21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心考点·精准研析 61 不等式的性质及一元二次不等式 含解析
高三数学 第一轮复习 02：不等式的性质及一元二次不等式
例1-6 下列命题正确的是 ( )
A．若 | a | b ，则 a2 b2 C．若 a2 b2 ，则 a | b |
B．若 a | b | ，则 a2 b2 D．若 a2 b2 ，则 1 1
m
x2
0
x1 m x2 m
0
f
(m )
0 ；（6） x1, x2 (m, n)
m
b n 2a
f (m) 0
f (n) 0
-3-
· 典例精讲 ·
模块01：不等式的性质及应用
① 不等式的基本性质：
例1-1 下列四个命题：
①若 a | b | ，则 a2 b2 ③若 a b ， c d ，则 ac bd 其中正确命题的个数有 ( )
D． b b m aa
【答案】： B
【解析】：向糖水（不饱和）中再加入
m
克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓度变大．由题意可得：b a
b a
m m
。
故选： B 。
例1-4 设 b a ， d c ，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A． a c b d
B． ac bd
C． a d b c
*作商法：作商法比大小的变形要围绕与1比大小进行。
作商法的基本步骤是：
①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小。
（一般运用的范围在正数范围内，幂指运算，和后期的数列学习中）
模块02：一元二次不等式的解法
1、一般流程：
①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0) 。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案不等关系与不等式1
第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.答案：B知识点二不等式性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc 同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正 可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) 同正可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >ab解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C.答案：C4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 解析：⎭⎬⎫－1<b <0⇒0<b 2<1a <0⇒a <ab 2<0，又ab >0，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一 利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点： 关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二 不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A.1a －b >1aB.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，选A.答案：A2．(2016·武汉调研)若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14，∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b 2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函数f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三 比较大小|(1)若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－(a 2＋a ＋1)1－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0， ∴当1－a >0，即a <1时，－(a 2＋a ＋1)1－a <0，则有a ＋2<31－a.当1－a <0即a >1时，－(a 2＋a ＋1)1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a ，当a >1时，a ＋2>31－a .(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ， 当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a； 当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a； 当a ＝b >0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a， 综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ， ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b 得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组 考点能力演练1．已知1a <1b <0，则下列结论错误的是( )A ．a 2<b 2 B.b a ＋a b >2 C ．ab >b 2D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －bab >0，∴a －b >0，∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C. 答案：C2．已知实数a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( ) A ．ln a <ln b B ．sin a <sin b C.1a <1bD ．a 3<b 3解析：因为a ，b ∈(0,1)，则πa ，πb ∈(0，π)，而函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，又cos πa <cos πb ，所以πa >πb ，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x ，y ＝x 3的单调性知C正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 2<b ，又b 2>0，所以a <1b ，同理由a <1b 可得b <1a ，故选C.答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；C 项，∵a c 2<bc 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b＝d ＝1，可知D 错误；故选C.答案：C6．若m <n ，p <q ，且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 的大小顺序是________．解析：把p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n ，即得m <p <q <n . 答案：m <p <q <n7．(2015·安庆二模)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④a y >bx 这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e ，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)．