不等式基本训练(1)

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基本不等式专项训练

基本不等式专题训练一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为_________．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为_________．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为_________．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为_________．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是_________．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为_________．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是_________．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是_________．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为_________．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有_________．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为_________．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是_________．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是_________．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为_________．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是_________．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是_________．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是_________．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为_________．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为_________．20．（2012•宁国市模拟）_________．基本不等式专题训练参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2014•浙江模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．2．（2014•南通二模）设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为﹣．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．再利用三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式即可得出．法2：由a+b+c≥a+b+a2+b2，通过配方变形为+即可得出．解答：解：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．则a+b+c≥rcosθ+rsinθ+r2==，当且仅当取等号．∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：．（0≤r≤c≤1）．法2：∵实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，∴a+b+c≥a+b+a2+b2=+≥﹣，当a=b=，c=时取等号，∴a+b+c的最小值为﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、配方法，属于中档题．3．（2014•青岛一模）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．考点：基本不等式．专题：创新题型．分析：已知条件提供了和与积的关系，要求的是积的范围，可以考虑将和转化为积，再求积的范围；也可以一元二次方程的韦达定理去研究．解答：解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．点评：本题主要是用基本不等式解题，关键在于化归转化思想的运用．本题还可以尝试消元利用函数求最值．4．（2014•闵行区二模）若不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，可知：16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．解答：解：∵不等式（x+y）（+）≥16对任意正实数x、y恒成立，∴16≤．令f（x）=（x+y）（+），（a＞0）．则f（x）=a+4+≥a+4+=a+4+4．当且仅当取等号．∴，解得a=4．因此正实数a的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、基本不等式的应用，属于中档题．5．（2014•温州二模）已知a＞1，ab=2a+b，则（a+1）（b+2）的最小值是18．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由a＞1，ab=2a+b，可得b≠2，，b＞2．代入（a+1）（b+2）=，变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞1，ab=2a+b，∴b≠2，∴，解得b＞2．∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2===2（b﹣2）++10+10=18，当且仅当b=4时取等号．因此（a+1）（b+2）的最小值是18．故答案为：18．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于中档题．6．（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．7．（2014•江苏模拟）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．8．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•天津模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，可得z=x2﹣3xy+4y2．于是==，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．于是+﹣==，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．点评：熟练掌握基本不等式的性质和二次函数的单调性是解题的关键．10．（2014•闸北区一模）设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有①③．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质逐一进行判定即可判断出答案．解答：解：∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴a+b=2≥2，即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故①正确；∵（+）2=a+b+2=2+2≤4，当且仅当a=b=1时取等号，∴+≤2，故②不正确；∵4=（a+b）2=a2+b2+2ab≤a2+b2+2，当且仅当a=b=1时取等号，∴a2+b2≥2，故③正确，∴不等式恒成立的有①③．故答案为：①③．点评：本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用．属于基础题．11．（2014•岳阳二模）若a，b，c∈R+，且++=1，则a+2b+3c的最小值为9．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”和均值不等式即可得出．解答：解：∵a，b，c∈R+，且++=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）=9，当且仅当a=2b=3c=3时取等号．∴a+2b+3c的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和均值不等式，属于基础题．12．（2014•上海模拟）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得．解答：解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣•﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•和平区模拟）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞b＞c＞0，∴2a2++﹣10ac+25c2==+（a﹣5c）2≥+0=4．当且仅当a=2b=5c=时取等号．因此2a2++﹣10ac+25c2的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．14．（2014•潍坊模拟）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．15．（2014•瑞安市一模）若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则S=2﹣（4a2+b2）的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用，可得，，即可得出．解答：解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得，，∴S=2﹣（4a2+b2）=，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．（2014•新昌县二模）若正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则x+y的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出x+y的最小值．解答：解：∵x+y+z=4，∴x+y=4﹣z∵xy+yz+zx=5∴xy=5﹣yz﹣xz=5﹣z（x+y）=5﹣z（4﹣z）=z2﹣4z+5由韦达定理知：xy是一元二次方程t2﹣（4﹣z）t+（z2﹣4z+5）=0的两实根，则判别式△=（4﹣z）2﹣4（5﹣4z+z2）≥0，化简得：（z﹣2）（3z﹣2）≤0，又x，y，z为正实数∴0＜z≤，∴z的最大值是．x+y的最小值是4﹣=．故答案为：．点评：此题考查了最值问题．解此题的关键是得到关于z的一元二次方程，利用判别式求解．此题难度较大，解题时要注意细心．17．（2014•黄冈模拟）设正实数a，b，c满足a+2b+c=1，则+的最小值是7．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：通过代换转化为利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．解答：解：∵正实数a，b，c满足a+2b+c=1，令a+b=x＞0，b+c=y＞0，且x+y=1．∴+=，由x+y=1可得y=1﹣x．∴==f（x）．（0＜x＜1）∴f′（x）=﹣==，令f′（x）=0，解得x=．当时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．因此当x=时，函数f（x）取得最小值，==4+3=7．∴+的最小值是7．故答案为：7．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值和转化的方法，属于难题．18．（2014•镇江二模）已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．解答：解：由x，y满足2≤y≤4﹣x，x≥1，画出可行域如图所示．则A（2，2），B（1，3）．==，令k=，则k表示可行域内的任意点Q（x，y）与点P（﹣1，1）的斜率．而k PA=，，∴，令f（k）=k+，则≤0．∴函数f（k）单调递减，因此当k=时，f（k）取得最大值，．故答案为：．点评：本题综合考查了线性规划的可行域和斜率计算公式、利用导数求函数最大值等基础知识与\基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．19．（2013•镇江一模）已知x，y为正数，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0，从而有==，利用基本不等式可求解答：解：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0∴==当且仅当即a=b时取等号即最大值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用换元法配凑基本不等式的应用条件20．（2012•宁国市模拟）4．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据题意，由对数的性质可得，xy=10且x、y＞0，对于+，由基本不等式变形计算可得答案．解答：解：根据题意，lgx+lgy=1⇒lgxy=1，则xy=10且x、y＞0，对于+，由x、y＞0，，可得、＞0，则+≥2=2=4，即+的最小值为4，故答案为4．点评：本题考查基本不等式的运用，注意由对数的性质得到x、y均大于0，进而得到+符合基本不等式使用的条件．。

基本不等式答案

基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________．答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。

基本不等式基础练习题

0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a﹣ b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．
解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0 ∴
=
当且仅当a﹣b=
时取等号故答案为
点评：本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）
15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且
解：∵x∈（0，3）， ∴函数y=
+
≥
=3，当且仅当
，即x=1时取等号． ∴函数y=
+
的最小值为3．故答案为：3．
点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．
7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大
值为 2 ．
考点：
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解答：
，代入要求的式子，由基本不等式可得．解：∵xy=1，∴y=
∴x2+2y2=x2+
≥2
=2
，
当且仅当x2=
，即x=±
时取等号，故答案为：2
点评：本题考查基本不等式，属基础题． 10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则
的最小值为 3 ．
考点：专题：分析：
解答：
，
∵x，y∈R+，
∴4x+y=
+ ≥3
=6，当且仅当x=
，y=4时取等号． ∴4x+y的最小值为6．故答案为：6．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2

不等式训练题

不等式训练题(一)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知},062|{},,043|{22Z x x x x B Z x x x x A ∈>--=∈≤--=，则B A ⋂的非空真子集个数为 ( )A. 2B. 3C. 7D. 82．下列不等式：①a a 212>+；②a a 442≥+；③2||≥+b a a b ；④ab b a b a ≤+22222，其中恒成立的是 ( )A ．①④B ．③④C ．②③D ．①② 3.若10=+<B ．2q p S +=C ．2q p S +≤D ．2qp S +≥ 5.设正数y x ,满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．26．设∅=>++==A C mx mx x A R U U },0218|{,2，则m 的取值范围是( )A ．16210<≤mB ．01621=>m m 或C ．0≤mD ．16210>≤m m 或7.已知0>>>c b a ，则下列不等式成立的是( )A. c a c b b a ->-+-211B. ca cb b a -<-+-211 C.c a c b b a -≥-+-211 D. ca cb b a -≤-+-211 8.已知y x ,是正数，且4=xy ，则当yxx y +取得最小值时，x 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．22 D ．29.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 公里/小时的速度直达灾区，已知两地公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2)20(v 公里，那么这批物资全部运到灾区，至少需要( )小时A ．5B ．10C ．15D ．2010.若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为( ) A ．13- B ．13+ C ．232+ D ．232- 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

