x12+x1x2+x22＞0，
-1＜x12+x1x2+x22-1＜2
∴|x12+x1x2+x22-1|＜2
即|k|＜2（10分）
（3）∵∴0≤x1＜x2≤1且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2）(1)
又| y1-y2|=|f（x1）- f（x2）|= f（x1）- f（0）+ f（1）- f（x2）|
给出下面两个命题：
命题p：函数 存在最小值.
命题q：函数 在区间 上有最大值3.
如果上面两个命题都是真命题，是求实数 的取值范围.
答案：
解：当 时， ，函数 不存在最小值
当 时， ，函数 有最小值
若命题p为真，则 .
对于函数
1）当 时， ，在区间 上有最大值3
2015年山东省高考(理)一轮专题复习特训：不等式【含答案】
山东省2015年高考数学一轮专题复习特训不等式一、选择题1、（2014数学理）5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下面关系是恒成立的是（ ） 111122+>+y x B.)1ln()1(ln 22+>+y x C.y x sin sin > D.33y x >答案：D2、（2014数学理）9. 【2014山东高考理第9题】 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（ ）A.5B.4C.5D.2答案：B3、（2013数学理）在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（A ）2 （B ）1 （C ）13- （D ）12- 答案：6．C4、(2011山东理科4) 不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 [来源:]A ．[-5，7]B ．[-4，6] [来源:]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞答案：D1 5．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）对任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是 （ ）x 210mx mx --<mA ．B ．C ．D ．【答案】B6．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）在R 上定义运算⊙:a ⊙b=ab+2a+b,则满足x ⊙(x-2)<0的实数x 的取值范围为 （ ）A ．(0,2)B ．(-2,1)C ．(-∞,-2)∪(1,+∞)D ．(-1,2)【答案】B72．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）已知,若恒成立, 则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C83．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．23a << B ．12a << C ．13a << D ．14a <<【答案】C94．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B105．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）在不等式组确定的平面区域中,若的最大值为,则的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A116．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）小王从甲地到乙地往返的时速分别为,其全程的平均时速为,则 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A二、填空题(4,0)-(4,0]-[4,0]-[4,0)-00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =+3a 1234()a b a b <和v a v ab <<v ab =2a b ab v +<<2a b v +=17．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知集合A={(x,y)|⎩⎨⎧ x ≥1，x ≤y ，2x －y ≤1},集合B={(x,y)|3x+2y-m=0},若A ∩B ≠∅,则实数m 的最小值等于__________.【答案】5 A ∩B ≠∅说明直线与平面区域有公共点,因此问题转化为:求当x,y 满足约束条件x ≥1,x ≤y,2x-y ≤1时,目标函数m=3x+2y 的最小值.在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域.可以求得在点(1,1)处,目标函数m=3x+2y 取得最小值5.28．（山东省聊城市堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测数学（理）试题）已知实数、满足,则的最大值是_________.【答案】4 根据题意,由于实数、满足,表示的为三角形区域 ,那么可知当目标函数z=2x+y 过点(1,2)点时,则可知目标函数取得最大值,即此时的直线的纵截距最大,故答案为4.三、解答题19．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）如图所示,要设计一张矩形广告,该广告含有左右两个全等的矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm)能使矩形广告面积最小?[来源:]【答案】解:方法一:设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.①[来源:]广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a>0,b>0广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b[来源:中教网][来源:] ≥18500+225a ·40b =18500+21000ab =24500. :学网][ 来源:]当且仅当25a=40b时等号成立,此时b=58a,代入①式得a=120,从而b=75, 即当a=120,b=75时,S取得最小值24500,故广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小方法二:设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为x-20,y－252.其中x>20,y>25.两栏面积之和为2(x-20)y－252=18000,由此得y=18000x－20+25,广告的面积S=xy=x(18000x－20+25)=18000xx－20+25x,整理得S=360000x－20+25(x-20)+18500.因为x-20>0,所以S≥2360000x－20×25x－20+18500=24500.当且仅当360000x－20=25(x-20)时等号成立, [来源:]此时有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=18000x－20+25,得y=175.即当x=140,y=175时,S取得最小值24500,故当广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.。
2015广东高考复习数学专项训练3(不等式)
2015广东高考复习数学专项训练3（不等式）1．若a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是A ．11a b <B ．22a b >C ．a c b c >D ．2211a bc c >++2．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示A ．⎩⎨⎧≥+--≥0221y x yB ．⎩⎨⎧≤+--≥0221y x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x3．设全集U R =，且{}|12A x x =->，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则=B AA ．（－1，4）B ．（－1，3）C ．（2，3）D ．（3，4）4．已知2a >，则32M a a =+-的最小值是A．2 B ．6 C． D．5．函数)2(log 2-=x y 的定义域是A ．（3，＋∞）B ．［3，＋∞）C ．（4，＋∞）D ．［4，＋∞） 6．不等式260ax bx +-<的解集为{|23}x x -<<，则a b += ．7．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则y x z +=5的最大值是 ．8．不等式255122x x -+>的解集是 ． 班别： 姓名： 成绩：2015广东高考复习数学专项训练3（不等式）参考答案1．令1,2,0a b c ==-=代入A 、B 、C 、D ，可知A 、B 、C 均错，故选D ． 因为2,10a b c >+>，所以2211a bc c >++，故选D ． 2．通过读图形，显然可以得到0x ≤，1y ≥-，将原点(0,0)坐标代入220x y -+≥知成立．故选C ．3．解得集合A 不等式的解集为{}13|-<>x x x 或，集合B 得{}42|<<x x ， 所以它们的交集为（3，4），故选D ． 4．2,20a a >∴->33(2)22222M a a a a ∴=+=-++≥=--当且仅当3(2)2a a -=-，即2a =+M 的最小值为2，故选A ． 5．依题意，知312≥≥-x x 解得，故选B ． 6．由已知得方程212602, 3.ax bx x x +-==-=两根为所以有6(2)31,(2)36b c a a a--=-+===-⋅=- 1,10a b a b ⇒==-⇒+=．7．如右图，图中阴影部分就表示可行域，由图象可知y x z +=5过点(1,0)A 时z 取得最大值，max 5z =．8．由原不等式可得：230)3)(2065,2221652<>∴>-->+->-+-x x x x x x x x或，（．。
江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题：不等式
江西省2015届高三数学一轮复习备考试题不等式一、选择题1、（2014年江西高考）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.42、（2013年江西高考）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为3、（2012年江西高考）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