解析：显然变量a 或c 的值增加1会使S 的值增加，∵0<a <b <c <d <e ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋cd ＋1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1d ＋1e ＝1b －1d ＝d －bbd >0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e ，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组 高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．答案：A2．(2012·高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b ，故①正确． 当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。
人教A版高中数学必修一 等式性质与不等式性质、基本不等式(知识精讲)(解析版)
等式性质与不等式性质、基本不等式知识精讲一知识结构图二.学法指导1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。
2. 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.3．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.4.求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.5.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.三.知识点贯通知识点1 比较两数（式）的大小a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.例1.已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．【解析】 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．∵x ≤1得x －1≤0，而3x 2＋1＞0，∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.知识点二 利用不等式性质判断命题真假及不等式性质的应用1.不等式的基本性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a .(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc .(5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .(7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n ＞0(n ∈N ，n ≥2)．例题2：对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是( )A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ＞0，则1a ＞1bC ．若a ＜b ＜0，则b a ＞a bD ．若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0 【答案】D【解析】 法一：∵c 2≥0，∴c ＝0时，有ac 2＝bc 2，故A 为假命题；由a ＞b ＞0，有ab ＞0⇒a ab ＞b ab ⇒1b ＞1a，故B 为假命题；⎭⎪⎬⎪⎫a ＜b ＜0⇒－a ＞－b ＞0⇒－1b ＞－1a ＞0a ＜b ＜0⇒－a ＞－b ＞0⇒a b ＞b a ，故C 为假命题； ⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ⇒b －a ＜01a ＞1b ⇒1a －1b ＞0⇒b －a ab ＞0ab ＜0.∵a ＞b ，∴a ＞0且b ＜0，故D 为真命题． 法二：特殊值排除法．取c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错．取a ＝2，b ＝1，则1a ＝12，1b ＝1.有1a ＜1b，故B 错． 取a ＝－2，b ＝－1，则b a ＝12，a b ＝2，有b a ＜a b，故C 错． 例题3.已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求a －b 与a b的取值范围． 【解析】 因为1＜a ＜4,2＜b ＜8，所以－8＜－b ＜－2.所以1－8＜a －b ＜4－2，即－7＜a －b ＜2.又因为18＜1b ＜12，所以18＜a b ＜42＝2，即18＜a b＜2. 知识点三 利用基本不等式比较大小1.重要不等式∀a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2.基本不等式当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．例题4 . (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.b a ＋a b ≥2C.a 2＋b 2ab ≥2ab D.2ab a ＋b≥ab(2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．【答案】(1)D (2)a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac【解析】 (1)由a ＋b 2≥ab 得a ＋b ＝2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立； ∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a 、b 、c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2ac ，a 2＋c 2>2ac .∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .]知识点四 利用基本不等式证明不等式1.当a ，b 是任意正实数时，ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 例题5．已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9. 【证明】∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9. 知识点五 利用基本不等式求最值1.已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24. (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．例题6.(1)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值； (2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． 【解析】(1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9. (2)∵0<x <12， ∴1－2x >0， ∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. 五 易错点分析易错一 不等式的性质的应用例题7.判断对错。
高中数学知识点不等式的性质及解法
