《3.2.1 几类不同增长的函数模型》测试题

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人教A版数学必修一3.2.1《几类不同增长的函数模型》配套试题

§3.2 函数模型及其应用 3．2.1 几类不同增长的函数模型一、基础过关1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数2．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200双B ．400双C ．600双D ．800双3．下列函数中，随着x 的增长，增长速度最快的是 ( )A ．y ＝50B ．y ＝1 000xC ．y ＝0.4·2x －1D ．y ＝11 000e x4．今有一组数据如下：现准备了近这组数据 ( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －25．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2 (x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是______．6．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．7．用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型． (1)当b ＝23时，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值． 8．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f (t )与时间t 满足关系f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ＋11，0≤t ＜20，－t ＋41，20≤t ≤40(t ∈N )，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝13t ＋433(0≤t ≤40，t ∈N )．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．二、能力提升9．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如右图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是 ( )10．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．11．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润y n(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．三、探究与拓展13．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据 1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)答案1．D 2．D 3．D 4．C 5．4 6．457．解 (1)b ＝23时，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14(a －12)2＋16，∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.8．解据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间0≤t ＜20与20≤t ≤40上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F (t )． ①当0≤t ＜20，t ∈N 时，F (t )＝(12t ＋11)(－13t ＋433)＝－16(t －212)2＋16(4414＋946)，故当t ＝10或11时，F (t )max ＝176.②当20≤t ≤40，t ∈N 时，F (t )＝(－t ＋41)(－13t ＋433)＝13(t －42)2－13，故当t ＝20时，F (t )max ＝161.综合①、②知当t ＝10或11时，日销售额最大，最大值为176. 9．B 10．甲11．80(1＋x )1012．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m ，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10%)n.利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n＝(20－n )m ×1.1n(0＜n ＜20，n ∈N *)．(2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(20－n )m ×1.1n≥0.解得n ≤9.所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9＝y 10，令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(18－n )m ×1.1n ＋2≥0，解得n ≥8.所以y 9＝y 10＞y 11＞…＞y 19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．13．解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.20≈16(年)．(4)由100×(1＋x %)20≤120，得(1＋x %)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x %)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x %)≤0.07920＝0.003 95，所以1＋x %≤1.009，得x ≤0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%.。

必修1 新课标数学《3.2.1 几类不同增长的函数模型》测试题

已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候，小白鼠将会死亡.如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
⑴为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？
⑵第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(答案精确到天，已知：lg2=0.3010)
考查目的：考查函数建模及运用指数函数、对数函数解决实际问题的能力.
答案：⑴27；⑵33.
解析：⑴由题意知，病毒细胞个数关于天数的函数关系式为，则，两边取常用对数得，得，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
⑵由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为，再经过天后小白鼠体内病毒细胞个数为.由题意得，，两边取常用对数得，
，解得，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物.
8.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度(km/h)与时间(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(，0)作横轴的垂线，梯形OABC在直线左侧部分的面积即为(h)内沙尘暴所经过的路程(km).
⑴当时，求的值；
⑵将随变化的规律用数学关系式表示出来；
⑶若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
考查目的：考查分段函数和一次函数、二次函数的应用，以及函数建模能力和运算能力等.
答案：⑴24；⑵；⑶沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.
解析：⑴由图象可知：当时，，∴.
⑵当时，；
当时，；
当时，.
综上可知，.
⑶∵当时，；当时，
，∴当时，令，解得，
.∵，∴，即沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.。

3.2.1几类不同增长的函数模型测评练习

测评练习
1.当x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( ).
100
100.100.log ..100x
A y x
B y x
C y x
D y ====
答案:D
2.以下是三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 变化的函数值表：
其中关于x 呈指数函数变化的函数是________.
解析：从题表格可以看出,三个变量y 1、y 2、y 3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y 1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y 1呈指数函数变化,故填y 1. 答案：y 1
3.观察下表，某人的身高用一次函数、指数型函数、对数型函数哪个刻画比较好？
解析：从题表格可以看出,身高随年龄的增大，变化越来越慢；所以应当是对数型函数.。

