大学高等数学经典课件4-2

1 2
( x 1) 1 x d x
2 2 2
1 2
3 2 (1 x ) d (1 x ) 2 2
1 2 1 2 2 2 2 u d u (1 x ) C (1 x ) 2 C 2 2 5 5
1 x u
2
1
3
5
5
高 等 数 学 电 子 教 案
1 2a
(ln x a ln x a ) C
1 2a
ln
xa xa
高 等 数 学 电 子 教 案
例7
sec xd x co s
1 2
co s x
2
dx
x
1 sin
d (sin x )
2

sin x t
x
1 t
dt
2

1
(1 t 1 t ) d t 2
常见的凑元法有以下几种情况: (1)关于自变量是线性形式,例如

f ( ax b ) dx
1
a
f ( ax b ) d ( ax b )
(a 0)
(2)被积函数可写成
dx
g ( x ) g (x)
的形式，例如
(ln ln x ) ln ln x
( a co s x b sin x ) a co s x b sin x
例13
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
sin
4
xdx
(
1 4
1 cos 2 x 2
3 2
) dx
2
1
(1 2 c o s 2 x 4
3 8 x 1 4
1 cos 4 x 2
1 32
)dx

ห้องสมุดไป่ตู้
(
2 co s 2 x
1 2
co s 4 x ) d x
sin 2 x
1
成立，其中
(x)
是x =ψ(t)的反函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
证明:
x ( t ).
d x (t ) d t .
dt dx

1
( t )
.
t
1
(x)


f ( ( t )) ( t ) d t ( t ) 记 F ( x ) ( t ) (
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
①倍角公式
②积化和差公式
高 等 数 学 电 子 教 案
此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2 x等 例如

x cos
3 2
xdx

x (1 cos 2 x )
3
dx
1 2
2

x dx
3
1 2

x cos 2 xdx
3
a b 0,
a co s x b sin x
例1
tg xd x co s x d x

u co s x
sin x
d (co s x ) co s x
du u
ln u C ln co s x C
例2
sin x u
1 6 sin x cos xdx sin xd sin x sin x C 6
定理1 设u =φ(x)在区间[a, b]上可导,
(x) ,
g(u)在[α.β]上有原函数G(u), 则不定积分存在, 且
g ( ( x )) ( x ) dx

g ( u ) du
| u ( x ) G ( ( x )) C
证明: 用复合函数的求导法则，验证
高 等 数 学 电 子 教 案
二、第二换元法
定理 设x=ψ(t)是单调, 可导的函数, 并且ψ’ (t)≠0, 又设 f (ψ(t))ψ’(t)具有原函数φ(t), 则有换元公式
dx ( t ) dt

武 汉 科 技 学 院 数 理 系
f ( x)dx


f ( ( t )) ( t ) d t |t 1 ( x ) ( t ) |t 1 ( x ) C

dx
dx a b (
2 2
a a b
2 2
co s x
b a b
2 2
sin x )
武 汉 科 技 学 院 数 理 系

1 a b
2 2
sin co s x co s sin x
dx

1 a b
2 2
sin ( x )
d (x )
高 等 数 学 电 子 教 案
2 u ax b du adx 5 2
1
b
2
5

(ax b) 3 dx
b a
( a x b ) 3 d x
1 a
2
u 3 du
b a
2
u 3 du

武 汉 科 技 学 院 数 理 系
3 8a
2
8
(ax b) 3
3b 5a
2
5
(ax b) 3 C
1
sin x co s x
2
sin x co s x
sin 2 x 1 2 dx co s x )

1 2
co s(

4 2
2 x) dx x)
dx

2(
2 1 2 sin x

2 sin (
sin ( x

4

2 dx 1 2 2 sin ( x ) 4
高 等 数 学 电 子 教 案
(6)被积函数可写成
ln( 1 1 ) dx
f ( ) 2 x x
1 x
1
1
的形式,例如
ln( 1 1
ln( 1
) dx 1 x )

x x ( x 1)

x (1
2
x d (1 1 ) 1 x (1 ) x
)
(7)利用三角函数公式,常用的三角形式:
2
2
2 ln 1 co s x C
d u d co s x du ln |u | C u
2
高 等 数 学 电 子 教 案
例16
1 a

x
3
(ax b) dx
2
[ ( a x b ) ]( a x b ) 3 d x a a
C
1
1
[ln (1 t ) ln (1 t )] C
1 2
ln
1 sin x 1 sin x
例8
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
csc xd x
sin x sin ( x / 2 ) co s( x / 2 ) tg ( x / 2 ) co s

要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些
三角函数的恒等变换,分子分母的有理化, 分子加减某 项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同, 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
“凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(φ(x))
高 等 数 学 电 子 教 案
高 等 数 学 电 子 教 案
(3)被积函数可写成 f (xn)xn-1 的形式,例如

dx x x
n 1


dx x (1 x )
n

[ x 1 x
1
x
n 1 n
] dx

dx x

1 n

d ( x 1)
n
1 x
n
(4)被积函数可写成 g(xn) x2n-1 的形式,例如
)
1
sin ( 4

x)dx
1 2 2

sin (
dx

4
x)
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
例6
x
dx
2
a
2

1 2a
[
1 xa

1 xa
]d x
2a
1
d (x a) xa

x ad (x a)
C
1

武 汉 科 技 学 院 数 理 系
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
[ G ( ( x )) C ] G ( u ) ( x ) g ( u ) ( x ) g ( ( x )) ( x )
高 等 数 学 电 子 教 案
第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成 g(φ(x))φ’(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，
u
a (1 u
du
2
)
1 a
arctg
x a
C
例4

dx a x
2 2


d (x / a) 1 (x / a)
2
x a

u

du 1 u
2
arcsin
x a
C (a 0)
例5
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
( x x) 1 x dx
3 2
sin 4 x C