积分求导

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积分公式和求导公式

积分公式和求导公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：积分和求导是微积分中的两个基本概念，它们在数学中具有非常重要的地位。

积分是用来计算函数在一个区间内的面积或曲线下面积的工具，求导则是用来求函数在某一点的斜率或变化率的工具。

在实际应用中，积分和求导被广泛运用于物理学、工程学、经济学等领域。

积分公式是积分运算的基本规则，它包括了各种基本函数的积分形式。

在微积分中，常见的积分公式有如下几个：1. 基本积分公式：常数函数的积分、幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分、反三角函数的积分等。

2. 定积分公式：定积分的计算方法有很多，比如换元法、分部积分法、特殊函数积分法等。

3. 微分方程的积分公式：微分方程是微积分中的一个重要应用领域，积分公式在解微分方程中扮演着关键的角色。

4. 曲线积分公式：曲线积分是在曲线上进行积分运算的一种形式，它在物理学、工程学中有广泛的应用。

积分公式的运用可以简化复杂函数的积分运算，帮助我们更快地求解问题。

在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择适合的积分公式，从而更加高效地解决问题。

2. 高阶导数公式：高阶导数是指对函数进行多次求导运算，求导公式可以帮助我们计算任意阶导数。

3. 链式法则：链式法则是求解复合函数导数的基本规则，通过链式法则可以简化复杂函数的导数运算。

4. 隐函数求导：隐函数求导是求解含有隐含变量的函数导数的一种方法，它在实际问题中有着重要的应用价值。

积分公式和求导公式是微积分中的两个基本工具，它们在数学和实际问题中具有极其重要的作用。

通过熟练掌握积分和求导的基本原理和公式，我们可以更好地理解和解决复杂的数学和科学问题，为我们的学习和研究提供强大的支持和帮助。

希望大家能够深入学习和掌握积分和求导，发现其中的美妙和价值，不断拓展自己的数学知识和能力。

【文章结束】。

第二篇示例：积分和求导是微积分中最基础的概念，也是最常用的数学工具之一。

积分公式和求导公式是帮助我们计算函数的积分和导数的重要工具，它们在工程、物理、经济学等领域都有着广泛的应用。

积分公式和求导公式

积分公式和求导公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：积分公式和求导公式是微积分中非常重要的概念，它们是计算函数的导数和积分的基础。

在数学中，导数和积分分别描述了函数的变化率和函数下面积的概念。

下面我们将分别介绍积分公式和求导公式的概念、定义以及常见的应用。

一、积分公式积分是微积分中的一个重要概念，描述了曲线下面积的大小。

积分的符号通常用∫来表示，积分公式的一般形式如下：∫f(x) dx = F(x) + Cf(x)是被积函数，F(x)是积分函数，C是积分常数。

积分函数F(x)实际上是f(x)的不定积分，表示对f(x)的积分后得到的函数。

求解定积分的过程就是求解不定积分并确定积分常数的过程。

根据不定积分的性质，可以通过积分公式将一个复杂函数的不定积分转化为更简单的函数的不定积分，从而更容易求解。

在实际应用中，积分公式常用于计算曲线下面积、求解定积分、计算物理问题中的面积、体积等。

通过积分公式，可以帮助我们更准确地描述函数的性质，解决实际问题中的计算需求。

二、求导公式求导是微积分中另一个重要的概念，描述了函数在某一点处的变化率。

导数通常用f'(x)或者dy/dx表示，求导的一般形式如下：f'(x) = lim(h→0) [ f(x+h) - f(x) ] / hf(x)是原函数，f'(x)是导数。

求导的过程就是求解函数的变化率，用导数来描述函数在某一点处的斜率或者速度。

求解导数的过程就是求解导数函数的过程，根据导数的定义将原函数进行微小变化并求解极限得到导数函数。

导数函数描述了原函数在每一点处的变化率，是对原函数的一种更加精确的描述。

第二篇示例：积分和求导是微积分中非常重要的概念，它们在数学、物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。

积分公式和求导公式是微积分理论的基础，掌握这些公式能够帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。

首先我们来看一下积分公式。

在微积分中，积分是对函数的反操作，它的结果是求函数在一定区间内的面积或者曲线下的面积。

积分函数求导

积分函数求导积分函数是数学中的一类重要的函数。

它的定义是：任何函数f(x)积分函数是由它本身的某一部分积分构成的函数。

例如，积分函数可以由 f(x)积分构成，也可以由它的某一部分的积分构成。

积分函数的求导定义是：积分函数的求导就是求出积分函数的导数。

二、积分函数求导的三种方法1.首先，有一种叫做“常数乘法法则”的求导法，它可以用来求f(x)的积分函数的导数。

这个方法的核心思想是：如果一个函数是f(x)乘以一个常数，那么它的导数就是f(x)乘以这个常数。

2.其次，可以使用“幂函数求导”的方法。

幂函数求导规则指出：如果一个函数的形式是 f(x)的幂，那么它的导数为f(x)的幂乘以它的指数。

3.最后，也可以使用“积分函数求导”的方法。

该方法的基本原理是：如果一个函数是一个积分函数，那么它的导数为它本身减去它积分函数的第一项。

三、积分函数求导的应用积分函数求导在数学上是一种重要的工具，它可以用来求解复杂的微积分问题。

例如，积分函数求导可以用来解决圆周率、极限、面积和体积等问题。

此外，它还可以用来解决曲线的曲率、最值点等问题。

积分函数求导可以使们更好地理解和分析各种复杂的数学问题，从而帮助我们更好地掌握数学知识。

四、总结积分函数求导是数学中一类重要的函数。

它由f(x)的一部分积分构成，其定义是求出积分函数的导数。

积分函数求导有三种方法：常数乘法法则、幂函数求导、积分函数求导法。

它可以用来求解复杂的微积分问题，如圆周率、极限、面积和体积等问题；也可以用来求解曲线的曲率、最值点等问题，因此，它对我们掌握数学知识具有很大的帮助。

积分与求导公式大全

一、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭二、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa a a '= ⑾()1ln x x '=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xa d dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+。

