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高中数学人教A版必修四模块综合检测(C) pdf版含答案

图象重合，则 ω 的最小值为( )
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 α、β 为锐角，且 a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当 a∥b 时，
α＋β＝________.
cos2α＋
3．A [∵|a|＝
4＝ 2 ，∴cos2α＝4.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－2.]
4．B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2 3.]
5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
2
π
π
14．已知 cos4α－sin4α＝3，α∈(0，2)，则 cos(2α＋3)＝________.
15．若向量A→B＝(3，－1)，n＝(2,1)，且
n·A→C＝7，那么
B→C n· ＝________.
π
4
θ
16．若 θ∈[0，2]，且 sin θ＝5，则 tan 2＝________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
20．(12 分)已知 x∈R，向量O→A＝(acos2x,1)，O→B＝(2， 3asin 2x－a)，f(x)＝O→A·O→B，a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式，并求当 a>0 时，f(x)的单调增区间；
π (2)当 x∈[0，2]时，f(x)的最大值为 5，求 a 的值．

2020人教A版数学必修四模块综合学业质量标准检测

模块综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知sin(－α)＝35，且cos(－α)>0，则tan α＝( D )A ．43B ．－43C ．34D ．－34[解析] sin α＝－35<0，cos α>0，所以α是第四象限角，且cos α＝45，所以tan α＝－34.2．对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤|a |－|b | C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[解析] 对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥|a |－|b |，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B ．3．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( A ) A ． 2 B ．2 C ．5 2D ．50[解析] ∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝(－1)2＋12＝ 2. 故选A ．4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( A ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32[解析] 因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A ．5．函数y ＝[cos(x ＋π4)＋sin(x ＋π4)][cos(x ＋π4)－sin(x ＋π4)]在一个周期内的图象是( B )[解析] y ＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，对照图象可知选B ．6．将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( C )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 [解析] 将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( D ) A ．－16 B ．－8 C ．8D ．16[解析] 解法1：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，△ABC 为直角三角形，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·|AC →||AB →|＝|AC →|2＝16.故选D ．解法2：∵△ACB 为直角三角形，∴AB →在AC →上的投影为AC ，∴AB →·AC →＝AC →2＝16. 8．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( C ) A ．13B ．27C ．17D ．23[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34.则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17. 9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( A )A ．关于点(π6，0)对称B ．关于点(π3，0)对称C ．在于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称[解析] 令2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，所以y ＝cos(2x ＋π6)关于(π6，0)对称．10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( C )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边的中点，由MA →＋MB →＋MC →＝0易知M 是△ABC 的重心，∴AB →＋AC →＝2AD →. 又∵AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，∴m ＝3，故选C ．11.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图，则(OA →＋OB →)·AB →＝( A )A ．6B ．4C ．－4D ．－6[解析] ∵点B 的纵坐标为1，∴tan(π4x －π2)＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2，∴A (2,0)，∴OA →＋OB →＝(5,1)，AB →＝(1,1)． ∴(OA →＋OB →)·AB →＝6.12．(2018·全国卷Ⅱ理，10)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( A ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin x －π4单调递减． ∵ 函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴ [－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，34π， ∴ 0<a ≤π4，∴ a 的最大值为π4.故选A ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝__12__.[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12.14．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是__1__.[解析] f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.15．已知θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，则tan(θ－π4)＝__－43__.[解析] ∵sin(θ＋π4)＝35.∴cos(θ－π4)＝cos[(θ＋π4)－π2]＝sin(θ＋π4)＝35，∵θ是第四象限角，∴2k π－3π4<θ－π4<2k π－π4，k ∈Z ，∴sin(θ－π4)＝－45，∴tan(θ－π4)＝sin (θ－π4)cos (θ－π4)＝－43.16．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间(π24，13π24)上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是__①②③__.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)[解析] 化简f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π2－π3)＝cos(2x －π3)－sin(2x －π3)＝2cos(2x －π12)，∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )．即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos[2(x ＋π24)]≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →.[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b .(2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →.又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb . 18．(本题满分12分)(2018·浙江卷，18)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．[解析] (1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.19．(本题满分12分)已知点A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． [解析] ∵A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)， BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)|AC →|＝|BC →|，∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2，化简得2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12.∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)， ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1， ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝－38.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.(1)求f (x )的解析式；(2)若tan α＋1tan α＝5，求2f (2α－π4)－11－tan α的值．[解析] (1)设最高点为(x 1,1)，相邻的最低点为(x 2，－1)，则|x 1－x 2|＝T2(T >0)，∴(x 1－x 2)2＋(1＋1)2＝4＋π2，∴T 24＋4＝4＋π2，∴T ＝2π＝2π|ω|，又ω>0，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数， ∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)∵tan α＋1tan α＝5，∴sin αcos α＋cos αsin α＝5， ∴sin αcos α＝15，∴2f (2α－π4)－11－tan α＝2cos (2α－π4)－11－tan α＝2(cos2αcos π4＋sin2αcossin π4)－11－sin αcos α＝cos2α＋sin2α－1cos α－sin αcos α＝(2sin αcos α－2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α＝25.21．(本题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限．求OB 2的最大值．[解析] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ(0<θ<π2)，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin(π2－θ)＝cos θ，AH ＝cos(π2－θ)＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos2θ＋23sin2θ ＝7＋43sin(2θ＋π3)．由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.22．(本题满分12分)已知向量m ＝(sin 12x,1)，n ＝(43cos 12x ，2cos x )，设函数f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )，x ∈[－π，π]的单调递增区间；(3)设函数h (x )＝f (x )－k (k ∈R )在区间[－π，π]上的零点的个数为a ，试探求a 的值及对应的k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m·n ＝43sin 12x cos 12x ＋2cos x＝23sin x ＋2cos x ＝4sin(x ＋π6)．(2)由(1)，知f (x )＝4sin(x ＋π6)，x ∈[－π，π]，所以x ＋π6∈[－5π6，7π6]，由－π2≤x ＋π6≤π2，解得－2π3≤x ≤π3，所以函数f (x )的单调递增区间为[－2π3，π3]．(3)当x ∈[－π，π]时，函数h (x )＝f (x )－k 的零点讨论如下：当k>4或k<－4时，h(x)无零点，a＝0；当k＝4或k＝－4时，h(x)有一个零点，a＝1；当－4<k<－2或－2<k<4时，h(x)有两个零点，a＝2；当k＝－2时，h(x)有三个零点，a＝3.。

高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 pdf版含解析

π
5π
10．已知 ω>0,0<φ<π，直线 x＝4和 x＝ 4 是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ 的值为( )
ππ
A.4 B.3 π 3π
C.2 D. 4 答案：A
π
5π
5π π T
解析：因为直线 x＝4和 x＝ 4 是函数图象中相邻的两条对称轴，所以 4 －4＝2，即
解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，
∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]．
( )π
ωx－ 15．已知函数 f(x)＝3sin 6 (ω>0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相
T
2π
π
2＝π，T＝2π.又 T＝ ω ＝2π，所以 ω＝1，所以 f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线 x＝4是函数图象
ππ
π
π
的对称轴，所以4＋φ＝2＋kπ，k∈Z，所以 φ＝4＋kπ，k∈Z.因为 0<φ<π，所以 φ＝4，检验 5π
知，此时直线 x＝ 4 也为对称轴．故选 A.
11．若向量 a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为( )
3．下列函数中周期为2的偶函数是( ) A．y＝sin4x B．y＝cos22x－sin22x C．y＝tan2x D．y＝cos2x 答案：B
2π π
解析：A 中函数的周期 T＝ 4 ＝2，是奇函数．B 可化为 y＝cos4x，其周期为
2π π
π
2π
T＝ 4 ＝2，是偶函数．C 中 T＝2，是奇函数，D 中 T＝ 2 ＝π，是偶函数．故选 B. 4．已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则 x－y 的

