2021届河南省信阳市普通高中高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试题解析

2021届河南省信阳市普通高中高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}21A x x =-≤，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B 等于（）A ．[]1,2-B ．(]2,3C ．[)1,2D ．[)1,3答案：C思路：分別化简集合A ，B ，再根据定义求交集． 解：{}{}21|13A x x x x =-≤≤≤＝,{}|2B x y x x ⎧⎫===<⎨⎩{}|12A B x x ∴=≤<故选：C ． 点评：本题考查不等式的解法，集合的运算，属于基础题． 2．若函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．1答案：C思路：根据幂函数定义可知2221m m --=,解方程即可求得m 的值. 解：因为函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =. 故选:C 点评：本题考查了幂函数的定义,属于基础题.3．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（）A ．4B ．5C ．2D ．3答案：C思路：根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 解：函数()ln 4f x x x =+-在(0,)+∞递增， 且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->， 所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈， 故()02g x =， 故选：C. 点评：本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.4．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A ．①②③ B ．②③ C ．①② D ．③答案：A思路：根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可. 解：由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同， 故每年的增幅基本持平，故③正确； 故选：A 点评：本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题.5．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >；q ：“4ab >”是“2a >，2b >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是() A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝答案：D 思路：解：命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >;是假命题,例如取x=２时,2 2x x =;命题q :由2a >，2b >可以推出4ab >;反之不成立,例如a=2,b=4,所以“4ab >”是“2a >，2b >”的必要不充分条件，是假命题;所以下列命题是真命题的是p q ⌝∧⌝,故选D.6．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（）A B C D 答案：C思路：试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 【考点】解三角形.7．我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图像的特征，已知函数()f x 的图像如图所示，则函数()f x 的解析式可能是()A ．()()44x xf x x -=+ B ．()2()44x xf x logx -=- C ．()12()44xxf x logx -=+D ．()2()44x xf x logx -=+答案：D思路：根据函数图像特点,结合奇偶性,定义域,取值范围,利用排除法进行判断即可. 解：函数定义域为{|0}x x ≠,排除A ,函数关于y 轴对称,则函数为偶函数,排除B ,C 选项中,当01x <<时,0f x >（）,不满足条件.排除C , 故选:D. 点评：本题主要考查函数图像的识别和判断,结合函数的奇偶性,定义域以及特殊值法,利用排除法是解决本题的关键.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()12， B ．()0-∞， C ．()02，D ．()()012-∞⋃，， 答案：D思路：先求出1x >，()0f x <的解集；再由题意求出1x <时，函数的解析式，进而求出不等式的解集. 解：当1x >时，()2f x x =-，由()0f x <可得12x <<； 若1x <，则21x ->，因此()222-=--=-f x x x ，又定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x -+=，所以()()2=--=f x f x x ，即1x <时，()f x x =，由()0f x <可得，0x <.综上，不等式()0f x <的解集为()()012-∞⋃，，. 故选D 点评：本题主要考查解不等式，熟记一次函数单调性，以及函数解析式的求法即可，属于常考题型. 9．已知4x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+（03ω<<，0ϕπ<<）的一个零点，将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 的单调递增区间是（） A ．32,2412k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B ．544,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．52,2124k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈D ．344,43123k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 答案：D思路：通过条件可得4k πωϕπ+=，122k ππωϕπ-+=+，结合03ω<<，0ϕπ<<可求出,ωϕ，即可得35()sin 28f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，求出x 的范围即为函数()f x 的单调递增区间. 