微分积分求导三者的区别

微分积分求导三者的区别
微分、积分和求导是数学中三个重要的概念，它们之间有着紧密的联系和区别。

微分是指对函数在某一点的变化率的度量。

具体来说，如果函数f(x) 在 x=a 点处的导数为 f"(a),那么 f(x) 在 x=a 点处的微分就可以表示为 dyf"(a)dx。

微分是一种局部的度量，它只考虑函数在某一点处的变化率。

积分是指对函数在一定区间内的累积量的度量。

具体来说，如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的导数为 f"(x),那么 f(x) 在 [a,b] 上的积分就可以表示为∫[a,b]f(x)dx。

积分是一种整体的度量，它考虑的是函数在整个区间上的累积量。

求导是指对函数的导数进行求解。

求导是一种数学手段，它用于求解函数在某一点处的变化率，同时也可以用于求解函数的全局变化趋势。

求导是一种线性化的手段，它可以使函数在某一点处的导数变得简单，以便于进行计算和分析。

总的来说，微分和积分是两种不同的数学手段，它们分别度量了函数在某一点处和在整个区间上的变化率。

而求导则是这两种手段的逆操作，它用于求解函数的导数和全局变化趋势。

微分、积分和求导是数学中非常重要的基本概念，它们的求解和应用在许多领域中都有广泛的应用。

微积分16个求导公式

微积分16个求导公式微积分中的求导公式就像是数学世界里的秘密武器，掌握了它们，就能在解题的道路上披荆斩棘。

今天咱们就来好好聊聊这 16 个神奇的求导公式。

先来说说最基础的，常数的求导。

这就好比是数学世界里的定海神针，一个常数 C 的导数永远是 0 。

想象一下，你有一个固定的数值，比如 5 ，它就像一块坚定不移的石头，不管时间怎么变化，它都不会有任何的“波动”，所以它的变化率也就是导数自然就是 0 啦。

然后是幂函数的求导公式，(x^n)' = n*x^(n - 1) 。

这就像是给幂函数穿上了一双加速的跑鞋。

比如说 x^2 ，它的导数就是 2x 。

咱们可以这样理解，x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，当 x 增大时，曲线变得越来越陡峭，而 2x 就恰好反映了这种变化的快慢程度。

再来说说指数函数的求导，(a^x)' = a^x * ln(a) 。

这就像是指数函数的心跳节奏。

以 e^x 为例，它的导数还是它本身 e^x ，这是因为 e 这个神奇的数字有着独特的性质，它的增长速度和它自身成正比。

还有对数函数的求导，(log_a x)' = 1 / (x * ln(a)) 。

想象一下你在记录自己存钱的过程，对数函数就像是你存款增长的速度，而这个求导公式就是在告诉你这个速度是怎么变化的。

三角函数的求导也很有趣。

(sin x)' = cos x ，(cos x)' = -sin x 。

就好像正弦函数和余弦函数在跳一场优美的舞蹈，它们的导数就是彼此的舞步变化。

还记得我上高中的时候，有一次数学考试，就考到了求导的题目。

其中有一道题是求 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 1 的导数。

我当时心里一紧，赶紧回忆起这些求导公式。

先对每一项分别求导，x^3 的导数是3x^2 ，2x^2 的导数是 4x ，3x 的导数是 3 ，常数 1 的导数是 0 ，最后加起来就是 y' = 3x^2 + 4x + 3 。

对积分上限求导的规则

对积分上限求导的规则
1. 如果积分上限是一个常数，哇塞，那对它求导就非常简单啦，结果直接就是 0 哟！就像你走路的时候一直走直线，速度都不变，那加速度不就是0 嘛！比如积分上限是 5，那求导就是 0。

2. 要是积分上限是一个变量，嘿，这可就有意思了，求导的结果就是这个变量的导数呀！这就好像赛车在赛道上加速跑，速度在不断变化，你得关注这个变化率呢！比如说积分上限是 x，那求导就是 1 呀！
3. 当积分上限是一个函数的时候，哇哦，那就要用复合函数求导法则啦，可别弄迷糊了哦！就跟解谜题一样，得一层一层找答案呢！比如积分上限是sinx，那求导就是 cosx。

4. 积分上限如果是多个函数的组合，哎呀呀，那你就得细心加耐心地一个一个处理啦！就像搭积木，要一块一块搭好才行呀！比如积分上限是x+2x^2，那求导就是 1+4x。

5. 可别小看对积分上限求导啊，它有时候能解决大问题呢！就好像一把钥匙能打开锁一样神奇！比如在求一些曲线的长度问题里就能用到哦！
6. 记得要多练习呀，熟练了才能运用自如嘛！就像骑自行车，多骑几次就会越来越顺啦！所以遇到对积分上限求导可别发怵，大胆去做就好啦!
我的观点结论就是：对积分上限求导有这些规则很重要，得好好掌握！。

积分和求导关系

积分和求导关系
积分和求导是数学中的重要概念，它们之间有着密切的联系。

积分是求解定积
分的过程，它可以用来计算曲线下的面积或体积。

求导是求函数的导数的过程，它可以用来计算函数的斜率或变化率。

积分和求导之间的关系是：求导是积分的反过程。

求导的过程是把一个函数的
积分反过来，从而得到函数的导数。

也就是说，如果我们知道一个函数的积分，那么我们就可以求出该函数的导数。

另外，积分和求导之间还有一个重要的关系，即积分可以用来求解求导的问题。

也就是说，如果我们想求解一个函数的导数，我们可以先求出该函数的积分，然后再求出该函数的导数。

总之，积分和求导之间有着密切的联系，它们之间的关系是：求导是积分的反
过程，而积分可以用来求解求导的问题。

因此，积分和求导是数学中不可分割的重要概念，它们在数学中有着重要的作用。

基本求导积分公式

基本求导积分公式求导积分是微积分中最基本的概念之一，它们可以帮助我们理解函数的性质和计算函数在特定区间的变化。

在本文中，我将为您介绍一些基本的求导和积分公式，并详细解释它们的推导和应用。

一、求导公式1.常数函数求导公式如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。

因为常数函数没有变化率，所以它的导数永远为零。

2.幂函数求导公式如果 f(x)=x^n，其中 n 是实数，则有 f'(x) = nx^(n-1)。

这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到，也可以通过使用指数函数的导数公式来得到。

3.指数函数求导公式如果 f(x)=a^x，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。

这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。

4.对数函数求导公式如果 f(x)=log_a(x)，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) =1/(x * ln(a))。

