概率论与数理统计(本科)02(§1)

７．完备事件组
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如果n个事件A1，A2， ，An满足： （1）Ai A j 1 i j n （2）A1 A2 An 则称A1，A2， ，An构成一个完备事件组。
A1
An
A2 A3


An 1
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＊事件的运算律 （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律
1 , 2 , 3 , 4
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随机试验中任意一个事件就是样本空间的一 个子集。 基本事件是由一个样本点组成的单元集。 由于概率统计的研究对象是随机现象。为了 认识一个随机现象，很重要的一点是搞清它的样 本空间。而样本空间是一个集合，所以可以从集 合角度来描述随机事件。
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i 1
n
i
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＊例５：某产品要经过两道工序加工，只要有一 道工序加工不合格，产品就不合格。
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设A பைடு நூலகம்产品不合格
设C 产品合格
Bk 第k道工序加工不合格 ， (k 1,2) A B1 B2或A B1 B2 Dk 第k道工序加工合格, k 1， 2 ，
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E 1 : 投一枚硬币３次，观察正面出现的次数 1 {0,1, 2,3} 有限样本空间
E 2 : 观察总机９～１０点接到的电话次数
2 { 0 ,1, 2 ,3 , , N } E3 : 观察某地区每天最低与最高温度
3 {( x, y ) T1 x y T2 } 无限样本空间
C D1 D2或C D1 D2
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３.事件的交（积） ▲定义： A B { | A且 B}
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A B 或 AB
－－Ａ与Ｂ的积事件
A
B

A B 发生
事件Ａ与事件 Ｂ同时发生
A B
n
A1 , A2 , , An 的积事件－－
A
i 1
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＊例２：接连投掷三次硬币，观察各次正反面出 3 现的情况。 2 8 A1 正, 正, 正, A2 正, 正, 反, A3 正, 反, 正, A4 反, 正, 正, A5 正, 反, 反, A6 反, 正, 反, A 反, 反, 正, A 反, 反, 反 8 7
③不可能事件 ④A B
④随机事件
② 2．设 A, B 为两事件，则 A B ___。
③ AB
② ③A ④A B ① 填空题： 互不相容（或互斥） 4．若事件 A, B 满足 AB ，则称与___________________。 5．事件 A, B 的并 A B 与差 A B 分别指＿＿＿的事件。
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A B B A或A B B A A B B A或AB BA
A B C A B C AB C ABC A B C AC BC AB C A C B C
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概率论与 数理统计
２
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第一章
随机事件的概率
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＊随机现象与统计规律性 确定性现象 大量重复试验中，其结 随机现象－－ 果有统计规律性的现象
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在相同的条件下进行大量观察或试验时， 出现的结果有一定的规律性－－统计规律性 ＊例：观察投掷一枚质地均匀的硬币的结果。 当投掷的次数很大时，出现正面的次数与 出现反面的次数大致相同，几乎为总投掷次数 的一半。
③ 3．设 A, B 为两事件，则 AB A B ___。
A B表示 A， B中至少一个发生； A B表示 A发生而 B不发生
多项选择题： ②④ 6．事件 A B 又可表示为＿＿＿。 ① AB ② AB ③ AB ④ A AB ⑤ AB A B
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＊基本事件与样本空间 基本事件：不能分解的最简单的随机事件。
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k 1， 2， 3， 4 上例： Ak 取到的是k号球 ，
随机试验中的每一种可能结果为一个 样本 点，用 或 e 表示。样本点的全体组成的集合称 为该随机试验的样本空间，记为 或 S 。


上例： Ak k (k 1， 2， 3， 4)
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B 表示中文书 C 表示平装书
AB C －－抽取的是非平装中文版数学书 C B －－非平装书都是中文书 A B －－非数学书都是中文版的，且中文版
的书都是非数学书
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记号
概率论 样本空间, 必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生导致B发生 事件A与事件B相等 事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A和事件B互不相容
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D 至多有二次正面 A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8 E 至多有一次反面 A1，A2，A3，A4
B 恰好有二次正面 A2，A3，A4 C 至少有二次正面 A1 , A2 , A3 , A4
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＊例３：一组随机试验及相应的样本空间
Ａ Ｂ

