《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题

x1 x2 x3 2
s.t.
x12x1x2
x3 x2
1 x3
2
x1 0; x2 , x3 ?
•
这样所有的约束条件均为“≤”和“=”类型，按前述对
应关系原则，可写出其对偶问题为：
minW ( y) 2 y1 y2 2 y3
y1 y2 2 y3 1
s.t.
y1 y1
y2 y2
min W ( y) 2 y1 6 y2 0 y3/ 0 y3//
y1
s.t.
0
y1
y1
2 y2 y3/ y3// 0
y2
y/ 3
y3/ /
2
6 y2 3 y3/ 3 y3//
5
y1
,
y2
,
y/ 3
,
y3/ /
0
13
OR:SM
• 再设y/3-y//3=y3，代入上述模型得：
始问题，则（3-2）称为对偶问题。
8
OR:SM
• 3.1.2 对称型线性规划问题——对称型对偶问题
•
• 每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问题 存在。先讨论对称型对偶问题；对于非对称型对偶问题， 可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直接从 非对称型进行分析。
• 对称型线性规划问题数学模型的一般形式为
变量 m个
约束 ≤ ≥
= （方程） 系数矩阵
b c
变量 ≥0 ≤0
无非负约束 转置
c b
19
OR:SM
•
这样对于任意给定的一个线性规划问题，均可依据上述
对应关系直接写出其对偶问题模型，而无须先化成对称型。
• 例3 写出下列线性规划的对偶问题
max Z ( x) x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
7
OR:SM
• 首先，分析这两个模型之间的对应关系：
• （1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类 型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“≥”类型；
• （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数； • （3）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的目
标函数的系数（成本系数）； • （4）两个问题的系数矩阵互为转置。 • 我们把这种对应关系称为对偶关系。如果把（3-1）称为原
s.t.
2x1 x2 x1 x2 3
6x3 x3 0
6
x1, x3 0; x2 ?
• 写出其对偶问题
解：（1）首先把上述非对称型问题化为对称型问题。
①在第一个约束条件的两边同×（-1）
②把第三个约束方程分解成两个
x1-x2+3x3≤0
和
x1-x2+3x3≥0
再将后一个两边同×（-1）改写成
(3 3)
9
OR:SM
• 这种模型的特点是：
•
（1）目标函数是最大化类型(或是最小化类型)；
• （2）所有约束条件都是“≤”型（或都是“≥”型）；
• （3）所有决策变量都是非负的。
•
如果把（3-3）作为原始问题，根据原始与对偶问题
的对应关系可得（3-3）的对偶问题为
minW ( y) b1 y1 b2 y2 L bm ym
max Z (x) c1x1 c2 x2 L cn xn
Y1
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
Y2 …
s.t.
La21Lx1
L
a22 x2 L LLLL
a2n xn LL
b2
ym
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
x1, x2 ,L , xn 0
y1 2 y2 y3 0
s.t.
0yy11
y2 y3 2 6 y2 3y3
5
y1, y2 0, y3 ?
17
OR:SM
•
综合上述两个例子，可以看出，线性规划与其对偶模型
的关系有了新的拓展：
• （1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”或
“=”类型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“≥”
a11 y1 a21 y2 L am1 ym c1
s.t. La12Ly1L
a22 y2 L LLLL
L
am2 ym L
c2
a1n y1 a2n y2 L amn ym cn
y1, y2 ,L , ym 0
(3 4)
10
OR:SM
• 用矩阵表示的原始问题（3-3）和对偶问题（3-4）为
买卖双方开始对资源的出让价格问题进行磋商，希望寻找一
个双方都认为比较满意的合理价格。
• 分析：设A、B、C三种材料的单价分别为y1、y2、y3.
•
对于卖方来说，生产单位甲产品所获收益为4万元，为保
证其总收入不少于405/2万元，则将生产单位甲产品所需资源
转让出去，该企业的收入不能少于4万元。故y1、y2、y3必须
minW ( y) 2 y1 6 y2 0 y3
y1 2 y2 y3 0
s.t.