4、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x xy -=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥则的最大值为( ) A ．8B ．3C ．413 D ．29 5、（红色六校2015届高三第一次联考）若关于x 的不等式21321x x a a -+-≤--在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）A.13a a <->或B.03a a <>或C.13a -<<D.13a -≤≤ 6、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积最小 时的k 为________7、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对任意R x ∈都有21)(<'x f ，则不等式21)(22+>x x f 的解集为（ ）A.(1，2)B.(0，1)C.),1(+∞D.(-1，1)8、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是9、（2014届江西省高三4月模拟）若不等式组10100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内的点都不．在圆2221()(0)2x y r r +-=>外，则r 的最小值是________10、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）已知10a b c >>>>，对以下不等式①a b c c > ②11a bc c > ③11abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④1111abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤11log log c c a b>， 其中成立的是（ ） A. ①②⑤B. ②③④C. ②③⑤D. ③④⑤11、（南昌三中2014届高三第七次考试）设01,a b <<<则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a >D ．()lg 0b a -<12、（南昌铁路一中2014届高三第二轮复习测试）不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则正实数a 的取值范围______13、（上饶市2014届高三1月第一次高考模拟）若正数,x y 满足230x y +-=，则的最小值为14、设变量,x y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则23x y +的最大值为 ( ).A 20 .B 35 .C 45 .D 5515、已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 516、若R c b a ∈,,，b a >，则下列不等式成立的是 （ ）A ．b a 11< B ．1122+>+c bc a C ．22b a > D ．c b c a > 17、已知正数,x y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）0 18、已知011<<ba ，给出下列四个结论：①b a < ②ab b a <+ ③||||b a > ④2b ab < 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④19、设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③2>+abb a 。
历年高考数学真题精选23基本不等式
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题23基本不等式（学生版）一.选择题（共10小题）1. （2015・湖南）若实h 满足、+七=向,则汕的最小值为（）a hA・ J5 B. 2 C. 2>/2 D. 42. （2O15・上海）已知“>O・ /?>O,若“ + b = 4.则（ ）A. u2+b 2^最小值B.应有最小值C. 1+1有最大值D. L 】L 有最大值3. （2O15・福建）若直线- + ^ = i G/>o.fr>O ）过点（1J ）.则“ +人的最小值等于（a bA. 2 B・ 3 C. 4 D. 54. （2014f 重庆）若 log 4（3a + 4Z^） = log 2 yfah , WO a + b 的最小值是（）A. 6 + 2a /5B. 7 4-2>/3C. 6 + 4>/3D. 7 + 4^35.（2013•山东）设正实数x, y, z 满足f 一3° + 4尸-1 = 0・则当打取得最大值时,+1--的最大值为（V z 76.7.8.9. A. 0(2O13・福建)A. [0. 2](2O12・浙江)A.癸5（2010-四川）A. 2（2010* 四川）A. 1B. 1若2l +2v =l,则x+y 的取值范围是（B. |一2, 0] C. [-2, +x)D・3D. (-x, -21若正数x , y 满足x + 3y = 5a / ,则3x + 4y 的最小值是（设">b>c>0,则2疽 +二 +B. 4C. 5D. 6ab a(a — b )- 10s・ + 25b 的最小值是（D・5H u>h>Q 9 则 u z + ——+------ab u — b )的最小值是（B. 2 C. 3 D.4B ?10. （2010*重庆）己知x>0, y>0,工+ 2）・+ 2个・=8,则x + 2），的最小值是（9 2H 2A.3B.4C.D.二.填空题（共10小题）IL（2019•上海）12・（2019・天津）ye/T,且！+2）・=3,则土的最大值为_.•X设x>0,）>0, x+2y=4,贝I］土旭m的最小值为_,13・（2018・天津）己知a,beR.且〃一％+6=0,则2"+—的最小值为____.O14.（2017•山东）若直线-+-=l（t/>0^>0）过点（1,2）,则M+b的最小值为a b15.（2014*上海）若实数工，y满足.口=1，则x2+2/的最小值为16.（2013•上海）设常数〃>0,若9x+—^1+1对一切正实数a•成立，则a的取值范国x为■17.（2O13-四川）已知函数/（x）=4x+-（x>0a/>0）在人=3时取得最小值，则。
基本不等式 基础练习题
基本不等式基础练习题1．若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是．2．已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．3．设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为．4．若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为．5．已知x＞2，则+x的最小值为．6．已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为．7．已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为．8．已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为．9．若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．10．若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．11．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是．12．已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．13．已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．15．设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．17．已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是．18．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．19．已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．20．已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为．21．已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．22．己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是．23．若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．24．已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为．25．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．26．在等比数列{an }中，若S7=14，正数a，b满足a+b=a4，则ab的最大值为．27．已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是．28．实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．a b参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•资阳模拟）若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．解答：解：∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故答案为：8．点评：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．（2013•东莞二模）已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把代入可得，2x+3y=（2x+3y）（）=+29，由基本不等式可得答案．解答：解：由题意可得2x+3y=（2x+3y）（）=+29≥2+29=29+6当且仅当，即x=，y=时取等号，故2x+3y的最小值为：故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，把代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．3．（2015•中山市二模）设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：由题意知，∴的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4．（2015•德阳模拟）若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两正数a，c满足a+2c+2ac=8，利用基本不等式的性质可得，化为，解出即可．解答：解：∵两正数a，c满足a+2c+2ac=8，∴，化为，∴≤0，解得，∴ac≤2，当且仅当a=2c=2取等号．∴ac的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．5．（2015•恩施州一模）已知x＞2，则+x的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞2，∴+x=+（x﹣2）+2≥=4，当且仅当x=3时取等号．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6．（2015•金家庄区模拟）已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为3．考点：基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：利用，当且仅当时取等号，x，y，m，n都为正数．解答：解：∵x∈（0，3），∴函数y=+≥=3，当且仅当，即x=1时取等号．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，利用△≥0，解出即可．解答：解：设x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，∴△=9m2﹣12（m2﹣1）≥0，解得﹣2≤m≤2，∴x+2y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，属于基础题．8．（2015•衡阳模拟）已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵xy2=8，∴x=，∵x，y∈R+，∴4x+y=+≥3=6，当且仅当x=，y=4时取等号．∴4x+y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为3．分析：由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用基本不等式可求最小值．解答：解：由2x+y﹣3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数，所以=．当且仅当x=y时取等号，因为2x+y﹣3=0，所以此时x=y=1．所以的最小值为3．故答案为3．点评：本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运用，属中档题．11．（2014•阳泉二模）已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是7．