奥狐杯竞赛三角函数第二讲
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页
初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解关于的方程。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。
高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题
高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________常用的三角恒等公式1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=,相关变式：①和差为积：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；cos cos 2coscos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=--+；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中sin ϕϕ=或者sin cos )a b αααφ+=-，其中sin φφ==注意特殊角的三角函数：11sin,cos ,sin 62623232ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-.降次公式： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 万能公式：222222tan 1tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααα-===-=++22tan tan 21tan ααα=-. 3.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-⋅⋅++=-⋅-⋅-⋅4.三角恒等的高次问题24sin sin()sin()033ππααα++++=；222243sin sin ()sin (332ππααα++++=； 444249sin sin ()sin (338ππααα++++=2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+⋅- 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+⋅-5.三角的求和问题00021212sincos()sin()sin()222cos()2sin 2sin22nnn k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===+-⋅++-++===∑∑∑ 211(1)sin()sin()sin cos()22222sin sin22n n d ndx d x d x d d +++-+⋅+=.00021212sin sin()cos()cos()222sin()2sin 2sin22n n n k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===-+⋅++-++===∑∑∑ 21(1)cos()cos()sin sin()22222sin sin22d n n d ndx x d x d d ++--+⋅+=. 一.有关三倍角公式及其应用例1 有关三倍角公式及其应用（1）3sin 33sin 4sin ααα=-； （2）3cos34cos 3cos ααα=- （3）sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=； （4）cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.求解下列各式：sin18,sin18sin 54,sin 36sin 72︒︒︒︒︒.例2 设实数(1,2,,)i x i n = 满足111x -≤≤ ，且321133223111343434n n n n x x x x x x x x x x x ++⎧=-⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩ ，求(1,2,,)i x i n = .例3 求值：23cos cos cos 777πππ-+例4 求23tantan tan777πππ，22223tan tan tan 777πππ++，2222222233tan tan tan tan tan tan 777777ππππππ⋅+⋅+⋅ 22223cot cot cot 777πππ++的值. 练习一：1.求函数()cos 46cos317cos 230cos f x x x x x =+++的值域.2.求函数()cos34cos 28cos ,f x x x x x R =++∈的最小值.3.求证：cos33cos 1(3cot cot 3)sin 32ααααα+=-.4.证明：cos 7π为无理数.5.已知数列{}n a 满足13133,2n n n a a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式.二.利用三角恒等公式求解三角值的各种方法与技巧 例5.求下列三角函数的值 （1）cot104cos10︒︒-（2）证明：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα+= .（3）求值：(1tan1)(1tan 2)(1tan 45)︒︒︒+++= ____________.（4）证明：1sin()sin 2sin sin()sin[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=.拓展：1sinsin 22sin sin 2sin sin 2n nn αααααα+⋅+++=.拓展：2sin sin sin 3sin 5sin(21)sin n n αααααα+++-= .拓展：sin(1)sin sin 2sin 4sin 6sin 2sin n n n αεααααα++++=拓展：23(1)sin sin sin sin cot 2n n n n n nπππππ-++++= .（5）证明：1cos()sin 2cos cos()cos[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=拓展：1cossin 22cos cos 2cos3cos sin2n nn ααααααα+⋅++++=高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第二张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________拓展：cos(1)sin cos 2cos 4cos 6cos 2sin n n n ααααααα+⋅++++=拓展：cos sin cos cos3cos5cos(21)sin n n n ααααααα⋅++++-= .