4.2.5 正态分布-高二数学课时同步练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计4.2.5 正态分布一、基础巩固1．设随机变量()~01X N ，，则()0P X ≤=（ ）A ．0B ．1C ． 12D ．1 4【答案】C 【详解】因为随机变量()~01X N ，，所以正态曲线关于X 0=对称，所以()0P X ≤=12． 2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布()2105,(0)X N σσ~>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．100 B ．200C ．300D ．400【答案】D 【详解】由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为105X =，所以()1050.5P X ≥=， 因为()112010P X ≥=，所以()1051200.4P X ≤≤=， 由对称性知：()901050.4P X ≤≤=，所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为10000.4400⨯=， 故选：D3．已知随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，若(2)(2)p c p c ξξ>+=<-，则c 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B 【详解】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，∴曲线关于5x =对称，(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，2210c c ∴++-=， 5c ∴=，故选：B .4．若随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，则()2020ξ<=P （ ）A ．12B ．11010C ．14D ．12020【答案】A 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，所以2020u =，根据正态分布图象的对称性可知，图象关于2020x =对称，所以1(2020)2P ξ<=， 5．已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 7，则P (X >4)＝（ ） A ．0.158 8 B ．0.158 65C ．0.158 6D ．0.158 5【答案】B 【详解】随机变量X 服从正态分布N (3，1)，其图象的对称轴为X = 3. 所以()1340.68272P X ≤≤=⨯ 所以()()140.5340.50.68270.158652P x P x >=-≤≤=-⨯= 6．已知随机变量()20,X N σ，若()010.4P X <<=，则()1P X >的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.6【答案】B 【详解】 由随机变量()20,XN σ，可得正态分布曲线的对称轴为0x =，又()010.4P X <<=，∴()()11201120.40.2P X P X >=-<<=-⨯=.7．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-，所以2112a a +-=，解得1a =， 8．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从2(80,)N σ(σ>0)，若ξ在(70，90)内的概率为0.7，则落在[90，100]内的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.15 C ．0.1 D ．0.05【答案】B 【详解】由参赛学生成绩ξ服从2(80,)N σ(σ>0)，可知平均数=80μ，则正态分布的概率密度曲线关于=80μ对称， 因为ξ在(70，90)内的概率为0.7， 所以ξ在(80,90)内的概率为0.35， 所以ξ在[90，100]内的概率为0.5-0.35=0.15.9．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ） A ．0.372 B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C 【详解】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，(11)(3)1(3)10.8720.128P X P X P X ≥=≤=->=-=.10．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.2P ξ>=，则()01P ξ≤≤=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】B 【详解】由于随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，则()()200.2P P ξξ>=<=，因此，()()()010.500.520.50.20.3P P P ξξξ≤≤=-<=->=-=.11．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：mm )服从正态分布()280,5N ，则果实横径在[)75,90的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=；()220.9545P X μσμσ-<<+=.A ．0.6827B ．0.8413C ．0.8186D ．0.9545【答案】C 【详解】由题得5σ=，()8058050.6827P X -<<+=，所以()75850.6827P X <<=，()801080100.9545P X -<<+=， 所以()70900.9545P X <<=，所以()0.95450.682785900.13592P X -<<==，所以果实横径在[)75,90的概率为0.68270.13590.818+=.12．设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a 的方程，解方程即可．详解：∵随机变量ξ服从正态分布N （4，3）， ∵P （ξ＜a ﹣5）=P （ξ＞a+1）， ∴x=a ﹣5与x=a +1关于x=4对称，∴a ﹣5+a+1=8， ∴2a=12， ∴a=6， 故选C ．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 13．已知随机变量()2~1,X N σ，()00.8P X ≥=，则()2P X >=（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】A 【详解】 由()2~1,X N σ，知：随机变量X 的分布函数图象关于1X =对称，∴()(2)01(0)0.2P X P X P X >=<=-≥=；14．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()2,4N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） （附：()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=）A ．2718B ．1359C ．340D ．