2019版高中数学人教A版必修4：模块综合检测含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 660°等于()A.-B.-C.D.解析:cos 660°=cos(-60°+2×360°)=cos(-60°)=cos 60°=,故选C.答案:C2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.答案:C3.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为()A. B. C. D.解析:由题意,得扇形的半径为.又由扇形的面积公式,得该扇形的面积为×2×.答案:A4.已知△ABC的边BC上有一点D满足=2,则可表示为()A. B.C. D.解析:由题得)=.答案:C5.已知a=,b=-,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1解析:c=--,d=(0,1).,cos--解得k=-3或-.答案:C6.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A. B.C. D.解析:y=cos x+sin x=2cos-,向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos-的图象.因为该图象关于y轴对称,所以m-=kπ(k∈Z),即m=kπ+,故当k=0时,m取得最小值.答案:B7.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.答案:B8.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2得A=2,m=2.解析:由-又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其图象的一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.答案:D9.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1]解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=---=-=-∈[-],即||∈[2-1,2+1].答案:C10.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P 的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2C.1D.2解析:函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.-答案:A11.若动直线x=a与函数y=sin-和y=sin的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为()A.1B.C. D.2解析:|MN|=--=---=|cos 2a|≤.答案:C12.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.解析:因为α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=-.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=-,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=--.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为.解析:设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=2r.又l+2r=8,∴2r+2r=8,即r=2(cm).∴扇形的面积S=lr=×4×2=4(cm2).答案:4 cm214.函数y=3-的定义域为.解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).答案:-(k∈Z)15.已知非零实数a,b满足关系式-=tan ,则的值是.解析:由题可得-=tan=tan =tan,其中sin θ=,cos θ=,所以θ=+kπ,k∈Z,所以=tan θ=tan=tan .答案:16.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=.解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则A,B--,由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin-.(1)求sin α的值;(2)求---的值.解:(1)∵sin+sin-, ∴sin α=.∴sin α=.(2)∵---=--=--,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=A sin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)因为周期T=2×--,ω==150π.又A=300,所以I=300sin(150πt+φ).将点-的坐标代入上式,得sin-=0.因为|φ|<,所以φ-=0,φ=,即所求的解析式为I=300sin.(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么必须满足,即ω≥300π≈942,所以ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.(1)证明由已知得|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.(2)解由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由已知得cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=-,sin β=-.∴tan α=7,tan β=.=-3.(1)tan(α+β)=--(2)∵tan 2β=,--∴tan(α+2β)==-1.--∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=--,||=--.由||=||,得sin α=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.解:(1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=-sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。

高中数学模块综合测试(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D ) A ．30° B ．－30° C ．－60°D ．120°解析：P ⎝⎛⎭⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B )A ．－53B ．－19C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO →的坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫12，－5 解析：由AD →＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD →＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故应选C ． 5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C )A ．179 B ．－223C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179. 7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( A ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，∴sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝⎛⎭⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x . 而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由题图象知，⎝⎛⎭⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA →＋OB →＋OC →＝0；②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0；③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ．代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 . 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2，由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4.∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错；③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ，∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z . 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求： (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．(2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点．(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值．解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝⎛⎭⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值X 围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.word11 / 11 (2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值X 围为[－1－2，2－2]．。