高中数学：3.2.1《几类不同增长的函数模型》测试（新人教A版必修1）河北地区专用

3.2.1几类不同增长的函数模型一、选择题1．某工厂10年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④2．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线与AB 相交且⊥AB ，直线截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为，点A 到直线的距离为，则=f （）的图象大致为3．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A ．3B ．4C ．6D ．124．已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过年的剩留量为，则与的函数关系是A ．={0．9576}B ．={0．9576}100C ．=（1009576.0） D ．=1－（0．0424） 5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（b <a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离与时间t 的关系示意图是二、填空题6．某工厂1992年底某种产品年产量为a ，若该产品的年平均增长率为，2000年底该厂这种产品的年产量为，那么与的函数关系式是______________________________．7．周长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为r ），若矩形底边长为2，此框架围成的面积为，则与的函数解析式是_________________________________．8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a ，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b 元，若该船以速度v 千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为（元），则与v 的函数解析式为________．9．已知某工厂生产某种产品的月产量与月份满足关系=a ·（0．5）b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为____________________．10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，这个人的稿费为__________元．三、解答题11一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好元，每月卖出n 件，因而现在每月售货总金额n32203P 14m126m 21m1m 4a 1m1m 2a （0＜＜14）为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面边长≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省试比较①②两种方案哪个更好。

