四川省绵阳南山中学2020届高三数学12月月考试题理

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2024届四川省绵阳南山中学高三上学期12月月考理数试题及答案

绵阳南山中学高2021级高三上期12月月考试题数学（理科）时间：120分钟满分：150分本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．25B ．27C ．29D ．305．函数π()412sin 2x xf x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝的大致图象为（）．．．．．已知点(0,4)F 是抛物线:C x 的焦点，点(2,3)P ，且点M 任意一点，则||||MF MP +的最小值为（）第II卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分19．（本小题满分12分）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：(1)求x 的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；(2)用分层抽样的方法从[)[)20,40,80,100这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[)80,100这组的概率.20．（本小题满分12分）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）参考答案：因为4956252512=>=，所以445522>⨯，45522⎛⎫>⎪⎝⎭，45522⎛⎫>⎪⎝⎭，因此450.85e2202⎛⎫->->⎪⎝⎭，于是()()f a f c>，又a，()0,1c∈，所以a c>；11a =，①－②，得2111111211112333133333322313n n n n n n n nn T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++⋅⋅⋅+-=-=-⨯-，，20．(1)22143x y+=(2)1y x=±（2）不等式1(1)e 11xf x x ++-≥+即为e ln(1)1x a x ++≥，221314444t t t +++++=，即21)10t t ++=综上，239a b c ＋＋.。

四川省绵阳南山中学2019_2020学年高一数学12月月考试题

13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）当m=2时，A={x|log2x＞m}={x|x＞4}，B={x| 4＜x 4＜4}={x|0＜x＜8}．
∴A∪B={x|x＞0}，A∩B={x|4＜x＜8}；
（2）A={x|log2x＞m}={x|x＞2m}，∁RB={x|x≤0或x≥8}，若A⊆∁RB，则2m＞8，∴m≥3．
17．已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．冬季雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量 (单位：mg/L)与过滤时间 (单位：小时)间的关系为 ( ，均为非零常数，为自然对数的底数)，其中为时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（）
A． B． C． D．
2．已知实数集，集合，集合，则（）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）
A． B． C． D．
4．下列大小关系正确的是（）
（2）由得，从而 .
恒成立等价于，∴
20.解：（1）由且可得，，，解得，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，由有对任意解得
由可得，即，又易知在单调递增.
令则令则，，在有意义对任意的都有恒成立，即， .

2024届四川省绵阳南山中学高三上学期12月月考文数试题及答案

2023年12月绵阳南山中学高2021级高三上期12月月考文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线01=-+y x 是圆1)(22=+-y a x 的一条对称轴，则=a A.21 B.21-C.1D.1-2.已知复数iiz 221-+=，则=-z z A.i - B.i C.0D.13.若抛物线221y px =（0>p ）的焦点到直线1+=x y 的距离等于2，则=p A.1B.4C.22 D.24.若52=a，b =3log 8，则=-ba 34A.25B.5C.925 D.355.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一。

书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为A.53B.103C.56D.1166.在菱形ABCD 中，若2=AC ，则=⋅AB CAA ．2B ．2-C Acos D ．与菱形的边长有关7.过点（0，2-）且与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin A.1B.415 C.410 D.468.已知双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的离心率为5，C 的一条渐近线与圆1)3()2(22=-+-y x 交于A 、B 两点，则=AB A.55B.552 C.553 D.5549.记函数b x x f ++=4sin()(πω（0>ω）的最小正周期为T ，若ππ<<T 32且)(x f y =的图像关于点（23π，2）中心对称，则=)2(πf A.1 B.23 C.25D.310.执行如图所示的程序框图,输出的结果是A.45B.34 C.1 D.211.椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的左顶点为A ，点P 、Q 均在C 上且关于y 轴对称。

2020届高三12月月考数学(理)试题+参考答案

2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的（ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是（） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为（） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角．（l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥，所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==，所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ，又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点，所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ，设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ．故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+，一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦，所以一篇学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532．（2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦．令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+：与椭圆G 交于 A B ，两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ，两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．（1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立，则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点，故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >，则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根，即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，则ln22k e =或11k e≥-，即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->，即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.。

