《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题
管理运筹学03对偶问题
解：对偶规划：
minW=2y1 +3y 2 -5y3 +y 4 y1 + y 2 -3y3 +y 4 5 2y +2y3 -y 4 4 1 y 2 +y3 +y 4 6 y1 0, y 2 0, y3 0, y 4无约束
12
写出下列线性规划的对偶问题
13
性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题
max Z=C X s.t. AX≥b X ≥0
min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 (D)的可行解，则必有
和0 分别是问题(P)和 X Y0
m
CX Y b
0 0
Hale Waihona Puke Baidu即： c j x j yi bi
2
5 x 15 6 x 2 x 24
1 2
x x 5
1 2
厂 家
x,x 0
1 2
y 设：设备A —— 1
元／时 元／时
y2 设备B ––––
y3 调试工序 ––––
元／时
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
收 购
厂家能接受的条件：
5 y1 2 y 2 5 y1 4 y 2 3 s.t. y1 3 y 2 2 8 y1 2 y 2 4 y1 0, y2无约束
线性规划对偶问题
线性规划对偶问题
线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：
最小化 C^T * X
约束条件 A * X >= b
X >= 0
其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：
最大化 b^T * Y
约束条件 A^T * Y <= C
Y >= 0
其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任
意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。这意味着对于原问题的
任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=
b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
《运筹学》ch03线性规划对偶理论及其应用
原线性规划问题（LP） 原问题（LP）的对偶问题（LD）
min z cx
s.t.
Ax b x0
max w ub s.t.uuA0c
对偶问题的变量表示
单位资源的价值。
最小化问题的对偶问题的一般步骤
① 对偶问题是最大化； ② 当原问题有n个决策变量，则对偶问题有n个约束条件。对偶问题的
第一约束条件对应的是原问题中的x1变量，对偶问题的第二个约束条 件对应的是原问题中的x2变量，依此类推。 ③ 当原问题有m个约束条件，则对偶问题有m个决策变量。对偶问题的 u1变量对应的是原问题中的第一约束条件，对偶问题的u2变量对应的 是原问题中的第二约束条件，依此类推。 ④ 原问题的约束条件的右侧值成为对偶问题的目标函数系数。 ⑤ 原问题的目标函数系数成为对偶问题中的约束条件的右侧值。 ⑥ 目标函数中原问题第i个变量的系数成为对偶问题中第i个约束条件的 常数项。
若原问题有最优解x，则对偶问题也有最优解y，且目标函
数值相等，即 cx yb 。
对偶规划的基本性质
五、松驰性
设 x，u 分别是原问题和对偶问题的可行解，则 x ，u
是最优解的充要条件是对所有的i和j，下列关系成立：
1．如果 x j 0 ，有 u p j c j ； 2．如果 up j c j ，有 x j 0 ；
《管理运筹学》第四版第3章线性规划问题的计算机求解课后习题解析
《管理运筹学》第四版第3章线性规划问题的计算机求解课后
习题解析
第一篇：《管理运筹学》第四版第3章线性规划问题的计算机求解课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第3章线性规划问题的计算机求解
1．解：
⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720
⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333 ⑷不变，因为还在120和480之间。
2．解：
⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为(4，8)．解：
⑴农用车有12辆剩余⑵大于300 ⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元
4．解：
计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)
5．解：
圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。