高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型试题新人教A版必修1

3.2.1几类不同增长的函数模型一、选择题（本题共8个小题）1.【题文】设()()()22,2,log x f x x g x h x x ===，当()4,x ∈+∞时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是（） A ．()f x 增长速度最快，()h x 增长速度最慢 B ．()g x 增长速度最快，()h x 增长速度最慢 C ．()g x 增长速度最快，()f x 增长速度最慢 D ．()f x 增长速度最快，()g x 增长速度最慢2．【题文】某种动物数量y (只)与时间x (年)的关系为()2log 1y a x =+，设这种动物第年有100只，到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只3．【题文】下列函数关系中，可以看作是指数型函数xy ka =（k ∈R ，0a >且1a ≠）模型的是（）A ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．如果某人s t 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系D ．信件的邮资与其重量间的函数关系4．【题文】某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2 万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为接近的是( ) A ．0.2y x =B ．()21210y x x =+ C ．210xy =D ．160.2log y x =+5．【题文】甲、乙两人沿着同一方向去B 地，途中两人的速度都是1v 或2v (12v v <)．甲一半的路程使用速度1v ，另一半的路程使用速度2v ；乙一半的时间使用速度1v ，另一半的时间使用速度2v .关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面4个不同的图示分析(其中横轴表示时间，纵轴表示路程)，则其中可能正确的图示分析为( )A ．①B ．③C ．①或④D ．①或②6．【题文】已知函数12x y =，22y x =，32log y x =，则当24x <<时，有( )A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．231y y y >>7．【题文】今有一组实验数据如下表所示：1.99 3.0 4.0 5.1 6.121.54.047.51632.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是（） A ．2log u t = B ．1122t u -=- C ．212t u -= D ．22u t =-8．【题文】在区间()3,+∞上，随着x 的增大，下列四个函数中，增长速度最快的是（）A ．2y x =B ．2xy = C ．2y x = D ．2log y x =二、填空题（本题共3个小题）9.【题文】某林场今年造林8 000亩，计划以后每一年比前一年多造林5%，那么从明年算起第年将造林________亩.10.【题文】近几年由于深圳房价的暴涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2016年以200万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2026年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．11.【题文】某化工厂生产的一种溶液，其杂质含量y 与过滤次数的函数关系式为()22%3xy x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ．按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．要使产品达到市场要求至少应过滤_____次.（已知：lg 20.3010=，lg30.4771=）三、解答题（本题共3个小题）12．【题文】用模型()f x ax b =+来描述某企业每季度的利润()f x (亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入 (亿元)时利润11y =(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润22y =(亿元)，当每季度投入 (亿元)时利润32y =(亿元)．又定义：当()f x 使()()()222123123f y f y f y -+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦的数值最小时为最佳模型．(1)当23b =时，求相应的a 使()f x ax b =+成为最佳模型； (2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润4y (亿元)的值．13．【题文】某地区今年月，2月，月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c +=+，乙选择了模型·x y p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，,,,,,a b c p q r 都是常数．结果4月，月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？14．【题文】某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间（天）组成有序数对(),t P ，点(),t P 落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间（天）的部分数据如下表所示：第天4 10 16 22Q （万股） 36 30 24 18（1）根据提供的图象，求出该种股票每股交易价格P （元）与时间（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据，写出日交易量Q （万股）与时间（天）的一次函数关系式；（3）用（万元）表示该股票日交易额，写出关于的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？3.2.1几类不同增长的函数模型参考答案及解析1. 【答案】B【解析】由三种函数性质可知，()g x 增长速度最快，()h x 增长速度最慢. 考点：指对幂函数模型增长的比较. 【题型】选择题【难度】较易 2. 【答案】A【解析】由题设知2100log 2a a ==，所以7x =时，2100log 8300y ==. 考点：指对幂增长差异的实际应用. 【题型】选择题【难度】较易 3. 【答案】B【解析】A ：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系；B ：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系；C ：如果某人s t 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系是反比例函数关系；D ：信件的邮资与其重量间的函数关系，是一次函数关系．考点：指对幂增长差异的实际应用. 【题型】选择题【难度】较易 4. 【答案】C【解析】将1,2,3x =代入每个式子，得到的结果与0.2,0.4,0.76比较，只有函数210xy =较为接近.考点:指对幂增长差异的实际应用. 【题型】选择题【难度】一般 5. 【答案】D【解析】甲用的时间()121212=222s v v s s t v v v v ++=甲，甲用的时间122=st v v +乙，()()()21212121212122=022s v v s v v st t v v v v v v v v +---=>++甲乙，则甲到B 地所用时间长一些，因此图①、图②可能正确．考点：函数图象判断. 【题型】选择题【难度】一般 6. 【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间()2,4内，从上到下图象依次对应的函数为22y x =，1y =2x，32log y x =，故213y y y >>.考点：比较大小. 【题型】选择题【难度】一般 7. 【答案】B【解析】把(),t u 的值分别代入A ，B ，C ，D 选项中的四个函数模型中，只有B 选项中的函数模型基本符合，故B 能最佳体现这些数据关系. 考点：函数模型的选择. 【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】B【解答】在区间()3,+∞上，①2y x =，②2xy =，③2y x =，④2log y x =的图象如图所示，由图可知2xy =的函数值随着x 的增大增长速度最快. 考点：指对幂增长差异的实际应用. 【题型】选择题【难度】一般 9. 【答案】9261【解析】依题意得，从明年算起第年将造林()3321800015%8000926120⎛⎫⨯+=⨯= ⎪⎝⎭亩.考点：函数模型的选择. 【题型】填空题【难度】一般10. 【答案】()102001y x =+【解析】一年后的价格为()2002002001x x +⋅=+万元．两年后的价格为()()20012001x x x +++⋅()()()2200112001x x x =++=+万元，由此可推得10年后的价格为()102001x +万元. 故()102001y x =+．考点：函数模型的选择. 【题型】填空题【难度】一般 11. 【答案】【解析】依题意令212%31000x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即21320x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴1lg1lg 220=7.42lg3lg 2lg 3x +≥≈-．又∵x ∈N ，∴8x ≥，即至少要过滤次才能达到市场要求．考点：指数函数模型. 【题型】填空题【难度】较难12. 【答案】(1)12 (2)83【解析】(1)23b =时，()()()222123123f y f y f y -+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2614112a ⎛⎫=- ⎪⎝+⎭，∴12a =时，()1223f x x =+为最佳模型．(2)由(1)知()223f x x =+，当4x =时，则()4483y f ==. 考点：最优函数模型的选择. 【题型】解答题【难度】较易 13. 【答案】乙【解析】依题意，得2221152,2254,3358,a b c a b c a b c ⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+=⎨⎪⋅+⋅+=⎩即52,4254,9358,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1,1,52.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴甲：2152y x x =-+.又12352,54,58,p q r p q r p q r ⎧⋅+=⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩①②③ ②-①，得21··2p q p q -=， ④ ③-②，得32··4p q p q -=， ⑤ ÷⑤④，得2q =，将2q =代入④，得1p =，将2q =，1p =代入①，得50r =，∴乙：2250xy =+.当4x =时，164y =，266y =；当5x =时，172y =，282y =；当6x =时，182y =，2114y =. 可见，乙选择的模型较好．考点：最优函数模型的选择.【题型】解答题【难度】一般 14. 【答案】（1）12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N （2）40,030,Q t t t =-+<≤∈N （3）在30天中的第15天，日交易额最大，为125万元【解析】（1）当020t ≤≤时，设P at b =+，由题图可知此时图象过点()0,2和(20,6)，故2620b a b =⎧⎨=+⎩，，215b a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，.同理，当2030t <≤时，1810P t =-+.12,020,518,2030,.10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，（2）设Q ct d =+，把所给表中任意两组数据代入可求得1,40c d =-=，40,030,Q t t t =-+≤≤∈N .（3）日交易额（万元）=日交易量Q （万股）每股交易价格P （元），()()22115125,020,516040,2030,10,,t t t y t t t ⎧--+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪--<≤∈⎪⎩N N当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元，当2030t <≤时，随的增大而减小，故在30天中的第15天，日交易额最大，为125万元．考点：函数模型的选择.【题型】解答题【难度】较难。