解：解：由已知sin 044f πωϕπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4k πωϕπ+=，k Z ∈， 又03ω<<，0ϕπ<<，7044πωϕπ∴<+<，即704k ππ<<，k Z ∈，1k ∴=，4πωϕπ∴+=①；又sin sin 121212f x x x ϕπππωωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所得图象关于y 轴对称，sin 112πωϕ⎛⎫∴-+=± ⎪⎝⎭，122k ππωϕπ∴-+=+，k Z ∈，将①代入消去ϕ得1242k ππωπωππ-+-=+，k Z ∈，33,032k ωω∴=-<<， 0k ∴=时，32ω=， 58ϕπ∴=，35()sin 28f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，34443123k x k ππππ∴-+≤≤-+，k Z ∈，故选：D. 点评：本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（） A ．(1,1)- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(1,)-+∞答案：D思路：根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 解：依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+，①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ，②①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D.点评：本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 11．已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为（） A ．①②③④ B ．②③C ．①②③D ．①②④答案：D思路：根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案. 解：①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确； ②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确； ③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，则3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =，且(1)0,y y -==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,2233x ⎡⎡⎤∈-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确. 故选：D . 点评：本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，满足()11f =，函数()1f x +的图象关于点()1,0-中心对称，对于任意1x 、()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()201920191122120x f x x f x x x ->-成立.则()20191x f x ≤的解集为（）A ．[]1,1-B ．][(),11,-∞-⋃+∞C ．]]((,10,1-∞-⋃ D ．()2019,2019-答案：C思路：根据题意可知函数()f x 为奇函数，构造函数()()2019g x xf x =，推导出函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，且函数()g x 为偶函数，分0x <和0x >两种情况结合函数()g x 的单调性可解不等式()20191x f x ≤.解： 由于函数()1f x +的图象关于点()1,0-中心对称，则函数()f x 的图象关于原点对称，所以，函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， 令()()2019g x xf x =，则()()()()()20192019g x x f x x f x g x -=--==，所以，函数()g x 为偶函数，对于任意1x 、()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()201920191122120x f x x f x x x ->-成立，即()()12120g x g x x x ->-.设12x x <，则()()12g x g x <，所以，函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，且()11g =. ①当0x >时，由()20191xf x ≤可得()()11g x g ≤=，解得01x <≤；②当0x <时，由于偶函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，则该函数在区间(),0-∞上单调递减，且()()111g g -==. 由()20191xf x ≤可得()()11g x g ≥=-，解得1x ≤-.综上所述，不等式()20191xf x ≤的解集为]]((,10,1-∞-⋃.故选：C.点评：本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题 13．()20cos sin x x dx π+⎰的值为______.答案：2思路：直接利用微积分基本定理计算得到答案. 解：()()2cos sin sin cos sin cos sin 0cos02222x x dx x x ππππ+=-=--+=⎰.故答案为：2. 点评：本题考查了定积分的计算，属于简单题. 14．已知5cos()13αβ+=，3sin 5β=，α，β均为锐角，则sin α的值是_______． 答案：3365思路：计算得到12sin()13αβ+=，4cos 5β=，再利用和差公式计算得到答案. 解：∵α，β均为锐角，∴()0,αβπ+∈，从而sin()0αβ+>，cos 0β>， ∵5cos()13αβ+=，3sin 5β=，∴12sin()13αβ+=，4cos 5β=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=. 故答案为：3365. 点评：本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15．若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为______________答案：1思路：因为1b a >>，所以log 1a b >；因为3log 6log 11a b b a +=，所以623log 11,log 3log ()log 3a a a ab b b b +===或舍，即3b a = 因此321a b +-22111111b b b b =+=-++≥=--当且仅当1b =时取等号16．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.答案：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：利用导数研究函数lnxy x=的单调性并求得最值，求解方程22[()](12)()0f x m f x m +--=得到()f x m =或1()2f x =-．