第10章计数原理与古典概率 (5)

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10.5 古典概型

第10章第5节
第23页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2
报
告一
种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红
课
色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )
时作
业
1
报
A.3
B．12
告
二
2
C.3
D．56
第10章第5节
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
课
邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为( C )
时作
业
1
报
A.8
B．16
告
二
1
作业
报告
故选C.
二
第10章第5节
第21页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报告
3．[2019广东深圳一模]两名同学分3本不同的书，其中一
一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( B )
课
时
A.12
B．14
作业
报告二
1 C.3
D．16
第10章第5节
第22页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
第10章第5节
第15页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
告
一
课
报告二名校备考方案调研
时作业
报告二
第10章第5节
第16页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
1 简单古典概型的问题
1．[2018全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研

第十章第五节古典概型1

7 答案：10
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[冲关锦囊]
计算古典概型事件的概率可分三步：
①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本
事件个数m；③代入公式求出概率P.
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[精析考题]
[例2] (2011· 天津高考改编)学校游园活动有这样一个游戏项
目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)求在1次游戏中，
时，可利用排列或组合的知识．返回
2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件概率问题去求．
返回
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[精析考题] [例1] (2011· 陕西高考)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，
他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( 1 A.36 5 C.36 1 B.9 1 D.6 )
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
抓基础
第五节
古典概型
明考向
教你一招我来演练
提能力
[备考方向要明了] 考什么 1.理解古典概型及其概率计算公式． 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件
发生的概率.
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怎么考 1.古典概型的概率求法是考查重点，多与排列组合知识交
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解析：依题意k和b的所有可能的取法一共有3×3＝9种，其中当直线y＝kx＋b不经过第二象限时应有k＞0，b＜0，一共 4 有2×2＝4种，所以所求概率为9.
答案： C

8 第8讲离散型随机变量的均值与方差

23
(2)(2020·台州市书生中学高三期中)若 X 是离散型随机变量，P(X＝a)＝23，P(X＝b)＝13，
且 a＜b，又已知 E(X)＝43，D(X)＝29，则 a＋b 的值为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
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返回Байду номын сангаас航
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第十章计数原理与古典概率
24
【解析】 (1)X 的可能取值为 1，2，3，因为 P(X＝1)＝m，P(X＝2)＝(1－m)m，P(X＝
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第十章计数原理与古典概率
11
离散型随机变量的均值、方差的求解(高频考点) 离散型随机变量的均值、方差的求解，比较大小，求实际问题中的均值、方差是浙江新高考的热点．主要命题角度有： (1)直接求均值、方差； (2)两个随机变量的均值、方差大小比较； (3)实际问题中的均值、方差的求解．
大．故选 D.
(2)设 P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则15a＋＋a2＋ b＝b＝ 1，1，解得ba＝＝1535，，
所以 D(ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.
【答案】
(1)D
2 (2)5
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第十章计数原理与古典概率
14
角度二两个随机变量的均值、方差大小比较
已知随机变量 ξi 满足 P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若 0＜p1＜p2＜12，则
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第十章计数原理与古典概率
17
【解】 (1)①设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i＝0，1，2，3)，则 P(A3)＝CC2325·CC1223 ＝15. ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3. 又 P(A2)＝CC2325·CC2223＋CC13C52 12·CC1223＝12，且 A2，A3 互斥，所以 P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝170.

第十章第五节古典概型 (理 )

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[悟一法] 求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型；二是合理利用计数原理、排列、组合的有关性质；三是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率．
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[通一类] 2．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名
工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核． (1)求从甲、乙两组各抽取的人数； (2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．
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4．设A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是从A∪B中任取 2个元素组成的集合，则CÜ (A∩B)的概率是________．解析：A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，则A∪B中有8个元素，在A ∪B中任取两个元素的取法有C82种．又A∩B＝{1,3,5}且CÜ (A∩B)，∴P＝CC8223＝238. 答案：238
根，取到长度超过 30 mm 的纤维的概率是 ( )
A.34
B.130
2 C.5
D．以上都不对
解析：从40根纤维中取一根，共有40种等可能结果，取
到长度超过30 mm的纤维的可能结果有12种，
∴所求事件的概率为1420＝130.
答案：B
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2．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有
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(2)计算公式：P(A)＝
A包含的基本事件的个数基本事件的总数
.
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[做一题]
[例1] 在中国西部博览会期间，成都吸引了众多中外
客商和游人，各展馆都需要大量的志愿者参加服