事件Ａ发生必 导致事件Ｂ发生
A B A B且B A －－事件的相等
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＊例４：袋中装有２只白球和１只黑球，现从中 依次摸出两球。设
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C 第一次摸得白球且第二次也摸得白球
•Ａ ？Ｂ •Ｃ ？Ｂ •Ａ ？Ｃ
B 第一次摸得白球
A 两次都摸得白球
A B A B （4）对偶律 AB A B
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＊例６：利用事件关系和运算表达多个事件的 关系。
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Ａ，Ｂ，Ｃ都不发生：
A B C A B C
Ａ，Ｂ，Ｃ不都发生：
ABC A B C
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＊例７：用图示法简化
( A B)(A B) AB
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其中： T1 ， T2 是该地区的最低与最高温度。
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三．事件间的关系与运算 随机事件的关系和运算与集合的关系和运算 雷同。 文氏图(Venndiagram) Ａ
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１.事件的包含 ▲定义： A B A B
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A B
－－Ａ包含于Ｂ
集合论 全集 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B的相等 A与B的和集 A与B的交集
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A A A B AB A B AB A B AB
A与B的差集 A与B没有相同的元素
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JINSW 单项选择题： 本科 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现偶数点”称为__。 2
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＊历史上投掷硬币试验的一些结果：
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正面出现 抛掷次数 试验者 次数 ｎ ｍ 2048 1061 德摩根 4040 2048 蒲丰 12000 6019 Ｋ·皮尔逊 24000 12012 Ｋ·皮尔逊 30000 14994 维尼 39699 罗曼诺夫斯基 80640
正面出现 频率 ｍ÷ｎ 0.5180 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998 0.4923
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＊例１：一袋中有编号分别为１、２、３、４ 的四个球，从中任取一球。记：
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C 取到的球的号码为偶数 D 取到的球的号码小于5
B 取到的球的号码不大于3
Ak 取到的是k号球, k 1， 2， 3， 4
E 取到的球的号码不小于5 不可能事件
必然事件
A1、A2、A3、A4、B、C、D、E都是随机事件
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＊必然事件与不可能事件 （１）必然事件：在试验中一定会发生的事 件，用Ω表示。 上例中的D。
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（２）不可能事件：在试验中一定不会发生的 事件，用Φ表示。 上例中的E。 按照随机事件的定义，必然事件与不可能 事件都不是随机事件，为了讨论方便，一般将 它们看成特殊的随机事件。
称Ｂ为Ａ的对立事件（逆事件）， 记为 B A ＊注意：“Ａ与Ｂ互相对立”与“Ａ与Ｂ互斥” 是不同的概念。
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AA ，A A A A，A A A ，A A
，
A
Ａ

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A B AB
A
A B

B
B
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( A B ) B A

红色 区域
交
A
(AB)
A
B
黄色 区域


(AB)(AB) A
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＊例８：化简事件
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( A B)C AC
AC BC AC
A(C C ) BC
A BC
A BC
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＊例９：在图书馆中随意抽取一本书， 事件：A 表示数学书
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§１.１随机事件 一．随机试验与样本空间 ＊随机试验 对某事物特征进行观察－－试验 若它有如下特点,则称为随机试验。 可在相同的条件下重复进行；
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试验结果不止一个，但能明确所有结果； 试验前不能预知出现哪种结果。 随机试验用Ｅ表示。
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二．随机事件 在随机试验中，可能出现的结果，称为随机事 件， 简称事件， 通常用大写字母 A、B、C 等表示。 ＊上例： Ｅ：观察投掷一枚质地均匀的硬币的结果 －－试验 Ａ＝｛正面｝；Ｂ＝｛反面｝－－－事件 ＊注：仅满足 试验结果不止一个，但能明确所有结果； 试验前不能预知出现哪种结果。 －－－－不可重复随机事件