高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型习题新人教A版必修1 (2)

6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
答案
【基础过关】
1．D
【解析】由已知可推断函数模型为指数函数.
2．D
【解析】由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.
3．B
【解析】设该商品原价为a,则四年后的价格为a(1+20%)2(1-20%)2=0.921 6a,所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即四年后的价格比原来的价格减少了7.84%.

高中数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型习题

《几类不同增长的函数模型》习题1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为() A．45元B．55元C．65元D．70元2．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为() A．B，A，C B．A，C，BC．A，B，C D．C，A，B3．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则()A．a＝b B．a>bC．a<b D．a、b的大小无法确定4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是()A．3.5m B．3mC．2.5m D．2m6．某市原来民用电价为0.52元/kw·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h 的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量( )A ．至少为82kw·hB ．至少为118kw·hC ．至多为198kw·hD ．至多为118kw·h7．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T 是时间t 的函数：T(t)＝at 2＋bt ＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C ，时间的单位是小时，t ＝0表示12∶00，t 取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C ，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C ，则T(t)＝________.9．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a 升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y ＝ae－nt ，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有a 8. 11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x<20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？*13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n 是羊毛衫标价x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？1.[答案] D[解析] 设每件商品定价为x 元，则一个月的销量为500－(x －50)×10＝1000－10x 件，故月利润为y ＝(x －40)·(1000－10x)＝－10(x －40)(x －100)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x>401000－10x>0，∴40<x<100， ∴当x ＝70时，y 取最大值，故选D.2.[答案] B[解析] A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100(1＋51.4－5050)≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－97100，100元一年到期的本息和为100(1＋100－9797)≈103.09(元)，收益为3.09元． 3.[答案] B[解析] 一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b ＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)， ∴b<a ，故选B.4.[答案] D[解析] 从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t ＝0)，跑相同多的路程(S 0)，甲用时(t 1)比乙用时(t 2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．5.[答案] C[解析] 建立如图坐标系，据题设y 轴右侧的抛物线方程为y ＝a(x －1)2＋2.∵抛物线过点A(0,1)∴将(0,1)点代入方程得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋2.令y ＝0，得x ＝1＋2，x ＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B 到O 点距离为(1＋2)m ，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.6.[答案] D[解析] ①原来电费y 1＝0.52×200＝104(元)．②设峰时段用电为xkw·h ，电费为y ，则y ＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x ＋70，由题意知0.2x ＋70≤(1－10%)y 1，∴x≤118.答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.7.[答案] 5514.99[解析] 根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．8.[答案] －3t 2＋t ＋60[解析] 将t ＝－4，T ＝8；t ＝0，T ＝60；t ＝1，T ＝58分别代入函数表达式中即可解出a ＝－3，b ＝1，c ＝60.9. [解析] 从1964年开始，设经过x 年后物价为y ，物价增长率为a%，则y ＝100(1＋a%)x ，将x ＝40，y ＝500代入得500＝100(1＋a%)40，解得a ＝4.1，故物价增长模型为y ＝100(1＋4.1%)x .到2010年，x ＝46，代入上式得y ＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．10.[解析] 由题意得ae－5n ＝a －ae －5n ，即e －5n ＝12，设再过t 分钟桶甲中的水只有a 8，得ae －n(t ＋5)＝a 8，所以(12)t ＋55＝(e －5n )t ＋55＝e －n(t ＋5)＝18＝(12)3，∴t ＋55＝3，∴t ＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有a 8. 11. [解析] 在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：(1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．(2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.所以由此可得：(1)当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．(2)当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于1 4000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是1 4000元，优惠较大．(3)当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．12. [解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q ，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1＋20%)5，画出函数y ＝(1＋x%)5与y ＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x ＝14.87，故当x<14.87%时就考虑重栽，否则让它继续生长．13. [解析] (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b(k<0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝300， ∴n ＝－x ＋300.y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300]∴x ＝200时，y max ＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%∴x 2－400x ＋30000＝－7500，∴x 2－400x ＋37500＝0，∴(x －250)(x －150)＝0∴x 1＝250，x 2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.14. [分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)＝1007x ，制作200把椅子所需时间为函数Q(x)＝20010(30－x)，完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值．欲使完成任务最快，须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等)．令P(x)＝Q(x)，即1007x ＝20010(30－x)，解得x ＝12.5，∵人数x ∈N ，考察x ＝12和13的情形有P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，∵f(12)>f(13)，∴x ＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．[点评] 本题有几点需特别注意，人数x 必须是自然数，故P(x)与Q(x)不相等，f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是f(x)的最小值．。