最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变。
6．解：
（1）x1=150，x2=70；目标函数最优值103 000。
（2）
1、3车间的加工工时数已使用完；
2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。（3）50，0，200，0。
含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。（4）3车间，因为增加的利润最大。
运筹学3对偶
（3）若原规划的某个变量的值没有非负限
制，则在对偶问题中与此变量对应的那个
约束为等式。
下面对关系（2）做一说明。对于关系（3） 可以给出类似的解释。 设原规划中第1个约束为等式：
a11x1 +a12+…+ a1nxn = b1
那么，这个等式与下面两个不等式等价
a11 x1 ... a1n xn b1 a11 x1 ... a1n xn b1
推论1 （对偶定理）若X*, Y*分别是（P）和
（D）的可行解，则它们分别是（P）和（D） 的最优解的充要条件是： CTX*= bTY*。 •证 由定理3.1可知，对于规划（D）的任一 可行解Y，都有bTY≧ CTX*= bTY* ，因此Y*是
规划（D）的最优解，类似地可证明， X*是
规划（P）的最优解。
推论2
若规划（P）有可行解，则（P）有
最优解的充分必要条件是规划（D）有可行
解。
推论3 若规划（D）有可行解，则（D）有 最优解的充分必要条件是规划（P）有可行 解。
例3.4 试用对偶理论判断下面线性规划是否 有最优解
m ax Z x1 x 2 x1 x 2 x3 2 2 x1 x 2 x3 1 x1 , x 2 , x3 0
解：按照对称形式的对偶关系，其对偶模型为
min f 40 y1 50 y 2 20 y 3 2 y1 3 y 2 y 3 3 5 y 2 y 2 y 75 2 3 1 6 y1 y 2 3 y 3 2 y y 2y 1 2 2 1 y1 , y 2 , y 3 0
管理运筹学第三章习题答案
（1）解：
min 15y1 7 y2
s.t. 2 y1 4 y2 10
5 y1 3
y1 3 y2 5
y1, y2 0
（2）解：
max 6 y1 8y2
s.t. 3y1 2 y3 3
5y1 y2 3 y3 2
4 y2 7 y3 4
y1 y3 0
2y1 y2 5 y3 2
y1 0, y 2 0, y3 无限制
解：例3 原问题
min z x1 x 2 x3 x4 x5 x6
s.t. x1 x2 70
x2 x3 60
x3 x4 50
x4 x5 20
x5 x6 30
x6 x1 60
x j 0, j 1, ,6
对偶问题：
max 70 y1 60y2 50y3 20y4 30y5
60y6 s.t. y1 y6 1
y1 y2 1
y2 y3 1
y3 y4 1
y4 x5 1
y5 y6 1
y j 0, j 1, ,6
（1）由最优单纯形表可以知道原问题求
max 其初始基变量为 x 4, x 5，最优基的逆阵为
- - c
a -3 a 23 0
6 3
解：
由P32式（）（）（）可知b
B -b
，
P
B 4,
j
c
j
C B
P j
, j -,
,5
，其中
b
和 P j
都是初始数据。设
b
b - ，P j a
j-
,j
I
,5，C c -, C 2, C 3，贝U
b 2
a
j2
3
1 2
1 6 bb 2
b 2
1 - 3
1-
5-25-
P2
3
aa
2
aa
aa 1
'b
B
1
a
1222
3
2
2
a
1 - 3
2 2
a
1- 2 1- 2
3
1 1
C2 C3 2C1
厶
1 1
C3 G 4
2 6
1
C 2
3
j C j C B P j
所以原问题为:
4, 4, 2 C2,0,0
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
3.1 线性规划的对偶关系
关系2：规范形LP问题的对偶关系
(P2):
max z=CTX
AX=b s.t. X≥0
(D2):
min w=bTY
AT Y≥C s.t. Y自在
3.1 线性规划的对偶关系
例1
max z = 3 x1 -1 x2 -2 x3
max z = 3 x1 + 5x2 z* = 42
x1
≤8
s.t.
2x2 ≤ 12
3 x1 + 4x2 ≤ 36
x1 ， x2 ≥ 0 X*= (4,6)T
3.1 线性规划的对偶关系
3. 1. 2 对偶关系
关系1：规范对偶关系 (P1): max z = CTX s.t. AX≤b X≥0 (D1): min w = bTY s.t. AT Y≥C Y≥0
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题
令y/3-y//3=y3,并将第二和第三个条件合并为方程，得
min W ( y ) 2 y1 6 y2 0 y3 y1 2 y2 y3 0 0 y y y 2 1 2 3 s.t. y1 6 y2 3 y3 5 y1 , y2 0, y3 ?