四川省绵阳南山中学2019_2020学年高一数学12月月考试题

四川省绵阳南山中学2019-2020学年高一数学12月月考试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．cos210︒=（） A． B ．12- C ．12D2．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合{|B x y ==，则()ðR A B =（） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤< D ．{|12}x x << 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（） A ．2log (3)y x =+B ．2||1y x =+C ．21y x =-- D ．||3x y -=4．下列大小关系正确的是（）A ．30.440.43log 0.3<<B ．30.440.4log 0.33<<C ．30.44log 0.30.43<< D ．0.434log 0.330.4<<5．设132(2)()log (21)(2)x xe xf x x -⎧<=⎨-≥⎩，则((2))f f =（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．已知扇形的圆心角为6π,扇形所在圆的半径为2，则扇形的面积S =（） A ．3π B ．4π C ．2πD ．π 7．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点(3,4)P -，则sin cos αα+=（）A ．1B ．1-C ．15-D ． 158．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，若实数a 满足2(log )f a +122((g 1l ))o f a f ≤，则a 的取值范围是（）A. [1,2]B. 1(0,]2 C. 1[,2]2D. (0,2]9．函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（）A ．关于点7(,0)12π对称 B ．关于点(,0)12π-对称 C ．关于直线712x π=对称 D ．关于直线12x π=-对称10．已知奇函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()2xf x =，则12(log 23)f =（）A ．1623-B ．2316- C ．1623 D ．2316 11．设实数12,x x 是函数1()|ln |()2x f x x =-的两个零点，则（）A ．1201x x <D ．121x x =12．已知函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+，实数,a b 满足()()4f a f b +=，则2(1)a b +-的最小值为（） A ．1 B ．12 C ．14 D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．若幂函数()af x x =的图象过点，则a = ．14．238()27--= ．15．若(0,)απ∈，且1cos 2sin()24παα=+，则sin 2α的值为． 16．已知函数2(1),0()2,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩若()f x 在3(,)2a a +上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合2{|log },{|444}A x x m B x x =>=-<-<．（1）当2m =时，求,AB A B ；（2）若R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．18．冬季雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为0()ktP t P e -=(0P ，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中0P 为0t =时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物． (1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.)19．已知函数()cos sin()sin().44f x x x x x ππ=++- （1）求函数()f x 对称轴方程和单调递增区间；（2）对任意[,]66x ππ∈-,()0f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数21()(0,1)x xa f x a a a -=>≠．（1）若(1)0f <，对任意x R ∈有21(2)f x kx k a a--<-恒成立，求实数k 取值范围；（2）设22()log [()],(0,1)x xm g x a a mf x m m -=+->≠,若3(1)2f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.绵阳南山中学高2019级12月月考数学试题参考答案一、选择题二、填空题13. 12 14.7415. 1- 16. 1(,0)2-三、解答题17.解：（1）当m=2时，A ={x |log2x ＞m }={x |x ＞4}，B ={x |-4＜x -4＜4}={x |0＜x ＜8}． ∴A ∪B ={x |x ＞0}，A ∩B ={x |4＜x ＜8}；（2）A ={x |log 2x ＞m }={x |x ＞2m }，∁R B ={x |x ≤0或x ≥8}，若A ⊆∁R B ，则2m＞8，∴m ≥3． 18. 解： (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0；当t ＝5时，P ＝90%P 0.于是有90%P 0＝P 0e －5t.解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知01(ln 0.9).5P P e t =当P ＝40%P 0时，有0010.4(ln 0.9).5P P e t =解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215－＝4.600.11≈41.82. 故污染物减少到40%至少需要42小时． 19.解：（1）()2sin )sin )f x x x x x x =++-22112(cos sin )2cos 2sin(2)226x x x x x x π=+-=+=+（3分）由2()6226k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈，由222()26236k x k k x k k Z πππππππππ-≤+≤+⇒-≤≤+∈，所以对称轴是()26k x k Z ππ=+∈，单调增区间是[,],.36k k k Z ππππ-+∈（2）由[,]66x ππ∈-得2[,]662x πππ+∈-，从而1sin(2)[,1]62x π+∈-.()0f x m -≥恒成立等价于min ()m f x ≤，∴1.2m ≤-20. 解：（1）由(),x x f x a a -=-且(1)0f <可得10a a-<，0a >，210a ∴-<，解得01a <<，则xy a =在(,)-∞+∞上单调递减，xy a -=在(,)-∞+∞上单调递增，∴x xy a a -=-在(,)-∞+∞上单调递减，1(1)f a a-=-，由2(2)(1)f x kx k f --<-有对任意2,21,x R x kx k ∈-->-解得44k --<-+222(2)()log [()]log [()()2],x x m m g x a a mf x f x mf x -=+-=-+由3(1)2f =可得132a a -=，即(2)(21)0a a -+=，又0, 2.a a >∴=()22,x x f x -∴=-易知()f x 在(,)-∞+∞单调递增.令()22,x xt f x -==-则2()log (2),m y g x t mt ==-+令22u t mt =-+则log m y u =，22log 3log 322318[1,log 3],(1),(log 3)223233x f f -∈==-=-=，38[,]23t ∴∈()g x 在2[1,log 3]有意义∴对任意的38[,]23t ∈都有220u t mt =-+>恒成立，22mt t ∴<+即2()m t h t t <+=，min 317()()26m h t h ∴<==17(0,1)(1,)6m ∴∈.二次函数22u t mt =-+开口向上，对称轴为直线1117(0,)(,),22212m t =∈对称轴在区间38[,]23的左侧，所以22u t mt =-+在区间38[,]23上单调递增，32t =时min 3178,243u m t =-+=时max 88239u m =-+，设存在满足条件的实数m 则：若(0,1)m ∈，则log m y u =为减函数，max min ()01,g x u =⇔=即317124m -+=，所以13(0,1)6m =∉，舍去；若17(1,)6m ∈，则log m y u =为增函数，max max ()01,g x u =⇔=即882139m -+=，所以7317(1,)246m =∉，舍去；综上，不存在满足条件的实数m .。