基本不等式训练题

基本不等式训练题一、题点全面练x 2－2x ＋1⎡1⎤1．已知f (x )＝，则f (x )在⎢，3⎥上的最小值为()x⎣2⎦14A. B.23C ．－1D ．0x 2－2x ＋11解析：选D f (x )＝＝x ＋－2≥2－2＝0，x x1⎡1⎤当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号．又1∈⎢，3⎥，x⎣2⎦⎡1⎤所以f (x )在⎢，3⎥上的最小值是0.⎣2⎦2．(2018·哈尔滨二模)若2＋2＝1，则x ＋y 的取值范围是()A ．[0,2]C ．[－2，＋∞)x y x y x y B ．[－2,0]D ．(－∞，－2]x ＋y 解析：选D 由1＝2＋2≥22·2，变形为2时取等号．则x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．1≤，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y4123．若实数a ，b 满足＋＝ab ，则ab 的最小值为()a bA.2C ．22B ．2D ．412解析：选C 因为＋＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，a b12由ab ＝＋≥21a ba b 2·＝22ab，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.31m 4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式＋≥恒成立，则m 的最大值为()a b a ＋3bA ．9C ．1831m 解析：选B 由＋≥，a b a ＋3bB ．12D ．24⎛31⎫9b a得m ≤(a ＋3b ) ＋⎪＝＋＋6.⎝a b ⎭a b9b a又＋＋6≥29＋6＝12，a b⎛当且仅当9b ＝a ，即a ＝3b 时等号成立⎫，⎪a b ⎝⎭∴m ≤12，∴m 的最大值为12.1925．正数a ，b 满足＋＝1，若不等式a ＋b ≥－x ＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，a b则实数m 的取值范围是()A ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]B ．(－∞，3]D ．[6，＋∞)19解析：选D 因为a ＞0，b ＞0，＋＝1，a ba b 9a b 9a ⎛19⎫所以a ＋b ＝(a ＋b ) ＋⎪＝10＋＋≥10＋29＝16，当且仅当＝，即a ＝4，b ＝⎝a b ⎭b a b12时，等号成立．由题意，得16≥－x ＋4x ＋18－m ，即x －4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，令f (x )＝x －4x －2＝(x －2)－6，所以f (x )的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.116．(2019·青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则＋的最小值x 3y 是________．11⎛11⎫解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则＋＝＋⎪(x ＋3y )＝2x 3y ⎝x 3y ⎭3y x 3y x 1111＋＋≥4，当且仅当＝，即x ＝，y ＝时取等号，故＋的最小值为4.x 3y x 3y 26x 3y 答案：47．若正数x ，y 满足4x ＋9y ＋3xy ＝30，则xy 的最大值为________．解析：30＝4x ＋9y ＋3xy ≥236x y ＋3xy ，即30≥15xy ，所以xy ≤2，2322当且仅当4x ＝9y ，即x ＝3，y ＝时等号成立．3故xy 的最大值为2.答案：222222222228．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x的最小值为________．x解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1.1⊗x x ＋x ＋11又f (x )＝＝＝1＋x ＋≥1＋2＝3，xxx当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3.答案：139．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．82解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1.x y又x ＞0，y ＞0，82则1＝＋≥28x y x y28·＝，得xy ≥64，xy82当且仅当＝，即x ＝16且y ＝4时，等号成立．x y所以xy 的最小值为64.82(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得＋＝1，x y⎛82⎫则x ＋y ＝＋⎪(x ＋y )x y ⎝⎭2x 8y＝10＋＋≥10＋2y x2x 8y·＝18.y x2x 8y当且仅当＝，即x ＝12且y ＝6时等号成立，y x所以x ＋y 的最小值为18.3810．(1)当x ＜时，求函数y ＝x ＋的最大值；22x －3(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 183解：(1)y ＝(2x －3)＋＋22x －32－2x 的最大值．＝－ ⎛3－2x＋8⎫＋3.⎪3－2x ⎭2⎝23当x ＜时，有3－2x ＞0，2∴3－2x 8＋≥223－2x3－2x 8·＝4，23－2x3－2x 81当且仅当＝，即x ＝－时取等号．23－2x 2355于是y ≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.222(2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x－2x ＝2·x－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋A ．3C ．2B.3D.21的最小值为()b －1231解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋＝7，得t ＝，t 21112即log a b ＝，a ＝b ，所以a ＋2＝a －1＋＋1≥22b －1a －1当a ＝2时取等号．故a ＋1的最小值为3.b －12a －1＋1＝3，当且仅a －112212．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为()a b a －1b －2A ．25C.2B.32232D ．1＋4122a解析：选A 由a ，b 为正数，且＋＝1，得b ＝＞0，所以a －1＞0，a b a －1所以21212a －1＋＝＋＝＋a －1b －2a －12a a －12－2a －1≥22a －1·＝2，a －122a －112＝和＋＝1同时成立，a －12a b 当且仅当即a ＝b ＝3时等号成立，所以21＋的最小值为2.a －1b －233．函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为________．x3⎛3⎫解析：∵x ＜0，∴y ＝1－2x －＝1＋(－2x )＋－⎪≥1＋2x⎝x ⎭－2x3＝1＋－x26，当且仅当x ＝－63时取等号，故函数y ＝1－2x －(x ＜0)的值域为[1＋26，＋∞)．2x 答案：[1＋26，＋∞)(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与函数交汇]已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为()A ．16C ．12B ．8D ．14x ym n解析：选B 由题意，函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)，令x ＋4＝1，可得x ＝－3，代入可得y ＝－1，∴图象恒过定点A (－3，－1)．∵直线＋＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，3131∴＋＝2，即＋＝1.m n 2m 2nx ym n⎛31⎫913n 3m ∴3m ＋n ＝(3m ＋n ) ＋⎪＝＋＋＋≥2⎝2m 2n ⎭222m 2n时，取等号)∴3m ＋n 的最小值为8.3n 3m·＋5＝8(当且仅当n ＝m ＝22m 2n5．[与数列交汇]已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ，满足a m a n ＝a 4，21则＋的最小值为()*22m nA ．13B.2C ．29D.2解析：选A 根据题意，设{a n }的公比为q ，则a m ＝q ，a n ＝q ，a 4＝q .由a m a n ＝a 4得q 22m n 4m ＋2n ＝q ，8＝1.8∴m ＋2n ＝8，∴m ＋2n21*又m ，n ∈N ，∴＋＝m nm ＋2n m ＋2n 1n m 11＋＝＋＋＋≥＋28m 8n 42m 8n 421＝1，16当且仅当＝，即m ＝2n ＝4时取“＝”，2m 8n21∴＋的最小值为1.n mm n6．[与解析几何交汇]若直线mx ＋ny ＋2＝0(m ＞0，n ＞0)被圆(x ＋3)＋(y ＋1)＝1所截13得的弦长为2，则＋的最小值为()22m nA ．4C ．12B ．6D ．16解析：选B 圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直131⎛13⎫1⎛n 9m ⎫1线过圆心，所以－3m －n ＋2＝0，3m ＋n ＝2，所以＋＝(3m ＋n ) ＋⎪＝ 6＋＋⎪≥m n 2⎝m n ⎭2⎝m n ⎭2⎛6＋2⎝n 9m 13n 9m ⎫·⎪＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.m n m n m n ⎭x ＋2y －3≤0，⎧⎪7．[与线性规划交汇]已知x ，y 满足⎨x ＋3y －3≥0，⎪⎩y ≤1，a bz ＝2x ＋y 的最大值为m ，若14正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，则＋的最小值为__________．解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y 的几何意义为直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x ＋y －z ＝0在y 轴上的截距最大，即目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎧⎪x ＋2y －3＝0，⎨⎪x ＋3y －3＝0，⎩解得M (3,0)，所以z 的最大值为2×3＋0＝6，即m ＝6，所以a ＋b ＝6，141⎛14⎫1⎛b4a⎫1⎛故＋＝＋⎪·(a＋b)＝ 5＋＋⎪≥ 5＋2 a b6⎝a b⎭6⎝a b⎭6⎝b4ab4a⎫3当且仅当＝，即b＝4，·⎪＝，a ba b⎭2a＝2时等号成立．3答案：2。

基本不等式中档题训练(解析版)