高中数学(人教A版,必修4)模块综合测评

高中数学（人教A 版，必修4）模块综合测评(时间:120分钟总分值:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.sin(-α)=35,且cos(-α)>0,那么tan α=( ) A.43B.-43C.34D.-34解析由得sin α=-35,cos α>0,所以α是第四象限角,于是tan α=-34. 答案D2.向量a =(1,-2),b =(1,1),m =a -b ,n =a +λb ,假设m ⊥n ,那么实数λ=( ) A.4B.3C.2D.1解析由于向量a =(1,-2),b =(1,1),m =a -b ,n =a +λb ,所以m =(0,-3),n =(1+λ,-2+λ).由于m ⊥n ,所以m ·n =0-3(-2+λ)=0,解得λ=2. 答案C3.假定角α的终边与单位圆相交于点(x 0,2x 0)(x 0≠0),那么tan 2α=( ) A.-43B.43C.-34D.34 解析依题意tan α=2x 0x 0=2,所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=41-22=-43.答案A4.平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),那么向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A.1B.-1C.2D.-2解析由题设a ·(a +2b )=0,即a 2+2a ·b =0,所以4+4|b |cos θ=0,即|b |cos θ=-1. 答案B5.函数y=[cos (x +π4)+sin (x +π4)][cos (x +π4)- sin (x +π4)]在一个周期内的图象是( )解析y=(√22cosx -√22sinx +√22sinx +√22cosx)·(√22cosx -√22sinx -√22sinx -√22cosx)=√2cos x ·(-√2sinx)=-2sin x cos x=-sin 2x ,应选B . 答案B6.导学号68254118将函数f (x )=sin 2x 的图象向左平移π6个单位,再向上平移2个单位,失掉g (x )的图象.假定g (x 1)·g (x 2)=9,且x 1,x 2∈[-2π,2π],那么|x 1-x 2|的最大值为( ) A.πB.2πC.3πD.4π解析依题意得g (x )=sin 2(x +π6)+2=sin (2x +π3)+2,假定g (x 1)·g (x 2)=9,那么g (x 1)=g (x 2)=3,所以sin (2x 1+π3)=sin (2x 2+π3)=1.由于x 1,x 2∈[-2π,2π],所以2x 1+π3,2x 2+π3∈[-11π3,13π3],设2x 1+π3=π2+2k π,2x 2+π3=π2+2n π,k ,n ∈Z ,那么当2x 1+π3=-7π2,2x 2+π3=5π2时,|x 1-x 2|取得最大值3π. 答案C7.a 与b 是非零向量且满足(a -6b )⊥a ,(2a -3b )⊥b ,那么a 与b 的夹角是( ) A.π6B.π3C.23πD.56π解析依据条件(a -6b )·a =a 2-6a ·b =0,(2a -3b )·b =2a ·b -3b 2=0,又由于|a |≠0,|b |≠0,所以|a |=6|b |cos <a ,b >①, 3|b |=2|a |cos <a ,b >②, 所以3|a ||b |=12|a ||b |cos 2<a ,b >, 得cos 2<a ,b >=14,那么cos <a ,b >=12, 故a ,b 的夹角为π3. 答案B8.√6sin70°+3√2cos250°的值等于( ) A.4B.-4C.-4√6D.4√6解析原式=√6sin70°−3√2cos70°=√6cos70°-3√2sin70°sin70°cos70°=2√6(cos70°·12-sin70°·√32)12sin140°=2√6·cos (70°+60°)12sin40°=2√6·cos130°12sin40°=-2√6cos50°12sin40°=-2√6sin40°12sin40°=-4√6.答案C9.函数f (x )=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π2),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,假定f (x )>1对∀x ∈(-π12,π3)恒成立,那么φ的取值范围是( )A.[π12,π6] B.[π6,π2] C.[π12,π3] D.[π6,π3]解析函数f (x )=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π2),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的周期为2πω=π,所以ω=2,于是f (x )=2sin(2x+φ)+1.假定f (x )>1对∀x ∈(-π12,π3)恒成立,即当x ∈(-π12,π3)时,sin(2x+φ)>0恒成立,那么有2k π≤2·(-π12)+φ<2·π3+φ≤2k π+π,求得2k π+π6≤φ≤2k π+π3,k ∈Z ,又|φ|≤π2,所以π6≤φ≤π3,应选D . 答案D 10.如图,O 是坐标原点,M ,N 是单位圆上的两点,且区分在第一和第三象限,那么|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的范围为( ) A.[0,√2) B.[0,2) C.[1,√2) D.[1,2)解析设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,θ∈(π2,π],那么cos θ∈[-1,0),|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2cos θ∈[0,2),故|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的范围为[0,√2). 答案A11.函数f (x )=√3sin(π-x )cos(-x )+sin(π+x )cos (π2-x)图象上的一个最低点为A ,离A 最近的两个最高点区分为B 与C ,那么AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.9+π29B.9-π29C.4+π24D.4-π24解析f (x )=√3sin x cos x-sin 2x=√32·sin 2x-1-cos2x2=√32sin 2x+12cos 2x-12=sin (2x +π6)−12,因此f (x )最大值为12,最小值为-32. 设A (x 0,-3),那么B (x 0-π2,12),C (x 0+π2,12),于是AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-π2,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(π2,2), 故AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4-π24. 答案D12.假定函数y=2sin ωx (ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,那么ω的取值范围是( ) A.[54,74) B.(34,45] C.(1,54]D.(34,54]解析依题意,函数y=2sin ωx 在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,由图象可知54T ≤2π<74T ,亦即54·2πω≤2π<74·2πω,解得54≤ω<74. 答案A二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.函数f (x )=cos x cos π12+cos (x +π2)cos 5π12的值域是 .解析f (x )=cos x cos π12+cos (x +π2)cos 5π12=cos x cos π12-sin x sin π12=cos (x +π12),故函数值域为[-1,1].答案[-1,1] 14.如图,将两块三角板拼在一同组成一个平面四边形ABCD ,假定AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (x ,y ∈R ),那么x+y= .解析设AB=1,那么AD=√3,BD=BC=2,过点C 作CE ⊥AB ,CF ⊥AD ,垂足区分为E ,F ,如下图;那么BE=√3,AF=1,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=√3+1,y=√33,即x+y=1+4√33. 答案1+4√3315.函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,那么φ的值是 .解析由题意知cos π=sin (2×π+φ),即sin (2π+φ)=1,所以2π+φ=π+2k π或2π+φ=5π+2k π,k ∈Z ,所以φ=-π+2k π或φ=π+2k π,k ∈Z .由于0≤φ<π,所以φ=π.答案π616.定义a *b 是向量a 和b 的〝向量积〞,其长度|a *b |=|a ||b |sin θ,其中θ为向量a 与b 的夹角.假定u =(2,0),u -v =(1,-√3),那么|u*(u+v )|= .解析由于u =(2,0),u -v =(1,-√3),所以v =(1,√3),从而u +v =(3,√3).假定设u 与(u +v )的夹角为θ, 那么cos θ=u ·(u+v )|u ||u+v | =2×23=√3,从而sin θ=12,故|u *(u+v )|=|u ||u +v |sin θ =2×2√3×12=2√3答案2√3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题总分值10分)向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,m+1). (1)假定AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,务实数m 的值; (2)假定△ABC 为直角三角形,务实数m 的值.解(1)由于向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-1),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1).由于AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,m+1), 所以3(m+1)-m=0, 所以m=-32.(2)由(1)知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-1,m+3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-4,m+2). 由于△ABC 为直角三角形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 事先AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,有3(m-1)+m+3=0,解得m=0; 事先AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,有3(m-4)+m+2=0,解得m=52; 事先AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,有(m-1)(m-4)+(m+3)(m+2)=0,无解.所以实数m 的值为0或5.18.(本小题总分值12分)α∈(0,π2),β∈(π2,π),cos β=-13,sin(α+β)=4-√26.(1)求tan 2β的值; (2)求α的值. 解(1)由于β∈(π,π),cos β=-1,可得sin β=√1-cos 2β=2√2,所以tan β=sinβ=2√23-13=-2√2, 故tan 2β=2tanβ1-tan 2β=4√27. (2)由于α∈(0,π2),β∈(π2,π),所以α+β∈(π2,3π2),又由于sin(α+β)=4-√26,所以cos(α+β)=-√1-sin 2(α+β)=-4+√26,于是cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β =(-4+√26)×(-13)+2√23×4-√26=√22,由于α∈(0,π2),故α=π4.19.(本小题总分值12分)向量a =(1,sin x ),b =(cos (2x +π3),sinx),函数f (x )=a ·b -12cos 2x. (1)求函数f (x )的解析式及其单调递增区间; (2)当x ∈[0,π3]时,求函数f (x )的值域. 解(1)函数f (x )=a ·b -12cos 2x=cos 2x cos π3-sin 2x sin π3+1-cos2x 2−12cos 2x =12-sin (2x +π6).由2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2,可得k π+π6≤x ≤k π+2π3,故单调递增区间为:[kπ+π6,kπ+2π3]. (2)当x ∈[0,π3]时,可得2x+π6∈[π6,5π6],因此sin (2x +π6)∈[12,1],所以函数f (x )的值域是[-12,0]. 20.导学号68254119(本小题总分值12分)函数f (x )=√3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象关于直线x=π3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值;(2)假定f (α2)=√34(π6<α<2π3),求cos (α+3π2)的值.解(1)由于f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f (x )的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2.又由于f (x )的图象关于直线x=π3对称,所以2·π3+φ=k π+π2,k ∈Z . 由-π2≤φ<π2,得k=0,所以φ=π2−2π3=-π6. (2)由(1)得f (α2)=√3sin (2·α2-π6)=√34,所以sin (α-π6)=14. 由π6<α<2π3,得0<α-π6<π2, 所以cos (α-π6)=√1-sin 2(α-π6)=√1-(14)2=√154.因此cos (α+3π2)=sin α=sin [(α-π6)+π6] =sin (α-π6)cos π6+cos (α-π6)sin π6=14×√32+√154×12=√3+√158.21.导学号68254120(本小题总分值12分)某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决议在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,扇形AOB 的圆心角∠AOB=π4,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH ,其中M ,H 区分在OA ,OB 上,N 在AB ⏜上.设∠MON=θ,▱OMNH 的面积为S. (1)将S 表示为关于θ的函数; (2)求S 的最大值及相应的θ值.解(1)如图,过N 作NP ⊥OA 于点P ,过H 作HE ⊥OA 于点E ,∵∠AOB=π4,∴OE=EH=NP=R sin θ,OP=R cos θ, ∴HN=EP=OP-OE=R (cos θ-sin θ), ∴S=HN ·NP=R 2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈(0,π4).(2)S=R 2(cos θsin θ-sin 2θ) =R 2(12sin2θ-1-cos2θ2) =12R 2(sin 2θ+cos 2θ-1)=12R 2[√2sin (2θ+π4)-1], ∵θ∈(0,π4),∴2θ+π4∈(π4,3π4), ∴当2θ+π4=π2,即θ=π8时,S 取得最大值,且最大值为√2-12R 2.22.(本小题总分值12分)点A (sin 2x ,1),B (1,cos (2x +π6)),设函数f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R ),其中O 为坐标原点.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)当x ∈[0,π2]时,求函数f (x )的最大值与最小值; (3)求函数f (x )的单调减区间. 解(1)∵A (sin 2x ,1),B (1,cos (2x +π6)),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sin 2x ,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cos (2x +π6)), ∴f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2x+cos (2x +π6) =sin 2x+cos 2x cos π6-sin 2x sin π6 =12sin 2x+√32cos 2x=sin 2x cos π3+cos 2x sin π3 =sin (2x +π3).故f (x )的最小正周期T=2π2=π. (2)∵0≤x ≤π2,∴π3≤2x+π3≤4π3, ∴-√32≤sin (2x +π3)≤1,∴f (x )的最大值和最小值区分为1和-√32.(3)由π2+2k π≤2x+π3≤3π2+2k π,k ∈Z 得π12+k π≤x ≤7π12+k π,k ∈Z ,∴f (x )的单调减区间是[π12+kπ,7π12+kπ],k ∈Z .。