第十章第五节古典概型

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(2)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 ________．
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2 解析： (1)从袋中任取 2 个球共有 C15 ＝105(种)取法，其中恰有 1 个白 1 球，1 个红球共有 C1 10C5＝50(种)取法，所以所取的球恰有 1 个白球，1 个
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解析：(1)A、B 两项中的基本事件的发生不是等可能的； C 项中基本事件的个数是无限多个； D 项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个． (2)设出现正面为 1，反面为 0，则共有(1,1,1)， (1,1,0)， (1,0,1)， (1,0,0)， (0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，8 种结果．
考点 3 复杂的古典概型的概率【例 3】袋内装有 6 个球，这些球依次被编号为 1、2、3、„、6，设编号为 n 的球重 n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋中取出(不受重量、编号的影响)． (1)从袋中任意取出一个，求其重量大于其编号的概率； (2)如果不放回地任意取出 2 个球，求它们重量相等的概率．
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设编号为 m 的球与编号为 n 的球重量相等，则有 m2－6m＋12＝n2－ 6n＋12，即(m－n)(m＋n－6)＝0，结合题意可得 m＋n－6＝0，即 m＋n＝6. 故满足 m＋n＝6 的情况为 1、5；2、4，共两种情形． 2 故所求事件的概率为 . 15
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(4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率．(

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步

第五页，共25页。
3．两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 ______________，只有______________才算做完这件事． 4．两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步． (1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(2)分两步：先选教师，共 3 种选法，再选学生，共 6＋8＝14 种选法．由分步乘法计数原理知总选法数为 3×14＝42(种)．
(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步，每步方法数依次为 3、6、8 种．由分步乘法计数原理知选法数为 3×6×8＝144(种)．
第十六页，共25页。
类型二两个原理的综合应用
第十五页，共25页。
有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ (3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各自有 3、6、8 种选法，总选法数为 3＋6＋8＝17(种)．

第十章计数原理概率

第十章计数原理概率§10.1概率与统计初步考纲要求1．理解分类计数原理和分步计数原理2．能应用分类计数原理和分步计数原理分析、解决一些简单的问题３．了解概率的定义，以及古典概率的计算知识要点１．分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第一类办法中有ｍ１种不同的方法，在第二类办法中有ｍ２种不同的方法，…，在第ｎ类办法中有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋…＋ｍｎ种不同的方法。

２．分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第一步有ｍ１种不同的方法，做第二步有ｍ２种不同的方法，…，做第ｎ步有有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１×ｍ２×…×ｍｎ种不同的方法。

３．对两个原理的理解（１）共同点：两个原理都是将一个事件分成若干个分事件来完成。

（２）区别：两个原理一个与分类有关，一个与分步有关。

若完成一个事件有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是互斥的，无论哪一类办法都能单独完成这一事件，求完成这件事的方法就用分类计数原理；若完成一个事件需要分ｎ步完成，各个步骤都不可缺少，需要依次完成所有的步骤，才能完成这一事件，而完成每一步步骤有若干种不同的方法，求完成这件事的方法就用分步计数原理。

典例分析例１．某单位职工义务献血，Ｏ型血的共有１６人，Ａ型血的共有１２人，Ｂ型血的共有１０人，ＡＢ型血的共有２人。

（１）从中任选一人去献血，有多少种不同的选法？（２）从四种血型的人中各选一人去献血，有多少种不同的选法？分析：从Ｏ型血的人中选1人有16种选法；从A型血的人中选1人有12种选法；从B型血的人中选1人有1０种选法；从AB型血的人中选1人有2种选法。

（１）任选一人献血，即无论选哪种血型的一个人此事已完成，所以用分类计数原理。

（２）要从四种血型中各选一人献血，即选４人。

要从每种血型的人中依次选出１人，这件事情才完成。

所以用分步计数原理。

解：（１）Ｎ＝１６＋１２＋１０＋２＝４０（种）（２）Ｎ＝１６１２×１０×２＝３８４０（种）点评：关键是分清题目涉及的问题是分类还是分步的问题，再选用相应的原理解题。

高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理

【变式训练 2】某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章计数原理、概率、随机变量及分布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一知识梳理·自主学习

2024届新高考一轮总复习人教版第十章第4节随机事件的概率与古典概型课件(37张)

图形表示
如果事件 B 包含事件 A，事件 A 也包含事件 B，即 B⊇A 且 A⊇B，则称事件特殊情形
A 与事件 B 相等，记作 A＝B
(2)并事件与交事件
并事件(和事件)
交事件(积事件)
一般地，事件 A 与事件 B_至__少__有__一___ 一般地，事件 A 与事件 B_同__时__发__生___，
1．事件的相关概念
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
发生
不发生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．事件的关系和运算
(1)包含关系与相等关系
定义
一般地，若事件 A 发生，则事件 B_一__定__发__生___，我们就称事件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B)
含义
A 发生导致 B 发生
符号表示
B__⊇__A(或 A__⊆__B)
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (4)若 A∪B 是必然事件，则 A 与 B 是对立事件．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
(2)古典概型的概率公式一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝____n_k____＝nn((ΩA)). 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
[必记结论] 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件． (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件 A 的对立事件－A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集． 2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

