12.7 分数指数幂
分数指数幂的运算法则
分数指数幂的运算法则在数学中，分数指数幂是一个常见的运算类型。
分数指数幂的运算法则是一组规则，它能够帮助我们正确地计算分数指数幂的结果。
以下是关于分数指数幂运算法则的全面解释。
首先，我们来看分数的幂运算。
如果一个数的分数幂如下所示：a^(m/n)其中a是一个实数，m和n是整数，且n不等于零。
可以将分数幂的幂表示为以下形式：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)这意味着我们将a的m次方根号取n次方，或者将a的n次方根号取m次方，得到相同的结果。
这个规则可以用来求解复杂的分数指数幂。
下一步是关于指数的运算法则。
假设有两个实数a和b，并且m和n是整数。
1.基本指数规则a^m×a^n=a^(m+n)a^m/a^n=a^(m-n)(a^m)^n=a^(m×n)这些规则使我们可以将相同底数的指数相加，相减和相乘。
例如，如果有一个表达式a^3×a^4，那么基本指数规则允许我们将它们相乘得到a^(3+4)=a^7。
2.负指数a^(-m)=1/a^m这个规则说明当指数为负整数时，它是相应正整数指数的倒数。
3.零指数a^0=1这说明当指数为0时，它的结果为1。
现在，我们来看看如何结合这些规则使用分数指数幂运算法则。
假设有一个数x，它的分数指数幂形式为：x^(m/n)要计算其结果，我们可以将其表示为以下形式：x^(m/n)=(x^m)^(1/n)然后，我们可以使用基本指数规则对x^m进行求解。
例如，如果有一个表达式：2^(2/3)我们可以将其表示为：(2^2)^(1/3)=4^(1/3)。
现在，我们可以使用零指数规则将其简化：4^(1/3)=1因此，2^(2/3)的结果为1。
简而言之，分数指数幂的运算法则是一组规则，它们使我们能够正确计算分数指数幂的结果。
这些规则包括基本指数规则，负指数规则，零指数规则和分数幂规则。
掌握这些规则可以帮助我们轻松地解决复杂的分数指数幂问题。
分数指数幂PPT课件
1、把下列方根化为幂的形式：
46
5 73
1
4 33
3 52
3 a2b
第1页/共16页
2、计算
4
83
4
(8) 3
4
(8) 3
(
1
)
1 3
8
1
16 4
1
1
42 273
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§12.7分数指数幂（2）
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学习新课
类似于整数指数幂，你能说说有理数
指数幂的运算性质吗？ 同底数幂的乘（除）法：
24 8
34 27
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分数指数幂计算的一般步骤： 判断是什么运算 运用法则计算
第8页/共16页
学习新课
例2 计算：
1
11
（1）（8 27）3 ；（2） 22 82 ;
2
（3）（4 3
6
1
3）-3；（4）（5
3 2
25
31
4）3 .