人教A版数学必修4模块过关测试卷.docx

必修4模块过关测试卷（150分，120分钟）一、选择题（每题５分，共60分） 1．sin390°等于( )A.21 B. 21－ C.23D. 23－ 2．〈温州高三第一次适应性测试〉已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα等于( )A.31B.31-C.32D.32-3.〈2014年温州市高三第一次适应性测试〉已知∠α的终边与单位圆交于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54，则tan α等于( )A.34-B. 54-C. 53-D. 43- 4．已知a =(x ，3)，b =(3，1)，且a ⊥b ，则x 等于( ) A.－1 B ．－9 C.9 D.1 5.已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则tan α等于( )A.0B.1C.－1D.36.把函数()R ∈=x x y sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是( )A. ()R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 3π2sinB. ()R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 6π2sinC. ()R ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y 3π2sinD. ()R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 32π2sin 7.若向量a 与b 的夹角为120°，且a =1，b =2，c =a +b ，则有( ) A. c ⊥a B. c ⊥b C. c ∥b D. c ∥a8.已知a =2， b =1， ⋅a b =1，则向量a 在b 方向上的投影是( ) A.21- B.1- C.21 D.19.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，CB CA CD λ+=31，则λ等于( ) A.32 B.31 C. 31- D. 32- 10.下列函数中，其图象的一部分是图1的是( )图1A. ⎪⎭⎫⎝⎛+=6πsin x yB. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2sin x yC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2cos x yD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3π4cos x y11.已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛--4πsin 2πcos αα=22－，则cos α +sin α等于( )A.27-B. 27 C ．21 D. 21- 12.在函数y =｜tan x ｜，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin x y ，x y 2sin = ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2π2sin x y 四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0上的增函数的个数是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知tan α=3，计算ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-的值是．14.〈湖州中学第一学期高三期中考试〉已知锐角α、β满足sin α=55，cos β=10103，则α+β= . 15.甲、乙两位同学共同提起一个行李包（如图2所示）.设他们所用的力分别为1F ，2F ，行李包所受重力为G ，若G F F 2221==，则1F 与2F 的夹角θ的大小为.图216. 设函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3π2sin 2x y 的图象关于点()0,0x P 成中心对称，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,2π0x ，则0x = ．三、解答题（1题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知α为第三象限角，f (α)=()()()πsin πtan πtan 2π3cos 2πsin -----⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα．（1）化简f (α);（2）若512π3cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-α，求f (α)的值.18.已知向量,4πcos 3,4πsin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4πcos ,4πsin x x n ，函数f (x )=R ∈⋅x ,n m .(1)求函数f (x )的图象的对称中心的坐标；（2）将函数f (x )图象向下平移21个单位，再向左平移3π个单位得函数g (x )的图象，试写出g (x )的解析式并作出它在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6π5,6π上的图象.19.设函数f (x )= ⋅a b ，其中向量()R ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--==x x x ,6π2sin ,1,3,2sin b a .(1)求f (x )的最小值，并求使f （x ）取得最小值的x 的集合；（2）将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移ϕ个单位长度（ϕ＞0），则ϕ最小为多少时，才能使得到的函数g (x )的图象关于y 轴对称？20.已知a =(1，2)， b =(－3，2)，当k 为何值时， (1)k a +b 与a －3b 垂直？(2) k a +b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？21.人的心脏跳动时，血压在增加或减少.心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.已知某人在某时段的血压P （t ）（单位：mmHg ）与时间t (单位：min)的函数关系可以用函数P （t ）=b t A +ωsin 表示，其图象如图3所示.（1）根据图象求函数P (t )的解析式；图3（2）求此人在该时段的收缩压和舒张压，以及每分钟心跳的次数.22.已知a =(3sin x ，m +cos x )，b =(cos x ，－m +cos x )，且f (x )= ⋅a b . (1)求函数f (x )的解析式;(2) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时， f (x )的最小值是－4 ，求此时函数f (x )的最大值，并求出相应的x 的值.参考答案及点拨一、1.A 点拨：sin390°=sin30°=21.2.C 点拨：32231122sin 122π2cos 14πcos 2=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααα，故选C. 考点：1.二倍角的余弦公式；2.诱导公式.3.D 点拨：根据三角函数的定义，535453tan -=-==x y α，故选D.考点：任意角的三角函数的定义.4.A 点拨：∵b a ⊥，∴ 3x +3=0，∴1-=x .5.C 点拨：因为角α的正弦线和余弦线长度相等，并且α的终边在第二象限，所以sin α=αcos -.又因为tan α=ααcos sin ，所以1tan -=α.故选C.解决本题的关键是明白正弦线与余弦线长度相等不代表正弦值与余弦值相等.6.A 点拨：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→=→=6π2sin 2sin sin x y x y x y .7.A 点拨：由题意得()011120cos 22=-=︒⋅⋅+=⋅+=+=⋅b a a b a a b a a c a ，则a c ⊥.考点：向量的模及数量积运算.8.D 点拨：因为向量a 在b 方向上的投影是b a a ,cos ，且ba ba b a ⋅⋅=,c o s .所以b a a ,cos =1.故选D.解决本题关键是理解一个向量在另一个向量的方向上的投影的含义. 考点：1.向量的数量积；2.投影的概念. 9.A10.C 点拨：由函数图像知函数的周期为π6π12π4=⎪⎭⎫⎝⎛+=T ，则2ππ2==ω，排除A 、D ，当12π=x 时，函数值为1，则C 正确. 考点：三角函数的图像及性质. 11.D 点拨：()()αααααcos sin 222cos 4πsin 2πcos --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ()()2222sin cos cos sin 22sin cos 22-=+=---=αααααα，所以21cos sin -=+αα. 考点：三角函数运算. 12.B二、13.75 点拨：显然cos α≠0，∴75335234tan 352tan 4cos sin 3cos 5cos cos 2sin 4sin 3cos 5cos 2sin 4=⨯+-⨯=+-=+-=+-αααααααααααα. 14.4π点拨：由题意易得1010sin ,552cos ==βα，∴()22sin sin cos cos cos =⋅-⋅=+βαβαβα ，又∵α、β为锐角，∴4π=+βα.考点：三角函数运算.15.2π点拨：由力的平衡可知0=++G F F 21，G F F -=+21，两边平方，可得()22122212G F F F F -=⋅++，由条件得21F F ⋅=0，故21F F 与的夹角θ的大小为2π. 16.3π-点拨：当03π2s i n 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 时，()Z ∈=-k k x π3π2，即()Z ∈+=k k x 6π2π，当1-=k 时，3π0-=x . 三、17.解：（1）()()()()πsin πtan πtan 2π3cos 2πsin -----⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααααααf =()()()()αααααsin tan tan sin cos ---=αcos -.（2）∵512π3cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-α，∴51sin =-α，从而51sin -=α.又α为第三象限角，∴562sin 1cos 2-=--=αα，∴()562cos =-=ααf . 18.解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅=4πcos 4πcos 34πsin 2x x x x f n m()2132sin 2cos 232sin 121+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=πx x x . 由03π2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 得：Z ∈=-k k x ,π3π2，所以Z ∈+=k k x ,6ππ21.所以f (x )的图像的对称中心的坐标为Z ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k ,21,6ππ21. （2）g (x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2sin x ，列表：3π2+x 02π π23π 2π x6π- 12π 3π 127π 65π()x g0 1 0 －1 0描点、连线得函数()x g y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6π5,6π上的图象如答图1所示：答图119.解：（1）()x x x x x f 2cos 232sin 216π2sin 32sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⋅=b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3π2sin x .故函数f (x )的最小值为1-，此时2ππ23π2-=-k x ，故()Z ∈-=k k x 12ππ，故使f (x )取得最小值的x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,12ππ|. （2）由条件可得()⎪⎭⎫⎝⎛--=3π22sin ϕx x g ，因为其图象关于y 轴对称，所以()Z ∈+=+=+k k k 12π2π,2ππ3π2ϕϕ，又ϕ＞0，故当k =0时，ϕ取得最小值12π，即ϕ最小为12π时，才能使得到的函数g (x )的图象关于y 轴对称. 20.解：()()()22,32,32,1+-=-+=+k k k k b a ，()()()4,102,332,13-=--=-b a . （1）由()()b a b a 3-⊥+k ，得()()()()03822243103=-=+--=-⋅+k k k k b a b a ，所以k =19.（2）()()b a b a 3//-+k ，得()()221034+=--k k ，所以31-=k . 此时()4,103134,310--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+b a k ，所以它们方向相反.21.解：（1）由题图知，A =20，b =90，周期901360112012=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=T ，所以π180π2==T ω. 所以()90π180sin 20+=t t P .（2）因为P (t )的最大值为110，最小值为70，频率Tf 1==90. 故此人在该时段的收缩压是110 mmHg ，舒张压是70 mmHg ，每分钟心跳的次数是90次.22.解: (1)()()()x m x x m x x f cos ,cos cos ,sin 3+-⋅+=⋅=b a ，即()22cos cos sin 3m x x x x f -+=. (2)()222cos 122sin 3m x x x f -++==2216π2sin m x -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+， ∵,3π,6π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+6π5,6π6π2x ， ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,216π2sin x ，∴,421212-=-+-m ∴42=m .∴()254211max -=-+=x f ，此时6π,2π6π2==+x x .。