计数原理在古典概率的应用

计数原理在古典概率的应用什么是计数原理？计数原理是概率论中的重要概念，它是用于解决计算可能事件个数的方法。

在古典概率中，计数原理被广泛应用于计算概率。

在本文中，我们将探讨计数原理如何应用于古典概率的计算，并提供一些例子来说明其实际应用。

计数原理的基本概念计数原理有两个基本概念：乘法法则和加法法则。

乘法法则用于计算多个事件同时发生的可能性，而加法法则用于计算至少一个事件发生的可能性。

乘法法则乘法法则是通过乘法计算多个事件同时发生的可能性。

假设有事件A和事件B，且事件A有m种可能结果，事件B有n种可能结果，则事件A和事件B同时发生的可能性为m * n。

加法法则加法法则是通过加法计算至少一个事件发生的可能性。

假设有事件A和事件B，且事件A有m种可能结果，事件B有n种可能结果，则事件A和事件B至少一个发生的可能性为m + n。

计数原理在古典概率中的应用在古典概率中，计数原理被广泛用于计算某个事件发生的可能性。

下面将给出一些例子来说明计数原理在古典概率中的应用。

例子1：投掷硬币假设有一枚公正的硬币，投掷一次，计算出正面和反面都出现的可能性。

根据乘法法则，投掷硬币有2种可能结果（正面和反面）。

假设事件A表示正面朝上的可能性，事件B表示反面朝上的可能性。

根据乘法法则，事件A和事件B同时发生的可能性为2 * 2 = 4种可能结果。

其中，正面朝上的结果为正面，反面朝上的结果为反面。

所以，同时出现正面和反面的可能性为2种结果。

例子2：抽取彩球假设有一个装有5个红球和3个蓝球的袋子。

从袋子中依次抽取3个球，计算出抽取到至少一个红球的可能性。

根据加法法则，计算出抽取到至少一个红球的可能性。

假设事件A表示抽取到至少一个红球的可能性，事件B表示抽取到至少一个蓝球的可能性。

根据加法法则，事件A和事件B至少一个发生的可能性为5 + 3 = 8种可能结果。

其中，抽取到至少一个红球的结果为抽取到一个或多个红球，抽取到至少一个蓝球的结果为抽取到一个或多个蓝球。

高中数学必修二第十章概率知识点总结归纳完整版(带答案)