第9页/共16页
1
(1)（8 27）3
1
解：（8 27）3
a p aq a pq a p aq a pq
幂的乘方： a p q a pq
积的乘方：ab p a pbp
a p b
ap bp
(设a 0,b 0, p、q为有理数)
第4页/共16页
例1 计算（结果用幂的形式表示）：
1
21
(1)53 52
(2)63 6 这是什么运算，
第14页/共16页
作业： 练习册12.7（2）
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感谢您的观看！
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2 -1
12.7(2).分数指数幂
§12.6 实数的运算（2）一．智慧航标 姓名________ 预习等级____【学习目标】1、初步掌握有理数指数幂的法则和运算性质，初步会用幂的运算性质进行计算；2、会利用计算器进行有关幂的运算。
【学习重点、难点】运用有理数指数幂的运算性质进行计算。
二、智慧启航：（一）复习旧知（1）__________33710=⨯，运用的性质名称： 。
（2）__________33710=÷，运用的性质名称： 。
（3）___________3(210=），运用的性质名称： 。
（4）_____________)3(310=x ，运用的性质名称： 。
（5）__________313=⎪⎭⎫ ⎝⎛--，()___________120=-（二）阅读课本p33~p34，认真思考下列问题。
1、有理数指数幂同样有下列的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么（1） =⋅qp a a ， =÷qpa a（2）=qp a )(（3）=pab )( ，=pba )(2、例题分析和巩固练习 例题1：计算（1）()31278⨯ ()2121822⨯（3）3313264-⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷ （4）314323255⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-练习1、计算（1）4212153⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ ()23234532⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯（3）()212232÷ （4）6213132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷例题2、计算（结果表示为含幂的形式）（1）213255⨯ （2）6631÷()413283-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）()6133412⨯练习2、计算：（结果表示为含幂的形式）（1）326199⨯ （2）24177⨯ （3）324127-⎪⎪⎭⎫⎝⎛（4）()615523⨯ （5）212155⨯-（6）3212132-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷三、小结。
12.7 分数指数幂
第十二章 第三节 《实数的运算》§12.7 分数指数幂 教学目标理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化，能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进 行计算；熟练运用有理数指数幂的性质进行计算，通过分数指数幂的学习，能进一步掌握乘方与开方的相关运算。
知识精要1.分数指数幂：将指数的范围扩大到分数，我们规定：)0(≥=a a a nm nm，)0(1>=-a aanm nm。
(其中n m 、为整数，1>n )上述规定中的nm a 和nm a-叫做分数指数幂，a 是底数。
注意：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可以是负数。
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂。
2.有理数指数幂的运算性质：设0>a ,0>b ,q p 、为有理数，那么 (1)q p q p a a a +=⋅，q p q p a a a -=÷ (2)pq q p a a =)((3)pppab b a )()(=，p p p b a b a =)( (4)(拓展))0(1≠=-a aa p p3.开方与乘方的互逆关系：指数的范围扩大到有理数之后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方运算。