这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。

5.三角函数求导公式(1) sin(x) 的导数是 cos(x)；(2) cos(x) 的导数是 -sin(x)；(3) tan(x) 的导数是 sec^2(x)，其中 sec(x) 是 secant 函数，其定义为 sec(x) = 1/cos(x)；(4) cot(x) 的导数是 -csc^2(x)，其中 csc(x) 是 cosecant 函数，其定义为 csc(x) = 1/sin(x)；(5) sec(x) 的导数是 sec(x) * tan(x)；(6) csc(x) 的导数是 -csc(x) * cot(x)。

6.反三角函数求导公式(1) arcsin(x) 的导数是1/√(1-x^2)；(2) arccos(x) 的导数是 -1/√(1-x^2)；(3) arctan(x) 的导数是 1/(1+x^2)；(4) arccot(x) 的导数是 -1/(1+x^2)；(5) arcsec(x) 的导数是 1/(，x，* √(x^2-1))；(6) arccsc(x) 的导数是 -1/(，x，* √(x^2-1))。

上下限定积分求导公式

上下限定积分求导公式对有积分上下限函数的求导的公式：[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c为常数。

解释：对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0等。

对有积分上下限函数的求导公式[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c为常数。

解释：对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0。

[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)，a为常数，g(x)为积分上限函数，解释：积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。

[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a 为常数，g(x)为积分上限函数，p(x)为积分下限函数。

解释：积分上下限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。

什么是积分变限函数所谓“积分变限函数”就是用定积分定义的函数，其中自变量出现在积分的上限或下限。

在讲牛顿-莱布尼茨定理时，我们用定积分对一个连续函数f(x)函数，定义了一个这样的函数：由于这个函数的自变量x在积分上限，我们称这样的函数为“积分上限函数”。

在微积分里证明了：这个积分上限函数是f(x)的原函数，或者说，f(x)是这个积分上限函数的导数。

这个结论直接导致了微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。

当然，变量也可能出现在积分下限，甚至上限和下限都可以含有自变量，我们把这类函数统称为“积分变限函数”。

积分变限函数与之前接触过的所有函数都有很大的不同。

首先是定积分定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或下限。

积分与求导公式大全

一、导数的四则运算法则之巴公井开创作二、基本导数公式⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '=⑽()ln xxa a a '=⑾()1ln x x '=⑿()1log ln x a x a '=⒀()arcsin x '=⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a u ax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c ux v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn =（2）()()n ax bn ax bea e++=⋅ (3)()()ln n xx n aa a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx =⑽()ln x x d a a adx =⑾()1ln d x dx x= ⑿()1logln x a d dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=±⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+⑷2u vdu udvd v v-⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑵11x x dx c μμμ+=++⎰⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰⑸x x e dx e c =+⎰⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin dx x c =+八、下列经常使用凑微分公式九、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，ax dv e dx = 形如sin n x xdx ⎰令n u x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ⎰令n u x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n dv x dx = 形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，n dv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。