绵阳市南山中学2020届高三数学(文)上学期12月考试卷附答案解析

绵阳市南山中学2020届高三上学期12月考数学（文）试卷一、单选题1．己知集合A ={x|x ≤−1}，B ={x|x >0}，则∁R (A∪B)=()A ．{x|x>−1}B ．{x|x≤0}C ．{x|−1≤x <0}D ．{x|−1<x ≤0}2．直线cos 0x y b α++=的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．22223,4G t m g RP mgv B r==C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ⋃3．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，2:(32)0l m x my -+=，则“1m =”是“12l l //”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥ ，则a 与b 的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．设1a >，则0.2log a ，0.2a ，0.2a 的大小关系是（）．A ．0.20.20.2log aa a <<B ．0.20.2log 0.2aa a <<C ．0.20.2log 0.2aa a<<D ．0.20.20.2log aaa<<6．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．312-B ．23-C ．312-D ．31-7．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8．已知数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++有（）A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值52D ．最小值529．已知函数()()(0,0)2f x sin x πωϕωϕ=+><<，12()1,()0f x f x ==，若12min x x -12=，且11()22f =，则()f x 的单调递增区间为（）A ．15[2,2],66k k k Z -++∈B ．51[2,2],66k k k Z -++∈C ．51[2,2],66k k k Z ππ-++∈D ．17[2,2],66k k k Z ++∈10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x=±B ．3y x=±C ．y x=±D ．2y x=±11．已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x <'恒成立，则（）A ．4(1)(2)f f C ．(1)4(2)f f <D ．(1)4(2)f f <'12．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则)()OP PM PO PN +⋅-=（（）A ．20-B ．12C ．-12D ．20二、填空题13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是_______．14．已知点(),Ma b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是________.15．已知函数21,0()31,101x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+-<<⎪+⎩若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________．16．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行车道总宽度AB 为6米，则车辆通过隧道的限制高度是______米（精确到0.1米）三、解答题17．已知函数231()sin 2cos 22f x x x =--．（1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合．（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．18．已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N *∈，且6123112,63S a a a -==.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,n n N b *∈是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.19．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m 为任意实数.（1）求证：直线l 必与圆C 相交；（2）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短？最短弦长是多少？（3）若直线l 被圆C 截得的弦AB 的中点为点M ，求点M 的轨迹方程.20．椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是22，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=- ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由21．已知函数21()ln (1),2f x a x x a x a R =+-+∈.（1）当1a =时，求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若对任意的(,)x e ∈+∞都有()0f x >成立，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为22212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求实数a 的值.23．已知函数()21f x x =-，x ∈R .(1)解不等式()1f x x <+；(2)若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <.解析绵阳市南山中学2020届高三上学期12月考数学（文）试卷一、单选题1．己知集合A ={x|x ≤−1}，B ={x|x >0}，则∁R (A∪B)=()A ．{x|x>−1}B ．{x|x≤0}C ．{x|−1≤x <0}D ．{x|−1<x ≤0}【答案】D【解析】根据集合的并集和补集点运算，即可求解．【详解】由题意，根据集合的并集，可得A ∪B={x |x ≤−1，或x >0}；∴∁R (A ∪B )={x |−1<x ≤0}．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．直线cos 0x y b α++=的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．22223,4G t m g RP mgv B r ==C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ⋃【答案】D【解析】先求直线的斜率并确定其范围，再利用倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】由题意，直线方程可化为：y=﹣xcosα﹣b ∴直线的斜率为﹣cosα∴cosα∈[﹣1，1]设直线xcosα+y+b=0的倾斜角为β∴tanβ∈[﹣1，1]∴β∈][3044πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，故选：D ．【点睛】本题以直线为载体，考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查三角函数的性质，属于基础题．3．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，2:(32)0l m x my -+=，则“1m =”是“12l l //”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据12// l l ，解出m 后，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当12// l l 时，2(32)0m m --=，解得1m =或2m =；当1m =时，1212:10,:0 ,//l x y l x y l l +-=+=；当2m =时，12:210,:20l x y l x y +-=+=，12// l l ，故“1m =”是“12// l l ”的充分不必要条件.故选：B .【点睛】本题主要考查的是两直线平行及充分条件和必要条件，考查学生的逻辑思维能力，是基础题.4．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥ ，则a 与b 的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】根据题意，建立a与b的关系，即可得到夹角.【详解】因为()a b b -⊥ ，所以()=0a b b -⋅ ，则2=0a b b ⋅- ，则222cos =0b θb - ，所以1cos =2θ，所以夹角为π3故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.5．设1a >，则0.2log a ，0.2a ，0.2a 的大小关系是（）．A ．0.20.20.2log aa a <时，0.20.2log 0,00.21,1aa a <<，因此0.20.2log 0.2a a a <<，故选B.6．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．312-B ．23-C ．312-D ．31-【答案】D 【解析】分析：设2PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2PF m =，则12122,3c F F m PF m ===，又由椭圆定义可知122(31)a PF PF m =+=+则离心率22312(31)c c m e a a m====-+，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.7．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】设()42,,Pm m -可得以PC 为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦():221AB m x my -+=，化为()4120x m y x -+-=，由41020x y x -=⎧⎨-=⎩可得结果.【详解】设()42,,,Pm m PA PB - 是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，①又221xy += ，②①-②得():221AB m x my -+=，化为()4120x my x -+-=，由141042012x x y x y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭总满足直线方程，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.8．已知数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++有（）A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值52D ．最小值52【答案】D【解析】根据等比中项的性质得到5a ，再根据等比数列性质化简151959149a a a a a a ++，根据基本不等式即可得到最值.【详解】数列{}n a 是等比数列，325858a a a a ==-∴，520a ∴=-<，而2153a a a =，2195a a a =，2597a a a =，2375a a a =，370,0a a <<，2222215195935737149149191a a a a a a a a a a a ∴++=++=++222373751966511122a a a a a ⋅+=+=+=≥，当且仅当223719a a =即3723,233a a =-=-等号成立.151959149a a a a a a ++有最小值52.故选：D .【点睛】本题主要考查的是等比中项的性质以及等比数列的性质的应用，考查基本不等式，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，是中档题.9．已知函数()()(0,0)2f x sin x πωϕωϕ=+><<，12()1,()0f x f x ==，若12min x x -12=，且11()22f =，则()f x 的单调递增区间为（）A ．15[2,2],66k k k Z -++∈B ．51[2,2],66k k k Z -++∈C ．51[2,2],66k k k Z ππ-++∈D ．17[2,2],66k k k Z ++∈【答案】B【解析】由已知条件12min12x x -=求出三角函数()f x 的周期，再由1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值，结合三角函数的单调性求出单调增区间【详解】设()f x 的周期为T ，由()11f x =，()20f x =，12min 12x x -=，得122422T T πωπ=⇒=⇒==，由1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得11sin 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，又02πϕ<<，∴3πϕ=，()sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．由22232k x k ππππππ-+≤+≤+，得5122,66k x k k Z -+≤≤+∈．∴()f x 的单调递增区间为512,2,66k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．故选B ．【点睛】本题主要考查利用()()sin f x A x ωϕ=+的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．3y x=±C ．y x=±D ．