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本不等式得=2≤=，变形可得m+n的最小值．解答：解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，m＞2，n＞1，∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8，（m﹣2）（n﹣1）=4，∴=2≤=（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号），∴m+n﹣3≥4，m+n≥7．故答案为：7．点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计算能力．12．（2014•日照一模）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），∴1=2a+b，∵a＞0，b＞0．∴==3+=，当且仅当，b=时取等号．故答案为．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．13．（2014•镇江一模）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9．分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解答：解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴===9，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（2014•温州三模）已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a﹣b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a﹣b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．解答：解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0∴=当且仅当a﹣b=时取等号故答案为点评：本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将等式左边通分，化简等式后，使用基本不等式，化为关于的一元二次不等式，解出的范围．解答：解：∵x、y均为正实数，且，进一步化简得xy﹣x﹣y﹣8=0．x+y=xy﹣8≥2，令t=，t2﹣2t﹣8≥0，∴t≤﹣2（舍去），或t≥4，即≥4，化简可得xy≥16，∴xy的最小值为16．点评：本题考查基本不等式的应用，体现转化的数学思想，属于基础题．16．（2014•浙江模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．考点：基本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．17．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（2014•苏州一模）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．19．（2014•宝山区二模）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值．解答：解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；点评：本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题时应注意基本不等式的应用条件是什么，是基础题．20．（2014•淮安模拟）已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．21．（2014•重庆三模）已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先判断2x＞0，4y＞0，然后知2x+4y≥2 =，即得答案．解答：解：由2x＞0，4y＞0，∴2x+4y≥2 =．所以2x+4y的最小值为故答案为：．点评：本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用．22．（2014•淄博三模）己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式转化为一元二次不等式，解出即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+y++=5，∴=（x+y）+，令x+y=t＞0，上述不等式可化为t2﹣5t+4≤0，解得1≤t≤4，当且仅当x=y=2时取等号．因此t即x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法，属于中档题．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．24．（2014•咸阳二模）已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：==2，当且仅当a=c=b=d=1时取等号，∴ac+bd的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．25．（2014•荆州模拟）已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式求出xy≥8，然后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=xy，∴x+2y=xy，平方得（xy）2≥8xy，解得xy≥8，∴log4（x+2y）=log4（xy），故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用以及对数的基本计算，考查学生的计算能力．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比数列的通项公式和基本不等式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．∵S7=14=+=a4≥a4×（2+2+2+1），∴a4≤2．∵正数a，b满足a+b=a4，∴2≥a4=a+b，解得ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号．此时ab的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查了等比数列的通项公式和基本不等式，属于中档题．27．（2014•淮南二模）已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用20=1可得函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由于点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（1）=20+1=2，∴函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，∴m+2n=1．∴=（m+2n）=2+=4，当且仅当m=2n=取等号，∴的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了指数的运性质和基本不等式的性质，属于中档题．28．（2014•宁波模拟）实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．考点：基本不等式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由实数x、y满足x2+y2=4，利用三角函数代换x=2cosθ，y=2sinθ．令t=sinθ+cosθ=（θ∈[0，2π）），，可得2sinθcosθ=t2﹣1．x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵实数x、y满足x2+y2=4，∴可设x=2cosθ，y=2sinθ．则t2=1+2sinθcosθ，可得2sinθcosθ=t2﹣1．∴x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=2t﹣2（t2﹣1）=，当且仅当时，x+y﹣xy取得最大值为．故答案为：．点评：本题考查了圆的参数方程、三角函数代换、三角函数基本关系式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．29．（2014•济南二模）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于直线ax+by=1经过点（1，2），可得a+2b=1．再利用基本不等式和指数的运算性质即可得出．解答：解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），∴a+2b=1．∴2a+4b≥==2．当且仅当2a=4b，a+2b=1，即a=，b=时取等号．∴2a+4b的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式和指数的运算性质，属于中档题．30．（2013•石景山区二模）已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为即可得出．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴，化为，∴，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c==．∵ab≥4，∴，∴．∴c的取值范围是．故答案为．点评：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．。
高一数学不等式试题
高一数学不等式试题1.设则xy的最大值为 ( )A．2B．4C．D．【答案】A【解析】略2.设，且，则（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由题意，，又，则，所以，则，，由且，可得，故3.已知变量，满足则的最小值为__________．【答案】【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是．【考点】线性规划4.设满足约束条件，则的最大值为（）A．-8B．3C．5D．7【答案】D【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7【考点】线性规划5.已知实数x、y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．>C．D．【答案】D【解析】，是减函数，所以当时，，所以当时，只有成立，而当时，不能确定与的大小，以及与的大小．【考点】不等式的性质6.若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，恒成立，当，解得，所以【考点】含参不等式恒成立问题7.若实数，满足，则的取值范围是（用区间表示）【答案】【解析】且，设，，则，所以且，所以且．所以的取值范围是．【考点】1．基本不等式；2．三角换元求取值范围．8.设的最小值为_________．【答案】【解析】正数满足，，当且仅当时取等号，所以所求的最小值为。
【考点】基本不等式9.下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是A．（1，+∞）B．（0,1）C．（-1,0）D．（-∞，-1）【答案】D【解析】当时，不等式为显然无解，当时，不等式为，即，所以不等式解集为（-∞，-1），故选择D【考点】解不等式10.解关于的不等式：【答案】详见解析【解析】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为，第二步，，，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．试题解析：原不等式可化为：，（1）当－1＜a＜0时，，所以x＞－或x＜1。
高中数学专题复习基本不等式限时练习试卷与答案