高中数学模块测试卷新人教A版必修4(2021学年)

高中数学模块测试卷新人教Ａ版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学模块测试卷新人教Ａ版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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模块测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两个部分.满分1５0分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共6０分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１.与-４6３°终边相同的角可以表示为（k∈Z)（）A．ｋ·360°＋４63°ﻩＢ.k·360°＋１0３°Ｃ．k·3６０°+２５7° D.ｋ·360°－25７°答案C２．下列关系式中，不正确的是（)Ａ.sin5８5°〈0 ﻩＢ．tａn（－67５°)〉0C.ｃos(－6９0°)〈0 D．sin１ 010°〈０答案C解析585°＝3６0°＋225°是第三象限角,则sin５85°<0;-６75°＝-72０°+4５°，是第一象限角,∴ｔan(－675°)〉0;１０1０°=1 ０80°-70°,是第四象限角,∴sｉn１ 01０°＜0;而-6９0°＝－7２0°＋３0°是第一象限角,∴ｃos(－6９0°)>0．3.如图,在正六边形AＢCDＥＦ中，点O为其中心,则下列判断错误的是( )A．错误!=错误!ﻩB．错误!∥错误!Ｃ.｜错误!|=|错误!｜ﻩD。

新课标高中数学人教A版必修4模块终结性素质测试题.doc

新课标高中数学人教A 版必修4模块终结性素质测试题（考试时间120分钟，满分150分）姓名_______评价_______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.（07湖北文1）tan690°的值为（）Ａ．33-Ｂ．33Ｃ．3 Ｄ．3-2．（10江西文6）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为（）A ．[1,1]-B ．5[,1]4-- C ．5[,1]4-D ．5[1,]4-3．（11重庆文5）已知向量)2,2(),,1(==b k a ，且a b a 与+共线，那么b a ⋅的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．（09重庆文6）下列关系式中正确的是（）A ．0sin11cos10sin168<< B ．0sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<<5.（09全国Ⅰ文8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则a 、b 的夹角为（）A.150°B.120°C.60°D.30° 6．（11四川文7）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（）A.0B.BEC.ADD.CF7.（12江西文4）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=（）A. 43-B. 34C. 34- D. 43B AD EC F8.（12安徽理8）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量 OQ 则点Q 的坐标是（）A.(72,2)--B. (72,2)-C. (46,2)--D.(46,2)- 9．（11新课标文11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则()y f x =在（）A ．(0,)2π单调递增，图象关于直线4x π=对称 B ．(0,)2π单调递增，图象关于直线2x π=对称C ．(0,)2π单调递减，图象关于直线4x π=对称 D ．(0,)2π单调递减，图象关于直线2x π=对称10．（08江西理6）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象大致是（）11.（09安徽理8）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调区间是（）A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 12．（09全国Ⅱ理8）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（）A ．16B.14C.13D.12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13.（12全国Ⅰ理14）当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________.x o 32ππ2πyA 2-︒o-Bx32ππ2πy2︒-C2-xo32ππ2πy︒-Dxo32ππ2πy2-︒14.（08北京文9）若角α的终边经过点)2,1(-P ，则α2tan 的值为 . 15.（07浙江理12）已知1sin cos 5θθ+=，且324ππθ≤≤，则cos2θ的值是____________. 16.（07陕西理15）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA ＝OB ＝1，OC ＝32.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17. (本题满分10分，11天津理15) 已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．18.（本题满分12分，09湖南文16）已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ （Ⅰ）若a //b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若πθ<<=0|,|||b a ，求θ的值.19.（本题满分12分，08天津理17）（17）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . （Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛+32sin πx 的值.20．（本题满分12分，10江苏15）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1). （Ⅰ）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（Ⅱ）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.21．（本题满分12分，08安徽理17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.22.（本题满分12分，09福建文19）已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<.（Ⅰ）若coscos,sinsin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数.新课标高中数学人教A 版必修4模块终结性素质测试题（参考答案）一、选择题答题卡：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACDCBDBADCCD二、填空题 13. 2 ． 14. 43． 15．725-． 16. 6 .三、解答题 17. 解：（I ）由2,42x k k Z πππ+≠+∈，得,82k x k Z ππ≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为.2π （II ）解：由()2cos 2,2a f a =得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a a a a a a a a+=+--因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π∈.所以2,.612a a ππ==即 18. 解：（Ⅰ）因为→a //→b ，所以2sin 2cos 1sin θθθ-=，即2sin cos 2sin θθθ=-，于是 θθcos sin 4=，故tan θ=14.（Ⅱ）由 ||||→→=b a 知，2sin θ+（cos θ-2sin θ2)=5，所以1-2sin2θ + 42sin θ=5.从而522cos 142sin 21=-⨯+-θθ，即12cos 2sin -=+θθ，于是22)42sin(-=+πθ. 又由0<θ<π知，4π< 2θ+4π<94π，所以2θ+4π=54π，或2θ+4π=74π. 因此θ=2π，或θ=34π.19. 解：（Ⅰ）解法一：因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，于是10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x ， .54221022210274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x解法二：由题设得102sin 22cos 22=+x x ，即51sin cos =+x x ，又sin 2x+cos 2x=1，从而25sin 2x-5sinx-12=0，解得sinx=54或sinx=53-，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以54sin =x .（Ⅱ）解：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x .2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x ，所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+πππx x x .20. 解：（Ⅰ）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-= 故所求的两条对角线的长分别为42、210。