高中数学必修二第十章概率知识点总结归纳完整版单选题1、甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有．．一次准确预报的概率为（）A．0.8B．0.7C．0. 56D．0. 38答案：D解析：利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：P=0.8×(1−0.7)+(1−0.8)×0.7=0.38.故选：D．2、以下现象中不是随机现象的是（）．A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现B．明天下雨C．连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点D．平面四边形的内角和是360°答案：D分析：根据随机现象的定义进行判断即可.因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个现象都是随机出现的，所以选项D不符合题意，故选：D3、掷一枚骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥答案：B事件A={2,4,6}，事件B={3,6}，事件AB={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(A)=36=12，P(B)=2 6=13，P(AB)=16=12×13，即P(AB)=P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．故选B．4、甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（）A．0.3B．0.63C．0.7D．0.9答案：B分析：结合相互独立事件直接求解即可.设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.9×0.7=0.63.故选：B5、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6答案：C分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6，D选项结论正确.故选：C6、下列命题中正确的是（）A．事件A发生的概率P(A)等于事件A发生的频率f n(A)B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则P(A)=2P(B)D．对于两个事件A、B，若P(A∪B)=P(A)+P(B)，则事件A与事件B互斥答案：C解析：根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；对于C选项，根据概率的计算公式得P(A)=12×12×2=12，P(B)=12×12=14，故P(A)=2P(B)，故C选项正确；对于D选项，设x∈[−3,3]，A事件表示从[−3,3]中任取一个数x，使得x∈[1,3]的事件，则P(A)=13，B事件表示从[−3,3]中任取一个数x，使得x∈[−2,1]的事件，则P(A)=12，显然P(A∪B)=56=13+12=P(A)+P(B)，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.小提示：本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D 选项的判断，适当的举反例求解即可.7、先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a ，b ，则a ，b ，4能够构成等腰三角形的概率是( ) A ．16B ．12C ．1336D ．718 答案：D分析：利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a ，b ，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 由乘法原理可知，基本事件的总数是36，结合已知条件可知，当a =1时，b =4符合要求，有1种情况；当a =2时，b =4符合要求，有1种情况；当a =3时，b =3,4符合要求，有2种情况；当a =4时，b =1,2,3,4,5,6符合要求，有6种情况；当a =5时，b =4,5符合要求，有2种情况；当a =6时，b =4,6符合要求，有2种情况，所以能构成等腰三角形的共有14种情况，故a ，b ，4能够构成等腰三角形的概率P =1436=718. 故选：D.8、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B ̅)=1，则事件A 与B 的关系是（） A ．互斥B ．对立C ．相互独立D ．无法判断答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论. ∵P(B|A)+P(B̅)=P(B|A)+1−P(B)=1， ∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)P(A)=P(B)，∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立.故选：C.多选题9、对于事件A，B，下列命题正确的是（）A．如果A，B互斥，那么A与B也互斥B．如果A，B对立，那么A与B也对立C．如果A，B独立，那么A与B也独立D．如果A，B不独立，那么A与B也不独立答案：BCD分析：A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立事件的定义判断.A.如果A，B互斥，由互斥事件的定义得A与B不一定互斥，故错误；B.如果A，B对立，由对立事件的定义得A与B也对立，故正确；C.如果A，B独立，由相互独立事件的定义得A与B也独立，故正确；D.如果A，B不独立，由相互独立事件的定义得A与B也不独立，故正确；所以答案是：BCD10、给出下列四个命题,其中正确的命题有A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是51100B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率答案：CD解析：根据概率和频率定义,逐项判断,即可求得答案.对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是9,符合频率定义,故C正确;50对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选:CD.小提示：本题考查了频率和概率区别,解题关键是掌握频率和概率的定义,考查了分析能力,属于基础题.11、4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（）A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B．有可能出现恰有三支球队并列第一名C．恰有两支球队并列第一名的概率为14D．只有一支球队名列第一名的概率为12答案：ABD分析：4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C42=6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；选项B，举特例说明即可；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C42=6种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C42=6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B，其中(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(d,b)6场比赛中，依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；选项C，在(a,b),(b,c),(c,d),(d,a),(a,c),(d,b)6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C42=6种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为6×464=38，错误；选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有23=8种，故只有一支球队名列第一名的概率为864×4=12，正确.故选：ABD小提示：本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.填空题12、为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________．答案：310##0.3分析：利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、白色口罩同时被选中的概率为310．所以答案是：310．13、甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率p n=______．答案：13[1+(−1)n⋅12n−1]分析：记A n表示事件“经过n次传球后，球再甲的手中”，设n次传球后球再甲手中的概率为p n，得到p1=0,A n+1=A n⋅A n+1+A n⋅A n+1，化简整理得p n+1=−12p n+12,n=1,2,3,⋯，即p n+1−13=−12(p n−13)，结合等比数列的通项公式，即可求解.解：记A n表示事件“经过n次传球后，球再甲的手中”，设n次传球后球再甲手中的概率为p n,n=1,2,3,⋯,n，则有p1=0,A n+1=A n⋅A n+1+A n⋅A n+1，所以p n+1=P(A n⋅A n+1+A n⋅A n+1)=P(A n⋅A n+1)+P(A n⋅A n+1)=P(A n)⋅P(A n+1|A n)+P(A n)⋅P(A n+1|A n)=(1−p n)⋅12+p n⋅0=12(1−p n)，即p n+1=−12p n+12,n=1,2,3,⋯，所以p n+1−13=−12(p n−13)，且p1−13=−13，所以数列{p n−13}表示以−13为首项，−12为公比的等比数列，所以p n−13=−13×(−12)n−1，所以p n=−13×(−12)n−1+13=13[1+(−1)n⋅12n−1].即n次传球后球在甲手中的概率是13[1+(−1)n⋅12n−1]．所以答案是：13[1+(−1)n⋅12n−1].14、若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a 的取值范围为_____．答案：(43,3 2 ]解析：根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围. 因为随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，所以有：{0<P(A)<1 0<P(B)<10<P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<10<2−a+3a−4≤1，解得43<a≤32，所以答案是：(43,3 2 ]解答题15、2020年1月26日4点，篮球运动员湖人队名宿科比·布莱恩特在加州坠机身亡，享年41岁.对于很多篮球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备战的态度，毫无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝；永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情、执着、严厉、回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在.现如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们.这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱.在美国NBA 篮球比赛中，季后赛和总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束.比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立.在NBA 2019~2020赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯带领的洛杉矶湖人队以4:2战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA 总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FMVP .如果在总决赛开打之前，根据大数据和NBA 专家的预测，以常规赛战绩排名，湖人队先开始主场比赛，且湖人队在主场赢球概率为34，客场赢球概率为12（说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输），根据上述预测：（1）分别求出只进行4场比赛和湖人队4:1获胜的概率；（2）如果湖人队已经取得2:0的开局，求最终夺冠的概率. 答案：（1）932；（2）5964.分析：（1）4场比赛包括湖人队4:0获胜或者0:4失败；湖人队4:1获胜，则前4场比赛中两个主场胜一场输一场，两个客场全胜或两个主场全胜，两个客场胜一场输一场，第5场胜，然后利用相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可（2）湖人队最后夺冠的情况有4:0，4:1，4:2，4:3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式求解即可（1）记事件A 为“只进行4场比赛”，事件B 为“湖人队4:1获胜”，则由题意知，4场比赛包括湖人队4:0获胜或者0:4失败， P A =34×34×12×12+14×14×12×12=532，湖人队4:1获胜，则前4场比赛中两个主场胜一场输一场，两个客场全胜或两个主场全胜，两个客场胜一场输一场，第5场胜，P B =34×14×12×12×34×2+34×34×12×12×34×2=932. （2）湖人队最后夺冠的情况有4:0，4:1，4:2，4:3， 4:0夺冠的概率：P 1=12×12=14， 4:1夺冠的概率：P 2=12×12×34×2=38，4:2夺冠的概率：P3=12×12×14×12×2+12×12×34×12=532，4:3夺冠的概率：P4=12×12×14×12×34×3+12×12×34×12×34=964，所以湖人队最终夺冠的概率为P1+P2+P3+P4=5964.。

