函数概念及表示与函数的单调性.pdf
合集下载
函数的表示法和函数的性质(单调性)
函数的表示法
课前预习： 函数的表示法
（1） 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，
这个数学表达式叫做函数的解析式。
归纳总结：解析法有两个有点：一是简明，全面的概括了变量间的变化规律，二是可以通过解析法求出任意一个自变量所对应的函数值。缺点是并不是任意的函数都可以用解析法表示，仅当两个变量有变化规律时，才能用解析法表示。
（2） 图像法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数y 值为纵坐标，在平面内描出个
这些点构成了函数的图像，这种用图像表示两个变量的方法叫图像法。
归纳总结：图像法可以直观的表示函数局部变化规律，进而可以预测他的整体趋势，比如心电图等，图像可以是有限几个点，也可以试一段或几段直线或曲线。在直角坐标系中，如果图像满足：垂直于ｘ轴的直线与其至多有一个交点，那么这个图形一定是某函数的图像。函数定义域的几何意义是函数图像上所有点纵坐标的取值范围。
（3） 列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，
这种用表格表示两个变量的对应关系叫列表法。
归纳总结：列表法不必通过计算就知道两个变量之间的对应关系，比较直观但他只能表示有限个元素之间的函数关系。
自我测评
例一：垂直于x 轴的直线与函数x
x y 1+
=
的图像的交点至多有（ ）
Ａ １ Ｂ ２ Ｃ ３ Ｄ ４ 提示：根据函数的性质：一对一 或者一对多。
例二：已知一次函数ｆ（ｘ）满足ｆ（２）＝１，ｆ（３）＝－５，求解析式。
典题精讲
题型一： 求函数的解析式
例一 已知ｆ（ｘ）是一次函数，且()[]{}78+=x x f f f ，求ｆ（ｘ）的解析式 分析：解答本题可利用待定系数法，设()()0≠+=a b ax x f ，再根据题设条件列方程求解待定系数ｋ、ｂ。
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
答案:×
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
二、函数的单调性与单调区间 [知识梳理] 函数的单调性与单调区间的概念 如果函数 y=f(x)在区间 D 上 单调递增或单调递减 ,那 么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的 单调区间 .
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
二、函数的单调性与单调区间 [知识梳理] 函数的单调性与单调区间的概念 如果函数 y=f(x)在区间 D 上 单调递增或单调递减 ,那 么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的 单调区间 .
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
第三章 函数的概念与性质(课堂笔记)
第三章函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
3.1.1函数的概念
1.概念的概念
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =f (x ),x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合
f x x ∈A }叫做函数的值域．
2.函数三要素：定义域、对应关系、值域。
3.区间
若a ,b ∈R ,且a <b ，则（1）x |a ≤x ≤b =a ,b 闭区间（2）x |a <x <b =a ,b 开区间（3）x |a ≤x <b =a ,b ) 半开半闭区间
x |a <x ≤b =(a ,b ]半开半闭区间
∞表示无穷大，R =-∞,+∞
（4）x |x <a =-∞,a x |x ≤a =-∞,a ] （5）x |x >a =(a ,+∞)
x |x ≥a =[a ,+∞)
4.常见求函数定义域方法(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次根号下被开方数大于等于零；
(3)零的零次方无意义；a 0
=1,a ≠0
(4)对数式的真数大于零；
(5)定义域多个取值范围同时满足，求交集。
例：函数f (x )=-x 2+4x +12+1
x -4
的定义域是
.