不等式的性质及解法知识要点：不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪⎩⎪()()()0002、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。
3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。
不等式的性质可分为：1、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的大小，转化为恒等变形问题的依据。
2、基本性质：（1） 对称性 a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。
当然若进行等价转化还会有许多变式。
（2） 传递性 a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。
（3） 移项法则 a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。
3、运算性质：（1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+,（2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算a b c d a b d c a d bc>>>>⇒>>>>⇒>>0001100,,（由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c>>⇒>>0110）（5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,)（6）开方运算：a b a b n N n n n>>⇒>∈≥02(,)4、函数的单调性：（1）a b a b >⇒>33 （y x =-∞+∞3在上是增函数(,)） （2）a b a b >⇒>22 （y x =-∞+∞2在上是增函数(,)）诸如此类：a b a b y x >>⇒<=+∞00121212log log (log (,)在上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。
高中数学知识点不等式的性质及解法
高中数学知识点不等式的性质及解法高中数学中，不等式的性质及解法是一个重要的知识点。
它涉及到不等式的基本性质、不等式的加减乘除、不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式等不等式类型的解法。
下面将详细介绍不等式的性质及解法。
一、不等式的性质1.两边加减同一个数不等号方向不变。
2.两边乘除同一个正数不等号方向不变，同一个负数不等号方向改变。
3.如果两个不等式成立，则它们的和、差、乘积、商仍然成立。
4.如果两个不等式的符号方向相反，求和时不等式方向不确定，求差时等式方向不确定，求积时反而求商时等式方向相反。
5.无论何时，两边加上相等的数，不等式的大小不变。
二、一元一次不等式对于一元一次不等式，常规的解法是将其转化为等价的不等式进行求解。
具体步骤如下：1. 化简：将不等式中的所有项移到一边，化简为标准形式ax+b<0或ax+b>0。
2.等价变形：根据不等式的性质，进行乘除法或加减法，将不等式变形为更简单的形式。
3.解不等式：根据等价变形后的不等式，确定x的取值范围。
三、一元二次不等式对于一元二次不等式，可以利用抛物线的性质进行求解。
具体分为以下几种情况：1.一元二次不等式的根在抛物线的两侧，此时，可以通过求解抛物线与x轴的交点来确定不等式的解集。
2.一元二次不等式的根在抛物线上，此时，可以通过根的位置确定抛物线在不等式中的符号。
3.一元二次不等式的根在抛物线的一侧，此时，可以根据抛物线的开口方向来确定不等式的解集。
四、综合应用在实际问题中，不等式的应用非常广泛，比如在经济学、物理学、生物学等领域中的一些实际问题往往可以转化为不等式进行求解。
这时候，除了要掌握不等式的基本性质和解法外，还需要注意问题的本质，合理进行变量的定义和范围的确定。
综上所述，不等式的性质及解法在高中数学中占据很重要的地位。
掌握不等式的基本性质，熟悉不等式的加减乘除运算，能够灵活运用不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法，对于提高解题能力和培养数学思维都非常有帮助。
2024届新高考一轮复习人教A版 第一章 第3节 不等式的性质、一元二次不等式 课件(42张)
+
.
+
若 b>a>0,m>0⇒ >
1.(必修第一册P53练习T1改编)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3或x≤2}
D.{x|x≥1或x≤-6}
A )
解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,
解析:因为 y= 在(0,+∞)上单调递增,所以 < ,A 正确;
因为 y= 在(0,+∞)上单调递减,所以 > ,B 正确;
+ (-)
+
- =
>0,所以
> ,C
+ (+)
+
因为
3
3
正确;当 c=0 时,ac =bc ,所以 D 不正确.
第3节
不等式的性质、一元二次不等式
[课程标准要求]
1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.
2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,
了解函数的零点与方程根的关系.
3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现
实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元
3.已知 a∈(-3,-2),b∈(2,4),则 的取值范围是
.
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高三数学,一轮复习人教A版 ,第6章 第1节, 不等式的性质、,一元二次不等式 ,课件
主干知识 自排查
2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c ＞ b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ a ＞ n n b(n∈N，n≥2)．
核心考点 互动探究 考点一 不等式的性质及其应用
1 1 1 1．若 a < b <0，给出下列不等式：① a＋b 1 1 1 <ab；②|a|＋b>0；③a－a>b－b；④ln a2＞ln
1 1 法一：因为 a < b <0，故可取a＝ －1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所 以②错误；因为ln
主干知识 自主排查
1 3 3．不等式 x＋22－x ≥0的解集是( C ) 1 3 A. x|x＜－2或x＞2 1 3 B. x|x≤－2或x≥2 1 3 C. x|－2≤x≤2 1 3 D. x|－2＜x＜2
主干知识 自主排查
3．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2 －4ac 二次函数y＝ ax2＋bx＋c (a ＞0)的图象 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
主干知识 自主排查
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
即时应用
b2.其中正确的不等式是( C ) A．①④ C．①③ B．②③ D．②④
高考数学第一轮考点复习课件 第五讲 不等式的性质及解法
15
9
15（1）由题可得： 3a16
b
3 4
12 12
0 0
4a b
解得
a b
1 2
x2 f (x)
2 x
（2）由
f ( x) (k 1)x k 2 x
即
x2 (k 1)x k 0
2 x
(x 1)(x k)(x 2) 0
不等式解集为：
① k 2, x (1,2) (k,);
系是
am a bm b
（b a 0)
.