【解析】
a 2019 b 2020 a b 2019 2020 4042
4042 4042 a 2019 b 2020 b 2020 a 2019 2 b 2020 a 2019
a 2019 b 2020
a 2019
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 2020
a 2019 b 2020
基本不等式中档题训练
1、已知正数 a,b 满足 1 1 1，则 9 4 的最小值是（）
ab
a 1 b 1
A、6
B、12
C、24
D、36
【解析】
因为 1 1 1，所以 a b ab ，故 9 4 9(b 1) 4(a 1) 4a 9b 13 4a 9b 13
ab
a 1 b 1 (a 1)(b 1) ab (a b) 1
4
4
即 (x y 5)2 64 ，解得 x y 5 8 ，即 x y 13 。
11、（2019 上饶期末）设 x>0，y>0，x+2y=4，则 (x 4)( y 2) 的最小值为_______ xy
【解析】
x 2y 4 ，x 2y 2 2xy ， 1 1 ， xy 2
1 1 1,b a 0 ，解得 a 1，同理 b 1，
ab
a 1
则14 1 a 1 b 1 a 1
4 a
1
1 a 1
4(a
1)
2
1 4(a 1) 4 a 1
a 1
14、（2020 江苏模拟）若 a,b 均为非负实数，且 a+b=1，则 1 4 的最小值为________ a 2b 2a b
a b 1
a b1 a
b 1
a

第一讲不等式的基本性质(基础训练)(解析版)

第一讲不等式的基本性质一、单选题1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2B．2m＞2n C．＞D．m2＞n2【答案】D【解析】试题分析：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；故选D．【考点】不等式的性质．2．下列推理正确的是( )A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1 B．因为a＜b，所以a－1＜b－2C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可.【详解】A. 因为由a＜b，变为a＋2＜b＋1，两边不是加的同一个数，故不正确；B. 因为由a＜b，变为a－1＜b－2，两边不是减的同一个数，故不正确；C. 因为由a＞b，所以a＋c＞b＋c，符合不等式的性质1，故正确；D. 因为由a＞b，变为a＋c＞b－d，两边不是同时加上或减去同一个数，故不正确；故选C.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是( )A．a+t>a B．a+t<a C．a+t≥a D．不能确定【答案】A【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，①a＋t＞a，故选A.考点：本题考查的是不等式的基本性质点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.4．把不等式－3x＞－6变形为x＜2的依据是不等式的( )A ．基本性质1B ．基本性质2C ．基本性质3D ．以上都不是【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合变形的方法求解即可.【详解】①把不等式－3x ＞－6的两边都除以-2可变形为x ＜2，①变形的依据是不等式的基本性质3.故选C.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．5．若－2a ＜－3a ，则a 一定满足的条件是( ) A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a≥0D ．a≤0 【答案】A【解析】将原不等式两边都乘以﹣6，得：3a ＞2a ，移项、合并，得：a ＞0，故选A ．6．设“○”、“□”、“①”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“①”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为( )A．○□①B．○①□C．□○①D．①□○【答案】D【解析】由图1可知1个○的质量大于1个□的质量，由图2可知1个□的质量等于2个①的质量，因此1个□质量大于1个①质量．故选D7．a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①b＋c＞0；①a＋b＞a＋c；①bc＞ac；①ab＞ac.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数，原点右边表示正数，左边表示负数，结合有理数运算法则进行判断即可求解．【详解】解：依题意得-2＜c＜-1＜0＜b＜1＜2＜a①b+c＜0，故说法错误；①a+b＞a+c，故说法正确；①bc＞ac，故说法正确；①a-b＞0，故说法正确；①正确的是①①①，共3个．故选C．【点睛】此题主要考查了利用数轴比较两个负数的大小，绝对值大的反而小．8．2a与3a的大小关系（）A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定【答案】D【分析】题目中没有明确a的正负，故要分情况讨论．【详解】当a<0时，2a>3a；当a=0时，2a=3a；当a>0时，2a<3a，故选D．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．9．若x+5＞0，则（）A．x+1＜0B．x﹣1＜0C．＜﹣1D．﹣2x＜12【答案】C【解析】试题分析：根据不等式x+5＞0，求得x＞﹣5，然后可知：A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；故选C．考点：不等式的性质10．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【答案】D【解析】试题分析：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．故选D．考点：不等式的性质．点睛：根据不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，来判断各选项．11．在平面直角坐标系中，点A ()7,21m --+在第三象限，则m 的取值范围是（）A ．12m >B ．12m >-C ．12m <-D ．12m < 【答案】A【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得-2m+1＜0，求不等式的解即可．【详解】解：①点在第三象限，①点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即-2m+1＜0，解得m ＞12．故选A ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 12．当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( ) A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<< 【答案】A【解析】分析：先在不等式0＜x ＜1的两边都乘上x ，再在不等式0＜x ＜1的两边都除以x ，根据所得结果进行判断即可．详解：当0＜x ＜1时，在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜1x，又①x＜1，①x2、x、1x的大小顺序是：x2＜x＜1x．故选A．点睛：本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或a bm m ＞．二、填空题13．用“＞”“＝”或“＜”填空：(1) 若a＞b，且a＜0，则a2________ab；(2) 若a＋5＜b＋5，则－a_________－b.【答案】＜＞【解析】【分析】（1）根据不等式的性质3求解即可（2）先根据不等式的性质1，再根据性质3求解即可.【详解】(1) ①a＞b，且a＜0，①a2>ab；(2) ①a＋5＜b＋5，①a＜b，①－a>－b.故答案为：(1)＜， (2)＞.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．14．已知a>b ，选择适当的不等号填空：(1)－3a ________－3b ； (2)1－5a__________1－5b ；(3)ax 2_________bx 2；(4)a(－c 2－1)_________b(－c 2－1)．【答案】＜＜ ≥ ＜【解析】【分析】（1）根据不等式的性质3两边都除以-3解答即可；（2）先用不等式的性质3两边都乘以-5，，再用不等式的性质1两边都加1解答；（3）先判断x 2的取值范围，再根据不等式的性质解答；（4）先判断－c 2－1的取值范围，再根据不等式的性质解答.【详解】(1) ① a >b ，①－3a <－3b ； (2) ① a >b ，①－5a <－5b , ①1－5a <1－5b ；(3) ① a >b ，x 2≥0，①ax 2≥bx 2；(4) ①c2≥0，①-c2≤0，①－c2－1<0；① a>b，①a(－c2－1)<b(－c2－1)．故答案为：(1)＜；(2) ＜；(3) ≥ ；(4) ＜.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．15．若7x＋2＜7y＋2，则x_______y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边_______________，第二步是将不等式的两边_______________．【答案】＜都减去2 都除以7【解析】【分析】先根据不等式的性质1两边都减去2，再根据不等式的性质2两边都除以7.【详解】若7x＋2＜7y＋2，则x<y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边都减去2，第二步是将不等式的两边都除以7．故答案为：＜；都减去2 ；都除以7.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．16．当x____________时，代数式2x－3的值是正数．【答案】＞3 2先由题意列出不等式，再根据不等式的基本性质即可得到结果．【详解】由题意得2x－3＞0，解得x＞3 2 .考点：本题考查的是不等式的基本性质【点睛】解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变.三、解答题17．将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：(1)2x＞3x－4；(2)5x－1＜14；(3)－19x＜－3；(4) 13x＜12x＋1.【答案】(1) x＜4；(2) x＜3；(3) x＞27；(4) x＞－6.【解析】（1）先根据不等式的性质1两边都减去3x，合并同类项后，再根据不等式的性质3两边都除以-1；（2）先根据不等式的性质1两边都加1，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以5；（3）先根据不等式的性质3两边都乘以-9即可；（4）先根据不等式的性质1两边都减去12x，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以6.【详解】(1) ①2x＞3x－4，①2x-3x>-4,①-x>-4,①x<4;(2) ①5x－1＜14，①5x<14+1,①5x<15,①x<3；(3)－19x＜－3，①－19x×（-9）>－3×（-9）①x>27；(4) ① 13x＜12x＋1，①13x-12x<1，①-16x<1，①x>-6.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．18．指出下列各式成立的条件．(1)由a>b，得ac≤bc；(2)由(a－3)x>a－3，得x>1；(3)由a<b，得(m－2)a>(m－2)b.【答案】(1)c≤0；(2)a>3；(3)m<2.【解析】试题分析：根据不等式的性质，又不等式的不等号的变化判断即可.试题解析：（1）由a＞b，得ac≤bc，根据不等式的性质3，可知c≤0；(2)由(a－3)x＞a－3，得x＞1，根据不等式的基本性质2，可得a-3＞0，即a＞3；(3)由a＜b，得(m－2)a＞(m－2)b，根据不等式的性质3，可知m-2＜0，解得m＜2.19．已知x>0，试比较10x2－3x＋2与8x2－3x＋2的大小【答案】10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.【解析】【分析】先把两个式子相减，并去括号合并同类项，然后由x>0，结合不等式的性质判断差的正负即可.【详解】解：(10x2－3x＋2)－(8x2－3x＋2)＝2x2，①x>0，①2x2>0，①10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小.作差法比较大小的方法是:如果a-b>0，那么a>b；如果a-b=0,那么a=b；如果a-b<0,那么a<b；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果a>b，b>c，那么a>b>c.20．已知x>y，试比较(m－1)x与(m－1)y的大小【答案】见解析【解析】【分析】分三种情况①m－1>0，①m－1＝0，①m－1<0，根据不等式的性质解答即可.【详解】解：当m－1>0，即m>1时，(m－1)x>(m－1)y；当m－1＝0，即m＝1时，(m－1)x＝(m－1)y；当m－1<0，即m<1时，(m－1)x<(m－1)y.【点睛】本题考查了不等式的基本性质及分类讨论的数学思想，分三种情况解答是解答本题的关键．21．小明从一商店买了3个相同的玻璃杯，平均每个a元，又从另一个商店买了2个相同的玻璃杯，平均每个b 元，后来他以每个2a b +元的价格把玻璃杯全部都卖给了乙，结果赔了钱，你能用不等式的知识说明原因吗？【答案】见解析【解析】【分析】先理解题意知道赔钱是什么意思，进而利用题中数量关系列出不等式2a b +<3a +2b >5，根据不等式的基本性质变形即可得到赔钱的原因.【详解】解：因为赔了钱，所以×5＜3a ＋2b ，①5a ＋5b ＜6a ＋4b ，①－a ＋b ＜0，即b ＜a ，①赔钱的原因是b ＜a.【点睛】本题考查了不等式的基本性质的应用，根据题意列出不等式并能根据不等式的基本性质变形是解答本题的关键.。