解：要使函数有意义，需满足-x 2
+4x +12≥0x -4≠0
，即-2≤x ≤6x ≠4 .即-2≤x <4或4<x ≤6，故函数的定义域为[-2,4)⋃4,6 ．
函数的单调性与最值课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
2021
9.83
活动探究
年份（年）
成绩（秒）
2010
10.32
2011
10.16
2012
10.19
2013
10.06
2014
10.10
2015
9.99
2016
10.08
2017
10.03
2021
9.83
问题1
在y= f(x)的所有函数值中，是否
存在一个值，比其他函数值都小？
f(2021)=9.83，是所有函数值
y随x的增大而减小
对整体的直观描述
追问3
当1 < 2 时，都有 1 > (2 )
对具体值的量化描述
同样的道理，比如函数y=2x，在定义域(−∞, +∞)内，函数值随着自
变量的增大而增大，你能否也用上面的方式定量描述？
在(−∞, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
y随x的增大而增大
①如果任取的两个1 ，2 的大小关系定义为1 > 2 ，那结论又是什么？
②我们比较f x1 与f x2 大小的方法是什么？还有其他办法吗？
① 如 果 1 > 2 ， 经 过 判 断 就 能 得 出
1 < 2 ，仍然说明是减函数．
②方法是作差，比较差与0的大小．
《函数的单调性》函数的概念与性质(第1课时函数的单调性及函数的平均变化率)PPT课件
栏目 导引
第三章 函 数
PPT模板：www.1ppt.com/moban/
PPT素材：www.1ppt.com/sucai/
PPT背景：www.1ppt.com/beijing/
PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/
PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/
PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/
科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wul i/
化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/she ngwu/
Байду номын сангаас
地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/
PPT课件：www.1ppt.com/kejian/
语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuw en/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/
英语课件：www.1ppt.com/kejian/ying yu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/me ishu/
PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 范文下载：www.1ppt.com/fanwen/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.函数的单调性课件 a高一第一册数学课件
12/8/2021
第二十八页，共四十八页。
【解题策略】 1.解抽象函数不等式问题的方法 利用函数的单调性解不等式主要依据(yījù)函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列 出关于未知量的不等式(组)，然后求解，要注意函数的定义域. 2.分段函数的单调性
首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则分界点左侧 值小于等于右侧值，如果是减函数，则分界点左侧值大于等于右侧值.
都有___f(_x_1_)<_f_(x_2)__
都有___f(_x_1)_>_f(_x_2)__
结论 f(x)在区间D上单调_递_增__(_dìzēng) 12/8/2021
f(x)在区间D上单调___递__减
第二页，共四十八页。
(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函数在区间上 图象的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的性质. (3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数(cānshù)范围等.
因为f(x)在[1，3]上单调，则有 ≤1或m 2≥3，解得m m 2≤0或m≥4，
即m的取值范围为m≤0或m≥4.
2
2
，m 2 2
答案：m≤0或m≥4
12/8/2021
第三十五页，共四十八页。
【典例备选】抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理) 【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0
函数概念及性质课件
分段函数的性质
分段函数具有不连续性、离散性和多 样性等特点，其性质与各段上的函数 表达式有关。
分段函数的定义பைடு நூலகம்
分段函数是指在其定义域的不同区间 上由不同的表达式所表示的函数。
分段函数的图象
分段函数的图象由各段函数的图象组 成，各段图象在分段点处相接。
幂函数
幂函数
幂函数是指形式为$y=x^n$的函数，其中$n$为实数。幂函数在数学 分析、物理学和工程学等领域有广泛应用。
04
函数的应用
函数在实际问题中的应用
01
02
03
描述经济现象
函数可以用来描述经济现 象，如需求函数、供给函 数等，帮助分析市场供需 关系。
预测未来趋势
通过建立时间序列函数， 可以预测未来趋势，如人 口增长、股票价格等。
优化资源配置
在资源有限的情况下，利 用函数优化资源配置，实 现利益最大化。
利用函数性质解决数学问题
对数函数的图象
对数函数的图象根据对数底的不同而变化，当对数底大于 1时，对数函数的图象为凸函数；当对数底小于1时，对 数函数的图象为凹函数。
感谢您的观看
THANKS
函数概念及性质课件
目录 CONTENT
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的扩展知识
01
函数的基本概念
分段函数具有不连续性、离散性和多 样性等特点，其性质与各段上的函数 表达式有关。
分段函数的定义பைடு நூலகம்
分段函数是指在其定义域的不同区间 上由不同的表达式所表示的函数。
分段函数的图象
分段函数的图象由各段函数的图象组 成，各段图象在分段点处相接。
幂函数
幂函数
幂函数是指形式为$y=x^n$的函数，其中$n$为实数。幂函数在数学 分析、物理学和工程学等领域有广泛应用。
04
函数的应用
函数在实际问题中的应用
01
02
03
描述经济现象
函数可以用来描述经济现 象，如需求函数、供给函 数等，帮助分析市场供需 关系。
预测未来趋势
通过建立时间序列函数， 可以预测未来趋势，如人 口增长、股票价格等。
优化资源配置
在资源有限的情况下，利 用函数优化资源配置，实 现利益最大化。
利用函数性质解决数学问题
对数函数的图象
对数函数的图象根据对数底的不同而变化，当对数底大于 1时，对数函数的图象为凸函数；当对数底小于1时，对 数函数的图象为凹函数。
感谢您的观看
THANKS
函数概念及性质课件
目录 CONTENT
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的扩展知识
01
函数的基本概念
高中数学必修第一册第三章《函数概念与性质》单元教学课件
如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一 个函数.
两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.