12.已知实数a,b, c1满2足：
b c 6 4a 3a2,c b 4 4a a2
比较 a, b, c 的大小.
b c 6 4a 3a2
解:由
c
b
4
4a
a
2
得:
b a2 1 c 5 4a 2a2
则 c b a2 4a 4 (a 2)2 0
解：该不等式可转化为 :
（x 1) x 2 0 ①或
（x 1) x 2 0
②
x 1 由①得
x 2 0
x
1
0
解得：
由②得 x 1 或 x 2
综上:不等式的解集为：x / x 1或x 2
8、解：原不等式8可化为：
log2 ( x
1 x
6）
log2
23
0
x
x 1 x
1 x
10、解： 10
f (x 2)
1,( x 2) 1,(x 2)
(1)x 2时，原不等式可化为：
xx25
2 x 3
2
(2)x 2 时，原不等式可化为：
x (x 2) 5
高三数学不等式的基本性质重要知识点
高三数学不等式的基本性质重要知识点高三数学不等式的基本性质重要知识点在日复一日的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
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不等式的定义：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1) abb(2) acac (传递性)(3) ab+c (cR)(4) c0时，abcc0时，abac运算性质有：(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0N, n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
不等式的判定1.常见的不等号有“>”“<”“≤”“≥”及“≠”。
分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于;2.在不等式“a>b”或“a<b”中，a叫作不等式的左边，b叫作不等式的右边;< div="">3.不等号的开口所对的.数较大，不等号的尖头所对的数较小;4.在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等。
高考数学(人教A版)一轮复习课件：6.1不等式的性质及一元二次不等式
式
【知识梳理】 1.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b_b_<_a_. (2)传递性:a>b,b>c__a_>_c. (3)可加性:a>ba+c>b+c. (4)可乘性:a>b,c>0_a_c_>_b_c_;a>b,c<0___a_c_<_b.c
【典例1 】(1)(2017· 黄冈模拟)已知
x>y>z,x+y+z=0, 则下列不等式中成立的是 (
)
A.xy>yz
B.xz>yz
(2)设a>1, 且m=log a(a2 +1),n=log a(a-
1),p=log a(2a),则m,n,p 的大小关系为( )
A.n>m>p
B.m>p>n
的定义
【解析】要使y=
有意义,
即mx 2 -(1-m)x+m≥0 对 x∈R 恒成立,
则
解得m≥ .
答案:m≥
感悟考题 试一试
3.(2017· 广州模拟)已知 <0,给出下面四个不等
式:
①|a|>|b|;②a<b;③a+b<ab;④a 3 >b 3 .其中不正确的
不等式的个数是 ( )
A.0
A.-2
B.-3 C.-1
D.-
【解析】选A.当Δ=a 2 -4≤0,即-2≤a≤2 时,不等式 x2 +ax+1≥0 对任意x>0 恒成立, 当Δ=a 2 -4>0, 则需 解得a>2. 所以使不等式x2 +ax+1≥0 对任意x>0 恒成立的实 数 a 的 最 小 值 是 -2.
盘点高考数学一轮复习不等式知识点
盘点高考数学一轮复习不等式知识点盘点高考数学一轮复习不等式知识点不等式分为严格不等式与非严格不等式。
小编准备了不等式知识点，具体请看以下内容。
一、考点知识回顾不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：对称性：ab bb，bc，则a可加性：ab a+c可乘性：ab，当c0时，ac当c0时，ac不等式运算性质：(1)同向相加：若ab，cd，则a+c(2)异向相减：， .(3)正数同向相乘：若a0，c0，则acbd。
(4)乘方法则：若a0，nN+，则 ;(5)开方法则：若a0，nN+，则 (6)倒数法则：若ab0，ab，则。
2、基本不等式(或均值不等式);利用完全平方式的性质，可得a2+b22ab(a，bR)，该不等式可推广为a2+b2或变形为|ab| ; 当a，b0时，a+b 或ab .3、不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法;在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用;目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。
它的步骤如下：(1)设出未知数，确定目标函数。
(2)确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。
(3)由目标函数z=ax+by变形为y=- x+ ，所以，求z的最值可看成是求直线y=- x+ 在y轴上截距的最值(其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化)。
(4)作平行线：将直线ax+by=0平移(即作ax+by=0的平行线)，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大(或最小)时所经过的点，求出该点的坐标。