《基本不等式》专题复习与训练

《2.2 基本不等式》专题复习与训练第1课时基本不等式【新课导入】1．重要不等式∀a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0即a ＝1时，“＝”成立．] 2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2ab C ．2abD ．a ＋bD [∵a ，b ∈(0,1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )，∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．]3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8B [∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b 2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据x 2＋y 22≥xy ，a ＋b 2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]【合作探究】对基本不等式的理解【例1】给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4；③∵x 、y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a 、b 为正实数，∴b a 、a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a 、b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b .1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2. ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x≤－2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4.③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. ② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x ＝1x时即x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )A．a＋b≥2ab B.ba＋ab≥2C.a2＋b2ab≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[(1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b2，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，Q，M的大小顺序是( )A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ，(由a ＋b ＞(a ＋b )24也就是a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b 2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用基本不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c>9.⎛⎫1⎛⎫1⎛⎫11．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明] 由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.4．已知a＞1，b＞0，1a＋3b＝1，求证：a＋2b≥26＋7.[证明] 由1a＋3b＝1，得b＝3aa－1(a＞1)，则a＋2b＝a＋6aa－1＝a＋6(a－1)＋6a－1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7 ≥26＋7，当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号．1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..【课堂达标】 1．思考辨析(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) [提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立．(3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0B ．0<a b<1C.ab<a＋b2D．ab>a＋bC[∵a>b>0，由基本不等式知ab<a＋b2一定成立．]3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5C[由基本不等式知等号成立的条件为9x－2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]4．设a>0，b>0，证明：b2a＋a2b≥a＋b.[证明] ∵a>0，b>0，∴b2a＋a≥2b，a2b＋b≥2a，∴b2a＋a2b≥a＋b.《基本不等式》专题训练[合格基础练]一、选择题1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( ) A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s<tA[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]2．下列不等式中正确的是( )A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4abC.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x2≥2 3D [a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．]3．已知a >0，b >0，则下列不等式中错误的是( ) A ．ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22B ．ab ≤a 2＋b 22C.1ab ≥2a 2＋b 2D.1ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2D [由基本不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 22≥ab 得，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴1ab ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2，故选D.] 4．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b 2＞b ＞abD.a ＞ab ＞a ＋b 2＞bB [a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．]5．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18D [由ab ≤2得ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 错； B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错；由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2＝42＝2，故C 错；由a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22得a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8， ∴1a 2＋b 2≤18，D 正确．] 二、填空题6．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．(a －b )(b －c )≤a －c 2[∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0， ∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2.]7．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b 2的大小关系为________．x ≤a ＋b 2[用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )． ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2， ∴x ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时等号成立．]8．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.36 [f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝ax，即x ＝a 2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a 2＝3，即a ＝36.]三、解答题9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b≥4.[证明] 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝1＋b a ＋ab ＋1＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b 时“＝”成立． 10．已知a 、b 、c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ≥3. [证明] 左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b－1＋a c ＋b c－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 为正数，∴b a ＋ab≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)； c a ＋ac≥2(当且仅当a ＝c 时取“＝”)； c b ＋bc≥2(当且仅当b ＝c 时取“＝”)．从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3≥3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3.[等级过关练]1．下列不等式一定成立的是( )A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2B [A 项中当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．]2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，而4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥2.]3．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值为________． 2 [xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．]4．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是________．①② [由重要不等式a 2＋b 2≥2ab 可知①正确； ②a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a2＋b2)＋(a2＋b2)4≥a2＋b2＋2ab4＝(a＋b)24＝⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为a＋b 2＝－1，右边为aba＋b＝－12，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．] 5．已知a、b、c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca. [证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b2≥ab，b＋c2≥bc，c＋a2≥ca，∴a＋b2＋b＋c2＋c＋a2≥ab＋bc＋ca，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a、b、c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.第2课时基本不等式的应用【新课导入】已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S2 4.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 C [∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22ab·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立.故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.]2．若x >0，则x ＋2x的最小值是________．22 [x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．] 3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 100 [∵x ，y ∈N *，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100.]【合作探究】利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．[思路点拨] (1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y ＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.1．(1)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9.(2)法一：∵0<x <13，∴1－3x >0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二：∵0<x <13，∴13－x >0.∴y ＝x (1－3x )＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112.利用基本不等式求条件最值【例2】已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y＝1.求x ＋2y 的最小值．[解] ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.81811．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f (x )＝ax ＋bx型和f (x )＝ax (b －ax )型．2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b的最小值．[解] 法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2ba＋a b＋2＝3＋2ba＋a b≥3＋22ba·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝1＋2b a ＋a b＋2＝3＋2ba＋ab≥3＋22，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2. 利用基本不等式解决实际问题【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0. ∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．2．对于函数y ＝x ＋kx(k >0)，可以证明0＜x ≤k 及－k ≤x ＜0上均为减函数，在x ≥k 及x ≤－k 上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k 时，可用基本不等式，不包含±k 时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习)．3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2 160×104 2 000x＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x＋225x.当x＋225x取最小值时，y有最小值．∵x>0，∴x＋225x≥2x·225x＝30.当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.【课堂达标】1．思考辨析(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x>1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.( )[提示] (1)由a＋b≥2ab可知正确．(2)由ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝4可知正确．(3)xx－1不是常数，故错误．[答案] (1)√(2)√(3)×2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( ) A．1 B．2 2 C．2 D．4A[由基本不等式得，ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝1.]3．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为( ) A.12B.34C.23D.25A[∵0<x<1，∴1－x>0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×⎝⎛⎭⎪⎫x＋1－x22＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时取等号．]4．已知x>0，求y＝2xx2＋1的最大值．[解] y＝2xx2＋1＝2x＋1x.∵x>0，∴x＋1x≥2x·1x＝2，∴y≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．《基本不等式的应用》专题训练[合格基础练]一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3D [a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3.]2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C [∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．] 3．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．－3 2C ．3－2 3D ．－1 C [∵x ＞0，∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．]4．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25，故选B.] 二、填空题 6．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． [答案] 17．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.56 [设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x ＋2－72＝8＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2)．当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立．]8．若a ，b ∈R ＋，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．a ＋b ≥6 [∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解之a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．] 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32， ∵当x <32时，3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52. 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解] 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得y ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118＝118－⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋784x ＋3 ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24(x ＋3)·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．[等级过关练]1．若－4<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1D [y ＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. 故y ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立．] 2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－22或m ≥2 2B ．m ≤－4或m ≥2C ．－2＜m ＜4D ．－22＜m ＜2 2D [∵x >0，y >0且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24yx ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2恒成立，即8>m 2，解得－22<m <2 2.]3．若x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 116[1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y ＝12时等号成立．] 4．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 233 [x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1.∴34(x ＋y )2≤1.∴x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＝33时等号成立．] 5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝1□＋9□，试求这两个数． [解] 设1a ＋9b＝1，a ，b ∈N *，∴a ＋b ＝(a ＋b )·1＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝1＋9＋b a ＋9ab ≥10＋2b a ·9a b＝10＋2×3＝16，当且仅当b a ＝9ab，即b ＝3a 时等号成立．又1a ＋9b ＝1，∴1a ＋93a ＝1，∴a ＝4，b ＝12. 这两个数分别是4,12.。

基本不等式专题训练(简答)