（6）①求sin1sin 2sin 3sin88sin 89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅ 的值②sin1sin 3sin 5sin 87sin89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅③44sin 2sin 4sin 6sin88sin 902︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅= . （7）39cos cos cos 131313πππ++（8）4444357cos cos cos cos 16161616ππππ+++ （9）55557coscos cos 999πππ++ 三.三角恒等变形中的裂项相消法例6 利用三角恒等求证下列各式： （1）证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x x x++++=- .（2）证明：223311111tan tan tan tan cot cot 2222222222n n n n x x x x xx +++++=- .（3）化简：111sin 45sin 46sin 47sin 48sin133sin134︒︒︒︒︒︒+++（4）化简：111sin1sin 2sin 2sin 3sin89sin 90︒︒︒︒︒︒+++（5）化简：2sin 24sin 46sin 6178sin178︒︒︒︒++++（6）化简：111cos33cos33sin 3k k nk kk x xx --=+=∑_______________.（2）由于1111121cos33cos311cot 3cot 3(3cot 3cot 3)(3sin 323233k k k k k kk k k k k x x x x x x x -------+=-=-⋅四.三角恒等中的递推思想例7（利用递归思想求解）证明：对任何的正整数n ，tan 15cot 15nn︒︒+为一个正偶数.练习二：1.(2011江苏)已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+= ．2.（2011山西）2000sin 130sin 70cos80+= ．3. 求sin 20sin 40sin80cos 20cos 40cos80︒︒︒︒︒︒+的值________________ 4.设,,αβγ是公差为3π的等差数列，求tan tan tan tan tan tan S αββγγα=++的值____ 5.（2011江西）sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ． 6.求71cos15k k π=∏的值_______________ 7. 求111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.8.求441(1tan )k k ︒=+∏的值.9.求512cos11k k π=∑的值.10.求57coscos cos 999πππ++的值五.自主招生中的三角恒等问题1.（2017年北京大学博雅计划5）35(1cos )(1cos cos 777πππ+++的值为（ ） A.98 B. 78 C. 34D.前三个答案都不对 2.（2017年北京大学优特数学测试3）9tan102tan 204tan 40tan 80︒︒︒︒++-=________.3.（2010清华大学特色试题）求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.4.（2015年清华大学金秋营1）已知函数31()4sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为_________________.5.（2017年北京大学自主招生试题4）3(1cos )(1cos )55ππ++的值为___________.6.（2016年北京大学生命科学冬令营试题5）设322παπ<<，则=_______. 7.（2016年北京大学博雅计划试题7）210cos cos cos 111111πππ 的值为( ) A.116-B.132-C.164- D.前三个答案都不对 8.（2017年清华大学附加科目测试试题5）55557cos cos cos 999πππ++9.（2016年清华大学领军计划13）设24x π=，则sin sin cos 4cos3cos3cos 2x x x x x x+ sin sin cos 2cos cos x xx x x++=_______________.10.（2016年北京大学生命科学冬令营试题16）设7πα=，则222sin sin 2sin 3ααα++的值为_______________.11.（2016年北京大学博雅计划7）210coscos cos 111111πππ⋅= ______________.12.（2015年北京大学化学体验营3）求证：（1）2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. （2）32tan 4sin 1111ππ+=.13.（2014年北京大学全国优秀中学生体验营3）证明：若n 为不小于2的自然数，t R ∈且sin 02t ≠，则2111sin 2(12cos )sin 2n k k p nt pt t -==⎛⎫ ⎪+=⎪ ⎪⎝⎭∑∑.。
奥狐杯竞赛必修五与必修三拔高讲义
y , PC x, APB 90 3
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APC 120 , BPC 150 , AB 3, AC 4, BC 5
这样有： 6 SABC SAPB SAPC SBPC =
8 6 4
因此， 2
Tn S n
10
6. log2 ( x 3x 5x 3x 1) 1 log2 ( x 1)
12
【解】由 1 log2 ( x 1) log2 (2x 2) ，且 log 2 y 在 (0,) 上为增函数，故原不等式等
4 4
价于：
意 实 数 x 恒 成 立 ， 定 义 数 列 an 和 bn 为 ： a1
1 ,2an f (an 1 ) 15(n 2,3, ) ， 2
bn
1 (n 1,2,3, ) ，数列 bn 的前 n 项和记为 Sn ，其前 n 项和的乘积为 Tn 。 2 an
（8）已知 x 19 99 是 x bx c 0 的一个根，其中 b, c 为整数，求 b c 的值；
4 2
32 7.设 an 是(3 x) 的展开式中 x 项的系数(n=2， 3，4，…)，则n→∞ lim (a 2
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1 . 若 对 任 意 x1 , x2 (0,) 恒 有 4x
f ( x1 ) g ( x2 ) m ，试求 m 的最小值。
解：由均值不等式 g ( x) 3x
1 1 3 等号成立。而 2 3x 3 ，当且仅当 x 4 4x 4x
奥狐杯高三物理学科特长竞赛模拟卷
“奥狐杯”组委会、奥狐教育、天科学堂 2015 年学员内部使用测评试卷 仅供参考
A．
2 l2 l2 4l1 h1 h2
2
2 l2 l2 4l1 h1 h2
B． l1
h2 h1 h1 h2 h1 h1
）
C．
2
D ． l2
ml 2 4
D.