经典题型精讲(一)方根与指数幂的互化例1.用分数指数幂表示下列各式)0(>a ：(1)a a ⋅2 (2)53a a(3)a a (4)323a a ⋅ (5)321a (6)62a举一反三：把下列方根化为幂的形式(1)1219 (2)32)833( (3)3125.01 (4)332)(-b例2.把下列各式写成根式的形式：(1)32a (2)43-a(3)8341-ba (4)3121b a例3.计算：(1)336418-⋅ (2)34327102)8116(-⋅- (3)21414)27(39÷⨯ (4)4325)12525(÷-举一反三：计算下列各式：(1)433132312222⋅⋅⋅ (2)3121)641()1691(--÷ (3)41212121421221)916(])2()13[(-⋅-(4)512141)36625(-- (5)2212122121)32()32(-+(6)2212122121)32()32(--+(二)幂的性质应用例4.利用幂的性质计算：(1) (2)11113642392781⨯÷⨯ (3)654332a a a ÷ (4))32(431313132----÷b a ba (5)63265aa a a ⋅⋅ (6)32431318b a b a ⋅-举一反三：利用幂的性质计算：(1)221663⨯ (2)26392369)()(a a ⋅ (3)14332)(---÷⋅ab b a(4)662284÷⨯ (5)322aa a ⋅ (6)213121212)()(xy y x xy ⋅⋅⋅-例5.化简下列各式式中(字母均为正数)(1))32)(32(41214121---+b a b a (2))()2(2222---÷+-a a a a (3))3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-例6.已知31=+-a a ，求下列各式的值：(1)2121--aa (2)2323--aa举一反三：(1)已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值。
上海初一数学下12.7分数指数幂及答案
基础题 一、填空题：1、把433化成幂的形式为 。
2、计算：4181-= 。
3、计算：23234)52(⨯= 。
二、解答题：4、213235333⨯÷ 5、2122)44(--÷ 6、43666⋅⋅7、4343428⨯⨯ 8、22121)273(+9、410064.010、21212313273181⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--11、2025435-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-提高题：12、75.024431)161()5.0()2()827(--÷---⨯基础题 一、填空题：1、用计算机计算（保留三位小数）：123345⨯= 。
2、计算，结果用幂的形式表示：133477⨯= 。
3= 。
二、解答题：4、用计算器计算（结果保留三位有效数字） 1132715-5、计算（结果用幂的形式表示）6、计算：11222(23)-11322(510)-÷7的整数部分是a ，小数部分是b ，求(ab 的平方根。
提高题 8、已知111225,a aa a ---=+求。
练习题（二）12．4------12．7一、填空题1．与数轴上的点一一对应的是 2．计算238= 12100- =22135-3．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，请化简：22b a a --=_____________． 4．2-3的相反数是 ；绝对值是 ．5．化简(1)52- = ； (2)π-3= ． 633270x -=，则x = ．713a 与正的纯小数b （10<<b ）的和， 那么a = ，b = ．84b -1a -ab = ． 9． 大于1711的所有整数的和 ．10．近似数3.007万精确到 位，有 个有效数字。
11．数轴上到原点距离为3的点表示的数是 。
12． 433-表示为根式 ，325表示为幂的形式13．上海浦东磁悬浮铁路长31千米，单程运行时间为7．9分钟，其平均速度约为 米/分，（结果保留两个有效数字） 14．计算（1）113553= （2）20062007(21)21)+⨯= 15．设长方形的周长是25厘米，宽是5厘米，它的面积比一个正方形的面积小44平方厘米，则正方形的边长约等于 厘米(结果精确到十分位) 二、选择题16．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）A ．代入法B ．换元法C ．数形结合D ．分类讨论17．125-开立方得（ ）A ．5±B ．5-C ．5D ．125± 18．在实数中，绝对值等于它本身的数有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 19．下列说法中，正确的是（ ）．A ．不带根号的数不是无理数B ．8的立方根是2±C ．绝对值是3的实数是3D ．每个实数都对应数轴上一个点20．若0≠a ，且a 、b 互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的一组是（ ）A ．a 2和b 2B ．a -和b -C ．2a 和2b D ．3a 和3b三、解答题 21．（1）已知328x =，求x 的5次方根；（2）求2(16)-的8次方根。
分数指数幂的运算
分数指数幂的运算是许多初中生学习数学的一个相当重要的知识点，分数指数幂的运算也是数学学习中必不可少的知识内容。
下面，我们将对分数指数幂的运算作一次详细的学习。
首先，我们来认识一下分数指数幂的概念。
分数指数幂是以负数及分数作为指数的指数运算，常用的记法有：a^（m/n），m/n可以是任意的分数。
这里的“a”代表的是根式的底数。
接下来，我们来看看分数指数幂的运算规则。