基本不等式专题训练巩固训练（一）一．基本不等式的理解1.若R b a ∈，，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是（）A ．ab b a 222>+B ．ab b a 2≥+C ．ab b a 211>+D ．2≥+ba ab 2.已知)1,0(,∈b a 且b a ≠，则下列四个数中最大的数是（）A.22b a +B.ab 2C.b a +D.ab 23.已知b a ，为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（）A ．b a +4B ．b a 11+C ．ab 2D ．228b a + 4.设b a <<0，则下列不等式中正确的是（）A ．2ab ab b a <<>b a b a ，，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是 ①1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a ；⑤211≥+ba ．二．基本不等式在最值问题中的基础运用 1.积为定值⇒和有最小值，平方和有最小值（1）已知0>x ，函数x x y 9+=的最小值是（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （2）已知0<x ，则函数xx y 1+=有（） A.有最大值2 B.有最小值2 C.有最大值2- D.有最大值2- （3）若0>ab ，则ba ab +4的最小值为（4）若实数y x ，满足1=xy ，则222y x +的最小值为（5）已知函数)0,0(4)(>>+=a x xa x x f 在3=x 时取得最小值，则=a 2．和为定值⇒积有最大值，平方和有最小值（1）若10<<x ，则)1(x x -的最大值为（）A ．1B ．21C ．41D ．81 （2）已知0>a ，0>b ，若4=+b a ，则（）A.22b a +有最小值B.ab 有最小值C.b a 11+有最大值D.ba +1有最大值（3）已知0>a ，0>b ，若1=+b a ，则ab 的最大值是（4）已知R b a ∈，，且063=+-b a ，则b a 812+的最小值为（5）若0>x ，0>y ，且321=+y x ，则xy 的最大值为 3.平方和为定值⇒积有最大值，和有最大值（1）已知422=+b a ，则ab 的最大值为（）A ．2B ．22C ．4D ．24（2）已知非负实数b a ，满足1032=+b a ，则b a 32+最大值是（）A ．10B ．52C ．5D ．10（3）已知0>a ，0>b ，且5=+b a ，则31+++b a 的最大值为（）A ．18B ．9C ．23D ．324.等式变不等式求最值（运用2)2(222b a b a ab +≤+≤，结合换元法）（1）设0>a ，0>b ，24=++ab b a ，则（）A.b a +有最大值8B.b a +有最小值8C.ab 有最大值8 D ．ab 有最小值8（2）已知正数b a ，满足62=++ab b a ，则b a 2+的最小值为（3）已知0>x ，0>y ，1642++=y x xy ．则xy 的最小值为（4）设y x ，为实数，若122=++xy y x ，则22y x +的最小值为，xy 的最大值为（5）设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是巩固训练（二）一．配凑法求最值-----通过凑项或者凑系数让和、积、平方和为定值1.已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为（B ） A ．4B ．3C ．2D ．1 2.已知210<<x ，则函数)21(x x y -=的最大值（C ） A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 3.已知b a ，为正数，7422=+b a ，则21b a +的最大值为（ D ）A ．7B ．3C ．22D ．2 4.已知0>>b a ，则b a b a a -+++142的最小值为（ A ） A ．6B ．4C ．32D ．23 5.若函数)2(21)(>-+=x x x x f ，在a x =处取最小值，则=a 3 6.已知45<x ，则54124-+-=x x y 的最大值为 1 二．消元法求最值（利用等式，代入消元）1.已知实数y x ，满足：0>x 且022=+-xy x ，则y x 2+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．522.若正数y x ，满足0162=-+xy x ，则y x 3+的最小值是（）A ．21B ．1C ．22D ．23.若正数b a ，满足121=+b a ，则2112-+-b a 的最小值为（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．14.已知正数b a ，满足1=++ab b a ，则b a +2的最小值为5.设z y x ，，为正实数，满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值为三．常数代换法求最值（条件求值）1.直接相乘类型，如1=+b a ，则42)11)((11≥++=++=+ba ab b a b a b a （1）已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则ba 41+的最小值是（） A ．27 B ．4 C ．29 D ．5（2）已知0>a ，0>b ，112=+b a ，则b a +2的最小值为（） A ．10 B ．9C ．8D ．7 （3）在ABC ∆中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若)0,0(2>>+=y x y x ，则yx 21+的最小值为（4）若直线)0,0(1>>=+b a by a x 过点)2,1(，则b a +2的最小值为（5）已知0>x ，0>y ，且满足xy y x =+4，则y x +的最小值为 2.凑“分母和”类型，如1=+b a ，31)11)(1111(1111⨯++++++=+++b a b a b a . （1）设10<<x ，则x x y -+=194的最小值为（） A ．24 B ．25 C ．26 D ．1（2）已知10>>b a ，且42=+b a ，则121-+b a 的最小值为（） A ．8 B ．4 C ．22 D ．38 （3）设n m ，为正数，且2=+n m ，则2311++++n n m 的最小值为（） A ．23 B ．35 C ．47 D ．59 （4）已知实数y x ,满足0>>y x 且1=+y x ，则yx y x -++134的最小值是（5）已0>a ，0>b ，2181=++b a ，则b a +2的最小值为四．分式函数求最值（换元法或分离常数法）1.已知)0(163)(2>+++=x x x x x f ，则)(x f 的最小值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62.已知4≥x ，则函数xx x x f 42)(2++=的最小值为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93.已知y x ，都是正实数，则yx y y x x +++44的最大值为（） A ．23 B ．34 C ．25 D ．45 4.已知0>t ，则函数tt t y 142+-=的最小值为 5.若对任意0>x ，a x x x ≤++132恒成立，则a 的取值范围是 6.已知0≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值为 7.已知0>x ，0>y ，则2223y xy y x ++的最小值为五．连续放缩求最值（连用两次基本不等式，注意两次等号成立的条件是否相同）1.已知0>a ，0>b ，则ab b a 211++的最小值是（） A ．2 B ．22 C ．4 D ．52.已知0>a ，0>b ，则ba ab 22)1()1(+++的最小值为（） A ．4B ．6C ．8D ．16 3.已知0>>b a ，则)(1b a b a -+的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．224.若R b a ∈，，0>ab ，则abb a 1444++的最小值为巩固训练（三）基本不等式求最值综合训练1.若实数b a ，满足ab b a =+21，则ab 的最小值为（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．42.若正数y x ，满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（）A ．524B ．528C ．5D ．63.已知1>a ，1=ab ，则ba b a -+22的最小值是（） A ．22B ．2C ．2D ．1 4.若不等式04111≥--+m x x 对)41,0(∈x 恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．7B ．8C ．9D ．10 5.已知141,0,0=+>>nm n m ，若不等式a x x n m ++-≥+22对已知的n m ，及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．),8[+∞B ．),3[+∞C ．]3,(-∞D ．]8,(-∞6.若0lg lg =+y x ，则y x 94+的最小值为7.已知正数y x ，满足5=+y x ，则2111+++y x 的最小值为 8.已知正数y x ，满足1=+y x ，且m x y y x ≥+++1122，则m 的最大值为 9.已知x ，y 均为正实数，且满足1311=++xyy x ，则y x +的最小值为 10.已知正数y x ，满足1=+y x ，则当=x 时，xyy x 2+的最小值是 11.已知0>a ，0>b ，则abb a 1)4(2++的最小值为，此时=+b a参考答案巩固训练（一）一．1-5 DCBB ，①③⑤二．1.（1）-（5） CC ，4，22，362.（1）-（5） CA ，41，41，89 3.（1）-（3） ABC4.（1）B （2）4 （3）16 （4）32，31 （5）5102巩固训练（二）一．1-6 BCDA ，3，1二．1-5 ABA ，1，3 三1.（1）-（5）CB ，8，8，9 2.（1）-（5）BDD ，29，8四．1-3 DBB 4-7 2-，),51[+∞，223+，2 五．1-4 CCB ，4巩固训练（三）1-5 CCACD 6-9 12，21，31，6 10. 21，3 11. 8，45。