高中数学模块综合测评新人教A版必修4[1](2021年整理)

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模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设向量a＝(2,4）与向量b＝（x,6）共线，则实数x＝（）A．2 B．3C．4 D．6【解析】∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.【答案】B2．如果一扇形的弧长为2π cm，半径等于2 cm，则扇形所对圆心角为（）A．2π B．πC．错误!D．错误!【解析】θ＝错误!＝错误!＝π。

【答案】B3．设α是第二象限的角，P（x,4)为其终边上的一点，且cos α＝错误!，则tan α＝( ) A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!【解析】∵点P（x,4)在角α终边上，则有cos α＝错误!＝错误!。

又x≠0,∴16＋x2＝5,∴x＝3或－3.又α是第二象限角，∴x＝－3，∴tan α＝错误!＝错误!＝－错误!.【答案】D4．已知错误!＝2＋错误!，则tan错误!等于（)A．2＋错误!B．1C．2－错误!D．错误!【解析】∵错误!＝2＋错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!。

【答案】C5．已知平面向量a＝（2,4)，b＝(－1,2),若c＝a－（a·b)b，则｜c|等于( ）A．4错误!B．2错误!C．8 D．8错误!【解析】由题意易得a·b＝2×（－1)＋4×2＝6，∴c＝（2，4）－6(－1,2）＝(8，－8)，∴｜c|＝错误!＝8错误!.【答案】D6．已知cos错误!＝m，则cos x＋cos错误!＝( )A．2m B．±2mC．错误!m D．±错误!m【解析】∵cos错误!＝m，∴cos x＋cos错误!＝cos x＋错误!cos x＋错误!sin x＝错误!sin错误!＝3cos 错误!＝错误!cos错误!＝错误!m。

人教版数学高一-人教A版必修4模块综合检测卷

模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是(C )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C.2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q点，则Q 点的坐标为(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝⎛cos 4π3，⎭⎪⎪⎫sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (0)＝(D )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝⎛⎭⎪⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝sin π3＝32.故选D.4．将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(B )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4 解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位Y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是(B )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角，∴cos(2π－α)＝cos α＝－35.故选B.6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象(D )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π4，故只需将y ＝2sin 3x 向左平移π12个单位．7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于(C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒ a ·b ＝－1⇒cos a ，b＝a ·b ||a ||b ＝－12⇒a ，b＝120°.故选C. 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.故选B.9．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD→，则(A ) A.AD→＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →解析：由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于(B )A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.11．函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是(D )A ．0 B.π2 C ．π D.3π212．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是(D )A ．2 2B ．2 3C ．2D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：因为a 2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝9＋2－9×1×1×13＝8，所以cos β＝83×22＝223.考点：向量数量积及夹角答案：223. 14．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3， ∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3≤1.∴1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：115．若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析：由题意f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋k π，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.答案：3π816．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题：①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA→·OB →； (2)若点P 在直线AB 上，且OP→⊥AB →，求OP →的坐标．解析：(1)OA→·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，∵P 在AB 上，∴BA →与PA →共线． BA→＝(4，2)，PA →＝(1－m ，－2－n )， ∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0.即2n －m ＋5＝0.① 又∵OP→⊥AB →， ∴(m ，n )·(－4，－2)＝0. ∴2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，∴OP→＝(1，－2)． 18．(本小题满分12分)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x .(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6. 由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π ，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调增区间为[－π3＋2k π，23π＋2k π](k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝35. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝725. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：(1)由0＜α＜π2，且sin α＝22，求出角α的余弦值，再根据函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，即可求得结论．(2)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，由正弦与余弦的二倍角公式，以及三角函数的化一公式，将函数f (x )化简，根据三角函数周期的公式即可得结论，根据函数的单调递增区间，通过解不等式即可得到所求的结论．(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22，所以f (a )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0. (1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：(1)∵函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝0. 即－32＋a 2＝0.解得a ＝ 3. (2)g (x )＝4sin 2(x ＋π3)－2 ＝2(1－cos(2x ＋2π3)－2 ＝－2cos(2x ＋2π3) ∴g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令－ π＋2k π≤2x ＋2π3≤2k π，k ∈Z －5π6＋k π≤x ≤k π－π3，k ∈Z ∴g (x )的增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5π6＋k π，－π3＋k π，k ∈Z. 22．(本小题满分10分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2. (2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝cos x . ∵f (C )＝12，∴cos C ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ，代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A ＝2sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3 sin A ＝2sin A ， ∴tan A ＝33， ∵0<A <π，∴A ＝π6.。

高中数学模块综合测评新人教A版必修4(2021年整理)

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模块综合测评(时间：120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知角α的终边经过点P（4,—3）,则2sin α+cos α的值等于()A.—B。

C.D。

—解析：根据三角函数的定义可知sin α=-，cos α=,∴2sin α+cos α=-=-.答案：D2.sin cos的值是()A.0 B。

-C。

D。

2解析:原式=2=2sin=—2sin=-,故选B。

答案：B3.(2016•新疆阿克苏高一期末）函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是（)A.[0，1] B。

C。

[—1，2］D.[0,2］解析：因为函数y=cos 2x+sin2x=cos 2x+cos 2x=cos 2x,且x∈R，所以cos 2x∈[-1,1］,所以cos 2x∈［0,1].故选A.答案:A4。

已知两向量a=(2,sin θ）,b=(1,cos θ)，若a∥b，则的值为（)A.2 B。

3 C.4 D。

5解析：∵a∥b，∴2cos θ=sin θ,∴tan θ=2,∴=2+tan θ=4.答案：C5.已知函数f （x ）=sin ωx+cos ωx （ω〉0)，x ∈R .在曲线y=f （x ）与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为，则f (x ）的最小正周期为( ） A.B 。