积分的导数

积分的导数本文最终要完成对 leibniz 律的高维推广．由于真的很少有书讲全这个内容——哪怕是专门的微分几何教材，遂决定写下此文仔细讲解(尤其是变化区域上)对积分求导的具体操作．本文算是对笔者一篇回答的补充．这里假定读者懂一些多元微积分和线性代数，但我仍尽力尝试用最简单的话讲清楚怎么对一个积分整体求导．1. leibniz 律简介首先，大家应该学过变限积分的求导公式，称作 leibniz 律，它是\frac{\text d}{\textdt}\int_{g(t)}^{h(t)}f(x,t)\,\text dx=f(h,t)\dot h-f(g,t)\dot g+\int_{g(t)}^{h(t)}\frac{\partialf}{\partial t}\,\text dx.\\我们发现其实真正使用上式的场合还是很少的：一般来讲要么就是单限含参，要么就是积分域不变（与求导无关），比如说\frac{\text d}{\text dt}\int_{c}^{t}f(x)\,\textdx=f(t),\quad\frac{\text d}{\text dt}\int_0^\inftyf(x,t)\,\text dx=\int_0^\infty \frac{\partialf}{\partial t}\,\text dx.\\证明是容易的．通常的办法便是把整个积分视作一个多元函数\phi(g,h,t)=\int_g^h f(x,t)\,\text dx,\\再用链式法则\frac{\text d\phi}{\textdt}=\frac{\partial\phi}{\partial g}\dotg+\frac{\partial\phi}{\partial h}\doth+\frac{\partial\phi}{\partial t}.\\右式前两项代表积分区域 [g,h] 变化的影响；第三项则是被积函数自身变化的影响，而 g,h 均不显含 t, 因此如果函数足够光滑，那么可以把偏导数移进积分里[1]，其具体证明是\begin{align}\frac{\partial\phi}{\partialt}&=\frac{\partial}{\partial t}\int_g^h \left(f(x,t)-f(x,c)\right)\text dx\\&=\frac{\partial}{\partialt}\int_g^h\int_c^t \frac{\partial f(x,s)}{\partial s} \,\text ds\,\text dx\\&=\frac{\partial}{\partialt}\int_c^t\int_g^h\frac{\partial f(x,s)}{\partial s} \,\text dx\,\text ds\\&=\int_g^h \frac{\partialf(x,t)}{\partial t}\,\text dx. \end{align} \\于是也就完成了证明[2][3]．但我们再介绍一下另一个更具启发性的证明．一个启发性的证明当尝试推广到高维时，真正困难的部分是积分区域的处理，而不是被积函数．所以让我们集中注意在由可变区域决定的部分i=\frac{\text d}{\textdt}\int_{g(t)}^{h(t)}f(x)\,\text dx,\\而区域 c_t=[g(t),h(t)] 是变化的，但我们对区间内部点怎样移动是一无所知的，我们只能看见边界点的移动．当然，其实答案也和内部点的移动无关，但为了便于推广到高维，我们得尝试考虑所有点移动的这种思想．请想象 c_t 是一只在 x 轴上爬行的毛毛虫．随着它伸缩蠕动，它身上的每一点都具有自己的轨迹．设毛毛虫上的点被标记为参数 u\in[a,b], 即对应于 x=x(u,t). 毛毛虫只能伸缩而不能折返，即 \partial x/\partial u 同号，不妨设其为正．对于每一时刻 t, 映射 u\mapsto x(u,t) 是双射且双向光滑的，也就是说这是一个(单参数 t 的)微分同胚．显然，因为我们不希望毛毛虫“扭伤”自己．我们把参数 t 处的映射记作\begin{align}\phi_t(u)&=x(u,t),\\\phi_t:[a,b]&\to[\phi _t(a),\phi_t(b)]=c_t.\end{align}\\那么积分区间可以很简单的转化为\int_{\phi_t(a)}^{\phi_t(b)} f(x)\,\text dx=\int_a^bf\left(x(u,t)\right)\frac{\partial x}{\partialu}\,\text du.\\这个转化的思想非常重要．因为现在我们已经把变化的积分区域处理为了固定的区域，而这种变化现在体现在了被积函数身上．这就很轻松了，可以直接移进导数为\begin{align}i&=\int_a^b \frac{\partial}{\partialt}\left(f\left(x(u,t)\right)\frac{\partial x}{\partial u}\right)\text du\\&=\int_a^b \left(\frac{\partialf}{\partial x}\frac{\partial x}{\partialt}\frac{\partial x}{\partial u}+f\frac{\partial^2x}{\partial u\partial t}\right)\text du.\end{align}\\赋予每一点速度 v(x,t)=\partial x/\partial t. 即\begin{align}i&=\int_a^b \left(\frac{\partialf}{\partial x}\,v\,\frac{\partial x}{\partialu}+f\frac{\partial v}{\partial u}\right)\textdu\\&=\int_{\phi_t(a)}^{\phi_t(b)}\left(\frac{\partial f}{\partial x}v+f\frac{\partial v}{\partial x}\right)\text dx\\&=\int_g^h\frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)v\right)\text dx,\end{align}\\那么这是在时间固定瞬间的情况．我们来回顾一下都干了些啥．整个问题是不变的被积函数在变化区域上的积分的导数，而区域的变化描述为一个速度场，但现在我们的结果表明，被积函数恰好凑出了微分，所以答案才仅仅取决于整个积分区间的边界处，即把这些瞬间累加后，变化只体现在了表面上．因此，考虑到边界处的速度分别是 \dot g,\dot h, 我们终于有i=f(h)\dot h-f(g)\dot g.\\这个证明似乎是很多余的，毕竟过程中我们引入了一个速度场v, 而最后才使用微积分基本定理．但推广时，这种思想，即转化为固定区域的积分，将非常方便．2. 推广特例2.1 平面上请假象 xy 平面上生活着一个变化的区域 d_t. 它的活动是十分随意的，可以移动也可以形变，除了保证同胚以外别无他求．现在我们再来尝试如何计算i=\frac{\text d}{\text dt}\iint_{d_t} f(x,y,t)\,\text dx\,\text dy.\\一样的道理，我们将总的变化分为区域变化和被积函数的变化，这一点很容易按求导乘法法则的思路去证明，即i|_{t=t_0}=\left.\frac{\text d}{\text dt}\iint_{d_t} f(x,y,t_0)\,\text dx\,\textdy\,\right|_{t=t_0}+\iint_{d_{t_0}}\left.