（1）首先，我们把 m/n解成m个 n，将a^(m/n)表示为 (a^n)^m （2）若 m 为偶数，则 a^(m/n) = (a^n)^(m/2)=（a^(n/2)）^(2m) （3）若 m 为奇数，则 a^(m/n) = (a^n)^[(m+1)/2]*a分数指数幂的运算公式还包括以下几种：（1）a^(-m/n) = (1/a)^(m/n)（2）（a^m）^(-n) = a^(-mn)（3）a^(m/n) * a^(k/n) = a^((m+k)/n)（4）a^(m/n) : a^(k/n) = a^((m-k)/n)（5）(a^m)^(k/n) = a^(mk/n)（6）a^(m/n) a^(k/n) = a^((m-k)/n)（7）a^(m/n) (a^(k/n))^2 = a^((m+2k)/n)让我们来看一个例子：例 1/3幂根式：3^(1/3)解们将 m/n解成 m=1，n=3，满足上面奇数的运算规则，则有：3^(1/3)=(3^3)^[(1+1)/2]*3=(27)^1*3=27*3=81根据以上可以看出，3^(1/3)=81在此，我们总结一下：分数指数幂的运算是学习数学中不可或缺的重要知识点，其计算的运算规则及其公式概念也是必然需要熟悉的。
掌握了分数指数幂的运算，能够在数学计算实践中拓展一下思路，可以帮助我们更好地把握数学知识，更好地提升学习成绩。
12.7分数指数幂教案
12.7分数指数幂教案§12.7分数指数幂(1)教学目标：1.理解分数指数幂的意义.2.能将方根与分数指数幂互化，体会化归的数学思想.教学重点及难点:将方根与分数指数幂互化.教学过程：教师活动学生活动设计意图一、复习引入1.引言：加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？2．思考：把32表示为2的m次幂的形式.引导分析：（1）解决这个问题之前，336)21(21,2问题引入，引发学生思考，为新知教学做铺垫.先口答：（用幂的形式表示） _____,)2(32= .______23=-（2）这是以前所学的整数指数幂，负整数指数幂可以转化为正整数指数幂.到目前为止2的任何整数指数幂都是有理数，而32是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把32表示为m2的形式.（3）假设m 223=成立，问：在等式成立的前提下，如何消除根号进行转化呢？那么333)2()2(m =说明：原有的幂的运算性质应该保持不变.左边=21，右边=m32要使 左边=右边 成预设回答：两边同时立方运算.答：1 434333=，23333=温故而知新，让学生在已有知识的基础上体会从整数指数幂到分数指数幂，是幂的概念的又一次扩展. 让学生在已有经验的基础上体会：在立，则13=m ，即31=m 所以 31322= 追问1：被开方数中2的指数是几？（师可用红色粉笔标注出指数） 问2：猜想433=？?33= 3. 讨论通过31322=，434333=，23333=的转化，讨论方根与幂的形式如何互化？（学生讨论）二、学习新课1．分数指数幂概念 师：把指数的取值范围扩大到分数，我们规定)0(1)0(>=≥=-aa aaa a n m nmn m nm （其中m 、n 为整数，1>n ）.预设回答：被开方数中的底数转化为了幂的底数，被开方数中的指数转化为幂的指数中的分子，根指数转化为幂的指数中的分母.预设：扩大指数的范围时，原有的幂的运算性质应该保持不变.从过程中体会转化的数学思想. 感受方根与幂的形式的转化过程. 通过观【说明】在说明ppa a1=-同样适用后，导出后一个负分数指数幂. 上面规定中的n m a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.揭示课题：12.7分数指数幂[说明]指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.2.有理数指数幂 整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.3．例题分析例1 把下列方根化为幂的形式：（1）35； （2）3251；（3）435； （4）解：（1）31355= （2）32323255151-==（3）434355=察得出方根与幂的形式的转化，从而得出分数指数幂的意义. 对比分析方根与幂的互化过程，体会两者间的联系. 体会从特殊到一般的49每一题问：如何转化？谁做分数指数幂中指数的分母？师：刚才将方根转化为分数指数幂，反过来分数指数幂可以转化为方根进行开方运算.例2 计算：（4）)3339(992142424414＝＝＝或师生共同完成.研究方法.（1）2149；（2）31)81(；（3）4116-；（4）3121274⨯.解：（1）7494921==；（2）2181)81(331==； （3）211611611644141===-； （4）63227427433121=⨯=⨯=⨯.小结：可将分数指数幂转化为方根的形式再求值，最后写成分数指数幂的形式.例3 将幂的形式转化为方根形式：（1）316；（2）329；（3）414.6-；（4）43)75( 解：（1）33166=； （2）323299＝；（3）441414.614.614.6==-；师生共同完成.学生独立练帮助学生理解分数指数幂的概念，学生能够直接应用概念. 若学生写419也行.利用分数指数（4）3443)75()75(=.小结：分数指数幂中指数的分母是方根中的根指数.三、巩固练习1.把下列方根化为幂的形式：（1）34；（2）432；（3）81； （4）531．*2. 