人教A版数学必修四高一第二学期必修四模块测试卷

福建省宁德市古田一中2016-2017年度高一第二学期必修四模块测试卷数学试题出卷人：丁多多审核：叶惠金第一卷（选择题共60分）一·选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1、ο600sin 的值是（）)(A ;21)(B ;23)(C ;23-)(D ;21-2、设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．63．设α是第二象限的角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x5，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－434、若函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位得到)(x f y =的图象，则() A ．x x f 2cos )(=B ．x x f 2sin )(= C ．x x f 2cos )(-=D ．x x f 2sin )(-= 5、已知21tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 2-的值是()A ．34-B ．3C ．34D ．3- 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152C ．－322D ．－31527、已知tan(α＋β)=25，tan(α＋4π)=322,那么tan(β－4π)的值是（）A ．15B ．14C ．1318D ．13228．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π49·已知函数>><+=ωϕω,0)sin()(A x A x f )2||,0πϕ<在一个周期内的图象如图所示．若方程m x f =)(在区间],0[π上有两个不同的实数解21,x x ，则21x x +的值为（）A ．3πB ．π32C ．π34D ．3π或π34 10．已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A ．74πB ．π4C ．3π4D ．－7π411．设a ,b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |12．曲线y ＝A sin ωx ＋a (A >0，ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2πω上截直线y ＝2及y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a ＝12，A >32B ．a ＝12，A ≤32C ．a ＝1，A ≥1D ．a ＝1，A ≤1第二卷（非选择题共90分）二·填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－1)，若向量a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为________．15．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是________．16．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．三·解答题（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分)如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中，i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m 的值，使(1)A ，B ，C 三点共线； (2)AB →⊥BC →.18．（12分）（1）已知tan 3α=-，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ;（2）已知sin cos ,2,tan 5ααπαπα-=-p p 求的值。

2020-2021学年人教A版数学必修4习题：模块综合评估

模块综合评估时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．下列命题中的真命题是( B )A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C ．终边相同的角必相等D ．终边在第二象限的角是钝角解析：三角形的内角可以等于90°，而90°角既不是第一象限角也不是第二象限角，A 错；由正弦线、正切线的定义可知B 正确；终边相同的角可以相差360°的整数倍，C 错；终边在第二象限且小于180°的正角才是钝角，D 错．2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( A )A ．(－12，32) B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12)解析：本题主要考查三角函数定义的应用．记α＝∠POQ ＝2π3，由三角函数的定义，可知点Q 的坐标(x ，y )满足x ＝cos α＝－12，y ＝sin α＝32，故选A.3．已知α∈(π2，π)，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( B )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系．由题意可得sin α＝35，∴sin(α＋π)＝－sin α＝－35，故选B.4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO→的坐标为( C ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 解析：AD→＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)，∵AD →＋AB →＝AC →，∴AC →＝(1,10)，∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选C. 5．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC→＋CB →＝0，则OC →＝( A ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →解析：依题意，得OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，所以OC→＝2OA →－OB →，故选A. 6．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD →，则( A ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → 解析：由BC→＝3CD →得，AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即3AD →＝3AC →＋(AC →－AB →)，所以AD →＝43AC →－13AB →. 7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( C )解析：8．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( D )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：本题考查利用三角函数知识判断三角形形状的思维方法．由sin A cos A ＝sin B cos B ，得sin2A ＝sin2B ＝sin(π－2B )，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.9．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC→，则λ＋μ的值为( A ) A.12 B.13 C.14 D ．1解析：∵M 是BC 上任意一点，∴可设AM→＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.10．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A 等于( A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由OA→＋OB →＋CO →＝0，得OA →＋OB →＝OC →，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.11．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，若将其图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g (x )的图象，且g (x )为奇函数，则函数f (x )的图象( C )A ．关于点(π12，0)对称 B ．关于点(5π12，0)对称 C ．关于直线x ＝5π12对称D ．关于直线x ＝π12对称解析：本题考查三角函数图象的变换和奇函数的性质．由已知得T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以g (x )＝sin[2(x ＋π6)＋φ]＝sin(2x ＋π3＋φ)，又g (x )为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，则φ＝－π3(|φ|<π2)，即f (x )＝sin(2x －π3)．把x ＝5π12代入得sin(2×512π－π3)＝1，所以直线x ＝512π为f (x )图象的对称轴，故选C.12．若在x ∈[0，π2]上有两个不同的实数满足方程cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则k 的取值范围是( D )A ．[－2,1]B ．[－2,1)C ．[0,1]D ．[0,1)解析：本题考查三角函数图象的具体应用，考查数形结合思想．原方程即2sin(2x ＋π6)＝k ＋1，sin(2x ＋π6)＝k ＋12.由0≤x ≤π2，得π6≤2x ＋π6≤7π6，y ＝sin(2x ＋π6)在x ∈[0，π2]上的图象如图所示，故当12≤k ＋12<1，即0≤k <1时，方程有两个不同的根，故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12. 解析：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2.解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3.所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是1－ 2.解析：f (x )＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )的最小值为1－ 2.16．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②直线x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴；③点(π8，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度，可得到函数y ＝2sin2x 的图象．其中正确的命题为①③.(填序号)解析：本题考查三角函数的图象和性质的应用．f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，所以最小正周期T ＝π，①正确；当x ＝π4时，f (π4)＝2sin(2×π4－π4)＝2sin π4，不是最值，所以②错误；f (π8)＝2sin(2×π8－π4)＝0，所以③正确；将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，得到y ＝2sin[2(x ＋π4)－π4]＝2sin(2x ＋π4)的图象，所以④错误．综上，正确的命题为①③.三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2α＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×(12)2＋12＋2(12)2＋1＝135. 18．(本小题12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b .解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12. 由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(本小题12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝3π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π2，∴T ＝π，ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎪⎫－π8，2代入得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝2.∴－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. (2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )． ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )．20．(本小题12分)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0，12)，最小正周期为2π3，且最小值为－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈[π6，m ]，f (x )的值域是[－1，－32]，求m 的取值范围．解：(1)由函数f (x )的最小值为－1，可得A ＝1.因为函数f (x )的最小正周期为2π3，所以ω＝3.可得f (x )＝cos(3x ＋φ)，因为函数f (x )的图象过点(0，12)，所以cos φ＝12，又因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝cos(3x ＋π3)．(2)由π6≤x ≤m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，又结合函数y ＝cos x 的图象，只需π≤3m ＋π3≤7π6，所以m 的取值范围为[2π9，5π18]．21．(本小题12分)已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求tan A tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．解：(1)∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15，∴tan Atan B ＝2.(2)∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34，又tan A ＝2tan B ，∴2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，又0<B <π2，∴tan B ＝2＋62，∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6，∵AB ＝3，∴CD ＝2＋6，∴AB 边上的高为2＋ 6.22.(本小题12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx－sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的值域．解：(1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )的图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )．即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z .所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋λ，所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＝－2sin π4＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，得－π6≤53x －π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1.所以－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的值域为[－1－2，2－2]．。

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高一数学必修4模块测试题（人教A 版）强烈推荐时间：120分钟满分：150分班级：姓名：学号：第I 卷（选择题, 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．0sin 390=( )A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-2．下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,]22ππ-D ．[,2]ππ3．下列函数中，最小正周期为2π的是( )A ．sin y x =B ．sin cos y x x =C ．tan 2xy = D ．cos 4y x =４．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( )A ．－1B ．－9C ．9D ．1 ５．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89- ６．要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )A ．向左平移23π个单位B ．向右平移23π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7．已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( )A B C ．3 D ．10８．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =, 则点P 的坐标为 ( ) A ．(2,7)-B ．4(,3)3C ．2(,3)3D ．(2,11)-9．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为 ( ) A ．16 B ．2213 C ．322 D ．131810．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（）A. ,24ππωϕ==B. ,36ππωϕ==C. ,44ππωϕ==D. 5,44ππωϕ==第II 卷（非选择题, 共60分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，Ｃ(1,7)，则Ｄ点坐标为 13．函数y =的定义域是 .14. 给出下列五个命题： ①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数 ④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有（填写正确命题前面的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（本小题满分12分） (1)已知4cos 5a =-，且a 为第三象限角，求sin a 的值 (2)已知3tan =α，计算 ααααs i n 3c o s 5c o s2s i n 4+- 的值16（本题满分12分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----．（１）化简()fα（２）若31cos()25πα-=，求()f α的值17（本小题满分14分）已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =, (1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +.18（本小题满分14分）已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， (1) ka b +与3a b -垂直？(2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？19（本小题满分14分）某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：经过长期观测， ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+ （1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？20（本小题满分14分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b = (1) 求函数()f x 的解析式; (2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.参考答案:一、ACDAD DDDCC二、11.3π 12.(0,9) 13. [2,2]k k πππ+k Z ∈ 14. ①④ 三、15.解：（1）∵22cos sin 1αα+=，α为第三象限角 ∴3sin 5α===- （2）显然cos 0α≠∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337cos αααααααααααα---⨯-====++++⨯16.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- （2）∵31cos()25πα-= ∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5α=-又α为第三象限角∴cos α== 即()f α的值为5-17.解： (1) 1||||cos602112a b a b ==⨯⨯= (2) 22||()a b a b +=+22242113a ab b=-+=-⨯+=所以||3a b +=18.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反。