即时巩固
随堂小测
1.对于函数y＝f (x)，以下说法正确的有
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
高中数学必修第一册 人教A版
—第三章 函数概念与性质—
3.1 函数的概念及其表示 第1课时 函数的概念
学习目标
1. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素. 3.能求简单函数的定义域. 核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模.
情境导学
函数知识回顾与更新
函数的传统定义： 本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.
【分析】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学 的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用 图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.
函数的实际应用
【例题】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
则
，求
的解析式.
所以
解得
或
所以
或
常考题型分析 【换元法和配凑法】
两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.
即时巩固
随堂小测
1.对于函数y＝f (x)，以下说法正确的有
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
高中数学必修第一册 人教A版
—第三章 函数概念与性质—
3.1 函数的概念及其表示 第1课时 函数的概念
学习目标
1. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素. 3.能求简单函数的定义域. 核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模.
情境导学
函数知识回顾与更新
函数的传统定义： 本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.
【分析】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学 的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用 图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.
函数的实际应用
【例题】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
则
，求
的解析式.
所以
解得
或
所以
或
常考题型分析 【换元法和配凑法】
高中数学函数3.1函数的概念与性质3.1.2第1课时单调性的定义与证明课件新人教B版必修第一册
[证明] 设 x1，x2 是区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1＞x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12＝(x1－x2)＋x11－x12＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1＝ (x1－x2)1－x11x2＝x1－x2x－1x21＋x1x2，
∵0<x2<x1<1， ∴x1－x2＞0,0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴x1－x2x－1x21＋x1x2＜0，即 f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
结论 统称
则称 f(x)的最大值为 f(x0)， 则称 f(x)的最小值为 f(x0)， 而 x0 称为 f(x)的最大值点 而 x0 称为 f(x)的最小值点
最大值和最小值统称为最值 最大值点和最小值点统称为最值点
3.函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
∴实数 a 的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且 f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即 x<1． ∴实数 x 的取值范围为(－∞，1)．]
1．[变条件]若本例(1)的函数 f(x)在(1,2)上是单调函数，求 a 的取 值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1 或－(a＋1)≥2，即 a≤－3 或 a≥ －2.
函数单调性教案ppt课件
2. 比较函数值
计算$f(x_1)$和$f(x_2)$，并比 较两者大小。
3. 得出结论
根据函数值的比较结果，判断 函数的单调性。
05
练习与巩固
单调性判断练习
判断函数在指定区间的单调性，例如
$f(x) = x^2$在$[0, +infty)$上单调递增。
判断函数在多个区间的单调性，例如
$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
证明复合函数的单调性， 例如
证明$f(x) = log(x^2)$在$(0, +infty)$上单 调递增。
单调性应用练习
利用单调性解不等式，例如
解不等式$f(x) = x^2 - 2x > 0$。
利用单调性求函数的最值，例如
求函数$f(x) = x^3 - x^2$在区间$[0, +infty)$上的最大值。
判断复合函数的单调性，例如
$f(x) = log(x^2)$在$(0, +infty)$上单调递增。
单调性证明练习
证明函数在指定区间的单 调性，例如
证明$f(x) = x^3$在$(-infty, +infty)$上单 调递增。
证明函数在多个区间的单调 性，例如
证明$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件
－5≤x≤5， ＋3)可得x＋3>0， 解得－3<x≤5，故 y＝f(x)·ln(x＋3)的定义域是(－ 3,5]．故选 D.
3．(角度2)已知函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，则函数f(1－2x)的
定义域为( C )
A．[－2,1]
B．[1,2]
C．[－2,3]
D．[－1,3]
[解析] 因为函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，所以－1≤x≤4，即
2．已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，则函数 y＝f(x)的定
义域为( B )
A．[0,2]
B．[－1,2]
C．[－ 3， 3]
D．[－ 3，2]
[解析] 因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，所以 x∈[－ 3， 3]， x2－1∈[－1,2]，所以 y＝f(x)的定义域为[－1，2]．故选 B.
运算求解 综合性 数学运算 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
2023新课 函数模型及 对数型函数
标Ⅰ，10 应用
的实际应用
2022新高 函数奇偶性 利用奇偶性
考Ⅰ，12 与周期性 求函数值
2022新高 函数奇偶性 利用周期性
考Ⅱ，8 与周期性 求值
关键能力 考查要求 核心素养 逻辑推理
运算求解 基础性 数学运算
3．(角度2)已知函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，则函数f(1－2x)的
定义域为( C )
A．[－2,1]
B．[1,2]
C．[－2,3]
D．[－1,3]
[解析] 因为函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，所以－1≤x≤4，即
2．已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，则函数 y＝f(x)的定
义域为( B )
A．[0,2]
B．[－1,2]
C．[－ 3， 3]
D．[－ 3，2]
[解析] 因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，所以 x∈[－ 3， 3]， x2－1∈[－1,2]，所以 y＝f(x)的定义域为[－1，2]．故选 B.