画出函数图象，数形结合得答案． 解： 设lnx y x=，则21lnxy x -'=，由0y '=，解得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，函数为增函数，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，函数为减函数．∴当x e =时，函数取得极大值也是最大值为f （e ）1e=． 方程22[()](12)()0f x m f x m +--=化为[()][2()1]0f x m f x -+=． 解得()f x m =或1()2f x =-． 如图画出函数图象：可得m 的取值范围是1(0,)e．故答案为：10,e ⎛⎫⎪⎝⎭点评：本题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 三、解答题17．已知命题p ：关于x 的不等式2420x x m -+<无解；命题q ：指数函数()(21)x f x m =-是R 上的增函数.（1）若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若满足p 为假命题且q 为真命题的实数m取值范围是集合A ，集合{}2|2113B x t x t =-<<-，且A B ⊆，求实数t 的取值范围.答案：（1）[2,)+∞.（2）11,1⎡⎤-⎣⎦思路：（1）利用判别式求得p 为真时m 的取值范围.根据指数函数的单调性求得q 为真时m 的取值范围.由于p q ∧为真命题，所以p 真q 真，求两个m 的范围的交集，得到最终m 的取值范围.（2）求得p 假q 真时m 的取值范围，即集合A ，根据A B ⊆列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 解：解:（1）由p 为真命题知，1680m ∆=-解得2m ≥，所以m 的范围是[2,)+∞， 由q 为真命题知，211m ->，1m ，取交集得到[2,)+∞. 综上，m 的范围是[2,)+∞.（2）由（1）可知，当p 为假命题时，2m <；q 为真命题，则211m ->解得：1m 则m 的取值范围是(1,2)即{|12}A m m =<<，而A B ⊆，可得，2211132t t -≤⎧⎨-≥⎩解得：111t -≤≤所以，t 的取值范围是11,1⎡⎤-⎣⎦点评：本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题. 18．已知函数32()f x x ax bx c =+++在x ＝－1与x ＝2处都取得极值． (1)求,a b 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若对[1,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围． 答案：（1）见解析；（2）()7,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭思路：（1）函数在极值点的导数为零，利用(1)(2)0f f ''-==求,a b ,再利用导数的正负求其单调区间（2）利用函数单调性，分析()f x 的最大值，只需2max 3()2cf x c +<即可. 解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得即解得∴f(x)＝x 3－x 2－6x ＋c ，f′(x)＝3x 2－3x －6. 令f′(x)<0，解得－1<x<2； 令f′(x)>0，解得x<－1或x>2. ∴f(x)的减区间为(－1，2)， 增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．∴x∈时，f(x)的最大值即为：f(－1)与f(3)中的较大者． f(－1)＝＋c ，f(3)＝－＋c. ∴当x ＝－1时，f(x)取得最大值．要使f(x)＋c<c 2，只需c 2>f(－1)＋c ，即2c 2>7＋5c ，解得c<－1或c>.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪.点评：本题主要考查了函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的求解，属于难题.一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值.19．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)ay kxx =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）对于A 芯片，毛收入y 与投入x 的资金关系为：()104y x x =>；对于B 芯片，毛收入y 与投入x 的资金关系为：(0)y x x =>.（2）9千万元.思路：（1）对于A 芯片，可设()0y mx x =>，利用题设条件可求14m =，对于B 芯片，根据图象可得关于,k a 的方程，解方程后可得函数的解析式.（2）设对B 芯片投入资金x （千万元），则对A 芯片投入资金40x -（千万元），则利润4024xL x -=+，利用换元法可求该函数的最大值. 解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设()0y mx x =>，因为每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元，故114m =⨯，所以14m =，因此对于A 芯片，毛收入y 与投入x 的资金关系为：()104y x x =>.对于B 芯片，由图像可知，124ak k =⎧⎨=⎩，故121a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 因此对于B 芯片，毛收入y 与投入x的资金关系为：0)y x =>.（2）设对B 芯片投入资金x （千万元），则对A 芯片投入资金40x -（千万元），假设利润为L，则利润402,0404xL x -=+<<.令(0,t =，则()221182944L t t t =-++=--+，当2t =即4x =（千万元）时，有最大利润为9（千万元）.答：当对A 芯片投入3.6亿，对B 芯片投入4千万元时，有最大利润9千万元. 点评：本题考查无理函数在实际中的应用，注意根据解析式的形式换元求最大值，本题属于基础题.20．在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足()())sin sin sin b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）已知______，______，若ABC 存在，求ABC 的面积；若ABC 不存在，说明理由. 答案：（1）6A π=；（2）答案不唯一，具体见解析.思路：（1）由题中的条件，根据正弦定理，得到222b c a +-=，再由余弦定理，即可求出结果；（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出b =，再三角形内角和得出712C π=，进而求出7sin 12π=，进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出2b =，进而得到c =，进而可求出三角形的面积；方案三：选条件②和③，由条件得sin 1C >，不成立，所以三角形不存在. 