人教新课标版数学高一-人教A必修一习题 3.2.1几类不同增长的函数模型

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面对函数f (x )＝log 12x 、g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )A ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快解析：观察函数f (x )＝log 12x 、g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的图象如图可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．故选C.答案： C2．有一组实验数据如下表所示：t 1 2 3 4 5 s1.55.913.424.137A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0)D ．y ＝log a x ＋b (a >1)解析：通过所给数据可知s 随t 增大，其增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，而B 中的函数增长速度保持不变，故选C.答案： C3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x解析：结合y ＝2x ，y ＝x 12及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈(0,1)时，2x >x 12>lg x .答案： A4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，函数为对数函数，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ·0.51＋b ，1.5＝a ·0.52＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2，故3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．答案： 1.75万件6．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案： ②③7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．解析：设过n 个3分钟后，该病毒占据64MB 内存，则2×2n ＝64×210＝216⇒n ＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．答案： 45三、解答题(每小题10分，共20分)8．函数f (x )＝1.1x ，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．解析：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1.由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．9．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．解析：设两个函数： y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)， y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c . 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝1.3(万件)．依题意，⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.∴y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4.∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g (4)＝1.35万件比f (4)＝1.3万件更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好.。

人教版A版高中数学必修一_第3章_321几类不同增长的函数模型(有答案)

人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型3一、单选题1. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.乙比甲跑的路程多B.甲比乙先出发C.甲比乙先到达终点D.甲、乙两人的速度相同2. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有（）A.y2>y1>y3B.y1>y2>y3C.y2>y3>y1D.y1>y3>y23. 有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是()A. B.C. D.4. 若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5. 如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过年可增长到原来的倍，则函数的图象大致为() A. B. C. D.参考答案与试题解析人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型3一、单选题1.【答案】此题暂无答案【考点】在实三问葡中建湖三量函数模型函数根气居调与导数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函表的透象对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理相验周数极差、使差与标香差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象指数表数层图象对数函数表础象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

3.2.1 几类不同增长的函数模型 (教师版)

3。

2.1几类不同增长的函数模型（检测教师版）时间：50分钟总分：80分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分)1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图,则t＝2时，汽车已行驶的路程为（）A．100 km B．125 km C．150 km D．225 km［答案］C［解析］t＝2时,汽车行驶的路程为:s＝50×0。

5＋75×1＋100×0。

5＝25＋75＋50＝150 km，故选C。

2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林（）A．14400亩B．172800亩C．20736亩D．17280亩［答案］D［解析] 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×（1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280,故选D。

3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据:则x（其中a，b为待定系数)( ）A．y＝a＋bx B．y＝b x C．y ＝ax2＋b D．y＝错误![答案］B［解析］画出散点图如图所示．由散点图可知选项B正确．4．根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟)为f(x）＝错误!(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是（）A．75,25 B．75，16 C．60,25D．60,16［答案］D［解析］由题意知，组装第A件产品所需时间为错误!＝15,故组装第4件产品所需时间为错误!＝30，解得c＝60。