\frac{\partial f}{\partialt}\right|_{t=t_0}\text dx\,\text dy.\\因此最重要的问题就是计算\pi=\frac{\text d}{\text dt}\iint_{d_t} f(x,y)\,\text dx\,\text dy.\\接下来用一个比较“物理”的方法．考虑区域连续变化过程中两个邻近状态 d_t 和 d_{t+\text dt}. 用速度场 \boldsymbol v(x,y,t) 描述边界点 (x,y) 处的速度，令 \boldsymbol n 是此处朝外定向的单位法向量．于是上式就成为了\pi=\frac1{\text dt}\left(\iint_{d_{t+\textdt}}f\,\text dx\,\text dy-\iint_{d_t} f\,\textdx\,\text dy\right),\\显然，交集部分消去，那么就只剩下区域差 d_{t+\text dt}-d_t, 这一块的极限自然就是窄窄的区域边界 \partial d_t. 也就是说\begin{align}\pi&=\frac1{\text dt}\oint_{\partial d_t} f \,(\boldsymbol v\,\text dt)\cdot(\boldsymboln\,\text ds)\\&=\oint_{\partial d_t} f\boldsymbolv\cdot\boldsymbol n\,\text ds\\&=\oint_{\partial d_t} f(v_x\text dy-v_y\text dx)\\&=\iint_{d_t} \nabla\cdot (f\boldsymbol v) \,\text dx\,\text dy,\end{align}\\于是也就完成了计算．当然，这样证对物理学家来说还过得去，但肯定保不了严谨．2.2 空间中考虑空间中一方自由的流体，每一点有位置 \boldsymbolx(\boldsymbol u,t) 和速度 \boldsymbol v(\boldsymbol x,t), 其中取一块随之移动的区域 d_t. 那么我们的结论就是\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint_{d_t}f(\boldsymbol x,t)\,\text dv =\iiint_{d_t}\partial_t f\,\text d v+{{\subset\kern{-2pt}\supset} \kern{-14.3pt}{\iint_{\partial d_t}}} f\boldsymbolv\cdot\text d\boldsymbol \sigma.\\其中 \text d\boldsymbol \sigma=\boldsymbol n\,\textd\sigma, 而 \boldsymbol n 是朝外定向的单位法向量．如果将上式 f 替换为矢量场，将给出所谓的 reynolds 运输定理．它的微分表达就是所谓的物质导数[4]，这里我懒得打了，有兴趣的朋友自己搜吧．结合 gauss 定理、green 公式等，你会发现这个式子和上一节的结论是相似的．下面我们按照前文启发性的思路，给出一个严格证明[5][6]．设区间对应于 \boldsymbol u 空间里的 c, 而对于任意 t 有同胚 \phi_t: c\to d_t. 那么我们写作 \phi_t(\boldsymbol u)=\boldsymbol x(\boldsymbol u,t). 如果读者学过一点微分几何，那么应该会习惯“给坐标右上角带上指标”这样的记号，不要误会成次方就行．对于一个固定时刻 t, 我们可以把\phi_t 的 jacobi 矩阵写作\frac{\partial\boldsymbol x}{\partial\boldsymbolu}=\left[\frac{\partial x^i}{\partial u^j}\right].\\该矩阵是非奇异矩阵，也就是说处处有逆，写法上就是上下颠倒即可．我们再插入一个线性代数的结论作为引理．如果一个矩阵函数\bold a(t) 是非奇异的，那么有\frac{\text d|\bold a|}{\text dt}= |\bolda|\text{trace}(\dot {\bold a} \bold a^{-1}).\\现在我们代入 \phi_t 的 jacobi 矩阵，有\begin{align}\text{trace}\left(\frac{\partial\dot{\bol dsymbol x}}{\partial\boldsymbol u}\frac{\partial\boldsymbol u}{\partial\boldsymbolx}\right)&=\frac{\partial v^i}{\partialu^j}\frac{\partial u^j}{\partialx^i}\\&=\frac{\partial v^i}{\partialx^i}\\&=\nabla\cdot\boldsymbol v,\end{align}\\这里使用了求和约定[7]记号．于是有\frac{\text d}{\textdt}\left|\frac{\partial\boldsymbolx}{\partial\boldsymbolu}\right|=\left|\frac{\partial\boldsymbolx}{\partial\boldsymbol u}\right|\nabla\cdot\boldsymbol v.\\现在我们开始处理积分．换元有\begin{align}f(t)&=\iiint_{d_t} f(\boldsymbolx,t)\,\text d^3 x\\&=\iiint_c f(\boldsymbolx(\boldsymbol u,t),t)\left|\frac{\partial\boldsymbolx}{\partial\boldsymbol u}\right| \text d^3u.\end{align}\\对它求导就可以直接移进积分里了，因为区间是固定的，即\begin{align}\frac{\text df}{\text dt}&=\iiint_c\left(\left(\frac{\partial f}{\partialx^i}v^i+\frac{\partial f}{\partialt}\right)\left|\frac{\partial\boldsymbolx}{\partial\boldsymbol u}\right|+f\left|\frac{\partial\boldsymbolx}{\partial\boldsymbol u}\right|\nabla\cdot\boldsymbol v\right)\text d^3 u\\&=\iiint_{d_t} \left(\nablaf\cdot\boldsymbol v+\partial_t f+f \,\nabla\cdot\boldsymbol v\right)\text d^3x\\&=\iiint_{d_t}\left(\nabla \cdot(f\boldsymbol v)+\partial_tf\right)\text dv\\&=\iiint_{d_t}\partial_t f\,\text d v+{{\subset\kern{-2pt}\supset} \kern{-14.3pt}{\iint_{\partial d_t}}} f\boldsymbolv\cdot\text d\boldsymbol \sigma.