中职数学基础模块知识点、典型题目系列---10.统计与概率(适合打印,经典)

第十章概率与统计初步第1节计数原理一、分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类方式。

第一类方式有1k 种方法，第2类方式有2k ，...第n 类方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N +⋅⋅⋅++=21（种）二、分步计数原理（乘法原理）完成一件事，有n 个步骤，完成第1步有1k 种方法，完成第2步方式有2k ，...完成第n 步方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N •⋅⋅⋅••=21（种）第2节随机事件三、事件随机事件:可能发生，可能不发生（表示：A,B,C ）必然事件：一定发生（表示：Ω）不可能事件：一定不发生（表示：Φ）举例说明生活中哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件。

事件的描述：加大括号 A=｛抛掷一枚硬币，出现正面向上｝任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数。

事件A=｛点数是1｝，B={点数是2}.C={点数不超过2}之间存在着什么联系呢？基本事件：不能再分的最简单事件复合事件：基本事件组成的事件二、概率回忆频率的概念，频数：出现的次数总数频数频率=举例：抛掷一枚硬币25次，出现13次正面向上，则正面向上的频率为2513；大量重复地抛一枚硬币，发现事件A 发生的频率稳定在21，事件A 发生的概率为21概率：在大量重复试验中，事件发生的频率的稳定值记为()A P 。

频率与概率的区别：1、频率是试验中的近似值，概率是理论上的准确值；2、概率是频率在大量试验中的稳定值。

三、事件的概率的性质1.对于任意事件A ，有()10≤≤A P2.必然事件的概率为1，()1=ΩP ;3.不可能事件的概率为0，();0=ΦP第3节古典概型一、古典概型满足（1）有限性：基本事件有有限个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。

的试验称为古典概型。

举例：1.在圆内随机找一点，如果找出的每个点都是等可能的，这是古典概型吗？分析：满足等可能性不满足有限性2.在射击训练中，结果有“命中10环”，“命中9环”，“命中8环”，“命中7环”，“命中6环”，“命中5环”，“不中环”，你认为这是古典概型吗？分析：满足有限性不满足等可能性。