高二数学专题复习（五）基本不等式1 限时练高二 ______班_____组 学号：_______ 姓名：______________ 一、【基础过关】（大约35分钟）.225,0.1的最大值求已知xx x +<.19,1.2的最小值求已知-+>x x x.)41(,410.3的最大值求已知x x x -<<4.(2020·上海,13)下列不等式恒成立的是( )A.a 2+b 2≤2abB.a 2+b 2≥-2abC.a+b ≥2√|ab |D.a+b ≥-2√|ab |5.(2015·福建,理5)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,1),求a+b 的最小值.6.(2015·湖南,文)若实数a ,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( )A.√2B.2C.2√2D.47.(2019·天津,文13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .8.(2019·天津,理13)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.9.(2014·重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是()A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3二、【能力提升】（大约5分钟）10.(2015·重庆,文14)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为.高二数学专题复习（五）基本不等式1限时练答案1. 302. 73.641A.由基本不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正确;B.a2+b2≥-2ab⇒a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确;C.当a=-1,b=-1时,不等式不成立,故C不正确;D.当a=0,b=-1时,不等式不成立,故D不正确.故选B.∵直线xa+yb=1过点(1,1),∴1a+1b=1.又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)(1a+1b)=1+1+ba+ab≥2+2√ba·ab=2+2=4.故选C.由已知1a+2b=√ab,可知a,b同号,且均大于0.由√ab=1a+2b≥2√2ab,得ab≥2√2.即当且仅当1a=2b,即b=2a时等号成立,故选C.(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.∵x+2y=4,∴4≥2√2xy,∴2xy≤4.∴1xy≥12.∴2+5xy≥2+52=92.先化简,利用√xy 的范围求解.√xy=√xy=√xy =2√xy √xy≥2·√2√xy ·6√xy =4√3.当且仅当√xy =√xy,即xy=3时等号成立.由log 4(3a+4b )=log 2√ab ,得12log 2(3a+4b )=12log 2(ab ),所以3a+4b=ab ,即3b +4a =1. 所以a+b=(a+b )(3b +4a )=3ab +4ba +7≥4√3+7,当且仅当3ab =4ba ,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D .10.(2015·重庆,文14,5分,难度★★)设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是=√x +√y,而(√x +√y )2=x+y+2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2 .此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2.。
【金版学案】2015届高考数学总复习 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课时精练试题
第四节基本不等式: ab ≤a ＋b2(a ,b ∈R ＋)题号 1 2 3 4 5 6 7 答案1．(2012·某某一模)已知a >0，b >0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式可知，a ＋b ＝2⇒ab ≤1，但ab ≤1不能推出a ＋b ＝2.故选A. 答案：A2．(2013·某某质检)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：因为x <0，所以－x >0，所以x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2－x ·1－x －2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．答案：C3．(2013·某某质检)若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13B.12 C.34 D.23解析：因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”，故选D.答案：D4．(2012·某某调研)设a ，b ，c ，d ∈R ，若a,1，b 成等比数列，且c,1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b |≤2cdD ．|a ＋b |≥2cd解析：∵ab ＝1>0，∴a ，b 同号． ∴|a ＋b |＝|a |＋|b |≥2|a ||b |＝2.又c ＋d ＝2，∴(c ＋d )2＝4，即c 2＋d 2＋2cd ＝4.∴4－2cd ＝c 2＋d 2≥2cd ，得2cd ≤2， ∴|a ＋b |≥2cd .故选D. 答案：D5．(2012·某某质检)已知函数f (x )＝2x满足f (m )·f (n )＝2，则mn 的最大值为( ) A.12 B.14C.16D.18解析：由已知得2m·2n＝2m ＋n＝2，所以m ＋n ＝1，于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14.故选B.答案：B6．(2013·某某一模)设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为( )A ．3 B.92C ．5D ．7解析：由题意知，a ＞0，△＝16－4ac ＝0，所以ac ＝4，c ＞0，则1c ＋9a ≥2×9ac＝3，当且仅当1c ＝9a 时取等号，所以1c ＋9a的最小值是 3.故选A.答案：A7．(2013·某某卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.94解析：由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx－3≥1，当且仅当x＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2.所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.答案：C8．(2013·某某卷)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：由基本不等式性质，f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在4x ＝ax ，即x 2＝a4时取得最小值，由于x ＞0，a ＞0，再根据已知可得a4＝32，故a ＝36.答案：369．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________．解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞10．(2013·某某模拟)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为__________．解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6.答案：611. (2012·某某八中月考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则log3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，可知当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取最大值，∴2a ＋4b ＝6，即1＝a ＋2b 3，所以1a ＋2b ＝a ＋2b 3a ＋2a ＋2b 3b ＝53＋2b 3a ＋2a 3b ≥2×23＋53＝3.∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥log 33＝2.故log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为2. 答案：212．(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：2013．围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m ，新墙的造价为460元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)因为利用的旧墙的长度为x 米，则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长为368xm ，于是y ＝180x ＋460(x －2)＋460×2×368x＝640x ＋232×82×10x－920＝640x ＋338 560x－920(x >0)．(2)∵x >0，∴640x ＋338 560x≥2640x ×338 560x＝29 440.∴y ＝640x ＋338 560x－920≥29 440－920＝28 520，当且仅当640x ＝338 560x，即x ＝23时，等号成立．∴当x ＝23 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是28 520元．14．(2013·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x x －12×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f x 2 000x ×10 000＝510x 2＋790x ＋9 000x＝50⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。
山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：不等式
山东省各地2015高三上学期期末考试数学理试题分类汇编不等式1、（德州市2015届高三）由不等式组 0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为 1Ω，不等式组12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为 2Ω，则 1Ω与 2Ω公共部分的面积为A ． 154B ． 32C ． 34D ． 742、（济宁市2015届高三）设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为8，则a b 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、43、（莱州市2015届高三）设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则23a b+的最小值为 4、（临沂市2015届高三）直线10x my ++=与不等式组30,20,20x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是 A. 14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 41,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 33,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5、（青岛市2015届高三）当01a a >≠且时，函数()()log 11a f x x =-+的图像恒过点A ，若点A 在直线0mx y n -+=上，则42m n +的最小值为________6、（泰安市2015届高三）若变量,x y 满足条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的取值范围为A. 