2y x=±【答案】A【解析】作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，可得2a 2OA F B BM a ===，，222F M a =，12F B b =，结合双曲线定义可得2b a =从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，∵1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒∴2a 2OA F B BM a ===，，222F M a =，12F B b=又点M 在双曲线上，∴1222222a F M F M a b a -=+-=整理，得2b a =，∴2ba=∴双曲线的渐近线方程为2y x =±故选：A 【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.11．已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x <'恒成立，则（）A ．4(1)(2)f f C ．(1)4(2)f f <D ．(1)4(2)f f <'【答案】B【解析】试题分析：设函数2()()f x g x x =(0)x >，则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x -='-''=<，所以函数()g x 在(0,)+∞为减函数，所以(1)(2)g g <，即22(1)(2)12f f >，所以4(1)(2)f f >，故选B.【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【技巧点睛】对于已知不等式中既有()f x 又有'()f x ，一般不能直接确定'()f x 的正负，即不能确定()f x 的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()xg x e f x =，()()xf xg x e =等等.12．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则)()OP PM PO PN +⋅-=（（）A ．20-B ．12C ．-12D ．20【解析】【详解】分析：设()()1122,,,M x y N x y ，则()()OP PM PO PN OM NO+⋅-=⋅()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--，由22281608y kxx kx x y-=⎧⇒--=⎨=⎩利用韦达定理求解即可.详解：设()()1122,,,Mx y N x y ，()()OP PM PO PN OM NO∴+⋅-=⋅ ()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--28x y = 的焦点()0,2F ，设过点F 的直线为2y kx -=，22281608y kxx kx x y -=⎧⇒--=⎨=⎩1216x x ⇒=-，128x x k +=，()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2162844k k k =-+⨯+=，()()OP PM PO PN OM NO∴+⋅-=⋅ ()121216412x x y y =--=---=，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.二、填空题13．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是_______．【答案】280x y +-=【解析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程.【详解】直线240x y -+=与50x y -+=的交点为()1,6,垂直于直线20x y -=的直线方程可设为20x y m ++=,所以260,8m m ++==-,即280x y +-=.本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是________.【答案】相交【解析】试题分析：点M （a ，b ）在圆22:1O x y +=外221a b ∴+>，圆心到直线的距离2211d r a b=<=+，因此圆与直线相交【考点】点与圆，直线与圆的位置关系15．已知函数21,0()31,101x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+-<<⎪+⎩若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1(,1)2-【解析】先判断分段函数的单调性，再根据单调性解函数不等式2(3)(2)f a f a ->可得.【详解】当()1,0x ∈-时，()311x f x x +=+，则()()()()()22313112011x x f x x x +-+⋅'==>++，故函数在()1,0-上是增函数.再由21x +在[)0,+∞上是增函数，且00121101++≥=+，可得函数在()1,-+∞上是增函数，又由2(3)(2)f a f a ->，得：2321a a ->>-，解得112a -<<，故实数a 的取值范围是1(,1)2-.故答案：1(,1)2-.【点睛】本题主要考查的是函数的单调性的性质，考查学生对分段函数单调性的掌握情况，注意21a >-，这是解题的易错点，是中档题.16．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行车道总宽度AB为6米，则车辆通过隧道的限制高度是______米（精确到0.1米）【答案】3．2【解析】根据题意可以建立适当的平面直角坐标系，从而可以得到抛物线的解析式，然后根据要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，可以得到当x=-3时，求出相应的y值，此时汽车的顶部离隧道的顶部距离至少是0.5m，从而可以求得车辆经过隧道时的限制高度是多少米．【详解】取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，c（4，-4），设抛物线方程x2=-2py（p＞0），将点C代入抛物线方程得p=2，∴抛物线方程为x2=-4y，行车道总宽度AB=6m，∴将x=3代入抛物线方程，y=-2.25m，--≈∴限度为6 2.250.5 3.2m则车辆通过隧道的限制高度是3.2米.【点睛】本题主要考查了二次模型的实际应用，解题的关键是理解题意.三、解答题17．已知函数231()sin 2cos 22f x x x =--．（1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合．（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．【答案】（1）最小值为2-；{|6x x k ππ=-，}k Z ∈；（2）1a =，2b =【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)16f x x π=--，利用正弦函数的图象和性质即可求解．（2）由已知可求sin(2)106C π--=，结合范围0C π<<，可求3C π=，由已知及正弦定理可得2b a =，进而由余弦定理可得223a b ab +-=，联立即可解得a ，b 的值．【详解】解：（1）23131cos 21()sin 2cos sin 2sin(2)1222226x f x x x x x π+=--=--=-- ，∴当2262x k ππ-=π-，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为2-，此时自变量x 的集合为：{|6x x k ππ=-，}k Z ∈（2）f （C ）0=，sin(2)106C π∴--=，又0Cπ<< ，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，可得：3C π=，sin 2sin B A = ，由正弦定理可得：2b a =①，又3c =，∴由余弦定理可得：222(3)2cos 3a b ab π=+-，可得：223a b ab +-=②，∴联立①②解得：1a =，2b =.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题．18．已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N*∈，且6123112,63S aa a -==.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,n n N b *∈是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）22n 【解析】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入616(1)631a q S q-==-，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得2,1q q ==-或.又由6611631q S a q-=⋅=-，知，所以61126312a -⋅=-，得，所以.（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则.【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．（2）通项公式为,{,n n n b n a c n =为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．19．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m 为任意实数.（1）求证：直线l 必与圆C 相交；（2）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短？最短弦长是多少？（3）若直线l 被圆C 截得的弦AB 的中点为点M ，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）见解析（2）34m =-，最短弦长为45（3）224350x y x y +--+=【解析】（1）通过直线l 转化为直线系，求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置故选即可判断直线l 与圆C 相交；（2）说明直线|被圆C 截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l 垂直，求出斜率即可求出m 的值，再由勾股定理即可得到最短弦长；（3）由CM DM ⊥得弦AB 的中点M 的轨迹方程.【详解】（1）由(21)(1)740,m x m y m m R +++--=∈，得(4)(27)0x y m x y +-++-=，m R ∈ ，40270x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，得3,1x y ==，∴直线l 恒过点()3,1D ，又圆()1,2C ，半径为5，()()22311255CD =-+-=< ，D ∴在圆内，则直线l 必与圆C 相交.（2）由（1）知D 在圆内，当直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短时，⊥l CD ，又211132CD k -==--，则直线l 的斜率为2，即有2121m m +-=+，解得34m =-.此时最短弦长为225545-=.故34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长AB 最短，最短弦长是45.（3）设(),M x y ，又M 为AB 的中点，CM DM ∴⊥，()()1,2,3,1CM x y DM x y =--=--，可得0CM DM ⋅= .()()()()31120x x y y ∴--+--=，即224350x y x y +--+=.【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，熟练掌握直线与圆的位置关系是解决本题的关键，考查转化思想和计算能力，函数与方程的思想的应用，是中档题.20．椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是22，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=- ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）22142x y +=；（2）见解析.【解析】【详解】（1）由已知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ）又点P 的坐标为（0，1），且PC PD ⋅＝－1于是2222112{2b c a a b c -=-=-=，解得a ＝2，b ＝2所以椭圆E 方程为22142x y +=.（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）联立221{421x y y kx +==+，得（2k 2＋1）x 2＋4kx －2＝0其判别式△＝（4k ）2＋8（2k 2＋1）＞0所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋（y 1－1）（y 2－1）]＝（1＋λ）（1＋k 2）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋1＝22(24)(21)21k k λλ--+--+＝－所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3故存在常数λ＝1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.【考点】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.21．已知函数21()ln (1),2f x a x x a x a R =+-+∈.（1）当1a =时，求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若对任意的(,)x e ∈+∞都有()0f x >成立，求a 的取值范围.【答案】(1)32y =-(2)答案见解析；(3)222(1)e e a e -≤-.【解析】试题分析：()1当1a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出曲线()y f x =在1x =处的切线方程；()2求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调性；()3根据函数的单调性求出函数的最小值，即实数a 的取值范围。