OR:SM
7
• 首先，分析这两个模型之间的对应关系：
•
• •
（1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类
型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“≥”类型； （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个 数； （3）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的 目标函数的系数（成本系数）； （4）两个问题的系数矩阵互为转置。 我们把这种对应关系称为对偶关系。如果把（3-1）称为 原始问题，则（3-2）称为对偶问题。
解：（1）首先把上述非对称型问题化为对称型问题。 ①在第一个约束条件的两边同×（-1） ②把第三个约束方程分解成两个 x1-x2+3x3≤0 和 x1-x2+3x3≥0 再将后一个两边同×（-1）改写成 -x1+x2-3x3≤0
12 OR:SM
•
③转换成对称型
max Z ( x ) 0 x1 2 x2 5 x3
Y1 Y2 Y/3 y//3
x1 0 x2 x3 2 2 x x 6 x 6 1 2 3 s.t. x1 x2 3 x3 0 x x 3x 0 2 3 1 x1 , x2 , x3 0
第3章 对偶模型
DP : min -z -CT X max z CT X s.t.-A X -b AX b
X 0
P1 : max z C T X
山西大学经济与管理学院 《运筹学》
第3章 对偶模型
主讲：范建平 博士
3.1 线性规划的对偶关系
2
3.1.1 对偶问题
【例3-1】考虑范例，这是一个分配三种有限资源(即A、B、C三个车间每 周最大生产能力6、8、18个工时)于两项生产活动(即生产甲、乙两种产品) 的资源分配或经营规划问题。
在1.1.1节，已就范例的实际经济背景，建立了一个LP模型：
AX b
s.t.
X
Baidu Nhomakorabea
0
D1 : min w bTY
ATY C s.t.
Y 0
根据实际问题与需要所建立的模型才称为原本模型，而不论其形式如(P)还是(D)。 如1.1.3节的下料问题，其基本模型就形如(D )。
现仅就关系1证明该性质，对关系2、3，类似可证。
19
3.2.1 基本性质
非正变量 非规范不等式约束 ③
式①中，所谓的规范不等式约束，是指由规范对偶关系，即关系1所规定的不等式约束：
对 max 型问题（P）而言， 形式的约束谓之规范， 形式谓之非规范；
对 m in型问题（D）而言， 形式的约束谓之规范， 形式谓之非规范；
管理运筹学第3章对偶规划PPT课件
3.4.4 增加一个新的约束分析
增加一个新的约束后，线性规划的可行域只会变小，不会变大，最优值 只能变差，不会变的更好。因此如果原最优解X*满足新的约束条件，则 X*仍然是最优解；否则继续进行迭代。
【例3.7】 在例3.4中增加一个新的约束 4x12x2≤150 引入松弛变量 4x12x2x6150添加到最终单纯形表中。
2 x1 x2 ≤ 10
s
.t
.
x1 x2 ≤ 8
(1)
x1 ,
x2
≥
0
对偶规划
m in w 8 y1 10 y2
2 y1 y2 ≥ 10
s
.t
.