计数原理与古典概率

第十章计数原理与古典概率一．基础题组1. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E ξ=__________ ，方差D ξ的最大值为 __________．【答案】 p14【解析】记事件A 发生的次数为ξ可能的值为01、ξ1P1p -p期望()011E p p p ξ=⨯-+⨯=方差()()()()22101114D p p p p p p ξ=-⨯-+-⨯=-≤ 故期望E p ξ=，方差D ξ的最大值为142. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】在二项式()52a x a R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中，若含7x 的项的系数为-10，则a =__________．【答案】-23．【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母,,,A B C D ．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有__________ 种．【答案】36【解析】字母各不相同且三种颜色齐备则分别取出112，，个小球，共有211342132236C C C A A ⨯=点睛：本题考查了排列组合，要满足题目中“字母各不相同且三种颜色齐备”先理清可能性，然后运用组合法求出数量后除去重复的可能，再进行全排列，即可计算出结果4. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率是________．【答案】47【解析】8个球，从中取出3个，共有3856C = 种基本事件其中取出的编号互不相同的有334232C = 种基本事件，所以概率为3256= 475. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】已知()62601261x a a x a x a x -=++++，则2x 项的二项式系数是________； 0126a a a a ++++=________.【答案】 15 64点睛：赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()()2,(,)nnax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.学科~网6. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．【答案】52【解析】因为246411622143213222=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，对于上述四种情形掷这四个骰子，分别有212414434412,12,24,4A C C A C =⨯===种情形，综上共有121224452+++=种情形，故答案为52.7. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()*n n N ∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】若()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）.【答案】 4 108 【解析】()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256， 4256n ∴=， 4n ∴=，()()()()44422232331nx x x x x x --=--=-+，∴ 2x 项的系数是()()()24322114444333108C C C C -+⨯-+⨯-⨯= ，故答案为（1）4，（2）108. 9. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知随机变量X 的分布列为:X 12 3P1213m则m =___________， ()D X =__________. 【答案】16 59【解析】由题意，1111,236m m ++=∴=， 11151232363EX ∴=⨯+⨯+⨯=， ()D X = 22215151551232333639⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为（1）16，（2）59. 10. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是 A. 144 B. 216 C. 288 D. 432 【答案】D11. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有__________种不同的传递方法．（用数字作答）【答案】60种【解析】根据题意分3种情况①当甲第一次传给其余3人，有133C =种情况，第二次将手帕传给了甲，第三次甲再传给其余3人，有133C =种情况，第四次传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第五次传给甲，此时有33218⨯⨯=种情况； ②当甲第一次传给其余3人，有133C =种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第三次传给了甲，第四次传给了其余3人，有133C =种情况，第五次传给甲，此时有32318⨯⨯=种情况； ③当甲第一次传给其余3人，有133C =种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第三次再传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第四次仍然传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第五次传给甲，此时有322224⨯⨯⨯=种情况综上，共有18182460++=种不同的传递方法故答案为60. 学科#网12. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知多项式()()21mnx x ++=2012m n m n a a x a x a x ++++++满足01416a a ==，，则m n +=_________，012m n a a a a +++++=__________．【答案】 5 72 【解析】∵多项式()()21mnx x ++= 2012m n m n a a x a x a x ++++++满足01416a a ==，∴令0x =，得0214m na ⨯==，则2m =∴()()()()221441mnnx x x x x ++=+++∴该多项式的一次项系数为11414116n n n n n n C C --+=∴13n nC -=∴3n = ∴5m n +=令1x =，得()()23012121172m n a a a a ++⨯+=+++⋅⋅⋅+= 故答案为5，72.13. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==-，若203x <<，则（） A. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而增大 B. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大 C. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 D. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而减小【答案】C∴()22222241442141220123333333333D x x x x x x x x x ξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--⨯+--⋅+--⋅-=-+-⋅++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 221811139612x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭∵203x <<∴()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小故选C.14. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为，并且每队赢的场数各不相同，则共有__________种结果；其概率为__________.【答案】 243815. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为64，则n =__________；展开式中的常数项为__________. 【答案】 6 15【解析】∵在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为64∴将1x =代入，得264n = ∴6n = ∵()36321661rrr rr r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭∴令3302r -=，即2r =，则其系数为2615C = 故答案为：6，1516. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________；若表示摸出黑球的个数，则________．【答案】17．【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】若的展开式各项系数之和为64，则___；展开式中的常数项为___．【答案】 6 -540【解析】令,易得：；通项公式为令,得常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.学科%网18. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有___种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．【答案】1507 75【解析】根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论：①、五人分为2、2、1的三组，有2215312215C C CA=种分组方法，对应三项志愿者活动，有331590A⨯=种安排方案，②、五人分为3、1、1的三组，有3115212210C C CA=种分组方法，对应三项志愿者活动，有331060A⨯=种安排方案，则共有9060150+=种不同的安排方案；学生甲被单独安排去金华时，共有2231224241222214C C C C A A A +=种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是14713075=19. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】()4121x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（） .16.12.8.4A B C D【答案】C20. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】已知213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为64，则n =_______；二项展开式中含3x 的系数为________.【答案】 6 -540【解析】213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中所有二项式系数和为64，∴264n =，解得n=6；∴6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：26612311(3)()(1)366r r r r r r r r T C x C x x---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令123r - =3，解得r=3；∴二项式展开式中含x3项的系数为333(1)35406C -⋅⋅=-.故答案为：6，−540.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.21．【浙江省清源中学2018届高三9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ς，则1ς=的概率是_______；随机变量ς期望是_______.【答案】351()213421356C CPCξ===；()211242356C CPCξ===；所以()1310121555Eξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：315，.22. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有（）A. 12种B. 30种C. 96种D. 144种【答案】C【解析】先排列A,A,α,β,若A,B不相邻,有22623A C=种,若A,B相邻,有363A=种，共有6+6=12种，从所形成了5个空中选3个插入1,1,1,共有3121205C=，若A,A相邻时,从所形成了4个空中选3个插入1,1,1,共有36244C=，故三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有120−24=96种，故选：C.23. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】二项式()512x +中，所有的二项式系数之和为___________；系数最大的项为_________．【答案】 32 3480,80x x24. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（） A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有246C =种选法，减去A B 、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A 种选法，利用分步计数原理有33530A =种不同选法.选C.。