四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题

四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|12}A x x =-<<，}{0,1B =，则（） A ．B A ∈ B ．ABC ．BA D ．AB =2．下列函数中与y x =表示为同一函数的是（）A ．21x xy x -=-B ．2y xC ．2log 2xy =D ．ln x y e =3．函数1()2xf x x e =-+的零点所在的一个区间是（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,54．函数2()2log ||xf x x =⋅的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()24x xf x =-()1f x x +的定义域为（） A ．,0B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．()(),11,1-∞--6．若扇形的面积是4cm 2，它的周长是10cm ，则扇形圆心角的弧度数为（）A ．12B ．8C ．12或8 D ．2或187．已知()f x 函数是定义在()()3,00,3-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图象如图所示，则不等式()0f x x -⋅>的解集是（）.A ．(1,0)(1,3)-B ．(3,1)(1,3)--C ．(1,0)(0,1)- D ．(3,1)(0,1)--⋃8．已知函数()()()1,0ln 2,20a x a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+-<≤⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．ln 2a D ．ln 21a <<9．已知π5cos 57α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．57-B ．CD ．5710．若函数()2cos()f x x k ωϕ=++满足对任意t R ∈都有()()66f t f t ππ+=-成立，且()16f π=-，则实数k 的值为（）A ．3-B ．1C ．3D ．3-或111．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，则下列判断正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间3[,]4ππ上单调递增 C ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 的图象关于点7(,0)12π对称 12．已知1x ＝1ln 2，2x ＝12e -，3x 满足33ln xe x -=，则下列各选项正确的是（） A ．132x x x <，例如：121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为__________．16．给出的下列命题： ①已知sin sin αβ>，π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，3ππ,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则παβ+<. ②若正数a ，b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11106a b+=. ③当ππ42x <<时，函数()tan sin 1f x x x x =--+的零点个数为0个. ④若直线2y a =与函数1xy a =-，(0a >且1a ≠)的图像有两个公共点，则a 的取值范围为()0,1.其中正确的是______.(把你认为正确的结论的序号全写上)三、解答题17．已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.18．已知角α的终边过点()1,A m -，且()sin 05m α=≠. （1）求非零实数m 的值；（2）求()()()sin 2cos 3cos cos 2παπαπαπα-++⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值.19．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，π2ϕ<)的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式和对称中心坐标；（2）将()f x 的图象向左平移π6个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最值及对应的x 的值.20．“双十一”期间，某电商准备将一款商品进行打折销售，根据以往的销售经验，当售价不高于20元时，每天能卖出200件；当售价高于20元时，每提高1元，每天的销量减少3件.若每天的固定支出为600元，用x （单位：元，060x <且*)x N ∈表示该商品的售价，y （单位：元）表示一天的净收入（除去每天固定支出后的收入）. （1）把y 表示成x 的函数；（2）该商品售价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入最高是多少. 21．已知函数()412x f x a a=-+(0a >，1a ≠)且()00f =.（1）求a 的值；（2）若函数()()()21xg x f x k =+⋅+有零点，求实数k 的取值范围.（3）当()0,2x ∈时，()22xf x m >⋅-恒成立，求实数m 的取值范围；22．已知函数()()414log xf x kx +=+(k ∈R )，且函数()f x 为偶函数.（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围；（3）若函数()()12421f x xx hx m +=+⋅-，320,log x ⎡⎤∈⎣⎦，是否存在实数m 使得()h x 最小值为4-，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．C 【分析】根据集合关系直接求解即可得答案. 【详解】根据集合真子集的定义得：对任意的x B ∈，均有x A ∈，存在0x A ∈，使得0x B ∉，故BA .故选：C. 2．C 【分析】当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数就是同一个函数，由此逐个分析判断即可【详解】因为10x -≠，1x ≠，定义域不同，因而选项A 错误；2y x x ==，对应关系不同，因而选项B 错误；2log 2x y x ==与给定的函数为同一函数，因而选项C 符合题意； ln (0)x y e x x ==>，定义域不同，因而选项D 错误．故选：C 【点睛】此题考查判断两个函数是否是同一函数，判断的依据是定义域和对应关系分别相同即可，属于基础题 3．B 【分析】计算()()2,3f f 的值，根据零点的存在性定理进行分析，即可判断出零点所在区间. 【详解】因为()()231120,310f f e e =>=-<，所以()()230f f ⋅<，所以1()2x f x x e=-+的零点所在的区间为()2,3，故选：B. 4．A 【分析】利用奇偶性和特殊点的函数值确定正确选项. 【详解】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()22log x f x x --=⋅，所以()f x 是非奇非偶函数，排除CD 选项.当1x =时，()10f =，()2222log 241f =⋅=>，观察图象可知B 选项错误，A 选项正确. 故选：A 5．C 【分析】解不等式组24010x x x ⎧->⎨+≠⎩，即可得出定义域.【详解】24010x x x ⎧->⎨+≠⎩，即22210x x x ⎧>⎨+≠⎩，解得0x <且1x ≠- 即函数()1f x x +的定义域为()(),11,0-∞-⋃- 故选：C 6．A 【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为α，由题意列出关于r 与α的方程组，求解即可得出答案．【详解】解：设扇形的半径为r ，圆心角为α，由题意得2142210r r r αα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得124r α⎧=⎪⎨⎪=⎩或81r α=⎧⎨=⎩（舍去)， ∴扇形圆心角的弧度数为12，故选：A ．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，属于基础题． 7．C 【分析】不等式等价于()0f x x ⋅<，由奇函数的图象特点，再分0x >和0x <两种情况解不等式. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，由图可知，当()0,1x ∈时，()0f x <，则当()1,0x ∈-时，()0f x >，当()1,3x ∈时，()0f x >，则当()3,1x ∈--时，()0f x <，()()00f x x f x x -⋅>⇔-⋅>，即()0f x x ⋅<，当()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()0x f x <⎧⎨>⎩ ，()()0,11,0x ∴∈-.