5,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 55,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7、（潍坊市2015届高三）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料3千克，B 原料1千克；生产乙产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料3千克.每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元.公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）A.1600B.2100C.2800D.48008、（淄博市六中2015届高三）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤0100y x y x ，则1x y z x +=-的最大值为 （ ） A ． B ．2 C ．1- D ．129、（桓台第二中学2015届高三）某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg.A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )A ．500元B ．700元C ．400元D ．650元10、（滕州市第二中学2015届高三）若点在直线022=-+ny mx 上，其中则11m n+的最小值为 11、（滕州市第三中学2015届高三）设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．12、（淄博市2015届高三）13、（德州市2015届高三）不等式 136x x -++≤的解集为A ．[-4，2]B ． [)2,+∞C ． (],4-∞-D ． (][),42,-∞-+∞14、（济宁市2015届高三）若对任意实数x ，不等式｜x ＋3｜＋｜x －1｜≥a 2－3a 恒成立，则实数a 的取值范围为＿＿＿15、（淄博市六中2015届高三）已知正数满足，则的最大值为 ． 16、（滕州市第二中学2015届高三）不等式1x x -≤的解集是参考答案1、D2、D3、54、D5、6、C7、B8、D ；解析：1x y z x +=-1)1(1111---+=-++-=x y x y x ，先求两点)1,1().,(-Q y x P 连线的斜率最大值。
基本不等式 作业
基本不等式作业1.当x>1时，函数y=x+1-1x的最小值是.2.已知正数x，y满足x+y=1，那么1x+4y的最小值为.3.若x+2y=1，则2x+4y的最小值为.4.(2015·宿迁一模)若a2-ab+b2=1，a，b是实数，则a+b的最大值是.5.(2014·扬州中学)设x，y均为正实数，且32x++32y+=1，则xy的最小值是.6.设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则11c++99a+的最大值为.7.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为.8.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB=3 m，AD=2 m.(1)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(2)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(第8题)11.(2015·苏锡常镇二模)已知a，b∈R，a≠0，曲线y=2ax+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，求a2+b2的最小值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·南京、盐城一模)若实数x，y满足x>y>0，且log2x+log2y=1，则22-x yx y+的最小值为.13.(2015·镇江期末)已知正数x，y满足1x+1y=1，则4-1xx+9-1yy的最小值为.【检测与评估答案】第47课基本不等式及其应用1.3 【解析】因为x>1，所以y=x+1-1x =(x-1)+1-1x +1=3，当且仅当x-1=1-1x ，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y 的最小值为3.2.9 【解析】1x +4y =14x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x+y )=1+y x +4xy +4≥5+=5+2×2=9，当且仅当x=13，y=23时取等号.3.【解析】易知2x +4y =2x +22y =当且仅当x=12，y=14时，等号成立.4.2 【解析】方法一：因为a 2-ab+b 2=1，即(a+b )2-3ab=1，从而3ab=(a+b )2-1≤23()4a b +，即(a+b )2≤4，所以-2≤a+b ≤2，所以(a+b )max =2.方法二：令u=a+b ，与a 2-ab+b 2=1联立消去b 得3a 2-3au+u 2-1=0，由于此方程有解，从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0，即u 2≤4，所以-2≤u ≤2，所以(a+b )max =2.5.16 【解析】因为x ，y 均为正实数，32x ++32y +=1，所以8+x+y=xy ，xy 8，2)≥0，xy ≥16，即xy 的最小值是16.6. 20 【解析】设每次都购买x t ，则需要购买200x次，则一年的总运费为200x ×2=400x (万元)，一年的存储费用为x 万元，则一年的总费用为400x +x 40，当且仅当400x =x ，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20 t .7.65【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为[0，+∞)，则a>0，且Δ=16-4ac=0，即ac=4.欲求11c++99a+的最大值，利用前面关系，建立f(a)=11c++99a+=918(1)(9)c ac a++++=1+53613aa++，由f(a)=1+513aa++≤165，当且仅当36a=a，即a=6时取等号.8.813⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】方法一：令t=xy，则x=ty，于是ty+2yt+3y+4y=10，所以10=23t⎛⎫+⎪⎝⎭y+(t+4)1y，解得1≤t≤83.当23t⎛⎫+⎪⎝⎭y=(t+4)1y时，得y2=423tt++.当t=1时，y=1，x=1；当t=83时，y=43，x=2.所以1≤t≤83为所求.方法二：令t=xy，则y=tx，于是x+2x+3tx+4tx=10，可得41t⎛⎫+⎪⎝⎭x2-10x+2+3t=0，由Δ=100-441t⎛⎫+⎪⎝⎭(2+3t)≥0，得1≤t≤83.9.作出可行区域如图中阴影部分所示，当直线z=ax+by(a>0，b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4，6)时，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而2 a +3b=23236a ba b+⎛⎫+⎪⎝⎭=136+b aa b⎛⎫+⎪⎝⎭≥136+2=256，当且仅当ba=ab，即a=b=65时取等号.故2a+3b的最小值为256.(第9题)10.(1) 设AN=x m(x>2)，则ND=(x-2)m .因为ND DC =AN AM ，即-23x =xAM， 所以AM=3-2x x .所以S 矩形AMPN =23-2x x =23(-2)12(-2)12-2x x x ++=3(x-2)+12-2x +12≥212=24，当且仅当x=4时取等号，即当AN=4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为24 m 2.(2) 由(2)知S 矩形AMPN =3(x-2)+12-2x +12(x ≥6)，令x-2=t (t ≥4)，则f (t )=3t+12t+12.因为f'(t )=3-212t ，当t ≥4时，f'(t )>0，所以f (t )=3t+12t+12在区间[4，+∞)上单调递增，所以f (t )min =f (4)=27，此时x=6.即当AN=6 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为27 m 2.11. 令2a x+=ax+2b+1，可得ax 2+(2b+1)x-a-2=0. 方法一：把等式看成关于a ，b 的直线方程(x 2-1)a+2xb+x-2=0， 由于直线上一点(a ，b )到原点的距离大于等于原点到直线的距离，，所以a 2+b 2≥2222(-2)(-1)(2)x x x +=215-24-2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 因为x-2+5-2x 在x ∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-225，b=-350时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100. 方法二：令a 2+b 2=t 2(t>0)，所以a=t cos θ，b=t sin θ. 因为2a x+=ax+2b+1， 所以ax 2+(2b+1)x-(a+2)=0，所以t cos θ·x 2+2x ·t sin θ+x -t cos θ-2=0， 所以(tx 2-t )·cos θ+2xt ·sin θ=2-x ，θ+φ)=2-x ，所以|sin(θ+ φ)≤1，所以t ≥2|-2|1x x +. 下同方法一.12.4 【解析】因为log 2x+log 2y=log 2xy=1，所以xy=2.因为x>y>0，所以x-y>0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xyx y +=x-y+4-x y 4，当且仅当x-y=2，即1，1时取等号.13.25 【解析】因为1y =1-1x，所以4-1x x +9-1y y =4-1x x +911-y=4-1x x +9x=4+4-1x +9(x-1)+9=13+4-1x +9(x-1).又因为1y =1-1x >0，所以x>1，同理y>1，所以13+4-1x +9(x-1)≥13+25，当且仅当x=53时取等号，所以4-1x x +9-1yy 的最小值为25.。
2015各省市基本不等式练习题---学生版本