将c＝60代入错误!＝15，得A＝16。

5．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m）＝1。

06×(0。

50×[m］＋1）,其中m>0，［m］是大于或等于m的最小整数（如［3]＝3，[3。

7]＝4，[5.1］＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（)A．3.71元B．3。

高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型训练(教师版) 新人教A版必修1

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x 解析：当0<x <1时，2x >1,0<x 12<1， lg x <0，∴2x >x 12>lg x ．故选A. 答案： A 2．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A 产品连续两次提价20%，B 产品连续两次降低20%，结果都以23.04元666出售，此时厂家同时出售A 、B 产品各一件，盈亏情况为( )A ．不亏不赚B ．亏5.92元C ．赚5.92元D ．赚28.96元解析：由题意得，A 产品原价为16元，B 产品原价为36元，若厂家同时出售A 、B 两种产品，亏5.92元，故选B.答案： B3．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，若原来绿色植被的面积为1，那么，经过x 年，绿色植被面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )解析： y ＝1.104x ，指数增长．答案： D4．△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB, 直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为下图中的( )解析：设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln2＝210＝1 024.答案： 2ln 2 1 0246．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问如果喝了少量酒的驾驶员，至少过______小时才能驾驶(精确到1小时)．解析： 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.由题意知：0.3(1－50%)x ≤0.08， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤415. 采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12>415； x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416<415，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少过2小时驾驶员才能驾驶．答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.477 1) 解析： (1)y ＝a (1－10%)x (x ∈N *)(2)由题意得a (1－10%)x ≤13a 两边取对数得x lg 0.9≤lg 13x ≥－lg 3lg 0.9≈－0.477 12×0.477 1－1≈11. ∴通过11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．8．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f (8)，g (8)，f (2 010)，g (2 010)的大小．解析： (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)∵g (1)＝1，f (1)＝2，g (2)＝8，f (2)＝4，g (9)＝729，f (9)＝512，g (10)＝1 000，f (10)＝1 024，∴f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)．∴1<x 1<2,9<x 2<10.∴x 1<8<x 2<2 010.从图象上知，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )；当x >x 2时，f (x )>g (x )，且g (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2 010)>g (2 010)>g (8)>f (8)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解析： (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，即f (x )＝18x (x ≥0)， g (x )＝12x (x ≥0) (2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元．依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20) 令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，最大收益是3万元．因此，当投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时，收益最大，最大收益是3万元．。

3.2.1几类不同增长的函数模型

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是() A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x答案 D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是() A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案 B解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只答案 A解析由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300. 5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．解析设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧30＝k ×80＋b 20＝k ×120＋b，解得k ＝－14，b ＝50， ∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快．。

【创新设计】高中数学浙江专用人教版必修一练习：3.2.1几类不同增长的函数模型(含答案解析)

