2018一轮北师大版(理)数学训练：第10章第8节课时分层训练65 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布

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2018年高考一轮北师大版数学理科第10章第6节课时分层训练63 模拟方法——概率的应用

课时分层训练(六十三) 模拟方法——概率的应用A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( )A.1π B.2π C.13D ．23C [由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.]2．如图10-6-5所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )【导学号：57962467】图10-6-5A.π3 B ．π C ．2πD ．3πD [设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率得S S ′＝13，则S ＝3π.]3．已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( )A.12 B ．13 C.23D ．34A [由题设知，区域D 是以原点O 为中心的正方形，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，所求概率为12.]4．(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34 B ．23 C.13D ．14A [不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.] 5．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC ＜12V S -ABC 的概率是( )A.78 B ．34 C.12D ．14A [当点P 到底面ABC 的距离小于32时， V P -ABC ＜12V S -ABC . 由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.]6．(2017·西安模拟)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )【导学号：57962468】A.34＋12π B ．12＋1π C.12－1πD ．14－12πD [|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．∵S 圆＝π×12＝π， S 阴影＝π4－12×12＝π－24.故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.]二、填空题7．(2017·郑州模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.3 [由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m . 当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m ＜4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.]8．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．23[∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， ∴⎩⎨⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5＝23.]9．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图10-6-6所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图10-6-623 [由对称性，S 阴影＝4⎠⎛01(1－x 2)d x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33|1＝83.又S 正方形ABCD ＝2×2＝4，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P ＝S 阴S 正方形ABCD ＝23.]10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．π120[屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2米3，故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.]B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE (如图①)，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分(如图②)，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.]2．(2017·陕西质检(二))在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到O 点的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π8 C.π8D ．1－π4D [由题意得长方形ABCD 的面积为1×2＝2，其中满足到点O 的距离小于等于1的点在以AB 为直径的半圆内，其面积为12×π×12＝π2，则所求概率为1－π22＝1－π4，故选D.]3．随机地向半圆0＜y ＜2ax －x 2(a 为正数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为________．12＋1π [由0＜y ＜2ax －x 2(a ＞0)，得(x －a )2＋y 2＜a 2，因此半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa2＝12＋1π.]4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则方程有实根的概率为________．23[设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.]。

2018年高考一轮北师大版数学理科第8章第8节课时分层训练52 曲线与方程

课时分层训练(五十二) 曲线与方程A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线D [原方程可化为⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．]2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1.又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，则|PM |2＝2， ∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.]4．(2016·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )【导学号：57962419】A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 5．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1 OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线A [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________．x 2＝12y [由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .]8．(2017·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为__________.【导学号：57962420】x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2) [由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2yx ，③∴x ≠0，且|x |< 2.∵点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)．]三、解答题9．如图8-8-3所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图8-8-3[解] 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，又曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0). 5分设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).10分因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0). 12分10．(2017·广州模拟)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知点E (1,0)，若A ，B 是曲线C 上的两个动点，且满足EA ⊥EB ，求EA →·BA →的取值范围．[解] 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则点D 的坐标为(x 0,0)．由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y .2分因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4.所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. 5分(2)因为EA ⊥EB ，所以EA →·EB →＝0. 所以EA →·BA →＝EA →·(EA →－EB →)＝EA →2.7分设点A (x 1，y 1)，则x 214＋y 21＝1，即y 21＝1－x 214.所以EA →·BA →＝EA →2＝(x 1－1)2＋y 21 ＝x 21－2x 1＋1＋1－x 214＝34x 21－2x 1＋2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23.10分因为点A (x 1，y 1)在曲线C 上，所以－2≤x 1≤2. 所以23≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23≤9，所以EA →·BA →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，9.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝ 3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x 23＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为__________．4π [设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆．即轨迹所包围的图形的面积等于4π.]3．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线.【导学号：57962421】[解] (1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎨⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0，则Δ＝16k 2－64＞0，即|k |＞2， x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16，直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y＝y2－y1x2＋x1(x－x2)＋y2，即y＝x22－x214(x1＋x2)(x－x2)＋14x22，整理得y＝x2－x14x－x22－x1x24＋14x22，即y＝x2－x14x＋x1x24.直线A1B的方程为y＝x2－x14x＋4，显然直线A1B过点D(0,4)．所以A1，D，B三点共线．。