不等式基础训练1含答案

不等式基础训练一．选择题（共30小题）1．已知a＜b，下列式子不成立的是（）A．a+1＜b+1B．4a＜4bC．﹣＞﹣b D．如果c＜0，那么＜2．已知直线y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞2B．x＞3C．x＜2D．x＜33．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是（）A．a+b＜﹣1B．ab＜1C．D．4．不等式组的整数解共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．2a+3＞2b+3B．5a＜5b C．D．a﹣2＜b﹣2 6．不等式4（x﹣2）≥2（3x﹣5）的正整数解有（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．关于x的一元一次方程x+m﹣2＝0的解是负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞﹣2D．m＜﹣28．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a﹣2，3a）在第二象限，则字母a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜2C．0＜a＜2D．a＞29．已知a、b、c是实数，且a＞b，则以下四个式子中，正确的是（）A．ac＞bc B．﹣2a＞﹣2b C．D．﹣1+a＞﹣1+b10．已知点P（a+1，﹣）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．11．已知点A（m+1，﹣2m+3）关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＜0B．﹣1＜m＜C．﹣＜m＜1D．m＞12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝1交点的横坐标为5，则不等式kx+b≥1的解集为（）A．x≥1B．x≥5C．x≤1D．x≤513．已知a＞b，则下列不等式不成立的是（）A．3a＞3b B．b+3＜a+3C．﹣a＞﹣b D．3﹣2a＜3﹣2b 14．在平面直角坐标系中，若P（x﹣2，﹣x）在第三象限，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞215．在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4，正确的是（）A．B．C．D．16．若m＞n，则下列不等式变形错误的是（）A．m﹣2＞n﹣2B．﹣3m＜﹣3nC．m2＞mn D．＞17．不等式3x﹣5＜3+x的自然数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣119．不等式＞x的最大整数解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．x＝220．某商品进价加价25%后出售，最后降价处理库存，要使后续销售不亏本，售价降价不能高于（）A．20%B．25%C．30%D．40%21．满足﹣2＜x≤1的数在数轴上表示为（）A．B．C．D．22．把不等式2﹣x＜1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．23．小东去批发市场购买了甲糖果20斤，价格为每斤x元；又购买了乙糖果10斤，价格为每斤y元．后来，他以每斤元全部卖出后，发现自己赔钱了．则下列判断正确的是（）A．x＝y B．x＞yC．x＜y D．x、y的大小关系不确定24．下列各数，是不等式x+2＞5的解的是（）A．3.5B．﹣3C．3D．﹣225．已知a＜b，下列不等式中正确的是（）A．B．a﹣3＜b﹣3C．a+3＞b+3D．﹣3a＜﹣3b26．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．27．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．28．如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（）A．3个B．9个C．7个D．5个29．不等式组的解集是（）A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤2 30．如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2二．填空题（共20小题）31．不等式3x﹣6＞0的解集为______．32．不等式组的解集是______．33．不等式组的整数解是______．34．不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是______．35．一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≤0的解集为______．36．不等式组的解集为______．37．若x的2倍与1的和大于x，则满足条件的x的最小整数为______．38．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2020＝______．39．关于x的方程2x﹣2m＝x+4的解为正数，则m的取值范围是______．40．不等式组的解集为______．41．“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为______．42．“y减去1不大于2”用不等式表示为：______．43．如图，在数轴上，点A，B分别表示数1，﹣2x+3．则x的取值范围是______．44．不等式3x﹣1＞﹣4的最小整数解是______．45．不等式组的解集是______．46．直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣3x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式﹣3x＞kx+b的解集为______．47．不等式＞4﹣x的解集为______．48．已知关于x的不等式x﹣a≥0只有3个负整数解，则a的取值范围是______．49．关于x的不等式组无解，则常数b的取值范围是______．50．根据数量关系列不等式：x的2倍与y的差大于3______．不等式基础训练参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，式子a+1＜b+1成立，故这个选项不符合题意；B、不等式两边同时乘以4，不等号方向不变，式子4a＜4b成立，故这个选项不符合题意；C、不等式两边同时乘以﹣，不等号方向改变，式子﹣a＞﹣b成立，故这个选项不符合题意；D、不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，式子＜不成立，故这个选项符合题意．故选：D．2．解：直线y＝kx+b中，当y＞0时，图象在x轴上方，则不等式kx+b＞0的解集为x＜2，故选：C．3．解：∵a＜b＜0，给a，b，c赋予特殊值，即a＝﹣2，b＝﹣1，∴A、a+b＝﹣3＜﹣1，故本选项错误，B、ab＝2＞1，故本选项错误，C、＝2＞1，故本选项错误，D、＝2＞1，故本选项正确．故选：D．4．解：解不等式1+x≥﹣1，得：x≥﹣2，解不等式2﹣x＞1，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0，故选：A．5．解：A、不等式的两边都乘以2，不等式的两边都加上3，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以5，不等号的方向不变，故B错误；C、不等式的两边都除以﹣2，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都减去2，不等号的方向不变，故D错误；故选：A．6．解：去括号，得：4x﹣8≥6x﹣10，移项，得：4x﹣6x≥﹣10+8，合并同类项，得：﹣2x≥﹣2，系数化为1，得：x≤1，则不等式的正整数解为1，故选：C．7．解：∵方程x+m﹣2＝0的解是负数，∴x＝2﹣m＜0，解得：m＞2，故选：A．8．解：由点P的坐标为（a﹣2，3a）在第二象限，得，解得0＜a＜2．故选：C．9．解：A、由a＞b，当c＜0时，得ac＜bc，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、由a＞b，得＞或＜，原变形错误，故这个选项不符合题意；D、由a＞b，得﹣1+a＞﹣1+b，原变形正确，故这个选项符合题意；故选：D．10．解：∵点P（a+1，﹣）关于原点的对称点坐标为：（﹣a﹣1，），该对称点在第四象限，∴，解得：a＜﹣1，则a的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．11．解：∵点A（m+1，﹣2m+3）关于x轴的对称点在第四象限，∴对称点坐标为：（m+1，2m﹣3），则m+1＞0，且2m﹣3＜0，解得：﹣1＜m＜．故选：B．12．解：由图象可得：当x≥5时，kx+b≥1，所以不等式kx+b≥1的解集为x≥5，故选：B．13．解：A、∵a＞b，∴3a＞3b，成立；B、∵a＞b，∴b+3＜a+3，成立；C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故本选项不成立；D、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，∴3﹣2a＜3﹣2b，故本选项成立；故选：C．14．解：∵P（x﹣2，x）在第三象限，∴解得0＜x＜2，故选：A．15．解：在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4的解集为：故选：A．16．解：A、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2∴选项A不符合题意；B、∵m＞n，∴﹣3m＜﹣3n，∴选项B不符合题意；C、∵m＞n，m是什么数不明确，∴m2＞mn不正确，∴选项C符合题意；D、∵m＞n，∴＞，∴选项D不符合题意．故选：C．17．解：解不等式3x﹣5＜3+x的解集为x＜4，所以其自然数解是0，1，2，3，共，4个．故选：D．18．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），∴不等式kx+b＞0的解集为x＜﹣2．故选：A．19．解：＞x，4﹣x＞3x，﹣x﹣3x＞﹣4，x＜1，∴不等式＞x的最大整数解是0．故选：B．20．解：设售价的折扣为x，成本为a元，根据题意可得出：a（1+25%）（1﹣x）≥a，解得：x≤20%，故选：A．21．解：由于x＞﹣2，所以表示﹣2的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．由于x≤1，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．所以数轴表示的解集为：故选：B．22．解：不等式移项合并得：﹣x＜﹣1，解得：x＞1，表示在数轴上，如图所示故选：A．23．解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱则＞，解之得，x＞y．所以赔钱的原因是x＞y．故选：B．24．解：不等式解得：x＞3，则3.5是不等式的解，故选：A．25．解：A．a＜b，不等式两边同时乘以得：，即A项不合题意，B．a＜b，不等式两边同时乘以得：，不等式两边同时减去3得：a﹣3﹣3，即B项符合题意，C．a＜b，不等式两边同时加上3得：a+3＜b+3，即C项不合题意，D．a＜b，不等式两边同时乘以﹣3得：﹣3a＞﹣3b，即D项不合题意，故选：B．26．解：，∵解不等式①得：x＞8，解不等式②得：x＜2﹣4a，∴不等式组的解集是8＜x＜2﹣4a，∵关于x的不等式组有四个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故选：B．27．解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．28．解：解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤，∴不等式组的解集为＜x≤，∵关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，∴6≤＜7，9≤＜10，解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，∴a＝15或16或17，b＝21或22或23，设整数a与整数b的和为M，则M的值有15+21＝36，15+22＝37，15+23＝38，16+21＝37，16+22＝38，16+23＝39，17+21＝38，17+22＝39，17+23＝40共5个，故选：D．29．解：，解①得：x＞﹣2，解②得：x≤2，则不等式组的解集是：﹣2＜x≤2．故选：D．30．解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≥0，所以关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤2，故选：D．二．填空题（共20小题）31．解：移项得：3x＞6，解得：x＞2，故答案为：x＞2．32．解：解不等式5﹣2x≥1，得：x≤2，解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故答案为：﹣2＜x≤2．33．解：不等式组整理得：，解得：1≤x＜2，则不等式组的整数解为1，故答案为：1．34．解：解不等式3x﹣5＞1，得：x＞2，解不等式5x﹣a≤12，得：x≤，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4≤＜5，解得：8≤a＜13，故答案为：8≤a＜13．35．解：一次函数y＝kx+b，当y≤0时，图象在x轴上以及x轴下方，∴函数图象与x轴交于（2，0）点，∴不等式kx+b≤0的解集为x≥2，故答案为：x≥2．36．解：解不等式2x﹣3＜7，得：x＜5，解不等式5﹣3x＜﹣4，得：x＞3，则不等式组的解集为3＜x＜5，故答案为：3＜x＜5．37．解：根据题意得：2x+1＞x，解得：x＞﹣1，则满足条件的x的最小整数是0，故答案为：038．解：由不等式得x＞a+2，x＜b，∵﹣1＜x＜1，∴a+2＝﹣1，b＝1∴a＝﹣3，b＝2，∴（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．故答案为1．39．解：2x﹣2m＝x+4，∴x＝4+2m，∵方程的解是正数，∴4+2m＞0，∴m＞﹣2．即m的取值范围是m＞﹣2．40．解：，由①得，x≥3；由②得，x＜5；则不等式组的解集为3≤x＜5．故答案为：3≤x＜5．41．解：由题意得：2x﹣3≥0．故答案为：2x﹣3≥0．42．解：由题意可得：y﹣1≤2．故答案为：y﹣1≤2．43．解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣2x+3＞1，解得x＜1；故答案为x＜1．44．解：3x﹣1＞﹣4，3x＞﹣3，x＞﹣1，所以不等式3x﹣1＞﹣3的最小整数解是0，故答案为：0．45．解：∵解不等式①得：x≥，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集是≤x＜3，故答案为：≤x＜3．46．解：由图形可知，当x＜﹣1时，﹣3x＞kx+b，所以，关于x的不等式﹣3x＞kx+b的解集是x＜﹣1．故答案为：x＜﹣147．解：去分母得：x﹣4＞8﹣2x，移项合并得：3x＞12，解得：x＞4，故答案为：x＞448．解：∵关于x的一元一次不等式x﹣a≥0只有3个负整数解，∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．49．解：∵解不等式①得：x≥2+2b，解不等式②得：x≤，又∵关于x的不等式组无解，∴2+2b＞，解得：b＞﹣3，故答案为：b＞﹣3．50．解：根据题意，得2x﹣y＞3．故答案是：2x﹣y＞3．。