ml 2 ml 2 ~ 4 2
6.如图是用光照射某种金属时逸出的光电子最大初动能随入射光频率变化的图线， 由图可知 （ ）纵轴 0.2 改为 0.1
A.该金属的极限频率为 4.27 1014 Hz B.该金属的极限频率为 5.5 10 Hz C.该图线的斜率表示普朗克常量 D.该金属逸出功为 0.5eV . 二、解答题（四道题，共 70 分） 7.（14 分）两带电小球电量分别为 q, Q ，质量分别为 m, M ，从相距为 r 处释放，那么 两球最终速度分别为多少？ 8.（18 分）求如图所示无限网格的电阻
m1 2 B. g m1 3m3 m2 M 4 4 2 m M 1 2 g D. m M m 3 2 M
2.现有 X 星球上地表重力加速度为 g x ，大气压强为 hx 汞柱。如图现有一玻璃管，用长度为
h2 l2 l1 的水银封闭了长为 l1 的一段气柱，现将弯管旋转 90 ，则气柱长度为（开始开口
一、不定项选择题（ 5' 6 30' 分） 1.如图所示， 两物块质量分别为 M , m1 ， 两滑轮质量分别为 m2 , m3 并且都是均质圆盘。M 由 束缚释放，那么其加速度可以表示为（已知重力加速度大小为 g ） （ ）
m1 2 A. g m2 M m1 2 m M 1 2 C. g m1 m2 3 M m3 4 2 4 M
奥狐杯竞赛三角函数第二讲
奥狐杯竞赛三角函数第二讲奥狐杯竞赛三角函数第二讲：和差化积、积化和差、三倍角、万能公式等练习1.和差化积、积化和差公式（高考需要掌握）1）和差化积公式sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=sin sin 2cos sin22αβαβαβ+--= cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=- 2)积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++- ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++- ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+-- 2.三倍角公式（自招竞赛要求）()()3sin33sin 4sin 4sin sin 60sin 60θθθθθθ??=-=-+ ()()3cos34cos 3cos 4cos cos 60cos 60θθθθθθ?=-=-+ ()()323tan tan tan 3tan tan 60tan 6013tan θθθθθθθ-==-?+- 例（北约2013）对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值． 3.万能公式（高考要求）22tan2tan 1tan 2θθθ=- ，22tan2sin 1tan 2θθθ=+ ，221tan 2cos 1tan 2θθθ-=+ 4.等差角正余弦求和（自招竞赛要求）()()()1cos sin 22cos cos cos 2cos sin2n n n αββααβαβαββ+?+ +++++++=()()()1sin sin 22sin sin sin 2sin2n n n αββααβαβαββ+?+ +++++++=5.“点鞭炮”公式（自招竞赛要求）1sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn θθθθθθ+=二．经典例题例1. 求值sin cos sin cos sin sin 71587158?+ -分析一：要求非特殊角的三角函数值，必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特殊角的三角函数。
高中数学 第六章《三角函数》数学竞赛讲义 苏教版
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为（x ,y ）,到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ,余切函数cot α=y x ,正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.yr定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1,co s α=αsec 1；商数关系:tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系:tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系:s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变,符号看象限）。
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-锐角三角函数
初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+οο= ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．参考答案。