2018年一轮复习(理)数学训练：第2章第13节课时分层训练16 定积分与微积分基本定理

课时分层训练(十六) 定积分与微积分基本定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1C [⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1＝1＋e 1－1＝e .故选C.]2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )【导学号：57962125】A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4D [令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 44⎪⎪⎪20＝8－4＝4，故选D.]3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )【导学号：57962126】A.12g B ．g C.32g D ．2gC [由题意知电视塔高为 ⎠⎛12g t d t ＝12g t 2|21＝2g －12g ＝32g.]4．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16D [原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，即在y 轴两侧的图像对称．所以对应的面积相等，即⎠⎛-60f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.]5．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6A [由题意知⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.] 二、填空题6．(2017·陕西质检(二))⎠⎛0π(x ＋cos x )d x ＝________.π22 [⎠⎛0π(x ＋cos x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋sin x ||π0＝π22.]7．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10(单位：m )，已知F (x )＝x 2＋1(单位：N )且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J .342 [变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J )．] 8．(2017·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图像与直线x ＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．e －12 [由题意知所求面积为⎠⎛-110 (x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x |0-1＋e x |1＝－(12-1)＋(e －1)＝e －12.]三、解答题9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． [解] 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1,1).2分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B(3，－1). 5分故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136.12分10．(2015·陕西高考改编)如图2-13-2，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，试求原始的最大流量与当前最大流量的比值．图2-13-2[解] 建立如图所示的平面直角坐标系.3分由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，6分抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛-55⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝(6＋10)×22＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2m x |10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.]2．曲线x ＋y ＝1与两坐标轴所围成图形的面积是________．16[将曲线x ＋y ＝1转化为y ＝(1－x )2，且x ≥0，y ≥0.令y ＝0，可知曲线与x 轴交点为(1,0)，则曲线与两坐标轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(1－x )2d x ＝⎠⎛01(1－2x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43x 32＋12x 2 |10＝1－43＋12＝16.]3．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积．【导学号：57962127】[解] ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图. 5分由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A(2,4)， 7分∴y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3 |20＝4－83＝43.12分。

高考数学一轮复习课时分层训练58 算法与算法框图理北师大版-北师大版高三全册数学试题

课时分层训练(五十八) 算法与算法框图A 组基础达标一、选择题1．(2017·某某高考)阅读如图9116所示算法框图，运行相应的算法，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )图9116A ．0B ．1C ．2D ．3C [输入N ＝19，第一次循环，19不能被3整除，N ＝19－1＝18,18>3；第二次循环，18能被3整除，N ＝183＝6,6>3；第三次循环，6能被3整除，N ＝63＝2,2<3，满足循环条件，退出循环，输出N ＝2.故选C.]2．定义运算a ⊗b 的结果为执行如图9117所示的算法框图输出的S ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4的值为( )图9117A ．4B ．3C ．2D ．－1A [由算法框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a －b )，a ≥b ，b (a ＋1)，a ＜b ，因为2cos 5π3＝1,2tan 5π4＝2,1＜2，所以⎝⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4＝2×(1＋1)＝4.] 3．(2018·某某一检)执行如图9118所示的算法框图，则输出的n 的值为( )【导学号：79140319】图9118A ．3B ．4C ．5D ．6C [第一次，k ＝3，n ＝2；第二次，k ＝2，n ＝3；第三次，k ＝32，n ＝4；第四次，k ＝54，n ＝5，此时，k ＜2，循环结束，则输出的n 为5，故选C.]4．(2017·某某高考)执行如图9119所示的算法框图，当输入的x 的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )图9119A ．x >3B ．x >4C ．x ≤4D ．x ≤5B [输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 2 4＝2，符合题意，结合选项可知应填x >4. 故选B.]5．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图9120所示的算法框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )图9120A ．5B ．4C ．3D ．2D [假设N ＝2，算法执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3>2，输出S ＝90<91.符合题意．所以N ＝2成立．显然2是最小值．故选D.]6．(2018·某某调考)执行如图9121所示的算法框图，若输出的值为y ＝5，则满足条件的实数x 的个数为( )图9121A ．1B ．2C ．3D ．4C [由算法框图得输出的y 与输入的x 的关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，x ＜3，2x －3，3≤x ＜5，1x ，x ≥5，所以当x＜3时，由2x 2＝5得x ＝±102；当3≤x ＜5时，由2x －3＝5得x ＝4；当x ≥5时，1x＝5无解，所以满足条件的实数x 的个数为3个，故选C.]7．公元263年左右，我国数学家X 徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X 徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图9122是利用X 徽的“割圆术”思想设计的一个算法框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为( )【导学号：79140320】图9122(参考数据：3≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5) A ．2.598,3,3.104 8 B ．2.598,3,3.105 6 C ．2.578,3,3.106 9D ．2.588,3,3.110 8B [由算法框图可得当n ＝6时，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598，输出2.598；因为6≥24不成立，执行n ＝2×6＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3，输出3；因为12≥24不成立，执行n ＝2×12＝24，S ＝12×24×sin 15°≈3.105 6，输出3.105 6，因为24≥24成立，结束运行，所以输出的圆周率的近似值依次为2.598,3,3.105 6，故选B.] 二、填空题8．(2018·某某一模)算法框图如图9123所示，若输入S ＝1，k ＝1，则输出的S 为________．图912357 [第一次循环，得k ＝2，S ＝4；第二次循环，得k ＝3，S ＝11；第三次循环，得k ＝4，S ＝26；第四次循环，得k ＝5，S ＝57，退出循环，输出S ＝57.]9．某算法框图如图9124所示，判断框内为“k ≥n ”，n 为正整数，若输出的S ＝26，则判断框内的n ＝________.图91244 [依题意，执行题中的算法框图，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26.因此当输出的S＝26时，判断框内的条件n＝4.]10．执行如图9125所示的算法框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________.【导学号：79140321】图91253[由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.]B组能力提升11．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图9126所示的算法框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )图9126A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5xC [输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36；运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C.] 12．图9127(1)是某县参加2017年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各小长方形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图9127(2)是统计图(1)中身高在一定X 围内学生人数的一个算法框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内可填写( )(1) (2)图9127A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜9C [统计身高在160～180 cm 的学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的值．当4≤i ≤7时，符合要求，故选C.]13．执行如图9128所示的算法框图，输出的T 的值为________.【导学号：79140322】图9128116[执行第一次，n ＝1＜3， T ＝1＋⎠⎛01x d x ＝1＋12x 2⎪⎪⎪1＝1＋12＝32.执行第二次，n ＝2＜3， T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋13x 3⎪⎪⎪1＝32＋13＝116. 执行第三次，n ＝3不满足n ＜3，输出T ＝116.故输出的T 的值为116.]。