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高中数学学习材料唐玲出品必修4模块测试卷（A ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列能与︒40sin 的值相等的是( )A ．︒40cosB ．)40sin(︒-C ．︒50sinD ．︒140sin 2．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若12,33AD AB CD CA CB λ==+，则λ=（）A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 3．半径为10 cm ，面积为100cm 2的扇形中，弧所对的圆心角为（）A ．2弧度B ．︒2C ．π2弧度D ．10弧度4．已知,2||=a,5||=b 3-=⋅b a ，则a b +等于（）A ． 23B ．35C ．23D ．355．要得到函数sin 2y x =的图象，只要将函数sin(2)3y x π=-的图象（）A ．向左平行移动3π个单位B ．向左平行移动6π个单位C ．向右平行移动3π个单位D ．向右平行移动6π个单位6．下列命题中：①若0a b ⋅=,则0a =或0b =；②若a b =,则()()0a b a b +⋅-=；③若a b a c ⋅⋅=，则b c =；④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；其中正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3D ．47. 已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．如图所示：某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数： b x A x f ++=)s i n ()(ϕω，]14,6[∈x ，则这段曲线的解析式为（）A ．12)438sin(12)(++=ππx x fB ．12)438sin(6)(++=ππx x fC ．12)4381sin(6)(++=πx x fD ．12)4381sin(12)(++=πx x f9．函数)(x f 是周期为π的偶函数，且当)2,0[π∈x 时，1tan 3)(-=x x f ，则)38(πf的值是（） A ．4-B ．2-C ．0D ．210．给出下面的三个命题：①函数|32sin |⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y 的最小正周期是2π②函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23sin πx y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ上单调递增③45π=x 是函数⎪⎭⎫⎝⎛+=652sin πx y 的图象的一条对称轴。

2019-2020人教A版数学必修4模块综合测评

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13，则cos 2α＝( ) A ．429 B ．－429 C ．79D ．－79D [cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，故选D.] 2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积是( ) A ．8π3 B ．43 C ．2πD ．4π3D [扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12的值等于( ) A ．13 B ．223 C ．－13D ．－223 C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－13，故选C.] 4．设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝( )A ．17 B ．－15 C ．15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，∴⎩⎨⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0， ∴tan α＝－2，tan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－（－2）×3＝17.]5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝2cos x ，动直线x ＝t 与f (x )和g (x )的图象分别交于A ，B 两点，则|AB |的取值范围是( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，2]D ．[1，2]B [题意得|AB |＝|f (t )－g (t )|＝|sin t －cos t | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4∈[0，2]．故选B.] 6．已知tan θ2＝23，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A ．23B ．－23C ．32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan θ2＝23.]7．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA→等于( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32D [由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB→＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32.]8．已知将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的图象向左平移5π12个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的值域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B [因f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π6＝sin(2x ＋π) ＝－sin 2x ，因－π12≤x ≤π3，故－π6≤2x ≤2π3，则－12≤sin 2x ≤1，所以－1≤g (x )≤12.]9．已知f (x )＝1＋sin 2x2，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 0.2)，则下列正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5)， ∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋sin （－2x ）2＝1， ∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]10．如图，设P 为△ABC 内一点，且AP →＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，C N →＝45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →，A N →＝15AC →，则AP →＝AM →＋A N →，由平行四边形法则可知N P →∥AB →，A N →∥MP →，所以S △PMB S △ABC＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.] 11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．10D ．16B [函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则：sin φ＝12，结合|φ|＜π2可得：φ＝π6，由：f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12对x ∈R 恒成立可得：π12×ω＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得：ω＝24k ＋4(k ∈Z )，令k ＝0，可得：ωmin ＝4.]12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos2B ，当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立， ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立，即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π， ∴0＜sin B ≤1，∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是．(－2，6) [设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC→＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)．由AC→∥OB →，BC →⊥AB →，得 ⎩⎨⎧2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6， ∴点C 的坐标为(－2，6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为．y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .] 15．设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝．247 [因为α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，所以x ＜0，因为cos α＝x5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.]16．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数m n 的值为．16[OA →·OB →＝3×2×cos 60°＝3，OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →， ∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB→－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin （α＋π）·tan （α－π）cos （3π－α）的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由(1)知，P 在单位圆上，∴由余弦函数定义得cos α＝45，∴原式＝54.18．(本小题满分12分)(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43 cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2，因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.19．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB→＝2AD →，AC →＝5AE →.(1)若BF→＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值．[解] (1)证明：因为BF→＝－34AB →＋110AC →，所以AF→＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12AE →，所以F 为DE 的中点． (2)由(1)可得EF→＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB→＝2AD →，AC →＝5AE →，所以EF→＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC → ＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程)．[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x ＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．(2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图，已知OP →＝(2，1)，OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，设Z 是直线OP 上的一动点．(1)求使Z A →·Z B →取最小值时的O Z →；(2)对(1)中求出的点Z ，求cos ∠A Z B 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点， ∴O Z →∥OP→. 设实数t ，使O Z →＝tOP →， ∴O Z →＝t (2，1)＝(2t ，t )，则Z A →＝OA →－O Z →＝(1，7)－(2t ，t ) ＝(1－2t ，7－t )，Z B →＝OB →－O Z →＝(5，1)－(2t ，t ) ＝(5－2t ，1－t )，∴Z A →·Z B →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时，Z A →·Z B →有最小值－8，此时O Z →＝(2t ，t )＝(4，2)．(2)当t ＝2时，Z A →＝(1－2t ，7－t )＝(－3，5)，|Z A →|＝34，Z B →＝(5－2t ，1－t )＝(1，－1)，|Z B →|＝ 2. 故cos ∠A Z B ＝Z A →·Z B→|Z A →||Z B →|＝－834×2＝－417＝－41717. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3tan ωx ＋1tan 2ωx ＋1(ω＞0)．(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，求f (x )的单调增区间；(2)若f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x (0＜ω＜2)，求ω的值．[解] 原式＝3sin ωx cos ωx ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx cos ωx 2＋1＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωxsin 2ωx ＋cos 2ωx＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π，2π|2ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，又因当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2时f (x )单调递增，即f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6k ∈Z .(2)因为f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x ，所以函数f (x )关于直线x ＝π3对称，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1，所以ω＝12＋3k 2(k ∈Z )．又ω∈(0，2)，所以k ＝0，ω＝12.。