江苏省灌云县第一中学_学年高一数学暑期作业(4)【含答案】

数学暑假作业（四）
一、填空题：
1、如果直线m ∥平面，那么在平面内有_________条直线与m 平行
2、若P 是直线l 外一点，则过P 与l 平行的平面有___________个。

3、若直线 a ∥平面 α，直线b∥ 平面β，a ⊂β，b ⊂α,则a 、b 的位置关系 是
4、直线a ∥b ，a ∥平面β
，则b 与平面β
的位置关系是________
5、A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作_______个平面同时与a 、b 平行
6、过两条平行直线中的一条，可以作________个平面平行于另一条直线
7、若平面β及这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m ，则直线l 和平面β的 位置 关系是________
8、过一点可作________个平面与已知平面垂直.
9、若∠AOB 在平面α内，OC 是α的斜线，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，OC 与α成45° 角，则 ∠AOB ＝________
10、设斜线与平面所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . 11、一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ， 这条线段与平面所成的角是 .
12、点,A B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面 的距离为
13、已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个命题:
①若m∥n,n ⊂α,则m∥α; ②若m∥α,n∥α,且m ⊂β,n ⊂β,则α∥β; ③若 m∥α,n ⊂α,则m∥n; ④若α∥β,m ⊂α,则m∥β. 其中正确命题的个数是
14、边长为a 的正四面体A —BCD ，M 是棱AB 的中点，则CM 与底面BCD 所成的角的 正弦值是________
二、解答题：
1、如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且
11AE FC ==，
（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；
（2）若点G 在BC 上，2
3
BG =，点M 在1BB 上，
1
D
1
A
A
B
C
D
1
C 1
B
M
E
F
H
G
GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；
2、在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 求证（I ）直线//EF D 面AC ； （II ）EFC D ⊥面面BC
3、如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，E,F 分别是11A B,AC 的中点，点
D 在11B C 上，11A D B C ⊥
求证：（1）EF ∥ABC 平面 （2）111AFD BBC C ⊥平面平面
4、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。

5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
6、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，
为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
1A
1C
F
D
C
A
B E
1B
数学暑假作业（四）参考答案
一、填空题：
1、无数
2、无数
3、平行或异面
4、//b ββ⊂或
5、1个
6、无数个
7、l//β
8、无数
9、90° 10、cos l θ 11、0
30 12、5或1 13、1 14、
3
2 二、解答题： 1、解：（1）证明：在DD 1上取一点N 使得DN=1，连接CN ，EN ，显然四边形CFD 1N 是平行四边形，所以D 1F//CN ，同理四边形DNEA 是平行四边形，所以EN//AD ，且EN=AD ，又 BC//AD ，且AD=BC ，所以EN//BC ，EN=BC ，所以四边形CNEB 是平行四边形，所以 CN//BE ，所以D 1F//BE ，所以1,,,E B F D 四点共面。

（2）因为GM BF ⊥所以BCF ∆∽∆MBG ，所以MB BG BC CF =，即2
3
32
MB =，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME 是矩形，所以EM ⊥BB 1又平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1 ，且EM 在平面ABB 1A 1内，所以EM ⊥面11BCC B
2、证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点//EF AD ⇒
EF AD AD ACD EF ACD EF ACD ⎫
⎪
⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭
面面面。

（II ）EF AD EF BD AD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F
⎫
⎫⇒⊥⎬⎪
⊥⎭⎪
⎪=⎫⎪
⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪
⎪=⎪⎪⎭
面为的中点又BD BCD ⊂面，
所以EFC D ⊥面面BC
3、【解析】证明：（1）因为E,F 分别是11A B,AC 的中点，
所以EF //BC ，又EF ⊄面ABC ，
BC ⊂面ABC ，所以EF ∥ABC 平面； （2）因为直三棱柱111ABC A BC -，所以1111BB ABC ⊥面，11BB
A D ⊥，又11A D
B
C ⊥，所以111A
D BC C ⊥面B ，又11
AD AFD ⊂面，所以111AFD BBC C ⊥平面平面。

4、[解析] （1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。

由∠BCD=900
，得CD ⊥BC ，
又PD DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD 。

因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC 。

（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。

又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。

由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。

易知
DF=
2
，故点A 到平面PBC
（方法二）体积法：连结AC 。

设点A 到平面PBC 的距离为h 。

因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=。

由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133
ABC V S PD ∆=⋅=。

因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。

又PD=DC=1
，所以PC =。

由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆
的面积PBC S ∆=。

由A PBC P ABC V V --=，11
33
PBC S h V ⋅==
，得h =
故点A 到平面PBC
5、 解析：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，
,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈∉面面
∴直线EF ‖平面PCD
（2）
AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥
又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面 6、。