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课时分层训练(一) 集合A组基础达标一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B[依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M 的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(2018·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2A[因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.]4．(2018·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( ) A．1 B．2C．3 D．4D[由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.] 5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112A．{－1，－2} B．{1,2}2C ．{－2,1}D ．{－1,2}A [因为Q ＝{1,2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.]6．(2018·南昌一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为A ＝(0，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0,1)，故选C.]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]二、填空题8．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．1 [∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，∴1∈B 且2∉B . 若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意．又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.]9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2.]B 组能力提升11．(2018·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( ) A. (－2，＋∞)B ．( 4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]C[集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B[∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( ) A．0 B．1C．11 D．12C[由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．] 16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]4课时分层训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组基础达标一、选择题1．命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是( )A ．若a ＞b ，则a －1≤b －1B ．若a ＞b ，则a －1＜b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a ＜b ，则a －1＜b －1C [根据否命题的定义可知：命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．故选C.] 2．下列命题是真命题的是( )【导学号：79140009】A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2A [由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确；由x 2＝1得x ＝±1，B 错误；由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，C错误；由x ＜y 不一定能得到x 2＜y 2，如x ＝－2，y ＝－1，D 错误，故选A.] 3．设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [若N ⊆M ，则a 2＝1或a 2＝2，解得a ＝±1或a ＝±2，所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件，故选A.]4．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若函数y ＝2x＋m －1有零点，则m －1＜0，得m ＜1；若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1，由于(0,1)(－∞，1)，所以“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．] 5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A．a＞5 B．a≥5C．a＜5 D．a≤5D[由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}．∴a≤5，故选D.]6．(2018·青岛质检)已知λ∈R，向量a＝(3，λ)，b＝(λ－1,2)，则“λ＝3”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意得a∥b⇔3×2－λ(λ－1)＝0，解得λ＝－2或λ＝3，所以“λ＝3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.]7．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[法一：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.法二：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.]二、填空题8．(2017·北京高考)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．－1，－2，－3(答案不唯一) [只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]9．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是________．6m ＝－2 [∵f (x )＝x 2＋mx ＋1图像的对称轴为直线x ＝－m2，∴f (x )的图像关于直线x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.] 10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140010】(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组能力提升11．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件B [函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数等价于－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选B.]12．(2018·石家庄质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的( )【导学号：79140011】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 C [由正弦定理asin A＝bsin B＝2R (R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，故sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b .]13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]B [解x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故﹁p ：－3≤x ≤1，又﹁q ：x ≤a ，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，故a ≥1.]814．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．] 15．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________.【导学号：79140012】②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.]课时分层训练(三) 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”A组基础达标一、选择题1．(2018·合肥第二次质检)已知命题q：任意x∈R，x2＞0，则( )A．命题﹁q：任意x∈R，x2≤0为假命题B．命题﹁q：任意x∈R，x2≤0为真命题C．命题﹁q：存在x0∈R，x20≤0为假命题D．命题﹁q：存在x0∈R，x20≤0为真命题D[本题考查全称命题的否定．命题q：任意x∈R，x2＞0的否定是﹁q：存在x0∈R，x20≤0，为真命题，故选D.]2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p且﹁q B．﹁p且qC．﹁p且﹁q D．p且qA[由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故﹁p是假命题，﹁q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p且﹁q是真命题．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )【导学号：79140015】A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[特称命题的否定是全称命题，改写量词，否定结论知B正确．]4．(2017·山东高考)已知命题p：任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )A．p且q B．p且﹁qC．﹁p且q D．﹁p且﹁qB[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴﹁p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴﹁q为真命题．∴p且q为假命题，p且﹁q为真命题，﹁p且q为假命题，﹁p且﹁q为假命题．故选B.]105．(2018·临汾一中)已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋ax ＋a 2≥0(a ∈R )，命题q ：存在x 0∈N ＋，2x 20－1≤0，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )或qD ．(﹁p )且(﹁q )B [对于命题p ，因为在方程x 2＋ax ＋a 2＝0中，Δ＝－3a 2≤0，所以x 2＋ax ＋a 2≥0，故命题p 为真命题；对于命题q ，因为x 0≥1，所以2x 20－1≥1，故命题q 为假命题，结合选项知只有p 或q 为真命题，故选B.]6．