(5)求出最优解：将(4)中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大(或最小)值。
7、绝对值不等式(1)|x|0)的解集为：{x|-a|x|0)的解集为：{x|xa或x-a}。
编辑老师为大家整理的不等式知识点，查字典数学网希望对考生复习有帮助。
高考数学一轮复习不等式知识点讲解
高考数学一轮复习不等式知识点讲解不等式这局部知识，浸透在中学数学各个分支中，有着十分普遍的运用。
下面是不等式知识点解说，请考生掌握。
1。
解不等式的中心效果是不等式的同解变形，不等式的性质那么是不等式变形的实际依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密相关，要擅长把它们无机地联络起来，相互转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
经过换元，可将较复杂的不等式化归为较复杂的或基本不等式，经过结构函数、数形结合，那么可将不等式的解化归为直观、笼统的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类规范明晰。
2。
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，应用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、相对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解亲密相关，要擅长把它们无机地联络起来，相互转化和相互变用。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，经过换元，可将较复杂的不等式化归为较复杂的或基本不等式，经过结构函数，将不等式的解化归为直观、笼统的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类规范
愈加明晰。
4。
证明不等式的方法灵敏多样，但比拟法、综合法、剖析法仍是证明不等式的最基本方法。
要依据题设、题断的结构特点、内在联络，选择适当的证明方法，要熟习各种证法中的推理思想，并掌握相应的步骤，技巧和言语特点。
比拟法的普通步骤是：作差(商)变形判别符号(值)。
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高考数学一轮复习 基础知识 不等式 新人教A版
高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（2）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （3）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （4）同向不等式与异向不等式. （5）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n nn n-==-≥++--1)2n nn n -==≥+-（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等。
高考数学第一轮复习知识讲解-不等式的解法荟萃-人教A版
考纲导读：【考向预测】其他不等式的解法是高考常考考点，通常以填空题形式直接考查简单的其他不等式，如分式不等式、高次不等式、指数不等式、对数不等式的解法；也有在解答题中出现其他不等式的，作为工具知识考查，属中档题。
【解题关键】掌握基本方法！考点精讲：一、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0(0)()f xg x><、()0(0)()f xg x≥≤的形式，其中()0()()0()f x f x g x g x >⇔>、⎩⎨⎧≠≥⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ，解不等式（组）得原不等式的解集。
二、高次不等式的解法简单的高次不等式运用实数乘法的运算性质，把高次不等式转化为低次的不等式组. 常用序轴标根法，其基本思路是：整理（分解）——标根——画线——选解。
示例：不等式422x x ≤--的解集是________。
思路分析：原不等式可化为：24(2)02x x --≤-，等价于(4)(2)020x x x x --≥⎧⎨-≠⎩，由序轴标根得4x ≥或02x ≤<。
答案：[0，2）∪[4，＋∞）三、指数不等式的解法1. 指数不等式一般转化为()()(0f x g x a a a >>且1)a ≠，根据a 是否大于1结合指数函数的单调性列出不等式求解；2. 使用换元法转化为普通不等式求解。
四、对数不等式的解法1. 对数不等式一般转化为log ()log ()(0a a f x g x a >>且1)a ≠，根据a 是否大于1结合对数函数的单调性以及真数大于零列出不等式组求解；2. 使用换元法转化为普通不等式求解。
提分宝典： 【综合拓展】1. 分式不等式与简单的高次不等式，根据实数运算的符号法则，把它们转化为与其等价的两个或多个不等式（组）（由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定），各个不等式组的解集的并集就是原不等式的解集。
高考一轮数学不等式知识点复习攻略
高考一轮数学不等式知识点复习攻略不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个标题。
下面是查字典数学网整理的不等式知识点，请考生认真学习。