基础过关1.以下函数中，增添速度最慢的是()A.y ＝ 6xB.y ＝ log 6xC.y＝ x6D.y＝ 6x分析对数函数增添的愈来愈慢 .答案B2.当 2＜ x＜4 时，x2，log 2x 的大小关系是 () 2，xA.2 x＞x2＞log 2xB.x 2＞ 2x＞ log 2xC.2 x＞ log2x＞ x2D.x 2＞ log 2x＞ 2x分析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ log2 x，y＝x2，y＝2x，在区间 (2，4)上从上往下挨次是 y＝ x2， y＝ 2x， y＝ log 2x 的图象，所以x2＞ 2x＞ log 2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，能够采纳特别值代入法.可取 x＝ 3，经查验易知选 B.答案B3.据报导，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10% ，若按此规律，设 2016 年的湖水量为m，从 2016年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为 ()x x A.y ＝ 0.950)B.y ＝ (1－0.150 mxD.y ＝(1 －0.150x)mC.y＝ 0.950m分析设每年湖水量为上一年的q%，则 (q%) 50＝ 0.9，1x∴q%＝ 0.950.∴ x 年后的湖水量为 y＝ 0.950m.答案C4.某种产品每件80 元，每日可售出30 件，假如每件订价 120 元，则每日可售出20 件，如果售出件数是订价的一次函数，则这个函数分析式为________.分析设分析式为 y＝ kx ＋ b，由30＝ k×80＋ b，解得 k＝－1， b＝ 50，20＝ k×120＋ b，4∴ y＝－1x＋ 50(0＜x＜ 200). 4答案y＝－1x＋ 50(0＜ x＜200) 45.在某种金属资料的耐高温实验中，温度跟着时间变化的状况由电脑记录后显示的图象如下图.现给出以下说法：①前 5 min 温度增添的速度愈来愈快；②前5min 温度增添的速度愈来愈慢；③ 5 min 以后温度保持匀速增添；④ 5 min 此后温度保持不变.此中正确的说法是________.分析因为温度 y 对于时间 t 的图象是先凸后平，即前 5 min 每当 t 增添一个单位增量Δt 时， y 相应的增量Δy愈来愈小，而 5 min 后 y 对于 t 的增量保持为0，故②④正确 .答案②④6.有一种树木栽种五年后可成材，在栽种后五年内，年增添20%，假如不砍伐，从第六年到第十年，年增添10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽种五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽种五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请计算后回答：十年后哪一个方案能够获得许多的木材？(不考虑最先的树苗成本，只按成材的树木计算 )解设最先栽种量为a，甲方案在10 年后木材量为y1＝ a(1＋ 20%)5(1＋ 10%)5＝ a(1.1 ×1.2)5乙方案在10 年后木材量为y2＝ 2a(1＋ 20%)5＝ 2a×1.25∵y1－ y2＝ a(1.1 ×1.2)5－2a×1.25<0.∴ y1<y2，所以，十年后乙方案能够获得许多的木材.7.某种商品的进价为每个80 元，零售价为每个100 元 .为了促销，现制定买一个这类商品赠予一个小礼物的方案.实践表示：礼物的价值为 1 元时，销售量增添10%，且在必定范围内，礼物的价值为 (n＋ 1)元时的销售量比礼物的价值为n 元 (n∈ N* )时的销售量增添10%.请确立礼物的价值，使商铺收益最大.解设未赠礼物时销售量为m 件，礼物价值为n 元 (且 n 小于 20，因为若 n 大于或等于20，那么该商品就不会赚钱 )时收益为 y n元，则当礼物价值为 n 元时，销售量为 m(1 ＋10%) n，故收益y n＝ (100－ 80－n) ·m(1＋ 10%) n＝ m(20 － n) ·1.1n(0＜ n＜ 20，n∈ N *). 设当礼物价值为(n＋ 1)元时商铺收益最大，则必有y n＋1≥y n，y n＋1≥y n＋2，m（19－ n）·1.1n＋1≥m（ 20－ n）·1.1n，即m（19－n）·1.1n＋ 1≥m（18－n）·1.1n＋ 2，且0＜n＜20，n∈N*，解得 8≤n≤9，即 n＝8 或 9.故当礼物价值为9 元或 10 元时，赢利最大.8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，记鲑鱼的游速为V(m/s) ，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q ，研究中发现V 与 log 3100Q成正比，且当Q ＝ 900 时， V ＝ 1.(1) 求出 V 对于 Q 的函数分析式；(2) 计算一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数 .Q解(1)设V ＝k ·log3100，900∵当 Q ＝ 900 时， V ＝ 1，∴ 1＝ k ·log 3，∴ k ＝ 1，∴ V 对于 Q 的函数分析式为 V ＝1log 3 Q .2 2 100 1 Q(2) 令 V ＝ 1.5，则 1.5＝ 2log 3100，∴ Q ＝2 700，所以，一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量为 2 700 个单位 .能力提高9.某地域植被被损坏，土地沙化愈来愈严重，近来三年测得荒漠增添值分别为 0.2 万顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，则荒漠增添数 y 万公顷对于年数 x 的函数关系较为近似的是()A.y ＝ 0.2xB.y ＝ 1(x 2＋ 2x)102xC.y ＝ 10D.y ＝0.2＋ log 16x分析将题中所给三个数据代入分析式知，函数y ＝2x较为靠近 .10答案 C10.如图， △ ABC 为等腰直角三角形，直线 l 与 AB 订交且 l ⊥ AB ，直线 l截这个三角形所得的位于直线在右方的图形面积为 y ，点 A 到直线 l 的距离为 x ，则 y ＝f(x) 的图象大概为四个选项中的()分析1 2 1 21 21 2张口向下，设 AB ＝ a ，则 y ＝ a － x＝－ x ＋ a ，其图象为二次函数图象的一段，2 222极点在 y 轴上方，应选 C.答案C11.在不考虑空气阻力的状况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量 M kg 、火箭 (除燃料外 )质量m kg的关系是v＝2 000ln 1＋ Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.分析由题意2 000ln 1＋ M ＝12 000.∴ ln 1＋Mmm＝ 6，进而 M ＝ e6－ 1.m答案e6－112.某化工厂2014 年12 月的产量是2014 年1 月份产量的n 倍，则该化工厂这一年的月平均增添率是 ________.分析设月均匀增添率为x，第一个月的产量为a，则有a(1＋x) 11＝na，所以1＋ x＝ 11n，所以x＝ 11n－ 1.答案11n－ 113.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50 元，其成本价为25 元，因为在生产过程中均匀每生产一件产品就有0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行办理，并准备实行.方案一工厂的污水先净化办理后再排出，每办理 1 立方米污水所用原料费 2 元，而且每月排污设施消耗资为30 000 元；方案二工厂将污水排到污水办理厂一致办理，每办理 1 立方米污水需付14 元的排污费.问：(1)工厂每个月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节俭资本的前提下应选择哪一种方案？经过计算加以说明；(2)工厂每个月生产 6 000 件产品时，又应怎样选择呢？解设工厂每个月生产x 件产品时，依方案一的收益为y1，依方案二的收益为y2，由题意知y1＝ (50－ 25)x－ 2×0.5x － 30 000＝24x － 30 000，y2＝ (50－ 25)x－ 14×0.5x ＝18x.(1)当 x＝ 3 000 时， y1＝ 42 000， y2＝ 54 000 ，∵ y1＜ y2，∴应选择方案二办理污水 .(2)当 x＝ 6 000 时， y1＝ 114 000， y2＝108 000 ，∵ y1＞ y2，∴应选择方案一办理污水 .研究创新14.某地域为响应上司呼吁，在2015 年初，新建了一批有200 万平方米的低价住宅，供困难的城市居民居住.因为下半年受物价的影响，依据当地域的实质状况，预计此后住宅的年均匀增添率只好达到5%.(1) 经过 x 年后，该地域的低价住宅为y 万平方米，求y＝f(x) 的表达式，并求此函数的定义域 .(2) 作出函数y＝ f(x) 的图象，并联合图象求：经过多少年后，该地域的低价住宅能达到300万平方米？解 (1)经过 1 年后，低价住宅面积为 200＋ 200×5%＝ 200(1＋ 5%)；经过 2 年后为 200(1＋5%)2；经过 x 年后，低价住宅面积为200(1＋ 5%)x，所以 y＝ f(x) ＝ 200(1＋ 5%) x(x∈ N* ).(2) 作函数 y＝ f(x) ＝ 200(1 ＋5%) x(x ≥0，x∈ N* )的图象，如下图.作直线y＝ 300，与函数y＝ 200(1 ＋ 5%)x的图象交于 A 点，则A(x 0， 300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝ 300 时所经过的时间x 的值 .因为8<x 0<9，则取x0＝ 9，即经过9 年后，该地域的低价住宅能达到300 万平方米.。