基本(均值不等式)不等式知识点-基础练习1

2
3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的
最值
二方法技巧讲解
(1) 灵活运用基本不等式处理不等关系
问题 1. 已知正数 x、y 满足 x+2y=1，求 1 + 1 的最小值. xy
点拨：∵x、y 为正数，且 x+2y=1，
∴ 1 + 1 =（x+2y）（ 1 + 1 ）
x
部售完.
(1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
参考答案
例 1【解题思路】利用 2 8 1，构造均值不等式 xy
解析：∵ x y (x y) 1 (x y) ( 2 8 ) 2 8 2 y 8x , x 0, y 0 ,∴ 2 y 0, 8x 0
。
xy
点拨：
错解 1、因为对 a>0,恒有 a 1 2 ,从而 z= (x 1 )( y 1 ) 4,所以 z 的最小值是 4。
a
xy
错解 2、 z 2 x2 y2 2xy ( 2 xy) 2 2 2 xy 2 2( 2 1) ，所以 z 的最小值是
xy
xy
xy
2( 2 1) 。
则 ab=a+b+3≥2 ab +3，
即 ab 2 ab 3 ≥ 0 ( ab 3)( ab 1) ≥ 0 ab ≥3，
∴ ab≥9 ．
解法二 a、b 为正数，∴ ab=a+b+3≥ 33 3ab >0，
两边立方得 a3b3≥34ab a2b2≥34，∵ab>0，∴ab≥9 ．
xy
xy

基本不等式练习题及答案

基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。

因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。

2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。

3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。

因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。

房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。

求侧面的长度为多少时，总造价最低。

去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。

今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。

每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。

高一不等式专题训练

高一不等式专题训练一、不等式的基本性质1. 知识点回顾不等式的基本性质：对称性：a>bLeftrightarrow b < a。

传递性：a > b,b > cRightarrow a>c。

加法性质：a > bRightarrow a + c>b + c；a>b,c > dRightarrow a + c>b + d。

乘法性质：a>b,c>0Rightarrow ac > bc；a > b,c < 0Rightarrow ac < bc；a>b>0,c>d>0Rightarrow ac>bd。

乘方性质：a > b>0Rightarrow a^n>b^n(n∈N,n≥slant1)。

开方性质：a > b>0Rightarrowsqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

2. 例题例1：已知a < b < 0，比较下列各数大小：(1)/(a)与(1)/(b)。

解析：因为a 0），根据不等式的乘法性质，得到(a)/(ab)<(b)/(ab)，即(1)/(b)<(1)/(a)。

例2：已知a>b，c < d，求证：a c>b d。

解析：因为c < d，根据不等式的性质，c>-d。

又因为a>b，再根据不等式的加法性质，将两个不等式相加，得到a+( c)>b+( d)，即a c>b d。

二、一元二次不等式及其解法1. 知识点回顾对于一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a≠0)（或<0），先求出一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根（判别式Δ=b^2-4ac）。

基本不等式及其应用(分层练习)