把下列幂化为方根的形式： （1）3136； （2）23-12；（3）41158⎪⎭⎫⎝⎛； （4）52-10-．习. 1.解： （1）31344=； （2）434322=； （3）21-881=； （4）51-5331=．2.解：（1）3313636=； （2）323-12112⎪⎭⎫ ⎝⎛=； （3）441158158=⎪⎭⎫ ⎝⎛； （4）5252-101-10-⎪⎭⎫⎝⎛=． 3.解：（1）41466=；（2）535377=；（3）4343331-= ； 幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.书上例3是用计算器*3.把下列方根化为幂的形式： （1）46； （2）537； （3）4331 ；（4）325-.4.计算（口答）： （1）219；（2）21121；（3）21144； （4）3164；（5）31125；（6）41256．（4）323255--=.4.解： （1）39921==； （2）1112112121==； （3）1214414421==； （4）46464331==； （5）5125125331==； （6）4256256441==． 预设： 运算，现在这样设计目的是让学生将分数指数幂和方根进行熟练转化.培养学生自主四、课堂小结学生自主小结：你学到了什么?你有什么体会或想法? 数学思想：化归思想. 1.分数指数幂意义;2.将方根与指数幂互化.解题及评价能力.通过练习掌握方根向幂的形式的转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．通过练习掌握幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系，体现转化的数学思想．利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.同时提醒学生，当分数指数幂转化为方根形式时，如果根指数是偶数时，对应的是正的偶次方根；如果根指数是奇数时，则对应的是奇次方根．熟练识记重用数的平方根和立方根．对本节课所学知识进行初步的梳理.课后作业试 题 解 答 设计意图 A 组 1.填空：（1）2125=_____；（2）2181=_____；（3）318=______；（4）3112527⎪⎭⎫ ⎝⎛=_____．（练习册P12） 2.把下列方根形式写成幂的形式：（1）45；（2）536；（3）51-10；（4）3431．（练习册P12）1.解：（1）5；（2）9； （3）2；（4）53． 2.解：（1）41455=；（2）535366=；（3）51-51-1010=；（4）34-343433131==．3.解： （1）4412424=；通过将分数指数幂转化成方根的形式进行简单的计算，复习巩固转化的方法．通过练习复习巩固方根向幂的形式的*3.把下列幂化为方根的形式： （1）4124；（2）32-18；（3）435.6-；（4）53-2512⎪⎭⎫ ⎝⎛．4.计算： （1）328；（2）2336；（3）43-16； （4）32-64-．（练习册P13）（2）3232-18118⎪⎭⎫ ⎝⎛=； （3）4343 6.5-5.6-=；（4）5353-12252512⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛． 4.解： （1）()4882332==； （2）()2163636323==； （3）81161163443-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=； （4）161-641-64-2332-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=． 转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．通过练习复习巩固幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系． 特别注意：pp pa a a⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11的灵活应用． 在实际计算时，先乘方后开方，往往由于数值较大，增加了开方的难度，所以常采用先开方后乘方的方法，既保证了计算的合理性，又提高了计算的速度和正确性．也可以利用幂的运算性质进行计算，对于这样的学生教师应给予充分的鼓励和表扬．。
分数指数幂运算法则
分数指数幂运算法则
分数指数幂运算法则是数学中的基本运算法则之一。
该法则规定，当一个数的指数为分数时，它可以通过将该数化为一个根式来进行运算。
具体来说，如果一个数a的指数为m/n，其中m和n都是整数且n不等于0，那么a的m/n次方可以写成a的n次方的m次方的n次
方根，即a的m/n次方等于a的n次方的m次方根。
这个法则不仅适用于正数，还适用于负数和分数指数为负数的情况。
分数指数幂运算法则在各种数学问题中都有着广泛的应用，例如求根、求解方程和进行数值计算等。
- 1 -。
1分数指数幂课件(1)
1
（2）
(
1
)
1 3
8
(
1 2
)3
3
(
1
3
)
1 3
2
1 2
例题分析
例2 计算：
1
（3） 16 4
1
1
（4）42 273
解：
（3）16
1 4
(24
1
)4
1
（4）4 2
27
1 3
22
1
2
33
1 3
21
23
1
6
2
例题分析
例3 将幂的情势转化为方根情势：
1
（1）6 3
2
（2） 9 3
（3）6.4
转化为乘方运算.