课时作业8：3．2.1　几类不同增长的函数模型

§3.2 函数模型及其应用 3．2.1 几类不同增长的函数模型一、选择题1．下列函数中，增长速度最慢的是( ) A ．y ＝6x B ．y ＝log 6x C ．y ＝x 6 D ．y ＝6x2．今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A ．7 200×(13)3B ．7 200×(23)3C ．7 200×(13)2D ．7 200×(23)23．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 24．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A ．300只 B ．400只 C ．500只D ．600只5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )6．若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x＞x 21＞lg x B.2x＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x ＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x二、填空题7．三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：其中x ，呈幂函数型变化的变量是________．8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.9．若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________．10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象．有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________．三、解答题11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．12．现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？答案精析1．B [对数函数增长的速度越来越慢，故选B.]2．B [由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.]3．A [由题中图象可知，该函数模型为指数函数．] 4．A [由已知第一年有100只，得a ＝100. 将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300.]5．B [取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半．易知B 符合题意．]6．A [∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2. ∴x 12∈(1，2)，lg x ∈(0,1)．∴2x ＞x 12＞lg x ．]7．y 3 y 2 y 1解析根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化． 8．e 6－1解析由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm ＝e 6－1. 9．a x解析由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10．①③解析根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确．11．解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q 100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q 100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位．12．解现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个)．可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个．13．解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为 L 4＝10lg I 4I 0＝10lg104＝40(分贝)．(2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50，所以1≤II 0＜105，即1×10－12≤I ＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12,1×10－7)．。