下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin2x2＋cos2x2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1＞x D ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C [对于A 选项：任意x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x ＜cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．]7．命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若﹁p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140016】A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题﹁p ：存在x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.]二、填空题8．若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]9．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140017】⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ [由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.]10．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R )，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③(﹁p )且(﹁q )；④(﹁p )或q . 其中为假命题的序号为________．②③④ [显然命题p 为真命题，﹁p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，﹁q 为真命题．∴p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，(﹁p )且(﹁q )为假命题，(﹁p )或q 为假命题．]B 组能力提升11．(2018·湖北省4月调考)设a ，b ，c 均为非零向量，已知命题p ：a ＝c 是a·b ＝b·c 的必要不充分条件，命题q ：x ＞1是|x |＞1成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )且(﹁q )D ．p 或(﹁q )B [命题p 中，当a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(0，－1)时，a·b ＝b·c ，但a ≠c ，必要性不成立，所以命题p 为假命题；命题q 中，由|x |＞1得x ＞1或x ＜－1，所以x ＞1是|x |＞1的充分不必要条件，所以命题q 是真命题，所以p 或q 为真命题，故选B.]12．(2016·浙江高考)命题“任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n <x 212B ．任意x ∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 2C ．存在x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n <x 2D ．存在x ∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 2D [由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n ≥x 2”的否定形式为“存在x ∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 2”．]13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：存在(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：任意(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：存在(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0y ＝－x 2＋u2，u2表示纵截距．结合题意知p 1，p 2正确．]14．已知命题p ：存在x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p 或(﹁q )为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．[0,2] C ．RD ．∅B [若p 或(﹁q )为假命题，则p 假q 真，命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p 或(﹁q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.] 15．已知下列命题：【导学号：79140018】①存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；②任意x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1； ③存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1； ④任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x . 其中真命题为________．(填序号)①② [对于①，当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以此命题为真命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2＞0，所以此命题为真命题；对于③，任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，所以此命题为假命题；对于④，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0＜sin x ，所以此命题为假命题．]16．已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x，命题q ：存在x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[e,4] [命题“p 且q ”是真命题，则p 和q 均为真命题；当p 是真命题时，a ≥(e x)max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4；所以a ∈[e,4]．]14课时分层训练(四) 函数及其表示A 组基础达标一、选择题1．(2017·四川巴中中学月考)下列哪个函数与y ＝x 是同一个函数( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3D [y ＝x 的定义域为R .而y ＝x 2x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x的定义域为{x |x ∈R ，且x ＞0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |的定义域为R ，但对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；y ＝(3x )3＝x 的定义域、对应关系与y ＝x 的均相同，故选D.]2．(2017·山西师大附中)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图像可以是()B [A 项，定义域为[－2,0]，D 项，值域不是[0,2]，C 项，当x ＝0时有两个y 值与之对应．故选B.]3．(2017·安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( )【导学号：79140021】A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.]4．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)B [由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．所以原函数的定义域为(0,1]．]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]7．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________.【导学号：79140022】g (x )＝9－2x [设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图像上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，即g (x )＝9－2x .]168．(2018·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ＜2，f x －，x ≥2，则f (log 2 7)＝________.72 [由题意得log 27＞2，log 2 72＜log 24＝2，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272＝2log 272＝72.] 三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1).【导学号：79140023】(1)求f (x )的解析式；(2)在如图212所示的直角坐标系中画出f (x )的图像．图212[解] (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图像如图．B 组能力提升11．(2018·石家庄质检(一))设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.52D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n＝52，故选D.] 12．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，18即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.] 13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.【导学号：79140024】(－∞，8] [当x ＜1时，x －1＜0，e x －1＜e 0＝1≤2，∴当x ＜1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．]14．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a x ＋2＋b x ＋＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，ax 2＋a ＋b x ＋a ＋b ＋c ＝ax 2＋b ＋x ＋c ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＋c ＝c ＋1，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y取最小值－18，故函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞.20课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．(2017·广州七中期末)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )【导学号：79140027】A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)A[f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.