故选：C 8．B 【分析】由于函数的值域为R ，所以可得函数(1)(0)y a x a x =-+>和ln(2)(20)y x x =+-<≤的值域的并集为R ，由此可求出a 的取值范围【详解】解：因为函数()()()1,0ln 2,20a x a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+-<≤⎪⎩的值域为R ，函数ln(2)(20)y x x =+-<≤的值域为(,ln 2]-∞，所以10(1)0ln 2a a a ->⎧⎨-⋅+≤⎩，得1ln 2a a <⎧⎨≤⎩，解得ln 2a ≤，所以a 的取值范围是ln 2a ≤，故选：B 【点睛】此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域是各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题. 9．D 【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式得：7ππππ5sin()sin[()]cos()cos()1025557παααα-=+-=-=-=. 故选：D. 10．D 【分析】通过()()66f t f t ππ+=-判断函数的对称轴，此时函数取得最值，结合()16f π=-，即可求出k 的值. 【详解】因为()2cos()f x x k ωϕ=++，对任意t R ∈都有()()66f t f t ππ+=-成立，6x π∴=是函数()2cos()f x x k ωϕ=++的一条对称轴又()16f π=-21k +=-，解得3k =-，或者21k -+=-，解得1k =故选：D. 【点睛】本题考查了余弦函数的性质①若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则图像关于直线x a =对称 ②若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--，则图像关于点(),0a 对称11．B 【详解】图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，即三角函数的周期为22,,22ππππωω⨯=∴==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,解得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=+∈,错误;D 项, 由2,3x k k Z ππ+=∈,解得对称中心是,0,26⎛⎫-∈⎪⎝⎭k k Z ππ,错误;综上所述,应选B. 12．B 【分析】将331ln x x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭转化为3x 是函数()1ln xf x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点问题，再根据零点存在性定理即可得3x 的范围，进而得答案. 【详解】解：因为函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以11lnln102x =<=；12212101x eee-<===<；因为3x 满足33ln x ex -=，即3x 是方程1ln 0xx e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的实数根，所以3x 是函数()1ln xf x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，函数f (x )在定义域内是减函数，因为()11f e =，()110ef e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数有唯一零点，即()31,x e ∈. 所以123x x x <<. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，本题解题的关键在于将3x 满足331ln x x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭转化为3x 是函数()1ln xf x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，进而根据零点存在性定理即可得3x 的范围. 13．2 【分析】由幂函数的定义可得m 2－m －1＝1，得出m ＝2或m ＝－1，代入验证即可. 【详解】()2223(1)--=--mm f x m m x 是幂函数，根据幂函数的定义和性质，得m 2－m －1＝1．解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f （x ）＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m ＝－1时，f （x ）＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m ＝2．故答案为：2 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目. 14．3-或13【分析】根据2sin cos αα+=R α∈平方，然后利用商数关系得到224tan 4tan 15tan 12ααα++=+求解.【详解】因为2sin cos 2αα+=，R α∈，所以2254sin4sin cos cos 2αααα++=，则224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，整理得23tan 8tan 30αα+-=，解得1tan 3α=或tan 3α=-，故答案：3-或1315．[-1,2] 【详解】由题设可得sin ,sin cos (){cos ,sin cos x x xf x x x x≤=>，在同一平面直角坐标系中画出正弦函数、余弦函数的图像如图，结合图像可知：min max ()1,()f x f x =-=，故函数sin ,sin cos(){cos ,sin cos x x x f x x x x ≤=>的值域为[-，应填答案[-． 16．③对于①，利用诱导公式及正弦函数单调性即可判断；对于②，利用对数换底公式、比例的性质即可得出；对于③，利用三角函数线及正弦函数的值域可判断；对于④，y ＝|a x ﹣1|的图象由y ＝a x 的图象向下平移一个单位，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，分a ＞1和0＜a ＜1两种情况分别作图可判断．【详解】对于①，∵sin sin()sin απαβ=->，又π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则3ππ,2πα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴παβ-<，即παβ+>，∴①错误；对于②，∵正数a ，b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+， ∴()()()()4271082366lg a lg b lg ab lg a b lg lg lg lg +===，∴108ab ＝a +b ，则11a b+=108．∴②错误；对于③，由图中三角函数线可知，在单位圆中设BOA x ∠=，则弧AB 为x ，有向线段AT 为tanx ，当ππ42x <<时，显然tan x x >，且sin 10x -+>，所以()tan sin 10f x x x x =--+>在ππ42x <<上恒成立，所以③正确；对于④，y ＝|a x ﹣1|的图象由y ＝a x 的图象向下平移一个单位，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，分a ＞1和0＜a ＜1两种情况分别作图．当a ＞1时不合题意；0＜a ＜1时，需要0＜2a ＜1，即0＜a 12＜． ∴④错误；故答案为：③. 【点睛】方法点睛：③函数可以利用分组判正负来得函数值与0的大小关系. 17．（1）{}|36x x -<≤；（2）[][)1,24,-+∞【分析】（1）将3m =代入可得集合B ，解对数不等式可得集合A ，由并集运算即可得解. （2）由AB B =可知B 为A 的子集，即B A ⊆；当B =∅符合题意，当B 不为空集时，由不等式关系即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤，故{}|36AB x x =-<≤；（2）因为AB B =，故B A ⊆；若213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意；若213m m -<+，即4m <时，21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤；综上所述，实数m 的取值范围为[][)1,24,-+∞.