第十一章 网络图论和网络方程

补图：如果把一个图G 分成两个子图，而且两个子图中 没有相同的支路，但它们共同包括了原图G 中的全部支路， 则称此两个子图互为补图。
如 a
2 1
3 b 4
5 6
1
c
a
2
3 b
c
互为补图
b
5
4 6
c
G
d
补图特点： (1)互补性只对支路而言；
子图G1
d
子图G2
d
(2)互补的子图之间必有共同的节点。
四、图的树
2. 网络的拓扑图 定义： 对一个电网络，为突出其结构特点，将 电网络中的每个元件用一条线段代替后所得到的联 接图形称为该电网络的拓扑图，简称网络的图，一 般用G表示。 如
a
i3 R3 i S2 i2
1
1
+
u S1
i1
3 2 5 G
4 6 1 3 2 5 4 6 2
3 5 G
4 6
b
L5 i5 d
问题：旅行者沿着12面体的边，找一条经过所有城市恰 好一次而最后返回原来的出发城市的闭合回路。该回路 称为哈密尔顿圈。
3．四色问题
问题：一张画在球面或平面上的地图，相邻国家如果 涂以不同的颜色，只用四种颜色是否足够？ 4．求电路的拓扑解问题 1845年，基尔霍夫提出了电路中两个最重要的定律 KVL和KCL。
注意：图中的节点与原基础理论中的节点不同，两 个元件串联线段的联接点就是图中的一个节点(顶点)。
三、连通图、有向图和子图 1. 连通图和非连通图 在图中的任两个节点(顶点)之间至少存在一条沿着支 路(边)相连通的图称为连通图，否则称为非连通图。
b
a
b d
c d
a

f c
e
连通图
R4 i 4
c
C6 i6
1 3 4
2 56 G
G 图的特点： (1) 图只保留原电网络的联接关系； (2) 图中的线段长短和曲直无关紧要。
也可以这样定义：由有限个点的集合以及连接两点的 若干条线段所组成的图形。
G {V , E }
V —顶点集（节点）
E —边集（支路）
V={a,b,c,d} E={1,2,3,4,5,6} 顶（节）点数 |V|=N 边数 |E|=B 说明： （1）关联 相邻； （2）几个元件可算作一个支路； （3）电路与拓扑图中的编号一致； （4）图的形状； （5）点和边的删除。
概述 图论的起源与发展 1．哥尼斯堡七桥难题 问题：能否从任一陆地出发，走遍七桥，且每桥只走 一次，又回到原出发点。 欧拉结论：实现一笔画的充要条件，奇次点数等于0 或2。 欧拉圈：奇次点数=0，从任一点出发，一笔画回到原 出发点。 欧拉路：奇次点数=2，一笔能画出来的路。
2．哈密尔顿环球旅行问题 1857年英国数学家哈密尔顿发明了一个玩具。一个木制 的正12面体，每面是个五角星，三交于一角，共20个 角，每个角标注世界上一个重要城市。
2 5 2 5 6
6
5
6
6
G
d
集合写法 d T1:{2,5,6}
d d ，T2:{3,5,6} ， T3:{3,4,6}
2. 树支、连支和树余(连支集) (1) 树支：组成树的每个支路称为树支，用T支表示。 (2) 连支：对一个图G 除去所选树的树支以外的每个 支路称为连支，用L支表示。 (3)树余(连支集)：与树互补的子图称为树余，又称 连支集，用L表示。 如 1 b 3 b a a c c 3 b4 a c 5 2 5
非连通图
今后凡不特别指明时，皆为研究连通图。
2. 有向图 所有支路都指定了方向的图，则称为有向图，在有 向图中，支路方向用于表示电路中电压与电流的关联参考 方向。
+ u S1 b L5 i5 d i1 R4 i 4 1
a
i3 R3 i S2
i2
a
c C6 i6
3 b 4 2 5 6
如 c 3 a b i3 + u3 -
二、图的边(支路)、顶点(节点)
1. 边(支路)：图中所替代每个元件的线段称为图的
边，或称图的支路。用B表示边数(支路数)
注意：图中的支路与原基础理论中的支路不同，代表 每个元件的线段就是图中的一个支路(边)。
2. 顶点(节点)： 图中每边的两个端点，或两个和两
个以上边的联接点称为图的顶点，或称图的节点。用N表 示顶点数(节点数) 。
的子图。 条件(1)：该子图包括原图G中的全部节点。 条件(2)：该子图是一个连通图。
1. 树的定义：一个图G 的树是指具备下述 3个条件
条件(3)：该子图不含有回路。 包括原图中的全部节点，但不含有回路的一个连通 子图称为原图的一个树，用T 表示。 如 1 b 3 b 4 a c b 3 a c 3 b 4 a c a c
有向图 G 两条规定： (1) 图中各边的方向与所对应电路中各元件上的电 流方向一致；
(2)取各支路的电压与电流方向为关联方向。
d
3. 子图和补图 实例
1 1
a
2
3 b 4 5 6
c = a
2
3 b
c +b 4
5 6
c
G1和G2 的总和包括 了G 的全部 支路和节点。
G
d
G1
d
G2
d
子图：如果图G1 是图G 的一部分，即G1中的每 个支路和节点都是图G中的支路和节点，则称图G1 为图G 的一个子图。 G1 和 G2 都是G 的子图。
本章要求
二、熟练掌握节点关联矩阵，基本回路矩阵和 基本割集矩阵以及网孔矩阵的列写方法。 三、着重掌握网络图论中的节点分析法。
一、重点掌握有关网络的拓扑图中的基本知识。
四、简介网络图论中的网孔分析法，回路分析 法和割集分析法。
说明：补充教材中的§11-6 含受控源电路的节点分 析法和§11-8 灵敏度分析，不作要求。
11-1 网络的图 一、网络的拓扑图 1. 拓扑关系式 实例 设一电路如图
+
KCL 2b法方 ｝取决于电路结构 ｛ KVL 程理论 －取决于支路元件 VCR 选支路电压和支路电流为 u S1 电路变量，设 其 为 关 联方向， - i1 沿网孔方向巡行有 1 R4 i i3 R3 4 i1+i3-i2=0 a c 此方程组只 b i4+i5-i3=0 取决于电路结构。 L5 3 C6 i6-i4-i1=0 i S2 2 将此方程组 i u u u =0 6 i2 i5 1 4 3 称为电网络的一组 u2+u3+u5=0 “拓扑”关系式。 d u4+u6-u5=0 结构数据： 网孔数m =3； topology “拓扑”汉译有“结构”之意。 节点数n =4 ； 结论：若已知电网络的结构，即可 支路数b =6 。列出各支路电压和电流的一组拓扑关系 元件编号即 式，此组关系式与各支路元件的种类和 为支路编号。 性质无关。