\end{align}\\很自然吧？2.3 曲面通量设 \boldsymbol x 空间里有一块会变化的光滑曲面 s_t, 我们假定它是可正定的，说通俗点就是它一定有俩面儿．对这块曲面采取的参数化是映射 (\boldsymbol u,t)\mapsto\boldsymbol x(\boldsymbol u,t), 其中 \boldsymbolu=(u^1,u^2) 在 \boldsymbol u 平面的对应区域 c 内．给曲面赋予一个流场 \boldsymbol v(\boldsymbol x,t), 并给出矢量场 \boldsymbol b(\boldsymbol x,t), 令其穿过曲面的通量为f(t)=\iint_{s_t} \boldsymbol {b}\cdot\textd\boldsymbol s,\\问题是对它求导．首先，积分区域的维度比背景空间 \bold r^3 的维度小；其次，如果我们仍用前文那种不太严谨的“物理”做法，去比较 s_t 和 s_{t+\text dt}, 那么这两个区间一般来讲就没交集了！所以我们可能最好是从这里开始把眼光放向高维推广，寻求普适性的计算方法．当然，其实可以认为这里 \delta s 是以两个面为管柱体的侧面，那么极限情况仍然会是区域边界，但被积对象和微元可就没有平面情况简单了——实际上必须引入矢量场的散度 \nabla \cdot\boldsymbol b.现在，我给你这个情况的结论，它是\begin{align}\frac{\text df}{\textdt}&=\iint_{s_t}\left(\partial_t\boldsymbolb+\left(\nabla\cdot\boldsymbol b\right)\boldsymbolv\right)\cdot \text d\boldsymbol s+\oint_{\partials_t}\boldsymbol b\times\boldsymbol v\cdot\textd\boldsymbol x\\&=\iint_{s_t}\left(\partial_t\boldsymbolb+(\boldsymbol v\cdot\nabla)\boldsymbolb\right)\cdot\text d\boldsymbol s,\end{align}\\你会发现，假如我这里把 \boldsymbol b 看作物理学里的磁感应强度[8]，那么由磁场 gauss 定律\nabla \cdot \boldsymbol b=0, 上式将退回和平面情况类似的写法\frac{\text d}{\textdt}\iint_{s_t} \boldsymbol {b}\cdot\textd\boldsymbols=\iint_{s_t}\partial_t\boldsymbol b\cdot\text d\boldsymbol s+\oint_{\partials_t}\boldsymbol b\times\boldsymbol v\cdot\textd\boldsymbol x,\\式左是磁通量变化率，式右第一项就成了所谓的感生电动势，第二项就是动生电动势．所以总的公式就可以看成 faraday 定律的完整表达．因此磁场散度为零等价于电动势可以描述为两部分，这两个现象都符合当前的实验验证，实际上也暗示了即使存在磁单极子，也可以通过变换而消去，因为我们只需要感生和动生．所以多出来这个散度 \nabla \cdot \boldsymbol b 是由于积分曲面在三维空间中流动导致的．我们上一节的证明思路现在就行不通了，因为它会算出错误的答案(请试一试！)．接下来我不打算单独证它了，要看“物理”方法的朋友自己查阅任意电动力学教材，比如[9]．我们现在直接走向最普适的空间里去，那就是任意 n 维流形里的 r 维可变区域．当然，请不要担心，证明的大部分细节是通俗的．我接下来尽力把您可能不懂的概念介绍一遍．3. 需要的几何知识首先，微分流形就是一坨物体或者一个空间的“良好”推广．这个“良好”体现在：(1)它非常光滑，局部上看和平直的空间一样．比如地球，你怎么看都不太看得出大地是弯的吧；(2)它具有的微分结构支持我们在上面算点微积分．流形上如果有函数，那只能是从流形每一点到实数的映射，因此也可以叫做标量场．想要积一个函数得有相应的度规．一般的流形上可以设置(局部的)坐标系，这没问题，但想要从坐标得到长度、夹角之内的具体几何信息，只能另外人为规定，这就是度规的作用；因此实际上定义向量点乘的时候是带着度规走的．用高中知识想想，很明显基底不正交的时候，点乘就不是对应分量相乘再相加了．积分的真正对象，称作(外)微分形式．你把积分号甩掉，剩下的被积对象就叫微分形式；微分形式是有次数的，数数有几个基本微元就行，比如 \text dv 实际上就是 3 次微分形式，简称 3-形式；而积分总得有个场地吧，这就叫积分域，准确点叫链．不要下意识认为“链”是条“线”，没有对严谨定义很痴迷的话，它其实就是积分区域的花哨说法．一般来讲默认区域正定向．这一点也不能小看，因为不乖乖定向的话，符号经常搞反．如果您还没缓的过来，接受这些新东西，可以先暂停阅读；如果您还想细致学习相关知识，可以查查任意(通俗的)微分几何教材，也可以开始网上冲浪，比如这个回答．请回顾我们讲的所有这些“对积分求导”的结论，比较在书写上的相似性．自然，如果要推广到高维空间，我们就一定得想想相应的写法了．那么，这里我就直接给你一些要用到的记号和运算．有一种运算您可能没学过，那就是内积．内积有时候含义很广，它可以是俩向量的点乘，也可以是俩函数或者算符的“乘法”，比如您可能听过卷积、正交函数、某某变换、某某括号之类的东西，就可以理解为“乘法”．实际上，如果您把眼光放长远点，那么前文说的积分就可以认为是链和微分形式的“乘法”，即\langle\gamma,\omega\rangle=\int_\gamma \omega,\\这里 \omega 就是微分形式的记号了．这个括号叫对偶配对，你会发现，欸？这俩东西这样写确实挺「平权」的．因此，考虑到 leibniz 乘积法则，那求导出来是不是就可以分开成\gamma 的变化和 \omega 的变化了？所以叫“leibniz”律也是很自然的．现在我们要介绍的是一个矢量场和一个 p-形式的缩并，为了强调其特殊性，称其内缩，亦称“内乘”(product)“内导数”(某些场合其作用和微分相似)，它的“内”体现在结果是(p-1)-形式．而“外”微分\text d 就会得一个 (p+1)-形式，因为咱数数的时候发现会增加一个基本微元．矢量场记作\boldsymbol v=v^i\frac{\partial}{\partial x^i}.\\不要对这个记号有太多疑惑，别忘了我们现在不在欧氏空间里，任何满足线性运算的对象都可以称作矢量．处理流形时，最简单的(切)矢量定义就是方向导数算符，而基矢正是对坐标的偏导算子．设 \alpha=a_j\text dx^j 是一个 1-形式，我们说 \alpha 作用在 \boldsymbol v 上得到内缩 \langle\boldsymbolv,\alpha\rangle=v^i a_i. 一个 p-形式\omega=\bigwedge_{i=1}^p \alpha^i 沿着矢量 \boldsymbol v 的内缩定义为i_{\boldsymbol v}\omega=\sum (-1)^{i-1}\langle\boldsymbol v,\alpha^i\rangle\bigwedge_{j\neq i}\alpha^j.\\其中，符号 \wedge 指的是外积或者楔积，你可以类比成矢量叉乘．