y1 y2 ≥ 8
(2)
y1 ,
y2
≥
0
设：两种设备单位台时租金分别为 y1,y2
约束一：生产甲产品的利润不大于放弃生 产而出租的租金收入
bi代表第i种资源拥有量 yi 代表第i种资源 的估价，该估价并非市价格，而是在生产中 的单位贡献所做的估价,称为影子价格。其 含义：
（1）资源的市场价格由供求关系决定，而 它的影子价格则有赖于资源的利用情况。
（2）影子价格是一种边际价格。
（3）资源的影子价格实际上又是一种机会 成本。
（4）当影子价格为0时，表明该种资源未得 到充分利用；当影子价格不为0时，表明该 种资源已耗费完毕。
第三章 线性规划及其对偶问题
第三章 线性规划及其对偶问题
线性规划是最优化问题的一种特殊情形，也是运筹学的一个重要分支，它的实质是从多个变量中选取一组适当的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性式，而且使一个线性目标函数达到最优（最大或最小）．
线性规划的应用极为广泛，自1949年美国数学家G. B. Dantzing 提出一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划无论在理论上、计算方法和开拓新的应用领域中，都获得了长足的进步，线性规划从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都有广泛的发展和应用．本章主要从线性规划的基本概念、数学模型、单纯形法、对偶理论、灵敏度分析等方面进行介绍．
§3.1 线性规划数学模型基本原理
一、线性规划的数学模型
满足以下三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型：
（1）每一个问题都用一组决策变量T n x x x ][21，，， 表示某一方案；每一组值就代表一个具体方案．
（2）有一个目标函数，可用决策变量的线性函数来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化．
（3）有一组约束条件，可用一组线性等式或不等式来表示． 线性规划问题的一般形式为
1211221111221121122222112212max(min)()()()..()0n n n n n n n m m mn n m n f x x x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++≤=≥⎧⎪
管理运筹学讲义第3章对偶规划
80%
案例分析
对于原始问题，当arr=[1,3,5,7]时， dp=[1,4,7,10]。对于对偶问题， 设w>=dp[i]，则w>=10。因此， 对偶问题的解为w=10。
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管理运筹学讲义Baidu Nhomakorabea3章对偶规 划
目
CONTENCT
录
• 对偶规划概述 • 对偶规划的数学模型 • 对偶规划的求解方法 • 对偶规划的优化策略 • 对偶规划的案例分析
01
对偶规划概述
对偶问题的定义
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题互为对偶。原问题是关于决策 变量的优化问题，而对偶问题则是关于约束条件的优化问题。
对偶形式
将原问题转换为对偶形式，可以更好地利用对偶性质进行求解。
对偶问题的性质
对偶互补性
原问题和对偶问题的最优解满足互补 条件，即它们的乘积等于常数。
对偶最优解的性质
对偶问题的最优解不一定是原问题的 最优解，但它们之间的关系可以用于 求解原问题。
对偶理论的应用场景
线性规划
线性规划的对偶理论可以用于求解原问题或对偶问 题，提高求解效率。
05
对偶规划的案例分析
线性规划对偶问题的案例分析
线性规划问题
最大化目标函数z=3x+4y，约 束条件为x+2y<=8, x>=0, y>=0。
华南理工大学-运筹学-第3章-线性规划的对偶理论(简)-工商管理学院
28
灵敏度分析
因此，仅仅求出给定系数设定下特定线性规划问题的最优
解无法完全满足现实生产经营活动的需求，还需要进一步
解决以下问题：
1. 当某个系数发生变化时，原来求得的最优解有没有变化或有
什么样的变化？
2. 当某个系数在一个什么样的范围内变化时，原来求得的最优
解或最优基不变？
带来的额外收益为0.05 × 80 = 4元。
53
灵敏度分析示例1
5-引入新的决策变量
新的决策变量的引入，在当前的最优单纯形表中，其表现为非基
变量。因此，只需要判定该变量的检验数为非负，最优基将不变
。
54
灵敏度分析示例1
在例3-7中，经过技术创新，F公司已经具备了生产一种市
场需求旺盛的新产品D的能力。生产1件产品D消耗3千克
【注】企业卖出相同数量关系的原材料，收益应不低于用
其生产出最终产品而获得的利润。
4
引例
5
引例
6
基本概念
1-原问题的目标函数系数(行)向量对应于对偶问题约束条
件的右端常数(列)向量。
同理，原问题约束条件的右端常数(列)向量对应于对偶问
题的目标函数系数(行)向量。
7
基本概念
运筹学第三章 对偶理论
14
线性规划的对偶理论
解：原问题存在可行解，例如X=（0，0，0） 原问题存在可行解，例如 （ ， ， ） 对偶问题为： 对偶问题为：