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
m
n am a n (a 0)
n
1 am
1 m
an
m
（其中m、n为整数，n 1 )
a n (a 0)
m
m
上面规定中的a n 和 a n叫做分数指数幂, a是底数.
有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂 .
有理数指数幂的运算，性质：
(4)
23
1 23
(1)3 2
这个m是整数吗?
假设 3 2 2m 成立，
那么 (3 2)3 (2m )3
左边=21， 右边= 23m,
要使左边=右边成立，则
3m 1 即 m 1. 3
1
所以 3 2 2.3
思考
我们以前研究的幂都是整数指数幂. 如何把 3 22 表示为2的m次幂的情势呢?
§12.7.1 分数指数幂 （1）
分数指数幂的读法
分数指数幂的读法
摘要：
一、分数指数幂的概念
1.分数指数幂的定义
2.分数指数幂与根的关系
二、分数指数幂的性质
1.分数指数幂的乘法
2.分数指数幂的除法
3.分数指数幂的幂运算
三、分数指数幂的读法
1.常规读法
2.简化读法
四、分数指数幂的应用
1.实际问题中的应用
2.分数指数幂在数学公式中的应用
正文：
分数指数幂是数学中一种常见的概念，它涉及到指数与根的运算。
分数指数幂可以用于表示一些特殊的情况，例如，当一个数的幂等于一个分数时，我们可以使用分数指数幂来表示。
分数指数幂不仅具有自身的性质，还可以与常规的指数幂进行运算。
分数指数幂与根的关系密切，可以看作是幂与根的一种相互转换。
例如，
对于一个数a，其平方根可以表示为a^(1/2)，而a 的平方可以表示为
a^2。
这样，我们可以将幂与根相互转换，更方便地进行计算。
分数指数幂具有许多性质，可以方便地进行运算。
例如，分数指数幂的乘法可以表示为底数不变，指数相加；分数指数幂的除法可以表示为底数不变，指数相减。
此外，分数指数幂还可以进行幂运算，即一个分数指数幂的幂可以表示为底数不变，指数相乘。
在实际问题中，分数指数幂也有广泛的应用。
例如，在物理学中，电场强度E 与电荷密度ρ的关系可以表示为E = ρ^(-1/2)，这里的指数-1/2 就是一个分数指数幂。
在数学公式中，分数指数幂也有广泛的应用，例如对数函数、指数函数等。
虽然分数指数幂的概念相对复杂，但其性质和应用使其在数学领域具有重要的地位。
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12.7 分数指数幂
教材
本节课是七年级下第12章第4节《分数指数幂》的内容，是在整数指数幂的基础上做的进一步推广，在学习的N 次方根的基础上，学生在这一节课中出现的问题主要在于幂指数和根指数与分数指数之间关系的寻找，要解决这一问题关键是从具体的特殊实例总结归纳并推广到一般情形，使学生从感性到理性，从一般到特殊理解并掌握根式和分数指数幂之间的互化以及其运算规律。
教学目标
1、理解分数指数幂的意义；能将方根与指数幂互化，体会转化思想.