第10章第55讲古典概型与几何概型

(2)
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高考总复习一轮复习导学案 ·数学理科
第十章计数原理、概率
(2) 估计该校高三年级的这 500 名学生的这次考试成绩的中位数；【解答】成绩落在第一组的频率为 0.004×10＝0.04；成绩落在第二组的频率为 0.012×10＝0.12；成绩落在第三组的频率为 0.016×10＝0.16；成绩落在第四组的频率为 0.03×10＝0.3；由于 0.04＋0.12＋0.16＝0.32<0.5， 0.04＋0.12＋0.16＋0.3＝0.62>0.5. 设该校的 500 名学生这次考试考绩的中位数为 x，则 90<x<100，所以 0.04＋0.12
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第十章计数原理、概率
第十章计数原理、概率第55讲古典概型与几何概型
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＋0.16＋0.03×(x－90)＝0.5，解得 x＝96.
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第十章计数原理、概率
(3) 若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取 2 名，求这 2 名学生的分数差的绝对值大于 10 分的概率．
【解答】第六组学生有 50×0.006×10＝3(人)，分别记作 A1，A2，A3；第一组有学生 50×0.004×10＝2(人)，分别记作 B1，B2.
从中任取 2 人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3， B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共 10 个．

高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.5古典概型理高三全册数学

＝0不经过第四象限的概率为( A )
2
1
A.9
B.3
4
1
C.9
D.4
2021/12/12
第二十八页，共四十六页。
【解析】 (1)有序数对(m，n)的所有可能结果为(1,1)，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，
(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故
(1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．
2021/12/12
第十九页，共四十六页。
解：(1)这个试验的基本事件为 (1,1)(1,2)(1,3)，(1,4)， (2,1)(2,2)(2,3)，(2,4)， (3,1)(3,2)(3,3)，(3,4)， (4,1)(4,2)(4,3)，(4,4)． (2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)， (1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)， (4,2)，(4,3)，(4,4)． (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)， (3,3)，(4,4)．
2021/12/12
第二十一页，共四十六页。
【解】 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学
生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
C33C34 C36C36
＝
1 100
，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1

计数原理与古典概率(原卷版)

专题十计数原理与古典概率一、选择题1.（2019年浙江卷）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大2.（2018年浙江卷）设0<p <1，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在（0，1）内增大时，（）A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大 D ．D （ξ）先增大后减小二、填空题4．（2020·浙江高考真题）设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________．6.（2019年浙江卷）在二项式9(2)x +的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.7.（2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是___________．8.（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)9.（2017年浙江卷）已知多项式()31x + ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________________， 5a =________.10.（2017年浙江卷）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）优质高三试题1．（2020届浙江省温州市高三4月二模）若()2020012009211x a a x a x a x +=++⋯++，则01910a a a a ++⋯++的值为（）A ．192B ．191020122C -C ．191020122C +D ．1910202C +2．（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（） A ．85B ．95C ．2040D ．22803．（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知a ，b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：若()()1E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量XY 相互独立，则()E ξ取值范围的是（） A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（）A ．23 B ．59C ．29 D ．34 5．（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）设112p <<，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如下表：则当p 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（）A ．()E ξη+减小，()D ξη+增大B ．()E ξη+减小，()D ξη+减小C ．()E ξη+增大，()D ξη+增大D ．()E ξη+增大，()D ξη+减小6．（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设102b <<，随机变量X 的分布列如下表所示已知()2E X =，则当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D X 的变化情况（） A ．先增大再减小 B ．先减小再增大 C ．增大D ．减小7．（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知A ，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有m 个红球与10m -个白球，B 盒中有10m -个红球与m 个白球（010m <<），若从A ，B 盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当()D ξ取到最大值时，m 的值为（） A ．3B ．5C ．7D ．98.（2020·浙江温州中学高三3月月考）随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-，则()D ξ的最大值为（）A ．89B ．1716C ．2625D ．19．（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设023a <<，随机变量X 的分布列是：则当a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内增大时（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大10．（2020·浙江高三）在二项式()521)0a ax＞的展开式中x ﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是_____．11．（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）二项式341()x x+的展开式中，常数项为______，所有项的系数之和为______．12．（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++++，则6a =_____，01256a a a a a +++++=_______.13．（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知多项式()()()()25433121111+=-+-+-+x x x a x a x ()451+-+a x a ，则5a =_________，4a =_________.14．（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）在二项式73x ⎛ ⎝的展开式中，所有项系数和为____________，展开式中含2x 的项是____________.。

[精品]人教版中职数学教案-第十章--概率与统计初步[8份教案]