其图像如图，由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝sin xC ．y ＝1x 2＋1D ．y ＝1－x 2D [A 中，x 2≥0；B 中，－1≤sin x ≤1；C 中，0＜1x 2＋1≤1；D 中，0≤1－x 2≤1，故选D.] 5．定义新运算○+：当a ≥b 时，a ○+b ＝a ；当a ＜b 时，a ○+b ＝b 2，则函数f (x )＝(1○+x )x －(2○+x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1B ．1C ．6D ．12C [由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 【导学号：79140028】6 [易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.]8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [函数f (x )＝x 2－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图像可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值.【导学号：79140029】22[解] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a ＞1时，a －1a＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0＜a ＜1时，a －1a＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组能力提升11．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.]12．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]13．函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值.【导学号：79140030】[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．24由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课时分层训练(六) 函数的奇偶性、周期性与对称性A 组基础达标一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( )【导学号：79140033】A ．－3B ．－54C.54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.] 2．函数y ＝log 21＋x1－x的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，所以函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2018·银川质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A.12B. 2C.22D ．1B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212＝2，故选B.]4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( ) A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.26法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B.]5．(2017·湖南省东部六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( )【导学号：79140034】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫1100，100D ．(0,1)∪(100，＋∞)C [法一：不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0，－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1，所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1100，100.法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1100＜x ＜100，故选C.] 二、填空题6．(2018·西宁检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3，又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________.【导学号：79140035】1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (2)－f (3)＝1.]8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．[解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x1－3x .(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－－x 1－3－x ＝x1－3－x .(2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x 8，所以11－3x ＜－18，所以13x－1＞18，所以3x－1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x ＞－18，所以3－x ＞32，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．B 组能力提升11．(2018·郑州第二次质量预测)已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13B ．－1328C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.] 12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0)D ．(－1,2)A [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.]13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________.【导学号：79140036】f (1)＞g (0)＞g (－1) [在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x. 联立方程组解得f (x )＝2－x－2x2，g (x )＝－2－x＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)＞g (0)＞g (－1)．]14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．30课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组基础达标一、选择题1．函数y ＝3x 2的图像大致是()C [y ＝3x 2＝x 23，其定义域为R ，排除A ，B ，又0＜23＜1，图像在第一象限为上凸的，排除D ，故选C.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )【导学号：79140039】A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图像的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0,4a ＋b ＝0 B ．a ＜0,4a ＋b ＝0 C ．a ＞0,2a ＋b ＝0D ．a ＜0,2a ＋b ＝0A [因为f (0)＝f (4)＞f (1)，所以函数图像应开口向上，即a ＞0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是()D [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca＜0，∴函数图像与x 轴交点的横坐标之积为负数，即两个交点分别位于x 轴的正半轴和负半轴，故排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，∴也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.]二、填空题6．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图像上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图像上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.【导学号：79140040】±1 [由题意，设f (x )＝x α，则2＝(2)α，得α＝2.设g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2.由f (x )＝g (x )，得x 2＝x －2，解得x ＝±1.]7．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则其图像的顶点位置最高时对应的解析式为________．y ＝x 2－2x ＋5 [y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以图像的顶点坐标为(－k ，－k 2－2k ＋3)．因为－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1，∴m －n 的最小值是1.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N ＋)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围.【导学号：79140041】32[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.B 组能力提升11．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]12．(2018·福州质检)已知函数f (x )＝x 2－πx ，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝13，tan β＝54，cos γ＝－13，则( )A ．f (α)＞f (β)＞f (γ)B ．f (α)＞f (γ)＞f (β)C ．f (β)＞f (α)＞f (γ)D ．f (β)＞f (γ)＞f (α)A [因为函数f (x )＝x 2－πx 是二次函数，对称轴为x ＝π2，开口向上，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增；又α，β，γ∈(0，π)，则sin α＝13＜sin β＝2541＜sin γ＝89，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪α－π2＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪β－π2＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪γ－π2，则f (α)＞f (β)＞f (γ)，故选A.] 13．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是。