竞赛辅导三角函数
熟练掌握三角函数的定义、性质、图像和变 换，以及三角恒等式与公式。
总结归纳解题方法
针对不同题型，总结归纳相应的解题方法和 技巧，形成自己的解题思路。
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正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tanx。
三角函数图像变换
平移变换
伸缩变换
反射变换
通过加减常数可以改变 三角函数的相位和垂直
位置。
通过乘以常数可以改变 三角函数的周期和振幅。
通过取反或绝对值等操 作可以改变三角函数的
形状和对称性。
复合变换
通过组合以上变换可以 得到更复杂的三角函数
图像。
03
余弦定理的应用
余弦定理在解三角形中主要用于求解三角形的边或角，特别 是在已知三边或已知两边及夹角的情况下。此外，余弦定理 还可用于判断三角形的形状（如锐角、直角或钝角三角形） 。
面积公式及其应用
面积公式的表述
在任意三角形ABC中，面积$S = frac{1}{2}bcsin A = frac{1}{2}acsin B = frac{1}{2}absin C$。
三角函数求值与化简
同角三角函数关系式
平方关系
01
$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$
商数关系
02
$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$
互补角关系
03
$sin(90^circ - alpha) = cosalpha$，$cos(90^circ - alpha)
3.2.2两角和与差的正弦余弦函数公开课一等奖课件省赛课获奖课件
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β) ＝ _s_i_n_α_c_o_s_β_－__c_o_s__α_si_n__β_____
使用条 件
Α,β∈R
Α,β∈R
1．sin75°的值为( ) 2－1
A. 2 6－ 2
C. 4
答案： D
2＋1 B. 2
6＋ 2 D. 4
2．sin7°cos37°－cos7°sin37°的值为( )
2sin xcos π3－2cos xsin π3－ 3cos 23πcos x－ 3sin
2π 3 sin x
＝cos
π3＋2cos
π3－
3sin 23πsin x＋
sin
π3－2sin
π3－
3cos 23πcos x
＝12＋1－
3×
23sin
x＋
23－
3＋
3 2
cos
x＝0.
(2)原式＝sin[α＋β＋αs]i－n 2αcosα＋βsinα
2.求函数 y＝2sin(π3－x)－cos(π6＋x)(x∈R)的最小值．
解析：
y＝2sin
π 3cos
x－2cos
π 3sin
x－cos
π 6cos x
＋sin π6sin x
＝ 3cos x－sin x－ 23cos x＋12sin x.
＝
3 2 cos
x－12sin
x＝cos
(x＋π6)，
＝45×7102＋35×(－102)＝ 22， 又 α∈(0，π2)，∴α＝π4.
2．公式的运用要“活”，体现在：顺用、逆用、
变用．而变用又涉及两个方面：一是公式本身 的变用，如cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β； 二是角的变用，也称为角的变换，如α＝(α＋β) －β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
三角函数求值PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
4
sin
பைடு நூலகம்
sin
3
52
7
12
cos( ) cos cos sin sin 3 5 2 7 12
例3.已知cos(α–30 °)=15/17, α为不小于
30 °旳锐角,求cos α旳值.
分析： α=(α– 30 °)+ 30 ° 解：∵ 30 °＜ α ＜90 °,
∴ 0 °＜ α – 30 °＜60 °, 由cos(α – 30 °)=15／17,得sin (α – 30 °)=8／17, ∴cos α=cos[(α – 30 °)+ 30 °]
4. cos (45 °+30 °)能否用45 °和30 °旳角旳 三角函数来表达?
5. 假如能,那么一般地cos(α+β)能否用α 、β旳 角旳三角函数来表达?
3.1.1.两角和与差旳余弦公式
吴川市第一中学 李 君
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
证明:如图所示
在平面直角坐标系xOy内,作单位圆,并作 α 、 β 和–β角,使α角旳始边为Ox，交圆O于P1, 终边交圆O于P2;β角旳始边为OP2,终边交圆O于 P3; – β角旳始边为OP1,终边交圆O于P4;
整顿得: cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C( )
公式旳构造特征: 左边是复角α+β 旳余弦,右边是单角α、β
旳余弦积与正弦积旳差.