【考纲解读】明白现实世界和平常生活中的不等干系，明白不等式(组)的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,议决函数图象明白一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关联,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,明白二元一次不等式的几多意义,能用平面地区表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简略的二元线性筹划标题,并能加以办理;明白基本不等式的证明历程,会用基本不等式办理简略的最大(小)值标题.学会运用数形连合、分类讨论等数学思想要领剖析和办理有关不等式标题，形成优良的思维品格,培育鉴别推理和逻辑思维能力.从近几年高考标题来看，不等式的性质和解不等式标题多以一个选择题的形式出现，且多与聚集、浅易逻辑、函数知识相连合，难度较低.【考点预测】本章知识的高考命题热门有以下两个方面：1.均值不等式是积年高考的重点考察内容，考察方法多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考察直接，难度较低;在解答题中出现，其应用范畴险些涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。
2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、剖析几多等知识连合，标题往往特殊灵敏，难度高。
线性筹划标题是近几年高考的一个新热门，在考题种主要以选择、填空形式出现，固然，也可以实际标题举行考察。
考察了优化思想在办理标题的普遍应用，表现了数学的应用代价，从而形成办理简略实际标题的能力，进一步考察了考生的数学应用意识。
3.预计在2019年高考中，对不等式的性质和解不等式特殊是含参数的不等式的解法，仍会连续渗透在其他知识中举行考察。
对不等式的应用，突出渗透数学思想要领和不等式知识的综合应用，特殊是求最值标题、不等式证明标题，将连续夸大考察逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、剖析几多的综合题型将会连续出现在高考的中、高档题中。
高三数学不等式的基本性质知识点分析人教新课标A版
不等式的基本性质一、目标认知学习目标：理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在显示时节和日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式（组）的实际背景.能用不等式的基本性质比较代数式的大小。
重点、难点：能用不等式的基本性质比较代数式的大小二、知识要点梳理知识点一：概念用不等号（）表示不等关系的式子叫不等式.知识点二：性质1、不等式的基本性质：①②③；2、不等式的性质:①（反身性）②（传递性）③（可加性）④（可加法则）⑤a＞b，（可乘性）⑥（可乘法则）⑦（可乘方性）⑧（可开方性）知识点三：比较大小的方法1、作差法：任意两个实数、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。
有①；②；③。
2、作商法：任意两个正实数、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。
有①；②；③.3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.三、规律方法指导1、不等式的性质是进行不等式的变换、证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
2、分析式子的依据，选择恰当的方法比较大小是关键。
四、经典例题透析类型一：性质的应用１．对于实数a,b,c判断以下命题的真假（１）若a＞b, 则ac＜bc;（２）若ac2＞bc2，则a＞b;（３）若a＜b＜0, 则a2＞ab＞b2;（４）若a＜b＜0, 则|a|＞|b|;（５）若a＞b, ＞, 则a＞0, b＜0．解析：（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。
（２）因为ac2＞bc2, 所以c≠0, 从而c2＞0，故原命题为真命题。
（３）因为，所以a2＞ab ①又，所以ab＞b2②综合①②得a2＞ab＞b2，故原命题为真命题．（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．（５）因为，所以，所以，从而ab＜0又因a＞b，所以a＞0, b＜0，故原命题为真命题．举一反三：【变式】（1）已知a、b、c 满足c＜b＜a且ac＜0,那么下列选项中一定成立的是（）A.ab＞acB.c(b-a)＜0C.cb2＜ab2D.ac(a-c)＞0（2）若a＜b＜0，则下列结论正确的是（）.A.均不成立B.C.D.（3）设，判定下列各题中命题甲是与命题乙的什么条件。
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核心考点·精准研析
考点一比较大小与不等式的性质
1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是
( )
A.ab>0
B.bc<0
C.ab>ac
D.b(a-c)>0
2.若a=2 0192 022×2 0222 019,b=2 0192 019×20222 022,则a________b(用“>,<”填空).
3.设m=,n=,则m________n(用“>,<”填空).
【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.
2.==<1,所以a<b.
答案:<
3.m-n=-=<0,所以m<n.
答案:<
1.用同向不等式求差范围的技巧
⇒⇒a-d<x-y<b-c.
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.
2.比较大小的三种常用方法
(1)作差法:直接作差判断正负即可.