基本不等式及其应用（分层练习）[基础训练]1．[2020晋冀鲁豫名校期末联考]已知函数f (x )＝x 2e x ，若a >0，b >0，p ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，r ＝f (ab )，则( ) A ．q ≤r ≤p B ．q ≤p ≤r C ．r ≤p ≤qD ．r ≤q ≤p答案：D 解析：因为a 2＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2a 2＋2b 24－a 2＋b 2＋2ab 4＝(a －b )24≥0，所以a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，又a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，易得函数f (x )＝x 2e x 在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22，即r ≤q ≤p . 2．[2020河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．8答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b 时等号成立，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.3．[2020广西玉林月考]若lg a ＋lg b ＝0，则2a ＋1b 的最小值为( ) A. 2 B ．3 C ．2 2 D.255答案：C 解析：∵lg a ＋lg b ＝lg ab ＝0，∴ab ＝1，且a >0，b >0.∴2a ＋1b ≥22ab ＝22，当且仅当⎩⎨⎧2a ＝1b，ab ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2，b ＝22时等号成立．∴2a ＋1b 的最小值为2 2.故选C.4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22 B ．2 2 C. 2 D ．2答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.5．用一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )A.L 28B.L 24C.L 22 D ．L 2答案：A 解析：设菜园平行于墙的一边长为x ，其邻边长为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，因为x ＋2y ≥22xy ，所以xy ≤(x ＋2y )28＝L 28，当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L 4时，S max ＝L 28，故选A.6．[2020安徽黄山第一次质量检测]已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1(x >0)，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D 解析：f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1＝(x ＋1)2＋x ＋1＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋1，因为x >0，所以x ＋1>0，则x ＋1＋4x ＋1＋1≥24＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立，故f (x )的最小值是5.故选D.7．[2020天津和平区期末]已知a >0，则(a －1)(4a －1)a 的最小值为________．答案：－1 解析：(a －1)(4a －1)a ＝4a 2－a －4a ＋1a ＝4a －5＋1a . ∵a >0，∴4a －5＋1a ≥24a ·1a －5＝－1，当且仅当4a ＝1a ，即a ＝12时等号成立， ∴(a －1)(4a －1)a的最小值为－1. 8．[2020江苏苏北四市联考]若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________．答案：8 解析：∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，∴x ＝3y ＋3∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，解得y >3，则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x ＝37时等号成立．9．[2020湖南永州模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝45°，c ＝3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC ＝60°，则△PBC 面积的最大值是________．答案：938 解析：∵A ＝30°，∠ACB ＝45°，c ＝3，∴由正弦定理a sin A ＝c sin ∠ACB ，可得a ＝c ·sin A sin ∠ACB ＝3×1222＝322.又∠BPC ＝60°，∴在△PBC 中，令PB ＝m ，PC ＝n ，由余弦定理可得cos ∠BPC ＝m 2＋n 2－922mn ＝12，∴m 2＋n 2－92＝mn ≥2mn －92，当且仅当m ＝n ＝322时等号成立， ∴mn ≤92，∴S △PBC ＝12mn sin ∠BPC ≤938. ∴△PBC 面积的最大值为938.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． (2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x >0，所以y >2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．[强化训练]1．[2020福建龙岩教学质量检查]已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案：C 解析：因为1x ＋1＋1y ＝12，所以2x ＋1＋2y ＝1，因为x >0，所以x ＋1>0，又因为y >0，所以x ＋y ＝[(x ＋1)＋y ]－1＝[(x ＋1)＋y ]×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＋2y －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ＋3≥22y x ＋1·2(x ＋1)y ＋3＝7，当且仅当⎩⎨⎧1x ＋1＋1y ＝12，2y x ＋1＝2(x ＋1)y即x ＝3，y ＝4时等号成立，所以x ＋y 的最小值为7，故选C.2．[2020广东江门第一次模拟]实数x ，y 满足|x ＋y |＋|x －y |＝2，若z ＝4ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a ＋1b 有( )A ．最大值9B ．最大值18C ．最小值9D ．最小值18答案：C 解析：根据|x ＋y |＋|x －y |＝2，可得点(x ，y )满足的图形是以A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，D (1，－1)为顶点的正方形，可知x ＝1，y ＝1时，z ＝4ax ＋by 取得最大值，故4a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝5＋4a b ＋ba ≥9，当且仅当a ＝16，b ＝13时取等号，所以1a ＋1b 有最小值9.故选C.3．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q答案：B 解析：因为b ＞a ＞0，故a ＋b2＞ab . 又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .4．[2020陕西西安模拟]设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案：D 解析：因为AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)， AC→＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab ＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．5．[2020黑龙江哈尔滨六中期末]若函数f (x )＝－1a e bx (a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( )A ．4 B. 2 C ．2 D ．22答案：B 解析：对f (x )求导得f ′(x )＝－b a e bx，则f (0)＝－1a ，f ′(0)＝－ba ，所以函数f (x )＝－1a e bx (a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线方程为y ＋1a ＝－ba x ，即bx ＋ay ＋1＝0，该直线与圆x 2＋y 2＝1相切，则有1b 2＋a2＝1，化简得a 2＋b 2＝1. 由基本不等式可得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ＋b 的最大值为 2.故选B.6．[2020湖北荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟期末]在平面直角坐标系中，A (－4,0)，B (－1,0)，点P (a ，b )(ab ≠0)满足|AP |＝2|BP |，则4a 2＋1b 2的最小值为( )A ．4B ．3 C.32 D.94答案：D 解析：∵点P (a ，b )(ab ≠0)满足|AP |＝2|BP |，∴|AP |2＝4|BP |2，即(a ＋4)2＋b 2＝4[(a ＋1)2＋b 2]，化简得a 2＋b 2＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋1b 2(a 2＋b 2)＝4＋1＋4b 2a 2＋a 2b 2≥5＋24b 2a 2·a 2b 2＝5＋4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a 2＝2b 2＝83时等号成立，∴4a 2＋1b 2的最小值为94，故选D.7．[2020广东揭阳期末]当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x sin 2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．43答案：C 解析：∵0<x <π2，∴tan x >0， ∴f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x sin 2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x2sin x cos x ＝1＋4tan 2x tan x ＝1tan x ＋4tan x ≥21tan x ·4tan x ＝4，当且仅当tan x ＝12时等号成立，∴函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2xsin 2x 的最小值为4，故选C.8．[2020四川成都月考]实数x ，y 满足2cos 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1，则xy 的最小值为( )A ．2B ．1 C.12D.14答案：D 解析：因为2cos 2(x ＋y －1)∈[0,2]， (x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋y 2＋1－2xy ＋2x －2y ＋1x －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，又2cos 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1，所以2cos 2(x ＋y －1)＝2，所以x －y ＋1＝1，x ＋y －1＝k π(k ∈Z )，所以x ＝y ＝k π＋12(k ∈Z )，所以xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫k π＋122≥14，当且仅当k ＝0时等号成立，故选D.9．[2020江苏如皋质量调研]已知x ，y ，z 均为正数，2x ＋1y ＝2，x ＋2y ＋2z＝xyz ，则xyz 的最小值为________．答案：16 解析：∵2x ＋1y ＝2y ＋xxy ＝2， ∴2y ＋x ＝2xy ，∴x ＋2y ＋2z ＝2xy ＋2z ＝xyz .∵x ，y ，z 均为正数，z ＝2xyxy －2>0，xy －2>0，∴xyz ＝2(xy )2xy －2＝2(xy －2)＋8xy －2＋8≥22(xy －2)×8xy －2＋8＝16，当且仅当2(xy －2)＝8xy －2，即xy ＝4时等号成立，∴xyz 的最小值为16.10．[2019江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案：4 解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0，x 0>0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0≥4，当且仅当x 0＝2x 0，即x 0＝2时等号成立．故点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.11．[2019江西南昌模拟]网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案：37.5 解析：由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y万元，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时等号成立，即最大月利润为37.5万元．。

不等式基本训练

不等式基本训练（1）班级姓名得分一．选择题1．若 a B 、ab a 11>- C 、| a | > | b | D 、a 2 > b 2 2．以下四个命题中，为假命题的是（）（A ）a >b ,c <d ⇒a －c >b －d （B ）a >b >0,c <d <0⇒ac <bd （C ）a >b , ab >0⇒b a 11< （D ）a >b ,c <d , c ≠0, d ≠0⇒d b c a >3．a 、b 、c 、d 四个数满足条件：（1）d > c ，（2）a + b = c + d ，（3）a + d b > a > cB 、b > c > d > aC 、b > d > c > aD 、b > d > a > c4. 已知011<<ba ，则恒成立的不等式为（） ①22b a < ②ab b a 2<+ ③2b ab < ④b a b a +>+225. 下列函数中, y 的最小值为4的是（） (A)x x y 1+= (B)4)5(222++=x x y (C)x x e e y -+=4 (D) )0(sin 4sin π<<+=x x x y 6．已知12=+y x ，则y x 24+的最小值是（） (A) 8 (B) 6 (C) 22 (D) 237、若a 、b ∈R 且a ≠b ，在①a 2＋ab ＞2b 2；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3； ③a 2＋b 2≥2(a －b －1) ④ 2>+ab b a 这四个式子中，恒成立的有（）（A ）4个（B ） 3个（C ）2个（D ）1个8、下列不等式的证明过程正确的是：（）(A)若a 、b ∈R ，则ba ab b a a b ⋅≥+2= 2； (B)若正数 x 、y ，则lgx+lgy ≥2y x lg lg ； (C)若x ∈R ，则x +4424=⋅≥x x x ； (D) 若ab <0，则22-=-⋅--≤+a b b a b a a b 9、x 、y ∈R ，且x 2＋y 2＝1，则（1－xy ）(1＋xy)有（）（A ）最小值43，而无最大值（B ）最大值1，而无最小值（C ）最小值21和最大值1 （D ）最大值1和最小值43 10、a 、b 、c 为各不相等的正数且a+b+c=1，则cb a 111++的取值范围是（）（A ）[)+∞,3 （B ）（3，+∞）（C ）[)+∞,9 （D ）（9，+∞）二．填空题（4×4/=16/）11．已知12 < a < 60，15 b > c ，则ab 、bc 、ac 、c 四数从小到大的排列顺序是_______________________.13．已知,1lg lg =+y x 则yx 52+的最小值为。

高考数学复习：基本不等式训练题-最新教育文档

高考数学复习：基本不等式训练题1.若xy>0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x≥2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：244.已知f(x)=12x+4x.(1)当x>0时，求f(x)的最小值;(2)当x0，∴12x，4x>0.∴12x+4x≥212x?4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，∴当x>0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0.则-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x??-4x?=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.∴当x0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.∴xy≥64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.答案：18.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.答案：大1169.(2019年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值; (2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5≥2?x+1??4x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.∴x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，∴y有最小值8.11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200=800×(x+225x)+12019≥1600x?225x+12019=36000(元)当且仅当x=225x(x>0)，即x=15时等号成立.。

不等式训练-解析版

21．已知命题 p ：x R ，都有 x2 ax a 0 是真命题，则实数 a 的取值范围是______．
22．已知 a [1，2] ，不等式 x2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，则 x 的取值范围为
_________．
23．不等式 kx2 x 1 0 对任意的实数 x 恒成立的充要条件是 k ______.
c
的两个极值分别为
f
x1 和
f
x2 ，若
x1 和
x2
分别在区间
2,
0
与
0,
2
内，则
b a
1 1
的取值范围为（
）
A．
,
1
1 3
,
B．
(,
2)
2 3
,
C．
2,
2 3
D．
2,
2 3
14．若圆 M : x2 y2 ax by ab 6 0, (a 0,b 0) 平分圆
不等式可判断 C 选项的正误；将代数式 a b 与 1 4 ，展开后利用基本不等式可判断 D 选
ab
项的正误.
【详解】
a 对于 A 选项，若 c2
b c2
，则 c
0 ，c2
0 ，所以 a b ，由不等式的基本性质可得 ac2
bc2 ，
A 选项正确；
对于
B
选项，由于 a
、b
、m
均为正实数，则
3．CD
【分析】
根据
xபைடு நூலகம்
R
，不等式
(m2
4) x 2
(m
2) x
1 m
2
0
恒成立，分
m2
4