将 替代为
cos( ) cos( ( ))
cos cos( ) sin sin( ) cos cos sin sin
两角和与差的三角函数说课稿PPT公开课一等奖课件省赛课获奖课件
例4、若、 （0， ），co（s ） 3 ，
2
22
sin（ ） 1 ，求cos( )的值。
2
2
小结
设co（s ） 4，co（s ） 12， （ ，）
5
13
2
（3 ，2），求cos2，cos2。 题设条件
2
若co（s x） 3，7 x 7 ,
中普通不 会直接给
4
5 12
4 出某个单
求 sin 2x 2sin2 x 的值. 1 tan x
角的三角 函数值。
1、化简优先原则 2、抓住条件和结论中角的联系，已知角的 整体性（特殊状况特殊解决）
例、已知α，β均为锐角且 cos（α+β）=sin（α-β），求tanα。
练习：
（1）已知0＜x＜ 4，sin（
求
cos 2x
co（ s 4
x）的值。
4
-x）=
5 13
，
（2）若sin（ ） 1 ，sin（ ） 1，
2
3
求 tan tan
3、给值求角问题
例4、已知tan（α-β）=1/2，tanβ=-1/7，且α， β∈（0， π ） ，求2α-β的值。
小结：给角求值问题本质上是给值求值问题， 核心是要先探索所求角的范畴，拟定计算所 求角的哪一种三角函数值。
2x 2x
特例：
tan x
3
sin
x
3 cos cos x
x
2
sin（x cos
x
3
）
（2）1 cos x
2
|
cos
x 2
|
1 cos x
2
|
sin
2003~2004学年度高二数学竞赛讲座(三角)概要
2003～2004学年度高二数学竞赛讲座（三角）第四讲 反三角函数与三角方程（上）一、基本知识⒈反三角函数的概念：⑴符合条件a x =sin 的角x ，叫做实数a 的反正弦，记作：a arcsin（其中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 、[]1,1-∈a ）⑵符合条件a x =cos 的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作：a arccos （其中：[]π,0∈x 、[]1,1-∈a ）⑶符合条件a x =tan 的角x ，叫做实数a 的反正切，记作：a arctan（其中：⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 、R a ∈）⑷符合条件a x =cot 的角x ，叫做实数a 的反余切，记作：a arc cot （其中：()π,0∈x 、R a ∈）【说明】我们可以从另一个角度来理解反三角符号（以反余弦为例）：“a arccos ”表示“在[]π,0内余弦等于a 的角”，如：32)21arccos(π=-。
⒉反三角函数的图象和性质当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时x x =)arcsin(sin ， 当[]π,0∈x 时x x =)arccos(cos， 当⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 时x x =)arctan(tan ， 当()π,0∈x 时x x arc =)cot(cot 。
使用上述公式，要注意公式的适用范围，如：=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+55tan 155tan 1arctan []=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-710cos arccos )4sin(arcsin π⒋反三角函数的三角运算公式当[]1,1-∈x 时，x x =)sin(arcsin ，x x =)cos(arccos ， 当R x ∈时，x x =)tan(arctan ，x x arc =)cot cot(。
⒌反三角函数的正负值关系式当[]1,1-∈x 时，x x arcsin )arcsin(-=-，x x arccos )arccos(-=-π， 当R x ∈时，x x arctan )arctan(-=-，x arc x arc cot )cot(-=-π。
高考数学二轮复习 第2讲 三角函数求值与解三角形考点突破课件 新人教
题型二 正、余弦定理的应用
【例 2】 (2010·辽宁)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B， C 的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求 A 的大小； (2)求 sin B＋sin C 的最大值． 解：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 故 cos A＝－12，A＝120°.
6．面积公式 S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C.
7．解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解， 解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．
2．(2009·北京理)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为
Hale Waihona Puke a、b、c，B＝π3，cos A＝45，b＝ 3.
(1)求 sin C 的值；
(2)求△ABC 的面积．
解：(1)因为角 A、B、C 为△ABC 的内角，且 B＝π3，
cos A＝45，所以 C＝23π－A，sin A＝35.
于是
(1)求 fπ3的值；
(2)求 f(x)的最大值和最小值．
解：(1)fπ3＝2cos23π＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x
－1＝3cos x－232－73，x∈R.
因为 cos x∈[－1,1]， 所以，当 cos x＝－1 时，f(x)取最大值 6； 当 cos x＝23时，f(x)取最小值－73.