min w = y1 + y2 − y1 − 2 y2 ≥ 1 y + y ≥1 1 2 y1 − y2 ≥ 0 y1 , y2 ≥ 0
10
线性规划的对偶理论
例：
min w = 60y1 + 45y2 + 20y3 + 30y4 y1 + 2y2 + 5y3 ≥5 9y1 +3 y2 - 2 y3 + y4 ≤ 6 7y1 –2 y2 + 6y3 - y4 = 8 y1≥ 0， y2 ， y3 ≤ 0 ，y4自由 ，
maxz =5x1+6x2+8x3 x1 + 9x2+ 7x3 ≤60 2x1 +3x2 – 2 x3 ≥45 5x1 - 2x2 + 6x3 ≥20 x2 - x3 =30 x1 ≥ 0 ， x2 ≤ 0 ， x3 自由
19
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析： 对偶问题解的经济含义分析： 从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB b ，和检 从单纯形法的矩阵描述中， -1 -1 验数 CN - CBB N 中都有乘子 Y = CBB 。 的最优基矩阵， 对偶定 设B 是{ max Z = CX | AX ≤ b，X ≥0 }的最优基矩阵，由强对偶定 ， 的最优基矩阵 理知
管理运筹学课后习题
第一章
思考题、主要概念及内容
1、了解运筹学的分支，运筹学产生的背景、研究的内容和意义。
2、了解运筹学在工商管理中的应用。
3、体会管理运筹学使用相应的计算机软件，注重学以致用的原则。
第二章
思考题、主要概念及内容
图解法、图解法的灵敏度分析
复习题
1. 考虑下面的线性规划问题：
max z=2x1+3x2；
约束条件：
x1+2x2≤6，
5x1+3x2≤15，
x1，x2≥0．
(1) 画出其可行域．
(2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6．
(3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值．
2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．
(1) min f=6x1+4x2；
约束条件：
2x1+x2≥1，
3x1+4x2≥3，
x1，x2≥0．
(2) max z=4x1+8x2；
约束条件：
2x1+2x2≤10，
-x1+x2≥8，
x1,x2≥0．
(3) max z=3x1-2x2；
约束条件：
x1+x2≤1，
2x1+2x2≥4，
x1，x2≥0．
(4) max z=3x1+9x2；
约束条件：
-x1+x2≤4，
x2≤6，
2x1-5x2≤0，
x1，x2≥0
3. 将下述线性规划问题化成标准形式：
(1) max f=3x1+2x2；
约束条件：
9x1+2x2≤30，
3x1+2x2≤13，
2x1+2x2≤9，
x1，x2≥0．
(2) min f=4x1+6x2；
约束条件：
3x1-x2≥6，
x1+2x2≤10，
7x1-6x2=4，
x1，x2≥0．
(3) min f=-x1-2x2；
运筹学-对偶问题
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
பைடு நூலகம்
求解步骤
2. 构造对偶问题。
基本概念：博弈论中的对偶策略 主要利用了博弈中的策略关系和 支付函数，通过对偶问题的构造 ，求解博弈的纳什均衡。
对偶问题在优化问题中的作用
对偶问题提供了原问题的最优解信息
对偶问题与原问题紧密相关，其最优解可以提供原 问题的最优解信息。
对偶问题简化优化问题
通过转化为对偶问题，可以简化复杂的优化问题， 降低求解难度。
对偶问题有助于算法设计
对偶问题的特性有助于设计更有效的算法来求解原 问题。
对偶问题在资源配置问题中的应用
02 03
并行计算和分布式算法
随着计算资源的不断增长，并行计算和分布式算法成为解 决大规模对偶问题的有效途径。未来可以研究如何将对偶 问题分解为多个子问题，并利用并行计算和分布式算法进 行求解，提高求解速度。
启发式算法
对于一些难以求解的对偶问题，可以考虑采用启发式算法 进行近似求解。未来可以研究如何设计高效的启发式算法 ，以快速获得近似最优解。
对偶问题可用于决策分析，帮 助决策者找到最优策略或解决 方案。
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7
OR:SM
• 首先，分析这两个模型之间的对应关系：
• （1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类 型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“≥”类型；
• （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数； • （3）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的目
标函数的系数（成本系数）； • （4）两个问题的系数矩阵互为转置。 • 我们把这种对应关系称为对偶关系。如果把（3-1）称为原
Y1
x1
6
Y2
x2 8
Y3
s.t.