2、能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教学重点及难点
重点：理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 难点：能在简单运算中运用有理数指数幂的性质进行计算. 教法学法
观察发现、启发引导、探索相结合的教学方法。
启发、引导学生积极的思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程；在此基础上，提供给学生交流的机会，学生学会对自己的数学思想进行 组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思想；能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识和使用数学语言的能力。
学生会自觉地、主动地、积极地学习。
教学过程设计 一、 情景引入 1．回顾
加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？ 2．思考： 把3
2表示为2的m 次幂的形式
解：假设
m 223
=成立，那么333)2()2(m = 左边=21，右边=m 32
要使 左边=右边 成立，则13=m ，即3
1=m 所以 3
1
322=
[说明]因为2的任何整数指数幂都是有理数，而3
2是一个无理数，可知m 不是整数.因此必须将
指数的取值范围扩大，才有可能把3
2表示为m 2的形式.
3．讨论
通过3
13
22=的转化，学生讨论方根与幂的形式如何互化？
二、学习新课 1．概念辨析
（1）分数指数幂
)
0(1
)0(>=
≥=-
a
a a
a
a a
n m n
m
n m n
m
（其中m 、n 为整数，1>n ）.
上面规定中的
n
m a 和n
m a
-
叫做分数指数幂，a 是底数.
[说明] 指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
方根与幂的形式互化过程，以如下表格说明注意事项：
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂. （3）有理数指数幂的运算性质：
设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么
（ⅰ）q
p q p a a a +=⋅，q p q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(
（ⅲ）p
p
p
b a ab =)(，p p
p b
a b a =)(
2．例题分析
例1 把下列方根化为幂的形式： （1）35； （2）
3
2
5
1
；
（3）435； （4）49 解：（1）3
1
3
55= （2）
3
23
2
55
1
-
=
（3）4
3
4
355=
（4）)333
9(99214242
4
41
4＝＝＝或=
例2 计算：
（1）4
1
81； （2）31
)8
1
(；
解：（1）333
)3(8114
144
144
1
====
⨯
（2）2
1
)21(])21[()81(31
331331===⨯
3．问题拓展 例3 计算：
（1）3
1)278(⨯； （2）2
12182⨯
解：（1）6632)32()278(31
331331333
1
＝＝）＝（⨯
⨯⨯⨯=
⨯
（2）44416828221
22122121212
1＝＝）
＝（＝）＝（⨯
⨯⨯
[说明] 在教学中，要注意以下几点：
（1）例1为开方运算向乘方运算转化.在方根转化为幂指数的形式中，根指数在幂指数中作分母，这是学生容易出错的地方，应引起注意.
（2）例2利用有理数指数幂的运算法则进行计算，与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解.
（3）例3是为了熟练有理数指数幂的运算性质，两小题分别是积的乘法公式互逆运用的举例，其
中（1）题解法也可以化成（2）题进行这样计算：632)3()2(2783
1
33133
13
1
=⨯=⨯=
⨯.
三、巩固练习
1、课本P 练习12.7（1）
2、把下列方根化为幂的形式： （1）46 （2）5
3
7 （3）
4
3
31
（4）3
25-
3、计算：
（1）6213
1
)2
3(-
⨯ （2）3
8432
3)52(⨯
（3）2146
)53(⨯ （4）
3
13
1
93⨯
四、课堂小结
带领学生总结本课知识的过程中，提出两点要求：
1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；
2、能在简单运算中熟练地综合运用有理数指数幂的性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）进行计算，法则不变.
五、作业布置
练习册P12-13，习题12.7（1） 教学设计说明
分数指数幂的产生是运用转化思想获得成功的范例.本节开头所述，减法可转化为加法运算，
除法可以转化为乘法运算，因此试图将开方运算转化为乘方运算.在保持整数幂运算性质的前提下，探讨指数的范围，从而产生了分数指数幂.
在教学中例题的选择上由浅入深，由概念的理解到运算性质的熟练运用，计算题的设计也是由易到难，并与整数指数幂的运算法则进行比较，这样学生比较容易理解，能够轻松掌握此部分知识点.。