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奥狐杯竞赛三角函数第二讲：和差化积、积化和差、三倍角、万能公式等练习 1.和差化积、积化和差公式（高考需要掌握） 1） 和差化积公式sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=sin sin 2cos sin22αβαβαβ+--= cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=- 2)积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ 2.三倍角公式（自招竞赛要求）()()3sin33sin 4sin 4sin sin 60sin 60θθθθθθ︒︒=-=-+ ()()3cos34cos 3cos 4cos cos 60cos 60θθθθθθ︒=-=-+()()323tan tan tan 3tan tan 60tan 6013tan θθθθθθθ︒-==-︒+- 例（北约2013）对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值． 3.万能公式（高考要求）22tan2tan 1tan 2θθθ=- ，22tan2sin 1tan 2θθθ=+ ，221tan 2cos 1tan 2θθθ-=+ 4.等差角正余弦求和（自招竞赛要求）()()()1cos sin 22cos cos cos 2cos sin2n n n αββααβαβαββ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭+++++⋅⋅⋅++=()()()1sin sin 22sin sin sin 2sin2n n n αββααβαβαββ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭+++++⋅⋅⋅++=5.“点鞭炮”公式（自招竞赛要求）1sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn θθθθθθ+⋅⋅⋅=二．经典例题 例1. 求值sin cos sin cos sin sin 71587158︒+︒⋅︒︒-︒⋅︒分析一：要求非特殊角的三角函数值，必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特殊角的三角函数。
注意到7158︒︒︒与和的关系，本题采用积化和差与和差化积公式求解。
解法一：原式=sin (sin sin )cos (cos cos )712237712237︒+︒-︒︒+︒-︒=︒+︒︒+︒=︒⋅︒︒⋅︒=︒=︒-︒=︒-︒+︒︒=-+=-+=-sin sin cos cos sin cos cos cos tan tan()tan tan tan tan 23723721582158154530453014530133133313123分析二：利用7158︒=︒-︒这一特点，用两角差的正弦、余弦公式求解解法二：原式=sin()cos sin cos()sin sin 158158158158︒-︒+︒⋅︒︒-︒-︒⋅︒=︒︒-︒︒+︒⋅︒︒︒+︒︒-︒︒=︒⋅︒︒︒=︒=-︒︒=-=-sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos cos tan cos sin 15815815815815815815815815130301321223 评述：解法一属常规方法，只要公式记忆准确就可以完成。
解法二，简洁明快，它的巧妙之处在于拆角上。
因此，观察是前提，交换是关键，全面的观察和透彻的分析可避免盲目推演，本题解法二抓住7158︒=︒-︒这一等角变换不仅避免了和积互化，而且也能更好地考查推理运算能力。
例2. 化简：cos cos ()cos ()2222343A A A ++++ππ 分析：先利用二倍角公式降次，再和差化积，最后用诱导公式将此三角函数式化到最简。
解：原式=1221432218322+++++++cos cos()cos()AA A ππ)]22cos(2[cos 2123]32cos )22cos(22[cos 2123)]238cos()234cos(2[cos 2123A A A A A A A +-+=⋅+++=+++++=πππππ 23]2cos 2[cos 2123=-+=A A评述：本题求解过程中要注意倍角降次的作用，以及和差化积的使用，最后能求出值的一定要求出值来。
例3. 证明：tantan sin cos cos 32222x x xx x-=+ 分析：本题可以采用从左向右证，即切化弦，也可以从右向左证，把弦的问题转化成切的问题，还可以左右同时向第三个式子证（此方法对本题而言略显繁琐），下面给出前两种证法，证明过程中所用公式有相同的，也有不同的，各有各的特点。
证法一：左边=tantan sincos sincos322323222x x x x xx -=-=-=-=+=+=sin cos cos sincos cossin()cos cos sin (cos cos )sin cos cos 32232232232232212222x x x x x x x x x x x x x x x x右边∴等式成立证法二：右边=2222322sin cos cos sin cos cosxx xxx x +=⋅=-⋅=-⋅=-=-=sin()cos cos sin cos cos sincos cossin cos sincostan tan 322322322322322323222322x x x x x x x x x x x x x x x x 左边评述：证法一是将“切化弦”，是常用方法。