0 y1 y1
y2 y3 2 6 y2 3y3
5
y1, y2 0; y3 ?
14
OR:SM
• 例2 将例1模型中的x2改为无非负约束变量，即模型为
max Z ( x) 2x2 5x3
x1 x3 2
80 90
x1, x2 0
(3 1)
运用单纯形法，可求得其最优解为：
x1 45 / 2, x2 45 / 2 Z (x) 405 / 2
5
OR:SM
• 新问题：现在从另一角度来讨论这个问题。
•
假设该企业经过市场预测，准备进行转产，且把现有三
种材料进行转让，也恰好有一个制造商急需这批材料。于是
满足约束条件： y1+2y2+y3≥4
•
同样，将生产单位乙产品所需的资源转让出去，其收入
不能少于生产单位乙产品的收益5万元，所以y1、y2、y3还必
须满足约束条件： y1+y2+3y3≥5
6
OR:SM
•
对于买方来说，他希望在满足上述约束条件下使总的
支出 • 达到最小。
W（y） =45y1+80y2+90y3
Y1
x1
6
Y2
x2 8
Y3
s.t.
x1
x2
7
Y4
3
x1
x2
15
Y5
x2 1
x1, x2 0
(3 7)
• 解：该问题仅有两个变量，但约束较多，其对偶问题为
minW ( y) 6 y1 8y2 7 y3 15y4 y5
y1 y3 3y4 4 s.t. y2 y3 y4 y5 3
根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶模型。
2、对偶性定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的 目标函数值相等。
22
OR:SM
• 3.1.5 对偶问题的最优解
• 重要推论： • 1.原始问题单纯形表中松驰变量的检验数恰好对应着对偶
问题的一个解。 • 2.原始问题单纯形表中,原始问题的松弛变量的检验数对应
-x1+x2-3x3≤0
12
OR:SM
• ③转换成对称型
max Z ( x) 0 x1 2 x2 5x3
Y1
x1 0 x2 x3 2
Y2 Y/3
s.t.
2 x1 x2 x1 x2 3
6 x3 x3 0
6
y//3
x1
x2
3x3
0
x1, x2 , x3 0
（2）写出相应的对偶问题（4个约束，分别对应4个对偶变量 y1、y2、y/3、y//3）
2
OR:SM
§3-1 线性规划的对偶理论
•
每一个线性规划问题都有一个与之相伴随的另一个问题。
这两个问题：一是，在数学模型上有着对应关系；二是，从
一个问题的最优解完全可以得出另一个问题最优解的全部信
息。
• 3.1.1 问题的提出
•
例1 引入一个资源价格问题。
3
OR:SM
类似于第2章例1的生产计划问题。某企业生产甲、乙两种 产品，需消耗A、B、C三种材料。据市场分析，单位甲、 乙产品的销售收益分别为4万元和5万元。单位甲、乙产品 对材料的消耗量及材料的供应量如表3.1所示。
2 y2 y2
y
y3/ y3//
/
3
y3/ /
2
0
s.t.0 y1 y2 y3/ y3// 2
y1 6 y2 3y3/ 3y3// 5
y1
,
y2 ,
y/ , 3
y3/ /
0
令y/3-y//3=y3,并将第二和第三个条件合并为方程，得
minW ( y) 2 y1 6 y2 0 y3
或“=”类型；
• （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数；
• （3）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的目
标函数的系数（成本系数）；
• （4）两个问题的系数矩阵互为转置;
• （5）一个问题的第i个约束为“=”，则另一个问题的第i个
变量为“无非负约束变量”（自由变量）。反之，一个问题
s.t.
x1
x2
x3
1
2x1 x2 x3
2
x1 0; x2 , x3 ?