2019一轮北师大版(理)数学训练：第6章第1节课时分层训练32 不等式的性质与一元二次不等式含解析

课时分层训练(三十二) 不等式的性质与一元二次不等式A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a d>bc B ．ac >b d C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )【导学号：57962271】A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．]3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]4．(2016·吉林一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－ln 3}B ．{x |－1<x <－ln 3}C ．{x |x >－ln 3}D ．{x |x <－ln 3}D [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根， ∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13. 不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13. 解得x <ln 13， ∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]5．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )【导学号：57962272】A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}D [由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题6．(2016·辽宁抚顺一模)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________.【导学号：57962273】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]7．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________．[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]8．(2016·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝a d －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.] 三、解答题9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小.【导学号：57962274】[解] (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ).5分∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，8分 ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ). 12分 10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， 2分 ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋23，∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.5分 (2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，8分等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)ma x ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________.【导学号：57962275】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围.【导学号：57962276】[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，2分当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. 5分(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.7分不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，10分解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.12分。

2018版高考数学文北师大版大一轮复习讲义教师版文档

1．直线与平面平行的判定与性质a α，bα，a ∥ba ∥α，a β， α∩β＝b2.面面平行的判定与性质aβ，b β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥αα∥β，a β【知识拓展】重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)1．(教材改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．2．设l，m为直线，α，β为平面，且lα，mβ，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．3．(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD . 证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO 平面BEF ，AP 平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD . 又∵GH 平面OHF ，∴GH ∥平面P AD .命题点2直线与平面平行的性质例2(2016·长沙模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 思维升华判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a ∥α⇒a ∥β)．如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 ∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理HG ∥CD ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形． ∴CD ∥EF ，HE ∥AB ，∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角或其补角．又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．(2016·西安模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积． (1)证明由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD平面CD 1B 1，B 1D 1平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B平面CD 1B 1，D 1C 平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111-ABD A B D V 三棱柱＝S △ABD ·A 1O ＝1.题型三平行关系的综合应用例4 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解方法一存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1. 下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ，则DF ∥B 1C 1，∵AB 的中点为E ，连接EF ，ED ，则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1， ∴平面DEF ∥平面AB 1C 1. 而DE 平面DEF ， ∴DE ∥平面AB 1C 1.方法二假设在棱AB 上存在点E ，使得DE ∥平面AB 1C 1，如图，取BB 1的中点F ，连接DF ，EF ，ED ，则DF ∥B 1C 1，又DF平面AB 1C 1，B 1C 1平面AB 1C 1，∴DF ∥平面AB 1C 1，又DE ∥平面AB 1C 1， DE ∩DF ＝D ，∴平面DEF ∥平面AB 1C 1，∵EF 平面DEF ，∴EF ∥平面AB 1C 1，又∵EF 平面ABB 1，平面ABB 1∩平面AB 1C 1＝AB 1， ∴EF ∥AB 1，∵点F 是BB 1的中点，∴点E 是AB 的中点．即当点E 是AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG ，EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)．又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba (a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立．此时x ＝a 2，y ＝b 2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．5．立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明．规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2， V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分]取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ，则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF 平面SAB ，CE 平面SAB ，∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2016·保定模拟)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a 可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.2．(2016·滨州模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m α，n α，l 1β，l 2β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥β C ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.故选D.3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l β，也可能相交，故D 项错．故选B.4．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16 B ．24或245 C ．14 D ．20答案 B解析由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则P A PC ＝PBPD ，∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则P A PC ＝PBPD ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，mα，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．7.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N 相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案45 2解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.11.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1， BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12．(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积．解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连接GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线，故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形，所以EG ∥BH .因为BH 平面ABCD ，EG 平面ABCD ，所以EG ∥平面ABCD . (2)连接AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥．即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE ＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a＝32a 3. 13.如图所示，斜三棱柱ABC －A1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值．解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1. 又∵OD 1平面AB 1D 1，BC 1平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1.∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1， ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DCAD，又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC＝1.。