10.1计数原理【教学目标】1．理解分类计数原理与分步计数原理，会利用两个原理解决实际问题.2．培养学生利用数学思想方法分析、解决实际问题的能力．3．通过教学，让学生感受生活中的数学思想，提高数学的应用意识.【教学重点】两个计数原理的理解与应用．【教学难点】分类计数原理与分步计数原理的区别．【教学方法】本节课主要采用问题教学法．教师创设问题情景，引导学生观察发现分类计数原理与分步计数原理．并通过例题讲解，使学生进一步深化对定理的理解．最后通过对比实例，明确两个定理的联系和区别.10.2概率初步【教学目标】1．正确理解古典概型的两个特点，掌握古典概率计算公式．2．通过教学，发展学生类比、归纳、猜想等推理能力．3．通过古典概率解决游戏问题，培养学生的数学应用能力以及科学的价值观与世界观．【教学重点】古典概型特点，古典概率的计算公式以及简单应用．【教学难点】试验的基本事件个数n和随机事件包含基本事件的个数m．【教学方法】通过三个简单的例题让学生初步理解古典概型的特征，并由此引出样本空间和基本事件等诸多概念，教师紧扣这三个例题讲解各个概念，并由学生总结古典概率的计算公式．然后通过后面的例题巩固古典概率的求法．【教学过程】10.3.1总体、样本和抽样方法（一）【教学目标】1．理解总体、样本和随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法．2．通过实例，体验简单随机抽样的科学性及可靠性，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识在实际生活中的重要应用．【教学重点】正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数表法的步骤．【教学难点】能灵活应用抽签法或随机数表法从总体中抽取样本．【教学方法】这节课主要采取启发引导和讲练结合的教学方法．引导学生根据现实生活的经历和体验及收集到的信息来理解理论知识，同时通过例题、练习和课后作业，启发学生从书本知识回到社会实践，学以致用．10.3.1 总体、样本和抽样方法（二）【教学目标】1．理解系统抽样的概念，掌握系统抽样的一般步骤．2．通过实例的分析、解决，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．通过数学活动，感受数学在实际生活中的应用，体会现实世界和数学知识的联系．【教学重点】掌握系统抽样的步骤．【教学难点】能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题．【教学方法】本节课采用启发引导和讲练结合的教学方法.教学中教师带领学生从系统抽样的定义分析得出系统抽样的方法和步骤，然后结合例题及其变式练习巩固系统抽样的步骤．10.3.1 总体、样本和抽样方法（三）【教学目标】1．正确理解分层抽样的概念，掌握分层抽样的一般步骤．2．区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，能灵活选择适当的方法进行抽样．3．通过数学活动，感受数学在实际生活中的应用，体会现实世界和数学知识的联系．【教学重点】分层抽样的定义和步骤．【教学难点】利用分层抽样的方法解决现实问题．【教学方法】这节课主要采取启发引导和讲练结合的教学方法．教学中教师带领学生从分层抽样的定义分析得出分层抽样的方法和步骤，然后结合例题及课后练习巩固分层抽样的步骤．【教学过程】10.3.2频率分布直方图【教学目标】1．掌握列频率分布表、画频率分布直方图的步骤，会用样本频率分布直方图估计总体分布．2．培养学生利用数学方法分析数据、解决实际问题的能力．3．通过画频率分布直方图的过程，培养学生耐心细致，严谨认真的科学态度.【教学重点】绘制频率直方图.【教学难点】列出频率分布表．【教学方法】本节主要采用例题教学法．通过一个具体的题目，讲解极差、频率等概念，教师带领学生一步步列出例题的频率分布表，画出频率分布直方图．随着教师的讲解，学生分步练习，真正掌握画频率分布直方图的各个步骤.【教学过程】10.3.3 用样本估计总体【教学目标】1．理解样本平均数和总体平均数，会用样本平均数估计总体平均数．2．理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差，并能用样本标准差估计总体标准差．3．通过实例，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法，通过感性认识帮助学生理解统计在社会生活中的重要作用．【教学重点】理解样本平均数，样本标准差的意义和作用，学会计算样本平均数和样本标准差．【教学难点】理解样本平均数及样本标准差的意义和作用．【教学方法】采用支架式教学方法．教师提供研究的材料和问题，即向上攀登的支架，从学生的认知规律出发，通过大量实例，引导学生自主探索解决问题的方法，通过合作讨论互相学习，取长补短，并归纳总结成一般规律，使得原有的认知结构得到进一步补充和完善．10.3.4 一元线性回归【教学目标】1. 了解相关关系、回归分析、散点图、回归直线方程的概念．2. 掌握散点图的画法，掌握回归直线方程的求解方法，会求回归直线方程．3. 让学生参与回归直线的探求，结合身边的实例，发现散点图的线性特征，主动构建线性回归直线方程的模型．【教学重点】散点图的画法，回归直线方程的求解方法．【教学难点】回归直线方程的求解方法．【教学方法】这节课主要采取启发引导和讲练结合的教学方法．通过创设情境、设置问题等手段对学生进行了启发、诱导，结合讨论法、讲授法组织学生自主探究．然后结合例题及课后练习巩固求回归直线方程的步骤．【教学过程】。