解：因目标函数为“max”类型，则约束条件应为“≤”和 “=”类型，故只需改变第三个约束条件的不等号方向， 即有：
2x1 x2 x3 2
20
OR:SM
原问题即为：
Y1 Y2 Y3
max Z (x) x1 2x2 x3
原问题：应如何制定生产计划，使总收益为最大。
表3.1
产品材料
甲
乙
供应量
A
1
1
45
B
2
1
80
C
1
3
90
收益
4万元/单甲
5万元/单乙
4
OR:SM
设计划安排：x1为甲产品的产量， x2为乙产品的产量。（决策变量）
则，该问题的数学模型为：
max Z (x) 4x1 5x2
x1 x2 45
s.t.2x1x1 3xx22
-x1+x2-3x3≤0
15
OR:SM
•
③令x2=x/2-x//2.其中x/2,x//2≥0
• ④转换成对称型
max Z ( x)
0 x1
2x/ 2
2 x2/ /
5x3
Y1
x1
0x/ 2
0 x2/ /
x3
2
Y2
2x1 x2/ x2/ / 6x3 6
Y/3
s.t. x1
x2/
max Z (x) CX minW ( y) Yb
AX b
s.t.
X
0
YA C s.t.Y 0
• 其中Y=（y1,y2,…,ym）,其它同前。
• 3.1.3 一般问题的对偶问题——非对称型对偶问题
• • 线性规划有时以非对称型出现，那么如何从原始问题写出
它的对偶问题呢？
11
OR:SM
• 例1 写出下列线性规划的对偶问题
x2/ /
3x3
0
y//3
x1 x2/ x2// 3x3 0
x1 ,
x/ 2
,
x2/ /
,
x3
0
（2）写出相应的对偶问题（4个约束，分别对应4个对偶变量 y1、y2、y/3、y//3）
16
OR:SM
minW ( y) 2 y1 6 y2 0 y3/ 0 y3//
0
y1 y1
y3 y3
2 1
y1, y3 0, y2 ?
21
OR:SM
3.1.4 对偶问题的基本性质
设原始问题为： max Z (x) CX , AX b, X 0 (3 5)
则其对偶问题为： minW ( y) Yb,YA C,Y 0 1、对称性定理
(3 6)
对偶问题的对偶是原始问题。
的第i个变量为“无非负约束变量”，则另一个问题的第i个约
束为“=”（方程）。
18
OR:SM
关于线性规划的原始问题与对偶问题的对应关系可归纳成 下表3.2
原始问题(或对偶问题)
对偶问题(或原问题)
目标 max
目标 min
变量 n个
约束 n个
变量 ≥0 ≤0
无非负约束
约束 ≥ ≤ =（方程）
约束 m个
•
综上所述，资源价格问题的数学模型可描述为：
minW ( y) 45y1 80 y2 90 y3
y1 2 y2 y3 4
s.t.
y1
y2
3 y3
5
y1, y2 , y3 0
(3 2)
• 上述两个模型（3-1）和（3-2）是对同一问题的两种不 同考虑的数学描述，其间有着一定的内在联系，将逐一剖 析。
于对偶问题的决策变量;而原始问题的决策变量的检验数对应 于对偶问题的松弛变量,只是符号相反。
• 注意：在两个互为对偶的线性规划问题中，可任选一个进行 求解，通常是选择约束条件少的，因求解的工作量主要受到 约束条件个数的影响。
23
OR:SM
• 例4 求解下列线性规划问题
max Z ( x) 4 x1 3x2
《管理运筹学》
第3章
李存芳 博士/教授/硕士生导师
研究领域：战略管理、组织行为、运营管理 讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、运营管理
经济学 单 位：江苏师范大学商学院 物流管理系 E-mail：licf66@
第 3 章 线性规划的对偶问题
内S容ub 提titl要e
第一节 线性规划的对偶理论 第二节 对偶单纯形法
max Z ( x) 2x2 5x3
x1 x3 2 s.t. 2x1x1 x2x23x63x306
x1, , x3 0
解：（1）首先把上述非对称型问题化为对称型问题。
①在第一个约束条件的两边同×（-1）
②把第三个约束方程分解成两个
x1-x2+3x3≤0
和
x1-x2+3x3≥0
再将后一个两边同×（-1）改写成