x1
x2
7
Y4
3
x1
x2
15
Y5
x2 1
x1, x2 0
(3 7)
• 解：该问题仅有两个变量，但约束较多，其对偶问题为
minW ( y) 6 y1 8y2 7 y3 15y4 y5
y1 y3 3y4 4 s.t. y2 y3 y4 y5 3
80 90
x1, x2 0
(3 1)
运用单纯形法，可求得其最优解为：
x1 45 / 2, x2 45 / 2 Z (x) 405 / 2
5
OR:SM
• 新问题：现在从另一角度来讨论这个问题。
•
假设该企业经过市场预测，准备进行转产，且把现有三
种材料进行转让，也恰好有一个制造商急需这批材料。于是
a11 y1 a21 y2 L am1 ym c1
s.t. La12Ly1L
a22 y2 L LLLL
L
am2 ym L
c2
a1n y1 a2n y2 L amn ym cn
y1, y2 ,L , ym 0
(3 4)
10
OR:SM
• 用矩阵表示的原始问题（3-3）和对偶问题（3-4）为
minW ( y) 2 y1 6 y2 0 y3
y1 2 y2 y3 0
s.t.
0 y1 y1
y2 y3 2 6 y2 3y3
5
y1, y2 0; y3 ?
14
OR:SM
• 例2 将例1模型中的x2改为无非负约束变量，即模型为
max Z ( x) 2x2 5x3
x1 x3 2
y1 2 y2 y3 0
s.t.
0yy11
y2 y3 2 6 y2 3y3
5
y1, y2 0, y3 ?
17
OR:SM
•
综合上述两个例子，可以看出，线性规划与其对偶模型
的关系有了新的拓展：
• （1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”或
“=”类型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“≥”
(3 3)
9
OR:SM
• 这种模型的特点是：
•
（1）目标函数是最大化类型(或是最小化类型)；
• （2）所有约束条件都是“≤”型（或都是“≥”型）；
• （3）所有决策变量都是非负的。
•
如果把（3-3）作为原始问题，根据原始与对偶问题
的对应关系可得（3-3）的对偶问题为
minW ( y) b1 y1 b2 y2 L bm ym
y3 y3
2 1
y1, y3 0, y2 ?
21
OR:SM
3.1.4 对偶问题的基本性质
设原始问题为： max Z (x) CX , AX b, X 0 (3 5)
则其对偶问题为： minW ( y) Yb,YA C,Y 0 1、对称性定理
(3 6)
对偶问题的对偶是原始问题。
s.t.
2x1 x2 x1 x2 3
6x3 x3 0
6
x1, x3 0; x2 ?
• 写出其对偶问题
解：（1）首先把上述非对称型问题化为对称型问题。
①在第一个约束条件的两边同×（-1）
②把第三个约束方程分解成两个
x1-x2+3x3≤0
和
x1-x2+3x3≥0
再将后一个两边同×（-1）改写成
2 y2 y2
y
y3/ y3//
/
3
y3/ /
2
0
s.t.0 y1 y2 y3/ y3// 2
y1 6 y2 3y3/ 3y3// 5
y1
,
y2 ,
y/ , 3
y3/ /
0
令y/3-y//3=y3,并将第二和第三个条件合并为方程，得
minW ( y) 2 y1 6 y2 0 y3
s.t.
x1
x2
x3
1
2x1 x2 x3
2
x1 0; x2 , x3 ?