证法二是变角，分项，具有逆向思维的特点，这也是一种重要的思维方法。
例4. 求值：(cot tan cot tan )tan 1818363636︒+︒+︒+︒⋅︒ 分析：从结构看：既有正切，又有余切，不统一，为此，可全部化为正切 原式=(tan tan tan tan )tan 7218543636︒+︒+︒+︒⋅︒注意到：721890543690︒+︒=︒︒+︒=︒，可利用正切的和差化积公式：tan tan sin cos sin cos sin()cos cos αβααββαβαβ+=+=+化简解：原式=︒+︒+︒+︒⋅︒(tan tan tan tan )tan 7218543636︒︒⋅︒⋅︒︒⋅︒=︒⋅︒︒︒+︒=︒⋅︒+︒=︒⋅︒︒+︒︒=︒⋅︒︒︒+︒+︒︒︒+︒=︒⋅︒︒+︒︒+︒︒+︒︒=36cos 36sin 18cos 36sin 18cos 54sin 436tan 72sin 36sin )36sin 72(sin 236tan )72sin 236sin 2(36tan )36cos 36sin 118cos 18sin 1(36tan )36cos 54cos )3654sin(18cos 72cos )1872sin((36tan )36cos 36sin 54cos 54sin 18cos 18sin 72cos 72sin (436cos 54sin 4=︒︒=评述：①要注意观察式中角的关系与函数名称的关系，选择恰当三角公式解题。
②从不同角度观察问题，探索多种解法，从中总结出一般的解题规律和常见的解题技巧。
例5. 在△ABC 中，求证cos cos cos sin sin sin 22222222222A B C A B C++=⋅⋅+。
分析：这是有附加条件的三角恒等证明A B C A B CA B CA B C C ++=+=-+=-+=-=ππππ222sin()sin()sincos()cos()cos sin sin()cos A B C C A B C C +=-=-+=-=ππ2222等在证明时，左边先用倍角降次，再利用和差化积以及上面附加条件中的结论，就可将其化简，整理合并后即等于右边。
证明：左边=121212+++++cos cos cos A B C=+++3212(cos cos cos )A B C=++-+3212[(cos cos )cos()]A B A B右边=⋅⋅+=+⋅⋅++=++--++=++--++=2Bsin 2A sin 2C sin 22212B sin 2A sin 22B A cos 23]1)2B A cos 2B A (cos 2B A cos 2[2123]12B A cos 22B A cos 2B A cos 2[21232评述：本题是在A B C ++=π的条件下，考查运用倍角公式、和差化积、诱导公式对三角函数式进行变形化简的能力，这类题目在证明过程中，常用到：sin()sin cos()cos sin cos cos sinsin()sin cos()cos A B C A B C A B C A B CA B C A B C+=+=-+=+=+=-+=，，，2222222222 失误分析：①不能正确的使用在△ABC 中，这个附加条件。
②三角公式不熟练，致使思路受阻。
二、随堂练习一. 选择题：1. sin cos sin sin 20701050︒︒+︒︒值是（ ）A.14B.32C.12D.342. 积cos cos()cos()απαπα⋅+-2323化成和差为（ ）A. cos3αB. 143cos αC. 183cos αD. cos31α-3. sin()cos()παπβ44++化成和差为（ ）A.1212sin()cos()αβαβ++- B.1212cos()sin()αβαβ++- C. 1212sin()sin()αβαβ++-D. 1212cos()cos()αβαβ++-4. cot cos 70470︒+︒的值为（ ）A.33B. 3C. 23D.32*5. 已知αβπαββααβ，，，，则∈+=--=()(sin sin )cos cos 03（ ）A. -23πB. -π3C. π3D.23π 6. sin sin sin sin 6933933︒-︒+︒-︒的值等于（ ）A. 23+B. 23-C.624+ D.624- 7. (cos coscos )(cos cos cos )ππππππ73757274767++++的值为（ ）A.12B. -12C. -14D. －18. 若04<<<+=+=αβπααββ，，sin cos sin cos a b ，则（ ）A. a<bB. a>bC. ab<1D. ab>2二. 填空题： 9. 求值：sin cos sin cos 10708020︒+︒︒+︒=________________10. 求值：csc cot 4080︒+︒=_______________11. 化简：1221232sin cos cos +=__________________ *12. 求值：34812482182tan sec sin ︒-︒+=____________三. 解答题：13. 已知sin sin cos cos tan()αβαβαβ+=+=+1413，，求的值。