【点睛】本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.18．（1）2m =±；（2）13-或3-. 【分析】（1）利用三角函数的定义可得出关于实数m 的方程，进而可解得实数m 的值；（2）由题意可得出tan 2α=±，利用诱导公式化简所求代数式，在所得分式的分子和分母中同时除以cos α，代入tan α的值计算即可得解. 【详解】（1）由三角函数定义可得()sin 05m m α==≠，解得2m =±；（2）由题可知，tan 2m α=-=±.()()()sin 2cos sin cos sin cos tan 13cos sin cos sin 1tan cos cos 2παπααααααπααααααπα-++--++===-+--⎛⎫--- ⎪⎝⎭.当tan 2α=时，原式21312+==--；当tan 2α时，原式()211123-+==---.综上所述，原式为13-或3-. 19．（1）()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，对称中心的坐标为ππ,126k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ；（2）5π6x =时，()g x 取得最小值2-；0x =时，()g x. 【分析】（1）由图象可求A ，B ，T ，利用周期公式可得ω，由图象及五点法作图可求ϕ，即可得解()f x 的函数解析式，令23x k ππ+=，k Z ∈，解得()f x 的对称中心的坐标．（2）由已知的图象变换过程可得2()2sin()3g x x π=+，结合x 的范围，可求22[33x ππ+∈，11]6π，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【详解】解：（1）由图象可知13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得：2A =，1B =-，又由于7ππ21212T =-，可得：πT =，所以2π2Tω==，由图象及五点法作图可知：ππ2122ϕ⨯+=，所以π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 令π2π3x k +=，k ∈Z ，得ππ26k x =-，k ∈Z ，所以()f x 的对称中心的坐标为ππ,126k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，k ∈Z . （2）将()f x 的图象向左平移π6个单位，得到ππ2π2sin 212sin 21633y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到2π2sin 13y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；将图象向上平移1个单位，得到2π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即()2π2sin 3g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为7π06x ≤≤，所以2π2π11π336x ≤+≤，所以当2π3π32x +=，即5π6x =时，()g x 取得最小值5π26g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2π2π33x +=，即0x =时，()g x 取得最大值()0g =20．（1）2200600,020,3260600,2060,x x x N y x x x x N **⎧-<∈=⎨-+-<∈⎩；（2）当该商品售价为43元时，一天的净收入最高，是5033元. 【分析】（1）根据净收入=售价⨯销售量-成本，分020x <和2060x <两种情况，分段写出y 关于x 的关系式即可；（2）结合一次函数、二次函数的图象与性质，分020x <和2060x <两种情况，计算出各自区间上的最大值，取较大者即可. 【详解】解：（1）当020x <时，200600y x =-，当2060x <时，2[2003(20)]6003260600y x x x x =---=-+-，*2*200600,020,3260600,2060,x x x N y x x x x N⎧-<∈∴=⎨-+-<∈⎩. （2）当020x <时，200600y x =-为增函数，20x ∴=时，y 取得最大值，为200206003400⨯-=，当2060x <时，221301510032606003()33y x x x =-+-=--+， *x N ∈，∴当43x =时，y 取得最大值，为5033，又50333400>，∴当该商品售价为43元时，一天的净收入最高，是5033元.21．（1）2a =；（2）1k <；（3）1320m ≤. 【分析】（1）根据()412xf x a a =-+(0a >，1a ≠)，由()40102f a=-=+求解；（2）将函数()21xg x k =-+有零点，转化为函数2xy =的图象和直线1y k =-有交点求解；（3）将当()0,2x ∈时，()22xf x m >⋅-恒成立，令2x t =，转化为()()323112111t m t t t t t t t +<-==++++求解.【详解】（1）函数()412x f x a a=-+(0a >，1a ≠)，由()40102f a =-=+，求得2a =，故()421122221x xf x =-=-⋅++. （2）若函数()()()2121221xxxg x f x k k k =++=+⋅-+=-+有零点，则函数2xy =的图象和直线1y k =-有交点，在同坐标系中作出函数2xy =的图象和直线1y k =-，如图所示：由图象知：10k ->，求得1k <.（3）∵当()0,2x ∈时，()22xf x m >⋅-恒成立，即212221x xm ->⋅-+恒成立，令2xt =，则()1,4t ∈，且()()323112111t m t t t t t t t +<-==++++. 因为121y t t =++在()1,4x ∈上单调递减，∴121213144120t t +>+=++，∴1320m ≤.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<. 22．（1）12k =-；（2）(],0-∞；（3）存在，4m =-. 【分析】（1）根据()f x 为偶函数，由()()f x f x -=求解；（2）将函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，转化为方程()4log 41=+-x a x 无解求解；（3）由题意()42x x hx m =+⨯，[]20,log 3x ∈，令[]21,3x t =∈，转化为()2t t mt ϕ=+，[]1,3t ∈，由对称轴2m t =-，分12m -≤，132m <-<，32m-≥三种讨论求解. 【详解】（1）∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，即()()()()()4141414144444log log log 1log x xxxxf x kx kx k x kx -++++-=-=-=-+=+，∴()1k k -+=， ∴12k =-. （2）由题意知方程()411log 4122xx x a +-=+即方程()4log 41=+-x a x 无解，令()()4log 41xg x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点.∵()()444411log 41log log 144x xx xg x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，任取1x ､2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<， ∴121144x x >，∴()()12124411log 1log 1044xx g x g x ⎛⎫⎛⎫-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数.∵1114x +>，∴()41log 104xg x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. ∴a 的取值范围是(],0-∞. （3）由题意()42x x hx m =+⨯，[]20,log 3x ∈，令[]21,3xt =∈，()2t t mt ϕ=+，[]1,3t ∈， ∵开口向上，对称轴2m t =-. 当12m-≤，即2m ≥-时，()()min 114t m ϕϕ==+=-， ∴5m =-(舍去).当132m <-<，即62m -<<-时，()2min 424m m t ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，∴4m =-，当32m -≥，即6m ≤-，()()min 3934t m ϕϕ==+=-，133m =-(舍去). ∴存在4m =-得()h x 最小值为0. 【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．。