解：因目标函数为“max”类型，则约束条件应为“≤”和 “=”类型，故只需改变第三个约束条件的不等号方向， 即有：
2x1 x2 x3 2
20
OR:SM
原问题即为：
Y1 Y2 Y3
max Z (x) x1 2x2 x3
或“=”类型；
• （2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数；
• （3）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的目
标函数的系数（成本系数）；
• （4）两个问题的系数矩阵互为转置;
• （5）一个问题的第i个约束为“=”，则另一个问题的第i个
变量为“无非负约束变量”（自由变量）。反之，一个问题
买卖双方开始对资源的出让价格问题进行磋商，希望寻找一
个双方都认为比较满意的合理价格。
• 分析：设A、B、C三种材料的单价分别为y1、y2、y3.
•
对于卖方来说，生产单位甲产品所获收益为4万元，为保
证其总收入不少于405/2万元，则将生产单位甲产品所需资源
转让出去，该企业的收入不能少于4万元。故y1、y2、y3必须
-x1+x2-3x3≤0
12
OR:SM
• ③转换成对称型
max Z ( x) 0 x1 2 x2 5x3
Y1
x1 0 x2 x3 2
Y2 Y/3
s.t.
2 x1 x2 x1 x2 3
6 x3 x3 0
6
y//3
x1
x2
3x3
0
x1, x2 , x3 0
（2）写出相应的对偶问题（4个约束，分别对应4个对偶变量 y1、y2、y/3、y//3）
max Z ( x) 2x2 5x3
x1 x3 2 s.t. 2x1x1 x2x23x63x306
x1, x2 , x3 0
解：（1）首先把上述非对称型问题化为对称型问题。
①在第一个约束条件的两边同×（-1）
②把第三个约束方程分解成两个
x1-x2+3x3≤0
和
x1-x2+3x3≥0
再将后一个两边同×（-1）改写成
min W ( y) 2 y1 6 y2 0 y3/ 0 y3//
y1
s.t.
0
y1
y1
2 y2 y3/ y3// 0
y2
y/ 3
y3/ /
2
6 y2 3 y3/ 3 y3//
5
பைடு நூலகம்
y1
,
y2
,
y/ 3
,
y3/ /
0
13
OR:SM
• 再设y/3-y//3=y3，代入上述模型得：
于对偶问题的决策变量;而原始问题的决策变量的检验数对应 于对偶问题的松弛变量,只是符号相反。
• 注意：在两个互为对偶的线性规划问题中，可任选一个进行 求解，通常是选择约束条件少的，因求解的工作量主要受到 约束条件个数的影响。
23
OR:SM
• 例4 求解下列线性规划问题
max Z ( x) 4 x1 3x2
x1 x2 x3 2
s.t.
x12x1x2
x3 x2
1 x3
2
x1 0; x2 , x3 ?
•
这样所有的约束条件均为“≤”和“=”类型，按前述对
应关系原则，可写出其对偶问题为：
minW ( y) 2 y1 y2 2 y3
y1 y2 2 y3 1
s.t.
y1 y1
y2 y2
根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶模型。
2、对偶性定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的 目标函数值相等。
22
OR:SM
• 3.1.5 对偶问题的最优解
• 重要推论： • 1.原始问题单纯形表中松驰变量的检验数恰好对应着对偶
问题的一个解。 • 2.原始问题单纯形表中,原始问题的松弛变量的检验数对应
的第i个变量为“无非负约束变量”，则另一个问题的第i个约
束为“=”（方程）。
18
OR:SM
关于线性规划的原始问题与对偶问题的对应关系可归纳成 下表3.2
原始问题(或对偶问题)
对偶问题(或原问题)
目标 max
目标 min
变量 n个
约束 n个
变量 ≥0 ≤0
无非负约束
约束 ≥ ≤ =（方程）
约束 m个
max Z (x) c1x1 c2 x2 L cn xn
Y1
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
Y2 …
s.t.