运算求解 综合性 数学运算 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
2023新课 函数模型及 对数型函数
标Ⅰ，10 应用
的实际应用
2022新高 函数奇偶性 利用奇偶性
考Ⅰ，12 与周期性 求函数值
2022新高 函数奇偶性 利用周期性
考Ⅱ，8 与周期性 求值
关键能力 考查要求 核心素养 逻辑推理
运算求解 基础性 数学运算
新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数概念与性质 2022新高考一轮复习课件
定义域.
对点训练2
(1)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是( D )
A.[-3,1]
B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
要使函数有意义,应满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,
故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞).
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为 [-√3, √3] ,则函数y=f(x)的定义域为
A.(0,2)
B.[0,2)
C.(0,1]D.[0,2]
由题意知,x≥0,且2-x>0,解得0≤x<2,故其定义域是[0,2).
命题角度2求抽象函数的定义域
例3
(+1)
若函数y=f(x)的定义域是[0,4 020],则函数 g(x)=
的定义域是
-1
( B )
A.[-1,4 019]
B.[-1,1)∪(1,4 019]
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
对点训练2
(1)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是( D )
A.[-3,1]
B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
要使函数有意义,应满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,
故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞).
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为 [-√3, √3] ,则函数y=f(x)的定义域为
A.(0,2)
B.[0,2)
C.(0,1]D.[0,2]
由题意知,x≥0,且2-x>0,解得0≤x<2,故其定义域是[0,2).
命题角度2求抽象函数的定义域
例3
(+1)
若函数y=f(x)的定义域是[0,4 020],则函数 g(x)=
的定义域是
-1
( B )
A.[-1,4 019]
B.[-1,1)∪(1,4 019]
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
函数概念及表示与函数的单调性
1 x, 0 x 1 ，若 f (a) f (a 1) ，则 f ( ) （ a 2( x 1), x 1
D. 8
）
变形必做：已知函数 f ( x)
2 x 1 2, x 1 log 2 ( x 1), x 1
，且 f (a) 3 ，则 f (6 a) （
变形必做：为使函数 y
2x k 1 与 y ( ) x 2 在 (3, ) 上具有相同的单调性，则实数 k 的取值______。 x2 3
2
7 （单调性判断的基本方法） .函数 y x 2 | x | 3 的单调递增区间是________。
变式必做 1：函数 f ( x) log 1 ( x 2 4 x 3) 的单调增区间是_______.
）
A.
7 4
B.
5 4
C.
3 4
D.
1 4 1 x
）
5（函数表达式的求法）.若函数 f ( x) 满足： 2 f ( x) f ( ) 3x ，则 f (2) （ A. 1 B. 1 C.
5 2
D.
5 2
变形必做：已知一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)] 4 x 7 ，则 f ( x) =_________。
6 （单调性的判断） .下列函数中， 满足对任意 x1 , x2 (0, ) ， 都有 ( x1 x2 )[ f ( x1 ) f ( x2 )] 0 的是 （ A. f ( x)
函数的概念及表示法
描述电磁波
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间 的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的 传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价 格与市场需求量之间的关 系，以及市场供求关系的 变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成 本与产量之间的关系，以 及生产效率的变化。
举例
$y = 2^x$，$y = log_2(x)$。
03 函数的图像表示法
函数图像的绘制
确定函数表达式
首先需要确定函数的解析表达式，包 括自变量和因变量的关系。
确定坐标系
选择适当的坐标系，如直角坐标系或 极坐标系，以便绘制函数图像。
描点
根据函数的解析表达式，在坐标系上 描出对应的点。
连线
将描出的点用平滑的曲线或直线连接 起来，形成函数的图像。
0$。
性质
02
图像是一条直线，斜率为 $a$，截距为 $b$。
举例
03
$y = x + 1$，$y = -2x + 4$。
二次函数
01
02
03
定义
形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a neq 0$。