2018一轮北师大版(理)数学训练：第10章第3节课时分层训练60 二项式定理 Word版含解析

课时分层训练(六十) 二项式定理A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·广东3月测试)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516D [T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0得r ＝4，所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.] 2．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4 A [T r ＋1＝C r 6x6－r i r ，由6－r ＝4得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.]3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10C [(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，则x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.]4．(2015·湖南高考)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3B ．－3C ．6D ．－6 D [T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－2r 2，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.]5．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( )【导学号：57962457】A ．－2B ．－3C ．125D ．－131C [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2.又a 0＝C 07(－1)020＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.]6．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32A [逆用二项式定理，得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.]二、填空题7．(2016·天津高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) －56 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r ，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.]8．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．150x [由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2，令4－3r 2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .]9．(2014·全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)－20 [x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.]10．(2017·郑州质检)二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为________． 73 [∵T r ＋1＝C r 6(ax)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36rx 6－r ， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1，∴⎠⎛a －2x 2d x ＝⎠⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73.] B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.]2．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210C [在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.]3．(2017·济南调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．2 [⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3.由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.] 4．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为________.【导学号：57962458】4 [∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.]。

高考数学一轮复习课时分层训练8 指数与指数函数文北师大版-北师大版高三全册数学试题

课时分层训练(八) 指数与指数函数A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如图253所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图像是( )图253C [由函数f (x )的图像可知，－1＜b ＜0，a ＞1，则g (x )＝a x＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b ＞0，故选C.]2．(2016·某某某某一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aD [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数，35＞25，∴b ＜c . 又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上是增加的，35＞25， ∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ，故选D.]3．(2016·某某某某模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.] 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值X 围是(－3,1)．]二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.] 7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]8．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增加的，则实数m 的最小值等于________. 【导学号：00090031】1 [由f (1＋x )＝f (1－x )得a ＝1，从而函数f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)，从而m 的最小值为1.]三、解答题9．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ，a 为常数，且函数的图像过点(－1,2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． [解] (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t ＞0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t ＞0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数． (1)求a 的值和函数f (x )的定义域；(2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0.[解] (1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即1－a 2x ＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a 1－2x ，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12.3分又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).5分(2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3).8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的，从而在(－∞，0)上是减少的，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞)．12分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2018·江淮十校联考)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) 【导学号：00090032】A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x) C ．f (b x )＞f (c x ) D ．与x 有关，不确定 A [由f (x ＋1)＝f (1－x )知：函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，∴b ＝2.由f (0)＝3知c ＝3，∴f (b x )＝f (2x )，f (c x )＝f (3x )．当x ＞0时，3x ＞2x ＞1，又函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，∴f (3x )＞f (2x )，即f (b x )＜f (c x )；当x ＝0时，3x ＝2x ＝1，∴f (3x )＝f (2x )，即f (b x )＝f (c x )；当x ＜0时，0＜3x ＜2x ＜1，又函数f (x )在(－∞，1)上是减少的，∴f (3x )＞f (2x )，即f (b x )＜f (c x )．综上知：f (b x )≤f (c x )．故选A.]3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值X 围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[解] (1)由于a x －1≠0，则a x≠1，得x ≠0，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.2分对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数.5分(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况．当x ＞0时，要使f (x )＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12a x －1＞0，9分即a x －1＞0，a x ＞1，a x ＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1. 因此a ＞1时，f (x )＞0.12分。