解：（1）因为()())sin sin sin b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b ac c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-，因为0A π<<， 所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得2sin sin sin 4sin 6a b B A ππ===76412C A B πππππ=--=--=. 71sinsin 124322224πππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 所以ABC的面积11sin 21224S ab C ==⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =.所以c ==，所以ABC的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，因为=c 由正弦定理得sin 1422C B π====>，不成立，所以这样的三角形不存在. 点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于中档题.21．已知函数()()()12142,21x xx x f x m m R g x +-=-⋅∈=+.（1）求函数()f x 在区间)1,⎡+∞⎣上的最小值；（2）若存在不相等的实数,a b 同时满足()()()()0,0f a f b g a g b +=+=，求m 的取值范围.答案：（1）2m ≥时：()2min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-；（2）1,2m ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭思路：（1）设2(2)x t t =≥，化简得到函数22y t mt =-，讨论对称轴范围2m ≥和2m <两种情况计算得到答案.（2）根据()()0g a g b +=化简得到0a b +=，代入函数得到114422a a a a m -+-++=+，设22(2)a a t t -+=>得到函数12t y t=-，根据函数的单调性得到取值范围. 解：（1）()142xx f x m +=-⋅，设2(2)x t t =≥，22y t mt =-，对称轴为t m =当2m ≥时：222min 2y m m m =-=-；当2m <时：min 44y m =-.综上所述：2m ≥时：()2min f x m =-；2m <时：()min 44f x m =-（2）()()0g a g b +=，则()()()()212102121212102121a b a b a b a b --+=∴-+++-=++化简得到：210a b a b +=∴+=()()0f a f b +=即1111114442424402222a b a aab a b a b a a m m m -+++++-++++=-⋅-⋅∴==++设22(2)a at t -+=>则22122t t m t t-==-易知函数12t y t =-在()2,+∞单调递增，故211222m >-=即1,2m ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭点评：本题考查了函数的最值问题，求参数的取值范围，意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.22．设函数()2ln f x x x ax =-（1）若函数()f x 有两个极值点，求a 实数的取值范围； （2）设()()()2f x g x ax x x=--，若当0a <时，函数()g x 的两个极值点1x ，2x 满足12x x <，求证：()294g x >. 答案：（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.思路：（1）先由题中条件，得出函数定义域，由题意，得到()ln 12f x x ax '=+-在()0,∞+上有两个零点，即ln 12x a x+=在()0,∞+上有两个不等实根，设()ln 1x h x x +=，0x >，得到函数()ln 1x h x x+=与直线2y a =在()0,∞+上有两个不同交点，对函数()ln 1x h x x+=求导，判定其单调性，得出最值，进而可得出结果；（2）对函数()g x 求导，根据题中条件，由韦达定理，得到1212x x +=，求出21142x <<得到()22211ln 242x x g x ---=，21142x <<，设()1ln 42T x x x =---，1142x <<对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果. 解：（1）由已知，可知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 12f x x ax '=+-在()0,∞+上有两个零点，即方程ln 12x a x+=在()0,∞+上有两个不等实根， 设()ln 1x h x x+=，0x >，因此函数()ln 1x h x x+=与直线2y a =在()0,∞+上有两个不同交点，又()()221ln 1ln x xh x x x -+'==-， 由()0h x '>得01x <<；由()0h x '<得1x >； 则函数()ln 1x h x x+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 则()()max 11h x h ==； 又当1x e >时，()0h x >，当10x e<<时，()0h x <； 为使函数()ln 1x h x x+=与直线2y a =在()0,∞+上有两个不同交点， 只需021a <<，解得102a <<，即实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）证明：因为()()()()22ln 0f x g x ax x ax ax x x x=--=-->， ∴()21212ax ax g x ax a x x--'=--=，由()0g x '=的两根为1x ，2x ，故可得1212x x +=， 因为12x x <，所以214x >， 又()22222210ax ax g x x --'==，所以222102a x x =<-，解得2102x <<， ∴21142x <<， ∴()()222222222221ln ln 2x x g x ax ax x x x x -=--=--22222111ln ln 21242x x x x x -=-=----，21142x <<，设()1ln 42T x x x =---，1142x <<，则()()()()()()222214111451212121x x x x T x x x x x x x ---+'=-+=-=----， 当1142x <<，()0T x '>，()T x 是增函数； 所以()11ln 424T x T ⎛⎫>=+>⎪⎝⎭； 因此()22211159ln 2242224g x x x =-->+=>-. 点评：本题主要考查由函数极值点个数求参数，考查由导数的方法证明不等式，属于常考题型.。