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间 的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的 传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价 格与市场需求量之间的关 系，以及市场供求关系的 变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成 本与产量之间的关系，以 及生产效率的变化。
举例
$y = 2^x$，$y = log_2(x)$。
03 函数的图像表示法
函数图像的绘制
确定函数表达式
首先需要确定函数的解析表达式，包 括自变量和因变量的关系。
确定坐标系
选择适当的坐标系，如直角坐标系或 极坐标系，以便绘制函数图像。
描点
根据函数的解析表达式，在坐标系上 描出对应的点。
连线
将描出的点用平滑的曲线或直线连接 起来，形成函数的图像。
0$。
性质
02
图像是一条直线，斜率为 $a$，截距为 $b$。
举例
03
$y = x + 1$，$y = -2x + 4$。
二次函数
01
02
03
定义
形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a neq 0$。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) ，那么就说函
当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函
数f(x)在区间D上是增函数 数f(x)在区间D上是减函数
图象 自左向右看图象是 上升的 . 描述
本节结束， 谢谢大家！
类型一 函数单调性的判定与证明 【例 1】 (2013·东北师大附中高一检测)证明函数 f(x)＝x＋4x在 (2，＋∞)上是增函数． [思路探索] 任意取值 → 作差、变形 → 判断符号 → 结论
解 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1＝(x1－x2)x1xx12x－2 4. ∵2＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
课堂达标 1．(2013·厦门高一检测)函数y＝x2－6x的减区间是
( )．
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析 函数y＝x2－6x的对称轴为x＝3，
∴递减区间是(－∞，3]．
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) ，那么就说函
当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说函
数f(x)在区间D上是增函数 数f(x)在区间D上是减函数
图象 自左向右看图象是 上升的 . 描述
本节结束， 谢谢大家！
类型一 函数单调性的判定与证明 【例 1】 (2013·东北师大附中高一检测)证明函数 f(x)＝x＋4x在 (2，＋∞)上是增函数． [思路探索] 任意取值 → 作差、变形 → 判断符号 → 结论
解 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1＝(x1－x2)x1xx12x－2 4. ∵2＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
课堂达标 1．(2013·厦门高一检测)函数y＝x2－6x的减区间是
( )．
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析 函数y＝x2－6x的对称轴为x＝3，
∴递减区间是(－∞，3]．
函数单调性课件公开课
单调递减函数的图像
在图像上表现为随着$x$的增大，$y$的值相应减小，图像从左至 右下降。
单调性转折点
在单调性发生变化的点，即导数等于0的点，通常为极值点或拐点。
02 判断函数单调性的方法
导数与单调性
总结词
导数在判断函数单调性中起着关键作用，导数的正负决定了函数的增减性。
详细描述
导数是一阶导数的简称，表示函数在某点的切线斜率。如果一个函数的导数在 某个区间内大于0，则该函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单 调递减。
单调性在经济学中的应用
经济学中的单调性主要应用于研究经济现象的变化趋 势和规律。例如，通过分析某地区人均收入的单调性，
可以预测该地区未来的经济发展趋势。
输标02入题
在金融领域，单调性也被广泛应用于股票、债券等金 融产品的价格变化分析，以帮助投资者做出更准确的 投资决策。
01
03
在经济政策制定方面，通过分析政策影响下经济指标 的单调性，可以评估政策的实施效果和调整方向。
单调性在求解方程中的应用
总结词
单调性在求解方程中起到重要作用，通过单调性可以找到方程的解或解的范围。
详细描述
单调性在求解方程中也有广泛的应用。例如，利用函数的单调递增或递减性质，可以找到方程的解或 解的范围。此外，利用函数的导数和单调性的关系，可以通过判断函数的单调性来求解方程的根。
在图像上表现为随着$x$的增大，$y$的值相应减小，图像从左至 右下降。
单调性转折点
在单调性发生变化的点，即导数等于0的点，通常为极值点或拐点。
02 判断函数单调性的方法
导数与单调性
总结词
导数在判断函数单调性中起着关键作用，导数的正负决定了函数的增减性。
详细描述
导数是一阶导数的简称，表示函数在某点的切线斜率。如果一个函数的导数在 某个区间内大于0，则该函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单 调递减。
单调性在经济学中的应用
经济学中的单调性主要应用于研究经济现象的变化趋 势和规律。例如，通过分析某地区人均收入的单调性，
可以预测该地区未来的经济发展趋势。
输标02入题
在金融领域，单调性也被广泛应用于股票、债券等金 融产品的价格变化分析，以帮助投资者做出更准确的 投资决策。
01
03
在经济政策制定方面，通过分析政策影响下经济指标 的单调性，可以评估政策的实施效果和调整方向。
单调性在求解方程中的应用
总结词
单调性在求解方程中起到重要作用，通过单调性可以找到方程的解或解的范围。
详细描述
单调性在求解方程中也有广泛的应用。例如，利用函数的单调递增或递减性质，可以找到方程的解或 解的范围。此外，利用函数的导数和单调性的关系，可以通过判断函数的单调性来求解方程的根。
相关主题