1．若1(mn 0)m n +=>，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知（1－2x ）（x －2）≥0，则24x x +的最小值是（ ）A 、32 C 、2 D 、3383．已知0,0>>b a ，4112=+b a ，若不等式m b a 42≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．若a>0，b>0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是（ ） A.112ab > B.111a b+≤ C. 2≥ab D ．a 2＋b 2≥8 5．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ） A ．B ．C ．5D ．6 6．已知x ＞1，y ＞1，且14lnx ，14，lny 成等比数列，则xy 有（ ）A.最小值eB.最小值eC.7．设01x <<，函数411y x x =+-的最小值为（ ） A ．272B ．9C ．10D ．8 8．已知x ＞0，y ＞0，且是3x 与33y 的等比中项，则+的最小值是（ ） A.2 B.2 C.4 D.29．函数)1,0(1)3(l o g ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中nm n m 21,0,+>则的最小值为（ ） A.6 B.8 C.4 D.1010．设,,1a b c >，则a c b cb a log log log ++的最小值为（ ）． A ．3 B ．4 C ．6 D ．811．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则 12a b+的最小值为 ( )A ．1B ．5C ．D ．3+12．若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ）A.ab b a b a >+>>2B.b ab b a a >>+>2C.ab b b a a >>+>2D.b b a ab a >+>>213．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有 A ．108M ≤< B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 14．已知b a b a ,,0,0>>的等差中项是12，且11x a y b a b =+=+，，则y x +的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．315．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 16．已知函数x x g 2)(=，2)()(=b g a g ，若0>a 且0>b ，则ab 的最大值为( )A ．21 B ．41 C 、2 D ．4 17．设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b +-的最小值为A ．．6 C ．3+ D ．18．已知命题:,+∃∈R p x 使得12+<x x；命题2:0q x x ∀∈≥R,.则下列命题为真命题的是（ ）（A ）∧p q （B ）∨p q （C ）∨⌝p q （D ）∧⌝p q19．设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y ﹣z 的最大值为（ ）A ．0B ．C ．2D ．20．已知△ABC 中,∠C=90°,则的取值范围是 ( ) A. (0,2) B.C.D.21．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立，则实数m 的最大值为 .22．已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则14x y+的最小值为 ； 23．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ．24．若0>a ，0>b ，且ab ba =+11，则33b a +的最小值为 . 25．已知正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值为。
【成才之路】2015版高中数学 3.2 均值不等式(第2课时)练习 新人教B版必修5
第三章 3.2 第2课时一、选择题1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a>b>cB ．c>a>bC ．b>a>cD ．a>c>b[答案] C[解析] ∵a 、c 均为正数，且a≠c ，∴a2＋c2>2ac ，又∵a2＋c2＝2bc ，∴2bc>2ac ，∵c>0，∴b>a ，排除A 、B 、D ，故选C ．2．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则( )A ．a11＝b11B ．a11>b11C ．a11<b11D ．a11≥b11[答案] D[解析] ∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，∴a11＝a1＋a212＝b1＋b212≥b1b21＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}、{bn}均为常数列，故选D ．3．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6[答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用．由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x 时，得到最小值5.4．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为RA 、RB ，则RA 与RB 的大小关系是( )A ．RA>RB B ．RA ＝RBC ．RA<RBD ．不确定[答案] A[解析] RA ＝R1＋R22，RB ＝2R1R2R1＋R2， RA －RB ＝R1＋R22－2R1R2R1＋R2＝＋－4R1R2＋＝－＋>0，所以RA>RB ．5．已知a>1，b>1，且lga ＋lgb ＝6，则lga·lgb 的最大值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18[答案] B[解析] ∵a>1，b>1，∴lga>0，lgb>0，又lga ＋lgb ＝6，∴lga·lgb≤(lga ＋lgb 2)2＝(62)2＝9，故选B ．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x ＝20，当且仅当x ＝80等号成立．二、填空题7．已知2x ＋3y ＝2(x>0，y>0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6[解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy≥6. 8．若实数x 、y 满足x2＋y2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233 [解析] ∵x2＋y2＋xy ＝1，∴(x ＋y)2＝xy ＋1.又∵xy≤(x ＋y 2)2，∴(x ＋y)2≤(x ＋y 2)2＋1，即34(x ＋y)2≤1.∴(x ＋y)2≤43.∴－233≤x ＋y≤233.∴x ＋y 的最大值为233.三、解答题9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a ＋b ＋c)．[解析] ∵a ＋b 2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a ＋b 2＝22(a ＋b)(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)．同理b2＋c2≥22(b ＋c)(等号在b ＝c 时成立)．a2＋c2≥22(a ＋c)(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥22(a ＋b)＋22(b ＋c)＋22(a ＋c)＝2(a ＋b ＋c)(等号在a ＝b ＝c 时成立).一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ，则有() A ．P ＝Q B ．P≥QC ．P≤QD ．P>Q[答案] C [解析] Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy ＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcy x ≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1[答案] D[解析] ∵x≥52，∴x －2＞0， 则f(x)＝x2－4x ＋52x －4＝12⎣⎡⎦⎤－＋1－≥1，等号在x －2＝1x －2即x ＝3时成立．3．已知y>x>0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x<x ＋y 2<y<2xyB ．2xy<x<x ＋y 2<yC ．x<x ＋y 2<2xy<yD ．x<2xy<x ＋y 2<y[答案] D[解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D ．4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式： ①ab>2ab a ＋b；②a>|a －b|－b ；③a2＋b2>4ab －3b2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( ) A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1， ∴2ab a ＋b≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab ≥22>2恒成立，故选D ．二、填空题5．建造一个容积为8 m3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案] 1 760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4x m ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320×2x×4x ＝1 760.当且仅当x ＝4x 即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元．6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P(x ，y)，则AB 方程为x 3＋y 4＝1，∵x ，y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy≤3.三、解答题7．若x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y )≥9.[解析] 证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2x ＋y 2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1，∴左边＝(1＋1x )(1＋1y )＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．8．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．[解析] ∵a 、b 、c ∈R ＋，a2b ，b2c ，c2a 均大于0， 又a2b ＋b≥2a2b ·b ＝2a ，b2c ＋c≥2b2c ·c ＝2b ，c2a ＋a≥2c2a ·a ＝2c ， 三式相加得a2b ＋b ＋b2c ＋c ＋c2a ＋a≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋C ．。
2015届高三数学不等式专题训练附解析
2015届高三数学不等式专题训练（附解析）一、选择题1、（2014广东高考）若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（ ）A ．8 B.7 C.6 D.52、（2012广东高考）已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1-3、（2011广东高考）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A． B． C ．4 D ．34、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为 A ．81 B ．41 C ．43 D ．875、（惠州市2015届高三第二次调研考试）已知0a >,x ,y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =( )A.14 B. 12C ．1D ．2 6、（韶关市十校2015届高三10月联考）若实数y x ,满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为（ ）A. 2； B ．2-； C.49-； D. 947、（广东省实验中学2015届高三第一次阶段考）已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11lg lg a b>8、（中山市第一中学等七校2015届高三第一次联考）已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则 OA OM +的取值范围是（ ）A []51，B []52，C []21，D []50，答案：1、【解析】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，2、B3、解析：（C ）．z y =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z取得最大值，max 24z ==4、【答案】D 解析：平面区域Ω×2×2＝2， 平面区域2Ω，为四边形BDCO ，其中C （0，1），由2=01y x x y --⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1322，，⎛⎫- ⎪⎝⎭则三角形ACD 的面积=5、【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数2z x y =+的几何意义为直线l ：2y x z =-+在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点(1,2)B a -时，目标函数2z x y =+的最小值为1，则1221,2a a -==。