2020届四川省绵阳市南山中学实验学校高三下学期入学考试数学(理)试题Word版含解析

2020届四川省绵阳市南山中学实验学校下学期入学考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求. 1．若集合A={x|x 2﹣4x ﹣5=0}，B={x|x 2=1}，则A ∩B=（）A ．﹣1B ．{﹣1}C ．{5，﹣1}D ．{1，﹣1} 2．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（）A ．﹣1+iB ．﹣1﹣iC ．1+iD ．1﹣i3．已知向量13(,)22BA =uu v ，31(,)22BC =uu u v ，则ABC ∠=（）A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒ 4．已知α，β，γ是三个不同的平面， 1l ，2l 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若1//l α，1l β⊥，则//αβC ．若//αβ，1//l α，2//l β，则12//l lD ．若αβ⊥，1l α⊥，2l β⊥，则12l l ⊥ 5.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．25-B ．25C ．210-D ．2106. 设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<7．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c bb c+最大值为（）A ．2B ．2C ．22D ．49．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A ．3πB ．12πC ．2πD ．7π10．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（） A.4π B.92πC.6πD.323π11.过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点2F ，若1132k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．1(0,)2 B ．2(,1)3 C ．12(,)23 D ．12(0,)(,1)23U12.若函数()f x 在区间A 上，a ∀，b ，c A ∈，()f a ，()f b ，()f c 均可为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”．已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．212(,)e e e + B ．2(,)e +∞ C ．1(,)e+∞ D ．22(,)e e ++∞ 二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分．答案填在答题卡上．13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3，则= ．14．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止的不同取球种数为．15．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件若z=2x+y 的最小值为1，则a= ．16．设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M （，0）的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2,60c C ==︒. （1）求sinA sin a bB++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计绵阳市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：网购金额（单位：千元）频数频率（0，0.5] 3 0.05 （0.5，1] x p （1，1.5] 9 0.15 （1.5，2] 15 0.25 （2，2.5] 18 0.30 （2.5，3] y q 合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上. （1）当1:1:2AE EA =时，求证1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）已知中心在坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，若△AOB 的面积为．且直线AB 经过点P （﹣2，3）（1）求椭圆C 的方程；（2）过点S （﹣，0）的动直线l 交椭圆C 于M ， N 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以MN 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数g （x ）=+lnx 在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f （x ）=mx ﹣﹣lnx （m ∈R ）．（1）求θ的值；（2）设h （x ）=，若在[1，e]上至少存在一个x 0，使得f （x 0）﹣g （x 0）＞h （x 0）成立，求m 的取值范围．选做题。

四川省绵阳市2020届高三12月月考数学理试题Word版含答案

2016年秋高2014级12月质量检测数学（理科）试题（完卷时间：50分钟题卷：100分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

）1．已知集合{}1,A i =-，i 为虚数单位，则下列选项正确的是( )A ．i A -∈B ．1A i∈ C ．3i A ∈ D ． 11i A i+∈- 2．某射击运动员在一次测试中射击10次，其测试成绩如右表，则该运动员测试成绩的中位数是( )A ．2B ．8C ．8.5D ．93．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石4．若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.6]2,[ 2.6]3=-=-，执行如图所示的程序框图，记输出的值为0S ，则103log S = ( )A. 1- B ．0 C ．1 D ．25．已知直线230x y +-=的倾斜角为θ，则sin cos sin cos θθθθ+-的值是( ) A ．13B ．2-C ．3-D ．3 6．如右图，直角梯形OABC 中，//AB OC ，1AB =，2OC BC ==，直线:l x t =截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数()S f t =的图像大致为图中的( )7．将函数()cos2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称 B ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 8．甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在乙、丙两位前面。

2020届四川省绵阳南山中学高三三诊模拟考试数学(理)试卷及解析

2020届四川省绵阳南山中学高三三诊模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四选项中,只有一项符合题目要求1.若集合{}(2)0A x x x =->,{}10B x x =->,则A B = A. {}10x x x ><或 B. {}12x x << C. {|2}x x > D. {}1x x > 【答案】C【解析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <,利用集合的交集运算求得A B ={|2}x x >.【详解】因为{|2A x x =>或0}x <,{}1B x x =>,所以A B ={|2}x x >,故选C.2.若复数z 满足)1z z i +=,复数z 的共轭复数是z ,则z z +=（）A. 1B. 0C. 1-D. 12-+ 【答案】C【解析】根据复数代数形式的运算法则求出z ,再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】解：∵1z =,∴12z ==-,则12z =-, ∴1z z +=-,故选：C ．3.在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ,若3,4,120a b C ︒==∠=,则c =（）A. 37B. 13C. 13D. 37【答案】D 【解析】直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=,∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=,∴37c =,故选：D ．4.直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切【答案】D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离,再与半径作比较,由此可得出结论．【详解】解：由题意,圆221x y +=的圆心为()0,0O ,半径1r =,∵圆心到直线的距离为222abd a b =+,222a b ab +≥,1d ∴≤,故选：D ．5.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且2AE EO =,则ED =（）A. 1233AD AB - B. 2133AD AB +。

四川省绵阳南山中学2020届高三数学12月月考试题 理

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