La21Lx1
L
a22 x2 L LLLL
a2n xn LL
b2
ym
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
x1, x2 ,L , xn 0
-x1+x2-3x3≤0
15
OR:SM
•
③令x2=x/2-x//2.其中x/2,x//2≥0
• ④转换成对称型
max Z ( x)
0 x1
2x/ 2
2 x2/ /
5x3
Y1
x1
0x/ 2
0 x2/ /
x3
2
Y2
2x1 x2/ x2/ / 6x3 6
Y/3
s.t. x1
x2/
《管理运筹学》
第3章
李存芳 博士/教授/硕士生导师
研究领域：战略管理、组织行为、运营管理 讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、运营管理
经济学 单 位：江苏师范大学商学院 物流管理系 E-mail：licf66@163.com
第 3 章 线性规划的对偶问题
内S容ub 提titl要e
第一节 线性规划的对偶理论 第二节 对偶单纯形法
变量 m个
约束 ≤ ≥
= （方程） 系数矩阵
b c
变量 ≥0 ≤0
无非负约束 转置
c b
19
OR:SM
•
这样对于任意给定的一个线性规划问题，均可依据上述
对应关系直接写出其对偶问题模型，而无须先化成对称型。
• 例3 写出下列线性规划的对偶问题
max Z ( x) x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
2
OR:SM
§3-1 线性规划的对偶理论
•
每一个线性规划问题都有一个与之相伴随的另一个问题。
这两个问题：一是，在数学模型上有着对应关系；二是，从
一个问题的最优解完全可以得出另一个问题最优解的全部信
息。
• 3.1.1 问题的提出
•
例1 引入一个资源价格问题。
3
OR:SM
类似于第2章例1的生产计划问题。某企业生产甲、乙两种 产品，需消耗A、B、C三种材料。据市场分析，单位甲、 乙产品的销售收益分别为4万元和5万元。单位甲、乙产品 对材料的消耗量及材料的供应量如表3.1所示。
始问题，则（3-2）称为对偶问题。
8
OR:SM
• 3.1.2 对称型线性规划问题——对称型对偶问题
•
• 每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问题 存在。先讨论对称型对偶问题；对于非对称型对偶问题， 可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直接从 非对称型进行分析。
• 对称型线性规划问题数学模型的一般形式为
x2/ /
3x3
0
y//3
x1 x2/ x2// 3x3 0
x1 ,
x/ 2
,
x2/ /
,
x3
0
（2）写出相应的对偶问题（4个约束，分别对应4个对偶变量 y1、y2、y/3、y//3）
16
OR:SM
minW ( y) 2 y1 6 y2 0 y3/ 0 y3//
0
y1 y1
原问题：应如何制定生产计划，使总收益为最大。
表3.1
产品材料
甲
乙
供应量
A
1
1
45
B
2
1
80
C
1
3
90
收益
4万元/单甲
5万元/单乙
4
OR:SM
设计划安排：x1为甲产品的产量， x2为乙产品的产量。（决策变量）
则，该问题的数学模型为：
max Z (x) 4x1 5x2
x1 x2 45
s.t.2x1x1 3xx22
•
综上所述，资源价格问题的数学模型可描述为：
minW ( y) 45y1 80 y2 90 y3
y1 2 y2 y3 4
s.t.
y1
y2
3 y3
5
y1, y2 , y3 0
(3 2)
• 上述两个模型（3-1）和（3-2）是对同一问题的两种不 同考虑的数学描述，其间有着一定的内在联系，将逐一剖 析。
满足约束条件： y1+2y2+y3≥4
•
同样，将生产单位乙产品所需的资源转让出去，其收入
不能少于生产单位乙产品的收益5万元，所以y1、y2、y3还必
须满足约束条件： y1+y2+3y3≥5
6
OR:SM
•
对于买方来说，他希望在满足上述约束条件下使总的
支出 • 达到最小。
W（y） =45y1+80y2+90y3
max Z (x) CX minW ( y) Yb
AX b
s.t.
X
0
YA C s.t.Y 0
• 其中Y=（y1,y2,…,ym）,其它同前。
• 3.1.3 一般问题的对偶问题——非对称型对偶问题
• • 线性规划有时以非对称型出现，那么如何从原始问题写出
它的对偶问题呢？
11
OR:SM
• 例1 写出下列线性规划的对偶问题