2018一轮北师大版(理)数学训练第2章第9节课时分层训练12实际问题的函数建模Word版含解析

课时分层训练(十二) 实际问题的函数建模A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．]2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()【导学号：57962093】A．118元B．105元C．106元D．108元D[设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2-9-2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图2-9-2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()【导学号：57962094】A．①B．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B ．90元C ．95元D ．100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·，因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·＝14a ，即＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]二、填空题6．在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.图2-9-320 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【导学号：57962095】8 [设过滤n 次才能达到市场要求，8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192.又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝＝＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×＝24.]三、解答题9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值.【导学号：57962096】[解] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，2分因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10). 5分(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)·8003x ＋5－10＝70(万元)， 7分当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立， 10分所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元. 12分10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，2分飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎨⎧ 900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎨⎧ 900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75. 5分 (2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎨⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎨⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.8分因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.12分B 组能力提升(建议用时：15分钟) 1．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．19B ．20C ．21D ．22C [操作次数为n 时的浓度为，由＜10%，得n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.]2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个.【导学号：57962097】y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒，∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]3．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围．(2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．[解] (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0；当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a ). 3分所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]. 5分(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧ 0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.8分 ②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )，此时M (a )＝max{f (0)，f (2)}＝2.当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }，当a ≥4时，34－8a ≤2；当3≤a <4时，34－8a >2，∴M (a )＝⎩⎨⎧ 34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4. 12分。

高考数学一轮复习(北师大版理科)：课时分层训练31等差数列及其前n项和理北师大版

课时分层训练(三十一) 等差数列及其前n 项和A 组基础达标一、选择题1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4C [法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二：a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.]2．(·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.] 4．(·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3D ．8A [由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.故选A.]5．(·云南二检)已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( )【导学号：79140173】A ．15B ．20C ．26D ．30C [设数列{a n }的公差为d ，则d ＝14(a 5－a 1)＝－3，所以a n ＝11－3(n －1)＝14－3n ，令a n ＝14－3n ≥0，解得n ≤143，所以S n 的最大值为S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26，故选C.] 二、填空题6．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.10 [S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝0.9a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝0.4，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×0.4＝10.]7．《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．15斤 [由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝5(a 1＋a 5)2＝15，故金箠重15斤．] 8．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________.【导学号：79140174】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 [由题意，当且仅当n ＝8时S n有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.]三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N ＋，故k ＝7.10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . [解] (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.B 组能力提升11．(·呼和浩特一调)等差数列{a n }中，a 2＝8，前6项的和S 6＝66，设b n ＝2(n ＋1)a n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则T n ＝( )A ．1－1n ＋1B ．1－1n ＋2C.12－1n ＋1D ．12－1n ＋2D [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝66，a 1＋d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝2，所以a n ＝2n ＋4，因此b n ＝2(n ＋1)(2n ＋4)＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，故选D.] 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝n －1 B ．b n ＝2n －1 C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1B [设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.]13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．5 [因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得正整数m 的值为5.]14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.【导学号：79140175】(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．。

2018一轮北师大版(理)数学训练第1章第1节课时分层训练1集合Word版含解析

课时分层训练(一) 集合A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}C[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]2．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是() A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C[因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．]3．(2017·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()【导学号：57962003】A．1B．2C．3D．4D[由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]4．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B ＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．]5．(2017·衡水模拟)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅A [∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}，又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．]6．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )【导学号：57962004】A ．1B ．3C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.] 7．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则集合(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)C [∵S ＝{x |x ＞－2}，∴∁R S ＝{x |x ≤－2}，又T ＝{x |－4≤x ≤1}，∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． (－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]9．(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.【导学号：57962005】{1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]10．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1,0)．]B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 21－x ＞1，x ∈R ，B ＝{}x | y ＝1－x 2，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1＜x ＜1}C ．{－1,1}D ．{1}C [集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 21－x ＞1，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{}x | y ＝1－x 2＝{x |－1≤x ≤1}，∴∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}．因此(∁R A )∩B ＝{－1,1}．]2．(2017·郑州调研)设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图1-1-2中阴影部分表示的区间是( )图1-1-2A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }＝[－1,1]．题图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]3．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：57962006】(－∞，－2][由4≤2x≤16，得2≤x≤4，则A＝[2,4]，又B＝[a，b]，且A⊆B.∴a≤2，b≥4，故a－b≤2－4＝－2.因此a－b的取值范围是(－∞，－2]．]4．设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x－a≥0}．若存在实数a，使得A∩B ＝{x|0≤x＜3}，则A∪B＝________.{x|x＞－2}[A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥a}．如图，由A∩B＝{x|0≤x＜3}，得a＝0，A∪B＝{x|x＞－2}．]。

2018一轮北师大版(理)数学训练：第10章 第8节 课时分层训练65 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布

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