不等式填空题
不等式综合复习题（二）一•填空题（共28小题）1. ________________________________________________ （2015春？玉田县期末）如果avb.那么3- 2a ______________________________________ 3-2b.（用不等号连接）2.（2015春？淮南期末）已知关于x的不等式组无解，贝U实数a的取值范围是 ____________.3.（2014春?广安区校级期末）若不等式组* 、的解集是空集，则a, b的大小关系是 ____________.4.（2014春？富顺县校级期末）不等式组里每个不等式的解集表示在同一数轴上如图，则此不等式组的解集用x表示为 _____________ .5.（2013春？新沂市校级月考）当a 时，不等式ax> 1的解集是xV .d6.（2012春？崇安区期中）若关于x的不等式组卩［°无解，则m的取值范围是 ____________.｛覽E爻+瓦、的解集是x > 1,则m的取值范x>ir^l围是8.设a>b,用“V”或“〉”填空：①2a- 5 ___________ 2b- 5; ②-3.5b+1 ___________ - 3.5a+1 .9.已知吕（m+4 x|m| -3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m _______________ .10.若不等式（k - 1） ..-：+2> 是一元一次不等式，则k= .X 311.（2015?成都校级模拟）不等式（m- 2）x>2 -m的解集为x V- 1,则m的取值范围是 .12 . （2015春?天水期末）关于x的不等式2x- aw- 1的解集如图所示，则a的值是 ____________.13 . （2015秋？醴陵市校级期末）若av b,那么-2a+9 ___________ -2b+9（填或“=”）.14 . （2015春?铁力市校级月考）不等号填空：若av bv 0,则-卡______________ 卡；5 5二丄；2a -1 _______________ 2b- 1 .a b15 . （2014?番禺区一模）已知不等式x+8>4x+m （m是常数）的解集是xv 3,贝U m=誓I* "I16.（2014春?石城县校级期末）若不等式组* 无解，则a的取值范围s<2a - 1是____________ .17.（2013春？新干县期末）图中是表示以x为未知数的一元一次不等式组的解集，那么这个一元一次不等式组可以是______________ .18.（2008秋?南阳期中）如图：（用等号或不等号填空）a+b ___________ 0, a-b ______ 0.19.（2014春?江阴市校级期中）构造一个一元一次不等式组，使它的解集是- 「wxv ',2 3这个不等式组是_____________ .- 120.（2005?三明）已知不等式组•：的解集如图所示，则不等式组的整数解为____________ .21.（2000?山东）若av bv 0,把1，1-a，1-b这三个数按由小到大的顺序用“v”连接起来：22.（2013?宁夏）若不等式组卩+玄>? 有解，则a的取值范围是1-2葢>工-2 -----------23._______________________________________________ （2014春？安庆期中）某药品说明书上标明药品保存的温度是（10± 4）C，设该药品合适的保存温度为t，则温度t的范围是_____________________________________________________ .24.（2014春?宜宾县校级期中）若-1vxv0,则x，x2,的大小关系为（用“v”连x接）___________ .25.________________________________________________ （2014春？张店区校级月考）若avbv0,则ab _________________________________________ a2.26. （2014春?海淀区校级期末）不等式（a- 1）xv 1 - a的解集是x>- 1,则a的取值范围是____________ .27. （2015春？安图县期末）若关于x的不等式3m+Q5的解集是x>2,则m的值是____________ .28.若-2a+23v- 2b+23,则a ______________ b （填“〉”或“v” 或“二”）.参考答案与试题解析一 .填空题（共28小题）1 . （2015春？玉田县期末）如果av b.那么3- 2a > 3 - 2b .（用不等号连接）【分析】根据不等式的性质3,可得-2a>- 2b,根据不等式的性质1,可得3-2a与3- 2b的大小关系.【解答】解：：av b,两边同乘-2得：-2a>- 2b,不等式两边同加3得：3 -2a> 3 - 2b,故答案为：〉.fy>32.（2015春？淮南期末）已知关于x的不等式组* ”"无解，则实数a的取值范围是_ aW3 .【分析】根据不等式组无解，可得出a<3.【解答】解：•••关于x的不等式组无解，•••根据大大小小找不到（无解）的法则，可得出a< 3. 故答案为：a< 3.3.（2014春?广安区校级期末）若不等式组•、的解集是空集，则a, b的大小关系是l x>ba<b .【分析】因为不等式组・］的解集是空集，利用不等式组解集的确定方法即可求出答案.【解答】解：•••不等式组小的解集是空集aw b.故答案为：aw b.4.（2014春？富顺县校级期末）不等式组里每个不等式的解集表示在同一数轴上如图，则此不等式组的解集用x表示为无解.【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集•实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左•四个不等式的公共部分就是不等式组的解集.【解答】解：由图示可看出，从-2出发向右画出的折线且表示-2的点是空心圆，表示x >-2；从0出发向右画出的折线且表示0的点是实心圆，表示x>0. 从1出发向左画出的折线且表示1的点是空心圆，表示XV 1；从3出发向右画出的折线且表示3的点是实心圆，表示x>3;故答案为：无解.5.（2013春？新沂市校级月考）当a V0时，不等式ax> 1的解集是xV .a【分析】根据不等式的性质3,不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案.【解答】解：不等式ax> 1的解集是x V，av 0，故答案为：v.6. （2012春？崇安区期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是••• m> 4，故答案为：m>4.m>4【分析】根据不等式组解集的确定方法：大大小小找不着可得解: •••关于x的不等式组无解,m> 4.时95+5的解集是x > 1,则m 的取值范 z>n^l 围是 m^0【分析门求出不等式组的解集，再与已知不等式的解集相比较即可求出 m 的取值范围. x>l•••原不等式组的解集为x > 1,m+K 1, 解得mK 0.8•设a >b ,用“v”或“〉”填空： ① 2a - 5 > 2b - 5;②-3.5b+1>- 3.5a+1 .【分析】①根据不等式的基本性质2和性质1,两边都乘以2再减去5,不等号的方向不变； ② 根据不等式的基本性质3和性质1,两边都乘以-3.5，不等号的方向改变，再加上1,不 等号的方向不变.【解答】解：①：a >b,A 2a >2b , 2a - 5>2b - 5;② T a> b, •- 3.5a v- 3.5b , ••- 3.5a+1 v- 3.5b+1 . ••- 3.5b+1 >- 3.5a+1 .故应填：>,>.9•已知2 （m+4 x |m| -3+6>0是关于x 的一元一次不等式，则 m= 4.3【分析】根据一元一次不等式的定义，|m| - 3=1, m+4^0,分别进行求解即可. 【解答】解：根据题意|m| - 3=1, m+4^0解得|m|=4 , 4 所以m=410. 若不等式（k - 1） ：,-： +2>二是一兀一次不等式，则k= - 1 .【分析】根据一元一次不等式的定义，k 2=1且（k - 1）工0,分别进行求解即可.【解答】解：根据题意k 2=1且（k - 1）工0 解得k=±l 且〜1,所以k= - 1.11. （ 2015?成都校级模拟）不等式（m- 2） x >2 -m 的解集为x v- 1,则m 的取值范围是_mv 2 .【分析】根据不等式的性质3,不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变， 可得答案.【解答】解：不等式（m- 2） x > 2-m 的解集为x v- 1,• m - 2v0, m< 2,故答案为：mv 2.12. （ 2015春?天水期末）关于x 的不等式2x - aK- 1的解集如图所示，则a 的值是_- 1 .【分析】首先解不等式2x - aK- 1可得厂，根据数轴可得XK- 1,进而得到—L = -1,再解方程即可.7.（ 2011春？池州校级期中）一元一次不等式组*1+9<5宁①,由①得，x > 1,故原不等式组可化为彳1 ②【解答】解：【解答】解：2x- aK- 1,2x < a - 1， xw「，2 •/x <- 1，•- =-1，解得：a= - 1， 故答案为：-1.13. （ 2015秋？醴陵市校级期末）若avb ,那么-2a+9 > - 2b+9 （填 或“=”）.【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等 式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变. 【解答】解：：av b ， ••- 2a >- 2b ， •••- 2a+9>- 2b+914. （2015春?铁力市校级月考）不等号填空：若avbv0,则-迢 >-上；丄 > 丄;55 a b2a- 1 v 2b- 1.【分析】由题意可知：avbv0，再根据不等式的基本性质1、基本性质2和基本性质3即 可判断各式的大小关系.【解答】解：：av bv0， ••- a >- b ；根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 即不等式-a >- b 两边同时除以5，不等号方向不变， 所以-=>-'；5 5 • >'；■- > ■；再根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变和不等式两边加（或减）同 一个数（或式子），不等号的方向不变可得：2a- 1v 2b- 1.15. （2014?番禺区一模）已知不等式x+8>4x+m （m 是常数）的解集是xv3,则m= - 1.【分析】先把未知数与常数项合并到不等式的两边，再结合不等式的解集进行解答. 【解答】解：由原式可得-3x > m- 8, x v ^—', 已知原不等式的解集为：x v 3, 故- =3,得 m=- 1. 故答案为：-1.【分析】根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等组无解，可得答案.x>a+lX 脣1无解，16. （2014春？石城县校级期末）若不等式组〕丄汨］无解，则a 的取值范围是亠2【解答】解；不等式组*得 a+1>2a - 1, 解得a < 2, 故答案为：a < 2.17.（2013春？新干县期末）图中是表示以x 为未知数的一元一次不等式组的解集，那么这【分析】表示解集的两个式子就是不等式，这两个不等式组成的不等式组就满足条件.【解答】解：由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是空心圆，表示x > 1； 从4出发向左画出的折线且表示 4的点是实心圆，表示x <4. 所以这个不等式组为（弓18.（ 2008秋?