积分最右边的基本微元间的乘积准确讲就是外积．对于这种矢量和微分形式的缩并，写法上也可专门记作\boldsymbol v\lrcorner\omega.根据运算的线性性质，可以计算任意微分形式沿某矢量的内缩．注意到式右是 (\alpha^1,\cdots,\alpha^p) 的多重线性映射，故微分形式的具体表达不影响运算性质．我们来看看内缩的运算特例，比如这些：\left\{\begin{align}&i_\boldsymbol v(\bm f\cdot\text d\bm x)=\bm v\cdot \bm f,\\&i_\boldsymbol v(\bmf\cdot\text d\bm s)=\bm f\cdot \bm v\times\text d\bm x,\\&i_\boldsymbol v(f\,\text dv)=f\bm v\cdot \text d\bm s;\end{align}\right.\\另外是分配律和交换律：\begin{align}i_\boldsymbolv(\omega\wedge\eta)&=i_\boldsymbolv\omega\wedge\eta+(-1)^p \omega\wedge i_\boldsymbolv\eta,\\i_\boldsymbol ui_\boldsymbol v\omega&=-i_\boldsymbol vi_\boldsymbol u \omega.\end{align}\\现在我们终于可以书写最终的结论了．4. 广义 leibniz 律4.1 简介与应用在 n 维流形里给定一个 p 维链 d_t, 我们给 d_t 参数化的映射是\phi:(\boldsymbol u,t)\mapsto\boldsymbol x(\boldsymbol u,t),\\其中 \boldsymbol u 在 p 维 \boldsymbol u 空间里的固定区域 c 上．设外微分 p-形式 \omega 的系数(就是微元旁边的标量)是随时间变化的．局部坐标系里有\omega=a_h(\bm x,t)\,\text dx^h,\quad \textdx^h=\bigwedge_{i=1}^p \text dx^{h_i},\\其中 1\leqslant h_1< h_2<\cdots< h_p\leqslant n. 我现在先直接给出广义 leibniz 律[10]\dfrac{\text d}{\text dt}\int_{d_t}\omega=\int_{d_t} i_{\boldsymbol v}\text d_{\boldsymbolx}\omega+\int_{\partial d_t}i_{\boldsymbolv}\omega+\int_{d_t}\partial_t\omega,\\其中 \partial_t\omega=\dot a_h\text dx^h, 而外微分\text d_{\boldsymbol x}\omega 是对仅空间坐标而言的．当然，即使纳入 \text dt 进 \text d\omega 里也没关系，因为它沿 \boldsymbol v 的内缩是零，这时只需把 \textd\omega=\text d_{\boldsymbol x}\omega+\textdt\wedge\partial_t\omega 整体看为 (\boldsymbol x,t) 空间上的微分形式．证明肯定要用微积分基本定理，而它的高维情况正是广义 stokes 定理．如果您还不知道，请点击这里！先来看看怎么用它来计算吧．举一个前文没有提及的例子：设c_t 是三维空间里的一条曲线，其边界是 \partialc_t=\{\boldsymbol x_1\}-\{\boldsymbol x_0\}. 那么它的运动由前文的 \boldsymbol v 描述．现在来计算曲线积分\dfrac{\text d}{\text dt}\int_{c_t}\omega,\quad 其中\, \omega=\boldsymbol f\cdot\text d\boldsymbol x.\\首先有 \text d_{\boldsymbolx}\omega=\nabla\times\boldsymbol f\cdot\textd\boldsymbol s, 代入就有\frac{\text d}{\text dt}\int_{c_t}\omega=\int_{c_t}\nabla\times\boldsymbol f \cdot\boldsymbol v\times\text d\boldsymbol x+ \boldsymbolf(\boldsymbol x_i,t)\cdot \boldsymbolv_i\big|_0^1+\int_{c_t} \partial_t{\boldsymbolf}\cdot\text d\boldsymbol x.\\4.2 证明先处理参数的表达，为区域的转化作预备．映射可以看作\phi:[a,t]\times c\to \bold r^n, 其中 [a,t] 是 s 轴上的闭区间，这里 s 是后续防止与 t 混淆的傀儡变量，而 a 是任意常数， c 是 \bm u 空间 \bold r^p 上的 p-链． \phi 定义在 [a,t]\times c 的某开邻域上．下面计算其边界\begin{align} \partial([a,t]\timesc)&=\partial([a,t])\times c-[a,t]\times\partial c\\&=\{t\}\times c-\{a\}\times c-[a,t]\times\partial c. \end{align}\\这些乘法叫卡氏积，就是把两个集合的元素所有的组合对儿列出来．如果不好理解我就这样说：首先 c 是积分域拉回到参数空间的一块流形吧？我就假设是一块平面．那它再与 [a,t] 一乘所构成的空间是什么？没错，是一个管，或者柱体，推到高维就是类似的抽象东西，这个管的边界正好就是两个底面\{t\}\times c 和 \{a\}\times c, 再加一个侧面[a,t]\times\partial c. 而出现减号是由定向造成的．我们来回顾一下在(正定可微) p-链上是怎么积一个 p-形式的．设有流形间的映射 \psi:x\to y, 则我们说 x 中每一点 x 都会推前到 y 中的像 \psi(x). 类似地，令 v 为基点在 x 的向量，它也会被推前到 \psi_*v, 而定义为无穷小逼近\psi(x+v)=\psi(x)+\psi_*v. 设运算 d\psi 使得d\psi(x)v=\psi_*v, 就称为映射 \psi 在 \psi(x) 点的导映射．既然积分是链和微分形式的对偶配对，那链在 \psi 下推前，也就可以期望微分形式从 y拉回到 x. 设 \alpha 是 \bold r^n 里的 p-形式，而 \psi:c\to\bold r^n 是 p-链[11]．则拉回就是由 \psi 映回到 c 上的唯一对应的 p-形式\textstyle \psi^*\alpha. 积分就定义为\int_{\psi(c)}\alpha=\int_c \psi^*\alpha=\int_c a(\bm u) \bigwedge_{i=1}^p \text du^i,\\微元间的乘积其实是外积，因此式最右就是一个常规的(riemann)积分．这就是变量替换．下面处理变化区域和被积对象．点 \bm x 准确的写法应该是\phi(\bm u,s), 那么关于 s 的单参同胚是\phi_s:c\to\bold r^n,\phi_s(\bm u)=\phi(\bm u,s). 