(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.
(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.
【秒杀绝招】
1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.
2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=解题.
考点二一元二次不等式的解法
【典例】1.(2020·牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是( )
A.(2,+∞)
B.(-∞,2)
C.(0,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪,则不等式cx2-2x+a≤0的解集是( )
A. B.
C.[-2,3]
D.[-3,2]
3.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)<0的解集是________.
【解题导思】
序号联想解题
1 由不等式想到x的系数变为正数后解不等式
2 由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数
3 由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集
【解析】1.选D.因为x(2-x)<0,
所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,
所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).
2.选C.不等式的解集是∪,
所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,
由,解得:a=-12,c=2,
故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,
即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,
所以所求不等式的解集是[-2,3].
3.因为a>1时,1-a<0,且a>,
则关于x的不等式可化为(x-a)>0,
解得x<或x>a,
所以不等式的解集为∪(a,+∞).
答案:∪(a,+∞)
1.解不含参数的一元二次不等式
首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图象写解集;若无根,直接根据图象写解集.
2.解含参数的一元二次不等式
(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;
(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,
若有根,则讨论根的大小后根据图象写解集;
若无根,则根据图象写解集.
1.(2019·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为 ( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪
【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),
则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;
由根与系数的关系知,,
所以,
所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,
化为3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,
解得-1<x<,
所以该不等式的解集为.
2.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=,那么集合A ∩(∁U B)等于( )
A.[-2,4)
B.(-1,3]
C.[-2,-1]
D.[-1,3]
【解析】选D.因为A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x≥4},故∁U B={x|-1≤x<4},
所以A∩(∁U B)={x|-1≤x≤3}.
考点三一元二次不等式恒成立问题
命题精解读考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围.
(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想.
怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.
学霸好方法1.恒成立问题的解题思路
(1)利用等价条件直接求范围
(2)分离参数后转化为最值问题
(3)转化为相应的函数,利用函数的图象解题
(4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题
2.交汇问题:与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题.
在R上的恒成立问题
【典例】若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值
范围为
( ) A.a<-或a>
B.a>或a<0
C.a>
D.-<a<
【解析】选C.不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,
则,即
解得a>,
所以实数a的取值范围是a>.
在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?
提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图象,列出等价条件求解.
给定区间上的恒成立问题
【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是
( ) A.m≤-3或m≥0 B.m≥-3
C.-3≤m≤0
D.m≤-3
【解析】选D.因为不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,
所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],
令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],
所以f(x)min=f(1)=-3,
所以m≤-3.
定区间上的恒成立问题如何解?
提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法.
给定参数范围的恒成立问题
【典例】(2020·六安模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合条件,排除A,B;
当x=3时,由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合条件,排除C;
方法二:转换变元法:不等式变为p+x2-4x+3>0,当0≤p≤4时恒成立,
所以
即
解得x<-1或x>3.
比较一下特殊值法和转换变元法在解题中的应用.
提示:特殊值法简单快捷,转换变元法思路巧妙,转化求解,体现了函数性质在解不等式中的应用.
1.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-3,2)
B.(-1,2)
C.(-2,2)
D.(1,2)
2.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】1.选 A.由题意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化为(m-x+1)(m+x)<4,
即m2+m-4<x2-x;
设f(x)=x2-x,x∈[1,2],
则f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;
令m2+m-4<2,即m2+m-6<0,
解得-3<m<2,
所以实数m的取值范围是(-3,2).
2.关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,
所以二次函数的图象与x轴最多有一个交点,
所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,
解得a≥,所以a的取值范围为.
答案:
1.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】由题得a≥=(x-1)++2
因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1
所以(x-1)++2=-+2≤2-2=-2,
当x=-1时得到等号.所以a≥-2.
答案:a≥-2
2.已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是________.
【解析】由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可.
故不等式可以是 (x+4)(x-6)>0.
解集为{x|x>6或x<-4}.
解集中只有-5在集合A中.
答案:(x+4)(x-6)>0(不唯一)
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