南阳期中）如图：（用等号或不等号填空） a+b V 0，a - b > 0. 【分析】易得bv0, a >0，|a| V |b|，计算的结果和0比较即可. 【解答】 解：：bv - 1 v0vav 1，二 a+bv 0，a - b >0.19.（2014春?江阴市校级期中）构造一个一元一次不等式组，使它的解集是- '<xv :，23【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可•如：根据“大小小大 中间找”可知只要写2个一元一次不等式x <a ，x > b ,其中a > b 即可.20.（ 2005?三明）已知不等式组 「的解集如图所示，则不等式组的整数解为 -1,0 .【分析】数轴的某一段上面表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等 式组的解集.整数解就是数轴上-1以及1之间的数中的整数. 【解答】解：观察数轴，在- Kxv 1之间的整数只有-1、0.因而不等式组的整数解为-1, 0.21.（ 2000?山东）若av bv 0,把1, 1-a , 1-b 这三个数按由小到大的顺序用“v”连 接起来： 1v 1- bv 1- a【分析】根据不等式的性质分析判断.【解答】解：若avbv0,把1, 1-a , 1-b 这三个数按由小到大的顺序用“v”连接起 来：1v 1 -个一元一次不等式组可以是.L'1 o 512 3^ 1 5【解答】解：根据解集是-三xv ；， 这个不等式组是这个不等式组是故答案为:12•答案不唯bv 1 - a.故填1 v 1 - bv 1 - a.22.（2013?宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是a>- 1 .1 - 2x>x -2 ---------【分析】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组P+a>° 有解，即可求出a的取1 - 2x>x- 2值范围.【解答】解：•••由①得x>- a,由②得xv1,故其解集为-a< xv 1,•°.- av 1，即a>- 1,•'•a的取值范围是a>- 1. 故答案为：a>- 1.23.（2014春？安庆期中）某药品说明书上标明药品保存的温度是（10± 4）C,设该药品合适的保存温度为t，则温度t的范围是6〜14 .【分析】根据正数和负数的定义即可得出答案.【解答】解：某药品说明书上标明药品保存的温度时（10± 4）C,说明在10C的基础上，再上下4C, 即6C〜14C之间；故答案为：6〜14.24.（2014春?宜宾县校级期中）若-1vxv0,则x, x2,的大小关系为（用“v”连接）x1 2-vxvx. .X【分析】运用x的取值确定x, x2,的大小即可..【解答】解：•••- 1 vxv0,•x2是正数，x与】是负数且「的绝对值大，X X1 2•—v x v x .X故答案为：丄v xv x2.25.（2014春？张店区校级月考）若avbv0,则ab v a2.【分析】运用不等式的基本性质求解即可.【解答】解：：av bv0,•abv a2.故答案为：v.26.（2014春?海淀区校级期末）不等式（a- 1）x v 1 - a的解集是x >- 1,则a的取值范围是av 1 .【分析】运用不等式的性质求解即可.【解答】解：：（a- 1）x v 1 - a的解集是x >- 1,二a- 1v 0,•av 1.故答案为：av 1.27.（2015春？安图县期末）若关于x的不等式3m+x>5的解集是x>2,则m的值是1 .【分析】先求得不等式的解集（用含m的式子表示），然后列出关于m的方程即可求得m的值.【解答】解；由3m+x>5得；x>5 -3m•••不等式的解集为x>2,••• 5- 3m=2解得：m=1.故答案为：1.28.若-2a+23v- 2b+23,则a > b （填“〉”或“v” 或“=”）.【分析】首先根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，可得-2av- 2b;然后根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数, 不等号的方向改变，可得a> b,据此解答即可.【解答】解：I - 2a+23v- 2b+23,•- 2a+23- 23v- 2b+23- 23,即-2av- 2b,•- 2a十（-2）>- 2b- （- 2）,即a> b,所以若-2a+23v- 2b+23,则a>b.故答案为：〉.。
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2015年数学中考试题分类汇编专题:一元一次不等式一．选择题1．（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b
C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 2．（2015•黄石）当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0 3．（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．
＞D．m2＞n2
4．（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b 5．（2015•广元）当0＜x＜1时，x ，，x2的大小顺序是（）
A．
＜x＜x2B．x＜x2＜C．x2＜x ＜D．
＜x2＜x
6．（2015•桂林）下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
7．（2015•绥化）关于x 的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是
（）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1D．a≤1
8．（2015•扬州）已知x=2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（）
A．a＞1 B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤2
9．（2015•丽水）如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（）
A．x≥2B．x＞2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x≤2
10．（2015•嘉兴）一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（）
A ．B．
C．
D ．
11．（2015•岳阳）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1 20．（2015•西宁）不等式3x≤2（x﹣1）的解集为（）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
23．（2015•南通）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 24．（2015•台湾）如图为某餐
厅的价目表，今日每份餐点价
格均为价目表价格的九折．若
恂恂今日在此餐厅点了橙汁
鸡丁饭后想再点第二份餐点，
且两份餐点的总花费不超过
200元，则她的第二份餐点最
多有几种选择？（）
A． 5 B．7
C．9 D．11
25．（2015•东营）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x 的最大值是（）
A．11 B．8 C．7 D． 5
30．（2015•南充）不等式＞1的解集是．
32．（2015•铜仁市）不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是．33．（2015•酒泉）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为．
三、解答题
34．（2015•南京）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．
35．（2015•安徽）解不等式：＞1﹣．
36．（2015•自贡）解不等式：﹣x＞1，并把解集在数轴上表示出来．
37．（2015•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．
38．（2015•东莞）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
39．（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果至少购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？40．（2015•甘孜州）一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：
箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？
（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．
（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？
42．（2015•潍坊）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A 、B 两种型号家用净水器共160台，A 型号家用净水器进价是150元/台，B 型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A 、B 两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B 型号家用净水器的毛利润是A 型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A 型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 43．（2015•广西）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和1个篮球共需180元．
（1）求每个足球和每个篮球的售价；
（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 44．（2015•山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：
请解答下列问题：
（1
）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg ，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg ？ 红星中学根据实际情况，计划租用A ，B 型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题：
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x 的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 46．（2015•株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 47．（2015•眉山）某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？ （2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？ 48．（2015•本溪）暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人． （1）旅游团中成人和儿童各有多少人？
（2）旅行社为了吸引游客，打算给游客准备一件T 恤衫，成人T 恤衫每购买10件赠送1件儿童T 恤衫（不足10件不赠送），儿童T 恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用不超过1200元，请问每件成人T 恤衫的价格最高是多少元？
49．（2015•泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
50．（2015•益阳）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？。