而 c 上的任意 p-形式可以视作 [a,t]\times c 上的 p-形式，因为有映射 (\bm u,s)\mapsto\bm u. 所以咱也把\phi_s^*\omega 看作 [a,t]\times c 上的 p-形式．现在给出两个要用到的事实：\begin{align} \phi^*\omega&=\phi_s^*\omega+\textds\wedge\phi_s^*(i_\bm v \omega),\\ \textd(\phi^*\omega)&=\text ds\wedge\phi_s^*(i_\bm v \text d\omega). \end{align}\\证明只需注意 \phi^*(\text d\bm x)=\phi_s^*(\text d\bm x)+\bm v\,\text ds, 就分解成了坐标 \text du^j 和参数\text ds. 于是，比如\begin{align} \phi^*\bigwedge_{i=1}^q \text dx^i&=\bigwedge_{i=1}^q\phi^*(\text dx^i)\\ &=\bigwedge_{i=1}^q \left(\phi_s^*\text dx^i+v^i\,\text ds\right)\\ &=\bigwedge_{i=1}^q \phi_s^*\text dx^i+\text ds \wedge\sum_{j=1}^ q(-1)^{j-1}v^j\bigwedge_{i\neq j} \phi_s^*\text dx^i,\end{align}\\根据线性性质，第一个式子就很容易证明了．而将 \phi^* 作用在 \text d\omega 上，那 \phi_s^*\text d\omega 就成 c 上的一个 (p+1)-形式了，超维了，所以等于零．而 \textd(\phi^*\omega)=\phi^*\text d\omega, 于是证毕．开始证明．从变量替换的思路出发，由 stokes 定理，\int_{[a,t]\times c} \textd(\phi^*\omega)=\int_{\partial([a,t]\timesc)}\phi^*\omega,\\式左是\begin{align} \int_{[a,t]\times c} \textd(\phi^*\omega)&=\int_{[a,t]\times c} \textds\wedge\phi_s^*(i_\bm v \textd\omega)\\&=\int_a^t\int_c \phi_s^*(i_\bm v \textd\omega)\,\text ds; \end{align}\\式右是\begin{align} \int_{\partial([a,t]\timesc)}\phi^*\omega&=\int_{\{t\}\timesc}\phi_s^*\omega+\text ds\wedge\phi_s^*(i_\bm v\omega)\\&-\int_{\{a\}\times c}\phi_s^*\omega+\textds\wedge\phi_s^*(i_\bm v \omega)\\&-\int_{[a,t]\times\partial c} \phi_s^*\omega+\textds\wedge\phi_s^*(i_\bm v \omega), \end{align}\\别着急，咱慢慢捋一捋．前两项区域是什么？是管的底面．实质上就是我固定参数后得到的流形 c, 说明这个截面上参数 s 是个处处相等的常数．那还有 \text ds 吗？没了呀．再看第三项，是管的侧面，对于任意参数 s 截取到的就是一个圈儿\partial c, 这是一个 (p-1)-链，那还有 p-形式\phi_s^*\omega 吗？肯定没啊，超维了．所以有\int_{\partial([a,t]\timesc)}\phi^*\omega=\int_{\{t\}\times c}\phi_s^*\omega-\int_{\{a\}\times c}\phi_s^*\omega-\int_{[a,t]\times\partial c} \textds\wedge\phi_s^*(i_\bm v \omega),\\我说过确定了参数的话，链实质上就是 c 自己了吧，而第三项一样可以拆开，所以再化简为\int_{\partial([a,t]\timesc)}\phi^*\omega=\int_{c}\phi_t^*\omega-\int_{c}\phi_a^*\omega-\int_a^t\int_{\partial c}\phi_s^*(i_\bm v \omega)\,\text ds.\\终于，把式左、式右代入到 stokes 定理中，移项得\int_{c}\phi_t^*\omega-\int_{c}\phi_a^*\omega=\int_a^t\left(\int_c\phi_s^*(i_\bm v \text d\omega)+\int_{\partial c}\phi_s^*(i_\bm v \omega)\right) \text ds,\\现在可以把 c 推前为 d_t, 也就是那个变化的区域上，所以上式其实就是\int_{d_t}\omega-\int_{d_a}\omega=\int_a^t\left(\int_{d_s} i_\bm v\text d\omega+ \int_{\partial d_s} i_\bm v\omega\right) \text ds,\\求导，或者说应用微积分基本定理[12]得到\frac{\text d}{\text dt}\int_{d_t}\omega=\int_{d_t}i_\bm v \text d\omega+ \int_{\partial d_t} i_\bm v\omega,\\再与被积函数自己的变化 \textstyle \int \dot\omega 合起来就行了．这个部分用链式法则证明，从而不用引入额外的空间或者映射啥的．证毕．我们的故事也结束了，感谢您阅读至此．参考1.^fubini 定理．2.^l. h. loomis and s. sternberg, advanced calculus,addison-wesley, reading, mass., 1968, pp. 419 and 456.3.^w. fleming, functions of several variables,addison-wesley, reading, mass., 1965, pp. 197-200.4.^convective derivative，随体导数．5.^w. prager, introduction to mechanics of continua,ginn, boston, 1961, pp.75-76.6.^i. s. sokolnikoff and r. m. redheffer,mathematics of physics and engineering, 2nd ed., mcgraw-hill, new york, 1966, pp. 428-430.7.^有上下重复指标时偷懒不写求和号．8.^所以其实我是故意写这个符号的．9.^m. abraham and r.becker, classical theory ofelectricity and magnetism, 2nd ed., blackie,london, 1950, pp. 39-40.10.^该式适用于更加平凡的 p-链上，比如任意坐标域的线性组合．11.^请注意，微分几何里一般指映射本身为曲线，而不是它的像．12.^现在准确说是 stokes 定理．。