906【答案】C 【详解】∵()2,4XN -，所以阴影部分的面积()()()10262402S P X P x P x =≤≤=-≤≤--≤≤⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=-=， 则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P =， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为0.135910000339.753404⨯=≈． 15．设随机变量()2,2N ξ，则122D ξ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．12C ．3D ．4【答案】B 【详解】()2,2N ξ，()2D ξ∴=，由方差的性质可得()1111222442D D ξξ⎛⎫+==⨯= ⎪⎝⎭.16．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为 A ．5 B ．3C ．53D ．73【答案】D 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，()()232P a P a ξξ<-=>+， 根据正态分布的特征，可得2326a a -++=，解得73a =. 17．如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）A ．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B ．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C ．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D ．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】B 【详解】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙， 18．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(24)P ξ-<<=（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】D 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线的对称轴为1x =， 因为(4)0.9P ξ<=，所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=，所以()()(24)12410.10.10.8P P P ξξξ-<<=-≤--≥=--=，19．已知随机变量2~0(),N ξσ，且()10.3P ξ≥=，则0()1P ξ-≤≤=（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5【答案】A 【详解】由题意，随机变量2~0(),N ξσ，()10.3P ξ≥=，则()10.3P ξ≤-=，所以，()()()11101110.30.30.222P P ξξ-≤≤=-≤≤=--=. 20．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)σ，(0)σ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ落在(0,80)内的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1C ．0.15D ．0.2【答案】B【详解】ξ服从正态分布2(100,)N σ∴曲线的对称轴是直线100x =，ξ在(80,120)内取值的概率为0.8，ξ∴在(0,100)内取值的概率为0.5，ξ∴在(0,80)内取值的概率为0.50.40.1-=．二、拓展提升1．生产工艺工程中产品的尺寸误差X(单位:mm)~N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm 为合格品,求: (1)X 的密度函数;(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率. 【详解】(1)由题意知()2X ~N 0,1.5, 即μ0,σ 1.5==, 故密度函数()2x -4.5φx .=(2)设Y 表示5件产品中的合格品数,每件产品是合格品的概率为()()P X 1.5P 1.5X 1.50.683≤=-≤≤=, 而()Y ~B 5,0.683,合格率不小于80%,即Y 50.84≥⨯=,故()()()()4455P Y 4P Y 4P Y 5C 0.68310.6830.6830.494.≥==+==⨯⨯-+≈2．一建筑工地所需要的钢筋的长度X~N(8,22),质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米,这时,他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机? 【详解】 由于()2X ~N 8,2,根据正态分布的性质可知,正态分布在()832,832-⨯+⨯之外的取值概率小于0.3%,长度小于2米的钢筋不在(2,14)内,据此质检员应让钢筋工马上停止切割,并对切割机进行检修. 3．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： μm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布()2,N μσ.（1）假设生产状态正常，记X 表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件数，求()2P X ≥及X 的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值μ与标准差σ；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： μm ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据： ()220.9544P X μσμσ-<<+=， ()330.9974P X μσμσ-<<+=，100.99740.9743≈，40.99740.99≈， 30.95440.87≈，90.0260.99740.0254⨯≈， 20.04560.002≈， 35.2 5.9330≈.【详解】（1）由题意知：(0P X =或()()01010*******)10.9974?0.97410.9974?0.9974X C C ==-+-0.97430.02540.9997=+=，()()()210110.99970.0003P X P X P X ≥=-=-==-=，∵()10,0.0026X B ~，∴100.00260.0260EX =⨯=； （2）①97979898105106107108108116104μm 10μ+++++++++==()()()()22222222222776612344123610σ-+-+-+-++++++==，所以6μm σ=②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则X 服从正态分布()2104,6N ，()()33861220.9974P X P X μσμσ-<<+=<<=，零件内径在()86,122之外的概率只有0.0026，而()8586,122∉根据3σ原则，知生产线异常，需要进一步调试．。